（基础数学专业论文）bochnerriesz算子与besov函数生成的交换子的性质.pdf

硕士学位论文 摘要 本文研究由b o c h n e r - r i c s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子巧b 在某些可积函 数空间l 8 ( r n ) ( s 2 ) 中的几乎处处收敛性，同时讨论乃；b 在l 8 ( 础) 和l 8 ( r 礼) 中径向 函数类上的有界性问题 我们首先研究求和指标a 小于临界阶a o = ( 礼一1 ) 2 ，且m a x 2 ，刍) s 2 n ( n 一1 2 a ) 时，交换子吸6 在酽( r n ) 上的几乎处处收敛性为了得到这一结果， 我们利用紧支光滑函数的乘子算子与b e s o v 函数生成交换子的相应的极大算子，分 别进行( 2 ，2 ) 的有界性估计和权函数为幂权的双权( 2 ，2 ) 有界性估计 其次，我们研究了当指标0 a ( n 一1 ) 2 时，交换子乃；6 在l 5 ( r n ) 和l 8 ( 黔) 中 径向函数类上的有界性，其中s 均满足i i l 一互1i 掣+ 詈为此，我们利用 b o c h n e r - r i e s z 算子的分解形式t a f ( x ) = ( 昆) 木，( z ) ，由对偶性及插值定理得到 了新的结论 文中深刻阐明了b o c h n e r - r i e s z 算子的求和指标入，b e s o v 空间中的相关指数 p ，p ，q 与可积空间的指标s 和d 之间的相互关系 关键词：b o c h n e r r i e s z 算子；b e s o v 函数；交换子；f o u r i e r 变换乘子；径向函数类 硕士学位论文 a b s t r a c t f o rs o m ei n t e g r a b l ef u n c t i o n si nl 8 ( r n ) ( s 2 ) ，i nt h i sp a p e rw er e s e a r c ht h ea l m o s t e v e r y w h e r ec o n v e r g e n c eo ft h ec o m m u t a t o r s 甄6g e n e r a t e db yb o c h n e r - r i e s zo p e r a t o ra n d b e s o vf u n c t i o n s ，a sw e l la 8t h eb o u n d e d n e s so f 乃；6o nl 3 ( 舭) a n do nl 3 ( 黔，r ) ，w h e r e l 8 ( r n ，r ) d e n o t et h ec l a s so fr a d i c a lf u n c t i o n si nl 8 ( 舻) f i r s t l y , w h e nt h es u m m a t i o ni n d e x 入i su n d e rt h ec r i t i c a lo r d e ra 0 = ( 佗一1 ) 2 ，a n d m a x 2 ，者) s 2 n ( n 一1 2 入) ，w es t u d yt h ea l m o s te v e r y w h e r ec o n v e r g e n c eo ft h e c o m m u t a t o r 吸6o nl 8 ( 时) t og e tt h i sr e s u l t ，w er e s e a r c ht h e ( 2 ，2 ) b o u n d e d n e s sa n d t h et w o - w e i g h t e d ( 2 ，2 ) b o u n d e d n e s so ft h em a x i m a lo p e r a t o ro ft h ec o m m u t a t o r ，w h i c h a r eg e n e r a t e db yt h em u l t i p l i e r so fc o m p a c t l ys u p p o r t e ds m o o t hf u n c t i o n sa n db e s o v f u n c t i o n s s e c o n d l y , w h e nt h ei n d e x0 入 ( 凡一1 ) 2 ，w es t u d i e st h eb o u n d e d n e s so ft h e c o m m u t a t o ra ；bo nl 8 ( r 几) a n do nl 8 ( r n ，r ) ，w h e r ei n d e xsa l w a y ss a t i s f i e sl 一互1i l + 2 2 a 札- 2 b + 芸t h e r e f o r e ，w em a k eu s eo ft h ed e c o m p o s i t i o no fb o c h n e r - r i e s zo p e r a t o rt o a c h i e v es o m en e wr e s u l t sd i r e c t l yb yd u a l i t ya n di n t e r p o l a t i o n t h ep a p e ri n d i c a t e st h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h es u m m a t i o ni n d e xo ft h eb o c h n e r r i e s zo p e r a t o ra ，t h ei n d e xo fb e s o vs p a c ep ，p ，qa n dt h ei n t e g r a b l es p a c e so fo r d e rs a n ddp r o f o u n d l y k e yw o r d s ：b o c h n e r - r i e s zo p e r a t o r ；b e s o vf u n c t i o n s ；c o m m u t a t o r ；f o u r i e r m u l t i p l i e r ；t h ec l a s so fr a d i c a lf u n c t i o n i i l 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 作者签名：儿虹 日期：呷月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：江虹日期：知衫年 月f ；日 导师签名：与孛娣l 日期：山哆年月f 6 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题研究的背景及意义 自2 0 世纪五十年代以来，a p c a l d e r o n 和a z y g m u n d 所创立的奇异积分算子 理论取得了重大发展以c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子为核心的各类算子，如振 荡积分算子，分数次积分算子等成为近代调和分析理论中最为活跃的课题之一，由 此形成并发展起来的许多方法和技巧，已被广泛应用于算子的有界性研究中它们 在复分析，偏微分方程，位势理论，算子理论，非线性分析与概率论中都有许多应用。 1 9 5 2 年，c a l d e r o n 与z y g m u n d 为研究椭圆型偏微分方程而首次引入了奇异积 分的概念，并证明了其存在条件1 9 5 5 年，c a l d e r o n 与z y g m u n d 研究了一类卷积型 奇异积分算子，证明了其在一定条件下在( 础) 上的有界性此后，奇异积分理论 的发展对偏微分方程及其相关领域的研究起到了巨大的推动作用，这反过来促使 奇异积分理论越发受到人们的重视而得到长足的发展 c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子t 定义为 ， t f ( x ) = p 矿g ( x y ) f ( y ) d y ， ( 1 1 ) ，r n 其中核函数k ( z ) = 鬻，z r n o 】- ，函数q 是一个零次齐次函数且有以下性质： ， l f 2 ( x ) d x = 0 ，s 一1 其中一1 为r 几中的单位球面 设t 是一个线性或次线性算子，对局部可积函数b ，定义t 的交换子为 【b ，卅f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一t ( 6 似z ) ，f s 交换子在p d e 中有着重要的应用，从二十世纪七十年代起，成为经典调和分析的 一个基本研究对象 1 9 6 5 年，c a l d e r 6 n 在【1 】中研究了一类交换子：它出现于沿l i p 曲线的c a u c h y 积分问题中作为奇异积分理论与c a l d e r o n 型交换子的推广，c a l d e r o n 研究了一 类多线性交换子，其后许多学者展开了关于多线性奇异积分算子交换子的研究，如 c a l d c r o n 【1 】b a j s a k - c o i f m a n 【2 】 c o h e n g o s s e l i n 【3 一，h o f m a n 【5 】以及胡国恩【6 一 针对奇异积分算子交换子的研究更是备受关注，并得到了很多深刻的结论奇 异积分算子的交换子定义为 r 【b ，t f ( x ) = p 矿k ( z 一可) ( 6 ( z ) 一b ( y ) ) f ( y ) d y ，r “ 一1 b o c h n e r r i e s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子的性质 1 9 7 6 年，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 在文【8 】中证明了奇异积分交换子【b ，卅 在l 8 ( r n ) ( 1 s o 。) 上有界，当且仅当b b m o ( r n ) ，但当s = 1 时，此类 交换子不是强有界的，甚至不是弱有界的1 9 7 8 年，j a n s o n 在文【9 】中证明了当 0 0 ，o l 1 ，且0 q 佗，一类振荡奇异积分算子定义为 p p f = 西，a 木f ，f c 铲( r n ) 1 9 7 6 年，g s a m p s o n ，a n a p a r s t e k 和v d r o b o t 1 0 l 通过分解核函数研究卷积 算子 ， t f ( x ) = 木f ( x ) = t r ( x v ) f ( v ) d y ，r n 是( l 3 ( 腿n ) ，( r n ) ) 有界算子的充分和必要条件时，以一维情形卷积算子t q ，n 为例 说明所得到的( l 8 ( r n ) ，( 瑕n ) ) 范围除端点情形外是最优的1 9 8 1 年，w b j u r k a t 和g s a m p s o n 研究卷积算子t f ( x ) 的弱限制性估计时，得到了一维情形下算子t a ，q 在端点处的弱限制性估计 因为这类算子并不是在所有的l s ( r n ) 空间上有界，那么对于它的研究需要新 的方法1 9 8 1 年，p s j o l i n 利用日8 空间上的乘子定理得到了这类振荡积分算子p ，a 在l 8 ( r n ) 上有界的一个充要条件 定理( p s ) 设o l n ( 1 0 4 2 ) ，令, 5 0 = 磊；n o t 再，则t q ，q 在5 ( r n ) 上有界，当且 仅当8 0 s s ： 若q 0 ，q 1 ，0 p 1 ，n ( 1 一詈) + p q r t ，b 入p ( ) ，令 s o = 磊焉幸而，则交换子在l 8 ( 酞n ) 上有界当且仅当8 0 s s ： 若q n ( 1 一罟) + p ，则t q ，q 在任何l 8 ( r n ) ，1 s o o 上都不是有界算子 另一类由奇异积分算子刻画的算子是标准分数次积分算子( 也称r i e s z 位势算 子) 厶，此类算子是在研究偏微分方程中引入的，为了研究p o s s i o n 方程 a u = f 一2 一 硕士学位论文 的解，定义分数次积分算子厶为 训加上。苦耘d y ，( 0 妯妯) 对于标准分数次积分算子l 的研究已有几十年的历史了1 9 3 8 年，s o b l e v 证 明了它是从l s ( p ) 到l d ( 黔) 有界的；1 9 5 6 年，z y g m u n d 【1 2 】得到了其弱( 1 ，忐) 型 的估计七十年代，h a r d y 空间实变理论的发展，促进了在h a r d y 空间上的算子有 界性的研究1 9 8 0 年，t a i b l e s o n 和w e i s s 运用h a r d y 空间上的分子分解方法，证明 了算子l 为( 日5 ( r n ) ，l 5 ( r n ) ) 和( 日3 ( r n ) ，h d ( r n ) ) 型算子1 9 8 2 年，c h a n i l l o 【1 3 】 引入了分数次积分算子的交换子【b ，厶】 【b ，l ，( z ) = 6 ( z ) 厶f ( x ) 一l ( 6 ，) ( z ) 并给出了这样的结果 定理( c h )设1 s d o o ，；1 一i 1 = 嚣，那么交换子【b ，l 】是从l 5 ( r n ) 到 ( r n ) 的有界算子，当且仅当b b m o ( r n ) 1 9 9 5 年，m p a l u z y n s k i 1 4 】证明了c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子的交换子 【b ，卅是从l 5 ( r n ) 到霹，的有界算子，当且仅当1 s o 。，o 1 ，b 入口( r n ) 为l i p s c h i t z 空间，其中砖，o o 是齐次t r i e b e l l i z o r k i n 空间，( r n ) 为l i p s c h i t z 空 间并且给出了分数次积分算子的交换子 b ，厶】是从三8 ( r n ) 到砖，的有界算子的 充分必要条件是l s o 。，0 p 1 ，；1 一五1 = 景，b 入p ( r n ) 2 0 0 2 年，陆善镇：吴强，杨大春在【15 】中证明了交换子 b ，卅是从日8 ( r n ) 到 己d ( r ”) 的有界算子，b 入卢( r n ) ，0 p 1 ，南 s 1 ，i 1 = ；1 一等，以及【b ，l 】是从 日崴8 ( r n ) 到程8 ( r n ) 的有界算子，其中0 s o 。，1 d l ，d 2 ，b 入卢( r n ) ，0 p 1 ，壶= 1 d ，一等，佗( 1 一a 1 ) o z 仡( 1 5 ) + 卢 同年，p e r e z 和t r u j i l l o - f o n z a l e z 1 6 1 引入了奇异积分算子的多线性交换子，定 义为 【6 ，卅，( z ) = ( 玩( z ) 一b k ( 可) ) ( z 一可) ，( 可) ，d y d r “k 。= l 一其中k 是一个c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分核，并证明了如果b k b m o ( r n ) ，k = 1 ，2 ，m ，则交换子【b ，刁是l 8 ( 时) 上的有界算子( 1 s 。) 陈艳萍在文【1 7 】中 引入了分数次积分算子的多线性交换子 【6 ) - 上。娶 ) - b k ( y ”f 杀八们匆 并证明了当b = ( b x ，6 m ) ，b k 人p ( r n ) ，1 k 仇，0 凤 p ，0 p 1 时，奇异 积分算子的多线性交换子 b ，卅是从l 5 ( r n ) 到彬，o o ( r n ) 的有界算子，相应地有交 换子f b ，厶】是从l s ( r n ) 到移，o o ( 酞n ) 的有界算子，其中d 1 = ；1 一芸 一3 一 b o c h n e r r i e s z 算子与b e s o v 甬数生成的交换子的性质 此外，对于上述算子很多作者也得到了许多加权估计的深刻结论【1 8 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 引 1 9 9 3 年，a l v a r e z ，b a b g y , k u r t z ，p 6 r e z 得到了著名的线性算子交换子的加权有界性 准则【2 4 】，其主要结果为 定理( a p ) 令e 是一个b a n a c h 空间，1 8 ，d 0 ，通过f o u r i e r 变换的形式定义b o c h n e r - r i e s z 算子乃为 ( 乃厂) ( f ) = ( 1 一2 ) 釜，( ) 1 9 5 9 年，h i r s c h m a n 在文【2 5 】中给出当求和指标a 低于临界阶( 礼一1 ) 2 时，b o c h n e r - r i c s z 平均在8 上有界的必要条件是2 n ( n 一1 + 2 a ) s 2 时，虽然也得到了很多有价 值的结果【2 8 ，2 驯，但此问题仍未完全解决在此之后，关于b o c h n e r r i e s z 平均的一系 列结果可参见文【3 0 i 人们同样关心b o c h n e r r i e s z 平均的交换子，是否可以得到此类交换子在l 3 上 有界的充分必要条件受奇异积分交换子的启发，1 9 9 6 年h u 与l u 定义了b o c h n e r - r i c s z 交换子，并研究了此类交换子的口有界性【3 1 3 2 1 ，其中一个主要的结论叙述如 下 定理( h l ) 若b b m o ，( n 一1 ) 2 ( 几+ 1 ) a ( 扎一1 ) 2 且1 1 s 一1 2 l ( 1 + 2 a ) 2 n ，则 f b ，乃】：l 5 一 若r = 2 ，则a 为满足0 a o js n - - i 若n ( n 一1 ) s o o ，则 缸b ：l 8 一 另一方面，奇异积分算子t 如( 1 1 ) 式中所定义，若q l q ( s 驴1 ) ，则称t 为具 有粗糙核的奇异积分算子当l q o 。时，许多著作对t 的交换子的性质作了深 入的研究特别的，当g 在1 附近时，h u 与m a 在文【3 8 1 中有下面的结论 定t e ( h l m ) 若q l ( 1 0 9l ) k + l ( s n 一1 ) ，即 ， i q ( z ) il o g k + l ( 2 + l q ( z ) j ) 如 ， ，s n 一1 则 ， 【b ，7 1 七，( z ) = ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) 惫南( z 一) ，( 可) d y ， ， 在l 2 ( r n ) 上有界 对于沿超曲面的平均及具有粗糙核的奇异积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的交 换子的研究，已取得了许多深刻的结果【3 9 1 当b 是b e s o v 函数时，也已得到一些有 意义的结果1 4 0 l ，在这里不再详述 此外，对于乘子算子丁 ( 丁厂) ( ) = m ( ) 厂( ) ，s 其中函数仇c o 。( r n ) 是一个乘子，夕是函数，的f o u r i e r 变换2 0 0 6 年，刘丽霞和 马柏林在文【4 1 】中研究了此类算子给出了下面的结果 定理( a ) 设j ( j 2 ) 是一个正整数，b h z ( r n ) ，0 p 1 ，且定义交换子如 同式所示，假设乘子仇c 0 。( r n ) 满足以下的性质： m ( ) i c ( 1 + - 口1 ，i d q 仇( 钏c ( 1 + _ 0 2 ， l a l = j 其中c 及o l ，o l 2 是三个正常数那么 一a 一 b o c h n e r - r i e s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子的性质 ( 1 ) 当q 1 一q 2 一1 ，0 p m i n 巧葡，2 ( a i - q 2 + i ) 时有 | i 【6 ，7 1 川。c l l f l l 。， 气 ( 2 ) 当o q q 2 一1 ，0 p 玎毒可时有 【b ，t f l l 2 c l l f l l 。 定理( b ) 条件与定理a 相同，其结论如下 ( 1 ) 当a l q 2 一1 ，0 p m i n _ ( 巧禺，夏不o l 石1 两) 时有 i i 【6 ，卅州d c i i 1 1 2 ， ( 2 ) 当q l q 2 一1 ，0 p 两者可时有 i l 【6 ，刁f l l d c i i f l l 2 其中；= j 一等 他们的这个工作，为乘子算子与l i p s c h i t z 函数交换子的研究，做好了准备 2 0 0 8 年，龚淑丽【4 2 1 研究了b o c h n e r - r i e s z 平均与l i p s c h i t z 函数的交换子，在驴0 2 ) 空间中的几乎处处收敛性问题，给出了求和指标，可积空间的指标，l i p s c h i t z 空间指 标与维数的关系 受上述工作的启发，本文主要研究b o c h n e r - r i e s z 平均与b e s o v 空间中的函数 的交换子的几乎处处收敛性问题我们希望得出b e s o v 空间的指标对求和指标的影 响，以及与可积空间的指标的关系，而且期望得到，当b e s o v 空间中对应的指标趋于 无穷时：所的到的关系，就是l i p s c h i t z 函数的交换子的对应关系 本文的结构是，第二章我们证明b e s o v 函数与b o c h n e r - r i c s z 平均的交换子在 l 3 ( s 2 ) 上的几乎处处收敛性第三章我们证明当考虑可积空间和可积空间中的 径向函数类时，可以讨论交换子的( s ，s ) 有界性 1 2相关记号及引理 我们首先来介绍本文通用的一些记号r n 表示维欧氏空间，r n 中的元素记 做z = ( x 1 ，x 2 ，z n ) ，y = ( y l ，耽，鼽) 对于z ，y 酞n ，z 与y 的内积是数 z y = x i y i ，z 的范数是( 非负) 数i i x l i = 历此外，d x = d x l d x 2 如n 表 示通常的l c b c s g u e 测度元，r n 上的函数空间l 3 = l 8 ( r 几) ，1 s 。c ，即使得 i i f l l 。= ( 丘。l f l 5 如) 0 ，o q 表示与q 有相同的中心，边长为其a 倍的方体 一6 一 硕士学位论文 对于局部可积函数，设m 为h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子，即 ，( ，) ( z ) = z s u r p 。i 与lj 乞i f ( y ) i d y 现在我们介绍一些本文中需要的一些重要不等式 引理1 2 1 ( h s l d e r 不等式)设函数f l 8 ( r n ) ，g l d ( r n ) ，1 5 ，d o o ，且 ；1 + - i = l ，那么有 上。i ( z ) 夕( z ) ld z ( z 。i ( z ) 8 i 如) ；( 上。1 9 ( z ) d id x ) 6 引理1 2 2 ( m i k o w s k i 不等式) 设1 s 0 ( 2 ，1 ) 其中厂是，的f o u r i e r 变换 一般研究b o c h n e r r i e s z 算子巧是当r 一0 时的收敛性质，巧依l 8 ( ) 范数 收敛性等价于证明( 1 一蚓2 ) 罩是一个l 8 ( r n ) 乘子，即如下定义的线性算子乃 ( 瓦，) 诞) = ( 1 1 5 1 2 ) 辜氕) ，( 2 2 ) 是l 8 ( 风n ) 上的有界算子通过计算知卷积算子乃的核函数是 酬= 掣鲁掣，糊 其中厶( 亡) 为，y 阶b e s s e l 函数， 加) = 蒜小s ( 1 - s 2 r 由b x 的渐近式知，当入 ( 礼一1 ) z 时，b x ( x ) l 1 ( r n ) ，而当入( n 一1 ) e 时， b ( z ) 聋l 1 ( r n ) 因此我们称a o = 一1 ) 2 为临界指标 s b o n c h e r 于上世纪三十年代首次对该问题进行了研究，但当时都局限于研究 大于临界阶的情形，直n - - - 十世纪五六十年代，对临界阶以及小于临界阶的情形作 出了重大的贡献和突破与此同时，我国程民德教授等人也广泛应用b o c h n e r r i e s z 平均逼近函数，取得了丰富的成果，但至今仍有许多问题有待继续深入研究 定义2 1 2 令b 为局部可积函数，则算子b 的交换子职：6 定义为 甄b f ( x ) = 趸( ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) 以z ) ，( 2 3 ) 而交换子及6 的极大算子赕6 定义为 吸b f ( x ) = s u pi 巧：6 ，( z ) i ( 2 4 ) 这类换子的的有界性引起了国内外许多学者的关注，由于不断的深入研究，得 到了许多有价值的结果【1 1 ，3 1 ，3 2 ，3 引主要是针对b b m o ( r n ) 和b l i p 口( r n ) 两类 算子进行的研究 一8 一 硕士学位论文 对于b b m o ( r n ) ，s h i 与s u n 在文【4 3 1 中讨论了b o c h n e r - r i e s z 算子的加权有 界性，当a ( 佗一1 ) 2 时，对所有的l s o 。及u a 。，算子死在( r n ，u ( z ) 如) 上有界( 其中a 。表示m u c k e n h o u p t 权函数类，a 。权函数类的定义及性质在1 8 0 中有 详细说明) 随后，a l v a r e z ，b a b g y , k u r t z 与p 6 r e z1 2 4 1 给出了一类线性算子和b m o 函数生成的交换子有界性的判别方法，对所有的1 s o o 及u a 。，交换子瓦：b 在l s ( r n ，w ( x ) d x ) 上有界它适用于临界阶b o c h n e r - r i e s z 算子等一些重要的经典算 子，但是a l v a x e z b a b g y - k u r t z p 6 r e z 定理要求算子满足较为一般的a 。权模估计，因 此由外推定理知，它只适用于l s ( r n ) 上的有界线性算子，而且h u 与l u 在【3 1 】的结 果表明，当0 a ( 佗一1 ) 1 1 2 1 s i 时，极大算子砹6 在l 8 ( r n ) 上是有 界的迸一步地，h u 与l u 【3 3 】给出了此类极大算子b 6 的l 2 加权有界性，并且指 出，对某些s 满足2 s ( 礼一1 ) 2 时，极大算子败6 从8 到 及t r i e b c l - l i z o r k i n 空间的有界性且x x i a 在【1 1 】中阐明当0 a ( 佗一1 ) 2 时， 交换子乃：b 在l 8 ( p ) 是有界的 定义2 1 3 对0 p 1 ，1 p ，q ，称b 属于b e s o v 空间入矿( p ) ，如果b 满 足 怕恢舻= ( 厶坠高掣d t ) u q o 。 在【4 7 】中介绍了该函数空间的性质y c h e n 和b m a 1 7 1i 入了由奇异积分算子 和b e s o v 函数生成的交换子乃：6 ，并证明了对某个s 和特定的d ，交换子从三5 ( r n ) 到 l d ( r n ) 是有界的，而高f 4 0 】讨论了上述算子从l e b e s g u e 可积空间到t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的有界性 定义6 q 为b 在方体q 上的平均，即 6 q = 而1z 地) 匆 ( 2 5 ) 下面我们来给出b e s o v 函数b 在方体q 上的振荡估计 引理2 1 1设0 1 ，l q p o 。，则有 s 罗南z 1 6 一均ld y s u q p 雨南( z 1 6 6 q 1 9 匆) l q _ c i l 6 i i 弘 ( 2 6 ) 此引理的具体证明见文【4 0 i 引理2 1 2设0 p 1 ，1 q o 。，则有 队。黜u p 。1 ( b - z , e 1 ) s 猡赤( 小划9 ) v 口 b o c h h e r r i e s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子的性质 从上面两个引理的表达形式，不难看出b e s o v 空间是l i p s c h i t z 空间的推广形 式，即当p = q = o c 时，b e s o v 空间即为l i p s c h i t z 空间 由x i a 的文f 1 1 】中的结论，我们知道对b 三i 舶，当，8 ( 黔) 且2 n ( n + 1 + 2 入一2 3 ) s 2 n ( n 一1 2 入+ 2 p ) 时，算子a ；b 在l 8 ( p ) 上是有界的与 b b m o 的情形相比，当指标s 在2 h i ( + 1 + 2 入) s 2 n ( n + 1 + 2 入一2 p ) 与 2 n ( 佗一l 一2 a + 2 f 1 ) s 2 n ( 亿一l 一2 a ) 这两段之内时，算子甄6 在l 8 ( r n ) 上的性质 是未知的因此龚在文【4 2 】中表明，当b l i 卯，l 5 ( 时) 且2 s 2 礼( n 一1 2 入) 时，算子致6 在l 5 ( r n ) 上是几乎处处收敛的根据以上结果，我们希望将这一结论 再推广到更一般的形式，即讨论当b 入各9 ( r n ) 时，算子灾6 在l 8 ( u ) 上的几乎处 处收敛性，这个问题归结为极大算子职：b 的有界性估计 我们知道、若有 i i 耳：6 怯c i i b l l a ；，一i i 1 1 l a 则交换子吸6 厂( z ) 是几乎处处收敛的当p q 时，根据文 4 s j 中所提到的，若对每 一个给定的s 满足m a x 2 ，矗) s 2 咒( n 一1 2 入) ，我们可以选取a 使得 佗( 卜；) q 1 + 2 a ， 则 l 8 ( r 一) cl 2 ( 跫n ) + l 2 ( 跫n ，i z i 一。d z ) 如果d 满足5 = i 1 一( 鲁一；) ，则我们有 扎( 1 一三) q + 2 ( p 一兰) 扎， 扎( 1 一丢) q + 2 ( p 一苔) 0 ，令m 6 为一个径向c o 。函数其支集包含在 l 一6 蚓1 ) 中，且满足 0 m 6 ( ) 1 ，i d m 6 ( ) i c 6 一渺i ，( 2 7 ) 一1n 一 硕士学位论文 其中是任意的多重指标因此，不难得到m 6 在己1 ( 酞n ) 上的可积性，即 上。慨( 刮如c 其中c 与6 无关 定义乘子算子甓为 ( 甓j p ) ( ) = m 6 ( 必) ，( ) ， 与算子甓相应的极大算子为 舔f ( x ) = s u pi g f ( x ) 1 对b 台g ( r n ) ，我们定义它们的交换子和极大算子分别为 s 硒tf ( x ) = 甓( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ，( z ) ， 和 s b f ( x ) = s u pi 磷( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ，( z ) i ， ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 其中，属于s c h w a r t z 函数类由文【4 5 】与【4 6 】中的结论知，我们可以得到如下分解 若令6 = 2 一，则譬_ 6 如式( 2 1 0 ) 中所定义，那么有 记 ( 2 1 2 ) 砖；，( z ) = 2 。0 a 昂；6 ，( z ) + 2 - 1 a 。1 。r 一- ；6 ，( z ) ， ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 我们通过估计交换子t a l ，, ：与t a 2 ，, ；相应的极大算子的有界性，就可以推出砭；：厂( z ) 与 囊，( z ) 的几乎处处收敛性，从而可以得到甄6 的几乎处处收敛性 2 2 主要结论 下面陈述关于交换子及6 的收敛性的结论我们的主要结论是下面的三个定 理 一1 1 一 一 2 m a一 2 伽 = 入+ 2 f l z ，霹 认一 2 础 = z ，巧 z ，j q 墨 认一 2 锄 | i z ，j - b磺 与 b o c h n e r - r i e s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子的性质 定理2 2 1设b 人各9 ( r n ) ，其中1 q p o 。，对任意的0 巧 1 2 及 0 p 0 使得 i s 6 fj i ；c 万一( 1 _ + 2 卢俐孙；， 其中c 与6 及，无关 定理2 2 2 令0 q 礼且；n p m i n n 西+ ；，渊+ ；) 若b 馆9 ( r n ) ， 其中1 q p 。，则存在正常数7 - 使得 _ i 墨b f ( x ) 1 2 盯a - 2 一；d x c 6 _ ( a 打) l l b l l 炙暑，。i f ( x ) 1 2 l x l d x ， 其中c 与6 及，无关 定理2 2 3 令0 1 ，字 入 孚及f l 8 ( r n ) ，其中s 满足m a x 2 ，矗) s 志若b 入爹9 ( r n ) ，1 m a x 再2 n ，瓦案习，不t = 2 n 预) p 。，1 g o o ，且 q p ，石n p 0 1 e z 定义乘子算子仇为 ( g t f 瓜) = 妒( 2 2 f ) 氕) ， 则对任何1 s 0 ，有 讥( z ) + 砂( 2 一z ) = 1 z = l 一19 硕士学位论文 对2 1 ，定义( z ) = 矽( 2 一z ) 令瑶为乘子算子甓的核函数，即( 瑶) ( ) = m 6 ( 蜒) 将瑶分解为 命题2 3 2 对每一个l t 2 ，记式2 是以2 ( z ) 为核的卷积算子，互为 算子式。交换子，则对任意的0 1 ，有 | | ( 2i 甓。，i 警) 1 7 2 l i 。c ( 6 p 2 一c 1 一l ，。) 1 矿i l f l l 。， 其中2 q o o ，q 7 = q ( d 一1 ) 此命题的证明可参见【7 】，为了文章的完整性，我们将证明简述一遍 证明一方面，对l 1 及f 瓞n 有 ( 磁) ( ) = 仇6 ( ) 木( ( 6 ) ) ( ) = m 6 ( 蝤一，7 ) ( 矽。( 6 ) ) 却 = m 6 ( 堵一t 2 一。却) 万( 叩) 却 又由a l v a r e z b a b g y k u r t z 与p 6 r e z 【4 5 】的结论知，对每一个固定的1 t 2 ，有 i ( 碟瓜) l = m 6 ( 亡) ( ( 6 ) 瓜) i c 2 ， 其中c 与l ，6 ，t 均无关再由( 2 8 ) 式：我们知 l l 砖2 i l c ，1 t 2 且根据y o n n g 不等式可以得到 g r f l l i i 砖，2 木f l l 。c i i f l l 。，1 t 2 从而满足 | l ( 2i 2 ，1 2 警) v 2 1 1 。- 1 1 ( 1 2i 磁“，1 2 警) v 2 i l 。( 1 2 | i 磁川乙警) 1 ，2 ) c ，i i f l l l ( 2 1 5 1 另一方面，由p l a n c h e l 【4 7 】定理知 2 恻川哮 c 2 - 2 l l f l l ； ( 2 1 6 ) z 砖 = zf o 砂 茁k 啪 + zf 0 “砂 zk i i z 砖 b o c h n e r - r i e s z 算子与b e s o v 函数生成的交换子的性质 又根据s c h w a r z 不等式有 2 眦小( 蜘) 瓜) 1 2 了d t = 2i 上。州妒防锄) 万( 恻2 了d t 2 上。i 州缮- t 2 - z 6 u ) 1 2 鼬咖警 = 上。2 愀- t 2 - 1 ) 1 2 铷训咖 注意到i m 6 | l l ，g x 寸g i - + n 定的点( ，叼) ( 册毋) ，使得积分斤i m 6 ( 埏一 t 2 一。叻) 1 2 譬不为零的t 的集合关于譬的测度至多为c 6 ，因此有 2 懈州2 2 了d t 2 恻圳j ；警鲫忖旧 ( 2 1 7 ) 对任意的0 1 ，由不等式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) ，我们可以得到 r z+ | | g ，2 川；芋c s i i f l l ； ( 2 1 8 ) 最后，在不等式( 2 1 5 ) 和( 2 1 s ) 之间，应用插值定理，即得我们的结论 命题2 3 3 令0 6 1 2 ，m 6 为一径向c 函数，且满足式( 2 7 ) ，算子甓与 交换子g ：6 的定义如( 2 9 ) 与( 2 1 0 ) 式，则当p q 时，对任何的0 p 0 与c = c ( n ，p ) ，使得 ：12i i 甓；。，| l ；警c 6 6 ( 1 1 b l l ；，。j 一卢) 2 i l f l l ； 证明令r n = 屿q ，其中每个方体q j 的边长均为2 。6 ，且彼此互不相交，即 q inq j = d ，令) ( q 为方体q 的特征函数，记办= ，x 劬，则有 m ) = 办( z ) ，口e z r n j 因为当1 t 2 时，s u p p ，。c i x l c 2 。6 1 ) ，显然2 办的支集包含在有限倍数 的方体锡中，且。s 舶t , l 。的支集具有有限交性质，所以 2 恻州；孥莩2 蝌磷 因此我们不妨假设s u p p 厂cq ，这里q 是边长为2 2 6 _ 1 的方体令妒c 铲( 黔) 且 满足0 妒1 ，妒在l o o n q 上恒等于1 ，妒的支集为2 0 0 n q 记q = 4 0 0 n q ，且 ( z ) = ( 6 ( z ) 一) 妒( z ) ：其中为b 在亩上的平均，满足式( 2 5 ) ：则有 菇：厂( z ) = ：厂( z )