（基础数学专业论文）a调和方程弱解的积分不等式及其加权形式.pdf

摘要 术文首先给出a 调和方程弱解在i , 3 积指数为1 p c o 时的积分不等式 c a c c i o p p o l i 型积分不等式、弱逆h o l d e r 不等式，并在此基础上讨沦了其局部 加权形式。作为局部结果的应用，证明了在j j o h n 域上的整体加权结果。 关键词：4 j 一权函数，a - 调和方程，c a c c i o p p o l i 估计式，逆h o l d e r 不等式 d i s s e r t a t i o nt b rt h ed e g r e eo fms c i e n c eo fh e b e iu n i v e r s i t y i n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n dw e i g h t e d f o r m sf o r w e a ks o l u t i o n so fa - h a r m o n i c e q u a t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef i r s to b t a i ns o m ei n t e g r a le s t i m a t e sf o rw e a ks o l u t i o n so f a h a r m o n i ce q u a t i o n ，w h i c ha r et h ec a c c i o p p o l i t y p ee s t i m a t ea n dw e a k r e v e r s eh 6 1 d e r i n e q u a l i t yi nt h ec a s eo fi n t e g r a b l ee x p o n e n t 1 p c 。t h e n w eg e n e r a l i z et h e m i n t ot h el o c a lw e i g h t e df o r m a sa l la p p l i c a t i o no f t h el o c a lr e s u r ，w e p r o v et h eg l o b a l w e i g h t e di n e q u a l i t i e si n 占一j o h nd o m a i n s k e y w o r d s ：爿；。w e i g h t s ，a - h a r m o n i c e q u a t i o n ，r e v e r s e h 6 i d e r i n e q u a l i t y , c a c c i o p p o l i t y p ee s t i m a t e - 2 - 1i n t r o d u c t i o na n dn o t a t i o n s i n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n dw e i g h t e d f o r m sf o r w e a ks o l u t i o n so fa h a r m o n i c e q u a t i o n 1 i n t r o d u c t i o na n dn o t a t i o n s l e tqb ea no p e ns u b s e to fr ”( n 2 ) a m a p p i n g f = ( ，f 2 ，j ) ：q 寸r ”i s c a l l e d k - q u a s i r e g u l a r , 1 蔓k o o ，i f 厂吲。c ( q ) ，a n d t h e r ee x i s t sac o n s t a n t k 1 ，。) s u c ht h a t d d ( x ) l ”k d e t d f ( x ) ，口e x q n 1 1 h e r ed f ( x ) i st h ej a c o b im a t r i xo ft h em a p p i n g f ，d e td j ( x ) i st h ej a c o b i a no f ? a n d i d f ( x ) | = m a x i d ，( x ) 善li s t h e n o r mo f t h e m a u i xd f ( x ) f b l w es h a l ls t u d yt h ef o l l o w i n ga h a r m o n i c e q u a t i o n ( q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ) d i v a ( x ，v u ) = 0 ，a = ( a l ，a 2 ，a 。)( 1 2 ) h e r et h eo p e r a t o r a ：q r ”呻r ”s a t i s f i e st h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： ( i ) a ( x ，善) i b i 喜j 9 1 ；( i i ) ( 爿( z ，善x 舌) 甜孝1 9( 1 3 ) f o ra e 茗qa n da 1 1 善r ”h e r e0 a b c oa r ec o n s t a n t sa n d 1 p 0 t h i s i m p o r t a n tp r o p o s i t i o nc o n n e c t s t w ol a r g es e c t i o n so fa n a l y s i s n a m e l y ， q u a s i r e g u l a rm a p p i n gt h e o r ya n dt h et h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m u c h p r o g r e s si nq u a s i r e g u l a rm a p p i n gt h e o r yh a sr e s u l t e df r o m t h es t u d yo f e q u a t i o n s ( 11 2 ) ， ( 1 5 ) a n d ( 1 ，6 ) o nt h eo t h e rh a n dm a n yi n v e s t i g a t i o n so fs o l u t i o n so fq u a s i l i n e a r e q u a t i o n si nt h ef o r m ( 1 2 ) ，( 1 - 5 ) a n d ( 1 6 ) w e r es t i m u l a t e db yt h i sc o n n e c t i o nw i t h q u a s i r e g u l a rm a p p i n gt h e o r y f o re x a m p l e ，t h er e v e r s eh 6 1 d e ri n e q u a l i t ya p p e a ri n 17 ，w h i c hg i v e nb yf w g e h r i n gi nt h es t u d yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，h a s b e c o m et h em a i nm e t h o do ft h es t u d i e si nt h e t h e o r y o fr e g u l a r i t i e so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， t h ec h a r a c t e r i s t i co fe q u a t i o n ( 1 2 ) i sd i v e r g e n c e t y p e t h i sl e n d sah e l p i n g h a n dt o0 1 1 1 s t u d y r e c e n t l y , m a n y i n t e r e s t i n gr e s u l t so f p r o p e a i e so f w e a ks o l u t i o no f e q u a t i o n ( 12 ) ( f o re x a m p l e ，c a c c i o p p o l i t y p ei n e q u a l i t y , w e a kr e v e r s eh 6 1 d e r i n e q u a l i t ya n dr e g u l a r i t i e s ) c a nb es e e ni n 【3 - 7 1 b u ta l lt h ei n t e g r a b l ee x p o n e n to ft h e e s t i m a t e sw a sc o n f i n e dw i t h i nt h ed i m e n s i o n b e s i d e s ，t h ew e i g h t e dv e r s i o n so f i n t e g r a b l ee s t i m a t e sa l s oh a v eb e e nw i d e l ye s t a b l i s h e d t h et y p i c a lw o r k sc a r lb es e e n i nf 8 1 2 ( b yp r o f id i n g s h u s e n ) ， i nt h i s p a p e r , w ef i r s tp r o v et h ec a c c i o p p o l i - t y p ei n e q u a l i t y , w e a kr e v e r s e h o l d e ri n e q u a l i t yo ft h ew e a ks o l u t i o no fa h a r m o n i ce q u a t i o n ( 1 2 ) i nt h ec a s eo f i n t e g r a b l ee x p o n e n t1 p o 口e a l s oi n g e n e r a l 舡= w ( x ) d x ，w h e r ew i saw e i g h t ，a n dt h em e a s u r eo fas e te 匕r ”i sd e n o t e db y ( ) = j ：w ( x ) d x ，l e t 1 p 0 。，w e d e n 。t et h e w e i g h t e d l p - n o r m 。fa m e a s u r a b l e f u n c t i o n f o v e r e b y i i f l l 邮，。= ( lm ) ，w ( x ) 出) “9 ( 1 8 ) d i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fms c i e n c eo fh e b e iu n i v e r s i t y 2 p r e l i m i n a r i e s t h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dh 6 1 d e ri n e q u a l i t yw i l lb eu s e dr e p e a t e d l y 1 e ， p r o p o s i t i 。n 1 l e t 1 p ，口 0 a n d w r i t e w 4 ；，i fw ( x ) oa e ，a n d s u 。p ( 1dlj ：w a x ) ( 11 ) 1 c l r ，出 1 7 一“ 1 a n dc i n d e p e n d e n to f w s u c h t h a t f o ra l lb a l l s b r ” w l l 卢，b c i b l ( 1 一卢) 7 卢1 1 w l ，口 r 2 3 1 l e m m a2 2 t h e r ee x i s t sa ni n t e g r a b l e e x p o n e n tp ”s u c ht h a tf o ra n y w e a k s o l u t i 。n 吲k ( q ) o f a h a r m o n i ce q u a t i o n ( 1 2 ) ，“吲，k ( q ) h o l d s t h i sl e m m aa p p e a r si n 6 】i ts h o w st h a t w e a ks o l u t i o n “科山c ( q ) j “崂，。c ( q ) f o rs o m ep f ti t i sa b a s i c f a c t w e w i l l u s e i n t h i s p a p e r 4 3 l 。c a ic a c c i o p p o l i t y p e a n dw e a k r e v e r s eh b l d e ri n e q u a l i t i e s t h e 。r e m3 1 s u p p 。s et h a t “i s aw e a ks 。1 u t i 。nt 。( 1 2 ) 一m e nf o 。e a c h e 8 f u n c t i o n 妒( x ) c g ( b ) 、妒( x ) 0 ，t h e f o i l 。w i n gj n e q u a l i t y h 。1 d 8 ： 枷蛐阳( 等) 9 加俐似 pu f o ra n yb a l l b c qa n d m a y c o n s t 8 “t 。 p r 0 。f l e t “i s a 、v e a ks 。l u t i 。nt 。) c h o 。s e 叩( x ) 2 妒9 ( 抛( 。) 一。) 6 陟：船( n ) ，t h e n v 叩( x ) = p ( u - c ) v r p + 妒”v “，a n d l 妒9 爿( t v “渺) ) 出= 一p l p 9 一( 腆m v 妒出 b yi n e q u a l i t y ( 1 3 ) a n d h o l d e ri n e q u a l i t y ，w e 。b a i “ 口l 妒9i v u i 出l 妒9 ( a ( x , v u ) , v u ) 出 p l 妒9 一l u - c i i 爿( x , v u ) + v i ；o d x 6 p l 妒一1 “一州v “p 1 v 妒l 出 印fl i v 妒1 一i 。一c i 一办) 17 9 ( j ：妒9j v “1 出) 一。7 ” r e a r r a l l g i n gi t ，w eo b t a i n ( 3 1 ) t h i s e n d st h ep r o o f o f t h e o 。m 3 1 b vt h er e s u i ta b o v e ，w e c a no b t a i nt h ec a c c i o p p o l i _ t y p ei n e q u a l l t y t h e o r e m3 2 s u p p o s et h a t “i sa w e a ks o l u t i o nt o ( 1 2 ) a n dl e t m e r ee x i s t sac o n s t a mc ，d e p e n d i n go n l y o n 盯，以6 ，p ，a n d 胛，s u c h t h a t ( f 。i 幽( z ) l ，疵) 1 7 p c l 占1 一”( k 1 “( x ) 一c 9 出) ”9 f o ra l lb a l l s b c d 曰 q a n da n yc o n s t a n tc w ec a r lw r i t ei ti nn o r mf o r m ，i e | | d u ( x ) h p ii “( x ) 一c 忆, b cb i - i j o b d 1 t h e n ( 3 2 ) ( 3 2 ) p r 0 。f l 。p ( x ) 。c 孑( 。曰) ，。妒1 ，妒；1i n 。丑a n d v 妒( x ) 1 茎五芋兰；告 5 d i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fms c i e n c eo fh e b e iu n i v e r s i t y b yi n e q u a l i t y ( 3 1 ) ，w ec a ne a s i l yo b t a i n ( l 幽( 圳，出) p ( l p ( x ) 幽( 圳，出) ” 等似矿州删9 出) 9 等等( l 出h 9 出p = cb i _ ”( l i “( x ) 一c l ，出) 9 ( i nf a c t ，ib n r ”a n d 国。i s t h ev o l u m eo f t h eu n i tb a l li n r ”h e r e ，t h ec o n s t a n t c d e p e n d so n l y o n o - 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