（基础数学专业论文）线性赋范空间的alexdrov问题和mazurulam定理的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明，此处所提交的硕士论文线性赋范空间的亚历山德罗夫问题和马祖 尔一乌拉姆定理的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声 明的法律结果将完全由本人承担 、 作者签名。撇蛾日期t 矽p 多 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 线性赋范空间的亚历山德罗夫问题和马祖尔一乌拉姆定理的研究系本人在曲阜 师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文，可以公开发表论文的全都或部分内容 作者签名。狄诲娠日期。o 。t 导师签名sj 嘭i j 尹日期：矽旧、 2 曲阜师范大学硕士学位论文 线性赋范空间的a l e x a n d r o v 问题和m a z u r - u l a m 定理 的研究 摘要 1 9 3 2 年，m a z u r 和u l a m 首先提出了等距理论，随后又提出了守恒距离的概念研 究从度量空间x 到度量空间y 的某个映射，存在着守恒距离是否能推出，是等距映 射的问题就是亚历山德罗夫问题这个问题是亚历山德罗夫在1 9 7 0 年提出的近年来， h a h n g - y u n c h u 提出了线性2 一赋范空间中的2 一等距的概念，并证明了当x 和y 都 是线性2 一赋范空间时，m a z u r - u l a m 定理是成立的m i 8 i a k 定义了性线n 一赋范空间 并给出了相应的性质之后，c h u e t a l 在2 0 0 4 年给出了线性n 一赋范空间中的n 一等距 的概念，并解决了此空间中的亚历山德罗夫问题2 0 0 9 年，高金梅又引入了线性( 2 ，p ) 一 赋范空间，并且解决了此空间上的亚历山德罗夫问题 本文共分三章 第一章我们介绍了线性n 一赋范空间的n 一等距的一些刻画及其相关的结论和定理 在 1 4 】中刻画了2 一等距并陈述了相关的结论和定理本章中对礼一等距的刻画就是在 2 一等距的基础上推广的例如，由弱2 一等距到弱竹一等距的推广- 设x 和y 是线性2 一赋范空间，f ：x y 是一映射若对任意的g 0 ，存在 6 0 使得当 l l i z 一爹，可一名。一oz 7 一z ，可一z ，l l l 0 使得当 陋一，z - x oi i 一慨一蠢，一圳 6 曲阜师范大学硕士学位论文 时，有 1 i l ，( z - ) 一，( z 。) ，f ( x n ) 一，( z 。) o l l ，( z ；【) 一，( z ：i ) ，( z ：i ) 一，( z ： ) l | i e ， 成立，则我们称，是弱n 一等距 此外，我们还证明了在线性n 一赋范空间中r i e s z 定理是成立的 第二章我们考虑守恒映射的亚历山德罗夫问题首先我们推广了原有的一些结果， 然后在线性( 2 ，p ) - 赋范空间的基础上我们引入了线性( 亿，p ) 一赋范空间的概念概念如 下 设x 是一个实线性空间，d i m x 礼， l i ，l i ：x n _ r 是一个函数设0 p 0s u c ht h a t i m p l i e s z 一! ，一zi i 一 x i i ，y 一z 7 i l l 0s u c h t h a t z 1 一x 0 ，一z o0 0z ：一z ：，z ：i z ：i i i z 1 一 ，一z o 一z 1 一z o ，z 住一z o i l u l i m p l i e s l l i ，( z ) 一m 。) ，( ) 一m 。) l | - m z ：) 一m n 一，( z ：i ) 一，( z 圳 na n d i l ，i i ：x n _ r b ea f u n c t i o n s u p p o s e0 p 0 使得当 z z 一黝，一z 。i i i iz ；【一磊，z ：i z 钏i 6 第一章f t 一等距的特征 时，有 l i l l ( x 1 ) 一f ( x o ) ，( ) - - f ( x o ) l l l l ，( 西) 一，( 磊) ，( ) 一，( 磊) l | l s ， 成立，则我们称，是弱n 一等距 2 线性n 一赋范空间中的n 一等距 在引言中我们看到由h 一等距可以推出弱几一等距，而在这一节我们将考虑在什么 条件下由弱佗一等距可得到仃一等距 以下我们都设x 和】厂是线性n 一赋范空间 定义2 1 ( ( 4 】) 设知，z 1 ，z n x 若对于每一个i ， 巧一戤10 歹i n ) 是线性 相关的，则称z o ，z 1 ，z 仃是钆一共线的 引理2 2 ( 4 】) 设x 是线性扎一赋范空间，x 0 ，z 1 ，x n x 并且，y r 对 v 1 i 歹n 有 i lx l ，x i ，z 住l i = l lx l ，观，巧+ ，y 黾，z nl | 引理2 3设x 是线性见一赋范空间， z o ，z 1 ，y l ，y 2 ，名x 并且可1 ，y 2 ，z 是2 一 共线的则 l lz 1 一y l ，x l 一珈，z 3 一x 0 ，z n z o | l | ix l y l ，x l 一名，x 3 一x 0 ，一x 0i i + 0x l z ，x l y 2 ，x 3 一z o ，z n x 01 1 在以下的定理和引理中，p ( 0 ，+ ) ， 3 ，4 ，) 引理2 4 设x 和y 是线性佗一赋范空间，任意的z o ，z 1 ，z n ，y o ，y l ，鼽x ， 是一个函数且满足下面的条件， ( i ) 由i i 掣1 一珈，y 2 一y o ，一y o0 = p 推出i i ，( 1 ) 一f ( y o ) ，( 耽) 二s ( y o ) ，( 鼽) 一 f ( y o ) l i n p ； 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 诹) 珈，秒1 ，耽是2 一共线的当且仅当f ( y o ) ，f ( y 1 ) ，( 沈) 是2 一共线的 如果l lx l x o ，z 2 2 ：0 ，一x oi i = l p ，那么 0f ( x 1 ) 一，( z o ) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ，( z j 一，( z o ) 0 = z p ，z = 1 ，2 证明首先，我们考虑f = 1 的情况设p k = x o + k ( x 2 一黝) ，则 0z 1 一z o ，m z o ，z 3 一z o ，z 作一z o0 = k i lx l x o ，x 2 一x o ，x 3 一x o ，z n x o0 ， 所以 i iz 1 一z o ，舯一知，z 3 一万o ，z n z o1 1 = n l ix l x o ，x 2 一x o ，x 3 一x o ，z n x o0 = n p 由( i i ) 可得 n p l i 厂( z - ) 一，( z o ) ，f ( p n ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一f ( x o ) i i 我们由题设可得 由( i ) 可得 l ix l p k 一1 ，p k p k 一1 ，x 3 一x o ，x n x ol i = l lz 1 一z o ，z 2 一z o ，z 3 一z o ，一z o0 = p 0f ( x 1 ) 一f o k 一- ) ，) 一，慨一- ) ，f ( x 3 ) 一，( z o ) ，f ( x n ) 一f ( z o ) i i p 根据引理2 3 我们还可得到 n p l if ( x 1 ) 一f ( x o ) ，( p ) 一，( z o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) 0 = l jf ( x 1 ) 一，( z o ) ，( z ) 一f ( p n ) ，f ( x 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一f ( x o ) l i n i l ( ，( z ，) 一，帆一t ) ) ，( z t ) 一，慨) ，( z 3 ) 一，( 黝) ，( z n ) 一，( z o ) 0 k - - 1 n = 乏：l l ，( z ) 一，七一) ，f o k ) 一，( m 一) ，( z 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) l k - - 1 n p 3 第一章n 一等距的特征 因此 i | ，( z ) 一，( z o ) ，l ( x 2 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) l - - - p 其次，我们考虑f = 2 的情况我们由题设可得 2 p = l ix l x 0 ，x 2 一x 0 ，x 3 一x 0 ，z n x 0l l = 2 i i 矿知，竽，矿，咱。 设鳜= x 0 + 七篮笋，( 七= 0 ，1 ，) ，则 | iz 1 一x 0 ，9 1 一x 0 ，勋一知，一x 0i l = p ， | ix l x 0 ，9 1 一x 0 ，铂一3 ：0 ，一x 0i i = p ， 并且 由f = 1 的证明可知 l iz 1 一讯一1 ，x l 一瓠，3 一x 0 ，一x o0 = 0x l q k 一1 ，瓠一q k 一1 ，z 3 一x 0 ，z n x 00 = 0 一zo，x2-fxoxl ，铂一z o ，刀n z oi i= 一z o ，f ，铂一z o ，刀n z ol i = i | d ( = 1 ，) l l ，( z ) 一，( z o ) ，( q - ) 一，( z o ) ，f ( x 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) i l = i | f ( x 1 ) 一，( z o ) ，( z z ) 一f ( q 1 ) ，( z 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) l l = l i ，( z ) 一f ( q k 一) ，( z - ) 一，( 弧) ，( z 。) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) l - - p ( 南= 1 ，) 又，( q 1 ) ，( z o ) ， 2 ) 是2 一共线的，即存在o t r 使得，( q 1 ) 一，( z o ) = q ( ，( 9 1 ) 一，( z 2 ) 因此我们可得 p = i i ，( z ，) 一，( 茁o ) ，( q ，) 一，( 茁o ) ，( z 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) i i = lqi | i ，( z ) 一，( z o ) ，( 。2 ) 一，( 9 1 ) ，l ( x 3 ) 一，( z o ) ，( ) 一，( z o ) 0 = lqip 4 。 曲阜师范大学硕士学位论文 所以io li = 1 假设o t = 1 ，则，( q 1 ) f ( x o ) = f ( q 1 ) 一f ( x 2 ) ，所以f ( x o ) = ，( z 2 ) 我们由 题设可得 0z l z o ，q 一z o ，z 3 一z o ，一知0 ：百ni i $ l z 。，未2 一z 。，z 3 一z 。，z n z 。i t 丘 = n p 进而由引理2 3 我们可得 n p - l if ( x 1 ) 一f ( x o ) ，f ( q n ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一，( z o ) l - - i lf ( x 1 ) 一，( z o ) ，f ( x 1 ) 一f ( q n ) ，( z 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) l = | if ( x 1 ) 一f ( x 2 ) ，f ( x 1 ) 一f ( q l v ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) l | n 0 两种情况讨论 当7 o = 0 时，f ( x o ) ，f ( x 1 ) ，f ( x n ) 是n 一共线的由条件( 俄) 可知，x o ，。1 ， 是n 一共线的，即l lx l x o ，x 2 一x o ，一x ol i = 0 ，那么a o = t o ，矛盾 8 不失般性，令6 ，则( a o - 6 , a o + 6 ) n 一，r o + e ) = 0 我们定义函数q o ：r 一r + ， 它是由zh 胆2 给出的，并且r + ：扛r i z o ) 则妒是到r + 上的个连续函数 r + = 妒( r ) = 妒( 虿) 万丽= 所以叶= p 9 2 l 口q ) 因此存在m ，佗n 使得 加2 l q q ) ， 咖一6 石m 2 j d c r 0 + 五 亿 由条件( 咖) 可知存在z ：) ，z ：，x 使得 我们看到 z ：一磊，x 7 2 x 0 ，z ：l x o 钏= 等p z 1 一， 一 ，z n 1 1 2 = 可 o 0 6 l lz ；【一磊，z ：一z ：l ，z ：l z ：li l 印+ 正 一s 0 任意的0 ( 0 ，1 ) ，存在w 0 w 使得 。i i l 一撕，耽一撕，一咖o 0 是个 固定的数，我们说，保持距离r ，即对任意的z ，y x 由奴( z ，y ) = r ，我们能得到 d r ( ，( z ) ，( 可) ) = r ，那么r 就叫做映射，的守恒距离守恒距离最基本的问题就是是否 能由存在单一守恒距离的映射，能推出，是从x 到y 上的等距映射这个问题就是 a l e x a n d r o v 问题 在这一章中，我们首先对原有的一些结果进行了推广，然后引入了线性( n ，p ) 一赋范 空间的概念并解决了该空间上的亚历山德罗夫问题 2 线性n 一赋范空间中关于亚历山德罗夫问题的结论 ， 以下我们都设x 和y 是线性n 一赋范空间 定义2 1 若映射f ：x _ y 满足，当0z 1 一z o ，z n z oi i 1 时，存在k 0 使得 i | y ( x 1 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( 如) i i ki | x l 一知，z n 一刃o0 则称映射，是局部n 一利普希茨映射 注( 4 】) ：映射，的礼一距离保持性质( n d o p p ) ： ( n d o p p ) 如果x 0 ，x l ，z n x 使得0z l 一铂，。n z ol | = 1 ，那么0 ，( z 1 ) 一 f ( x o ) ，( z n ) 一y ( x o ) l | = 1 以下我们只考虑几一利普希茨常数k 1 的情况 引理2 2 如果映射y ：x _ y 是局部n 一利普希茨映射，则，是n 一利普希茨映射 证明假设i ix l 一2 7 0 ，z n x 0i i 1 ，则存在n o n 使得 伽一1 l ix l x 0 ，一x 00 n o 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 令p i = x o + 去( z 1 一x o ) ，i = 0 ，1 ，n o 则 l lp i 一鼽一1 ，x 2 一p i 一1 ，幻一：c o ，一t , 0l i = l ip i a 一1 ，z 2 一x o ，x 3 一x o ，一x ol i = 磊1 ux l _ _ x o , x 2 _ _ 2 ：o , x 3 _ _ 黝，一黝0 1 并且 l i ，慨) 一，慨一，) ，( z 2 ) 一，( 见一，) ，( z 3 ) 一j f ( 知) ，( z 忭) 一( x o ) l l = 0 ，慨) 一，慨一) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f c x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) l 因此 - l ip i - p i 一1 ，x 2 一x o ，x 3 一x o ，一z o0 = 扣z - 一z z 一z 3 一，z n 一训j 0f ( x 1 ) 一，( z o ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) 0 n o = j l ( ，慨) 一，慨一，) ) ，( z 2 ) 一m o ) ，f ( x a ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) - f ( x o ) l i i = i n o i | ，慨) 一，慨一) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) 0 0 l ! 兰! 二兰壁! 兰竺二苎旦! 兰墨二兰旦! ：! 塾二竺竺0 一鲁 n o = | | z 1 一黝，z 2 一知，铂一跏，一铷8 注( 6 】) ：若，是局部2 一利普希茨映射并且z ，可和z 是2 一共线的，则，( z ) ，f ( y ) 和f ( z ) 也是2 一共线的 定理2 3 若，是局部n 一利普希茨映射并且满足( n d o p p ) ，则，是n 一等距 证明( 1 ) 若i iz l 一跏，z 2 一z o ，z 住一跏i l sl ，那么我们可得到 0 ( x 1 ) 一f ( x o ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) l i = 1 ix l x o ，x 2 一知，一知1 1 假设 0 ，( z 1 ) 一f ( x o ) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ，( z 住) 一f ( x o ) l i 1 ix l x o ，z 2 一z o ，z n z o0 1 3 令m - - i l ：t 1 一x o ，x 2 一x o ，一x ol i 1 ，叫= x o + 产则 l lw z o ，z 2 一知，z n 一知i i = 1 ， 进而有 i i ，( 叫) 一f ( x o ) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x , z ) 一f ( x o ) 0 = 1 我们还可得 因此 l ix l 一钮，2 一伽，x 3 一：c 0 ，一x o i = l lx l 一伽，x 2 一x o ，x 3 一x o ，z n x o | i ：i “iz 1 一铷一堕，z 2 一奶一，z n x 0 “i i 2 z 1 一铷一1 讶，z 2 一z o ，奶一z o z n 一 - i1 - 丽1l i iz l z 。，z 2 一z 。，z 3 一z 。，z 付一z 。l l = 1 一m 1 1 if ( x 1 ) - - f ( w ) ，f ( x 2 ) 一，( 伽) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一，( z o0 = l l ，( z ) 一，( 叫) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( ) 一f ( x o ) 0 1 一脱 进而可得 1 = | l ，( 叫) 一f ( x o ) ，( z z ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) 0 - i i ( w ) 一f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x a ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一( x o ) 0 + i l ，( z t ) 一f ( x 0 ) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ， 3 ) 一f ( x 0 ) ，( z n ) 一，( z o ) i l 1 一m + m = 1 显然矛盾 ( 2 ) 假设当l ix l x 0 ，x 2 一x 0 ，z n x 0i i 2 俨1 ，结论是成立的 则当l | x l 一, t o ，z 2 一x 0 ，z n x 00 2 n 时，令叫= 兰咤：豇，则有 i | 叫一x 0 ，x 2 一x 0 ，z n x 0i l = 扣z t 一z 2 一，z n 一跏i i 2 住， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 并且由归纳假设可得 0x l 一伽，x 2 一叫，x 3 一x o ，一x ol l = l lx l 一叫，x 2 一x o ，x 3 一x o ，z n x o1 1 = 三i l z - 一z 。，z 2 一z 。，z 3 一知，x n - - x ou 2 n 一 因为 0 ，( 叫) 一f ( x o ) ，( z 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) i i = 1 iw x o ，x 2 一x o ，z n x ol 并且 l l ，0 ) 一，( 叫) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，( z 3 ) 一， o ) ，( z n ) 一f ( x o ) i l = 0f ( x 1 ) 一，( 叫) ，f ( x 2 ) 一，( 叫) ，f ( x s ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) 0 = 0x l 一叫，x 2 一叫，x 3 一x o ，z n z oi i ， 所以f ( x l f ( w ) = f ( w ) 一f ( x o ) 因此 l l ，( z - ) 一f ( x o ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) l | = i l2 ( ，( t t ，) 一，( z o ) ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x a ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) i l = 2i i 叫一x o ，x 2 一x o ，x 3 一x o ，一x ol i = 0x l x o ，x 2 一x o ，x 3 一知，z n x o0 引理2 4 若z ，y 和z 是2 一共线的，则，0 ) ，f ( y ) 和f ( z ) 也是2 一共线的并且，满足 ( n d o p p ) 则，保持n 一距离示1 ( v m n ) 证明假设存在x o ，t , 1 x 并且x o x l 使得f ( x o ) = f ( x 1 ) 因为d i m x 佗，存 在z 2 ，x 使得z l z o ，z 2 一x o ，z n z o 是线性无关的，即i iz l z o ，z 2 一 x o ，一z oi i 0 令 z 2 一z 0 勿2 跏+ 而f 面鬲j i 了忑j 丽 i iz l z o ，z 2 一z o ，一z o 1 5 那么我们得到 x l x o ，钇一x o ，x 3 一x o ，一x o0 = i ix l - - x 0 ，丽i 蒜 i 硼，扩一- - x o x 0 x n 2 丽二i 五= i _ _ j 习3 一 一 = 1 因为，满足( n d o p p ) ，所以 l l ， ，) 一f ( x o ) ，f ( z 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) i i = 1 但是f ( x o ) = f ( x 1 ) ，故 l lf ( x 1 ) 一f ( x o ) ，( 纫) 一，( z o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) l l = 0 ， 矛盾因此，是单射 当i x l - - x o ，x 2 - - x 0 ，z n x oi i = 示1 时，令牡七= x o + k ( x l - x o ) ，= x o + k ( x 2 一 x o ) ，南= 0 ，1 ，m 由题设z o ，t 忌和让詹一1 是2 一共线的，可知f ( x o ) ，f ( u k ) 和f ( u k 1 ) 也是2 一共线的则 并且 l lu 七一让知一1 ，一乱七一1 ，x 3 一t , 0 ，一x o | i = 0u 七一 知一1 ，u r n x o ，x 3 一x o ，一x oi i = m 磊1 = 1 ( k - 1 ，m ) f ( u k ) - f ( u 知一1 ) ，( ) 一f ( u k 一1 ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) i i = i l ，( u 知) 一，( u 知一) ，( ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) i l = 1 容易看到乜七= 竺苤：x i r u h + t ，即让知一1 ，和u 知+ 1 是2 一共线的则有f ( u k + 1 ) 一，( 札知) = a ( f ( u k ) 一f ( u k 一1 ) ) ( o l r ) 则 l | f ( u k + ) 一f ( u k ) ，( ) 一，( u 知) ，f ( x a ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一，( 墨o ) i i = i | a ( ，( u 詹) 一f ( u k t ) ) ，( ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) = 1 1 6 _ 曲阜师范大学硕士学位论文 因此o l = 1 故f ( u k + 1 ) 一f ( u k ) = f ( u k ) 一f ( u k 一1 ) 并且f ( o ) = 0 这说明，是可加的， 也就意味，在q 上是线性的容易得到 ，( z o ) = f ( x o ) + 0 ( f ( x 1 ) 一，( 知) ) ， f ( x 1 ) = f ( x 0 ) + 1 - ( f ( x 1 ) 一，( z o ) ) 因此f ( u k ) = f ( x 0 ) + k ( f ( x 1 ) 一，( z o ) ) ，( k = 0 ，1 ，m ) 类似地 f ( v k ) = f ( x o ) + k ( f ( x 2 ) 一，( z o ) ) ，( 知= 0 ，1 ，m ) 因为i iu 仇一x 0 ，u r n x o ，x 3 x o ，z n x o0 = m ，那么 m = 0 ，( u m ) 一f ( x 0 ) ，( ) 一f ( x 0 ) ，f ( x 3 ) 一f ( x 0 ) ，( z n ) 一，( z o ) 0 = i i ( f ( x 1 ) 一，( z o ) ) ，m ( ，( z 2 ) 一，( z o ) ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x ”) 一f ( x o ) l l = 静i if ( x - ) 一f ( x o ) ，f ( x z ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( w o ) l | 因此 m z ) 一m 。) ，m 2 ) 一f ( x o ) ，他3 ) 一他。) ，f ( w n ) 一m 叫s l = 1 m j 引理2 5 若z ，y 和z 是2 一共线的，则，( z ) ，f ( y ) 和，( z ) 也是2 一共线的如果x - y = q ( z 一秒) ，o l ( 0 ，1 】，那么厂( z ) - f ( u ) = p ( ，( z ) 一，( 可) ) ，卢( 0 ，1 】，并且，满足( n d o p p ) ， 则f 是扎一利普希茨映射 证明 我们只需证明对任意的8 ，亡n ，当0z 1 一x 0 ，z 2 一x 0 ，x 3 一x 0 ，z n x 00 ； 时，有 i i ，( z 。) 一，( z o ) ，( z 2 ) 一，( z o ) ，( z 3 ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) 0 i 8 令r = 0z 1 一x 0 ，z 2 一。o ，z n z o0 ，w k = x o + 丛坠t r 二苎吐，k = 1 ，s 则 i l 伽知一w k 一1 ，z 2 一钮知一1 ，z 3 一z o ，z n z o = i i 叫知一饥一1 ，x 2 一z o ，z 3 一知，z n z oi l 1 2 i 1 7 因此 l | f ( w k ) 一，( 叫七一t ) ，( z 2 ) 一，( 姚一- ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) 0 = i lf ( w k ) 一f ( w k 一，) ，f ( x 2 ) 一，( z o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一，( z o ) l i 1 = 一 t 因为r ；，存在q ( 0 ，1 】使得曼= t 垃r= 1 ，所以x l x o = j ( z l z o ) ，x l = 一1 口 伽。一1 + a ( 伽。一伽。一1 ) 我们由假设得到f ( x 1 ) = f ( w 。一1 ) + p ( ，( 叫。) 一，( t u 。一1 ) ) ，p ( 0 ，1 1 ， 则 l if ( x 1 ) - - f ( w 卜- ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) l l = 0p ( ，( 硼。) 一f ( w s 一- ) ) ，f ( x 2 ) 一，( z o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) 0 l i ，( 伽。) 一，( 伽。一) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，( z 竹) 一f ( x o ) 0 1 t 因为f ( x o ) = f ( w o ) = f ( w 。一1 ) 一；s ：- i 、。、w i ) 一，( 毗一，) ) ，所以 l | f ( x 1 ) 一f c x o ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 8 ) 一f ( x o ) ，( z n ) 一f ( x o ) i | - i lf ( x 1 ) 一，( 一1 ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f c x o ) ，( ) 一f ( x o ) l l + l i ( ，( 叫t ) 一，( 毗一) ) ，f ( x 2 ) 一f ( x o ) ，f ( x 3 ) 一f ( x o ) ，f ( x n ) 一f ( x o ) i l i - - - - 1 i 1 十s - 1m 毗) 一，( 毗一。) ，m 2 ) 一弛。) ，他3 ) 一m 。) ，m n ) 一他。) 0 ” i - - - - 1 ：兰_ 直接应用定理2 3 和引理2 5 可得到下面的结论 定理2 6 若z ，y 和z 是2 一共线的，则，( z ) ，f ( y ) 和f ( z ) 也是2 二共线的如果x - y = q ( z 一可) ，0 ( 0 ，1 】，那么f ( x ) - - f ( y ) = p ( ，( z ) 一，白) ) ，卢( 0 ，i i ，并且，满足( n d o p p ) ， 则，是钆一等距 3 线性( n ，p ) 一赋范空间上的亚历山德罗夫问题 我们首先介绍两个定义 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 定义3 1 设x 是一个实线性空间，d i m x 礼， 0 ，i l ：x n _ r 是一个函数设0 p o ) 那么我们称这个空间是p 一严格凸的线性( n ，p ) - 赋范空间 引理3 3 设x 和y 是线性( 扎，p ) - 赋范空间若z ，y 和z 是2 一共线的，则，( z ) ，l ( u ) 和，( 彳) 也是2 一共线的，并且，满足( n d o p p ) ，l l i ，保持n 一距离2 m p ( v m n ) 证明( 1 ) 当l lx l x 0 ，x 2 一x 0 ，z n x 0i l _ l 时，我们有 l l ， ) 一f ( x o ) ，f ( x 2 ) 一，( z o ) ，i ( x n ) 一l ( x o ) i i = 1 ( 2 ) 假设当i iz 1 一z o ，x 2 一。o ，z n z ol i = 2 ( = - 1 如时，结论 i i ，( 。1 ) 一，( z o ) ，( z z ) 一，( z o ) ，( z n ) 一，( z o ) j i = 2 ( = - t 跏 是成立的下面证明当 i ix l z o ，z 2 一z o ，z n 一铂l l = 2 m p 时， 0f ( x 1 ) 一，( z o ) ，( z 2 ) 一，( z o ) ，( ) 一，( z o ) 0 = 2 r a p 1 9 是成立的令牡= z o + 2 z m 容易知x o