（基础数学专业论文）dn型李代数的极大幂零子代数的自同构.pdf

摘要 在参考文献【3 中，曹和谭把由所有严格上三角矩阵所构成的李代数的自同构 问题已经完整的解决了，而这样的李代数恰好就是a 。型李代数的一个极大幂零子 代数所以这里很自然的就要考虑其他类型的典型李代数的极大幂零子代数的自同 构问题 假设n 是一个大于等于4 的整数，r 是特征非2 的有单位元的交换环，研。( r ) 是环r 上的d 。型李代数，是d 。( r ) 的一个极大幂零子代数在本文中我们将 计算出这个极大幂零子代数的所有自同构事实上，极大幂零子代数 厂的生成 元是很容易计算出来的，所以我们只需要计算出自同构妒作用在这些生成元上的像 就可以了 我们最后得到的结论是：如果i p 是极大幂零子代数 厂的任意一个自同构，那 么i p 可以表示成 其中u 。，弧，口。，n ，岣和p ，分别是图自同构，对角自同构，内自同构，伴随自同构， 第二中心自同构，和中心自同构在本文中把这些自同构叫做标准自同构 关键词：极大幂零子代数，标准自同构，典型李代数 a b s t r a c t k 王i e f e r e n e e 戮，c a o 鞠d d e s c r i b e dt b e8 u t o m o r 两i s 辍so fl i e 唾筘b 豫。f 专h e s t r i c t l yu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e 8o v e rrw h i c ：hi sam a x i m a ln i l p o t e n ts u b a l g e b r a o ft h ea nt y p ec 1 8 s s i c a ls i m p l el i ea l 驴b r a i 乞i sn a t u r a lt oc o n s i d e rt h i sp r o b l e mf o r o t h e rt y p e so fl i ea l g e b r 船。l n 躔ep r e s e n tp a p e rw e n s i d e r 强主sp r o 疆e mf o rt y p e kl i ea 培e b r a s l e tn 4b ean x e di n t e g e r ，rb eau n i t a lc o m m u t a t i v er i n go fc h a r 8 c t e r i s t i c 珏o t2 ，a n dd # ( 丑) b e8 上x - 移p ed 8 s s i c a ll i e 畦g e b r aa v e r 最。s e t b eam a x 浊a l i l p o t e n ts u 猢g e b r ao f 玻( r ) i nt h i sp a p w ed e t e r m i n e 荫la u t o m o r p h i s m s 、厂s i n c ei t i se a 8 yt od e t e r m i n et h eg e n e r a t o r 8o ft h em a x i m a ls u b a l g e b r a v ，w e o n 王y 靴e dt o 矗g 畦r eo u tt h ei m a 鬈e t h ea t ：l 幻m o r p h i s m 妒w h 主e ha p p l i e so nt h e s e g e n e r a t o r s o u rm a i nr e s u l ti st h a tf o ra n yf i x e d 妒a 札( ) ，i tc a nb ee x p r e s s e da s 译= 文蛹。飞v 弘j w h e r e ，m ，吼，吩a n d 肛，a r eg r a p h ，d i a g o n a l ) i n n e r ，a d j o i n t ，s e c o n dc e n t r a la n d c e n t r a la u t o m o r p h i s m sr e s p e c t i v e ly _a ut h i 8a u t o m o r p h i s m sa r ec 越l e ds t a n d a r d a u t o l 珏o r p h 遮m si n 瞧远p a p e r ， k e yw o r d s ：m a x i m a in i l p o t e n t8 u b a l g e b r a ，8 t a n d a 埘a t 王t o m o r p h i s m ，c l a s s i c ml i e 8 l g e b r a l i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 学位获得者( 学位论文作者) 签名：苏、锣彳乙 沙( 年6 月耳日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l i ea l g e b r ad e r i v e df r o mav e c t o rs p a c es p a n n e db yl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ，叽d a t t a c h e dw i t hal i eo p e r a t i o n ： 【z ，可】= z 掣一掣z ( t h er i g h to p e r a t i o ni st h eu s u a l m u l t i p l i c a t i o no fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ) t h ef o r m “d e 丘n i t i o ni s 船f o l l o w s ： d e 丑n i t i o n1 1工e 6 e 口 e c o rs 粥c e 鲫e r 口再e f df 巧h e r ee 武s t s no p e m t i o n 9 9 + 9 ，d e n d t e d6 ( z ，) 卜k ，】，壮以i c s d f i 点向i n g 矾o t j ，纳e 口p e m t i d n ，】妇6 i 如n e o r ， 动，p ，z 1 = o ，o ro “茁9 ， r 圳，陋【玑z 】+ 阻k ，z + k 扛，引】= o ， z ，。9 ， e ngi sc 口“甜n 工i ed 幻e 6 md e r f 删【 ， 诂c f f e d i e6 m 砖e 叩e m “d n d e 矗i t i 仰1 2l 以g 帆d9 6 et 山d 三i en 细e 6 删。口e ro 剐df 玎砘e 代硎舶 。他如d m d 印 拈仇0 ，如n r 印n c e ：蛋9 ，s 珏c 矾耐( k ，们) = 扛) ，国) 】扣r 口f f z ，鲈岔，执e n 叫es 8 掣go n dg o 他拈。m d 印 i c 口付d 如c “甜n 仃i s o m d 叩 i s ，7 ；盯 9 = 9 ，掘e n 币i sc 口l f e dn nd “d ，n d r p i s ld ，蛋 t h ep r o b l e mo fc h a r a c t e r i n ga l g e b r aa u t o m o r p h i s m sa n dl i ea u t o m o r p h i s m so f m a t r i ) 【a l g e b r a sa n dc h e i rs u b a l g e b r a sh a sb e e nc o n s i d e r e di nan u m b e ro fp a p e r s 【1 5 ，8 ，9 】i np a r t i c u l a r ，f o ra c o m m u t a t i v er i n grw i t hi d e n t i t y ，c a of 3 】h a sd e s c r i b e d t h eg r o u po ft h e 皿a l g e b r aa u t o m o r p h i s m so ft h es t r i c t l yu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e s o v e r 兄c a o 【5 h a sd e s c r i b e dt h ea u t o m o r p h i s mg r o u po ft h el i ea l g e b r ac o n s i s t i n g o fa us t r i c t i yu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e so v e ra ni n t e g r a ld o m a i no fc h a r a c t e r i s t i c o t h e r 七h a nt w 00 rac o m m u t a t i v el o c a lr i gt h a tc o t a i n s2 璐au n i t t h em a i na i m o ft h i sp 印e ri st od e s c r i b et h ea u t o m o r p h i s mo ft h em a x i m a ln i l p o t e n ts u b a i g e b r a o f t y p ed 。l i ea l g e b r a s i nc h a p t e r2 ，w ew m 西v eas i m p kd e s c r i m b no ft h e 谤p ed nc l a s s i c a ln ea l g e h a w h i c hi sd e f i n e do v e rau n i t a lc o m m u t a t i v er i n g 兄o fc h a r a c t e r i s t i cn o t2 a n dt h e n t h em a x i m a ln i l p o t e n ts u b a l g e b r a o ft y p e 上) nl i ea l g e b r 硇i se x p r e s s e d i ti se a s y t ok n o wt h a te t ，1 i na r et h eg e n e r a t o r so f 厂i nt h i sc l l a p t e r ，w ea l s od e s c r i b e t h er o o ts y s t e m a n dt h es i m p l er o o ts y s t e mn ，a n dt h e nd r a wt h ed y n k i nd i a g r a m 1 0 f d 。( r ) i nc h a p t e r3 ，w ew i l lg i v et h ed e 6 n i t i o no ft h es t a n d a r da u t o m o r p h i s m so f 、厂， d i a g o a la u t o m o r p h i s m 讥，i n n e ra u t o m o r p h i s m 口o ，a 由o i n ta u t o m o r p h i s m ，g r a p h a u t o m o r p h i s mu 5 ，c e n t r a la u t o m o r p h i s mp 口a n ds e c o n dc e n t r a la u t o m o r p h i s mb ， w h i c hb u i l dt h ea u t o m o r p h i s mg r o u po f i nc h a p t e r4 ，w ew i ud e t e r m i n et h ea u t o m o r p h i s m so f 厂l e ta t 上u 、厂) b et h e g r o u po ft h e l i ea u t o m o r p h i s m so f 厂 s i n c ee i ，1 is 亿a r et h eg e n e r a t o r so f t h em a x i m a in i l p o t e n ts u b a l g e b r a ，w eo n l yn e e dt o 、r ko u tt h ei m a g eo ft h e a u t o m o r p h i s m 妒w h i c ha p p l i e so nt h e s eg e n e r a t o r s d e n o t em = 旷，m = 讥，m 】， ，。= w j ，n l 】，w h i c hi s c a l l e dt h ed e s c e n d i n gc e n t r a ls e r i e so f f o r a i l y 妒a “t ( ) ，s e t m o dm ，l 茎isn ， w h e r en t ，兄f o rl ! i ，j n s u p p o s et h ec o e 伍c i e n tm a t r 政i sa ( 妒) f i r s tw ew i l l p r o v et h a tt h e r ee x i s t sg r a p ha u t o m o r p h i s m 峨a n dd i a g o n a la u t o m o r p h i s m 瓢s u c h t h a tt h em a t r 呔a ( 叩 一1 龇一1 妒) i sa ni d e n t i t ym a t r i ) 【n e x tw ew i l l 舾s u m ea ( 妒) i s a ni d e n t i t ym a t r i xf o rs o m e6 x e d 妒a u t ( ) t h e nw ew i up r o v et h a tt h e r ee x i s t s i n n e ra u t o m o r p h i s m 仃u ，a d j o i n ta u t o m o r p h i s m ，s e c o n dc e n t r a ja 肛t o m o r p h i s m 吩 a n dc e n t r a la u t o m o r p h i s mp ，s u c ht h a t p 7 1 巧1 7 i l d i l 妒( e i ) = e ；f o r 1 i s 礼 t h u s w eh a ep r d v e dt h a tf o ra n y 妒a u t ( m ，妒c a b ee x p r e s s e da s 译= u 胡旧一 u g 协| w h e r e 峨，咖，吼，凡，峋a n d 【占，a r eg r a p h ，d i a g o n a l ，i n n e r ，a d j o i n t ，s e c o n dc e n t r a la n d c e n t r a la u t o m o r p h i s m sr e s p e c t i v e l y 2 勺q 。础 三 0妒 c h a p t e r2t y p ed nc l a s s i c a ll i ea l g e b r a i nt h i sc h a p t e rw ew i l lg i v eas i m p l ed e s c r i p t i o no f 七h et y p e kc l a s s i c a ll i e a l g e b r a t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u m et h a tr i sau n i t a ic o m m u t a t i v er i n go fc h a r a c t e r i s t i cn o t2 d e n o t er + ：r o ) l e t 靠( 莉b et h ea l g e 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，e 2 ，e n i st h en o r m a l i z e do r t h o g o n a lb a s eo f 舻 i t i s c l e a rt h a tt h ev e c t o rs e t ( s l 一2 ，e 。一l e 。，e n 一1 + n i sab a s eo f t h u s = 矗一矗+ l ，1 isn 一1 ，e n l + e n i st h es i m p l er o o ts y s t e m t h et y p ed n c l a s s i c a ll i ea l g e b r ac a nb ee x p r e s s e da s d 。( r ) = h + 如， d w h e r ed i m 如= la i l d 日i st h ec a r t a ns u b a l g e b r ao fd 。( r ) i ti sk n o w nt h a tt h ed y n k i nd i a g r a mo fd ，l ( r ) i s e l e 22 一3 e 3 一4e n e n l 一n e n l + e n f o ra n ya ，nc a nb ee x p r e s s e da st h es u mo f t h es i m p l er o o t s e t ( o ) b e t h eh e i g h to f 口，w h i c hi st h en u m b e ro f t h es i m p kr o o t so f a i ti se a s yt os e et h a t ( a ) = 1i fq n 4 c h a p t e r3 t h es t a n d a r da u t o m o r p h i s m s 【nt h i sc h a p t e r ，w ew i l l 西v et h ed e l i n i t i o o ft h es t a n d a r da u t o m o r p h i 8 m so f ， d i a g o n a la u t o m o r p h i s m ，i n n e ra u t o m o r p h i s m ，a d j o i n ta u t o m o r p h i s m ，g r a p ha u t o - m o r p h i s m ，c e n t r a la u t o m o r p h i s ma n ds e c o n dc e n t r a la u t o m o r p h i s m ，w h i c hb u i l d 曲e a u t o m o r p h i s mg r o u po f u n d e ro u rc o n d i t i o nf o r 冗t h es t a n d a r da u t o m o r p h i s m s o f a r ea s f o l l o w s 了d i n g d n o fn 让f d m d 印 诂m s e t d = i = d i n g ( l ， 2 ， 。， i 1 ， i 1 ，- ， ：1 ) a 如。( 兄) b eas u b g r o u p o f g l 饥( r ) f b ra n y d ，t h em a p 叩 ：zh z ，z i s a na u t o m o r p h i s m o f s i n c e i sad i a 学o n a lm a t r 议w ec a l l 叩 ad i a g o n a la u t o m o r p h i s m i ti se a s y t ov e r i f yt h a t 铂( a j ) = 惫a 玎，咖( b b ) = b ，l si j 仇 i ti sc l e a rt h a t 讥l 仉2 = 珊i 2f o r i ，l b 2 d s ot h es e to fa l lt h ed i a g o n a l a u t o m o r p h i 8 lo f i sas u b g r o u po fa u t 0 厂) 3 2 知礼e ro o r r i o r p 如仇 l e te b e t h e2 n 2 礼i d e n t i t y m a t r i xo v e r r f o ra n y ”，l e t ：卜_ _ z 暑，z ， w h e r ez = e + z 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yl e m m a4 1i ti se a s y t os e et h a tf o ra n yz m m ，zc a nb ee x p r e s s e da s n l z 三 口。a 件l + n n b 。一1 n l = l 三d l e l m o dm ， = 1 w h e r e 啦rf o r1 isn f t o mn o wo n ，w ew i l ld e n o t ea + 1w i t he if o rl isn l ，a n d 艮一l ，nw i t h e n s u p p o s e n 妒( e i ) 三q 。e j m o d 札， lsi n ， w h e r e6 吣rf o r1 i ，j 礼l e t a ( 妒) = n l i t 。、 ： ：l i 口n l 口n n ， 8 ( 4 1 ) l e m m a4 2 眈如r d 叫口扎d c ac d f u m no ，a ( 妒) 8 se z o c t 如o n en d n z e 阳e n 叼 p r o o f f i r s to fa l l ，f r o mt h ee x p r e s s i o n so fa l lm o t s ，、v ek n a w 恤a t ( a d e l ) 2 = 0f o r a ui = 1 ，2 ，礼 w bs h a l lo n l yp r o v et h a tt h e6 r s tc o l u m no fa ( 妒) h a so n l yo n ee n t r yw h i c hi s n o tz e r 0 ，t h er e s ta r es i m i l a r t bt h ec o n t r a r y s u p p o s et h a tt h e6 r 8 ta n dt h el a 8 t n o n z e r oe n t r i e sa 鹏唧i ，l 0a n dq 2 1 0 s oj l 1 ，a j l d o = 0 。l 一1o rc + li f j 2 一j l = 1 t h i si s ac o n t r a d i c t i o n 口 l e m m a4 3 盯礼5 ，a ( 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，机r pe 乱 e r 字r p a n d 譬= o ， i n ， d r 字= oa n d 竽兄p + ， zs i n z 强e n 纳e 他e z 妇如n 佗i d e m t e n rs “如抽以 。r ，执( 1 一e ) ra n d 。+ 6 ：r + ，1 i sn ( 4 8 ) p r o o f t h i si sl e m m a3 2i