（计算机应用技术专业论文）真实感羽毛的构造与绘制.pdf

摘要 摘要 生成高度真实感的虚拟自然景物一直是图形学研究领域中一个富有挑战性的难题。 它在电脑游戏、军事仿真、影视特技、建筑景观设计、虚拟现实等领域都有非常广泛的 应用。值得注意的是各类自然景物如树木、羽毛、雨、烟雾、火焰等的模拟至今尚无统 一的方法。但自然景物模拟一般是先通过计算机构造出几何模型，然后根据给定的光照 条件，计算景物表面的光亮度，使观察者产生身临其境，如见其物的视觉效果。本文认 真分析了影响羽毛真实感的各种因素，对真实感羽毛效果图的绘制机理进行了深入探 讨，并在总结前人工作的基础上，提出了一种模拟真实感羽毛的新方法。 首先，用h e r m i t e 曲线集模拟平整羽毛，该方法利用h e r m i t e 曲线的矢量特性使羽毛 绘制更加方便，仅通过几个参数的改变就能自动生成各种样式的羽毛。并在平整羽毛的 基础上，根据弯曲羽毛的结构特点，首次构造出其模型，用空间h e r m i t e 曲线集来实现， 且其使用方法与平整羽毛一样简单明了。但是，羽毛若只用曲线集表示，不具有高度真 实感效果，它缺少光照、自遮挡和自阴影等真实感手段，因此，根据羽毛具有近似规则 的微观几何结构特点，提出了一种高精细几何细节建模方法的双向纹理函数合成算法。 即在建立好的h e r m i t e 曲线框架基础上对其进行数学建模并网格化，从而产生了羽毛的几 何结构；最后实现羽毛在不同光照和视线条件下的纹理，从而生成双向纹理函数的真实 感羽毛。文章的最后给出羽毛的应用，用绘制出的平整羽毛构造出翅膀模型和用弯曲羽 毛模拟出羽毛外衣，并指出进一步的研究方向。 关键词：h e r m i t e 曲线；羽枝；切矢量；弯曲羽毛；网格化；双向纹理函数 a b s t r a c t 。卜。，p _ - - _ _ _ - _ 。_ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ - _ 一 a b s t r a c t g e n e r a t i o no fp h o t o - r e a l i s t i ci m a g e so fv i r t u a ln a t u r es c e n e si sac h a l l e n g i n gt o p i ci n c o m p u t e rg r a p h i c s i th a sb e e nf o u n dw i d ea p p l i c a t i o ni nm a n yd o m a i n ss u c ha sc o m p u t e r g a m e s ，b a t t l e f i e l ds i m u l a t i o n , s p e c i a le f f e c t so fm o v i e ，l a n d s c a p i n g ，a r c h i t e c t u r ea n dv i r t u a l r e a l i t y ，e t c h o w e v e r ，t h e r ei sn o au n i f o r n lm e t h o dt or e n d e rt h en a t u r es c e n e r yi n c l u d et r e e s ， f e a t h e r s ，r a i n ，f o g ，f i r e ，e t e b u tt og e tm o d e l so ft h en a t u r es c e n e r yw i t hr e a l i t ye f f e c t ，a g e o m e t r ym o d e lh a st ob ec o n s t r u c t e db yc o m p u t e r , t h e nt h el u m i n o s i t yo ft h es u r f a c eo fi tb e c a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h ee n v i r o n m e n ts i t u a t i o n s ，b yd o i n gt h i s ，t h ed e s i g ni m a g em a ys h o w av i v i de f f e c t f a c t o r sc o n c e r n i n gt h ei m a g eo ff e a t h e r sw e r et h o r o u g h l ya n a l y z e di n t h i s i n v e s t i g a t i o n b a s e do nt h ew o r ko fo u rp r e d e c e s s o r s ，t h ep a p e rp r e s e n t san o v e lm e t h o dt o m o d e lr e a l i s t i cf e a t h e r s f i r s t ，t w o - d i m e n s i o n a lf e a t h e ri sm o d e l e dw i t hac o l l e c t i o no fh e r m i t ec u r v e s ，w h i c h m a k e sr e n d i n go ff e a t h e r sb em o r ec o n v e n i e n tb a s e do nv e c t o rc h a r a c t e ro fh e r m i t ec u r v e s o n l yb yv a r i a t i o no fs o m ep a r a m e t e r s ，a l ls o r t so ff e a t h e r sc a nb eg e n e r a t e da u t o m a t i c a l l y i n o r d e rt oi m p r o v et h er e a l i t yo ff e a t h e r , i ts u p p l i e st h eb a r b sw i t l lt e x t u r e a n do nt h eb a s i so f t w o - d i m e n s i o n a lf e a t h e r , at h r e e - - d i m e n s i o n a lf e a t h e rm o d e li sc o n s t r u c t e df o rt h ef i r s tt i m e a c c o r d i n gt oi t ss t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c s i ti sr e a l i z e dw i t ht h r e e - d i m e n s i o n a lh e r m i t ec u r v e s f u r t h e r m o r ei t su s i n gm e t h o di sa se a s ya n dc l e a ra st w o - d i m e n s i o n a lf e a t h e r h o w e v e r , j u s t u s e dac o l l e c t i o no fh e r m i t ec u r v e s ，r e s u l t i n ga r ed i s s a t i s f a c t o r y b e c a u s em e a n so f r e a l i t ya r e l a c k i n g ，s u c ha si l l u m i n a t i o n ，s e l f - o c c l u s i o na n ds e l f - s h a d o w , e t c t h ep a p e rp r e s e n t sa n a p p r o a c ht ob i d i r e c t i o n a lt e x t u r ef u n c t i o ns y n t h e s i so ff i n ed e t a i l s ，w h i c hh a v ea p p r o x i m a t e l y r e g u l a rs t r u c t u r e so ft h ef e a t h e ri nf i n es c a l e n a m e l yb a s e do nb a s i cf r a m e w o r ko fh e r m i t e c u r v e s ，m a t h e m a t i c a lm o d e lc a nb ee s t a b l i s h e da n dm e s h i n gi t w eo b t a i ng e o m e t r i cs t r u c t u r e o ft h ef e a t h e r l a s t l y ，r e a l i s t i cf e a t h e r so ft h eb t fi ss y n t h e s i z e do v e rt h eg e n e r a t e dd e t a i l s u r f a c eo ft h ef e a t h e rf o re a c hg i v e nv i e wa n dl i g h td i r e c t i o n a p p l i c a t i o n so ft h ef e a t h e r s h a v eb e e ng i v e ni nt h ee n do ft h i sp a p e r t h ew i n g sa r ec o n s t r u c t e db yt w o d i m e n s i o n a l f e a t h e r sa n df e a t h e rc o a t sa r es i m u l a t e db a s e do nt h r e e d i m e n s i o n a lf e a t h e r s a n ds o m ef u t u r e r e s e a r c hd i r e c t i o n sh a v eb e e np o i n t e do u t k e y w o r d s ：h e r m i t ec u r v e ；b a r b ；t a n g e n tv e c t o r ；c u r l yf e a t h e r ；m e s h i n g ；b i d i r e c t i o n a lt e x t u r ef u n c t i o n ( b t f ) i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本z d f _ 导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签 名：了盆钾日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进, f i - g 盒索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 导师签名： j - 金么中 面汪日期：刎j - 叫 第一章概述 1 1 引言 第一章概述 伴随着计算机软硬件技术的发展，计算机的运算能力快速提高，图形处理速度不断 加快，使得图形学的各个研究方向得到充分发展，尤其是三维图形学。三维图形在人们 周围已无处不在，如虚拟现实、计算机动画和科学计算可视化，这些已成为当今世界计 算机图形学的三大热门话题，而这三大热门话题的技术核心均为三维图形，也称作真实 感图形。 真实感图形技术是计算机图形学中的一个重要组成部分。所谓真实感图形技术，是 指计算机所生成的图形反映客观世界的程度，它的目标是根据场景的造型、材质和光源 分布，利用计算机生成与真实场景在视觉效果上相差无几、令人赏心悦目的真实感图形 的图形，使观察者有身临其境的感觉。为此，在计算机的图形设备上实现真实感图形必 须完成以下四个基本任务： 1 三维场景的描述，即三维造型。 2 将三维几何描述转换成为二维透视图。 3 用消隐算法，可见面探测算法确定场景中的所有可见面。 4 根据基于光学物理的光照模型计算可见面投射到观察者眼中的光亮度大小和色 彩组成来计算场景中可见面的颜色。 从而生成非常逼真的图像，使观察者有身临其境的感觉。随着硬件技术和计算机图 形学的高速发展，在近三十年的时间里，真实感图形绘制技术取得了举世瞩目的成就， 并且已广泛应用于工业模拟、过程控制及系统环境模拟、虚拟现实、电脑游戏、科学计 算可视化等众多领域，它的影响正迅速地向工业生产和社会生活的各个领域渗透。可以 预料，在未来社会里它必将发挥更为重要的作用。目前，三维真实感图形绘制的主要对 象包括曲面、实体和自然景象等，它们组成了丰富多彩的场景。场景造型是真实感图形 绘制的基础，典型的三维场景造型技术根据造型对象分成三类： ( 1 ) 曲面造型：研究在计算机内如何描述一张表面，如何对它的形状进行交互式的 显示和控制。曲面造型又分成规则曲面造型( 如平面、圆柱面等) 和自由曲面造型两种。 自由曲面主要有b 样条曲面和孔斯曲面等。 ( 2 ) 实体造型：研究如何在计算机内定义、表示一个三维物体。其主要方法有体素 构造法、边界表示法、体元枚举法、八叉树法等等。曲面造型和实体造型合称为几何造 型。规则物体的建模理论已经比较成熟，只要选用合适的建模工具加以构造即可，目前 研究的热点是模型的简化，l o d 层次细节及参数库、模型库构造等。 ( 3 ) 自然景物模拟：研究如何用计算机模拟自然景物，如叶子n 1 、树晗1 、羽毛等等。 自然景物一般难以采用传统的几何建模工具描述，需要采用特殊建模方法。它们的模拟 至今尚无统一实用的方法。 江南大学硕士学位论文 由于自然景物模拟的复杂性及重要性，它已成为真实感图形绘制领域具有战略性的 研究课题之一。随着计算机图形学的发展，人们更偏重于寻求能准确地描述客观世界中 各种现象与景观的数学模型，不仅仅寻求静态真实感，也希望能逼真地再现运动的真实 感。而动态自然景象难以用一些简单的过程来模拟，必须依据真实世界的物理规律才能 得以体现。物理原理描述了物体如何运动、如何他们之间相互影响。基于物理模型的真 实感绘制己成为当前的真实感图形技术中的热门研究方向。基于物理模型的真实感绘制 一方面能极大地保证所生成景观的真实感；另一方面也减轻了程序开发人员的劳动强 度，不再需要设计脚本去控制管理每一个细小事件，一切运动和变化都会按着其本身的 物理规律来进行。近年来计算机真实感图形发展迅速，利用物理规律已成功模拟了许多 领域的事物，并得到广泛应用。在这些领域之中最受关注的无疑是动物领域主要是 人和动物。而作为动物的鸟的外衣羽毛在计算机图形学中是不应该被忽略的， 那就要面对如何绘出羽毛的精致结构和绚丽色彩。 1 2 国内、外研究发展情况 要用计算机生成羽毛的精致结构和绚丽真实感色彩一直是计算机图形学中一个富 有挑战性且重要的课题，这种挑战性源于羽毛结构的复杂性和绚丽色彩的真实感实现。 从上世纪九十年代开始有人提出实现羽毛的算法，之后，不断有人提出新方法来完善羽 毛的绘制算法。不仅实现了常见的羽毛，还实现了像孔雀这样的复杂羽毛。 一、基于曲线集模型 在1 9 9 5 年，w e n k a id a i 等口1 在其发表的文章中首次提出了羽毛模型，其灵感是来 自其他分支结构物体的模拟，如树和植物。主要采用二次曲线来模拟羽轴上的羽枝，并 用交互方式对羽枝加以控制，从而完成羽毛。再通过复杂动态系统得到的纹理来实现真 实感。 之后，c r i s t i a n og f r a n c o h 吲与l s t r e i t 阳1 都用b e z i e r 曲线集来模拟羽毛，但二者都 是独立进行的。在l s t r e i t 模型中，是通过设定的参数来绘制羽枝从而完成羽毛，并对 羽枝纹理映射而实现羽毛真实感，c r i s t i a n og f r a n c o 的模型也是如此。但l s t r e i t 的模 型添入的主羽枝在有些情况下有很强的约束性，这就要求知道每个关键规则。而c r i s t i a n o g f r a n e o 的模型用更加直观的方式来完成羽毛，只要给出几个约束参数，系统会自动绘 出羽枝。而l s t r e i t 模型的更完整，不仅模拟出羽毛，还绘出鸟的外衣。 然而，这些用曲线集表示羽毛的方法，虽然可以生成各种形状的羽毛，但是这些方 法无法自动绘出整个羽毛，且纹理只是简单的映射，没有和其他的真实感手段相结合( 如 光照，自阴影等) 。 二、基于l 一系统模型 最近，微软亚洲研究院运用参数化的l 系统口1 完成了羽毛的建模和绘制隅1 ，并使用5 维的双向纹理函数来实现羽毛的真实感绘制。根据鸟翅膀的结构特点来给鸟翅膀按上漂 亮的羽毛，再根据羽毛生长特点在网格模型上用羽毛集按特定排列来给鸟添加外衣。结 果使人印象深刻。但是，现实中存在许多不规则的羽毛，它的部分羽枝没有规律性，这 2 第一章概述 给l 一系统带来很大挑战。另外，使用的双向纹理函数( b t f ) 是采用物理手段，需要不同 光线方向、不同视角的上万张照片，系统开销很大。而且该纹理方法与羽枝无关。 三、特殊羽毛 除了以上绘出的常规羽毛外，现已成功实现了一些特殊羽毛的绘制，如s t u a r t c b u r g e s s 在2 0 0 5 年绘出孔雀羽毛呻1 。他根据孔雀毛有孔雀眼这一特殊结构，用多种二 次曲线对孔雀眼进行模拟，之后再根据羽枝特点模拟羽枝，从而完成孔雀羽的结构模型， 然后用纹理映射实现真实感绘制。得到了令人满意的效果。 1 3 本文工作内容 本文主要是就羽毛的真实感模拟和绘制问题进行研究，前人已对羽毛的模拟提出了 各种各样的算法。这些算法各有优缺点，其不同点表现在模拟的效果、计算的内存、速 度等方面。本文在总结前人算法的基础上提出了一种用h e r m i t e 曲线集模拟二维羽毛的 新方法，该方法利用h e r m i t e 曲线的矢量特性使羽毛绘制更加方便并且不会出现羽枝重 叠，仅通过几个参数的改变就能自动生成各种样式的羽毛。并在平整羽毛的基础上，根 据弯曲羽毛的结构特点，首次构造出其模型，用空间h e r m i t e 曲线集来实现，且其使用 方法一样简单明了。为了增加羽毛的真实感，采用了双向纹理函数( b t f ) 。本文的双向 纹理函数并不是采用多种视线和光照方向组合下的采样图像的照片来实现的，而是采用 高精细几何建模实现羽毛的羽枝和羽轴的方法。然后再将生成的平整羽毛作为主羽毛实 现翅膀的绘制，将弯曲羽毛作为主羽毛来覆盖鸟的周身。 本文的组织结构如下： 第一章首先叙述了真实感图形绘制的意义，并介绍了些常见的真实感图形绘制基本 知识和本课题的研究意义。接着讨论了羽毛的国内、外研究发展情况，最后给出本论文 的组织结构。 第二章介绍了计算机辅助几何造型技术，详细介绍了h e r m i t e 、b e z i e r 和b 等样条 曲线，分析了其应用价值及特点，并给出b e z i e r 曲线的拼接方法；还叙述了羽毛的作用、 基本结构和类型。 第三章详细介绍了平整羽毛和弯曲羽毛的建模算法，并给出了羽毛的控制参数和绘 制结果。 第四章详细介绍了如何根据羽毛的结构特点将羽毛的羽枝和羽轴表面进行网格化， 为实现双向纹理映射做准备。 第五章介绍了目前较为流行的三维图形软件库o p e n g l 的相关知识，并详细介绍了 三维图形真实感理论，对三维中的光照模型、纹理映射技术进行了分重点的叙述。还叙 述了双向纹理函数模型及如何将羽毛进行双向纹理映射，并给出实验结果。 第六章具体讲述羽毛的应用，先用平整羽毛构造鸟的翅膀，再用弯曲羽毛按一定规 律覆盖鸟的周身。 第七章对本文进行了总结，提出了本文的不足以及将来的努力方向。 江南大学硕士学位论文 2 1 计算机图形学基础 第二章基本概念 2 1 1 空间点的齐次坐标表示 齐次坐标是m a x w e l l e a 在1 9 4 6 年从几何的角度提出来的，6 0 年代被应用到计算机 图形学中，它的基本思想是把一个n 维空间的几何问题，转换n n + l 维空间中去解决。即 将一个原本是n 维的向量用一个n + l 维向量来表示的方法称为齐次坐标表示。如：n 维空 间的向量( x 。，x 。，x 。) 的齐次坐标表示为( h x ，h x ：，h x 。，h ) 其中h 是一个实数。一个向 量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h 取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐 标 8 ，4 ，2 、 4 ，2 ，1 表示的都是二维点 2 ，1 。通常当h = l 时，称为规格化齐次坐标。在 计算机图形学中，常用的是规格化齐次坐标。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维 甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。齐次坐标可 以表示无穷远的点。n + l 维的齐次坐标中，如果h ：0 ，实际上就表示了n 维空间的一个无穷 远点。对于齐次坐标 a ，b ，h ，保持a ，b 不变，当h o ，表示了a x + b y = 0 的直线，即在 y 一( a b ) x 上的连续点 x ，y 逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。 2 1 2 坐标系统 要想绘制某一真实的场景必须先建立一个坐标系统来描述和表示该场景n 叭。为了方 便图形操作，根据坐标系的用途不同，坐标系统可分为局部坐标系、场景坐标系、视点 坐标系和屏幕坐标系等。 1 局部坐标系( 又称相对坐标系) ：现实生活中的场景是由许多相对独立的基本物 体构成，所谓相对独立是指物体各个部分的形状和位置相对固定，也就是说它是由许多 面片组成的一个刚体。为了方便物体造型，在物体上或物体的附近选择一个合适的参考 点作为坐标原点建立一个局部坐标系，物体各部位的几何形状及相关关系都用这个局部 坐标表示。例如：一个长方体，可把局部坐标系的原点置于它的中心或某个顶点处，三 个坐标轴与其棱边相平行；而对于一个旋转体，则可使局部坐标系的z 轴与旋转轴重合。 本文中局部坐标系的x 轴规定为水平向右；y 轴规定为水平向上；z 轴规定为垂直向前。 改变物体的形状只需在该局部坐标系内即可。 2 场景坐标系( 又称全局坐标系) ：要表现的场景可能包含多个物体，每个物体在 其局部坐标系中完成造型后，就可放入场景坐标系中适当的位置，从而确定场景中物体 与物体之间的相互关系。如果物体在场景坐标系中的位置随时间不断改变，则可得到动 画效果。建立场景坐标系时先要选择一个适当的坐标原点，通常是将观察者视线的焦点 作为坐标原点，x y z 三轴与局部坐标系一样构成一个正交的右手坐标系。 3 视点坐标系( 又称摄像机坐标系) ：它是以视点为坐标原点，视线方向为z 轴正方 向，过视点与z 轴垂直的平面为视平面，根据人们的视觉习惯，选取观察者两只眼睛的 4 第二章基本概念 连线在视平面上的投影为x 轴( 正方向向右) ，而与x 轴相垂直( 即口与鼻的连线在视平 面上的投影) 的轴定为y 轴，为了使视点坐标系的x y z 轴构仍然成为一个正交的右手坐标 系x 轴的正方向向右、y 轴的正方向向下。场景坐标系和视点坐标系都属于景物空间。 4 屏幕坐标系：它是一个二维平面坐标系，位于视点前方一定距离且垂直于视线 的平面坐标系，一般是将视点坐标系的x y 平面( 即视平面) 沿z 轴正向平移一定距离而得 到。三维场景的透视效果显示于该坐标平面，因此又称为成像平面。屏幕坐标系又称为 屏幕空间。 2 1 3 坐标变换 计算机绘图在过程中，四种坐标系依次进行转换，因此存在三种坐标变换。 1 布景坐标变换 布景坐标变换是将造型时用的局部坐标系( x ，y ，z ，) 放入场景坐标系( x 。，y 。，z 。) 中 即： ( x 。，y 。，z 。，1 ) = ( x j ，y j ，z j ，1 ) b ( 2 1 ) 这一变换过程b 可分解为一个平移变换t c 和三个旋转变换r x 、r y 、r z ，变换矩阵如 下： t o = 疋= b = 尼= 10001 01001 0010i _ - cqc z1 | 100q 0c o s o !s i n 口0 0 s i n t zc o s g0 ooo 1 c o s f l0 - s i n f l 0 ol oo s i n f l 0 c o s f l 0 000 1 c o s ) s i n y 0 0 | - s i n yc o s y 0 0 | 0010 000l 】 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中( c x ，c y ，c z ) 是局部坐标系的原点在场景坐标系中的位置坐标，a1 3y 是局部坐 标系分别绕场景坐标系中的x y z 三坐标轴的旋转角度。布景变换的复合变换矩阵为： b = r x r y r z t t ( 2 6 ) 需要注意的是，复合坐标变换过程中的变换次序对变换结果是有影响的，因此进行 江南大学硕士学位论文 复合变换时不但要给定平移参数c x ，c y ，c z 以及旋转角度c t1 3y ，还要指定平移与旋转、 旋转与旋转的变换次序。 2 取景坐标变换 取景坐标变换是将场景坐标系( x 。，y 。，z 。) 变换到视点坐标系( x 。，y 。，z 。) ，即： ( x 。，y 。，z 。，1 ) = ( x 。，y 。，z c ) e ( 2 7 ) 本课题中的取景变换定义了五个参数，它们分别是摄像机的三维空间位置( s x ，s y ， s z ) 以及观察视线的俯仰角小和方向角。俯仰角是观察者的视线与水平面的夹角：方向角 则是视线绕铅垂线的转动的角度。这五个参数实际上表示的是肩扛摄像机的摄影记者从 不同位置、不同角度进行拍摄的情景，如果连续改变这些参数就可得到在虚拟场景中漫 游的感觉。在确定摄像机的初始位置时本文使用一个了参数视距l 。视距是指视点 到视线焦点的距离，本课题中为视点坐标系原点到场景坐标系原点的距离，它表示的是 观察者与观察对象之间的相对距离。摄像机的初始位置计算方法如下： ls ，= l c o s 痧s i n o s 。= l c o s # c o s o ( 2 8 ) 【- 。& 气三s i n 秒 取景坐标变换也可分解为一个平移变换t s 和两个旋转变换陆，r 0 ，变换知阵如下t z = 凡= r e = l0 o1 o0 s x s y o o o0 1o s z 1 c o s 矽s i n 矽0 0 一s i i l 矽c o s 矽0 0 oo1o ooo1 1ooo 0c o s 0s i n 00 0 s i n oc o s o0 oool ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 按照习惯视点坐标系的z 轴为视线方向，因此还必须将原来的坐标轴做一下调整， 其变换矩阵如下： f ，= 1oo o oolo olo o ooo1 所以，本课题中的取景复合变换矩阵为： e = t s 陆r 0 f s 6 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第二章基本概念 布景变换与取景变换虽然都是平移变换与旋转变换的组合，但是由于变换次序的不 同变换结果给人们的感觉是截然不同的。布景参数的连续改变相当于站在地面上观察一 辆运动着的“过山车 ，而取景参数的连续改变则相当坐在“过山车”里观察整个大地， 只有将两者很好地配合起来才可能获得身临其境的真实感。 3 投影坐标变换 投影坐标变换是按照透视原理将三维的视点坐标( x 。，y 。，z 。) 变换n - 维的屏幕坐标 ( x ，y 。) 。投影变换的唯一参数是投影平面( 又称视平面或成像平面) 到视点的距离，本 课题中称之为像距，用d 表示。投影变换原理如图2 1 所示。 视点s 懑 p 点 k d 图2 1 透视变换原理 f i g 2 - 1 由图2 一l 可知，三维空间上的a ，b 两点在投影平面上的投影重合为一点p ，如果用二 维坐标表示的话，就不能区分两点的前后关系。为了不丢失景物的深度信息，实际的屏 幕坐标仍用一个三维坐标( x ，y ，z ，) 表示与存储。景物深度z 的变换方法并不唯一，只要 满足变换后空间任意两点的前后顺序关系不变，以及变换后直线仍为直线、平面仍为平 面即可。所以本课题采用的投影变换如下： f 。2 卵t y p2 缈儿其中6 0 = 酬乙 ( 2 1 4 ) 【z p = 缈 计算机屏幕上的绘图窗口即为投影平面，投影平面的大小定，改变投影平面与视 点的距离，也就是改变投影参数d 的值就相当于调节摄像机的焦距，所以连续改变投影 参数d 可获得将景物拉近或拉远的变化效果。 2 2 自由曲线 2 2 1 曲线描述的基本原理 自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成。因此， 描述及其连接拼合方法。 1 几何设计的基本概念 在自由曲线描述中常用三种类型的点： ( 1 ) 特征点( 控制顶点) ：用来确定曲线的形状位置， 7 曲线的研究重点是曲线段的 但曲线不一定经过该点。 江南大学硕士学位论文 ( 2 ) 型值点：用于确定曲线的位置与形状并且经过该点。 ( 3 ) 插值点：是指为提高曲线的精度，在型值点之间插入的一系列的点。 在实际曲线设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状， 并且所构造的曲线应满足光顺的要求。这种曲线定义的主要方法是插值和逼近。 ( 1 ) 插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全 部型值点，且满足光顺的要求。 ( 2 ) 逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，使之在整体上最接近 这些控制点而不一定通过这些点。 ( 3 ) 光滑( s m o o t h ) ：从数学意义上讲，光滑是指曲线具有至少一阶连续导数。 ( 4 ) 光l l 颐( f a i r ) ：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。一方面有主观的因 素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。 2 曲线的数学描述方法 曲线可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观，作图不方便( 如 a x + b y + c = o ) ；用显函数表示存在多值性( 如x 2 + y 2 = r 2 ) 和斜率无穷大( 如y = m x + b ) 等 问题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线。因此，自由曲线多用参数 方程表示，相应地称为参数曲线。如空间的一条曲线可以表示成随参数t 变化的运动点 的轨迹，其矢量函数为： p ( t ) = p ( x ( t ) ，y ( t ) ，z ( t ) ) ，t 的范围是【o ，l 】 ( 2 1 5 ) 用参数表示曲线的优点： ( 1 ) 具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何 不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。 ( 2 ) 可以处理无穷大的斜率。d y d x = ( d y d t ) ( d x d t ) ( 3 ) 参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以 明显地表示出来。 ( 4 ) 可以处理多值曲线。 ( 5 ) 规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制在0 到1 的 闭区间之内，因而所表示的曲线总是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。 ( 6 ) 对曲线形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为： y = a x 3 + b x 2 + 饼+ d ( 2 1 6 ) 其中只有4 个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示为： x = a t + b t + c t + d ( 2 1 7 ) y = e t 3 + 夕2 + + 办 ( 2 1 8 ) 其中有8 个系数可用来控制曲线的形状。 ( 7 ) 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。 8 第二章基本概念 2 2 2 三次h e r m it e 曲线 1 定义 给定端点p o ，p l ，切矢量，r l ，称满足下列条件的参数三次多项式曲线p ( t ) ，t 0 ，1 】 为h e n n i t e 曲线1 1 1 ： j ? ( o ) = 晶，尸1 1 ) = 只 ( 2 1 9 ) 【p ( o ) = r o ，p ( 1 ) = r 1 首先来求h e r m i t e 曲线方程： p ( f ) = g 胃m 贝0 切向量p 0 ) = g 日m 1 i ，0 t扩2 0 1l 2 fp i 3 ti j ( 2 2 0 ) 记几何矩阵和基矩阵分别为g h ，m ，g n 和m 是未知的。取( 动= k ，号，r o ，墨】，则 只要求m 就可以了。将式2 1 9 代入式2 2 0 ，得到： 尸( o ) = g 日m h 尸( 1 ) = g m 将式2 2 1 合并如下： l1 0 1 o1 o 1 由上面方程得到一解： = p op ( o ) = g 日m = ep ”) = g 何m = p o ，e ，r 。，r 。】= g 日 9 = r o = r 1 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) o l 0 o o l 2 3 1 0 o o 1 l 1 1 江南大学硕士学位论文 m h = l1 ol o1 o1 o o l1 o 2 03 l032 o 032 o12l oo一1 1 从而h e r m i t e 曲线的方程为： p ( t ) = p o g o + 粥 + 民 + 墨q 其中： 川，镯 ， g o ( f ) g l ( f ) 风( f ) q ( f ) 1 3 t 2 + 2 t 3 3 f 2 2 f 3 f 一2 f 2 + t 3 一t 2 + f 3 基函数g o ( r ) ，g l ( f ) ，h o ( f ) 和h l ( f ) 的图像如图2 2 。 图2 - 2h e r m i t e 曲线的4 个基函数 f i g 2 - 2t h ef o u rb a s i sf u n c t i o n so fh e r m i t ec u r v e ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 2 形状控制 h e r m i t e 曲线由它的两端点位置p o ，p l 与切向量凡，r l 唯一确定，控制其形状可通过 以下三个方法： ( 1 ) 改变端点位置向量p o ，p l ； ( 2 ) 调节切向量凡，r l 的方向，如图2 3 ； 1 0 第二章基本概念 ( c ) 图2 - 3 从( a ) 到( d ) ，曲线随切矢量的方向而改变，r - 的长度与p o ，p - 保持不变 f i g 2 3f r o m ( a ) t o ( b ) ，c u r v e sc h a n g eb yd i r e c ti o no ft a n g e n tv e c t o r ， n oc h a n g ef o rl e n g t ho f ，r ia n dp o ，p l ( 3 ) 改变切向量凡，r l 的长度，如图2 4 。 图2 - 4r o ，r l 的方向与p 0 ，p 。保持不变，曲线随r o ，r 。的长度而改变 f i g 2 - 4n oc h a n g ef o rd i r e c t i o no fr o ，r la n dp o ，p l ，c u r v e sc h a n g eb yl e n g t ho f ，r l 3 特点 ( 1 ) 可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。 ( 2 ) 基于h e r m i t e 样条的变化形式：c a r d i n a l 样条和k o c h a n e k b a r t e l s 样条。 ( 3 ) h e r m i t e 曲线具有几何不变性。 ( 4 ) 使用向量表示，具有相关的向量特性。 2 2 3b e z i e r 样条曲线 1 定义 给定空间n + 1 个点的位置矢量只( 卢o ，1 ，2 ，刀) ，则b e z i e r 参数曲线n 2 1 上 各点坐标的插值公式是： 掩 印) = 只日咖o ) ， f e o ，1 】 i = l ( 2 2 5 ) 其中，p f 构成该b e z i e r 曲线的特征多边形，b t , 行( ，) 是刀次b e r n s t e i n 基函数： 江南大学硕士学位论文 b e z i e r 曲线实例如图2 5 所示。 p 0 p 3 0 = 0 ，1 ，月) ( 2 2 6 ) p 0p 2 p 3 图2 5 三次b e z i e r 曲线 f i g 2 - 5c u b i cb e z i e rc u r v e 2 b e z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性质 曲线经过特征多边形的首末点。因为当t = o 时，p ( 0 ) = p 0 当t = l 时，p ( 1 ) = p n ，曲线p ( t ) 在p 。点与边p o p 。相切，在p d 点与p n 一。p d 相切。因为 p ( o ) = 刀一异xp ( 1 ) = 刀( j 已一只一。) ( 2 2 7 ) ( 2 ) 对称性 由控制顶点只= 只一，( 扛o ，1 ，川，构造出的新b e z i e r 曲线，与原b e z i e r 曲线形状 相同，走向相反。因为 f o ) = 彳1 3 f ) = 巴j 5 i ，疗o ) = 巴，珂( 1 一力= f 骂，珂( 1 一吐f o ，1 】( 2 2 8 ) j = ot = oi = oi = o 说明曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 ( 3 ) 凸包性 由 窆以l 主五- - 1 ，o a 1 ( f ：0 ，l ，一，刀) l t = o i = 0 j 知控制顶点p o ，p l ，”，p 。的凸包为： 窆丑i 主 三1 , 0 o ) ，由此可知昂1 ，易= q ，q l 三点共线。 1 3 江南大学硕士学位论文 ( 3 ) 要使它们达到g 2 连续，则：在g 1 连续的条件下，并满足方程： q l r ( 0 ) = o f 2 ，+ 胪a ) 。 ( 2 3 0 ) 将q ( o ) 、p ( 1 ) 和p 7 ( 1 ) ，q o = 只、g 一绕= 口( 只- - p n 一。) 4 - a ，并整理，可以得到： 岛= 卜缸也n - 1 + l h 2 矿恤+ 刍卜己1 亿3 l ， 选择口和的值，可以利用该式确定曲线段q ( f ) 的特征多边形顶点q ，而顶点0 0 、0 1 已被g 1 连续条件所确定。要达到g 2 连续的话，只剩下顶点q 2 , - - j p a 自由选取。 如果从上式的两边都减去r ，则等式右边可以表示为( r r 1 ) 和( r - l - r - 2 ) 的线性 组合： 包一己= p2 计刍 ( 己吨) 彳( 一 ( 2 3 2 ) 这表明凡2 、r 小r = 9 、q l 和0 2 五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲 率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：n 2 和q 2 位于靠l q l 直线的同一侧。 4 特点 优点：b e z i e r 曲线的图形光滑，质量较高， 适合于外观设计。 缺点：( 1 ) 改变任一点时对整个曲线都有影响，因而排除了曲线局部修改的可能性； ( 2 ) 当控制点数较多时， 多边形对曲线的控制能力低。 2 2 4b 样条曲线 1 定义 已知n + 1 个控制点只( 卢o ，1 ，n ) ，也称为特征多边形的顶点，k 阶b 样条曲 线n 3 1 的表达式为 咖) = i = 0 鼻f 删 ( 2 3 3 ) 其中，f 似) 调和函数( 基函数) ，按递归公式定义 “炉 ：嘉q 汜3 4 ， ，。( “) = ! 掣+ ! 垒些掣一- “乙+ - 其中，f ，是节点值， 丁= 【f o 气埘一t 】构成了尼阶b 样条函数的节点矢量。 2 b 样条曲线的矩阵表示 1 4 第二章基本概念 设空间n + 1 个顶点的位置矢量只( 卢o ，1 ，n ) ，其中每相邻两个点可构造一 ，；，：c 甜，= t “， 一1 三 ；1 ，= ，刀一；。甜- c 2 3 5 ， ( 2 ) 二次均匀b 样条曲线的矩阵表示 设空间n + 1 个顶点的位置矢量只( 卢o ，1 ，n ) ，其中每相邻三个点可构造一 ，c 甜，= 丢c 甜2 甜， 享 主： ，= ，以一；。材 c 2 3 6 ， 端点位置矢量： r j 3 ( o ) = ( 只一+ g ) 2 ，：，3 ( 1 ) = ( 只+ 只+ 一) 2 。 端点一阶导数矢量： ：s (