（计算机应用技术专业论文）混沌同步控制中若干问题的研究.pdf

大连理l ：人学硕十学位论文 摘要 作为现代控制领域的一个重要分支，混沌系统的控制和同步技术近年来受到了国内 外的控制界的广泛重视。本文就此领域的相关问题展开系列研究，主要研究了混沌系统 的控制和反控制、混沌系统的线性和非线性广义同步、分数阶混沌系统的同步和广义同 步等问题，并利用数学理论推导来证明了方法。主要工作包括： ( 1 ) 混沌系统的控制和反控制 首先，研究了r 6 s s l e r 系统的控制问题，利用反馈控制方法把r 6 s s l e r 系统控制到任 意目标点，接着分析了c h e n 系统的追踪控制问题，实现了在有干扰和无干扰两种情况 下的追踪控制问题。最后研究了c o u l l e t 系统的混沌反控制问题，采用增加线性控制项 的反馈方法实现了c o u l l e t 系统从周期达到混沌状态的过程，并采用了分岔图、相图和 l y a p u n o v 指数谱进行了数值模拟仿真实验。 ( 2 ) 混沌系统的线性和非线性广义同步 其次，研究了混沌系统的线性和非线性广义同步问题。基于改进的状态观测器理论， 提出了一种新的广义同步方案，给出了驱动响应系统获得全局渐进广义同步的充分条 件，扩展了混沌广义同步的适用范围。实现了相同维数自治混沌系统的线性广义同步， 和不同维数自治混沌系统的非线性广义同步。 ( 3 ) 分数阶混沌系统的同步和广义同步 最后，依据状态观测器和分数阶系统的稳定性理论，研究了分数阶混沌系统取不同 阶数时的同步和取相同阶数时的广义同步问题，并给出分数阶混沌系统实现同步和广义 同步的简单判据。 关键词：混沌控制；混沌同步；广义同步；分数阶混沌系统；反控制 人连理。l ：人学硕十学位论文 r e a s e r c ho nc h a o sc o n t r o l ，s y n c h r o n i z a t i o na n df r a c t i o n a l - o r d e r s y s t e m s a b s tr a c t a sa l li m p o r t a n tb r a n c hi nt h ef i e l do fi n t e l l i g e n tc o n t r o l ，t h et e c h n o l o g yo fc h a o t i c c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nh a sr e c e i v e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s s o m e c o r r e l a t i v ei s s u e si nt h i sa r e aa r es t u d i e di nt h i sp a p e r , s u c h 弱t h ec h a o sc o n t r o la n d a n t i - c o n t r o lp r o b l e m s ，t h el i n e a l a n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s ， s y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so ff r a c t i o n a lo r d e rc h a o t i cs y s t e m s t h em a i nw o r ki nt h i sp a p e ri ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ( 1 ) c h a o sc o n t r o la n da n t i c o n t r o l f i r s t l y ，t h ew r i t e rp r e s e n t st h ec h a o sc o n t r o lf o rr 6 s s l e rs y s t e m ，t h ec o n t r o ls t r a t e g y d i r e c t st h ec h a o t i cm o t i o no ft h er 6 s s l e rs y s t e mt oa n yd e s i r e df i x e dp o i n tb a s e do nf e e d b a c k c o n t r o lm e t h o d t h e n ，t r a c k i n gc o n t r o lo fc h e ns y s t e mi sa d o p t e d s i m u l a t i o n sa n dt h e o r e t i c a l p r o o fw i t hc h e ns y s t e ma r es t u d i e d ，a n dt h er e s u l t sc a l lp r o v et h et r a c k i n gc o n t r o l l e re n a b l e t h ee r r o rs i g n a le x p o n e n t i a l l yt oc o n v e r g et oz e r oa n dt h eo u t p u ts i g n a lc a nt r a c ka l lk i n d so f r e f e r e n c es i g n a l su n d e rt r a c k i n gc o n t r 0 1 嫩a n t i c o n t r o lo fc h a o so fc o u l l e ts y s t e mi s s t u d i e di n t h i sp a p e rb a s e do nv a r i o u sn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，s u c ha sp h a s ed i a g r a m ， b i f u r c a t i o nd i a g r a m ，l y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u m b ya d d i t i o no fa ne x t e r n a ll i n e a l t e r m ， w ec a no b t a i na n t i c o n t r o lo fc h a o s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h en e ws y s t e m s b e h a v i o rc a nb ec o n v e r g e n t ，d i v e r g e n t ，p e r i o d i c ，c h a o t i ca n dh y p e r c h a o t i cw h e nt h ef e e d b a c k p a r a m e t e r v a r i e s ( 2 ) l i n e a ra n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so fc h a o t i cs y s t e m s s e c o n d l y ，t h el i n e a l a n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m si s i n v e s t i g a t e d b a s e do nt h em o d i f i e ds t a t eo b s e r v e rm e t h o d ，an e ws y n c h r o n i z a t i o na p p r o a c hi s p r o p o s e dw i t hm o r ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o ns c o p e t h ep r o p o s e ds y n c h r o n i z a t i o ns c h e m ec a n r e a l i z et h el i n e a l a n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n so fs a m ed i m e n s i o n a lo rd i f f e r e n t d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e m s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a l a s y m p t o t i cg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h ed r i v es y s t e ma n dt h er e s p o n s es y s t e ma r eg a i n e do nt h eb a s i so f t h es t a t eo b s e r v e rt h e o r y ( 3 ) s y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so ff r a c t i o n a lo r d e rc h a o t i c s y s t e m s f i n a l l y ，b a s e do nt h em o d i f i e ds t a t eo b s e r v e rm e t h o d ，s y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e d i i i 混沌同步控制中若干问题的研究 s y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so ff r a c t i o n a lo r d e rc h a o t i cs y s t e m sa r ep r e s e n t e d t h et w o s y n c h r o n i z a t i o na p p r o a c h e s a r ct h e o r e t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l ys t u d i e da n dt w os i m p l e c r i t e r i o n sa r cp r o p o s e d b yu s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yo fl i n e a rf r a c t i o n a lo r d e rs y s t e m s ， s u i t a b l ec o n d i t i o n sf o ra c h i e v i n gs y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o na r eg i v e n k e yw o r d s ：c h a o sc o n t r o l ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ；f r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y s t e m ；a n t i - c o n t r o l i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：湿泣回生整剑主羞王闻塑鲍珏究 作者签名： 登：短日期：2 塑年乜月卫日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题 作者签名： 导师签名： 人迮理i ：人学硕十学位论文 引言 混沌理论被认为是2 0 世纪人类认识世界和改造世界的“第三次革命”。它的创立， 在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁。今天，混沌理论与计算机科学理论 相结合，使人们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界 的复杂性方面发挥了巨大作用，成为世人瞩目的学术研究热点。 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一。1 9 8 9 年h u b l e r 发表了控 制混沌的第一篇文章【1 1 ，之后，o t t 等人提出了控制混沌的o g y 方法【2 】2 ，c a r r o l l 等提出了 混沌自同步方案1 3 j 。近十年来，随着混沌控制与混沌同步的研究蓬勃发展，这一方向迅 速成了混沌研究领域的重要热点【 】。 为此，本文首先利混沌系统的控制理论，研究了混沌系统的控制问题，并实现了把 r 6 s s l e r 系统控制到任意目标点和c h e n 系统的追踪控制，研究了c o u l l e t 系统从规则运动转 化到混沌运动所具有的普适特征。然后，本文利用自适应控制理论，研究了混沌系统的 线性和非线性广义同步问题。基于改进的状态观测器理论，提出了一种新的广义同步方 案，给出了驱动响应系统获得全局渐进广义同步的充分条件，扩展了混沌广义同步的 适用范围。实现了相同维数自治混沌系统的线性广义同步，和不同维数自治混沌系统的 非线性广义同步。最后依据分数阶线性系统的稳定性理论，研究了分数阶混沌系统取不 同阶数时的同步和取相同阶数时的广义同步问题，并给出分数阶混沌系统实现同步和广 义同步的简单判据。 本文的组织如下：第一章简要介绍了混沌的发展历程、混沌的定义和特征、混沌控 制和混沌同步的基础知识。第二章介绍了本文所用到的控制理论的基本原理。第三章介 绍了某些混沌系统的控制和反控制问题。第四章介绍了利用自适应控制方法实现相同维 数自治混沌系统的线性广义同步，和不同维数自治混沌系统的非线性广义同步。第五章 依据分数阶线性系统的稳定性理论，研究了分数阶混沌系统取不同阶数时的同步和取相 同阶数时的广义同步问题，并给出分数阶混沌系统实现同步和广义同步的简单判据。最 后给出了全文的结论。 混沌同步控制中若干问题的研究 1绪论 自然科学和技术的发展j 下在使系统的学科划分和研究方法发生深刻的变化。学科之 间的相互渗透和传统学科与日新月异的新技术的结合、促进了大批综合性边缘学科的孕 育和发展。这种发展的一个重要特征是“非线性 以研究各门传统各门学科中非线性问 题的共性特征和运动规律，以及发展处理它们的方法为目的的非线性科学正在成为跨学 科的研究前沿。非线性科学的发展从根本上影响和改变着整个科学体系。目前人们已经 认识到，正是非线性创造了我们面前五彩缤纷的世界。 作为非线性科学中最重要的成就之一动力学系统中复杂现象的发现以及混沌学的 创立和发展开创了非线性科学的新纪元。 进入二十一世纪，如何将混沌研究的成果应用于实际，已成为混沌科学发展所面临 的挑战。混沌应用同时也是混沌学发展的机遇，它将会直接促进人们对混沌本质的深刻 认识，而在应用过程中遇到的许多新问题又将进一步促进混沌研究的深入和发展。 1 1 混沌研究的发展历程 混沌学是非线性系统科学的一个重要代表【羽。一般而言，混沌是指在确定性的非线 性系统中不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为。在自然界，诸如物理化 学、生物学、地质学、以及技术科学、社会科学等领域中都存在着混沌现象。它是继相 对论、量子论之后的又一重大发现。混沌系统的最显著特点在于：它本身是一个确定性 系统，但是却呈现出了非常明显的非确定性系统的表象。这也使得人们对混沌学的研究 产生了浓厚的兴趣。对混沌学的研究并不局限于理论范畴，它还包括混沌非线性理论在 其他领域中的应用，例如生物、医学、财经、管理、自动化控制、网络等等，不一而足。 1 9 0 3 年，法国数学、物理学家p o i n c a r e 在科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他把动力学系统和拓朴学两大领域结合起来，提出了混沌存在的可能性，从而被 公认为发现混沌的第一人。他是在研究天体力学时，特别是研究三体问题时发现混沌的 当他意识到当时的数学水平不足以解决天体力学的复杂问题时，就着手于发展新的数学 工具。他与l y a p u n o v 一起奠定了微分方程定性理论的基础，并为现代动力学系统理论 创建了奇异点、稳定性、极限环、分叉等一系列重要概念。他曾在科学的价值一书 中写到：“我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我 们说这个结果由于偶然性可以发生这样的情况：初始条件的微小差异在最后的现象 中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大差别，于是预言变得不可能 一2 一 人连理。t ：人学硕十学位论文 了 。这实际上己经蕴含了“确定性系统具有一内在的随机性 这一混沌现象的重要特 性。 在2 0 世纪6 0 年代，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现当选取一定参数的时 候，一个有确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型，变得不可预测了，这就是有 趣的“蝴蝶效应 。在研究的过程中，l o r e n z 观察到了这个确定性系统的规则行为，同 时也发现了同一系统出现的非周期无规则行为。通过长期反复地数值试验和理论思考， l o r e n z 揭示了该结果的真实意义，在耗散系统中首先发现了混沌运动。这为以后的混沌 研究开辟了道路。 2 0 世纪7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 提出了奇异吸引子的概念；1 9 7 5 年，华人数学家李天岩及其导师一美国数学和物理学家 y o r k e 首次提出了混沌的概念，虽然p o i n c a r e 是发现混沌的第一人，但他并未提出“混 沌”的概念。在现代科学文献中，首次提出“混沌 一词的是华人数学家李天岩及其导 师一美国数学和物理学家y o r k e ，他们给予了混沌概念的数学描述。他们在1 9 7 5 年共同 发表了一篇著名论文：“周期3 蕴含着混沌1 9 】 ，给出了闭区间上连续自映射的混沌定 义，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程，也正是在这篇论文中，他们首先使用了“c h a o s ” 这个名词，并被后来的学者普遍接受。 2 0 世纪8 0 年代，混沌的理论体系迅速完善，标度性、普适性、l y a p u n o v 指数、分 数维和吸引子等一系列刻划混沌的概念先后被确定下来。1 9 8 0 年美国数学家m a n d e l b r o t 用计算机绘制了第一张m a n d e l b r o t 集的图形【1 0 l 。德国教授p e i t g e n 和r i c h t e r 等利用分形 流域的边界作出了绚丽多彩的混沌图像【l l l 。1 9 8 4 年著名的混沌学家赫柏林院士编著 c h a o s ) ) 一书出版，阐述很多混沌研究的理论结果。1 9 8 6 年，第一届中国混沌会议在 桂林召开促进了全国范围内的混沌研究的广泛展开。 到了9 0 年代，混沌科学与其他科学进一步相互渗透。无论是在生物学、生理学、 心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、还是天文学、气象学、经济学，甚 至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。 混沌研究的成果正在影响着自然科学和人类社会的发展，并且还会在将来的科学发 展中起重要作用。正如郝柏林院士所断言的混沌研究“正在促使整个现代知识体系成为 新科学 【1 2 】。 1 2 混沌的定义和特征 混沌现象虽已引起学术界的极大兴趣，然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的 普遍适用的数学定义。有人认为，在不严格的意义上，如果一个系统同时具有对初值的 混沌同步控制中若干问题的研究 敏感性以及出现非周期运动，则可认为系统是混沌。但更多的学者认为，给出混沌的精 确定义是相当困难的事情。 混沌一词最先由李天岩和y o r k e 提出。1 9 7 5 年他们在美国数学月刊上发表了题 为“周期3 蕴含混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为l i y o r k e 定义或 l i y o r k e 定理【9 1 。 考虑一个把区间陋，6 】映为自身的、连续的、单参数映射 f ：，6 】天，【a , b 】，o ，a ) i - - ) v ( x ，a ) ，x 天。 亦可写成点映射形式 毛+ 。一f 瓴，a ) ，吒k ，b 】。 定义1 1 连续映射或点映射f ：【口，b l k _ 【口，b 】，o ，a ) hf ，a ) 称为是混沌的， 如果： ( 1 ) 存在一切周期的周期点； ( 2 ) 存在不可数子集sc 【a , b 】，s 不含周期点，使得 l i m i n f l f “ ，a ) 一f 4 【y ，a ) lt0 ，x ，y s ，x y ， l i m s u p i f 。0 ，a ) 一，( y ，a ) l 0 ，x ，y e s ，z y ， 。l i m 。s u p i f 4 0 ，a ) 一f 4 0 ，a ) l 0 ，x e s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限说明子集的点x e s 相当集中而又相当分散；第三个极限说明 子集不会趋近于任意点。与此同时，l i y o r k e 给出了l o g i s t i c 映射 吒“i a x 0 - x ) ，五【0 ，q ，a e 0 , 4 】， 在a 一3 5 7 时出现混沌的例子。 根据l i y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：( 1 ) 存在所有阶的周期轨道；( 2 ) 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接 近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近 周期轨道：( 3 ) 混沌轨道具有高度的不稳定性。 混沌现象的发现以及基于上述定义，使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周 期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。正是 有了混沌现象，人们发现，在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在由此及彼的桥 人连理i ：人学硕+ 学位论文 梁。混沌的发现还使人们认识到，像大气、海洋这样的耗散系统是一个对初始条件极为 敏感的系统，即使初始条件差别微小的两种状态，那么最终也会导致结果的很大差异， 甚至两种结果变得毫无关系，这就是所谓的非线性确定性系统的长期不可预测性。混沌 概念的提出，还使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的、有结构的行为，而不再是 某种外来的偶然性行为。 从混沌的定义和混沌运动的现象入手，人们发现混沌运动貌似随机过程，但与随机 过程却有着本质的区别，这种区别体现在混沌运动的一些基本特征： ( 1 ) 初值的敏感性：随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立 的时间演化，即长期运动对初始条件的极端敏感性。 ( 2 ) 有界性：混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域 称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出这个混沌吸引域。 所以从整体上来说，混沌系统是稳定的。 ( 3 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限的时间内混沌轨 道经过混沌区内每一个状态点。 ( 4 ) 普适性：是指在不同系统在趋向于混沌时所表现出来的某些共同特征，它不会 由于系统的不同和系统运动方程的差异而发生变化。如倍周期分岔通向混沌时所遵循的 f e i g e n b a u m 常数等。 ( 5 ) 分维性：分维性是指混沌的运动轨线在相空间的几何形态可用分数维来描述， 系统的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次混沌吸引子的自相 似结构。 ( 6 ) 统计性：在工程应用中，正的最大l y a p u n o v 指数是混沌特征中最便于验证的， 它是初始条件接近的两条轨道最大距离按指数规律的平均增长速率。 1 3 混沌控制概述 近年来，混沌科学的研究领域涉及到自然科学和社会科学的方方面面，对混沌现象 的观察从独立的研究转向寻找各学科之间混沌行为的相互制约及内在联系，进而寻求一 大类复杂问题普遍遵循的共同规律和系统方法。由于混沌控制在工程技术上的重大研究 价值和极其诱人的应用前景，近几年，混沌控制问题引起了国际上非线性动力系统和工 程控制专家的极大关注，成为了非线性科学研究的热点之一。一些发达国家的科研和国 防军事部门投入了大量的人力物力进行公关，美国麻省理工学院、华盛顿州立大学、马 里兰大学等在这方面的研究一直处十世界领先地位，美国陆军和海军实验室也积极参与 混沌同步控制中若干问题的研究 竞争，并投入大量研究经费，以期研制出崭新实用的控制方案，满足国防、现代化工业 和人民生活的需要。 由于混沌系统对初值的敏感性，人们认为控制器的加入会导致系统行为的不可预测 性，而难以实现混沌系统的镇定。但是1 9 9 0 年o t t ，g r c b o g i 和y o r k c 发表了控制混 沌论文，提出了参数扰动法，即o g y 方法1 2 】，成功将混沌系统镇定在不稳定的周期 轨道上。同年p e c o r a 和c a r r o l l 实现了两个混沌系统的同步【3 l 。在这以后的十几年，混 沌控制以及由此产生的混沌同步控制和混沌反控制研究得到了飞速的发展，混沌同步和 混沌化作为混沌实际应用的基础研究，越来越受到人们的重视。 目前来讲，混沌控制己不再是单纯的消除混沌，而更多的是根据人们的需要利用混 沌，广义的认为混沌控制的主要有以下几个目标： ( 1 ) 当混沌有害时消除混沌：最常用的方法是改变系统参数，使系统转到稳定状态 下的参数条件。 ( 2 ) 镇定某个不稳定的周期轨道或在不同的周期轨道之间切换：用微小的信号控制 系统镇定在某个不稳定的周期轨道或在不同的周期轨道之间切换，使系统的状态转换能 够及时适应实际任务的需要。 ( 3 ) 当混沌有利时利用混沌，混沌系统的同步化：镇定所需的混沌态，使两个或多 个混沌系统达到同步。 ( 4 ) 产生或加强混沌，混沌化等：强化混沌系统的混沌状态或使非混沌系统产生需 要的混沌态，也称为混沌反控制。混沌化问题是混沌系统稳定化问题的反问题，基本的 物理实质是将原来负的l y a p u n o v 指数变为正数或者把原来正的l y a p u n o v 指数变为期望 的正数。 目前国内外已经提出了许多不同的混沌控制方法1 1 冽，适用于各种情况下的混沌控 制，从非线性系统的类型上说，有些方法适于离散非线性系统，有些适于连续非线性系 统，从控制原理上可分为微扰反馈控制法和无反馈控制法，前者反馈的对象可以是系统 变量，外部控制信号等等。对不同对象的微扰反馈，则产生不同的控制方法，它们的共 同点是利用与时间有关的连续微扰作为控制信号，当微扰趋于零或变得非常小的时候， 将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道的稳定控制。无反馈控制法，它与一些特定 的所需轨道无关，因而实现系统控制时，受控输入信号为零，并且受控后的动力学行为 可能与原系统的大不相同，即产生了新的动力学行为。 在混沌控制的不断深入研究中，还涌现了不少其它类型的方法，例如，输出控制法、 丌闭环控制法、脉冲反馈法、微扰控制法、频率主控法、线性反馈控制法、定点注入法、 人连理1 ：人学硕十学位论文 变量反馈法等等一系列的方法。这些方法试图从不同的角度来解决混沌控制问题，每一 种方法都有其优点，同时也有其适用范围和限制，因此值得深入研究。 1 4 混沌同步概述 对初值的极其敏感性使人们一度认为混沌的同步几乎不可能，直到1 9 9 0 年，美国 海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌的自同步方法【引，并成功用于保密通讯，从 此拉开了混沌同步研究的序幕。随着研究的深入，各种混沌同步的方法不断涌现，其应 用领域也从物理学迅速扩大到化学、生物学、力学、脑科学、电子学、信息科学、保密 通讯等领域，一些发达国家的科研和军事部门投入了大量人力物力开展混沌同步的理论 和实验研究。 混沌同步作为混沌控制中的一个重要分支，与传统的以抑制混沌为主的控制方法不 同，混沌同步的目标是实现两个混沌系统的混沌态按照某种函数形式完全重构( 同步) 。 根据函数形式的不同，混沌同步可分为：完全同步( c o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n ，简称c s ) 、 广义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ，简称g s ) 等多种不同的形式。 进入二十一世纪后，混沌同步研究呈现出新的趋势。主要表现为：( 1 ) 新的同步方法 不断提出。除了对已有同步方法进行改进外，还将先进的控制理论与技术引入混沌同步 研究，如将自适应控制、模糊控制、遗传算法、神经网络、状态反馈应用十混沌同步研 究，取得了良好的效果。( 2 ) 研究对象由连续混沌系统转向离散混沌系统，由低维一般混 沌系统转向高维超混沌系统。( 3 ) 两个不同参数混沌系统的同步研究。 由于混沌系统本身的复杂性，在进行混沌及超混沌同步研究时，将面临大量的理论 和技术上的难题。如提高混沌同步的性能，研究不同系统之间的同步，以及解决分数阶 混沌同步问题中面临的实际困难等，这些都是接下来的研究所要考虑的问题。 1 5 本章小结 本章主要说明了混沌研究的发展历程以及混沌的定义和特征，并分析了混沌控制的 研究目标和混沌同步的发展。 混沌同步控制中若干问题的研究 2 混沌系统控制与同步的相关理论 在讨论混沌控制时，首先考虑的是混沌控制的叙述问题。与经典控制不同，对混沌 的控制目前还没有统一的定义。但其出发点都是基于控制的两个目的：( 1 ) 利用混沌的优 点完成某一确定的任务。( 2 ) 为消除或抑制混沌使系统稳定且有所希望的行为。更具体一 点则可描述为：非线性动力学系统随着参数的变化而出现分岔和混沌行为是很常见的现 象，然而在许多情况下，系统出现的这种分岔和混沌行为往往是不希望的，有时甚至是 有害的。因此人们总希望能够通过对系统的研究找到控制系统出现分岔和混沌的方法， 从而使系统能够保持所期望的运动状态。另一方面，当一个非线性系统处于混沌运动状 态时，它包含有各种各样不稳定的周期或准周期运动，如果能够找到一种方法使系统稳 定到周期运动上，那么就为利用混沌( 或更广义地说利用非线性) 找到了一条道路。 当然混沌的存在也不尽然是有害的，由于混沌的类随机性，因此可以将混沌信号应 用于保密通信；混沌对初始值的敏感性可以构造混沌神经网络对具有微小差别的模式进 行识别等等。 2 1 混沌系统的控制 到目前为止，人们己提出了各种各样控制混沌的方法，并且也取得了较好的效果。 这些方法主要有：著名的o g y 方法、反馈控制方法、自适应控制方法等。下砸简单介 绍一下前面三种比较常用的控制方法。 ( 1 ) o g y 方法 o g y 的控制方法是o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 在1 9 9 0 年提出的一种参数微调方法，它 是一种比较有效地控制混沌运动的方法，它建立在混沌吸引子中镶嵌有无数个不稳定周 期轨道的理论基础上，利用混沌运动对很小的参数扰动敏感和混沌运动的遍历性，给混 沌运动系统一个较小的参数扰动控制量，把系统运动状态控制到某一周期轨道( 不动点) o g y 方法是基于混沌奇怪吸引子有着极其稠密的不稳定周期轨道。混沌控制的首要任 务就是设法把其中任一所需的周期轨道挑选出来，并加以稳定控制。为了实现对某个特 定轨道( 即不动点) 的稳定控制，必须在系统靠近不动点时，对参数进行微扰，随时间适 当调整微扰量，迫使所选的轨道移向不动点一带，利用对参数所允许的最大扰动量，经 过反复调整，最终使所需的周期轨道稳定住。 该方法无需知道系统全局的动力学模型，同时在特征值及特征矢量测量不精确的情 况下可以实现混沌控制，而且达到控制后，嵌套在混沌吸引子中的不稳定周期轨道只有 微小的变化。它的不足之处是只适用于离散动力学系统，通常只能控制低周期轨道。 人连理：1 ：人学硕十学位论文 ( 萄反馈控制方法 反馈控制包括线性反馈和非线性反馈。这两种方法虽然不尽相同，但它们的本质都 是利用系统的状态变量作为用于控制的反馈信号。该方法无需等到系统靠近不动点，可 以在任意时刻施加控制，只是控制必须是建立在系统模型己知的情况下。 ( 3 ) 自适应控制方法 自适应控制有许多不同的定义，到目前为止尚未统一，争论也比较多，许多学者提 出的定义都是同具体的自适应控制系统类型相联系的。综合众多的定义得知，自适应控 制系统应该有如下功能： 在线进行系统结构和参数的辨识或系统性能指标的度量，以便得到系统当前状 态的改变情况； 按一定的规律确定当前的控制策略； 在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。 2 2 混沌系统的同步 混沌系统的同步是指一个系统的混沌轨道将收敛十另一个混沌系统轨道的同一值， 它们之间始终保持步调一致，并且这种同步是结构稳定的。下面给出混沌同步的定义【2 1 】 考虑两个系统，一个混沌系统为： x f ( x ，f ) ， 该系统可以称为驱动系统。 另一个混沌系统为： 矿一f ( 1 ，f ) + 【， 其中u 为任意控制器，通常将该系统称为响应系统。这里的t 为时间，矢量x ，y e r 4 。 它们分别具有苊维分量“，x 2 1 1 - - , 9 毛) 和执，y 2 ，咒) 。上面的驱动系统和响应系统中的 f ( x ，t ) 和f ( y ，t ) 可以是完全相同的形式，也可以是不同的形式，但是它们的初始条件 都不同。令x 仇；k ) 和】，纯；t o ) 分别为驱动系统和响应系统的初始解，如果选择合适的 控制器u ，满足条件：当存在一个彤的一个子集d 心) 时，使得x o ，r o e d ( t o ) ，当t 一 时存在： 亭2 ；i m “x ( t o ；x 。) 一y ( t o ，虼) 0 _ o ， 则称响应系统和驱动系统达到同步。 一9 一 混沌同步控制中若干问题的研究 混沌同步可以分为两大类型：( 1 ) 恒等同步0 s ) ：对于参数和变量完全相同的两个或 多个非线形混沌系统，即f ( x ，f ) 和f ( 1 ，f ) 是完全相同的形式，这时达到的同步称为恒 等同步。( 2 ) 广义同步( g s ) - 对于两个或多个完全不同的混沌系统，即f ( x ，f ) 和f ( 1 ，f ) 是 完全不同的形式，也就是所两个系统变量之间存在一定的函数关系，这种同步则称为广 义同步。 2 3 混沌系统的稳定性判据 控制系统的稳定性是系统能否正常工作的最基本条件，因此研究系统的稳定性、稳 定条件、稳定措施，是控制系统的重要内容。控制混沌的进展是人们把控制线性系统的 思想引向非线性系统的结果。因此控制线性系统的基本理论是必须了解的。首先，本文 给出了线性系统的稳定性判据瞳刳；其次，本文给出了l y a p u n o v 稳定性分析瞳羽。 2 3 1线性系统稳定性判据 稳定性概念是由俄国学者l y a p u n o v 于1 8 9 2 年首先提出，并沿用至今。根据该稳定 性理论，线性控制系统的稳定性定义为： 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移衰减并趋于零( 或原平衡 点) ，则称系统渐进稳定；若在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移而发散，则称 系统不稳定；若在初始扰动影响下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但 可以保持在原工作点附件的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。 根据理论推导可得出线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统的特征方程的所有 根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s 平面。 根据系统稳定的充分必要条件判断线性系统的稳定性，必须求出系统的全部特征 根。由于求高阶系统根的工作量很大，所以我们总希望有一种不用求解特征方程的根， 就可以判断出系统是否稳定的方法。而r o u t h 判据、h u r w i t z 判据就是根据闭环特征方 程各项的系数，判断分析系统稳定性的代数判据。 2 3 2 l y a p u n o v 稳定性判据 l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表了“运动稳定性一般问题 论文，建立了运动稳定性的一 般理论和方法。他把判定系统稳定性归纳为两种方法：第一种方法是通过求解微分方程 的解，分析系统的稳定性，这是一种间接方法，它的基本思路和分析方法与经典理论是 一致的：第二种方法不需要求解微分方程，而是通过一个叫做l y a p u n o v 函数的标量函 数来直接判定系统稳定性。因此它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 l y a p u n o v 第二种方法也有不足的地方，那就是没有一种统一的方法来寻找切l y a p u n o v 人连理i ：人学硕士学位论文 函数。过去，寻找l y a p u n o v 函数主要是靠试探，几乎完全凭借设计者的技巧。这曾经 严重的阻碍着l y a p u n o v 第二种方法的推广应用。现在，随着计算机技术的发展，借助 于数字计算机不仅可以找到所需的l y a p u n o v 函数，而且还能确定系统的稳定区域。 l y a p u n o v 给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。 ( 1 ) l y a p u n o v 稳定性：如果对于任意小的 0 ，均存在一个a ( e ，t o ) 0 ，当初始状 态满足l k 一i l s6 时，系统运动轨迹满足姆 i x ( t ；t 0 ，而) 一t 忙s ，则称该平衡状态t 是 l y a p u n o v 意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图2 1 ( a ) ，0 一t0 表 示状态空间中点至艺点之间的距离，其数学表达式为 恢一圳一“o 一气) 2 + 一屹) 2 + + 纯。一) 2 设系统初始状态位于平衡状态t 为球心、半径为6 占的闭球域s p ) 内，如果系统稳 定，则状态方程的解x ( t ；x o ，t o ) 在t 0 0 的过程中，都位于以t 为球心，半径为g 的闭球 域s p ) 内。 ( 2 ) 一致稳定性：通常6 与、t o 都有关。如果6 与“无关，则称平衡状态是一致稳 定的。定常系统的6 与气无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 ( 3 ) 渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有l y a p u n o v 意义下的稳定性，且有 ! i m i 防 ；气，) 一t8 呻o ， 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从s o ) 出发的轨迹不仅不会超出s ( o ，且当t - 时收敛于t 或其附近，其平面几何表示见图2 1 ( b ) 。 ( 4 ) 大范围稳定性：当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡 状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，6 一，s ) _ 0 0 ，x _ 。对于线性系 统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。 非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 ( 5 ) 不稳定性：不论6 取的得多么小，只要在s p ) 内有一条从出发的轨迹跨出 s ( ) ，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图2 1 ( c ) 。 注意，按l y a p u n o v 意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平 面描绘出一条封闭曲线，只要不超过s ( 6 ) ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由 振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典 控制理论的稳定是切l y a p u n o v 意义下的一致渐近稳定。 混沌同步控制中若干问题的研究 丙 厂 蕊 fl 缈再 弋、 ， 、一 ，i i 厂 蕊次 6纠x 、一 | 一， 厂 菸一f 戈夕一 ( a ) l y a p u n o v 意义下的稳定性( b ) 渐进稳定性( c ) 不稳定性 图2 1 稳定性的平面几何表示 f i g 2 1 t h eg e o m e t r ye x p r e s s i o no ft h es t a b i l i t y l y a p u n o v 第一法( 间接法) 的基本思想是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定 性，它适用于线性系统和可线性化的非线性系统。l y a p u n o v 第二法( 直接法) 是构造一个 与系统有关的称为l y a p u n o v 函数的标量函数y o ，f ) 。研究v ( x ，f ) 及其沿状态轨线随时间 的变化率的定号性，就可以得到系统