（计算机系统结构专业论文）基于小波变换的指纹图像处理研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 对低质量指纹图像进行高效的增强处理，以保证指纹细节特征的准确提取与比 对，是指纹识别技术中很重要的一个方面。近几年随着指纹技术的发展，大量的指纹 档案以图像文件的形式存放在计算机中，如何有效地对指纹图像进行压缩编码也成为 指纹处理研究的热点。虽然很多学者对指纹图像进行了大量的研究，但由于指纹的应 用比较复杂，而且实际应用中处理指纹图像时要兼顾计算复杂性和准确性，这些问题 一直没有圆满的解决方案。本文把小波变换应用于指纹图像的处理中，把小波变换的 优点与指纹图像的特点相结合，实现指纹图像的增强处理和压缩编码，取得了较好的 效果。 图像经过小波变换后，分成多个高频子图像和一个低频子图像，其小波系数记录 了图像在不同尺度上的细小差别。小波变换处理的关键问题包括小波基的选择，滤波 器长度的选择以及分解层数的确定。本文针对指纹图像的压缩与增强应用，对这些问 题分别进行了讨论。 图像小波系数的分布具有一定特性，利用这些特性可阻进行图像压缩和增强处 理。在分解的不同层次，噪声与图像细节的小波系数分布特点不同，据此设计图像增 强中的去噪算法：根据指纹脊线分布的特点，进一步作局部方向补偿，取得了较好的 增强效果。对于指纹图像的压缩，针对小波变换后小波系数的分布特点，对小波系数 进行量化，结合哈夫曼编码实现压缩目的。 关键词：图像处理，小波变换，指纹增强，指纹压缩编码 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i no r d e rt oe x t r a c ta n dm a t c hm i n u t i a ea c c u r a t e l yi naf i n g e r p r i n ti d e n t i f i c a t i o n s y s t e m ，a ne f f e c t i v e e n h a n c e m e n tm e t h o dt od e s t r u c t e df i n g e r p r i n t i m a g e s i s e x t r e m e l ye s s e n t i a l w i t ht h ed e v e l o p m e n t i nf i n g e r p r i n tt e c h n o l o g yt h e s ey e a r s ，a g r e a tn u m b e r o ff i n g e r p r i n ti m a g e sr e s i d ei nc o m p u t e r ss oi ti s b e c o m i n gan o v e l a s p e c tt oc o m p r e s st h e s ei m a g e s m a n ys c h o l a r sh a v ed o n eal o to fr e s e a r c ho n t h e s es u b j e c t s h o w e v e r ，t h e r ea r en o p e r f e c t s o l u t i o n ss of a r ，d u et ot h e c o m p l e x i t yo ff i n g e r p r i n ta p p l i c a t i o n s a n o t h e rr e a s o nf o rt h es i t u a t i o ni st h a tb o t h c o m p u t a t i o nc o m p l e x i t ya n dp r e c i s i o nh a v et ob ec o n s i d e r e dd u r i n gt h ef i n g e r p r i n t p r o c e s s i n g i n t h i st h e s i s w a v e l e tf r a n s f o r mi s a p p l i e d t o f i n g e r p r i n ti m a g e p r o c e s s i n g t h r o u g hw a v e l e t t r a n s f o r n l w ee n h a n c e da n dc o m p r e s s e d f i n g e r p r i n t i m a g e s i nt h e f r e q u e n c yf i e l d ，a n da c h i e v ep r e f e r a b l er e s u l t s a f t e rw a v e l e tt r a n s f o r m a n i m a g e i sd i v i d e di n t os e v e r a l h i g hf r e q u e n c y s u b i m a g e sa n dal o wf r e q u e n c ys u b i m a g e t h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s o ft h e s e i m a g e si n d i c a t ef i n ed i f f e r e n c e sb e t w e e nd i f f e r e n tl e v e l s o fr e s o l u t i o n t h e r ea r e s e v e r a lc r i t i c a l p r o b l e m sw i t h w a v e l e tt r a n s f o r m ：h o wt os e l e c ta na p p r o p r i a t e w a v e l e tf u n c t i o na n dt oc h o o s et h en u m b e ro ff i l t e r st op e r f o r mt h ew a v e l e t t r a n s f o r m ，a n dt h el e v e l so fa n a l y s i sa r ea l s ot ob ec o n s i d e r e d t h e s ep r o b l e m s w e r ed i s c u s s e di nt h ee n h a n c e m e n tr e s e a r c ha n d c o m p r e s s i o ns t r a t e g y o f f i n g e r p r i n ti m a g er e s p e c t i v e l yi nt h et h e s i s t h ed i s t r i b u t i o no fw a v e l e tc o e f f i c i e n t sh a sc e r t a i nc h a r a c t e r i s t i c s w e c o m p r e s s e da n dd e n o i s e df i n g e r p r i n ti m a g e sw i t ht h e s ec h a r a c t e r i s t i c s ：n o i s e s a n dt h ed e t a i l so fa n i m a g eh a v ed i s s i m i l a r d i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c su n d e r m u l t i r e s o l u t i o n ，s ot h i sc h a r a c t e r i s t i c sc a nb eu s e dt od e s i g nd e n o i s i n ga l g o r i t h m o fi m a g ee n h a n c e m e n tb a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i co ff i n g e r p r i n tr i d g es t r u c t u r e ， w ed i df u r t h e rl o c a ld i r e c t i o n a lc o m p e n s a t i o nt ot h ed e n o i s e di m a g e s ，a n dg o t g o o dr e s u l t s a sf o ri m a g ec o m p r e s s i o n b a s e d o nt h ec h a r a c t e r i s t i co fw a v e l e t 1 1 华中科技大学硕士学位论文 c o e f f i c i e n t s ，w ea p p l i e ds p e c i a lq u a n t i f i c a t i o ns t r a t e g y ，w h i c hc o m b i n e dw i t ht h e f o l l o w i n gh u f f m a nc o d i n g t oc o m p l e t et h ef i n a lc o m p r e s s i o n k e yw o r d s ：f i n g e r p r i n ti m a g e p r o c e s s i n g w a v e l e tl r a n s f o r m f i n g e r p r i n t e n h a n c e m e n t ，f i n g e r p r i n tc o m p r e s s i o n 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中已明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：耋l 盘臻 日期：2 0 0 牛年 月坦日 学位论文版面使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被奄阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适应本授权书。 本论文属于 不保密回。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：刘璐 日期：2 。c ) 串年岁月f 2 日 指导教师龆 0 冻 日期：q 年兮月卜日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 研究工作的背景及现状 1 1 1 指纹处理急待解决的问题 1 引言 指纹识别是一种生物( b i o m e t r i c ) 识别技术。所谓生物识别技术，是指依靠人体 的身体特征来进行身份验证的技术。通过取代个人识别码和口令，生物识别技术可以 阻止非授权的访问，可以防止盗用a t m 、蜂窝电话、智能卡、桌面p c 、工作站及计算 机网络；在通过电话、网络进行金融交易时进行身份认证；在建筑物或工作场所，生 物识别技术可以取代钥匙、证件、图章和卡阅读器。目前的生物识别技术主要有指纹 识别、虹膜识别、面部识别、声音识别等，其中指纹识别技术更是生物识别技术的热 点。 随着数字图像处理技术和模式识别的产生和发展，在上世纪七十年代人们开始将 数字图像处理和模式识别技术应用于指纹识别上，高效的指纹自动鉴别方法一直是研 究的核心所在，而近几年来由于计算机科学得到迅猛发展，大量的指纹档案以指纹图 像文件的形式存放在计算机中。如何对指纹图像进行有效压缩、预处理以及分类识别 成为指纹处理的焦点问题。虽然很多学者对指纹图像进行了大量的研究，但由于图像 处理的复杂性，到现在离问题的最终解决尚有一定距离。 随著指纹技术的发展，大容量的指纹数据库中，指纹图像需要压缩之后以较小的 存储空间来保存；如果指纹用于远程身份认证( 如电子商务、网上银行等) ，则需要 通过网络传输指纹图像，如果能在发送端将指纹图像压缩，在接收端进行解压缩，就 可以减少网络传输的数据量。于是指纹压缩的课题提到日程上来，这是目前的一个研 究热点。 指纹识别技术极为关键的部分是指纹细节特征的提取与指纹匹配技术。指纹匹配 算法的性能主要取决于所提取到的特征点数目、位置和相互关系的可靠性。由于指纹 采集仪的性能不高或者其他外界因素，在实际应用中，有相当一大部分要处理的指纹 图像质量比较差。要想使设计的细节特征提取及匹配算法对低质量指纹图像也能可靠 华中科技大学硕士学位论文 地工作，必须首先经过一个高效的增强处理，以提高指纹图像的质量。但从现有的文 献【1 - 5 1 和产品来看，对低质量指纹图像的处理效果还不能令人满意。 指纹处理的计算复杂性也是一个问题。指纹主要用于身份识别，实际应用要求自 动指纹识别系统能对识别任务实时做出响应，然而，让指纹处理算法同时达到高速度 和高准确度却是一个难题。 1 1 2 指纹压缩与增强处理 指纹具有唯一性、稳定性、可再生性的特点。按照现代科学界的结论，人类人口 按6 0 亿计，则需3 0 0 年才可能出现重复的指纹，概率几乎为零；其次，一个人在母 腹7 个月时指纹就已定型，随着年龄的变化，人的相貌体格都在变化，而指纹却保持 不变；另外，只要不伤及真皮组织，指纹即使被磨掉，也会很快长出来。基于以上特 点，指纹在越来越多的领域，如社会安全、办公安全、资讯安全、金融安全、家庭安 全、个人安全等方面得到广泛的应用。 由于指纹图像的信息量大且有很大冗余，需要对指纹图像进行特征提取，用特征 来表示一幅指纹图像。指纹识别算法的实质是在指纹图像上查找并比对指纹的特征， 指纹识别算法中用于匹配的指纹模板，其中保存的数据就是从指纹提取出的特征数 据，即节点的各种信息( 方向、曲率和位置等) ，或者是由节点的各种信息组合产生 更多的数据。 指纹信息的基本处理流程如下：采集指纹图像、图像增强，前处理，细节特征提 取，最后进行指纹比对，做出判断。 f 采集指纹图像f 图像增强f - + f 前处理卜f 提取特征f f 指纹比对f r。_-。p。_。一_。_-_-。一 图1 1 指纹处理流程 从图1 1 可以看到，在对指纹图像前处理之前要先进行图像增强处理。 理想情况下，指纹图像有着良好的结构，可以很容易地从细化图中检测到纹线， 特征点也可以精确地定位。但由于目前指纹仪的采集质量受手指状态的影响较大，手 指被弄脏，比较干燥、湿润，或者手指受伤等都会导致采集的指纹图像质量比较低。 据统计，获取的指纹图像中有大约百分之十质量很差。由于低质量指纹图像的脊线结 华中科技大学硕士学位论文 构不清晰，因此特征不容易被准确地提取出来，这会导致一些问题，如伪特征点大量 出现，真特征点被漏掉，且极有可能在特征点的定位、位置和方向计算中引入了较大 偏差。因此，在提取特征点之前需要先对指纹图像进行增强处理，提高图像的质量， 以便准确提取到特征点信息。 指纹增强算法可以基于二值图像进行操作，也可以基于灰度图像进行操作。 由于指纹的脊线与谷线相互平行、交替出现，因此在理论上可以使用一些简单的 经验方法，对二值图像进行纹线增强。然而，对原始灰度图像进行二值化分割的同时， 往往会丢失大量有用的纹线结构信息。因此，基于二值图像的指纹增强有其固有的局 限性，专业的指纹增强算法都是基于原始灰度图像进行的。 一个好的增强算法可以去除或抑制图像中的噪音，强化图像中有意义的信号部 分，从而提高细节特征提取的准确性，进一步提升整个系统的性能。 对指纹图像进行压缩是近几年提出来的研究方向。其原因在于指纹的应用范围比 较广，指纹数据库里需要保存大量的指纹图片，如果不加以压缩，这些图片所占的存 储资源相当惊人。例如，美国联邦调查局从2 0 世纪2 0 年代起开始收集指纹图片，到 9 0 年代已经收集了近3 0 0 ，0 0 0 ，0 0 0 张图片，且指纹图片以每天3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 的速率 继续增长。如果指纹图像不加以压缩，每张图片近似按5 0 0 k b y t e s 的大小计算，至少 需要几百t b 的存储空间! 另外，为了在利用互联网进行异地指纹识别时减少数据传输量，在传输之前对指 纹图像进行压缩也是必要的。 指纹压缩编码算法的难点在于，提高压缩比的同时要最大化地保留指纹的特征 点。这是因为指纹图像的特征点中包含有待识别指纹图像与指纹库中的指纹图像进行 匹配时所必需的、最重要的特征信息，如果压缩算法改变或遗失了这些信息，自动指 纹识别系统将无法进行正确的指纹匹配过程。 1 1 3 国内外研究现状 1 8 6 4 年，英国植物形态学家n e t h e m i a hg r e w 发表了一篇论文，论述了他对指纹 的脊、沟、孔结构的系统研究，这被认为是最早的关于指纹的科学论文。1 9 7 3 年， m e l e c t i o n 等人研制了基于现代计算机技术的自动指纹识别系统。他们提出对指纹 华中科技大学硕士学位论文 图像进行量化、增强、编码、分类、搜索、匹配、检验等处理步骤，并指出可以将方 向性作为指纹识别的特征。此后一段时期内的研究主要集中于指纹图像模式识别的特 征提取上。虽然这一段时期的研究也取得不少成果，但他们提出的指纹识别方法大都 对图像的质量要求很高，并没有涉及到指纹图像质量的增强处理；由于当时并没有大 规模的指纹应用，因此指纹图像的压缩存储更无从谈起。 到上世纪八十年代中期后，对指纹图像的研究进入了一个高潮。这一时期的学者 己经开展了改善指纹图像质量的研究6 射，提出对低质量指纹图像的处理措施。与此 同时，数字图像处理技术迅猛发展，并取得很多重要研究成果。这时，指纹图像的处 理也开始引入数字图像处理技术。文献 9 ，1 0 ，1 l ，1 2 将傅立叶变换、g a b o r 变换 引入指纹图像处理，把指纹图像变换到频域，在频域里进行增强以及前处理。如在文 献 1 1 中a j w i l l i s 等人提出的低质量指纹增强算法，将图像分成3 2 x3 2 的小块， 然后再作傅立叶滤波从而使指纹图像得到增强；s h e r l o c k 沿1 6 个方向对原图做快速 f o u r i e r 变换 9 】，经过一个低通的方向滤波器后，再进行逆变换，完成图像的增强： l i nh o n g 等人将g a b o r 滤波器用于指纹图像增强【1 2 1 ，利用6 a b o r 滤波器具有最佳时 域和频域连接分辨率的特点和其良好的带通性，对低质量指纹图像用g a b o r 滤波并结 合脊线方向和频率信息进行去噪处理。 随着小波变换在近几年的广泛应用，又给指纹图像处理提供了新的研究方法。一 些研究者将小波变换引入指纹图像的增强处理以及压缩编码，取得了较好的成果 盼1 7 1 。f b i ( f e d e r a lb u r e a uo fi n v e s t i g a t i o n ，联邦调查局) 提出的 w s q ( w a v e l e t s c a l a rq u a n t i z a t i o n ) 指纹压缩标准取得了良好效果，并被广泛接受 【1 4 】。文献 1 3 对小波变换后的系数的量化策略进行了深入研究，文献 1 6 提出的小波 域内增强指纹图像的策略具有较大的影响。 在国内，对指纹图像进行增强与压缩编码的研究始于上世纪9 0 年代。文献 1 8 提出采用基于局部图像的梯度估计算法提取图像的纹理方向特征参数，用m o r l e t 小 波对指纹图像进行自适应滤波，以此来增强图像的质量。文献 1 9 提出加权中值滤波 算法，运用指纹方向图和模糊理论思想来构造滤波模板。文献 2 0 根据指纹纹理频率 参数的变化动态来调整方向滤波模板的大小，对指纹图像进行增强处理。文献 2 1 使用加博函数实现对指纹图像的增强处理。文献 2 2 ，2 3 ，2 4 对基于小波变换的指纹 4 华中科技大学硕士学位论文 图像的压缩编码进行研究。在文献 2 2 中，提出一种基于对称小波变换的高效模糊指 纹图像压缩方法：文献 2 3 对f b i 的w s q 算法做了改进；文献 2 4 根据识别特征对指 纹图像特征点对应的小波系数进行自适应量化，改进了零树小波压缩算法。文献 2 5 提出的方向增强、预处理方法具有一定实用价值。 1 2 主要内容及章节安排 本课题的主要研究内容是，在研究、分析现有的指纹图像压缩编码及指纹图像增 强处理算法基础上，将小波变换应用于指纹图像的处理，把小波变换的优点与指纹图 像自身具有的特点相结合，实现指纹的压缩编码，对低质量指纹进行增强处理研究。 在进行指纹处理之前，首先要获得指纹图像。本课题没有采用实时采集的指纹， 而是选用2 0 0 2 年由国际模式识别协会i a p r ( i n t e r n a t i o n a la s s o c i a t i o no fp a t t e r n r e c o g n i t i o n ) 举办的指纹认证竞赛上给出的f v c ( f i n g e r p r i n tv e r i f i c a t i o n c o m p e t i t i o n ) 2 0 0 2 指纹数据库。该数据库共提供了4 组由不同指纹识别输入设备摄 取的指纹图像，每组包括1 0 个指纹的8 幅不同质量的图像，共4 x l o x 8 = 3 2 0 图像。图 】2 是其中的d b 2 ( d a t a b a s e2 ) 中的部分图例。d b 2 中的指纹用光学指纹采集仪获得， 每幅为5 6 9 d p i ，2 9 6 5 6 0 大小的图像。 图1 2f v c 中质量不同的指纹图 章节安排如下： 第二章对图像处理中用到的m a l l a t 算法进行分析，并基于m a l l a t 算法实现指纹 图像的小波分解与重建。 第三章、第四章将分别就指纹图像的压缩编码和增强处理进行研究，根据图像变 换后的小波系数分布特点，进行相应的处理。每一章中将针对不同的处理目的，具体 华中科技大学硕士学位论文 讨论小波基函数的选取及最佳分解层数。 第五章将对全文所做的工作进行总结，并结合自己的实践中遇到的问题，对进一 步的研究提出建议。 华中科技大学硕士学位论文 2 指纹图像的离散小波分解 2 1 小波变换特点分析 小波的发展可以追溯n - - - 十世纪初。1 9 1 0 年h a a r 提出了小波规范正交基，这是 最早提出的小波基。1 9 8 2 年，法国地质物理学家m o r l e t 基于群论提出了小波分析这 一概念；1 9 8 5 年1 9 8 7 年间，m e y o r 和d a u b e c h i e s 对连续小波理论做了进一步研究 和推广 2 6 , 2 7 ，从尺度函数出发来构造小波基函数；1 9 8 8 年，m a l l a t 将计算机视觉领 域内的多尺度分析思想引入n d , 波分析当中，提出多分辨分析的概念，用多分辨分析 来定义小波，并将d a u b e c h i e s 推导出的紧支集正交小波基离散滤波器和金字塔算法 相结合，提出了m a l l a t 算法 2 8 , 2 9 】。此后很多学者就小波变换在图像处理方面的应用 进行了研究 3 0 , 3 1 】。m a l l a t 算法是小波分解的快速算法，在小波分析中的作用和地位 相当于傅立叶分析中的快速傅立叶变换，为小波分析的广泛应用做了极大贡献。 小波变换在图像处理方面的应用很广，包括图像增强、图像融合、图像编码及图 像恢复等。 2 1 i 小波变换的引入 小波变换的基本思想是用一族函数去表示( 或逼近) 一个信号或函数。这一族函 数称为小波函数集，是由一个基本小波函数在不同尺度上进行平移和伸缩构成的。小 波函数集的特点是其时宽频宽乘积都很小，而且在时间和频率轴上都很集中。 基本小波的定义可以简单描述为：若函数y ( f ) 的傅立叶变换9 ( o j ) 满足条件 门y ) 1 2 i e oi 一1 d o ) + m ，则( r ) 为一基本小波( 或小波母函数) 。 将基本小波y ( f ) 伸缩和平移，就可以得到一个小波函数集 虬“。2 南叭t - _ 口a ) ，“6 为实数，山o ( 2 d 变量d 称为尺度因子，其作用是将基本小波妒( f ) 作伸缩，当口增大时小波变宽， 矗减小，小波变窄；而6 是它沿r 轴的平移位置。小波随a 和b 的变换而平移与伸缩的 华中科技大学硕士学位论文 示意如图2 1 所示。 图21 小波的平移与伸缩 设f ( t ) r ( 一m ，+ 。) ，f ( t ) 以小波y ( f ) 为基的连续小波变换为 啊，驴( 嘶萨击胁m 半) 出 连续小波逆变换为 儿) = 专r e ( 啪耽“r 肺亨 其中， c ，= d v ( ) m l 一1 d c o 。 设f 洄) 为f ( t ) 的傅立叶变换，可以证明，式( 2 2 ) 在频域上可等效表示为 哆( 啪) 一等p ( 嘶( 训衍 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 对式( 2 4 ) 加以分析，有如下结论： ( 1 ) 如果v 洄) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换可以表征待分析信 号f ( c 0 1 频域上的局部性质。 ( 2 ) 采用不同的口值，各( a 0 9 ) 的中心频率和带宽都不一样，但品质因数( = 中 心频率带宽) 不变。 为了便于计算机实现，对小波进行二进制离散。选择= 2 ，= 1 ，式( 2 1 ) 就 成为二进离散小波 华中科技大学硕士学位论文 2 1 2 与傅立叶变换的性能比较 在传统的信号处理中，傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 占有举足轻重的地位， 特别是在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅立叶变换对信号局部性质的分析有些力 不从心，小波变换则不然。 1 传统傅立叶变换 傅立叶变换定义了“频率”的概念，可以分析信号能量在各个频率成分中的分布 情况。 设信号f ( t ) 为在( 一0 0 + 。) 内绝对可积的连续函数，f ( t ) 的傅立叶变换为 f ( c o ) = r 。，( f ) p 一，2 “d t ( 2 6 ) f ( o j ) 的傅立叶逆变换为 ，( f ) = r f ( ) p ，2 “d c o ( 2 7 ) 式( 2 6 ) ，( 2 7 ) 形成傅立叶变换对，对信号f ( t ) 加以分解和综合。 在实际问题中，一个信号的频率与它的周期长度成正比，因此，研究高频信息的 局部性质时，希望时间间隔要相对的小( 窗口较小) 以得到比较好的精度；研究低频 信息的局部性质时，时间间隔要相对的宽以给出完全的信息亦即需要一个灵活可 变的时间一频率窗，使其在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动 变宽。 对傅立叶变换加以分析，它无法实现这一需要： ( 1 ) 为了从模拟信号f ( t ) 中提取频谱信息f ( c o ) ，要取无限的时间量，使用过去 的和将来的信号信息只为计算单个频率的频谱； ( 2 ) 无法根据频率确定时间间隔，使得在任意希望的频率范围上产生频谱信息。 因此，傅立叶变换只能反映信号的整体特征，无法对信号作局部分析。 2 窗口傅立叶变换( g a b o r 变换) 为了弥补傅立叶变换的不足，1 9 4 6 年g a b o r 引入窗口傅立叶变换( w i n d o w e d 华中科技大学硕士学位论文 f o u r i e rt r a n s f o r m ) 的概念。 窗口傅立叶变换的基本思想是，对信号厂( r ) 先施加一个滑动窗o f ) 后再作傅 立叶变换，即 w r ( 出，f ) = i 厂( f ) 出( f f ) e 1 “出( 2 8 ) 这种变换通过加窗( 窗口位置随f 而变) 使得傅立叶变换的结果中保留了原始研 究对象的时( 空) 域局部化信息，相对于传统傅立叶变换有了很大进步。 但是，g a b o r 变换窗口的形状和大小保持不变，与频率无关。无论( r ) 是什么样 的窗函数，时宽与频宽的宽度之积不小于1 万。所以，当确定某一个窗函数之后，若 其频宽对应于某一频段，其时宽不能太窄。要提高局部的可观察性，则需要加大窗口， 这将导致计算量增大，以至无法具体实现。因此窗口傅立叶变换也不能很好适应信号 短时高频和长时低频的变化。 3 小波变换与窗口傅立叶变换比较 下面从尺度( 频率) 改变时二者在时一频域上的变化，以及其基本分析单元的变 化来分析二者的差异。 对窗口傅立叶变换，令g ( t ) = o f ) p 一”d t ，g ) 为其频域表示。图2 2 ( a ) 显 示当。变为2 时，g ( t ) 与g ) 分别在时域与频域上的变化。从时域上看，埘取不 同值时g ( t ) 的包络不变，只是包络下的波频率改变；在频域上来看，当国。变为2 时， g 佃) 的中心频率变为2 ，但带宽仍保持不变。图2 2 ( b ) 显示小波变换的尺度因子 a 从l 变为2 时，时域与频域上的变化。当a 从1 变到2 时，时域上y ( ，) 变为￥( t 2 ) ， 时域频域 ( a ) 窗口傅立叶变换频率变化的影响 华中科技大学硕士学位论文 爪叭扪 。： 公。 2 时域 频域 ( b ) 小波变换尺度变化的影响 图2 2 时一频域变化比较 频率为原来的2 倍；在频域上其中心频率由。变为印。2 ，且带宽减小。 窗口傅立叶变换基本分析单元的特点如图2 3 ( a ) 所示，在时一频平面的不同位 置处其分析单元的形状保持不变。小波变换在时一频平面上的分析特点如图2 3 ( b ) 所示。当a 值小时，小波的持续时间( 也即分析时段) 短，时轴上观察范围小，而在 频域上相当于用较高频率作分辨率较赢的分析，即用高频小波作细致的观察。当a 值较大时，时轴上考察范围大，在频域上相当于用低频小波作概貌观察。 因此，小波变换与加窗傅立叶变换不同之处在于，其分辨率随着标尺因子a 的变 化而变化，当a 较小时，频率分辨性能较差，而时域分辨率较好；当a 增加时，频率 分辨性能提高，而对时域分辨率则减小。小波分辨率的这种变化规律使它具有良好的 出 2 砜 函d 峨 2 ( a ) 窗口傅立叶变换的基本分析单元( b ) 小波变换的基本分析单元 图2 3 基本分析单元比较 华中科技大学硕士学位论文 局部性。 2 1 i3 二维小波变换 图像处理中用到的是二维小波变换，定义如下： 若f ( x ) 是一个二维函数，则它的连续小波变换是 州a , b ，, b y ) = 吉e e m 川l ；f ，( 半，学脚 ( 29 ) 其中，b ：和6 。表示在两个维度上的平移。 二维连续小波逆变换为： ，( 墨力= 专f ”e e 吩( a , c c ) ( x - 。c 一，y - _ b y ) 啦如，亨 ( 2 - 1 。) 其中， 午嘉嘶叩： 2 2i d a | ia t 算法分析 ( 2 1 1 ) m a l l a t 算法把多分辨率的概念、滤波器族、金字塔编码策略相结合，是对数字 信号进行小波分析的基础。m a l f a t 算法睇8 】的基本思想是：假定已经计算出一个函 数或信号厂( f ) 在分辨率2 下的离散逼近4 ，厂( f ) ，则可以通过离散低通滤波器对 爿，厂( f ) 滤波获得厂( r ) 在分辨率2 川下的离散逼近4 ，+ l 厂( f ) 。 2 2 1 一维m a l l a t 算法 把平方可积的函数，( ) l 2 ( r ) 看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是 用某一低通平滑函数( ) 对，( f ) 作平滑的结果，只是逐级逼近时平滑函数( r ) 也作逐 级伸缩，也即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数厂( r ) 这正式多分辨率分析的概 念。 令疵( f ) 和蚧( r ) 分别为函数厂( r ) 在2 。分辨率逼近下的尺度函数和小波函数，由于 ，( r ) 为空间中的正交归一基，故_ 中的任意函数爿，厂( r ) 可以表示为掰( r ) ，k z 的 华中科技大学硕士学位论文 线性组合。 设爿，厂( f ) 为厂( r ) 在中的平滑逼近，则一，厂( f ) 可表示为 爿，巾) = c 踟”( r ) ( 2 1 2 ) 其中，系数c = 是厂( r ) 在分辨率2 7 下的离散逼近。 同理，其细节函数d 。厂( f ) 可以表示为 d ，巾) = ( r ) ( 2 - 1 3 ) 系数d = 是分辨率2 下的离散细节。 根据多分辨率函数空间的分解思想，a j 厂( f ) 分解为爿川厂( f ) 与d j + t 厂( f ) 之和： a j 们) = 爿川巾) + d 川厂( r ) ( 2 1 5 ) 其中， a j + i 厂( f ) = c 。( f ) 于是，有 d 川儿) = d ”，。( f ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 艺c 。( f ) + 础“扎。( r ) c 脚”( ) ( 2 - 1 8 ) 一 一 “一一 可以证明c 2 m 与c y ，d g 均与c ，的关系如式( 2 1 9 ) ( 2 2 1 ) 所示： c = h ( k - 2 m ) c ； d ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 2 聊) c + 言( 一2 m ) d 2 “1 ( 2 2 1 ) 引入无穷矩阵日= 陋蛳 ：。和g = g 附e 卢一。，其中以，一= ( 女一2 m ) g m = g ( k 一2 m ) ，则式( 2 1 9 ) ( 2 2 1 ) 记为： 1 3 华中科技大学硕士学位论文 睡箸 川上z ， ( 2 2 2 ) c ，= h + c ，+ l + g d ，“j = l ，一1 ，l 0 ( 2 2 3 ) + 和g + 分别为日和g 的共轭转置矩阵。 式( 2 1 8 ) 是一维m a l l a t 的分解算法，式( 2 1 9 ) 是一维m a l l a t 的重构算法。一维 信号的分解和重建过程示意如图2 4 所示。 2 2 2 二维m a l l a t 算法 ( a ) 分解过程 g + d j 二一c ， 日 。 ( b ) 重建过程图 图24 一维m a l l a t 分解示意图 设待分析的二维信号为f ( x ，y ) 。与一维逼近信号的分解类似，二维逼近信号 以f ( x ，y ) 可分解为 爿，f = c j + ，+ 彰+ ，厂+ ，厂+ 矿i 。f ( 2 2 4 ) 式中， 并且有 4 川厂= c 川( m ，n ) 川( 删，n ) ( 2 2 8 ) d j + ，f = d ：+ 。( 册，n ) ：+ 。( 聊，”) i = l ，2 ，3 ( 2 2 6 ) c j + i ( ， ) = h ( k 一2 m ) h ( 1 2 n ) c 肚，f ) ( 2 2 7 ) = - q f 如 白 么日 一 么日 屯 e 么珂 矗 c z 日 岛 叩 h 如q 。 西q 掣 1 ) ， ( x ，y ) 都以完全相同的方式分解而构成四个在尺度2 ”1 上的更小的图像。变换过程可以执行到第j 层，对于像素的图像来说，整数 i ， h m ( 3 3 ) 叶 式中日。为由设计者选定的闽值。 结合实验中采用的量化策略，对各个层次下图像的压缩性能进行比较，分解到5 层就可以达到较好效果。 3 2 3 小波系数的特点分析 1 频率特点分析 指纹图像的小波变换将指纹频谱按倍频程分割，使季导原始图像分成在一系列频带 上的多个高频带子图像和一个低频带子图像。其中h l j 频带是通过先将上级低频图像 华中科技大学硕士学位论文 数据在水平方向( 行方向) 高通滤波后，再经竖直方向( 列方向) 低通滤波而得到的， 因此肌，频带中包括了更多的水平方向的高频信息。相应地，在工h ，频带中则主要是 原图像竖直方向的高频成分，而删，频带是图像中的对角方向高频信息的体现，尤 其以4 5 度角和1 3 5 度角的高频信息为主。从图像小波变换的实现过程可知，图像数 据的每一级小波分解总是将上一级的低频数据划分为更精细的频带。 小波系数是稀疏的，大的小波系数集中落在小波支撑的边缘地方，平坦的地方系 数较小。而且高分辨率子图像上大部分点的数值都接近于0 ，越是高分辨率越是明显， 对这些点的数据进行压缩比较容易。表3 2 是对一幅指纹图像进行小波分解后小波系 数的统计分析。 表3 2 指纹图像小波系数分析 】 h l 3l h 3 h h 3h