（计算机软件与理论专业论文）基于ct数据的冠脉提取和细化方法的研究和实现.pdf

、 ，o 一，ji at h e s i si nc o m p u t e rs o f t w a r ea n dt h e o r y r e s e a r c ho na n d i m p l e m e n t a t i o no f t h ea l g o r i t h mo f c t - b a s e dc a r d i a cc o r o n a r ya r t e r ys e g m e n t a t i o n b yz h a oh o n g w c i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rk a n gy a n n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 舢29 肿1m 24舢8 舢1肌y 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 丘 思。 学位论文作者签名：态宕专 日期：泖g 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口 学位论文作者签名：f 起诧诰 签字日期：侧6 如 跫娟廿 知1 五 1 摘要 冠状动脉血管提取、血管中心线提取以及血管狭窄度测量是医学图像处理与分析中 的研究热点。本文结合尺度空间理论，研究了基于c t 数据的冠状动脉计算机辅助诊断 ( c a d ) 定量分析方法。 在尺度空间中，以微分几何理论为基础，建立管状结构的相似性函数，综合各个尺 度下的响应值信息，提取管状结构，实现自动提取冠状动脉种子点算法。该算法对于高 质量的c t 图像，提取的种子点的准确率在9 0 以上。采用基于形状的区域生长方法分 割冠脉血管，抑制血管边缘模糊处发生的泄漏。该算法能够有效地提高心脏c a d 软件 的自动化程度，实现一键式血管提取。该算法已成功应用到东软心脏c a d 软件中。 骨架线在医学图像分析中得到越来越多的应用。细化是在保持图像形态特征的同时 生成一条物体骨架线的过程，是医学图像分析中的一个重要步骤。研究并实现一种三维 平行细化算法，通过迭代从物体外层逐层擦除六类简化点最终得到物体的中轴线，然后 对细化曲线进行后处理，提取冠脉树的根节点。最后使用体模对算法进行了验证和评估。 关键词：尺度空间；管状结构；血管提取；骨架线；心脏c a d i 卜 ；，0；j ， s e d t h ee x t r a c t i o no fc o r o n a r ya r t e r ya n dv e s s e lc e n t e r l i n ea n dt h em e a s u r e m e n to fv e s s e l s t e n o s i sa r et h ef o c u s e si nt h ef i e l do fm e d i c a li m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y i s a c c o r d i n gt ot h e s c a l e s p a c et h e o r y , aq a u n t i a t i v ea n a l y s i sm e t h o do fc o r o n a r ya r t e r yc o m p u t e ra i d e d d i a g n o s i s ( c a d ) b a s e do nc td a t a s e ti sp r o p o s e d i ns c a l es p a c e ，t h em e m b e rf u n c t i o no ft u b u l a rs t r u c t u r ei sc o n s t r u c t e dc o n s i d o r i n gt h e r e s p o n s e si nd i f f e r e n ts c a l e so nt h eb a s eo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r yo f t u b u l a rs t r u c t u r et o e x t r a c tt h es e e dp o i n t si nc o r o n a r ya r t e r ya u t o m a t i c a l l y t h ea l g o r i t h mo fe x t r a c t i n gs e e d p o i n t sa u t o m a t i c a l l y h a v ei m p l e m e n t e do nc a r d i a cc a ds o f t w a r ep l a t f o r m f o rt h e h i g h - q u a l i t yc ti m a g e s ，t h ea c c u r a c yr a t eo fs e e dp o i n te x t r a c t i o ni sa b o v e9 0 b yt h ew a y o fas h a p eb a s e dr e g i o ng r o w i n ga l g o r i t h m ，t h el e a k a g e sw h o r et h ei m a g ei n f o r m a t i o n a m b i g u o u si sr e s t r a i n e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h mc a ni m p r o v et h ea u t o m a t i o no f c a r d i a cc a ds y s t e mb yo n e - c l i c kv e s s e le x t r a c t i o n t h ea l g o r i t h mh a sb e e ns u c c e s s f u l l y a p p l i e di nc o r o n a r ya r t e r i e sa n a l y s i so f n e n s o f lc a r d i a cc a d s k e l e t o ni sf r e q u e n t l ya p p l i e di nm e d i c a li m a g ea n a l y s i s t h i n n i n gi sap r o c e s sw h i c h p r o d u c e st h es k e l e t o no fa no b j e c tw h i l ei t st o p o l o g i c a ls t r u c t u r ei sp r e s e r v e d ；i ti s t h e i m p o r t a n ts t e po fm e d i c a li m a g ea n a l y s i s a3 dt h i n n i n ga l g o r i t h me x t r a c t i n gm e d i a ll i n e so f o b j e c t sw a sd e s c r i b e d ，w h i c hr e m o v es i xk i n d so fs i m p l ep o i n t sl a y e rb yl a y e rf r o mt h e o u t m o s tl a y e rb yi t e r a t i o nu n t i lo n l yam e d i a la x i sl i n er e m a i n s t h e nt h er e s u l t e dc e n t r a lp a t h w a ss m o o t h e d ，p r o v i d i n gar o o to fe v e r yt r e e a tl a s tt h et h i n n i n gr e s u l th a db e e nv a l i d a t e d a n de v a l u a t e db yp h a n t o m s k e y w o r d s ：s c a l es p a c e ；t u b u l a rs t r u c t u r e s ；v e s s e le x t r a c t i o n ；s k e l e t o n ；c a r d i o c a d i i i 、l。v一 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论一1 1 1 研究背景及意义1 1 2 国内外研究的进展情况2 1 3 面临的困难和应对策略3 1 4 论文研究结果和内容安排3 第2 章基本原理5 2 1 直方图一5 2 2 尺度理论6 2 2 1 尺度6 2 2 2 高斯尺度空间7 2 3 三维图像的几何属性9 2 3 1 曲率9 2 3 2h e s s i a n 矩阵1 3 2 4 形态学知识1 4 2 4 1 集合概念1 4 2 4 2 二值形态学16 2 5 小结j 18 第3 章冠状动脉的提取1 9 3 1 引言19 3 2 血管增强1 9 3 2 1t o p - h a t 算子19 3 2 2 血管相似函数2 2 3 3 冠状动脉自动提取算法2 5 一i v 东北大学硕士学位论文目录 3 3 1 常用血管分割方法2 5 3 3 2 冠脉种子点自动提取算法2 6 3 3 3 基于形状的区域生长一3 l 3 3 4 评估与验证3 1 3 4 血管狭窄度的量化3 8 3 5 小结4 0 第4 章血管中心路径的提取4 1 4 1 引言4 l 4 2 三维细化算法4 3 4 3 冠脉根节点提取算法4 6 4 4 评估和验证5 0 4 5 j 、结5 4 第5 章本文算法在心脏g a d 上的实现5 5 5 1 引言5 5 5 2 算法的实现5 5 5 2 1 数据的导入5 6 5 2 2 冠脉的自动提取5 7 5 2 3 冠脉的中心路径提取。5 8 5 2 4 基于分割结果和中心线的应用5 8 5 3 ，j 、结6 0 第6 章总结和展望6 1 6 1 总结6l 6 2 展望6 1 参考文献6 3 致谢6 7 一弘一 h，pt， ， 勺 第1 章绪论 1 1 研究背景及意义 在人类跨入2 1 世纪，心血管疾病给全球带来新的严峻挑战。2 0 0 2 年世界卫生报告 公布，世界卫生组织与世界各地专家合作收集并分析了当今世界对人类健康造成威胁的 重大疾病，其中心血管疾病的死亡率最高，全球每年因心血管病死亡约1 7 0 0 万人。因此， 心血管疾病已成为全球性的重大公共卫生问题。 我国心血管病的发病率和死亡率己超过许多发达国家。随着我国经济水平的发展、 人民生活水平的提高、饮食结构的改变及人口迅速老龄化，心血管病的发病率和死亡率 呈上升趋势，是全球上升较快的国家。心血管病己成为我国一个重要的公共卫生问题， 如果没有一个有效的国家预防策略和干预措施，在不久的将来，心血管病在中国很可能 出现更大的流行。 冠状动脉( 冠脉) 是从心脏发出的大动脉的第一对分支动脉，分为左右两支，在心 外膜表面行走并分出许多小分支进入心肌，然后形成丰富的毛细血管供应心肌血液。冠 脉粥样硬化是造成心脏受损的和心肌梗死的主要原因，准确诊断冠状动脉具有十分重要 的意义。冠状动脉疾病的诊断以往主要依赖于插管法造影，但它属于创伤性检查方法， 对血管壁的显示不理想，检查费用较高。临床上迫切需要一种无创伤性的影像检查技术 用于冠状动脉疾病的诊断和介入治疗的筛选。近年来，多层螺旋c t 在冠状动脉疾病的 诊断方面取得了可喜的进展，为心血管影像学开拓了新领域。多层螺旋c t 冠状动脉成 像属于无创伤的影像诊断技术，更安全和简便，检查费用较低。可以预期，它在冠状动 脉病变诊断( 例如，区分非钙化和钙化斑块，判断冠状动脉狭窄的程度，判断桥血管或 支架的通畅性等) 和介入治疗的筛选方面将部分替代插管法造影，具有广阔的应用价值。 c t 轴面图像是最客观的原始图像，专业医师据此可分析管腔狭窄和斑块性质，但 单纯的轴位图像并不足以进行心脏和冠状动脉的合理分析，因此需要借助自动血管分析 软件才能更加直观和准确的显示冠状动脉结构。心脏c a d ( c o m p u t e ra i d e dd i a g n o s i s ) 软 件正是基于这样一种市场需求背景而研发的，它与医院的多排c t 等设备配合使用，达 到减少医生工作强度与提高心脏病诊断质量的目的【1 , 2 】。近年来多层螺旋c t 、容积c t 的广泛应用为心脏c a d 技术的研究提供了便利条件。 心脏c a d 软件利用计算机技术结合图像处理技术，对多排c 1 扫描后的三维心脏血 管造影图像进行处理分析，为医生提供一个专门针对心脏血管造影c t 的影像工作平台， 自动地为医生提供定量的诊断信息，辅助医生在三维c t 数据上查找病情，从而辅助医 生对心血管疾病进行诊断，具有十分重要的意义1 3 ) 。心血管的分析主要包含血管分割、 血管中心线提取和血管狭窄度测量三个部分。心血管分割是正常组织和病变组织的三维 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 重建、定量分析等后续操作的基础，也是临床医学应用的瓶颈。分割的准确性对医生判 断疾病的真实情况并做出f 确的诊断计划至关重要；血管的中心线为进行血管狭窄度检 测和分析等后续诊断提供了有力支持 4 1 ；血管狭窄度测量通过对血管的定量计算，为医 生提供具有参考性的辅助诊断信息。因此心脏c a d 提供的心血管分析功能在辅助医生 做出诊断上有着非常重要的意义【5 。 1 2 国内外研究的进展情况 目前市场上只有国外的几大厂家( 如通用、西门子、东芝和飞利浦等) 有成熟的心脏 c a d 产品。从目前心脏c a d 软件的功能和性能上看，国内公司的产品也基本可以具备 国外同类产品的功能，而且在这方面的差距不是很大，因此应该抓住时机研制有民族特 色的产品以进一步缩小与国外技术领先的厂商产品的差距。 由于存在造影剂分布不均、衰减以及曝光不均等复杂情况，由相关设备直接获取的 造影图像经常不能清晰的显示血管树的局部和全局结构，从而影响了诊断的准确性。为 了提高诊断的水平，研究如何从图像中将冠脉结构突出显示出来非常必要，同时血管增 强也是血管分割、测量和三维可视化的重要前提。在血管得到增强后就可以采取恰当的 分割算法提取血管网络，之后可以进一步的提取血管中心线，为三维重建和运动估计打 下坚实基础，这非常有利于冠脉疾病计算机辅助诊断技术的发展。因此国内外许多知名 的研究机构都在从事这一方面的研究工作，提出了很多的增强算法，例如非线性有限微 分算子方法【7 1 、中值滤波方法【8 1 、血管相似性函数方法【9 , 1 0 , 1 1 1 和g a b o r 滤波等。从相关的 文献看各种方法都有自己的优点和缺点，还没有特别完美的增强方法出现。 影像学检查越来越成为诊治心血管疾病必不可少的手段，x 射线血管造影( ) ( 】认) 、 磁共振成像( m a i ) 、计算机断层成像( c t ) 等检查手段提供了大量的影像信息。因此 有必要对这些海量数据进行分析、处理，使其易于临床应用，而血管图像分割就是对血 管图像进行三维重建等进一步分析和处理的基础。图像分割就是把图像分成为许多感兴 趣的目标与图像中各物体目标相对应，血管图像分割就是把血管结构从x i l a 、m a i 、 c t 等医学图像汇总提取出来。尽管人们在图像分割方面已做了几十年的研究，也提出 了上千种各种类型的分割算法，例如，基于区域的图像分割【1 2 】、基于边缘的图像分割【1 3 】、 结合特定理论工具的方法，如可变模型法、人工神经网络法、基于小波变换的方法【1 4 , 1 5 , 1 6 、 基于统计学的方法、基于分形的方法、基于数学形态学的方法【1 7 , 1 8 , 1 9 1 ，并且将多种方法 综合运用，发挥各自的优势。但至今尚无一种适合于所有图像的分割算法，现已提出的 分割算法大都是针对某一具体问题的。临床应用中，医生一般依赖于手动交互分割血管， 但手动分割不仅费时，而且易受操作者主观因素的影响。因此，在未来的一段时问内， 分割技术的研究仍将是一个热点，未来的分割技术将朝着更快、更准确和更加自动化的 方向发展。 在心脑血管的狭窄分析与检测、冠状动脉的多平面重建视图显示、虚拟内窥镜自动 2 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 导航漫游、血管拉直图像重建、曲面重建等图像几何形态分析及相关领域中，管状器官 的中轴线一骨架具有非常广泛的应用。骨架是描述图像几何及拓扑性质的重要特征之 一，心血管骨架就是一条可以描述心血管的连通的单个像素宽的线条。3 d 空间中骨架化 的方法主要有人工指定算法、细化法 2 0 2 忱】和距离变换法【4 5 , 4 6 , 4 7 1 三种。但是由于细化对 象的复杂性，至今还没有一种很好的通用的细化算法适用于各种应用的需要。目前国外 有很多文献涉及三维空间的细化算法，但国内还是以二维空间的细化算法为主，基于三 维空间的算法还少有文献提及。 随着计算机技术和医学成像技术的不断发展，以及各种新理论的应用和改进，相信 计算机辅助诊断技术会不断地完善和成熟起来。 1 3 面临的困难和应对策略 由于c t 图像的复杂性及强随机性，致使分割冠状动脉血管等工作十分富有挑战性， 原因有： ( 1 ) c t 成像的方式本身就决定了其图像质量不是太高； ( 2 ) 各种因素导致的噪声； ( 3 ) 由于心脏的跳动，即使采用较快的成像方式和伪影消除后处理，也很难完全消 除心脏数据中的伪影； ( 4 ) 心脏是非常复杂的器官组织，含有多种亮度接近的不同组织； ( 5 ) 病变组织更易模糊各组织之间的界限； ( 6 ) 造影剂的剂量及医生的经验很大程度决定了成像后血管图像的质量； ( 7 ) 心脏c a d 要求的高空间与时间分辨率，使得成像后的数据量很大，加大了计算 的复杂度； ( 8 ) 血管直径的大小不等，从几像素到十几像素。 为了从图像中将冠脉结构突出显示出来，同时提高心脏c a d 的自动化程度，针对 c t 心脏图像数据的特点，采用血管自动识别和分割的方法，实现冠状动脉的自动定量 分析及测量。在得到血管的分割结果之后，需要利用各种视图来通过多种方式显示病变 位置，辅助医生分析血管，而这些视图需要依据血管的中心路径才能得到。心血管的拓 扑结构复杂，血管与周围组织的对比不明显，分割后的血管存在噪声，拟采用三维细化 处理的方法来提取中心路径。 由于医学图像的复杂性和固有的模糊性，需要新的理论和技术来创新突破，研究还 面临着诸多的挑战。 1 4 论文研究结果和内容安排 。 本文主要的研究内容和成果可概括如下： ( 1 ) 几何属性在冠状动脉识别、分割和狭窄量化中的应用 一3 一 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 研究了几何属性( 形状指数、弯曲度、高斯曲率、平均曲率等) 在冠状动脉识别、 分割和狭窄量化中的应用，利用几何属性可以描述局部形状特征的性质，使用形状指数、 弯曲度等区分管状组织和非管状组织，更准确地进行冠脉识别和分割；使用弯曲度、高 斯曲率、平均曲率等区分不同大小的截面，实现冠脉狭窄度的量化。 ( 2 ) 冠状动脉自动提取算法 在研究冠状动脉特点、h e s s i a n 矩阵、管状结构相似性函数和多尺度相似性测度的 基础上，提出了一种冠脉种子点自动提取算法，该算法能够自动、准确地提取冠状动脉 上的点作为区域生长法的种子点，使得医生无需进行手动选取种子点，就可以自动完成 冠状动脉分割的工作；将三维几何属性( 形状指数、弯曲度等) 应用于冠脉自动提取中， 更有效的分离血管( 管状组织) 和其他组织( 非管状组织) ；最后加入过分割抑制算法， 增强算法的稳定性和准确性，为心血管骨架提取、心血管病变的定量描述和心血管三维 重建奠定了基础，应用到东软心脏c a d 中，实现了一键式冠脉提取功能，对于高质量 的c t 数据基本可以替代手动冠脉提取功能，这对于心脏c a d 具有非常重要的意义， 大大地提高了心脏c a d 的自动化程度和运行效率，实验结果证明了算法的有效性。 ( 3 ) 冠状动脉中心线提取算法 研究并实现了一种基于三维空问的冠状动脉拓扑细化算法，能够基于冠状动脉的分 割结果提取冠脉中心线，实验结构证明该算法提取的中心线能够有效的保持原物体的拓 扑性质和几何性质。 ( 4 ) 冠脉根节点自动提取算法 研究并实现了一种冠脉根节点的自动确定算法。根节点为骨架上的一点，该点的2 6 邻域中只有一个邻居为目标点，且该点位于冠脉和升主动脉的交界处。确定根节点后就 可以构建血管中心曲线树，进而构建c p r 视图和血管拉直视图进行血管分析。 本文的章节安排如下： 第一章阐明了心血管计算机辅助诊断的研究意义； 第二章说明了本文用到的基本原理； 第三章研究并评估验证了冠脉的自动提取算法； 第四章研究并评估验证了冠脉中心路径提取算法及根节点确定算法； 第五章对本文算法进行了实现； 第六章对本文工作进行了总结和展望。 4 东北大学硕士学位论文第2 章基本原理 第2 章基本原理 2 1 直方图 图像的灰度直方图简称直方图。直方图是多种空间域处理技术的基础，是图像处理 中一种十分重要的图像分析工具，直方图操作能有效地用于图像增强、图像压缩、边缘 检测和图像分割等。直方图是表示依附图像灰度分布情况的统计特性图表，从数学上来 说，图像直方图是图像各灰度值统计特性与图像灰度值的函数，它统计一幅图像中各个 灰度级出现的次数或概率；从图形上来说，它是一个二维图，横坐标表示图像中各个像 点的灰度级，纵坐标为各个灰度级上图像各个像素点出现的次数或概率。 假设一幅图像像素个数为n ，分l 个灰度等级，n 。代表第k 个灰度级出现的个数， 直方图函数为： h ) _ n 七( 2 1 ) 其中，n 女，k - - 0 1 l l o 直方图的状态可以评断图像的一些性质：明亮图像的直方图倾向于灰度级高的一 侧；低对比度图像的直方图窄而集中于灰度级的中部，高对比度图像的直方图成分覆盖 的灰度级很宽而且像素的分布不太均匀，只有少量的垂线比其他高许多。直观上来说， 若一幅图像的像素占有全部可能的灰度级并且分布均匀，则这样的图像有高对比度和多 变的灰度色调。 +。 c t 图像数据的原理是根据人体内不同组织对x 射线的吸收率不同。c t 的扫描图 像能区分体内各种生理组织的密度，并对其作定量测定，用数字形式c t 值表达。如骨 ( + 1 0 0 - - - + 1 0 0 0 h u ) ；软组织( + 5 0 h u ) ；液体( 1 0 _ 斗l o h u ) ；脂肪( 一2 0 - 一1 4 0 h u ) ； 空气( - 3 0 0 - - - - 1 0 0 0 h u ) ，这些组织c t 值的不同在图像上反映为它们的亮度不同。如图 2 1 ，在c t 图像数据中骨组织的亮度相对其他组织较高，它们对应直方图的右侧部分； 升主动脉以及血管的亮度居中，对应于直方图的中间部分；黑色背景对应最左侧部分。 图像分割是指将图像中具有特殊涵义的不同区域区分开来，这些区域是互相不交叉 的，每一个区域都满足特定区域的一致性。各种分割方法都带有局限性和针对性，只能 针对各种实际应用领域的需求来选择合适的分割方法。阈值分割是一种最常用、同时也 是最简单的分割方法，它特别适用于对象和背景占据不同的灰度级范围这类图像。它基 于对灰度图像的一种假设：目标或背景内的相邻像素间的灰度值是相似的，但不同目标 或背景的像素在灰度上有差异。在图像的直方图上，不同目标和背景对应不同的峰。选 取的阈值应位于两个峰之间的谷，从而将各个峰分开。选取一个适当的灰度级阈值，然 后将每个像素灰度和它们比较。超过阈值的赋l ，低于阈值的赋o ，得到一幅二值图像， 这样就达到分离目标和背景的目的。这个过程可用下式表示： 一5 一 东北大学硕士学位论文 第2 章基本原理 贴川净秒 ( a 弘心血管原图( b ) 闽值分割后效果 ( 2 2 ) 。 ( c ) 亮度直方图 图2 1 阂值分割 f i g 2 1t h r e s h o l ds e g m e n t 用直方图信息选择阈值的方法在物体图像具有恒定灰度值的情况下特别有用，但是 如果物体中不同部分具有不同的照明，那么即使图像中仅包含有一个物体，也无法用一 个阈值来分割图像。在这种情况下，应该使用更加有效的分割方法，例如在每一个子图 像中独立地选择阈值。基于直方图的图像分割方法也没有利用图像强度的空间信息，因 此在本质上存在着局限性。直方图仅描述了图像强度分布，因此具有不同灰度空间分布 的图像可能具有类似的直方图。例如，用直方图无法区分随机分布的黑白点图像、黑白 棋格图像和黑白各半的图像。现在有一些基于图像直方图的启发式方法，但对于复杂的 图像这些方法仍然不能适用。 、 2 2 尺度理论 2 2 1 尺度 众所周知，人在不同的距离下观测同一图像获得的感受是不一样的，如远距离看到 的是图像轮廓，近距离下看到的是更多细节，这就是尺度效应。 如图2 2 ，平滑函数h ( x ，y ，6 ) 对二维心脏c t 图像i ( x ，y ) 作平滑处理，参数万为平滑 函数的尺度参数( s c a l e ) ，用不同尺度的平滑函数与该图像作卷积，得到的一簇越来越平 滑和简化的图像称为该图像相对于该平滑函数的尺度空间。原始图像i ( x ，y ) 与小尺度平 滑函数五( x ，y ，正脚，) 卷积得到小尺度图像，( x ，y ，正。，) ，它保留了边缘等信息的准确位置， 一6 _ 章基本原理 r 度3 尺度4 重要轮廓， r 度5 尺度6 图2 2 尺度空间中的切片图像 f i g 2 2s l i c e sf r o ms c a l e s p a c e 只有在特定的尺度下，某些物体或者特征才会出现，可见尺度的选择十分重要【2 8 ，2 9 】。 尺度选择问题是所有图像研究和应用中都必须面对的问题，在没有先验知识可以确定合 适的尺度之前，有必要同时对个尺度上的图像进行考察，把他们作为一个有机整体，而 不是仅仅看作是一些对原始图像的不同程度的处理。 多尺度分析( m u l t i s c a l e ) 的基本思想就是把原始的图像嵌入到一个逐渐平滑的参数 空间中，对其中的细节进行逐级抑制，较大尺度上的图像是小尺度图像在结构上的简化， 也就是平滑处理逐级对次要属性进行滤除啪1 。定量描述每一个尺度的信息以及信息的丢 失对于多尺度有十分重要的理论价值和应用价值，例如可以用来做尺度自适应选择口， 根据这个理论可以为图像的各种结构自动获得尺度，为进一步的特征处理提供基础。 2 2 2 高斯尺度空间 高斯尺度空间是以高斯函数( g a u s s i a nf u n c t i o n ) 为卷积核生成的尺度空间，定义为： z ( x ，莎) = ，( x ) 宰岛( x )( 2 3 ) 其中i ( x ) 表示n 维图像，“ ”代表卷积运算，g 。( x ) 为高斯函数，即 一7 一 东北大学硕士学位论文第2 章基本原理 岛( 耻1 1e x p ( 一坐铲) ( 2 4 ) ( 2 7 r o - 2 ) 2 i ( x ) 与g ，( x ) 做卷积相当于对( x ) 做低通滤波，能够有效地去除图像中服从正态 分布的随机噪声。通过调节尺度参数仃，可以改变高斯函数g 。( x ) 作为卷积核的权值， 使得卷积后的图像显示出与尺度盯相匹配的特征。 高斯尺度空间是目前最完善、应用最广泛的尺度空间之一。在所有尺度空间表示方 法中，只有高斯尺度空间能够保证以下属性： ( 1 ) l i n e a r i t y 线性 ( 2 ) i n v a r i a n c eu n d e rt r a n s l a t i o n 变换不变性 ( 3 ) i n v a r i a n c eu n d e rr o t a t i o n旋转不变性 ( 4 ) i n v a r i a n c eu n d e rr e s c a l i n g 放缩不变性 但是，它也存在局限性： ( 1 ) 高斯函数的低通特性决定了其对边缘等重要信息具有模糊作用，导致边缘漂移， 造成物体的合并； ( 2 ) 极值点的分裂，如对于有狭长通道连接的极值点，导致物体的分裂； ( 3 ) 特征在尺度间的分布，而不能保证完整地出现在单一尺度上； ( 4 ) 重复卷积造成的大运算量。 因此，目前建立图像多尺度的表示方法还有：小波多尺度表示、基于扩散方程的图 像多尺度表示、直接建立在离散图像上的多尺度表示以及数学形态学方法多尺度表示 【3 2 , 3 3 , 3 4 1 。 图像数据j 的图像导数可以通过图像与高斯导函数作卷积来计算，同时形成高斯尺 度空间。高斯导函数是由高斯函数求导得到的，自身也具有高斯函数的特性。根据可分 离性，1 1 维图像的高阶偏导数定义可以利用1 1 维高斯导函数核直接卷积图像，也可以利 用一维高斯导函数分别对n 个方向作卷积实现，两种卷积方式的结果是一致的。例如， 三维图像的高阶偏导数可使用公式( 2 5 ) 计算： ，v ，。( x ，艿) = ( o i x o ；o ! g ，( x ) ) 宰，( x ) ( 2 5 ) ：善岛( 功 2 云g 。、x ) 膏 歹d j 一 掣d k 一8 一 布为主的特征，不随曲面位置方向变化而变化【5 引。 ( 1 ) 主曲率 根据法曲率的几何意义，法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和 弯曲方向。法曲率的最大值和最小值被称为主曲率( p r i n c i p a lc u r v a t u r e ) ，设为毛、岛。在 最大主曲率方向上得到最大主曲率，表明沿该方向曲面的弯曲程度最大；在最小主曲率 方向上得到最小主曲率，表明沿该方向曲面的弯曲程度最小。最大最小曲率的极值描述 了曲面结构的重要信息。 表2 1 说明了不同的形状类型和它们对应的主曲率值。 表2 16 个不同的形状类型和它们对应的主曲率值 t a b l e2 1s i xd i f f e r e n ts h a p et y p e sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gp r i n c i p a lc u r v a m r 主曲率毛、如 对应的形状 毛= 如= 0 毛 0 ，k 2 0 毛 o ，如 o ，k 2 0 时，那么对应 于主方向的一条法截线朝法向量的正侧弯曲，由欧拉公式所有法截线都朝法向量的正侧 弯曲，此时曲面沿所有方向都朝同一侧弯曲；当向 o ，如 0 时，曲 面在椭圆点p 的邻近的形状近似于椭圆抛物面。 一争一 东北大学硕士学位论文第2 章基本原理 i i r 0 时，给定点p 为双曲点。这时k ，和k ：异号，那么对应得两条法截线中有一 条朝法向量的负侧弯曲，另一条朝法向量的正侧弯曲。此时曲面在p 点的邻近的形状近 似于双面抛物面。 i i i c = 0 时，给定点p 为抛物点。这时至少有一个主曲率等于零，因此一般一条 法截线从它的切线的一侧朝另_ 侧弯曲，曲面在p 点的邻近的形状近似于抛物柱面。 三维体表面像素点p 的平均曲率( a v e r a g ec u r v a t u r e ) ： h ：世 ( 2 7 ) 2 它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度。 当h = 0 时，三维体表面像素点p 是鞍点。 当h 兰0 时，三维体表面是极小曲面。 从表2 2 可以看出来，平均曲率的j 下负之间三维体表面的形状变化不是很明显。而 对高斯曲率来说，正负之间三维体表面的变化要明显得多。高斯曲率对三维体表面的评 价要比平均曲率全面一些，可以更深刻地反映三维体表面的本质特征，因此高斯曲率比 平均曲率要应用的更广泛。 。 表2 2 高斯曲率和平均曲率变化对应表 t a b l e2 2v a r i e t yc o n t r a s tb e t w e e ng a u s sc u r v a t u r ea n da v e r a g ec u r v a t u r e ( 3 ) 形状指数和弯曲度 形状指数定义为： s i ( 加再1 1 一糍端 其中，主曲率岛( p ) k 2 ( p ) 。 一l o 一 ( 2 8 ) f i g 2 3n i n es h a p et y p e sa n dt h e i rl o c a t i o no nt h es h a p ei n d e xs c a l e 弯曲度定义为： c ) ：掣 “( 2 9 ) 它描述了曲面在一点处的弯曲程度，可以用来分析相同形状不同大小的物体。 形状指数和弯曲度与主曲率存在密切的关系。如图2 4 ，主曲率毛、乞构成局部坐 标空间，图中向量的角度表示形状指数，长度表示弯曲度。 图2 4 主曲率构建的局部坐标空间 f i g 2 4c o o r d i n a t es p a c eo ft h es h a p ei n d e x h o r i z o n t a la x i s ：m a x i m a lp r i n c i p a lc u r v a t u r e ，v e r t i c a la x i s ： m i n i m a lp r i n c i p a lc u r v a t u r e 三维图像上点的形状指数可以判断该点的局部形状特征，除平面外的不同形状都对 应着不同的形状指数值1 3 6 1 。例如，形状指数值为l 时代表该点的局部形状为球形，值为 0 7 5 代表圆柱形。 东北大学硕士学位论文 第2 章基本原理 形状指数和弯曲度的知识已经应用在多种计算机辅助诊断系统中，例如肺结节、结 肠息肉和大脑动脉瘤的检测【3 9 舯，4 1 ，4 2 ，4 3 】中。 ( 4 ) 曲率的计算 目前很少有文献详细介绍主曲率、高斯曲率、平均曲率、形状指数和弯曲度等属性 的求值公式，下面给出这些属性的求值公式和简单推导过程。 三维图像上的点p ( x ，y ，z ) ，设它的亮度为l ( x ，y ，z ) ，p 点的邻域s 定义为： s ( u ，v ) = ( “，) 吼2 ；，( 甜，y ，矽( 掰，) ) = a ( 2 1 0 ) 其中，x = “，y = ，z = g ( u ，) 。 计算每点的三维几何属性前，首先计算第一基本形式和第二基本形式【3 5 】。微分几何 的第一基本形式和第二基本形式定义为： e l 三麓qm ，篙n 麓 亿 = 瓯，= q ，= q 。 其中，瓯，s v ，瓯，瓯为s 的一阶、二阶偏导数，q = 器，“”表示外积， “l ”表示范数。 心+ 芳2 卜等肛竿止丝铲， m = 丝盟笺竽肌塑铲舵， i砖七 一了一 一阶和二阶偏导数通过一维高斯导函数在x 、y 、z 三个方向与图像作卷积得到。 点p ( x ，y ，z ) 的高斯曲率k 、平均曲率h 的求值公式分别为： k ：l n - m _ 2 e g f 1 1 r ( 厶厶一2 ，2 z ( 厶厶一丘厶) + ( 疋厶一鬈) 弋t t 七t 、也 z f 人 。l q 1 w o 七t l 。l 呼一岛七2 f x 人 。l 茬一 。 叭 ，e n 一2 f m + g l ，1 = = 一 2 ( e g f 2 l 1 r ( 厶+ 丘) 一2 z 厶+ ( 丘+ 厶) 1 2 ( 彳+ + ) 引2l - 2 z 正厶+ r ( 厶+ 厶) 一2 六厶j ( 2 1 3 ) 点p ( x ，j ，z ) 的主曲率求值公式为： 一1 2 东北大学硕士学位论文 第2 章基本原理 ) = h ( p ) + h 2 ( p ) - k ( p ) ， ( 2 1 4 ) k 2 ( p ) = 日( p ) 一h 2 ( p ) 一k ( p ) 点p ( x ，y ，z ) 的形状指数值和弯曲度的求值公式为( 2 8 ) 、( 2 9 ) 。 2 3 2h e s s i a n 矩阵 t a y l o r 扩展式是分析图像局部特性的一个常用方法。用，表示n 维图像数据，则空 间中像素点尸的二阶t a y l o r 展开为： j ( 尸+ p ) i ( p ) + p 7 w ( 尸) + p r h ( p ) a p ( 2 1 5 ) 其中v 1 ( p ) 表示p 点的梯度矢量，( 尸) 为p 点的h e s s i a n 矩阵，由点p 的二阶偏导 数构建而成。刀维图像的h e s s i a n 矩阵为一个刀以的实对称矩阵，因而具有刀个实特征 值。 对于三维图像数据，而言，h e s s i a n 矩阵是一个3 x 3 实对称矩阵： ii 。i 抖i 。、 。日( p ) = l ，f j ，fi ( 2 - 1 6 ) i 。i 移l 。) 其中乙：黑。 在日( 尸) 的以个特征值中，幅值最大的特征值对应的特征向量代表着p 点曲率最大 的方向；同样，幅值最小的特征值对应的特征向量代表着p 点曲率最小的方向。h e s s i a n 矩阵的这一几何意义有着广泛的用途，如提取指纹图像中的嵴线、二维医学图像的分割、 血管中心路径的提取等。 对于三维图像数据中一点p ，a 。、五：和以为其h e s s i a n 矩阵的特征值，并且 h i i 彳：i l 以l ，m 、v 2 和匕为a 。、a ：和五，对应的单位特征向量，则屹代表像素点p 的 切线方向，m 和y ：决定与切线垂直的平面。如图2 5 ( a ) ，对于一般的管状模型来说，由 ，。和屹确定的平面与模型相交的得到的截面可近似为一个椭圆，而a 。和五：的比值则代 表了椭圆长轴与短轴的比例，并且由于 o 以训，z 咖t 1