（光学专业论文）对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究.pdf

y 7 1 2 2 6 5 一一一一一一卫些些堰型鲤丝 里 枣 统 量 子 信 息 特 性 的 研 究 摘要 内容摘要: 为了 进一步揭示光场与原子相互作用系统的量子特性， 充实传统 量子光学的内容，同时也为了更好地理解和发展量子信息理论， 本文将量子信息 论中的嫡理论、 纠缠理论、 保真度理论运用到光场与原子的相互作用系统， 利用 数值计算、 数学推导与论证、 对比 研究等方法， 分别研究了光场与原子相互作用 系统中场嫡的计算、激发相干态光场与级联三能级原子相互作用的场嫡演化特 性、 有限维混合态光场与二能级原子相互作用系统中的纠缠、 激发相干态与级联 三能级原子的量子信息保真度， 得出了 一些新的结果。 研究发现:当光场与原子 的 相互作用系统处于纯态时， 基于光场密 度矩阵本征值计算的v o n n e u m a n n 墒客 观地量化了光场的量子信息。 对于激发相干态光场与级联三能级原子的相互作用 系统， 除初始时刻外， 其它任何时刻的场墒都是大于零的、振荡的， 场嫡的演化 受光场参数a( 反映平均光子数) 和m( 反映激发次数)的影响，随着a 值或m 值 的增大， 场墒演化的规律性越来越明显， 振荡演化曲线展现出受载波调制的现象， 载波的周期随m( 或a )的增大而增大，并且场嫡的变化更敏感于a 值的变化。 通过研究有限维混合态光场与二能级原子相互作用系统中的纠缠， 发现形成 纠缠理论与p e r e s 判据有着良 好的对应， 同时看到偏离纯态很小的混合态， 其最 大纠缠度急剧减小; 找到了有限维混合态j - c 模型在演化过程中出现消纠缠的必 要条件，论证了在无限维情况总存在纠缠的结论。 通过对激发相干态与级联三能级原子相互作用系统量子信息保真度的 研究， 发现: 光场参数和失谐量对量子信息保真度的平均值影响甚微，系统的量子信息 保真度不仅最小， 而且呈现了对原子和光场量子信息保真度的综合: 具有相干性 的光场量子信息保真度在整个系统中起调制作用; 平均光子数、 激发次数和失谐 量对量子信息保真度时间演化中的频率有明显的影响。 关键词: 光场与原子的相互作用，嫡，混合态纠缠， 保真度，量子信息，激发相干态，二项式态。 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 ab s tract c o n t e n t : f o r b e tt e r d i s c l o s i n g t h e q u a n t u m p r o p e rt ie s i n t h e s y s t e m o f a t o m i n t e r a c t i n g w i t h f i e l d , s t r e n g t h e n i n g t h e c o n t e n t o f t h e t r a d i t i o n a l q u a n t u m o p t i c s , a n d b e tt e r u n d e r s t a n d i n g a n d d e v e l o p i n g t h e q u a n t u m i n f o r m a t i o n t h e o ry it s e l f , t h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e e n t r o p y t h e o ry , t h e e n t a n g l e m e n t t h e o ry , a n d t h e fi d e l i t y t h e o ry o f t h e q u a n t u m i n f o r m a t i o n t h e o ry t o t h e s y s t e m o f a t o m i n t e r a c t i n g w i t h f i e l d , t a k i n g a d v a n t a g e o f c o m p u t a t i o n , d a t a p r o c e s s in g , d e m o n s t r a t i o n , a n d c o m p a r i s o n e t c . f i r s t , t h e c o m p u t a t i o n o # e n t r o p y i n t h e s y s t e m o f a t o m i n t e r a c t i n g w i t h fi e l d i s i n v e s t i g a t e d . i f t h e s t a t e i n t h e s y s t e m o f a t o m in t e r a c t i n g w i t h fi e l d i s p u re , t h e v o n n e u m a n n e n t r o p y o f t h e f i e l d b a s e d o n t h e t r a i t v a l u e s o f t h e f i e l d s d e n s i t y m a t r i x q u a n t i f i e s t h e f i e l d s q u a n t u m i n f o r m a t i o n t r u l y . s e c o n d , t h e fi e l d e n t r o p y p r o p e rt y i n t h e s y s t e m o f t h e c a s c a d e t h r e e - l e v e l a t o m i n t e r a c t in g w i t h t h e e x i t e d c o h e r e n t s t a t e i s d i s c u s s e d . t h e f i e l d e n t r o p y i s o s c i l l a t o r y a n d m o r e t h a n z e r o a t a n y t im e s e x c e p t f o r t h e s t a rt m o m e n t . p a r a m e t e r s“a n d m h a v e e ff e c t s o n t h e f i e l d e n t r o p y . w i t h t h e i n c r e a s i n g o f a o r m， t h e r e g u l a r p a tt e rn o f t h e f i e l d e n t r o p y e v o l u t i o n i s m o r e o b v i o u s , a n d t h e f i e ld e n t r o p y c u r v e i s r e g u l a t e d b y t h e c a r r i e r w a v e w h o s e p e r i o d t u rns t o b e lo n g e r w it h t h e i n c r e a s i n g o f a o r m . t h e f i e l d e n t r o p y i s m o r e s u s c e p t i b le t o c h a n g e s i n a t h a n i n m. t h i r d , t h e e n t a n g l e m e n t i n t h e s y s t e m o f t h e t w o - l e v e l a t o m i n t e r a c t i n g w i t h t h e f i n i t e d i m e n s i o n m i x e d - f i e l d i s s t u d ie d . t h e e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n a n d t h e p e r e s c o n d i t i o n h a v e g o o d c o r r e s p o n d e n c e , a n d i f t h e m i x e d - s t a t e d e v i a t e s t h e s i m i l a r p u r e s t a t e s l i g h t l y , i t s m a x i m u m e n t a n g l e m e n t d r o p s s u d d e n l y . t h e c o n c l u s i o n o f t h e e n t a n g l e m e n t o f t h e i n f in i t e d i m e n s i o n m i x e d - s t a t e i n j - c m o d e l n e v e r l o s i n g i s d e m o n s t r a t e d b e s i d e s f i n d i n g t h e n e c e s s a ry c o n d i t i o n o f d i s e n t a n g l e m e n t o f t h e f i n i t e d i me n s i o n mi x e d - s t a t e i n j - c mo d e l f o u r t h , t h e fi d e l i t y o f q u a n t u m i n f o r m a t i o n f o r t h e c a s c a d e t h r e e - l e v e l a t o m i n t e r a c t in g w i t h t h e e x c i t e d c o h e r e n t s t a t e i s d i s c u s s e d . f i e l d p a r a m e t e r s a n d d e t u n in g p a r a m e t e r s h a v e n e g l i g i b l e e ff e c t s o n t h e a v e r a g e v a l u e s o f t h e q u a n t u m i n f o r m a t i o n f i d e l i ty , a n d t h e s y s t e m fi d e l i t y n o t o n l y i s m i n i m u m b u t a l s o p r e s e n t s i t s c o m p r e h e n s i o n t o t h e fi d e l i t y o f f i e ld a n d a t o m . t h e c o h e r e n t f i d e l i ty o f f i e l d i s re g u l a t i v e i n t h e w h o l e s y s t e m w h il e a v e r a g e p h o t o n u m b e r s , e x c i t e d t i m e s a n d d e t u n i n g p a r a m e t e r s h a v e o b v i o u s e ff e c t s o n t h e fr e q u e n c y o f fi d e l i ty e v o l u t i o n . k e y w o r d s : in t e r a c t i o n b e t w e e n a t o m a n d f i e l d , e n t r o p y , m i x e d - s t a t e e n t a n g l e m e n t , f i d e l i ty , q u a n t u m i n f o r m a t i o n , e x c i t e d - c o h e r e n t s t a t e s , b i n o mi a l s t a t e . 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 第一章引言 量子信息论的研究对象是用量子力学系统能够完成的信息处理任务，它的基 本概念是从量子力学、计算机科学、信息论和密码学中发展起来的。 量子力学是一个数学框架或一套构造物理学理论的规则，尽管这些规则很简 单，但即使是专家有时也会感到违反直观。量子信息论的先驱长期存在着使量子 力学更好地被理解的愿望。量子信息论的目 标之一就是增进人们对量子力学直观 上的把握， 使它的预言让人更明白。 2 0 世纪8 0 年代， 人们提出了能否通过量子效 应进行超光速信号传递的问 题，解决这一问题的关键在于能否克隆未知量子态， 后来导致了 未知量子态不可克隆定理的发现。未知量子态不可克隆定理是量子信 息论的早期成果之一。从2 0 世纪7 0 年代起， 对单量子系统的控制在实验上有了 发展， 如有了扫描隧道显微镜等设备。这些新技术刺激了量子信息论的发展，因 为控制单量子系统对于把强大的量子力学工具运用到量子信息研究起根本作用。 到目 前为止，建造量子信息处理系统的 努力取得了 初步成功， 但是欲获得解决实 际问 题的大规模量子信息处理的技术，将是人们未来面临的巨大挑战。 计算机出现以 后，它的硬件能力以mo o re律成长 ( 固定速率成长，大约每两 年增加一倍) ， 然而，当电子器件越做越小的时候， 它的功能开始受到量子效应的 干扰。 m o o r e律最终失效问 题的一 个可能解决办法是采用不同的计算模式， 量子 计算理论就是这类模式的一种。 经典信息论的思想对量子信息论的发展做出了重大贡献。在经典信息论中， s h a n n o n 的无噪音信道编码定理， 定量给出了 用于存储从信源发出的信息所需要的 物理资源; s h a n n o n 的带噪音信道编码定理， 定量给出了 有嗓音的信道能可靠传送 信息的量。 为在有噪音的情况下传送信息， s h a n n o n 证明纠错码可用来保护要发送 的 信息。 在量子信息论中， 1 9 9 5 年b e n s c h u m a c h e r 证明了与s h a n n o n 无噪音编码 定理类似的结果，并定义了“ 量子比 特” 作为切实的物理资源，但还没有针对量 子信息的对应于 s h a n n o n带噪音信道编码定理的结果。 有关研究表明，量子纠错 码可以 使量子计算机在出现噪音的情形下进行有效计算，也允许在带噪音的量子 信道上进行可靠通信。 2 0 世纪6 0 年代后期s t e p h e n w i e s n e r 首次提出量子密码的概念。1 9 8 4 年， c h a r l e s b e n n e t t 和g i l l s b r a s s a r d 在w i e s n e r 早期工作的基础上， 提出t 利用量子力学在a l i c e 和 b o b 之间分配密钥而不可能被威胁的协议。 从那时 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 起，出现了无数的量子密码协议，并有了实验原型。目前，对量子密码的研 究是一个热门问题。 作为一门正在发展中的科学，对量子信息论的内容进行部类细分还没 有一个统一的标准。 按照文献 i 的 观点， 可将量子信息论分为量子计算、 量 子通信和量子信息基础理论三大部分。 量子通信12 1 既包括人们所熟知的量子 隐形传态、 密集编码和量子密码学， 也包括刚刚兴起但却有巨大潜力的量子 通信复杂度和远程量子通信等领域。 量子计算3 1 的主要优势体现在它的快速 并行计算能力， 要制造一台可以运行的量子计算机， 必须解决以下几个问题: 纠缠态的利用、量子数据的产生和量子算法的完成。量子信息基础理论 i 包括噪音与量子操作、保真度、量子纠错和信息嫡等方面的内容。 从历史上看，热力学和统计力学首先运用了墒的概念，但是，作为现 代信息理论的基础， 对嫡的研究开始于s h a n n o n 一篇关于信息论的优秀论文 4 1 ，文献 i 对s h a n n o n 嫡的特点做了总结。与经典信息论主要运用 s h a n n o n 嫡不同的 是， 量子信息论中 用得更多的是v o n n e u m a n n 嫡( 5 .6 1 。自p h o e n i x 和k n i g h t 证明了 量子系统的部分嫡 ( 某个子系统的 嫡) 可以 方便地测量量 子 态纯度17 1 以 来， 人们把嫡理论应用于量子光学之中， 对各种模型的 嫡进行 t 大 量 的 研 究 ， 如j a y n e s - c u m m i n g s 模 型 0 l , t a v i s - c u m m i n g s 模 型 1 1 、 相 位 损耗腔中 大失 谐近似下j a y n e s - c u m m i n g s 模型 1 2 1 、 位相损耗腔中 简并 双 光子拉曼祸合 j a y n e s - c u m m i n g s 模型 1 3 1 、幅度损耗腔中大失谐近似下 j a y n e s - c u m m i n g s 模 型 1 4 等。 人 们 之 所以 倾 注 这 么 大的 热 情去 研究 光 场 与 原 子相互作用系统的嫡， 是因为这种嫡具有多方面的意义， 比如场嫡， 它不仅 度量了光场的纯度， 还度量了光场与原子的关联程度 ( 含经典关联和量子关 联) 、光场的不确定程度和光场的信息量。对光场与原子相互作用系统嫡的 研究，取得了许多有意义的结果。 1 9 3 5 年， e i n s t e i n , p o d o l s k y 和r o s e n 提出7 著名的e p r 佯谬 1 5 1 。 针对 这一令人惊异的现象，薛定谬指出， 描述e p r粒子对的态是一种 “ 纠缠态” ( e n t a n g l e d s t a t e ) ，其中存在纠缠现象( e n t a n g l e m e n t ) . 8 4年代，人们提出了 量子计算机的 理论模型 1 6 1 ， 这以 后， 随着量子计算和量子通讯的理论和实 验研究的迅速发展 1 7 1量子纠缠态充当了 量子信息过程基本资源的角色。 量子态的 远程传输 1 8 - t 9 量子密钥分配2 0 1量子纠错2 1 1 等用的 最基本资 源 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 就是量子纠缠态。 纠缠态存在于多粒子系统中， 它描述了子系统间不可分离 的 特性。 对纠缠程度的定量描述用纠缠度来定义2 2 1 。目 前，对两子系复 合 系统中纯量子态的纠缠定量化工作已经完成。对于一个两子系的纯量子态， 它的纠缠度等于任一子系统的约化密度矩阵的v o n n e u m a n n 墒2 3 1 。但是， 对于多子系复合系统中的纯态以及混合态纠缠度的定义， 到目前为止还没有 得到很好的解决。 保真度是表示信息在传输过程中保持原来状态的程度. 它是量子信息论 中的又一个重要概念， 广泛应用于量子通信和量子计算的理论研究中， 如纯 态编码中的保真度2 a -2 6 1 量子系统的初态和终态是混合态情况下保真度的 性 质2 7 1 、 量子信息和量子隐 形传态理论中的 保真度2 8 .3 0 1等。 本文以光场与原子的相互作用系统为模型， 在第三章专门讨论了量子信 息论中具有重要地位的v o n n e u m a n n嫡的计算，研究了墒的演化特性，在 第四章研究了混合态的纠缠， 在第五章研究了量子信息保真度， 得到了一些 新的结果。 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 第二章基础理论 原子与辐射场相互作用的效应是当代量子光学研究的中心内容。 在原子 与辐射场相互作用系统中， 原子和辐射场都具有量子特性， 但这在经典物理 范畴内是不能体现出来的， 半经典理论也有其不能解释的问题， 例如自发辐 射、 激光的光子统计等。 为了更好地揭示原子与辐射场相互作用系统的量子 特性，本章首先运用全量子理论，从原子与光场相互作用的h a m i l t o n i a n出 发，经过量子化过程引出h a m i l t o n i a n 算符。随着量子信息理论的发展，提 供了一系列新的方法来研究原子与辐射场相互作用系统的量子特性， 如嫡理 论、 纠缠理论和保真度理论等等。 鉴于此， 本章还简要介绍了嫡理论、 纠缠 理论和保真度理论。 事实上， 量子光学和量子信息相互促进、 共同发展己经 成为一种趋势。 2 . 1 辐射场的量子化 经典物理中，自由空间电磁场的运动规律由下列麦克斯韦方程组决定: v . h = a d at ( 2 . 1 . 1 a ) v x e = _ 丝 at ( 2 . 1 . 1 b ) v b=o v d = o ( 2 . 1 . 1 c ) ( 2 . 1 . 1 a ) 后 与1-i .6与e 的关系由下列方程决定 b= ah d= e , e ( 2 . 1 . 2 ) ( 2 . 1 . 3 ) 其中巧 e 。 = c 2 , f o e o =c 为真空中的 光速。 从麦克斯韦方程组和后 与fl , d 与e 的 关系式， 可得到电 场满足的 波动方程 一 ， 二 1 a 2 e _ v一 r ; -， 一 ， - = u c a t 0 ( 2 . 1 . 4 ) 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 第二章基础理论 原子与辐射场相互作用的效应是当代量子光学研究的中心内容。 在原子 与辐射场相互作用系统中， 原子和辐射场都具有量子特性， 但这在经典物理 范畴内是不能体现出来的， 半经典理论也有其不能解释的问题， 例如自发辐 射、 激光的光子统计等。 为了更好地揭示原子与辐射场相互作用系统的量子 特性，本章首先运用全量子理论，从原子与光场相互作用的h a m i l t o n i a n出 发，经过量子化过程引出h a m i l t o n i a n 算符。随着量子信息理论的发展，提 供了一系列新的方法来研究原子与辐射场相互作用系统的量子特性， 如嫡理 论、 纠缠理论和保真度理论等等。 鉴于此， 本章还简要介绍了嫡理论、 纠缠 理论和保真度理论。 事实上， 量子光学和量子信息相互促进、 共同发展己经 成为一种趋势。 2 . 1 辐射场的量子化 经典物理中，自由空间电磁场的运动规律由下列麦克斯韦方程组决定: v . h = a d at ( 2 . 1 . 1 a ) v x e = _ 丝 at ( 2 . 1 . 1 b ) v b=o v d = o ( 2 . 1 . 1 c ) ( 2 . 1 . 1 a ) 后 与1-i .6与e 的关系由下列方程决定 b= ah d= e , e ( 2 . 1 . 2 ) ( 2 . 1 . 3 ) 其中巧 e 。 = c 2 , f o e o =c 为真空中的 光速。 从麦克斯韦方程组和后 与fl , d 与e 的 关系式， 可得到电 场满足的 波动方程 一 ， 二 1 a 2 e _ v一 r ; -， 一 ， - = u c a t 0 ( 2 . 1 . 4 ) 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 考虑腔场沿z 方向传播，电场沿x 方向极化，得到电场的简正模展开式: e , ( z , t ) = 艺凡 q j ( t ) s in ( 气 z )( 2 . 1 . 5 ) 其中q ， 表 示振幅，气= j ,r / l ( j = 1 , 2 , 3 ， 二 ) ，l 为 腔长， ( 2 v ? m、 ， a , =1 一i l v e o) ( 2 . 1 . 6 ) v , = j 7r c / l 为 腔的 本 征 频 率， v 为 腔的 体 积， m i 的 引 入 是为了 与 谐 振 子 作 类 比，相当于谐振子质量的常数。 利用麦克斯韦方程组和( 2 . 1 . 5 ) 式，得到磁场的表达式: ( 2 . 1 . 7 ) z 气 8 、十.声声 丘气 气一次 了了十几、 凡 艺j - z h 考虑计算电磁场能量的表达式: 工 d r ( e a e x 十 、 明 ( 2 . 1 . 8 ) 将( 2 . 1 . 5 ) , ( 2 . 1 . 7 ) 代入( 2 . 1 . 8 ) 式， 得到电磁场的经典哈密顿量: = 粤 艺 = 合 艺 二 、 、 + l m l ( 2 . 1 . 9 ) 引 入 正 则 坐 标q j 和 正 则 动 量p ; ， 它 们 满 足 如 下 对 易 关 系 : 。 ， ，巧 一 h c5 l q j q ; 一 二 ，p ; 一 ” ( 2 . 1 . 1 0 a ) ( 2 . 1 . 1 0 b ) 用 正 则 坐 标q ; 和正 则 动 量p i 来 表 示 场的 产 生 算 符可和 湮 灭 算符a j ， 得到: 1 ( m w jq, + ip,2m fta v, 12m i h vf m lvigi一 妈 ) ( 2 . 1 . 1 1 a ) ( 2 . 1 . 1 1 b ) ae岭 将( 2 . 1 . 1 1 ) 代入( 2 . 1 . 9 ) ，得到量子化的自由电磁场的哈密顿算符: h = h 艺v i( 2 . 1 . 1 2 ) 1才 1一2 十 马 可 厂.!、 一一一一 n 鱼 赶m r 些 a fa -q x 子 信 息 特 性 的 研 究 其中a . ,可满足如下 对易 关 系: : ，可 一 cs . l a i , a j 一 a , , . . 一 。 ( 2 . 1 . 1 3 ) ( 2 . 1 . 1 4 ) 将 ( 2 . 1 . 5 ) 式 和 ( 2 . 1 .7 ) 式 用 场的 产 生 算 符可 和 湮 灭 算 符o f 表 示 后， 电 磁 场 便 量 子化了: e , (z , t) = e s j ( a e 一玛 + a ,+ e ) s in (k ,z ) ( 2 . 1 . 1 5 ) h , (z , t ) = - ie oc y - j ( a y e 一 a , e rv ,) c o s (k ; z ) ( 2 . 1 . 1 6 ) 廿 ( h v , 丫 ， 升丫6 i _ ， : : l e o v 1 2 . 2 光场与原子相互作用的哈密顿量 自由电磁场量子化后，电场分量可表示成为: e ( r , t ) = 艺 ek s k a k e y . ik .f + h .c .( 2 . 2 . 1 ) k 表 示 波 矢 ， 几 表 示 电 场 的 单 位 极 化 矢 ， a k 表 示 光 场 的 湮 灭 算 符 ， v k 表 示 光 场 的 频 率 ，h . c . 表 示 厄 米 共 扼， s k = ( h v k / 2 e o v ) u z o 自由电磁场量子化后，它的哈密顿算符可写为: h f = 艺h v k ( a k a k + 2 ) ( 2 .2 .2 ) 辐射场与一个单电子原子相互作用的哈密顿量，在偶极近似下可写为: h = h a + h f - e f .e ( 2 .2 .3 ) 其中 h * 表 示 原 子 的 哈 密 顿 量， h f 表 示 辐 射 场的 哈 密 顿 量，- e r 滋 表示 相互 作用部分的哈密顿量。 考 虑原 子 算符ir n : - 1 = in a( 2 .2 .4 ) 一一一一 n 鱼 赶m r 些 a fa -q x 子 信 息 特 性 的 研 究 其中a . ,可满足如下 对易 关 系: : ，可 一 cs . l a i , a j 一 a , , . . 一 。 ( 2 . 1 . 1 3 ) ( 2 . 1 . 1 4 ) 将 ( 2 . 1 . 5 ) 式 和 ( 2 . 1 .7 ) 式 用 场的 产 生 算 符可 和 湮 灭 算 符o f 表 示 后， 电 磁 场 便 量 子化了: e , (z , t) = e s j ( a e 一玛 + a ,+ e ) s in (k ,z ) ( 2 . 1 . 1 5 ) h , (z , t ) = - ie oc y - j ( a y e 一 a , e rv ,) c o s (k ; z ) ( 2 . 1 . 1 6 ) 廿 ( h v , 丫 ， 升丫6 i _ ， : : l e o v 1 2 . 2 光场与原子相互作用的哈密顿量 自由电磁场量子化后，电场分量可表示成为: e ( r , t ) = 艺 ek s k a k e y . ik .f + h .c .( 2 . 2 . 1 ) k 表 示 波 矢 ， 几 表 示 电 场 的 单 位 极 化 矢 ， a k 表 示 光 场 的 湮 灭 算 符 ， v k 表 示 光 场 的 频 率 ，h . c . 表 示 厄 米 共 扼， s k = ( h v k / 2 e o v ) u z o 自由电磁场量子化后，它的哈密顿算符可写为: h f = 艺h v k ( a k a k + 2 ) ( 2 .2 .2 ) 辐射场与一个单电子原子相互作用的哈密顿量，在偶极近似下可写为: h = h a + h f - e f .e ( 2 .2 .3 ) 其中 h * 表 示 原 子 的 哈 密 顿 量， h f 表 示 辐 射 场的 哈 密 顿 量，- e r 滋 表示 相互 作用部分的哈密顿量。 考 虑原 子 算符ir n : - 1 = in a( 2 .2 .4 ) 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 可用原子算符将原子的哈密顿量表示成为: h = ee 1=) ( l 1 = y e ,q b( 2 . 2 . 5 ) 其 中 e , 为 对 应 于 原 子 的 本 征 态 ii) 的 本 征 能 量 ， ( i i) ) 构 成 原 子 的 一 组 正 交 完 备 基。 = e e in oimj i = es y - 1 ( 2 . 2 . 6 ) 其 中 9 1 = e ( i lr 在偶极近似下 i j ) e= 令( 2 . 2 . 1 ) 式中的r = 0 和t = 0 得: 艺a , s , ( a , + a ,+ ) . 2 . 2 ) ,2 . 5 ) , ( 2 . 2 . 6 ) , ( 2 .2 . 7 ) 代入( 2 . 2 .3 ) 得: = 艺 h v k a k a k + 艺 e ,o ,， 十 h 艺艺衅 v , ( a . + a k ) ( 2 . 2 . 7 ) ( 2 . 2 . 8 ) (2.h i j k 9 k = _ 9 a l / 九 ( 2 .2 . 9 ) (2中 将其 式 中 忽 略 了 零 点 能 ， 为 了 简 化， 假 定11 4 恒 为 实 数。 对于二能级原子， 有s b = 气，因 而: 9 k = g ka b - g bak( 2 . 2 . 1 0 ) 得到二能级原子与多模光场相互作用的哈密顿算符为: h = 艺 h v k a k a k + ( e 6 - + e b a bb ) + h 艺9 k ( q ab + a bu ) ( a . + a k ) 引 入 符 号 : v , = a ) ( a 一 b ) ( b l ( 2 . 2 . 1 1 ) ( 2 .2 . 1 2 ) - + = la ) ( b l 。 一 lb ) ( . i ( 2 .2 . 1 3 ) ( 2 . 2 . 1 4 ) ( 2 . 2 . 川式可以重新写为: h 二 艺 h v k a k a k 十 i h m o , + h y- 9 k ( 0 -+ 十 二 ) ( a , + a k ) 其 中 。 为 二 能 级 原 子 的 跃 迁 频 率 ， 。 一 户“ 、 ， 。 一 ( 0 ) ， 。 二 户” 戈 1 0 ) 戈 0 0 )“ 戈 0 - 1 ( 2 . 2 . i s ) ) ， ， 。 ， 一一二型鲤剑塑wl e 哩型鳗圣 m e 性 的 研 究 在旋波近似下，( 2 .2 . 1 5 ) 式化为: ” = y h v ka k a kk+ 告 h w a , + b y g . (, +a kk十 q -q , ) 对于单模光场与二能级原子相互作用的j - c模型，由( 2 . 2 密顿算符为: h = ta v a a + 告 h w a , + 枯( 6 , a + a a ) 将( 2 . 2 . 1 8 ) 式写为: h= h o + h i 其中， h o = h v a a + 令 fi w u , h , = 秘( 氏a + a a ) 在相互作用绘景中，j - c模型的哈密顿算符由下式给出: h i = e 7h a tl h h i e - 1h o tl8 利 用恒等 式: e b e 一 0 = b + a a , b + 餐 a , a , b 卜一 容易得到: e w tr a t a e rw a r = a e e /0 12 氏 e - ,= 氏 e 0 综合 ( 2 .2 . 1 9 ) - ( 2 .2 .2 1 ) , ( 2 .2 .2 2 ) , ( 2 .2 .2 4 ) 和( 2 .2 .2 5 ) 有: h , = 棺低a e a l + a 6 e ) 其中，a = w - v o ( 2 . 2 . 1 7 ) 1 7 ) 式得到它的哈 ( 2 . 2 . 1 8 ) ( 2 .2 . 1 9 ) ( 2 . 2 . 2 0 ) ( 2 . 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 . 2 2 ) ( 2 .2 .2 3 ) ( 2 . 2 .2 4 ) ( 2 .2 .2 5 ) ( 2 . 2 . 2 6 ) 2 . 3 嫡理论 在热力学和统计力学中， 嫡是一个用来描述系统秩序的物理量， 它的大 小度量了一个系统的不确定程度， 这是对嫡最原始的理解。 然而， 在信息理 论中， 嫡通常被用来度量一个信息源的信息量。 经典信息论中s h a n n o n 嫡是 一个关于概率分布的函数，它被定义为: h ( x ) 一艺p l o g p ,( 2 .3 . 1 ) 只 表示事件x 发生的 概率， 对数以2 为底。 一一二型鲤剑塑wl e 哩型鳗圣 m e 性 的 研 究 在旋波近似下，( 2 .2 . 1 5 ) 式化为: ” = y h v ka k a kk+ 告 h w a , + b y g . (, +a kk十 q -q , ) 对于单模光场与二能级原子相互作用的j - c模型，由( 2 . 2 密顿算符为: h = ta v a a + 告 h w a , + 枯( 6 , a + a a ) 将( 2 . 2 . 1 8 ) 式写为: h= h o + h i 其中， h o = h v a a + 令 fi w u , h , = 秘( 氏a + a a ) 在相互作用绘景中，j - c模型的哈密顿算符由下式给出: h i = e 7h a tl h h i e - 1h o tl8 利 用恒等 式: e b e 一 0 = b + a a , b + 餐 a , a , b 卜一 容易得到: e w tr a t a e rw a r = a e e /0 12 氏 e - ,= 氏 e 0 综合 ( 2 .2 . 1 9 ) - ( 2 .2 .2 1 ) , ( 2 .2 .2 2 ) , ( 2 .2 .2 4 ) 和( 2 .2 .2 5 ) 有: h , = 棺低a e a l + a 6 e ) 其中，a = w - v o ( 2 . 2 . 1 7 ) 1 7 ) 式得到它的哈 ( 2 . 2 . 1 8 ) ( 2 .2 . 1 9 ) ( 2 . 2 . 2 0 ) ( 2 . 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 . 2 2 ) ( 2 .2 .2 3 ) ( 2 . 2 .2 4 ) ( 2 .2 .2 5 ) ( 2 . 2 . 2 6 ) 2 . 3 嫡理论 在热力学和统计力学中， 嫡是一个用来描述系统秩序的物理量， 它的大 小度量了一个系统的不确定程度， 这是对嫡最原始的理解。 然而， 在信息理 论中， 嫡通常被用来度量一个信息源的信息量。 经典信息论中s h a n n o n 嫡是 一个关于概率分布的函数，它被定义为: h ( x ) 一艺p l o g p ,( 2 .3 . 1 ) 只 表示事件x 发生的 概率， 对数以2 为底。 对光场与原子相互作用系统量子信息特性的研究 在信息理论中， 对于信息的处理一般要经过如下环节: 信息源发出信息 分储存信息源发出的信息分还原信息源发出的信息。最少需要多少资源才 能够储存信息源发出的信息呢?在经典信息论中，s h a n n o n的回答是 s h a n n o n 嫡。设事件 1 ( 0 表示)的概率为 1 / 2 ，事件 2 ( 1 0 表示)的概率为 1 / 4 ，事件 3 ( 1 1 0 表示)的概率为 1 / 8 ，事件4 ( 1 1 1 表示)的概率为 1 / 8 , 则储存这些信息所需要的平均比特带长为: l = 生 x 1 + 生 x 2 + 生 x 3 + 生 x 3 = ( 2 . 3 . 2 ) 7-4 2 4 8 8 s h a n n o n嫡: 1 ，1 1 ，1 i ，1 i ，1 7 n 1 a ) =- -l o g - -l o g -一 二 log 二 - 二 ldg -二 二 “斗q西西6石4 ( 2 . 3 . 3 ) s h a n n o n 嫡的值恰好等于储存这些信息所需要的平均比特带长。 从这个简单 的例子可以初步看出 s h a n n o n嫡很好地量化了经典信息源的信息.文献i l l 对s h a n n o n 嫡理论作了详细说明。 量子态的密度矩阵相当于经典信息的概率分布。 量子系统的信息量， 一 般用v o n n e u m a n n 嫡度量。若某个量子态的密度矩阵为p，则这个量子态 的v o n n e u ma n n 嫡被定义为: s ( p ) = - t r ( p lo g p ) = - 2 : , lo g a ( 2 . 3 . 4 ) 其中凡 为p 的 本征值。 如果p 描述纯态， 则它的本征值为1 ， 有s = 0 ; 如果p 描述混合态， 则 s # 0 。 因 此， v o n n e u m a n n 嫡也可以 用来度量量子态的纯度。 文献1 1 1 有关于 v o n n e u m a n n 嫡的详细理论。 在光场与原子的相互作用系统中， 设光场、 原子和系统的v o n n e u m a n n 嫡 分 别 为 s f . s o 和 s ， 依 据 文 献 7 1 ， 有 如 下 不 等 式 : is , - s o i5 s 5 s f 十 s a ( 2 .3 .5 ) 从 上 式 可以 看出 : s # s f + s o 可以 成 立。 当 光 场 一 原 子 全 系 统处 于 纯 态 时 ， s = o , 但s f ( 或s a ) 2 : 0 ， 此时 s f = s , ， 光 场 与 原 子 子 系 统的 嫡 相 等。 这 个结果并不与嫡的可加性矛盾， 因为在求光场与原子子系统的约化密度矩阵 时， 忽略了光场与原子的相互关联效应， 丢失了包含在关联中的信息。 而嫡 正好能够量度这种信息的丢失程度， 可以定义一个反映光场与原子关联信息 一一一一一一一卫鲤燮遇 f 鲤业塑 ?a; 信 息 特 性 的 研 究 量 的 指 标 3 11 . a s , 二 s f t s a 一 s ( 2 . 3 . 6 ) 根据z u r e k 等人的研究3 2 1 ，线性嫡被定义为: l ( p ) = 1 一 t r p 2( 2 .3 .7 ) 根据密 度算符的 性质， 当 系统处于纯态时， 满足关系尸= p , t r 尸= t r p = 1 , 从式( 2 .3 .7 ) 可以 看出，有l ( p ) = 0 ;当 系统处于统计混合态时，p 虽然还是 厄 米算符， 但尸gy p , t r 声s t r p = 1 ， 此时有。 _ l ( p ) 5 1 。 因此线性嫡能很 好地用来测量量子态的纯度，对线性嫡的讨论有利于各量子态纯度的分析。 夸 2 . 4