（基础数学专业论文）几个全纯函数空间上的复合型算子.pdf

摘要 本论文研究了几个全纯函数空间上的复合型算子，全文共三章 在第一章，我们对复合型算子的有界性和紧性问题的历史背景与现状 进行了综述 在第二章，我们研究了伊中单位球口上一般函数空间f ，q ，8 ) 到b l o c h 型空间伊之复合算子。的有界性和紧性问题，对所有的0 p 、8 0 0 ， 一亿一1 q 0 0 ，一1 q + 8 o o ，0 q 1 ) 中单位球上b l o c h 型空间凡到阮之 加权复合算子巧，妒的有界性和紧性问题，给出了巧，妒为以到阮的有界算 子或紧算子的充要条件 关键词：复合算子，加权复合算子，f 0 ，q ，s ) 空间，有界性，紧性# - b l o c h 空间 a b s t r c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oc o m p o s i t i o nt y p eo p e r a t o r so nh o l o m o r p h i cf u n c t i o n ；p a c e so nc n i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n tc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n ds u m m a - d z e df o rt h es t u d yo fb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o nt y p eo p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，t h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o rg f r o m g e n e r a lf u c t i o ns p a c ef 0 ，q ，s ) t ob l o c h - t y p es p a c e 伊i sd i s c u s s e do i lt h eu n i tb a l lb f o ra l l0 p 、s 0 0 ，一礼一1 q o 。，- 1 q + s o o ，0 p 时有界性和紧性的充要条件，这 是借用了b l o c h 型空间的一个等价范数，有实质性的意义，但所得结果含 一般的u ，应用和验证起来存在不方便的问题，况且用此种处理方式无法 给出其他情形的充要条件本文第二章解决了这个问题，通过引进f i n s l e r 。 度量对所有0 p ，s o o ，一n 一1 q o o ，一1 q + s ，0 q o o 情形获 得单位球上f ( p ，q ，8 ) 空间到b l o c h 型空间伊之复合算子之有界性和紧性的 较直观的充要条件主要结论为： 定理2 3 1设0 p 、s o o ，一亿一1 q o 。，一1 g + s c o ， 0 口 o 。，妒为b 上的全纯自映射，则。为f ( p ，q ，5 ) 到伊之有界算子 的充要条件为： ，1 i 1 2 、n s 叫u p1 一( 1 川- l z i l 2 - ) ) 乎- g v ( z ) ( 眦) ，眦) ) ) 壶 o o 具体来说就是： ( 1 )当0 ( n + 1 + q ) p 1 2 时， 霉瓦( 丽1 - 矿 z 2 ) az 曲( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 甲 ( 1 - i 妒( z ) l 。) 掣刚z ) 1 2 ) i 1 o o ； ( 2 3 1 ) 硕士学位论文 ( 2 ) 当唧+ 1 + q ) v = 1 2 时， s u p 一坠引凳 。z e b 【1 一i 妒【z ) 1 2 ) j t ( 1 一。9 2 南刚z ) 1 2 + l 1 2 ， 1 2 时， s 舢u p ( 1 一( 1 川- - z i 。2 ) ) 乎e 1 ( 1 - 帅俐2 + i 降 。( 2 3 3 ) 这里r 妒( z ) = ( 兄妒。( z ) ，r 妒n ( z ) ) ，径向导数 砌- v 删p = 勿筹( f _ 1 7 2 ， 定理2 3 2设0 p 、s 0 0 ，一n 一1 口 o o ，一1 口+ s ， 0 口 ，妒为b 上的全纯自映射，则。为f p ，q ，s ) 到伊之紧算子的 充要条件为：对一切z 寻1 ，2 、，钆有忱矿且 ( 1 ) 当0 1 2 时，若i 妒( z ) l _ 1 ，有 篙貉 ( 1 批) 1 2 恻z ) | 2 + | n 1 2 训( 2 3 1 3 ) 这里r o ( z ) = ( r 妒t ( z ) ，r 妒n ( 2 ) ) ，径向导数 鼢- = 乃筹( f - l 2 几个全纯函数空间上的复合型算子 对于单位球上b l o c h 型空间上复合算子问题，就正规权情形，文献【1 0 】 利用b e r g m a n 度量给出了n 1 2 时艮到风之加权复合算子耳，妒为有界 算子和紧算子的充要条件，文献 1 2 】也在凡上讨论过。的性质但是， 当n 1 且0 1 ，p 和是 0 ，1 ) 上的正规函数，妒是b 上的全纯 自映射，妒h ( b ) ，则，妒是以到尻有界算子的充要条件为： s u p ( i z l ) i 妒( z ) i g 荔( z ) ( r 妒( z ) ，r 妒( z ) ) ) 壶= m o 。 ( 3 1 3 ) z e b 、 且 s 砌u pv 淝洲i ( 1 + 广川高出) _ 1 ，p 和是【0 ，1 ) 上的正规函效，妒是b 上的全纯 自映射，妒h ( b ) ，则，妒是以到尻紧算子的充要条件为：妒凡、对 所有2 | 【1 ，2 ，n ) 有妒慨毋且 ( 1 ) 当z 南d t o o 时 ，i ，o c z ) l - - - , 1 剑幽龉掣- o ( 3 ) ， i p 【i 妒【z 川 ( 2 ) 当z 1 志班= o 。且z 1 丽1 砒 k o ( 3 1 6 ) 硕士学位论文 ( 3 ) 当z 1 丽1 砒= 时， ( 1 6 ) 式成立并满足 m l 圳i m 删i ( 1 + 广w 高疵) = 0 慨”， 这里r 妒( z ) = ( 冗妒1 ( z ) ，r ( z ) ) ，径向导数 晰) - v 州巩一喜乃跏( 1 = 1 , 2 - - , n ) 4 几个全纯函数空间上的复合型算子 2 单位球上f ( p ，q ，s ) 到复合算子再刻划 2 1 问题的引进和定义 设b 表示c n 中的单位球，如为标准体测度，满足v ( b ) = 1 h ( b ) 表 示b 上的全纯函数类对c n 中的点z = ( z l ，磊) 和伽= ( 切- ， n ) ，记 2 勿一w j j = l 设g ( z ，a ) = l o g l 妒d ( z ) l _ 1 是b 上在a 点具有对数级奇点的g r e e n 函数， 这里妒口是b 上的m s b i u s 变换，满足妒。( o ) = a ，妒口( o ) = 0 ，= 1 对 0 p o 。，0 8 ，一n 一1 q o o ，- 1 q + 8 o o ，若f h ( b ) 且 i l f l l ) ：l ，( o ) i + s u p 厶v ，( z ) i p ( 1 一汗) 口矿( z ，口) d r ( z ) p o o ， i i a e b - ，bj 就称，属于一般函数空间f ( p g 3 ) ，这里复梯度v f ( 2 ) = ( 导，导) _ 当取某些特殊参数p ，q 和8 时f p ，q ，8 ) 包含许多函数空间，如b l o c h 型空 间、q 。空间、b m o a 空间、b e r g m a n 空间、h a r d y 空间、b e s o v e 空间等 对0 q o o ，定义b l o c h 型空间如下： ，、 伊= ，：f h ( b ) 且i i f l 俨之i ，( o ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) ni v f ( z ) i o o 这样定义的伊是一个b a n a c h 空间，当q = 1 时为b l o c h 空间，当0 p 时 有界性和紧性的充要条件，这是借用了b l o c h 型空间的一个等价范数，有 实质性的意义，但所得结果含一般的u ，应用和验证起来存在不方便的问 题，况且用此种处理方式无法给出其他情形的充要条件本文就是要解决 这个问题，对所有0 p ，8 0 0 ，一礼一1 q 0 0 ，一1 q + 8 0 0 ，0 q 0 0 情形获得单位球上f ，q ，8 ) 空间到b l o c h 型空间伊之复合算子有界性和紧 性的较直观的充要条件由于当0 1 2 时，g ：( 让，u ) = ( 1 一l z l 2 ) i 仳1 2 + l 1 2 ；当 q = 1 2 时， g ：( u ，乱) = i u l 2 ( 1 一i z l 2 ) l 0 9 2 志+ i 1 2 ； 当0 口 1 2 时， g z ( 让，u ) = ( 1 一l z l 2 ) 缸1 2 + i 1 2 本文中c 表示与变量z 、叫、a 无关但可以与某些有界量和参数 p 、q 、8 ，q 等有关的正数，不同的地方可以代表不同的数；e 和 f 等价是指存在正的常数a 。和a 2 使得a t e f a 。e 下文中记号 l i f l l 2 = s u p ( 1 一i z l 2 ) q v f ( z ) l ，i i f l 口，3 = s u p ( 1 一l z l 2 ) qi r f ( z ) l ，这里0 q ：bz e b n of o o ，fe 日( b ) ，径向导数r f ( z ) = 乃罴( z ) 2 2 有关引理及其证明 为了给出主要结果，首先给出或者证明一些引理 引理2 2 1 【1 7 】 设0 口 c x ) ，若f h ( b ) 且i i f l l a 。3 o 。， z b 6 几个全纯函数空间上的复合型算子 以及o b 和 = 0 ，当0 i a f 1 2 时，设定数0 砌 1 ，若 i v f c z ) l 仇( i z l r 0 ) ，贝i ji i 仇+ c ( 1 一r o ) al l ，l i 口，3 对一切 r o 1 成立 引理2 2 2 1 7 1 设0 口 0 0 ，日( b ) ，则m l a 1 、m l a 2 和m b 是 等价的 引理2 2 3 【1 8 l 设0 口 o o ，若，矿，则当0 a 1 时， i f ( z ) l c i l f l l 胪；当q = 1 时，i ，( 2 ) i cl o g r i 孑l i 川川当1 口 时，。i ( z ) i c ( 1 一i z l 2 ) 1 - ni l y lj 卢a 引理2 2 4 1 q 若，f ( p ，g s ) ，则，p 学且| l ，1 1 日学ci l f l l 。) 引理2 2 5 设一亿一1 g 0 0 ，0 s o c ，一1 q + s o o 则存在常数 c 使得 器z 旺等第并州z ) c 证明： 对任意叫，口b ，若0 s 一1 知，我们可取s 1 ：昙，s 2 ：2 s ，z ：燮 z s 2 一s 使得0 s 1 一1 和z 1 由( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 以 及h a l d e r 不等式得 丘瓜等紧q - i - 嚣赫酢)厶1 1 一 i n + 11 1 一 1 2 5 ”u 叫 ： 厂j l 坐罢等堕二噬竺竺= ! 一如( z ) ，日1 1 一 i 掣+ 旦芝芦1 1 一 1 2 a 2 + 2 ( 5 一眈) ”叭叫 t z 叵等弊端耘蚓； t 以硪甓箸带舞喇专聱 这里仃l ：坐，观：塑，三+ _ 1 ：1 zzz掣 2 3 主要结果及其证明 定理2 3 12设0 p 、 s o o ，一佗一1 g 。，一1 q + s 0 0 ， 0 口 ，妒为b 上的全纯自映射，则q 为f 0 ，口，s ) 到伊之有界算子 的充要条件为： s 叫u r , 1 一( t 荆- p i f f 2 ) ) 下 g “眦) ，眦) ) ) o o 具体来说就是 几个全纯函数空间上的复合型算子 ( 1 ) 当0 ( n + 1 + q ) p 1 2 时， s u b p 器 二 ( 1 1 2 ) 掣i r 妒( z ) 盯 o 。； ( 2 3 1 ) ( 2 ) 当( n + 1 + q ) p = 1 2 时， 。( 1 一i z l 2 ) n 、骝赤赫 ， ( 1 咄( 扪时嘉怖1 2 + i 1 2 ) 。 1 2 时， 裟苫矧每m 咄1 2 ) m ) 1 2 + i 1 2 ) k 甑( 2 3 3 ) 这里r 妒( z ) = ( 兄妒- ( z ) ，r 妒n ( z ) ) ，径向导数 眦) 嘻句筹( 函蠢 则当，f ( v ，g ，s ) 时，由引理2 2 4 知，p 堡学，再由引理2 2 2 知 l i o 厂il a ，2 c i i q ，il a ，3 = cs u p ( 1 一i z l 2 ) 口l i z b = s 舢u p ( 1 一c ( 1 - z f 2 2 ) ) 乎a 删z ) ，脚) ) ) 1 2 蚓攀蒜擗嬲游型剑峥， “ g 妒( ：) ( 邱( z ) ，邱( z ) ) ) 垅 。叫甲l c m i i 1 1 8 学c m i i f l i f o , ，m 硕士学位论文 由上述不等式和引理2 2 3 有，i i o 川俨2 f ( q o ( o ) ) l + l l c d l l 础c l l f l l 口学+ l l o f l l n ，2 _ c l l f l l 口学 c m l l f 1 f 一) ，即。为f ( v ，g ，s ) 到伊的有界算子 反过来，若。为f ( v ，q ，s ) 到伊的有界算子，首先通过取，( z ) = z l y ( p ，q ，s ) 立即可得q o l 矿( z = 1 ，2 ，佗) 任取0 叫b ，当i 妒( 伽) i ( t o 充分接近1 ) 时，若0 + 1 + q ) v 1 2 ，则 若渊每 ( 1 咄( 堋掣毗) | 2 + l 。 p 南+ 南小州州州陋舢。 若( 礼+ 1 + 口) v 1 2 ，贝0 。 石：桀 ( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) i r 妒( 叫) 1 2 + i 1 2 ) v 2 与掣c 白洮。 【l 一j p 1 = 1 这表明( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 式成立 下面总假定l 妒m ) i r o i 讵记z o = 妒( 叫) i 妒( 伽) l ，令兄妒( 伽) = v 1 7 - , 0 + v 2 = e t 口1 i v l lz o + e i 0 2 i v 2 l ，其中 = 0 ，= 1 1 0 一 几个全纯函数空间上的复合型算子 取示性函数 z咐(z)=i：_=：j-；rj,：ey-弋口i1二(=_1：-_：k_o；(w乏：)五12铲)+ e 一娩 z i 南， v 眦，= 是撵 ( 1 一 ) 。尹+ 1 + e 一地享 南+ i i ： 三 三i 隅， c 2 3 4 ， 特别地 v 撕膳器一妣享广w 2 高江3 劫 由于i j 2 + i 1 2 i z l 2 1 v 互，所以 iq p i 1 2 儿2 i i - z , i ；o ( 咖p ( 2 3 6 ) 当+ 1 + 口) 屈v 2 时，由( 2 3 4 ) 和( 2 3 6 ) 式知f v 厶( z ) f 再i 二_ 三_ 兰专黔+ lz 南i + 丁i 二_ 三_ 叁亏；洳 f i 研t j l ：+ f i 焉稗f i 和 由引理2 2 5 和简单计算知 名 ( 列 。i v 厶( 纠p ( 1 一i 卵) 勺8 ( z ，口) 如( z ) g k 阳瓜焉菇鬻q + n + l 书氅弭酢) c ( 2 神) 一 吾 j ( 力j 】j 1 一 jj i 二_ = 三一乏研口l z ，s c i 乙文，) 同时 以出一v 厶队1 咄1 2 ) 沁，口) 毗) scf j l u l _ f c ，j “l 坠- i 啦( “) 1 2 ) 口( 1 一l a l 2 ) n + - z 妒丽1 如( u ) 切5 瓦1 i d r ( 让) 硕士学位论文 f cf j l t l 1 0 9 8 瓦1 id r ( u ) c 上1 0 9 8 瓦1 i d v ( u ) c ( 2 3 8 ) 由( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 式可知l i 丘i l f ( p ， ) sc 当( 他+ 1 + q ) p = 1 2 时， l v 胁) l f 石品砰“叼f 品冈 + 7 r 由l o g 妻_ o 一o + ) ，故存在0 6 6 时 忉f 南f 石b 可，则 似力l f j 焉邓4f 石鼢 ( 2 舢) 当i i j 时， 一 i v 世坐e 石高弭搀击+ 7 r f i 鼢，l ( 掣。) 由( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) 式以及引理2 2 5 和( 2 3 8 ) 式知i i 厶怯。) c 另外由s u p l d 夕2 1 ：4 e - 2 且s 1 】p z + ( 1 一z ) 2 口) = 1 + ( 1 20 f ) ( 20 i ) 亡 2 o z l z o z l ( 0 q 1 2 ) ，我们有g 埘w ，叫) 2 1 w 1 2 2 由q 的有界性和( 2 3 5 ) 式以及g 叫w ，叫) c i | q | | i l o 厶怯( p ， ) 2i i o 丸l i 伊c q 厶l c ( 1 一l 叫1 2 ) 口l 蚕 2 j 瓦丽铲十。瓦碑j c ( 1 一1 w 1 2 ) nri f 2 兰瓦面而t 百i 丽萨 1 2 几个全纯函数空间上的复合型算子 由于l 妒( 叫) l 充分接近1 时，坠二铲以及 与茜翥笋z d 9 2 南都充分接近于。，通过上式按( n + l + q ) 屈的大小 分情况可得 坠业警粤粤盐掣业 c i 。( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) p 。 由训的任意性知( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 式z 2 , - r 定理2 3 2 l 设0 p 、8 o o ，一n 一1 口 o o ，一l 口+ s o o ， 0 口 o o ，妒为b 上的全纯自映射，则。为，p ，g ，8 ) 到伊之紧算子的 充要条件为：对一切f - 1 ，2 ，n 有忱矿且 ( 1 ) 当0 1 2 时，若i 妒( z ) i _ 1 ，有 ： 石_ 器 ( 1 一i 妒( 2 ) f 2 ) f 兄妒( z ) 1 2 + i 1 2 v 2 _ 0 ( 2 3 1 3 ) 证明：若对一切f - 1 ，2 ，n 有仰伊且( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 3 ) 式分别成立 设 乃) 为任意在b 的任一紧子集上一致收敛于0 且满足i i f j l l f ( p ， ) 1 的 序列 1 3 ) 西 “剥舞嘶 毒p i 三一 i | 嚼 一0产名 乎 垃i簪南锱每r蒜铲 一 训一舻吨一 一一一一 硕士学位论文 当o ( n + l + q ) v 1 2 时，由( 2 3 1 1 ) 式成立，则对任意0 e ( 丢) 醴业， 存在1 2 1 一而2 丽p 时i v h c w ) l 几设冗妒( z ) 2 撕蕾罱+ 地，其中 = 0 ，= 1 由引理2 2 1 和引理2 2 4 知，当j 时， 一： i + c ( 1 6 ) ；一苎产i i 乃f i 华，3 + 伲l l h l l f ( p 崩。) 伢( 2 3 1 5 ) 当i 妒( z ) i 6 且歹 时，由( 2 3 1 4 ) 一( 2 3 1 5 ) 式和引理2 2 2 得 ” ( 1 一l z l 2 ) n i r ( f jo 妒) ( z ) i = ( 1 一i z l 2 ) n i i = ( 1 - i z i 2 ) a i 三j 乙生鱼堑塑上里琶未豸声业一f 冗易( z j ， i 4 蚓旦学，3 + 芘恻i q 3 c e + c e m 融 ( 2 3 1 6 ) 若l 妒( z ) is6 ，则由忱伊和引理2 2 2 得 ( 1 一i z l 2 ) n i r ( f jo 妒) ( z ) i = ( 1 一i z l 2 ) a i i i v 乃( 妒( 2 ) ) i ( 1 一i z l 2 ) a i r 忱( z ) i c l l 仰l b 。 ( 2 3 1 7 ) 由( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) 和引理2 2 2 知，当j n 时 l i o 乃l i 胪= i j c f ( 妒( o ) ) i + i i c 妒h 1 1 2 i 乃( 妒( o ) ) i + e l l o 乃i i n ，3 墨l 乃( 妒( o ) ) l + c ( s u p + s u p ) ( 1 一i z l 2 ) a i r ( ho 妒) ( z ) l i 妒( 名) i 6l 妒( z ) l 占 i 办( 妒( o ) ) i + + 芘i l 仰i b a z = 1 1 4 几个全纯函数空问上的复合型算子 因此，l i 翠s u p i i c , , f j l l p o 货+ 匹i 例b ，这表明，l - + i m i l o 乃i i 伊= o ，故q7 - - * o o ，一1 j - ， 为f ( p ，口，s ) 到伊的紧算子 当( n + 1 + q ) p 芝1 2 时，由( 2 3 1 2 ) 一( 2 3 1 3 ) 式成立，则对任意e 0 ，存 在0 1 2 时取函数列 胁而焉贳舞+ 篡舻； 当( n + l + q ) 屈聋1 2 时取函数列乃( z ) = 苦兰溯 + e 叫q ， l o g 南) - 1 彻f 赫 硕士学位论文 则 j c f ) 在b 上内r 2 j - 致收敛：于0 且i l j c f l l f 0 , ，口 | ) c ，冉根据。的紧性知 j 1 i m 。i i c , # j l l 卢“= o 另一方面，当m + 1 + q ) p ：2 时，由( 2 3 2 0 ) 式知，只要i 妒( 夕) l 何 就有， 艟坐垃撼嬲掣 5 瓦瓣1 百而萨十正而葡萨， c ( 1 一i 夕f 2 ) a 石i 豢+ 石_ = _ 函耘 2 = 高崭每m 扎( 啪脚) 1 2 + ( 2 一南) l n 0 使得( i ) 器关 于，在【0 1 ) 上递减且磐i 兰筝= o ；( 说) i 尘知关于，- 在【0 ，1 ) 上递增且 l i m 一赫= o o 设是 0 ，1 ) 上的正规函数，函数，属于# - b l o c h 空间瓯是指：，h ( b ) 且 i l i l l ：- - s ：u p b 弘( 1 z i ) l v f ( z ) i 1 2 时单位球上艮到函的 ，妒为有界算子和紧算子的充要条件，文献 1 2 】也在以上讨论过q 的性 质但是，当n 1 且0 a 1 2 时，单位球上的b l o c h 型空间再也不能用 b e r g m a n 度量来定义其等价范数，为了解决这个问题，本文将采用f i n s l e r 度量 设p 是【0 ，1 ) 上的正规函数，设( 幻= 高+ f 0 2 南 ( 0 “ 删吉千仁他又 ，= 志 黜2 ”一黜，掣卜咄g 铷= 糕 对于，叫聊，定义i l f l l 时2 s ：u 廿pq芋(珐这里q；(刎-u伊sup0，t上涮g ：廿 。 。i 门吼一，e f 口正t 正1 若z o ，可以有分解u = u 1 高+ u 2 ，其中 = o 且= 1 因此 2 箐巾1 2 _ h m 2 仰跏= 龋+ 揣由于 高南志+ 南z 1 忐南， c 3 1 1 ， 所以当i z i ， 1 ，p 和p 是 0 ，1 ) 上的正规函数，妒是b 上的全纯 自映射，矽日( b ) ，则乃，妒是以到尻有界算子的充要条件为： s 御u p ( ) i q ( 。) ( 却( z ) ，邱( z ) ) ) km ( 3 1 3 ) 且 s 则u pu 化洲i ( 1 + 广m 南出) - 1 ，p 和扩是 o ，1 ) 上的正规函数，妒是b 上的全纯 自映射，妒h ( b ) ，则，妒是凡到尻紧算子的充要条件为：砂阮、对 所有l 1 ，2 ，n ) 有妒妒l 风且， ( 1 ) 当z 1 南班 o o 时， l 妒( 1 z i m ) l - - - , 1 型监虢涨盟幽- 0 ( 3 1 5 ) p ( i 妒( z ) i ) 一 r “7 几个全纯函数空间上的复合型算子 ( 2 ) 当z 1 雨南疵= o o 且z 1 丽1 出 o 。时， l i m me ( i z ( z ) i 嘭( z ) ( 却( 2 ) ，耶( z ) ) 一= o ( 3 ) 当z 1 丽1 出= 时， ( 3 1 6 ) 式成立并满足 。m l 硎i m 。z 一 ( i z l m 北，i 怕 南刁- o 3 2有关引理及其证明 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 本文中c 、c 。表示与变量z 、叫无关但可能和某些有界量有关的正数， 不同的地方可以代表不同的数两个量e 和f 等价是指：存在正数a 。和 a 2 使得a 。e f a 2 e 下文中。和b 总是代表相应正规函数定义中的两 常数 引理3 2 1 设p 是 0 ，1 ) 上的正规函数，f h ( b ) ，则 ( 1 ) i i 丽c l l f l l , , , s 对所有z 曰和f a b 成立，这里 = 0 r l1 ( 2 ) 设0 r 0 “，若上南出锄且1 w o ) l 仇( i z l i 叶c i l 川印r 赢 对所有r o h 1 成立，其中m b = s u p , ( i z l ) l r f ( z ) 1 证( 1 ) 这是文献【1 3 】中的引理2 1 ( 2 ) 利用酉变换，可设z = ( ， ，0 ，0 ) 和专= ( 0 ，1 ，0 ，o ) 给定0 t 1 ，记h ( z 2 ) = r f ( t ，z 2 ，0 ，0 ) ，由 r 西o f ( r ，0 ，。) 一r o 荔o ff r o , o , o ) = ( o 锄r f ( 0 一，。) 出和 i 舡0 一，0 ) 州( 0 ) i - j 芴1k 胆警驯溉 1 9 硕士学位论文 蕊知，当r o 外l = r o ，翟弘( i 夕( 专) i = 蜗 o 和1 o 使得p ( p ) 夕7 ( p ) f n 弓1 对一切o p 1 成 立且p ( p ) 夕) r m 弓x 对一切p 一1 ( 丢) = r ， p 1 成立 ( 3 1 存在常数0 托 0 使得当t o 0 ，则存在k 1 ，2 ) 使得r 1 仉p r k + 1 注意到 o z 击 再1 8 = k1s = 蚤k12 5 乒 5 = 1 + 。 + 2 0 = 巧2 k + lj 至0 0 ，2 | - ( m 乒) 等 再2 k + l 。萎0 0 。2 | - ( m r 声) 2 1 ) 一= 巧2 k + 1 丕0 0 2 m “- - - 1 - l - 1 m 1 ) m + 1 ：t m ，2 彳k + t ， 这表明删( 力划讪m 等加) = 焉。” ( 3 ) 若z 1 志疵 o o ，则 姆f d 如厂高南 注 若 意到厂 ( 1 两 脚厂如，z r 高扣 注：下文中m o 、n o 、m 1 、n 1 、c o 、1 1 、幻总是表示引理2 4 中的 这些数 弓曼竺蚴，冀腥( 0 j 1 ) 上的正规函数且f o 丽1 出 o 。，若蚴在 以上有界且在b 的任意紧子集上一致收敛于o , 则：t 茧i m 。z , + u 臼p i f # ( 圳= o 3 3 有界性的证明 定理3 1 1 的i e c e j 若( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 式成立，则对任意fe 阮，由引 ( i z l ) i r c t 妒，妒，) ( z ) i ( i z l ) 1 兄矽( z ) il ，( 妒( 2 ) ) l + i 砂( z ) j | 兄( c 易，) ( 2 ) ) 卿小北，i f 。o i 妒( z ) l 矿1 ) | i ，l ”m 圳 i ) 慈嘉 南南 硕士学位论文 洲”m 矧州郴一锷糕掰 2 v l l f i 风, + c m l l f l l , = ( n + c m ) i i f l l 口, 此外由引理3 2 3 有l 码，妒，( 0 ) l i 妒( 0 ) i ( 1 + o m i 志出i i 川以，再根 据引理3 2 2 得知，妒是以到风的有界算子 反过来，若巧，妒是以到风的有界算子，则通过分别取f ( z ) = 1 以和 ( z ) = 忍凡易得矽尾和砂忱尻( 1 = l ，礼) 对任意叫b 和t c n o ) ，若0 器出+ 等) + 盎弓笔拶 且凡( 妒( 叫) ) = 0 和凡( o ) = 0 由于i 2 + i 1 2 i z l 2 、7 丽 1 2 ，则 l q 走 l 1 2 b 5 ( 3 3 1 ) 由引理3 2 4 和( 3 3 1 ) 式可得 p ( 1 名1 ) i v 九( 2 ) i 2 p ( i z l ) ( 1 一l 妒( 叫) 1 2 ) 夕，( i 1 2 ) - i -p ( i z l ) ( 1 一l 妒( t u ) 1 2 ) 夕( i 妒(