（电力系统及其自动化专业论文）电力系统继电保护快速滤波算法研究.pdf

浙江丈学博士学位论文p i i 基于最小二乘算法的实现方案，并给出了基于误差评估器的快速距离保护 方案。第七章针对继电保护研究工作中大量仿真计算的需要开发了一种 基于l i n u x 集群( c l u s t e r ) 的自动仿真计算系统e 第八章对论文的主要结论 进行了总结a a b s tr a c t b e c a u s eo ft h ec o n t r o d i c i t i o nb e t w e e nt h es p e e da n dp e r f o r m a n c eo f f i l t e ra l g o r i t h m s t h es p e e da n dp e r f o r m a n c eo ft r a d i t i o n a lf i l t e ra l g o r i t l m m c o u l d n tb ei m p r o v e df u r t h e r l y t os o l v et h ep r o b l e mo ft r a d i t i o n a lf i l t e r a l g o r i t h m s ，t h et h e s i sd o e sc o m p r e h e n s i v er e s e a r c ho nt h et r a n s i e n tp r o c e s s o fh i g hv o l t a g et r a n s m i s s i o nl i n e ，l e a s te r r o rs q u a r ea l g o r i t h m ( l e s ) ，k a l m a n a l g o r i t h m ，a d a p t i v ea l g o r i t h m ，n o n - l i n e a rl e s ，g e n e t i ca l g o r i t h ma n da l g o r i t h me r r o re v a l u a t i o nt h e o r y t h em a i nw o r kl a yi ns e a r c h i n gm o r er a p i d a n da c c u r a t ea l g o r i t h mo ra l g o r i t h md e p l o ) t n e n tp o l i c y 7 f h er e s u l t sa r e ： 1 t h et h e s i sp r o p o s e sf a u l ts i g n a lh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n t s “m a i n f r e q u e n c y ”t h e o r y t h a ti n d i c a t e st h e r e 沁a “m a i nf r e q u e n c y ”c o m p o n e n t i nf a u l ts i g n a lh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n t s ，i t se n e r g yi s l a r g e rt h a no t h e r c o m p o u e n t so fh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n t ss i g n i f i c a n t l y ，i t sf r e u q e n c yi sd e - t e n n i n e db yf a u l t 出s t a n c ea n ds y s t e mi m p e d a n c e a n dr a n g e sw i d e l y 2 t h et h e s i sp r o p c , s e saf i l t e rf r e q u e n c yd e c a yc o r r s t a n tp r o p e r t yb a s p ：l l e sm o d e i p e r f o r n l a a l c ee v a l u a t i o nm e t h o d a n d u s e st h i sm e t h o dt oe v a l u a t e a nk i n d so fm o d e lo fl e st og e tt h eb e s tm o d e l 3t h et h e s i sp r o p o s e sat f i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n t s1 m a i nf r e q e n c y e v a l u a t i o nb a s e dl e sa l g o r i t h m ，t h ea l g o r i t h mi m p r o v e st h es p e e da n da e c u r a c yo fr e l a yp r o t e c t i o nf i l t e ra l g o r i t h ms i g n i f i c a n t l y 4t h et h e s i sd o e sr e s e a r c h0 1 1t i l ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a rl e si np o w e r s y s t e mr e l a yp r o t e c t i o nf i l t e rc o m p u t i n g 5t h et h e s i so r o p o e e st h ec o n c e p to ff i l t e ra l g o r i t h me r r o re v a l u a t i o n a n da l li m p l e m e n t a t i o n1 ) a s e do nl e s t h es k e l e t o no fe a c hc t l a p t e rf c l l l o w s c h a p t e ro n ed o e sc o m p r e h e n s i v er e s e a r c ho nt h et r e m s i e u tp r o c e s so f h i g hv o l t a g et r a n s m i s s i o nl i n ea n dp r o p o s e st h ef a u l ts i g n a lh i g hf r e q u e n c y c o m p o n e n t s “m a i nf r e q u e n c y ”t h o e r y o nt i l eo t h e rh a n d t l l et h e s i sd o e s s o m er e s e a r c ho nt h ec o n s t i t u t i o no ff r e q u e n c yc o m p o n e n t sa n dt h er e l a - t i o na m o n g t h e m c h a p t e rt w oi n d i c a t e st h a tf o u r i e ra l g o r i t h mc a l lb es e e n a sap a r t i c u l a rc a s eo fl e sa l g o r i t h ma n di ns o m ec i r c u m s t a n c ek a h n a n i l i 浙江| 大学博士学位论文p i v a l g o r i t h mb e c o m e sl e sa l g o r i t h mb vt h er e s e a r c ho nc o r r l m o nl e sa l g o r i t h m f d u r i e ra l g o r i t h ma n dk a l m a na l g o r i t h m c h a p t e rt h r e ea n a l y s e sa l l k i n d so fm o d e l so fl e sa l g o r i t h mq u a l i t a t i v e l y c o m p a r e st h e i rp e r f o r m a n e e q u a n t i t i v e l y a n dp r o p o s e sap e r f o r m a n c ee v a l u a t i o nm e t h o df b rt h a tc h a p t e rf o u rp r o p o s e sh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n t s “m a i nf r e q u e n c y ”e v a l u a t i o n b a s e da d a p t i v el e sa l g o r i t h mb vt h er e s e a r c ho nt h ea x t p a t i v ef i l t e rt h o e r y a n dg e n e t i ca l g o r i t h j n c h a p t e rf i v ed o e ss o l n cr e s e a r c ho i lt h ea p p l i c a t i o n o fn o n l i n e a rl e sa l g o r i t h mi np o w e rs y s t e mr e l a yf i l t e rc o m p u t i n gt os o l v e t h ec o m p u t i n gs p e e dp r o b l e mo fa d a p t i v el e sa l g o r i t h mp r o p o s e di np r e v c h a p t e r c h a p t e rs i xp r o p o s e st h ec o n c e p to ff i l t e ra l g o r i t h me r r o re v a l u a t i o n a n da ni m p l e m e n t a t i o nb a s e do nl e sa l g o r i t h mt h o u g ht h er e s e a r c ho nt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ee r o r ro ff i l t e ra l g o r i t h ma n dt h en o i s eo fi n p u ts i g n a l t h ec h a p t e rp r o p o s e sa nr e l a yp r o t e c t i o ns c h e m eb a s e do nf i l t e ra l g o r i t h m e r r o re v a l u a t i o nt o o c h a p t e r8 e v e nd e v e l o p sa nl j i l u xc l u s t e rb a s e ds i r e u l a ， t i o ns y s t e mt os a t i s f yt h ed e m a n do fg r e a tm o m l ts i m u l a t i o nc o m p u t i n gl n r e l a yp r o t e c t i o nr e s e a r c h c h a p t e re i g h ti st h ec o n c l u s i o no ft h et h e s i s 0 1 课题的意义 绪论 快速切除故障是提高电力系统暂态稳定最基本、最有效的措施也是 其它安全措施得以发挥作用的前提条件。在般的系统情况下，加速切除 故障对提高极限送电水平的作用随着电网结构与电厂在系统中所处的位置 而异，但对于要求传输大功率的长距离线路和弱受端系统效果特别突出。 我国电力系统的实践说明，有的系统仅加速了电厂出口附近的短路故障切 除时间，就取得了保持三相短路后的暂态稳定性；有的系统在适当加快故 障切除时间的同时取消了原来需要的电气制动，同样取得了良好的暂态 稳定效果。我国某2 2 0 k v 送电线路稳定计算表明，切除近端故障的时间由 1 2 0 m 8 缩短到l o o m s 就可以替代i o o m w 负荷可见效果之大。根据国外 某电力系统的计算，如果使故障切除时间减少一个周波，就可以提高传 输功率约2 0 0 m w 。 快速切除故障除保证系统稳定运行以外，还会带来许多其它有益的效 果。例如可以减轻设备的损坏和提高自动重合闸的成功率等。因此提 高电力系统继电保护的动作速度以缩短故障切除时间，能给电力系统带 来巨大的经济效益。 目前电力系统继电保护中，绝大多数保护原理都基于故障信号的基波 相量根据故障电压、电流基波相量或二者的组合来进行故障判断。但由 于故障发生后的暂态过程，故障电压、电流中含有丰富的暂态噪声，继电 保护装置中必须采用滤波算法滤除这些噪声。因此，快速、准确的滤取出 电力系统故障信号中的基波相量是提高保护动作速度的重要手段，也是继 电保护学科一直所关注的课题。 暂态噪声主要成分包括非周期分量和高频噪声分量，对于长距离高压 输电线路，由于输电距离长线路分布电容大，故障暂态过程非常严重， 同时由于线路阻抗角增大，暂态过程的持续时间较长这些都要求保护 滤波算法具有非常强的滤波能力。然而传统滤波理论表明滤波算法的滤 波能力与其时间窗长度成正比；时间窗越长，滤波能力越强，因此滤波算 法要达到较好的滤波效果则需要的时间窗较长；如果想提高保护的速度 则需要更短的时间窗但算法的滤波能力也变差。为满足保护的安全性要 浙扛大学博士学垃论文p 2 求，传统滤波算法的时间窗一般需要一个周波左右，这显然不能满足保护 快速性的要求。传统滤波算法滤波速度与滤波能力问的矛盾成为提高保护 动作速度的重要瓶颈。 上述问题促进了对新的滤波算法设计原理以及滤波算法配置策略的研 究，包括最小二乘算法、卡尔曼滤波算法，基于小波理论的算法、自适应 滤波算法、非线性滤波算法以及神经网络理论和遗传算法理论等。本论文 在对电力系统故障的暂态过程进行深入研究的基础上，致力于在电力系统 继电保护滤波算法中引入新的理论工具与数学工具，以期解决传统滤波算 法理论中滤波速度与滤波能力闻的矛盾，进一步提高保护滤波算法的速度 与准确性。 0 2 保护滤波算法发展过程简介 使用计算机构成继电保护装置的尝试至少可以追溯到2 0 世纪6 0 年代 后期1 4 1 5 6 1 从那时起计算故障电压和电流基波相量的滤波算法就成为微 机保护的重要课题。最初，人们从把故障信号当作纯正弦出发，提出了很 多算法。2 0 世纪6 0 年代末，澳大利亚人m a n n 和m o r r i s o n1 7 i 提出利用正 弦函数及其导数余弦函数在同一个时刻的采样值来计算基波相量的幅 值与相角，这就是著名的两点法。1 9 7 0 年，美国西屋公司设计了一套微机 保护系统称作p r o d a r - 7 0 于1 9 7 1 年安装在太平洋煤气和电气公司的变 电站中试运行。设计者侧重考虑非周期分量和串联补偿电容引起的低频分 量的影响。因此，他们在m a n n - m o r r i s o n 算法的基础上作了修正采用一 阶导数值和二阶导数值，代替原来的采样值和一阶导数值的方法。 这一类算法还包括：半周内找最大值法，它以每半个周期中采样值的 最大值作为幅值，以采样值过零点时对应的电角度作为相位值；半周内采 样值累积法，它利用正弦函数的半周绝对值积分正比于幅值计算信号基波 的幅值。 由于这些算法都基于被采样的故障信号为纯正弦，而在实际电力系统 故障时，故障信号中除正弦基波分量外还有大量的暂态噪声分量，因此 要求保护装置对输入的故障电流电压信号采用数字或模拟滤波器进行预处 理以尽可能的滤除故障信号中的暂态嗓声，否则，计算结果会出现较大 的误差。由于以上原因这些算法在实际保护装置中的应用很少。 针对上述情况，人们又提出了一些基于较复杂的数学模型的算法，此 时不再假设故障电压电流信号为纯正弦信号，而是假设它们由基波和各种 暂态噪声组成。这类算法包括傅氏算法、沃尔什函数算法、最小二乘算法 以及卡尔曼算法等。 傅氏算法和沃尔什函数算法都基于级数理论，即一个周期函数可以被 分解为一组函数序列之和，或者说是一个级数a 傅氏算法是将周期函数分 解为正弦和余弦函数而沃尔什函数算法则将周期函数分解为一组沃尔什 函数之和。由于故障信号基波分量是正弦( 或余弦) 函数，采用傅氏算法计 浙扛天掌博士学位论文p 3 算更为直接，所以傅氏算法的应用最为广泛。傅氏算法还有一种改进 半波博氏算法它的时间窗只需要半个基波周期，虽然其滤波速度较快， 但滤波效果也较差。 最小二乘算法最早由k a r lg a u s s 提出，用于估计行星的轨道。旱在2 0 世纪7 0 年代，文献f 1 2 1 f 2 0 1 就开始研究最小二乘算法在微机保护中的应用问 题。算法的基本原理是将输入的电压电流信号与一个预设的包括基波和各 种暂态噪声的目标函数按最小方差的原则进行拟合，以求取基波相量。 卡尔曼滤波算法，也称卡尔曼最佳线性估计，是从另一种最小均方估 计误差角度出发，以递推形式实现的滤波算法。它由g i r g i s 【2 引入微机继 电保护领域。在预先知道输入信号噪声统计特性的前提下，卡尔曼滤波算 法能达到最佳的滤波效果。然而对于不同的系统和故障，噪声统计特性的 差异很大，此时卡尔曼滤波算法实际上等价于最小二乘算法。不同于傅氏 算法只能使用固定长度的时间窗，最小二乘算法和卡尔曼滤波算法的时间 窗长度可以变化，因此在快速保护滤波中得到了较多的应用。 假设输入信号为纯正弦信号的算法，虽然速度较快，但缺乏滤波能 力，应用它们的保护装置必须前置窄带滤波器，窄带滤波器的延时加算法 的时间窗，保护滤波算法环节的总延时仍要达到一周波。而假设输入信号 为复杂模型的算法，算法本身的滤波能力较强，因此一般不需要前置滤波 器，但算法本身时间窗较长，一般要达到一周波。虽然半波傅氏算法与短 时间窗的最小二乘算法或卡尔曼滤波算法的滤波速度较快，但滤波性能也 变差要达到较好滤波效果，仍需要近一个周波的时间窗。 上述问题的根本原因在于传统滤波理论中滤波算法速度与滤波性能之 间的矛盾。因此，在保护滤波算法中引入新的滤波理论是进一步提高保护 滤波算法速度与准确度的解决之遭。 0 3 论文的主要工作 针对传统滤波算法存在的问题、论文重点对电力系统故障电压电流信 号中的暂态噪声，以及自适应滤波、遗传算法和非线性最小二乘算法等新 滤波理论进行了研究，其主要内容如下 1 高压输电线路的暂态过程非常复杂从而在故障电压电流信号中引 起严重的暂态噪声。暂态噪声的成分与各成分的参数对电力系统滤波算法 的性能有很大影响，完整准确的认识高压输电线路的暂态过程是研究快速 滤波算法的基础。由于高压输电线路的长度较长，同时线路分布电感和分 布电容较大，因此必须采用分布参数线路模型进行分析计算。文献f 7 2 1 采 用运算法对高压分布参数输电线路的暂态过程进行了分析，但只分析了单 相系统的情况。文献17 1 采用一种基于行波理论的计算方法一网格法一分 析了高压分布参数输电线路的暂态过程。上述文献都没有对高压分布参数 输电线路暂态过程中暂态噪声的高频噪声分量的频率成分及各频率成分的 关系进行研究。针对上述问题，论文以运算法作为基本分析方法，对高压 浙江大学博士学位论文p 4 输电分布参数线路的暂态过程及暂态噪声各分量进行了全面的研究尤其 是三相系统的暂态过程、暂态噪声高频噪声分量的频率成分及各频率成分 的定量关系。 2 电力系统滤波算法的种类很多，这增加了滤波算法的理论研究和实 际应用的复杂性。实际上，常用的几种滤波算法之间存在非常密切的关 系，其中傅氏算法可以看作最小二乘算法的一种特例；而当把输入信号 暂态噪声当作白噪声的情况下，卡尔曼滤波算法蜕化为最小二乘算法。 最小二乘算法由于采用的目标函数模型不同而又有很多变种。随着模型组 合的不同，最小二乘算法的性能及其适用范围有很大差异。在特定的虚用 环境中，应该如何选择最小二乘算法的模型组合，是最小二乘算法应用过 程中的重要问题。因此，论文介绍了最小二乘算法的各种模型，对最小二 乘算法的各种模型的滤波性能进行了定性分析，提出了模型性能定量评价 方法，并使用定量评价方法对最4 - - 乘算法的各种模型组合进行了性能评 价。 3 最小二乘算法虽然滤波速度较快。但当数据窗较短时，误差仍然较 大，其原因在于，故障暂态噪声信号的模型随故障条件的不同而变化而 传统最小二乘算法只能使用固定的模型因此无法与之匹配。为了进一步 提高保护滤波算法的速度和准确性，论文对自适应滤波原理以及遗传算法 进行了研究，同时结合论文第一章提出的高频噪声主频理论，提出了一种 基于高频噪声主频估计的自适应最小二乘算法。这种算法大大提高了电力 系统继电保护滤波算法的滤波速度，在理论上解决了快速滤波问题。但这 种算法也有其问题即计算量较大。造成此算法计算量过大的原因在于算 法中高频噪声主频估计器的解析表达式过于复杂。难以采用迭代算法迅速 收敛到高频噪声主频频率，虽然采用了遗传算法寻优方法，但总的计算量 仍然偏大。为此论文对非线性最小二乘算法在商压输电线路滤波计算中的 应用进行了研究。使用非线性最4 , - - 乘算法，高频噪声主频频率可作为待 求置直接进入非线性最4 , - - 乘算法的模型。而不需通过一个前置的高频噪 声主频估计环节进行估计；同时通过采用迭代算法，非线性最小二乘算 法能以更快的速度收敛。 4 论文通过对电力系统常用滤波算法的研究及仿真试验发现滤波算 法的滤波性能与算法的时间窗长度成正比，时间窗越长，算法滤波能力 越强。因此，算、法要达到较好的滤波效果则需要的时间窗较长，即速度 较慢；如果想提高保护的速度则需要更短的时间窗，但算法的滤波性能 也将变差。自适应最小二乘算法的滤波性能虽然较传统最小二乘算法有较 大提高。但是这个特性同样存在。算法的速度与滤波性能间的矛盾阻碍了 传统滤波算法滤波性能与滤波速度的进一步提高。传统的解决方案是在采 用短时间窗算法时。通过提高动作门槛来防止保护的趣越。这样可以提高 近端故障时的保护动作速度，但整体动作速度难以得到较大的提高。事实 上，算法的误差除了与滤波性能有关外，还与故障信号的实际噪声水平商 关。如果噪声水平较低，采用较短时间窗的算法就能够获得精确的结果； 否m u 需要采用长时间窗的算法。如果能够实时估计出故障信号的噪声水 浙扛天学博士学位沦文p 5 平，并根据故障信号的噪声水平估计出滤波算法的误差，就能够根据算法 实际误差的大小来调整保护的动作门槛使保护的动作速度达到最佳。论 文基于这个思想，以最小二乘算法为例，对这个问题进行了深入的研究。 论文共分八章。第一章对高压输电线路故障暂态过程进行了全面的研 究，提出了故障高频噪声主频理论，并对故障信号暂态噪声各分置的频 率成分及各频率成分间的关系进行了研究。第二章通过对电力系统常用的 最d - 乘算法、傅氏算法和卡尔曼滤波算法的研究指出，傅氏算法可以看 作最小二乘算法的一种特例：而当把输入信号暂态噪声当作白噪声的情况 下，卡尔曼滤波算法蜕化为最d - 乘算法。第三章对最小二乘算法的各种 模型进行了定性的分析和定量的比较，为此还提出了一种最小二乘算法模 型性能定量比较方法。第四章通过对自适应滤波理论和遗传算法的研究， 提出了基于高频噪声主频估计的自适应最d , - - 聚算法。第五章针对基于高 频噪声主频估计的自适应最d , - 乘算法计算量过大的问题对非线性最小 二乘算法在电力系统中的应用进行了研究，通过把高频噪声主频频率放入 非线性最d , - - 乘算法的待求量，提高了快速滤波算法的计算速度。第六章 通过对滤波算法误差与输入信号的噪声水平间关系的研究，提出了误差评 估器的思想和一种基于最d - - - 乘算法的实现方案，并给出了基于误差评估 器的快速距离保护方案。第七章针对继电保护研究工作中大量仿真计算的 需要开发了一种基于l i n u x 集群( c l u s t e r ) 的自动仿真计算系统。第八章 对论文的主要结论进行了总结。 第一章高压输电线路暂态过程 高压输电线路的暂态过程非常复杂，从而在故障电压与电流信号中引 起严重的暂态噪声。暂态噪声的频率分量及各频率分量的参数对电力系统 滤波算法的性能有很大影响，完整准确的认识高压输电线路的暂态过程是 研究快速滤波算法的基础。 由于高压输电线路的长度较长同时线路分布电感和分布电容较大， 因此必须采用分布参数线路模型进行分析计算。文献 7 2 1 采用运算法对 高压分布参数输电线路的暂态过程进行了分析但只分析了单相系统的情 况。文献f 17 1 采用一种基于行波理论的计算方法网格法分析了高 压分布参数输电线路的暂态过程。上述文献都没有对高压分布参数输电线 路暂态过程中暂态噪声的高频噪声分量的频率成分及各频率成分的关系进 行研究。针对上述问题本罩以运算法作为基本分析方法，对高压输电线 路的暂态过程及暂态噪声各频率分量进行了全面的研究，尤其是三相系统 的暂态过程、暂态噪声高频噪声分量的频率成分及各频率成分间的定量关 系。 1 - 1单相系统的故障暂态过程 1 1 1电流故障分量的拉氏域表达式 图l1 为故障系统模型，为保护装设点，系统阻抗为z ，输电线 路采用分布参数模型。分布参数线路单位长度电阻、电感、对地电容分 别为r 、l 、c ( 忽略对地电导) 。当线路上的f 点发生短路故障时，根 据叠加原理，整个系统可以看作正常运行系统和故障分量系统的叠加。 暂态噪声分量只存在于故障分量系统中。与图1l 系统相对应的故障分量 系统如图1 2 所示。其中t f ( ) 、i f ( t ) 分别为故障点电压、电流的故障分 量，u ( t ) 、i n ( t ) 分别为保护测量点电压和电流的故障分量，故障点f 到保护量测点的距离为f 。为了分析方便i ( t ) 的正方向定义为由线 路指向母线，与保护测量电流的常规定义相反所以保护测量电流的故障 分量应为一i n 。设故障点电压的正常分置为u f f o ) s i n ( o t + 妒) ，则应有 u f ( t ) = 一u f ( o ) s i n ( w o t + 妒) a 6 浙旺大学博士学岔论文p 7 图1l ：系统模型 f i g u r e1 1 ：s y s t e mm o d e l 图1 2 ：图1 1 系统对应的故障网 f i g u r ei - 2 ：t h ef a u l tn e t w o r ko ff i g u r e11s y s t e m 根据分布参数线路的有关理论【67 | ，图1 2 线路上任意一点的电压和电流 应满足 一百0 u ( x , t ) = 她t ) + 掣d td z 穰( 。，t )。a u ( z ，t ) 一百。b 百广 ( 1 1 ) ( 12 ) 其中z 的值为n f 点的距离，方向从f 到。对式( 11 ) 和式( 1 2 ) 作拉氏 变换，可得 d u ( s ，o ) d x d l ( s ，o ) d x = ( r + s l ) i ( s ，z ) = s c u ( s 。1 ( 1 3 ) f 1 4 1 一万一 一r 又由u v ( s ) = u ( s ，0 ) ，i f ( s ) = ，( 5 ，1 ) ，可解得u f ( 8 ) 、，( s ) 与，( s ) 浙扛大学博士学位论文p 8 l ( s ，0 ) ，( s ) = u ( s ，f ) ，i n ( s ) = ，( s ) 间的关系为 l ( 5 ) = c o s h 7 l u f ( s ) 一z c s i n h ，y l ，f ，( 5 ) ”) = 一掣帅) + c o s h 7 1 i f ( s ) ( 1 5 ) ( 16 ) 其中7 = 碍再巧历丽称为运算传播系数，磊= 簪称为运 算波阻抗。把 代入式( 15 ) ，可得 u n ( s ) = z ，( s ) ) = 丽亲筹b 丽 ，= 篙糍高鬻 再把u v ( t ) 的拉氏变换 ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 。) ：一塑唑譬￥妄竺型( 1l o ) 5 。十 代入式( 1 8 ) ，即可解出h ( s ) 为 i n ( 垆一两锶装羞( 1 i t ) 为得到电流故障分量的时域表达式i n ( ) ，可以按式( 1 1 1 ) 的极点进行 分解，然后对每个因式进行拉氏反变换，即可得电流故障分置i n ( c ) 的各个 频率分量。因此，求解z ( ) 的关键是求式( 1 1 1 ) 的极点。显然，s = 士j ， 是一对共轭极点，代表了i n ( t ) 中的基波分量。令 z nc o s h f + z cs i n h y l = 0( 11 2 ) 式( 1 1 2 ) 的每一个实根或每一对共轭复根对应了i n ( t ) 暂态噪声分量的 一个频率分量。通常存在一个代表电流故障分量中的非周期分量的实根 s = 一曲，以及代表高频噪声分量的无穷对共轭复根s = 一以士j “t = 1 2 。 浙江丈学搏学位论文p 9 1 - 1 2 无损线路的电流故障分量 通过直接求取式( 1 1 1 ) 的拉氏反变换得到各个暂态噪声分量的解析解 比较困难，而实际高压输电线路的有功损耗非常小，因此在理论分析时可 以当作无损线路考虑。 此时有r = 0 、1 = s , v c 、z c = 、偿，令u = 南t = ；，则z c 为 线路的波阻抗，”为行波传播速度，r 为故障行波从故障点f 传输到保 护装设点的传输时间。再假设系统阻抗为纯电抗，即z n = s l 。代入 式( 1 1 1 ) ，可得无损线路的，( s ) 表达式为 一两器瞄蠹等埘 各暂态噪声分量的频率 对于无损线路式( 1 1 2 ) 变为 s l nc o s h ( s r ) + z c s i n h ( s 1 ) = 0( 11 4 ) 由于是无损线路。故障暂态噪声分量将不衰减，不难理解式( 11 4 ) 的 根为纯虚数5 = 扣。这样式( 11 4 ) 中的双曲函数就变成三角函数，而 式( 1 1 4 ) 则可进一步简化为 t a n u r ：一o j 矿l n( 1 1 5 ) o c 式( 1 1 5 ) 左倾4 为正切曲线，右侧为经过座标原点的直线。用作图法求 两曲线的交点即可得方程( 11 5 ) 的近似裉，如图1 3 所示。 t a 图1 3 ：式( 1 1 5 ) 近似根示意图 f i gl3 ：i l l u s t r a t i o no ft h e , a p p r o x i m a t er o o to fe q n 1 1 5 浙江大学博士学位论文p 1 0 由图1 3 可见，方程有一个根。= 0 ，它代表故障分置中的非周期分 量；除此之外方程还有无穷多个根，它们代表故障分量中的高频噪声分 量。每个根的范围可以表示为 唑u k 塑，：1 2 ，3 ( 1 1 6 ) 式( 1 1 6 ) 表示的是高频噪声分量各频率成分的角频率，它们的频率可 以表示为 学 孬k ， - l 2 3 ( 1 1 7 ) 进一步的分析不难知，不等式( 1 1 7 ) 的左边和右边分别是系统等效电 抗工_ o o 和l = 0 的情况a 电流故障分量中存在无穷多个高频噪声频率成分，其中最低频率厂1 的 变化范围为 击 磊1 ，l 与线路长度成反比即线路越长，频率越低。同时还与系统等效电 抗有关。系统等效电抗越大，频率也越低- 对于实际的有损线路，由于集肤效应频率很高的频率成分将迅速衰 减，对于反应基波分量的保护来说，这些频率成分可以忽略。 各频率分量的幅值 根据拉氏反变换展开定理，在求得式( 1 1 3 ) 中i n ( 6 ) 的各个极点s k ， k = 1 ，2 ，之后，只需求得i n ( s ) 在各个极点处的留数，即可求得电流 故障分量各频率分量的幅值。 令 州扣器 即p ( s ) 和q ( s ) 分别表示h ( s ) 的分子和分母。如果s = 的一个实根剐相应非周期分量的幅值为 忙俐l 其中 ( 1 1 8 ) 浙江大学博士学位论文p1 1 盟一二! 旦! ! ! 些! ! ! ! ! 面“! ! 一 0 如)2 s ( s l nc o s hs r + z c s i n h s r ) + ( s 2 + v 0 ) ( ( l 十l f ) c o s h 5 r4 - o r l ns i n h s r ) 如果s = 一4 - 灿为i n ( s ) 的一对共轭复根或虚根，则相应的基波或 高频噪声分量的幅值为 凡= 2 l 雨p ( s ) l ( 1 l u ) 把s = 代入式( 11 9 ) ，即可得基波分量的幅值4 。为 a 。面石忑面u 万f ( 疆o 磊丽0 2 0 ) 把s = 0 代入式( 1 1 8 ) ，可得非周期分最的幅值a f 为 4 f = 面u f 丽( o ) c o s ( 12 1 ) u o l n 十“n b l 由式( 1 2 0 ) 和式( 1 2 1 ) 并考虑到当0 时有s i n z z 、c o s 。l 及 乙r = l l ，非周期分量幅值与基波分量的幅值之比可以表示为 a f a o ( c o s 妒( 【_ o o l nc o s ( “2 0 t ) + 磊s i n ( w 0 t ) ) 0 2 0 l n + “o f c o s 妒( w o l n + 岫z c r ) w o l n + 岫叫 = c o s 妒( 1 2 2 ) 由式f l2 2 ) b 可见，电流故障分量中非周期分量的幅值与短路时刻的故 障角有关，当电压故障角为0 。或1 8 0 。时，非周期分量取得最大幅值，其 值与基波分置幅值之比接近1 。 把代表高频噪声分量第个频率成分的根s = 扎代入式( 11 9 ) 即可 得高频噪声分置第七个频率成分的幅值4 k 为 将式( 11 5 ) 代入式( 1 2 3 ) ，得 浙扛大学博士学熊论文p 1 2 一茫辚等需磊高 z a ， k = 1 2 由图l3 可见当系统线路电抗比铬较大( 即图l3 中直线的斜率较 大) 时，高频噪声各频率成分的角频率“k 将接近于式( 1 1 6 ) 左侧，即 。a 坚望 ( 1 z s ) 此时有 丝。3 0 i s i n u 七r s i n ( ( 七一；) 7 r ) = l u k 2 。2 7 _ 2 l 斋( ( 七一i 1 ) 7 r ) 2 l f ( l ，+ l f ) 同时考虑到 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) f 1 2 8 1 瞎( 1 2 9 ) 可得式( 1 2 4 ) c o ，a 大约与壶”去成正比a 而a - 大约为一2 的9 2 7 倍，相对其它频率分置倍数更大。 而当系统线路电抗比鲁较小( 即图1 3 中直线的斜率较小) 时，高频噪 声各频率成分的角频率u i 将接近于式( 1 1 6 ) 右侧即 呱一k r r ( 1 3 0 ) 此时有 一0 2 2( 1 3 1 ) u l w k 2 山2 下2 + l l ( l + l 1 ) 备( 七丌) 2 + l l ( l + l 1 )( 1 3 2 ) 而s i n 0 k r 的值将不再接近于1 ，但因其值较小f 图13 中的直线较接 近横轴) ，所以大约与u b 成正比式( 1 3 2 ) 的值也约与w 成正比。又由 浙扛大学博士学位论文p _ 1 3 式( 12 9 ) ，可得式( 1 2 4 ) 中j 4 t 大约与专一专成正比。4 l 大约为a 2 的4 8 倍相对其它频率成分倍数更大。 同时，由式( l 2 5 ) 并根据某种线路的典型参数可算出4 0 0 k m 的长线 对于无穷大系统( 系统等效电抗为0 ) 有 = 3 5 9 h z 、如= 7 1 8 h z ；对于系 统电抗很大的小系统育 = 1 8 0 1 t z ，2 = 5 3 9 h z 。实际输电线路的长 度通常要小于4 0 0 k m ，因此 、丘将更大。数字式保护装置通常都装设截 止频率为3 0 0 h z 到5 0 0 h z 的模拟低通抗混叠滤波器。另一方面由上面的 分析知频率成分，2 的幅值a 2 远小于频率成分 的幅值a l 。综合两方 面的因素，可知故障电流中高频噪声分量中频率成分 的能量远大于其它 频率成分其它频率成分相对于，1 可以忽略。频率成分，1 称为高频噪声 分量的主频。 对于短线路，l 也会远大于模拟低通滤波器的截止频率，所以将不会 反映在保护装置的电流采样值中。因此。从继电保护的实践角度来看，电 流故障分量的暂态噪声分量为非周期分量和高频噪声分量主频；对于短线 路则只有非周期分量。 下面讨论高频噪声与基波幅值之比叁的大小。由式( 1 2 0 ) 、式( 1 2 4 ) 、 式( 1 3 0 ) 和式( 1 3 2 ) 可得系统线路电抗比较小时争约为 石h k = 2 w i o l n 面s i l l ( 1 3 3 )a oo t “ 7 由式( 1 2 0 ) 、式( 1 2 4 ) 、式( 1 2 5 ) 和式( 1 2 8 ) 可得系统线路电抗比较大 时条约为 龛az 继。k l 裂n ( k 擎 ( 1 s 4 ， o一；) 7 r 、 。 由式( 1 3 3 ) 和式( 1 3 4 ) 可见，高频噪声分置的幅值与短路时刻的故障角 有关，当电压故障角为4 - 9 0 。时，高频噪声分量最严重。当系统线路电抗 比较小时高频噪声分量幅值相对于基波分置几乎可以忽略不计而当系 统线路电抗比较大时，高频噪声分量的幅值较大，其主频相对于基波分量 的最大比值约为0 5 ， 1 1 3电流故障分量中暂态噪声分量的衰减 要研究电流故障分量中暂态噪声分量的衰减就不能把分布参数线 路近似为无损线路，这要求直接求取式( 1 1 2 ) 的根。这是一个超越方程， 直接求取比较困难，下面先通过两种特殊系统即系统阻抗z 一。c 和 z ，= 0 的情况进行分析。 a ) 孙一。时 此时式( 1 1 2 1 可以简化为 上式显然有一个实根 浙江大学博士学位论文p a 4 ( r n + 8 l n ) c o s h l f = 0 r ， 5 3 一z l 此外由c o s h t = 0 ，及c o s h x = 竿，可得 e 2 1 i = 一1 2 、( r + s l ) a c l = j ( 2 k 一1 ) 7 r ，k = l ，： s 2 + 兰s 十( 号毛云竽) 2 = 。 又由r = = l , - l - c i ，上式可简化为 又由于 ( 1 3 5 ) 一扣庐手f 酉 。e ， ( 暑) 2 ( 轰) 2 方程的根( 式( 1 3 6 ) ) 可进一步简化为 s = 一墨士，笠竽 b ) z = 0 时 此时式( 1 1 2 ) 可以简化为 z c ( 5 ) s i n l l 7 1 = 0 所以有z 。( s ) = 0 或s i n h r l = 0 。由五( 5 ) = 0 ，可得 l ：t + s l ：n vs c 。 ( l ，3 7 ) ( 1 3 8 ) 故方程的一个实根为 r 5 一i 由s i n h l l = 0 和s i n h x = 竽，可得 浙江丈学博士学位论文p 1 5 8 2 1 f = l 2 x ( r + s l ) s c l = j 2 k r = 1 2 “r ( 志) 2 = 。 s 2 + 争( 竽) 2 = 。 ( 13 9 ) 求解此1 元2 次方程，可得根 r ，历瓦f 两 32 一瓦士v l 了j i 瓦 又由式( 1 3 7 ) ，方程的根可进一步简化为 s = 一是士j 竽 ( 1 a 0 ) 5 2 一瓦士了 ( 1 4 u ) 式( 1 3 5 ) 和式( 1 3 9 ) 所示的两个实根显然反映了z 一。和z = o 两 种系统下电流故障分量中非周期分量的衰减，即z 一o 。时衰减时间常 数( 以下简称衰减时常) 为 譬；当z = 0 时，衰减时常为去。这两种系统 下。非周期分量的衰减时常与线路分布电容完全无关。因此对于一般的系 统阻抗，非周期分量的衰减时常也应与无分布电容的l r 线路模型相似， 即约等于土比n + 鲢r i 式( 1 0 8 和) 式( 1 4 0 ) 所示的两组共轭复根代表了z 一o o 和z n = 0 时 电流故障分量中的高频噪声分量对比式( 1 3 8 ) 和式( 1 4 0 ) 的虚部( 表示相应 频率成分的角频率) - 9 式( 11 6 ) 的左右两侧可以发现，由于存在式( 1 3 7 ) 中