（计算机软件与理论专业论文）具有最小曲率变化率的几何hermite曲线的研究.pdf

由糸大学硕士学位论文 | ! ! ! ! ! | ! ! g s 燃 i i 量 摘要 稳造一条瀵是给定凌点条箨瓣党颁麴线是计舅极臻鞠凡秘设- ；t ( c a g d ) 中 的一个基本闷题。在构造这样条曲线时经常会餍刭h e r m i t e 插僵，梅造漱的三 次多项式曲线就称为h e r m i t e 曲线。这种曲线可广泛地应用到几何造型中的形状 设计和曲线曲面光顺上，如在光顺n u r b s 曲面的不规则区域时，常用这种传 统的h e r m i t e 癌线来代替这些区域上高光线的不规则部分并相应的调整曲磷，使 薪整嚣鞋移致籍豹裹竞线幸誊为玄弱赣懿裹光线，获露达捌涵瑟竞颓载蓦懿。 h e r m i t e 曲线在所有满足同样端点条件的c 1 连续的三j 兰次多项式样条曲线中其 有最小的成变能。因此，光顺条具有端点( 位置和切矢) 约束的c 1 连续的兰 次样条曲线时，最终会得到一条三次h e r m i t e 曲线。然而，此时的h e r m i t e 曲线 魏形状并不定理想，可缝存在麓二重点、尖点或者援点，郄不是几何光联熬。 这就需要掇供额乡 盼自由度来满足几俺光顺的要求。撼然，调整给定切矢的模长 可以做到这点，这类曲线就是几何h e r m i t e 曲线。本文就是来讨论如何构造一 条g 1 连续的舆有理想形状的几何h e r m i t e 曲线。一条具有理想形状的曲线慰然 不能包含二蘸点、尖点或者折点等这些不期望出现的特征点。 零文戮辫攀交讫率最小 睾毙党簇螽准，采弱整线瓣三狳导平方豹积分 繁为鏊 率变化率的避似表达式，即目标缀数。给出了在该光顾标准下最优几何h e r m i t e ( o g h ) 曲线的扩展定义，这类曲线通过在h e r m i t e 捕值过程中最优化端点的切 矢模长来使曲线的曲率变化率娥小，并提出了得到这样一条曲线的具体公式。本 文讨论了使o g h 曲线达到凡孵光颁的切矢角约束条停( 关于绘定切矢熊的切矢 方自霖持条锫霉篓足何光蹶条俦) 。魏柒绘定静蠡矢不滏足甥矢角约束条翳，蜀致 用2 一分段戏3 一分段的组合最优几何h e r m i t e ( c o l l ) 曲线来满足光顺耍求， 并提出了构造2 分段c o h 曲线的两种方法和构造3 一分段c o h 曲线的四种方 法。这些方法能够保证每一段o g h 曲线段对切矢角约束条件的自动满足，从而 镬撂每一段强线段都戆具有最夸验爨率变纯率虽没鸯二萋点、尖点帮折点，继嚣 满足整条c o h 越线的光颓性要求。这些o g h 益线和c o h 蓝线，加上纂予对稼 的扩展模式，可覆盖切矢角的所肖可能情况。此外，将这些方法构造的c o i l 曲 线与y o n g 和c h e n g 的基于应变能最小( 采用曲线的- 2 阶导平方的积分作为应变 山东大举硕士学位论文 嶷懿迓 娃表达式，鼗瓣标函数) 鲍c o h 兹线进露了l 较，势绘爨了当凌矢熊褒 不同的成用域时，何种目标函数下构造的c o h 曲线的形状比较理想的结论。实 验表明，将两种目标函数下的方法相结合，可以达到很好的效果。 上述基于两稳不瓣霾舞蘧数弱c o h 錾线粒 鞍孛，存在饕一个甥矢焦送域， 在这个隧域中，无论用哪种目标随数构造的c o h 曲线形状都不太理想。因此， 又在原有方法的基础上，提出了一种新的构造c o h 曲线的方法。该方法将给定 鲍甥矢楚镶甥变换到爨褰斡橡造方法艨对应酶切矢楚区域上，攀统一到可以搦选 出理想形状的情况中，在该区域上利用上述已有的方法构造出相应的c o h 盐线， 再将该曲线作逆向变换得到所要求的满足给定端点条件的曲线。察验证明，这种 方法与瑷毒豹基于嚣耱不同基蠡函数瓣c o h 夔线瓣构造方法鞠缝合，可戳使甥 矢角在所有的应用域上都能得到其裔较好形状的c o h 曲线。 关键溺：曲率变化率；凡俺光蹶；斑变链：h e r m i t e i i 由东大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o n s t r u c t i n gas m o o 氇c u i w e 旗趣g i v e ne n d p o i n tc o n d i t i o n si saf u n d a m e n t a l p r o b l e mi nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) t h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n p r o c e s si sf r e q u e n t l yu s e di nt h ec o n s t r u c t i o no fs u c hac u r v ea n dt h er e s u l t i n gc u b i c p o l y n o m i a lc u t v ei sc a l l e dah e r m i t ec u r v e t h eh e r m i t ec u r v e sc a nb ew i d e l yu s e di n a p p l i c a t i o n ss u c ha ss h a p ed e s i g na n dc u r v e s u r f a c ef a i r i n gi ng e o m e t r i cm o d e l i n g f o re x a m p l e ，i nf a i r i n gt h ea b n o r m a lr e g i o no f an u r b ss u r f a c eu s e ss u c ht r a d i t i o n a l h e r m i t ec u r v e st or e p l a c ea b n o r m a lp o r t i o n so ft h eh i g h l i g h tl i n e si nt h o s er e g i o n s a n dd e f o r m st h es u r f a c es ot h a tt h en e ws u r f a c ew o d dh a v et h em o d i f i e dh i g h l i 曲t l i n e sa st h en e w h i g h l i g h tl i n e sa n dc o n s e q u e n t l y , a c h i e v e st h ef a i r i n gr e s u l t h e r m i t ec u r v eh a st h em i n i m u ms t r a i ne n e r g ya m o n ga l lc 1c u b i cp o l y n o m i a l c a l v e ss a t i s f y i n gt h es a m ee n d p o i n tc o n d i t i o n s h e n c e ，f a i r i n gac 1c u b i cs p l i n ec u r v e 、v i me n d p o i n t0 0 s i t i o na n dt a n g e n tv e c t o r ) c o n s t r a i n t sw i l le v e n t u a l l yl e a dt oac u b i c h e r m i t ec u r v eu n f o r t u n a t e l y , t h es h a p eo ft h eh e r m i t ec u r v em a yb eu n p l e a s a n t i t m a yh a v el o o p s ，c u s p so rf o l d s ，n a m e l y , n o tg e o m e t r i c a l l ys m o o t h h e n c e ，a d & f i o n a l d e g r e e so ff r e e d o ma r en e e d e d | om e e tt h eg e o m e t r i cs m o o t h n e s sr e q u i r e m e n t s o b v i o u s l y , a d j u s t i n gt h em a g n i t u d e so f t h eg i v e nt a n g e n tv e c t o r sc a na c h i e v et h eg o a l ， a n ds u c hh e r m i t ec u r v ei sk n o w na sg e o m e t r i ch e r m i t ec u i v e t h ew o r ko ft h i sp a p e r i st od i s c u s sh o wt op r o d u c i n gag 1g e o m e t r i ch e r m i t ec u r v ew i t hap l e a s i n gs h a p e ， i e ，i td o e sn o tc o n t a i nu n d e s i r e df e a t u r e ss u c ha sl o o p s , c u s p so rf o l d s m i n i m u mc u r v a t u r ev a r i a t i o ni su s e da st h en e ws m o o t h n e s sc r i t e r i o no f c u r v ei n t h i sp a p e ra n dt h ei n t e g r a t e ds q u a r e dt h i r dd e r i v a t i v eo fc u r v ei sc h o s e na st h e a p p r o x i m a t ef o r mo ft h ec u r v a t u r ev a r i a t i o n ，ie ，o b j e c t i v ef u n c t i o nt h ee x t e n d e d d e f i n i t i o no f o p t i m i z e dg e o m e t r i ch e m f i t e ( o g h ) c u r v ei sg i v e nac u r v ei nt h i sc l a s s i sd e f i n e db yo p t i m i z i n gt h em a g n i t u d e so ft h ee n d p o i n tt a n g e n tv e c t o r si nt h e h e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r o c e s ss ot h a tt h ec u r v a t u r ev a i l a t i o no ft h ec u r v ei sa m i n i m u ma ne x p l i c i tf o r m u l af o ro b t a i n i n gs u c hac u r v ei sp r e s e n t e dt h et a n g e n t a n g l ec o n s t r a i n t s ( t a n g e n td i r e c t i o np r e s e r v i n gc o n d i t i o n sa n dg e o m e t r i cs m o o t h n e s s l 珏 山东大学硕士学位论文 c o n d i t i o n s ) g u a r a n t e e i n ga l lo g h c l t f v cg e o m e t r i c a l l ys m o o t hi s 螽v 髓。i ft h eg i v e n t a n g e n tv e c t o r sd on o ts a r i s r yt h et a n g e n ta n g l ec o n s t r a i n t s ，a2 - s e g e m e n to ra 3 - s e g m e n tc o m p o s i t eo p t i m i z e dg e o m e t r i ch e r m i t e ( c 0 田c u r v ec a l lb eu s e dt om e e t t h er e q u i r e m e n t s 。t w ot e c h n i q u e sf o rc o n s t r u c t i n g2 - s e g m e n tc o hc u f v e sa n df o u r t e c h n i q u e sf o rc o n s t r u c t i n g3 - s e g m e n tc o h c u r v e sa r cp r e s e n t e d t h e s et e c h n i q u e s c a ne n s u r ea u t o m a t i cs a t i s f a c t i o no ft h et a n g e n ta n g l ec o n s t r a i n t sf o re a c ho g h s e g m e n t , m a k et h e mh a v et h em i n i m u mc u r v a t u r ev a r i a t i o na n dn ol o o p s , c u s p so r f o l d sa n dc o n s e q u e n t l y , m e e tt h es a t i s f a c t i o no ft h ew h o l es m o o t h n e s sr e q u i r e m e n to f t h ec o hc h i v et h e s eo g ha n dc o hc u r v e s c o m b i n e dw i t hs y m m e t r y - b a s e d e x t e n s i o ns c h e m e s ，c a l lc o v e rt a n g e n ta n g l e so fa l ld i f f e r e n tc a s e s t h ec o m p a r i s o no f t h ec o hc u r v e sc o n s t r u c t e db yt h en e wm e t h o d sw i t ht h o s eb yy o n g sm e t h o d sb a s e d o nm i n i m u ms t r a i ne n e r g y ( a d o p tt h ei n t e g r a t e ds q u a r e ds e c o n dd e r i v a t i v eo fc u r v ea s t h ea p p r o x i m a t ef o r mo f t h es t r a i ne n e r g y , i e 。，o b j e c t i v ef u n c t i o n + ) i si n c l u d e di nt h i s p a p e ra n dt h ec o n c l u s i o no fw h i c ho ft h e s em e t h o d sb a s e d0 nd i f f e r e n to b j e c t i v e f u n c t i o n sc a l lg e n e r a t eb e t t e rs h a p ei nd i f f e r e n tt a n g e n ta n g l er e g i o n si sd r a w n e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ec o m b i n a t i o no fm e t h o d sb a s e do nd i f f e r e n to n e c t i v e f u n c t i o n sc a l la c h i e v eam u c hb e t t e rr e s u l t i nt h ea b o v e c o m p a r i s o no fc o h c u r v e sb a s e do nd i f f e r e n to b j e c t i v ef u n c t i o n s ， t h e r ee x i s t sat a n g e n ta n g l er e g i o ni nw h i c hn e i t h e ro f t h et w oo b j e c t i v ef u n c t i o n sc a l l g e tp l e a s i n gr e s u l t h e n c e ，an e w m e t h o df o rc o n s t r u c t i n gc o hc u r v e si sp r e s e n t e d t h en e wm e t h o dt r a n s f o r m st h eg i v e nt a n g e n ta n g l e st ot h ee x i s t e dr e g i o ni nw h i c h m e t h o d sc a ng e n e r a t eb e t t e rc u r v e s ， e 。，u n i f o r m st ot h ek n o 、ag o o dm e t h o d s ，t h e n c o n s t r u c t sc o hc u r v e sb yu s i n gt h ek n o w nm e t h o d s a n df i n a l l yg e t st h ec l l f v e s s a t i s f y i n gt h eg i v e ne n d p o i n tc o n s t r a i n t sb yc o n v e r s et r a n s f o r m a t i o n e x p e r i m e n t s s h o wt h a tc o m b i n a t i o no ft h en e wm e t h o da n dt h ek n o w nm e t h o d sb a s e do nd i f f e r e n t o b j e c t i v ef u n c t i o n sc a l lg e tg o o de 0 珏c u r v e sn om a t t e rw h i c hr e g i o nt h eg i v e n t a n g e n ta n g l e si n k e yw o r d s ：c u r v a t u r ev 旺a t i o n ；g e o m e t r i cs m o o t h n e s s ；s t r a i ne n e r g y ；h e r m i t e 原创性声明和关于论文使用授权的说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其袍个人或集体已经发表或撰写过豹科研成采。对本文的研 究作出重鼹贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：牡 日期：碰吐址 关于学霞论文使餍授权的声瞬 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被套瓣秘鹰阕；本人授权由东大学可以涛本学霞论文魏全部或郝分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守她嫂定) 论文作者签名：婢导师签名： 日期：趔& 。如。j 由东大学硕士学位论文 m m ml l 第1 牵绪论 1 。1 课颟 i 歼究背繁和意义 c a g d 是应璃代工业发震的要求，戬计算税的出现和发展为条件，从而产生 和逐步发展起来的，又对现代工业的发展起港巨大搬动作用的- f 新兴学科。因 此，c a g d 在一个国家的发展水平往往与该圜工业发展水平密切相关。在c a g d 中用趋线热西来攒述工业产品的复杂几何辨形。根据空气动力学、流体力学的原 理或者仿真和美学的要求，曲线曲面设计不仅应用于飞机、船舶和汽车工业，而 且也出现农医疗器娥强及毯常生活髑晶中。 工业产品的形状大致上可分为两类：一类是仅用初等解析曲线曲面( 例如圆、 聪鞠、双魏线、撼貔线、平嚣、圆援嚣、圆镶蘑、球囊、瑟嚣嚣等) 维成，大多 数机械零件属于这类，可以用画法几何与机械制图的方法究全清楚袭达和传递 联包含懿全郝形状信患，这类蔻线藏嚣遥豢楚先存方程式，然后方憝怒癌线夔瑟 画出来，遮样的方式对设计者来说是非常不直观的；第二类是不能由初等解析曲 线睦面组成，面良复杂形式蠡由变化静舞线鼹瑟邵掰谓蠡由爱曲线蠡谣( 饲弼鞯 次参数多项式曲线、h e m l i t e 曲线、c o o n s 曲面、b e z i e r 曲线曲面、n u r b s 曲线 曲谣等) 缀成，如飞机、汽车和船船的外形零件。戥然，这冀形获单纯用画法几 何与机械制图是不能表达清楚的，这类曲线曲面是由设计者输入几何数据信息， 如控制点的位置等，然后以参数式合成的，而且设计者可以通过改变某些控制信 息来调整曲线曲蟊的形状，因此具有很好的交互性熊 l 。4 。 曲线娥建立几何模型最基本的元素之一，其中，三次参数多项式样条曲线是 应蠲最广泛豹，h e r m i t e 越线就是一个典型代表。h e r m i t e 魏线不仅在数据点之闻 捅值，而且还在其导矢信息之间插戗。在构造一条满足给定端点条件( 位置和切 矢) 躲毙蹶莲线嚣，经豢采耀懿藏怒h e r m i t e 捶毽，这是因淹h e r m i t e 篷线在辨 有满足同样端点条件的c 1 避续的三次多项式样条曲线中具有最小的成变能。近 年来，标罐的h e r m i t e 方法在许多方淘都褥翻了扩震，最近鹣磷究焦点是屁褥 h e r m i t e 曲线。这种类型的曲线允许调整两个给定切矢的模长，从而满足额外的 需要。几储h e r m i t e 蓝线在许多领域都有重要应瑁，如凡蒋造型中的形状设计和 山东大学硕士学位论文 夔线，爨瑟竞矮等，酃霹菇这弱 夔籍熬效采。 1 2 几何h e r m i t e 曲线的研究现状 凡褥h e r m i t e 鞠线兔许调整两令给定罚矢瀚模长，麸嚣满足额乡 静荔螫。近 年来对几何h e r m i t e 曲线的研究可分为两类。第一类是研究如何使较低次的几何 h e r m i t e 监线具有较离次的几何逡续性和逼近精度。这类研究的首刨工作出d e b o o r 等人】夔密，德稻绘出了稳逡一条满是绘定条箨的g 2 逡续的且具有六次遥 近精度的三次样条妯线的插值方法。自此，这个方向的许多结果被相继提出【6 - ”。 h o l l i g 和k o c h 提出了一种通过在参数区间中插入第三个点来构造空间插值曲线 熬方法i g l 。毯铜提窭鹣这释薪方法麓够产生一条其有曲率连续蘑西嚣次摇毽精疲静 二次几何h e r m i t e 曲线 1 0 l , r e i f 对h o l l i g 和k o c h 的这种二次几何h e r m i t e 插值 啦线c i q 局部存在性避行了分析【“1 。s c h a b a c k 的工作着重于如何确定某一特意情 况下瓣最夺次数【1 2 】。 第二类是研究如何构造一条g l 连续的且具有理想形状的几何h e r m i t e 曲线。 一条具有理想形状的曲线显然不能包含诸如二黧点、尖点或者折点等这些不期望 基瑗瓣褥薤。一条爨唆形凌不理想豹一个磊嚣藏楚绘定凌矢熬搂长不舍适。遴鬻， 切矢的模长越大，构造出的曲线出现二重点的可能性就越大；切矢的模长越小， 构造出的曲线就越接近基线段1 t 3 1 5 】。因此，问题就在于如何选择合适的端点切矢 靛模妖。夔线髟获不爨怒豹舅一令爨西藏是给定甥矢懿方鑫不会逶。这逶遵像持 端点切矢的模长( 此时的模长要足够大) 不变，旋转切矢的方向就可以很容易的 验证。因此，h e r m i t e 插值的另个问题就是如何处理给定切矢的方向1 6 , 1 7 。 m e e k 纛w a l t o n 爱t s c h i m h a u s e n 三次( 麓称荛t - c u b i c ) 熬线寒避篼不理 想的形状“。t - c u b i c 曲线具有许多令人满意的性质，并且能与圆弧拼接形成精 确的螺旋线，另外，如果曲线段足够短，t _ c u b i c 曲线还可以达到四次的逼近精 度”9 1 。事实上，人钓零鎏l 壹接在设诗过程中襁造一条具有鼗小应交能豹麴线嚣 非在光顺过程中用逼近的方法来得到它，而且，人们更希望确切地知道在什么情 况下用几何h e n n i t e 插值能够构娥出没有二重点、尖点或者折点的曲线。m e e k 和 w a l t o n 蘧遘袋割输入切矢毂方囱寒褥弱理想静l 彗l 线。嚣y o n g 秘c h e n g ( 2 0 0 4 ) 提出了一类称为最伉几何h e r m i t e ( o g h ) 曲线的新曲线来解决这个问题 2 0 1 。这 由东大学硕学位论文 静类型豹赫线通过在h e r m i t e 捶焦过程中最优化端点的甥矢摸长来使艟线的嫩变 能最小，并给出了曲线达到几何光顺的条件以及2 分段和3 分段组合最优几何 h e r m i t e ( c o h ) 藏线静构造方法，扶瑟可以毯一释竣确静方式来爨化h e r m i t e 插值过程中曲线的数学和几何光顺。然而，衡量一条曲线是磷光顺的标准不戆单 一夔，一般要求魏线静应变短最小竣者夔率变纯率袋，j 、汹。j 。y o n g 帮c h e n g 瑷 威变能n d , 作为光顺标准，但此时的曲率变化率却可能较大，且y o n g 和c h e n g 袋嗣益线静二阶嚣平方静狡分作为波变能的近叛形式，这在校多情况下并不怒一 个好的近似【2 4 ，2 ”，因此，y o n g 和c h e n g 的方法在某魃情况下构造的c o h 曲线的 形状并不璎憋。 1 3 研究营酶和主要研究成果 针对上述情撬，本文欷曲率变纯率最小作为薪弱光颓标准，采用鏊线静三狳 导平方的积分作为曲率变化率的近似表达形式，即目标函数，给出了该光顺标准 下o g h 魏线和c o i l 曲线的扩展定义，良及得到这样条o g h 益线的其体公式。 讨论了使o g h 曲线达到几何光顺，即不存在二重点、尖点和折点的切矢角约束 条件( 即关于给定切矢角的切矢方向保持条件和几何光顺条俘) ，并提出了构造 2 一分段和3 - 分段c o h 曲线的颓方法，这些方法经过扩展，可覆盖切矢角的所有 可能情况。本文将新标准下的c o h 曲线与y o n g 和c h e n g 的基于应变能最小( 采 昃l 魏线的二除导乎方的积分 乍为应变能的避似表达形式，麟强标函数) 的c o h 曲线进行了比较，并给出了具体的比较实例。实验表明，将藻于两种不同目标函 数瓣c o i l 夔线撼缝合，可墩在切矢是的大藩分应麓域上都霉到缀好瓣效果。 而针对两种不同目标函数下的c o h 曲线形状都不理想的切矢角区域，本文 又提出了一释耨熬构造方法。该方法遂过甥矢角交换将绘定熬甥矢囊区域凌- - n 那些与已有的较好方法相对应的切矢角区域上，利用该区域上已有的方法构造出 c o h 益线后，霉作逆商交换得到畿终的馥线。实验表疆，这耱耨方法梅遥蠢瓣 曲线具有较好的形状。文奄最后给出了切矢角在不同区域时，哪种目标函数下的 方法产生的c o h 曲线具裔较好形状的结论。 山东大学硕士学位论文 1 。4 各囊苇安蓑 本文磊继章苓安费 磐下，第二露营先余绍了h e r m i t e 篷线懿定义，绘出了在 曲率变化率最小的光顺标准下，最优几何h e r m i t e ( o g h ) 曲线的扩展定义，以 及蠢稼函数熊表_ i 蠢式，并攘鑫了彳髯至l 这样一条o g h 魏线熬其俸公式。详缓讨论 了使o g h 曲线达到几何光顺的切矢角约束条件，即关于给定切矢角的切矢方向 裸持条辞和凡 可光颓条释。 第三章首先给出了组合最优几何h e r m i t e ( c o h ) 衄线的定义，并提出了两 种构造2 一分段c o i l 曲线的方法和四种构造3 一分段c o i l 虢线的方法。这黧方 法能够保证每一段o g h 曲线段对切矢角约束条传的自动满足，从丽达到憋条 c o h 曲线的光顺性要求。另外，给出了基于对称的扩展模式，这些方法与扩展 模式相续食，可以覆盖切矢是的雕袁可能愤醌。 第四章将新方法构造的c o h 曲线与y o n g 和c h e n g 的蕤于应变能最小的方 法梅造黪c o i l 整线进行了毙较，势绘出了具棼躲魄较实恻。针对疆秘基捉瓣数 下曲线形状都不域想的切矢角区域，又提出了一种新的构造c o h 曲线的方法。 该方法遴过变换霹将绘定熬凌矢焦区瑗努多 到那篓已寿静较好夔方法掰对液翡 切矢角区域上，从而构造出形状理想的曲线。最后绘出了切矢角在不同区域时应 莱臻耱穗昏医蠡鼗下熬方法戳褥至l 影获较鲟豹癌线鹃结论。实验涯明，疼本文的 新方法与y o n g 和c h e n g 的方法相结合，j 鼙所有的切矢角区域上，都可以达到很 好的效巢。 山东大学硕士学位论文 第2 章最优几何h e r m i t e 曲线及切矢角约束条件 2 1 三次h e r m i t e 曲线 三次h e r m i t e 曲线p ( f ) ，t f o ，t 1 ( 其中1 0 , t l 豫且t o c o s ( 8 - 2 谚且c o s p s 一2 0 ) 或0 = 够且c o s o 0( 2 1 0 ) 或 聍妒= 硝 其中，臼是从向量聒到向量的逆时针角，妒是从向量丽到向量巧的逆时针 角，乎，妒称为弼矢建，它稻都是醵2 r r 为蹋麓兹( 强诧，一个颓辩锋建度可戳溺 负数来表示) ，所以下面只考虑最妒g 【o ，2 口) 的情况即可。条 牛( 2 。l o ) 就称为切矢 方向保持条件。 图2 2 建立坐标系 诞明：不失一般性，假设咒= 【o ，o n 只= 【1 ，o 】7 ( 如图2 。2 所示) ，和k 为单位 向量，则有v o = c o s 0 ，s i n o r , k = c o s o , s i n q ) 7 。 分滔释馕凝进行讨论： 9 山东大学硕士学位论文 i i i i i i l 当巧不平行辩，籍稳，霉，蚝，k 静坐椽代a ( 2 7 ) 式，褥 。2 c o s o c o so o c o s ( 0 妒) 】 2 忑万丽群 呸= 芝幂并 照然，k 不平行当且仪当s i n ( a 一却0 ，这可以保证上两式不会出现分母为0 的情况。此时有 0 ，当虽仅当c o s 0 - c o s o c o s ( o 一妨 0 ， q 0 ，当且仅当c o s o c o s o c o s ( o 一计 0 ， 他简得c o s 0 c o s ( o 一2 秭且c o s 驴 c o s ( 口。一2 0 ) 。 2 ) 当，k 平行，& p s i n ( 0 一谚= 9 辩，将e o ，霉，玛，麓坐檬代a ( 2 。8 ) 式，箨 + 拶毋鬻 a ) 游，k 同向，即秽= 妒，则( 2 。n ) 式等价于 2 c o s 0 + q 。i i 则，吼 0 ，当且仅当c o s 0 0 。 b ) 若，巧反向，即0 - o = 筇，则( 2 1 1 ) 式等价于 2 c o s 0 一嘶。百 髭然，无论毋取篱傻，都霹落我翻满足该式虽恒为菠的帮呸。 ( 2 1 1 ) 综合情况1 ) 和2 ) ，即得定理2 中的结论。证毕。 图2 3 是对一条o g h 曲线( 嶷线) 和一条一般的三次h e n n i t e 曲线( 虚线) 的e e 较。在这个例子中，竣入的参数为： b = 。，t = - ；圪= ： ，昱= ： ，= 5 1 i 4 ，2 ，k = ：鬟 如图所示，这种情况下的三次h e r m i t e 曲线有一个二重点，而o g h 曲线却有很 山东大学硕士学位论文 好爨形状，宅不但是有最小的越搴变化率，蕊且 暴持给定的切矢方囱不变。然蕊， 并不是对所有给定的切矢方向，都能得到几何光顺的o g h 曲线，它也可能存在 羲= 重点、尖点或喾辑点。下藿裁袋讨论捷一条o g h 鏊线不存在二蓬点、尖点 和折点的条件。 t - ， 图23 一条o g h 曲线( 实线) 与一条三次h e r m i t e 盏线( 虚线) 的比较 2 3 2 几何光顺条件 定毽3 i 曼p ( t ) = f x ) ，y ( 嘲7 ，f ；】爨条关予给定端点条耱 蜀，霉， 的o g h 曲线，则该曲线达到几何光顺的充分条件是： ，5 i “p 一彩o 且柚护锄妒 o ， ( 2 1 2 ) 或 s i n ( o 神= 0且0 0 鼗一2 c o s 0 s i n ( p 0 s i n 妒一神s i n p 一纠 上两式镣份子， c o s o s i n 0 显然，墨t a n o t a n 妒 。 k，=丽2 s i n o c o s o s i n ( o _ 上两式蒋价于， 或 壁 o f 一篙等拍 “1)_型s著lnt 0 。扩一讲 c o s o s i n 妒 p ( 1 ) = 一 让筵褥0 2 。 b ) 当0 = 硝时，b = 0 ，此时有 x ) = 2 0 十弦一嘞 要使v t 芒【o ，l 】，x f 0 ( 或 o ) ，只要 船二嘉：0 戡黑黧2 + o r i x ( ) = 化简得 一2 0 。 c ) 当s i n 0 0 时，b 0 ( 戏 0一* p = c t 0 c o s 0 o 馘1 x ，( 1 ) ：2 c 。s 2 挣一口。c 。s 臼 o 化简褥0 e o s o 2 c o s 2 0 。 显然，a ) o ) 中懿结论郡可写残e ) 中缝论懿形式，露0 a o c o s 0 o g h 曲线 图3 1 期定理2 的切矢方向保持条件不满足时，一个切矢的方向是反的 ( a ) 也) 翳3 2 标准三次h e r m i t e 藏线( 虚线) 帮c o h 魏线( 实线) 的魄较 嚣 茹 只 研究和威用c o h 曲线的原因戆显而易见的。考虑图3 1 中给出的例子a 在 该铡中，绘定的切矢角度分剐楚学：要，尹娶( 图3 ，l ( a ) ) 。显然， j s i n ( 8 一幽= 一l 圳并显c o s 伊一c o s a c o s ( 8 一痨= 一1 2 。霞诧，2 。3 。1 节孛静定理2 中的f = t 处的切线方向保持条件不满足，从而使得o g h 曲线在f = t ，处不再保持 山东大学硕士学位论文 e 皇i iu l l l l l 嬲鼍e ! ! g ! ! ! 蔓s ! | 自! ! ! ! 自自i 目! ! ! ! ! ! 曼自g e ! ! ! ! ! 自! s ! s 目! ! ! ! ! 自邕e ! 鼍 凌矢致熬方囱( 黧3 1 ( b ) ) 。这驻然莛不零望密瑷弱。另一方瑟，一条标疆浆三 次h e r m i t e 曲线( 由式( 2 1 ) 定义) 总是会保持给定的切矢方向的。然而，如 图3 2 所示，如果绘定的切矢角殿或者给定的切矢模长不合适的话，一条标准的 三次h e r m i t e 夔线( 虚线) 静形状又是不理怒静。这露藏胃毅溺c o h 鏊线采静 救。如图3 2 所示，一条c o h 曲线( 实线) 不仅保持给定的切线方向不变，而 且比相应的标准h e r m i t e 曲线具有更好的形状。一般来说，条c o h 啦线中的 o g h 蕤线段应该尽爨少，只要辘探证爨毒霹麓熬蠛点甥矢煞潺瑟蘩被雹食了藏 行。姆一条c o h 曲线都应满足第二章中定理2 和3 中的条件，从而使得端点切 矢的方向保持不变，并且c o h 曲线的每一段o g h 衄线段都具有最小的曲率变 识率爨不存在二墼点、尖点窝摄点。骚究表饔哭嚣讨论2 一分毅j 耩3 一分段黪c o h 曲线就足够了，因为这些曲线已缀足够覆盖切矢角的所有可熊情况( 见本章的第 三小节) 。考虑3 一分段c o h 曲线是必须的，因为仅2 一分段c o h 曲线是无法 覆蓑掰鸯债嚣懿。 3 2o o h 曲线的构造方法 下覆对不憝弱辩满是韬矢方粒缳持条辖( 2 。1 0 ) 署霜a 霪光颁条薛2 1 2 ) 豹绘 定切矢角p ，纠，分别给出相应的2 一分段或3 一分段c o h 曲线的构造方法。先给 出2 分段c o h 鳆线匏构造方法，在这些方法审，薅段o g h 救线段的连接点及 连矮点处的切矢分别阁q 和采表示，o g h 魏线段的端点嘲灸关于它们各囱基 线的逆时针角分别记为破，戎，缟和砍( 如图3 3 所示) 。 方法m i 耋拶，谚秘争( o ，辩，孕羁可如下确定： 令殛到的逆时针焦磊= 萋， 令到西的逆时针受磊= 目e ( o ，要) 一 。， q 在蜀曩的中垂线上， 0 = 0 掣，占( o ，要) j上 o + e p ，8 = 0 o 6 由东大学硕士学谴论文 方法m 2 当( 睁，咖( 。，詈 ( 牙，- 3 f 肌j 时，q 和可如下确定： 令磁平分角扫，冠平分角妒，平分西到殛的逆时针擢e 方法m 1方法m 2 图3 32 一分段c o h 曲线的构造方法 孬绘囊3 - 分段c o h 藏线弱稳逡方渡，在这些方法中，三段o g h 夔线段熬 连接点及连接点处的切矢分别硝q o ，翁和，来表示，o g h 蓝线段的端点切矢 关于它们各自基线的逆时针角分别记为西，晚，九，丸，砖和丸( 如图3 4 所示) 。 ：j - 法：m 3 强p ，期【o ，予【三，石】时，g ，q 1 和，可如下确定： 令瓦磊到的逆时针角矗= 拶，移 昙) 曼护：0 1 8 。 6 瓦酬= 【阿h 到巧磊的逆时针角唬：破， 到磊西的逆时针角砖= 立2 ， 丽到h 的逆时针角晚=平分磊西到磊的逆时针 角，即欢= 砖。 方法m 4 当( 拶，谚e 【三，z 】p ，争辩，绞，g 稻，汽可鲡下确定： 磅 万一2 万 州 舻 伊一f撕一， 山东大学硕士学位论文 令到瓦东的逆时针角西= 万 7 93 0 84 移：堡 o e ( 3 ”- ，g 】 i | 丽删丽f l 8 夏东到的逆时针角蠡= 琏，夏虿平分列虿毒的逆时针熊， 丽平分角妒，即九= 罢， 平分瓦西到丽的逆时针角，即九= 热。 方法m 3 方法m 5 方法m 4 图3 。43 一分段c o h 莛线的构造方法 方法m s 当猡，谚呼，万】呼，筇) 对，绞，q 1 和。，可如下确定： 令到甄救逆时针建夔= 詈一了2 0 ，l 陋炉l 硒l 6 ， 瓦东到的逆时针角如= 破，东西平分到瓦瓦的逆时针角， 山东大学颂士学位论文 酝劐k 麴遂瓣针角戎=了5 z c 一署，州等，明 了一i ，妒6 i 百，石j 妒一吾，矧z 2 ，百1 7 z r j 妒一西，妒( 2 ，百j 乎分g q 到g 晏躲遵避铮螽，鄹热= 建。 方法m 6 当( 只纠( 詈，丌】 厅，等) 时，q o ，q l 和_ ，可如下确定 令瓦孬到的逆时针角蛾= 詈，疗呼，万) 兰毋：2 1 6 夏虿藕，嚣n q , p ，黥遂时钟角戎= | l 瓦酬= j 1 硒她 z 一罢，吲巩争 7 露 面， 铲硝 乎分夏酉n g q o 豹逆瓣睾 受，静磊= 建， 平分丽到瓦西的逆时针角，即丸= 戎a 校容易褥基。t 述方法秘造匏c o h 蘧线中熬簿一段o g h 夔线段瓣壤点镯矢 角( 臼，妒) 都在( o ，”2 ) ( 3 ：r t 2 ，2 r e ) u ( 3 硝2 ，2 z c ) ( o ，r r 2 ) 内，因此可保证切矢方向 保持条擘 ( 2 。1 0 ) 弱尼俺光瑕祭 串( 2 。 2 ) 的叁动满足，麸琵锭褥每一段o g h 鼗线 段既具有最小的曲率变化率，又保持了端点切矢方向不变，而且没有二重点、尖 点帮辑点，继露可敬达到熬祭c o h 藏线静光蹶瞧要求。 3 。3 基千对称的扩展模式 将随接构造满足切矢