（计算机软件与理论专业论文）基于图像的三维测量技术研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 交通警察在处理交通事故时，往往需要对交通事故现场进行勘测并拍摄照 片，然后根据国家标准制定现场勘测图。本文提供的基于图像的三维测量方法不 仅可以在保证一定精度的基础上方便测量，而且可以在现场清除之后，从照片中 测量遗漏的证据。拍摄过程方便快捷，减少了交通事故堵塞的时间，提高了事故 处理效率。 本文在射影几何，极线几何等理论基础上，运用摄影测量技术进行点坐标的 三维重建。首先标定出照相机矩阵，在被测量图片上指定对应点，根据指定的点 对计算出基础矩阵，并分解出射影空问内的一对照相机矩阵，然后根据某些已知 元素和不变元素的假设，计算出相片所在的射影空间的a b s 0 1 u t ed u a lc o n i c ( a d c ) ，从而求出对应的升级射影空间的变换h 。另一方面，优化图像上指定的 点对，使其更加符合极线条件，然后利用上述射影空间中的照相机矩阵，重建出 各图像点对在射影空间的三维点坐标，最后用h 将其升级到相似空间坐标。因为 本文是基于两张照片进行测量，给出的约束条件不足以唯一确定a d c 的形式，故 本文提出用点相对于照相机的c i l e i r a l i t y 条件进行筛选，给出一个合适的相似 空间点集。在已知参考线段长度的基础上，通过计算相似空间与实际空间的相似 比，计算其它线段的实际长度。 本文的主要贡献在于提出使用c h e i r a l i t y 条件而非特定的场景特征进行筛 选a d c ，这使得测量不必依赖于特殊的场景内容，从而扩大了算法的适用范围。 为了适应现在数码相机中的自动变焦功能，算法没有使用焦距作为参数，从而保 证了焦距变化对测量结果没有影响。经实验结果验证，使用本文方法测量出来的 结果与实际长度的误差大部分在7 的范围以内，可以满足一定用户的需求。用 于拍摄的照相机只要是普通相机即可，价格适中，易于推广。 关键词：基于图像的三维测量；摄影测量；极线几何；绝对对偶圆锥曲线 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w h e nt r 碰cp o l i c ed e a l 、 ，i t ha c c i d e n t ，t h e ym l l s ti n v e 如g a t e 锄dt a k ep h o t 0o f t h ea c c i d e ms c e i l e ，锄dt h m a k e 仃a 衔ca c c i d ts c 朗eg r a p ha c c o r d 如gt or e l a l i v e l a w s 锄dr e g u l 撕o n s t h i sp a p e rp r o 啊d e sac o n v i 朗tt o o lt om e 勰u r es 锄e 埘t h i l l c e r t a i ns a t i s f 缸t o r yd e g r o fa c c l l r a 吼锄dt om e 嬲u r em el l l i 龉e dp r o o ff 如mp h o t o s i fm es c e n en ol o n g e r 商s t s i tt a ：k e sc o r n p a r 撕v e l yl 嚣st i i n et 0t a l 【ep h o t o ，w l l i c h ”d u c 嚣山ep e r i o do fj a l l l i i l i n gd i l et oa c c i d e n t ，h 锄c ei m p r o v i l l gm ee 艏d c yo f t r 碰ca c c i d e mh a i l d l i n g t h i st 1 1 e s i sr e c o n s 仃u c t s p o i n t i l le u c l i d e a l l s p a c eb a s e do nm em e o i yo f p r o j e c 石v eg e o m e t 啊印i p o l a rg e o m e t 辑e t c f i r s tw ec a l i b r a t ec 锄e r a 觚dg e tap a i r o fp r o j e c t i v ec 锄e mm a 缸xf 而mf 妇d 锄即t a lm 枷xc o m p u t e d 、i t i l 雒s i 弘e d c o r r e s p o n d i n gi m a g ep o i n 协b 勰e do nt 1 1 eh y p o m e s i st i l a ts o m ep r o p e r t yo fc a l i b r a t e d m 秭xi sl c l l o w na n ds o m ei sc o n s t a i l t 。w ed e r i v es o m ec o n 州n so na b s o l u t ed u a l c o n i ci l lm ep r o j e c t i v es p a c e ，a n dt h e nc o r i l p u t et l l e 仃a n s f o m a 土i o nh ，u p d a t i f 喀m i s p r o j e c t i v e 印a c ei l l t oas i i n i l a ro n e 0 nt 量i eo t l l e rh a n d ，w eo p t i l l l i z e 血ei m a g ep o i n t p a i r st om a l 【et h e mf i tf 研印i p o l a rc o n s n 证n s ，t h 锄谢t ht 1 1 ep a i ro fp r o j e c t i v ec 锄e r a m 枷xa b o v e ，w eg e t1 1 1 e i rp r o j e c 石v ep o s i t i o na n df i n a l l y 印d a t em e s ep r o j e c t i 、，eo n e s i n t os i i i l i l 撕t yo n w i mh b e c a i l s eo u re x p 谢m e n t su s et w op h o t o s ，w h i c hd o e sn o t p r o v i d ee n o u 曲c o n s 仃如st od e 枷n ea 岫i q u ea b s 0 1 l l t ec o n i c ，c h e i r a l 蚵c o n s 枷i l s t 1 1 u sa r cl l s e dt of i l t e rt h o u n r e a s o n 曲l e t h 锄i fm el 锄g mo fo n el i n es e g m 朗ti s k n o 啪，w ec a i l g e t t i l er e a l l c n g 血o f a n yo t l l e f l i i l es e g m 朗ta c c o r d i n g t o t l i e i r 枷oo f l e l l g t i li ns i “l a rs p a c e 1 1 1 em a i nc o m 曲“o no ft h i sp a p e ri st 0u s ec h e i r a l 崎c o n d i t i o n si n s t e a do f s p e c i a ls c e n ec o n t e n tt oc o n f i n e 也ea b s o l u t ei ) u a lc o n i c ，m l l ss p r e a d i n gt h es p h e r e0 f 印p l i c 撕o n n o w a d 妙s ，s o m ed i g i t a lc 锄e r 笛a r ec a p a b i eo fc h a l l g i n gf o c l l sl e n g m a u t o m a t i c a l l y ，觚do u rn l e m o dg u a r a i l t e e st h a tt 1 1 i sh a sn oi n f l u 锄c eo nm e a s u r e m e m b yn o tl l s i n gf o c l l sl 朗g i i l 鹌i t sp a r 锄e t e ce ) 币e r i m e n tr e s m t ss h o wm o s to fe r r o r s 、】l ，i t h i n 戳，t l l i l ss a t i s 母i n gc e r t a i nd e m a i l db 龉i d e s ，t l l ec 锄e ml l s e di sd a i l yd i 百t a l c 锄e r a ，n i c ep r i c e 瓶dt l l i sr e d u c e sc o s to f m e 髂u r e m t i i 山东大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i m a g eb 髂e dm e 鹞l | r e 删t ；p h 咖豇a i i l m e n y ；e p i p o l 缸g e o n l e t r y ； a b s o l u c ed i l a lc o i l i c ；c h e i r a l i 锣 i i l 山东大学硕士学位论文 x ，v z a ，b ，c x ，y ，z x t 瓜2 i p 2 c + 死 q q p k f h 符号说明 未知实数 常实数 n 维向量 向量外积 向量x 的转置 二维实数平面 二维射影平面 矩阵c 的伴随矩阵 无穷远平面 a b s o l u t ec o n i c a b s o l u t ed u a lc o n i c 照相机矩阵 标定矩阵 基础矩阵 射影变换 l v 原创性声明和关于论文使用授权的说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名盗囡琢日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：逸! 翌丝每师签名：奎连虹日 山东大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 应用背景 随着生活水平的提高，汽车逐渐成为大众化的交通工具，为人们的出行提供 了方便快捷的服务，但另一方面交通事故带给人们的伤害也是巨大的。据人民网 报道( h t t p ：f i n 锄c e p e o p l e c 锄c n g b 3 9 4 5 0 2 7 - h t m l ) ，2 0 0 0 年至2 4 年 问，中国因交通事故造成5 0 多万人死亡，约2 6 0 万人受伤，其经济损失约为国 内生产总值的1 至3 ，损失金额逾1 2 5 亿美元。在发生交通事故之后，人们可 以根据法律来维护自身权益，交通事故再现是分析交通事故责任的基础，而交通 事故再现紧紧依赖于从交通事故现场获取的信息的完整性和准确性。 交通事故信息一般有两个来源，一个是事故勘察报告，另个是事故现场的 照片。尽管现在一些国家和地区采用了一些先进的测量设备进行交通事故现场的 勘测，但由于进行交通事故调查的时限性和事故现场地面特点，一些测量工作不 容易进行，甚至有时某些测量工作被遗漏，因此事故报告可能缺少对事故现场完 全而详细地记录。而当工作人员发现这些问题之时，事故现场的车辆停放位置、 车胎拖痕、道路擦迹、油迹、碎片和道路外的压痕等信息很可能已经发生了改变， 或者不复存在。这样会给事故分析带来很大的困难。同时这些信息大都会保存在 事故现场的照片当中，如果我们能使用一定的手段，从事故现场拍摄的照片中提 取相关信息，则对交通事故分析具有重要意义。 此外，由于拍摄的照片能够迅速而完整地记录事故现场的各种信息，如果能 充分利用照片来测量事故现场，则可以提高现场勘测速度，减少占道时间，提高 道路通行能力。 因此，本文对基于图像的测量技术进行研究。 1 2 研究现状 基于图像的测量不仅仅依赖于图像测量方面的研究，而且和照相机标定关系 密切。本节首先回顾图像测量方面的研究工作，然后对照相机标定方面的研究情 况进行阐述。 山东大学硕士学位论文 对于单幅图像，可以通过其场景内容特征，将其重建至相似空间，从而进行 测量。文献 1 通过一场足球比赛的单幅图像计算出球的位置。z i s s e 瑚a n 2 研 究了在只有部分信息可用的情况下，如何从未标定的视频中进行准确测量。文献 3 对单幅照片进行了三维仿射测量。文献 4 利用场景中信息，根据灭点和竖直 方向的实际高度，计算出人的实际身高。而 5 利用灭点和消失线等平行信息对 两个平行平面上的几何元素进行测量。从两幅图像进行测量的方法可以参考“双 目系统” 6 ，它基于三角原理，从两个不同角度拍摄，然后计算视深。在 7 中，作者从一对透视变换中恢复出了场景的三维结构。h a r t l e y 8 提出一个最优 化的三角算法，用来计算双目视深。m 0 0 n s 9 在假定照相机只做平移变换的前提 下重建出仿射场景结构。在 1 0 中，f a u g e r a s 提出了一个概念框架，阐述了在计 算机视觉中射影空间，仿射空间到相似空间的层进关系。虽然用两张照片可以恢 复出相似空间，但使用多张照片可以提供更多约束进行重建。f a u g e r a s 1 1 在预 先不知道任何信息的情况下，从若干图像序列中重建出场景的欧式空间结构。 s h u a s h u a 1 2 ，1 3 ，1 4 提出t r i f o c a lt e n s o r 的概念，并从一幅或者多幅图像中研 究测量。p o l l e f e y s 在 1 5 中使用手持相机对大型场景进行了三维重建。 在很多情况下仅仅依靠图像本身很难获得几何信息。为了较为准确地获取这 些信息，需要预先得知照相机的内部属性，例如焦距，p r i n c i p a lp o i n t s ，a s p e c t r a t i o 等。计算照相机内部属性的过程称为照相机的标定。后面介绍照相机标定 方面的工作。 t s a i 1 6 在已知象主点( p r i n c i p a lp o i n t ) 的前提下，从已知大小的棋盘网 格图像中估算出该照相机的焦距，外部位置和朝向。c a p r i l e 和t o r r e 1 7 提 出一个算法用来计算照相机的内部参数和外部参数。他们假定a s p e c tr a t i o 和 s k e w 分别为和零，然后用灭点计算上述参数。与上面两个算法的思路不同，自 标定这类的算法不是通过已知的棋盘网格或者场景的特殊性质进行标定，而是 通过照相机内部或者外部参数的约束来进行标定。这一类约束一般包括在拍摄过 程中照相机内部参数的不变性和某些预知的内部参数。首个此类算法是由 池y b a n k 和f a u g e r a s 1 8 提出的基于k r u p p a 方程的算法。文献 1 9 将上述方法扩 展到视频序列的标定。z e l l e r 2 0 使用a b s o u l t ec o n i c 的概念进行了自标定。 t r i g g s 使用一个类似的概念a b s o l u t ed u a lq u a d r i c ( a d q ) 2 1 进行了自标定。这 2 山东大学硕士学位论文 个二次曲线的主要特点是它既隐含了a b s o l u t ec o n i c 的表达式，又隐含了无穷远 平面的表达式。张正友 2 2 提出一个方便灵活的方法对照相机进行标定。它只需 要一组任意朝向的棋盘网格的照片。而孟晓桥 2 3 则通过无穷远点进行了标定。 由于上面的标定过程很多是使用网格图像，本文使用h a r r i s 算子 2 4 来对 角点进行自动识别。另外实际镜头总是带有部分畸变，本文使用0 p e n c v 中方 法来去除之。 商业产品中比较出名的三维测量软件是i w 恤郫s 。它采用p h o 由d g 黜e 巧技 术和计算机图形学技术，依靠焦距，光线之间夹角和指定的比例等来计算所求长 度。它没有照相机的标定程序，而是从厂商下载一个照相机属性数据库，因此， 它的焦距是预先已知的。这也许会对变焦相机有所影响。最后，有一类专门用于 测量的照相机，称为m 亭晒cc 锄盯a ，它可以通过双目原理直接对场景中的光学 模型进行重建，从而达到测量的目的，但它价格不菲。 1 3 特色和主要贡献 本文提出的方法从两幅照片中提取一定精度的长度信息，并有如下特色： 低成本：使用的照相机为一般的数码相机，价格适中。 允许镜头变焦：现在很多数码相机会自动变焦，传统的图形学方法往往使用 焦距作为重要参数，而本文算法没有使用焦距作为参数，从而使计算结果不会受 到变焦的影响。 一定的精度：试验数据表明计算得到的长度和实际长度的误差一般不超过 7 ，这基本上可以满足用户的需要。 减少用户实地测量次数：只要知道照片中任意方向上的一条线段的实际长 度，照片共同拍摄的空间中两点之间的距离都可以求出。这样只要用户测量一次， 或者，把预先知道长度的标架放到事故现场，就可以测量其它直线的长度。 然而在允许变焦的前提下，通过两幅图像来恢复三维空间的约束条件是不充 分的，一般文章【2 5 】给出的方法是依赖于具体的图像内容的。针对以上问题，本 文提出通过使用c h e i r a l 毋条件作为约束，使得测量方法和具体的图像内容无关， 扩大了算法的适用范围。同时通过避开选择焦距作为参数，使测量结果不受照相 机变焦的影响。 山东大学硕士学位论文 1 4 文章结构 第二章介绍背景知识，包括射影几何，照相机模型，极线几何。其中射影几 何是整个几何重建的理论基础，包括了二维射影平面和三维射影空间的几何关 系。极线几何是研究两幅照片之间的几何关系，通过对基础矩阵的分解，得到了 一对射影空间内的照相机矩阵，在它们基础上，重建工作才得以实现。照相机模 型是将三维空间的点投影到二维图像乎面的映射，通过对其分析，找到将其照相 机模型从射影空间升级到欧式空间的射影变换。第三章介绍系统原理，将阐述测 量原理和流程。第四章介绍标定原理。第五章是实验结果和分析，通过对实验结 果和实际距离的误差分析，找到了需要改进的地方。第五章是总结与展望。 4 山东大学硕士学位论文 2 1 射影几何 第2 章相关背景 射影几何属于非欧几何部分，本章首先介绍二维射影空间( 又被称为二维射 影平面) ，在第二节引入了f e i n 的变换群观点，第三节将讨论对象扩展到三 维射影空间，最后介绍研究两幅照片之间的极线几何关系。 2 1 1 二维射影空间( 平面) 在欧几里得空间里，一个平面上的点可以用二维向量来表示，例如点a ( x ， y ) t 。该平面上的直线可以用一个线性二元方程式表示，例如矿x + b y + c = o 。 其中，a b ，c 是实数。齐次表示法是另一种表示点和直线的方法。在齐次表示法 中，任一个点表示成为x = ( x ，y ，z ) 。的形式，其非齐次坐标的对应点为( 】出，y 【) 。 显然，如果两个齐次坐标成比例，那么这两个坐标向量表示一个点。对于任一条 直线，用向量l = ( a ，b ，c ) t 表示这条直线。如果两个表示直线的向量成比例，那 么这两条直线表示同一条直线。这与欧式空间里面直线的二元方程形式相一致。 点和直线的位置关系有如下结论【2 6 】： 结论l ：点x 在直线l 上当且仅当文1 l = o 。 结论2 ：两条直线l 和l 的交点为x = l l 。 结论3 ：过点x 和x 的直线l ；x x 。 两条平行直线繇嘶+ c = o 和a ) 【+ b y + c = o 的交点为忱b ，c ) ( a ，b c ) 1 = ( b ，- a ，o ) 。这个点的非齐次坐标形式( b o ，一扪) 在实数点平面p 上找不到 有限点与之对应，称这类点仅y ，o ) 为无穷远点。这与一组平行线交于无穷远处相 一致。实平面p 再加上该平面上的无穷远点组成的新空间叫做二维射影空间， 或者二维射影平面，表示为】2 。无穷远点都在直线( o ，o ，k ) t 上，其中k 为非零实 数。因为它和( o ，o ，1 ) t 表示同一条直线，后者被称为无穷远直线。 二维射影空间里面的直线和点互为对偶【2 6 】：对于二维射影空间里面的每一 个定理，如果将其中的点换成直线，直线换成点，会得到一个新的定理，称为原 山东大学硕士学位论文 定理的对偶定理。这因为在二维射影空间中，表示点和直线的向量都是三维向量。 射影平面里的圆锥曲线从欧式空间里面沿伸出来。在欧式空间中，圆锥曲线 包括椭圆，双曲线，抛物线。它们的统一非齐次坐标表示如下： d x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = o 对应的齐次坐标则为： 叫2 + 氓屯+ 2 + 幽屯+ 屯+ a 2 = o 或者表示矩阵形式 x tc x = o 其中 r 口6 2d 2 c ：l6 2cp 2 l d 2 p 2 厂 圆锥曲线c 的对偶圆锥曲线c 如下定义【2 6 】： ，rc + ，= 0 其中，表示和c 相切的直线。可见对偶圆锥曲线并不是由点组成的曲线， 而是直线集合。可以证明c 是c 的伴随矩阵，因为c ：i c i c _ 1 ，所以在不考虑 比例的前提下c = c 。 图2 1 1 1 圆锥曲线 鎏鬯舅熙 图2 1 1 2 对偶圆锥曲线 二维射影几何研究二维射影平面中在二维射影变换群下的不变量。其中二维 6 山东大学硕士学位论文 射影变换定义为从 2 到i p 2 的线性可逆变换，并有如下定理【2 6 】： 定理：若一个映射_ 1 2 ：三p 2 一 口2 表示二维射影变换当且仅当存在一个非奇异 3 3 矩阵h ，对俨中任一个点x ( 此处用向量表示点) 有h ( x ) = l 成立。 射影变换可以对其空间内元素进行变换，有如下结论： 结论：如果一个点x 在直线l 上，点x 是x 在变换h 下的象点，那么直线 l 在变换h 下的象为工= 日1 工。 结论：在点变换x = 麟下，圆锥曲线c 被变换到c - 日- r c 日。 结论：在点变换x = 晟y 下，对偶圆锥曲线c 被变换到c 。= 日c 日。 2 1 2 e i n 的几何学的变换群观点 为了从二维射影空间过渡到三维射影空间，本节首先对射影变换，仿射变换 和相似变换形成的群进行论述，然后对e i l l 的几何学的变换群观点进行了阐述。 关于变换群，射影变换，仿射变换，相似变换，正交变换的定义参见文献【2 7 】。 把矩阵乘法定义为射影变换( 因而包括仿射变换等) 的乘法，那么有如下结 论【2 7 】： 结论：2 1 2 1 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，记为p 。 射影平面上所有仿射变换的集合构成群，称为仿射变换群，记为a 。 欧式平面上所有相似变换的集合构成群，称为相似变换群，记为s 。 欧式平面上所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，记为m 。 显然群的大小关系是p 爿 s m 。 定义2 1 2 2 ：设s 是一个集合，g 是s 上的变换群，对于s 中的两个子集a 和b ，如果在g 中存在一个变换c 使得f ( a ) = b ，则称a 和b 等价。 现在规定集合s 叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价 的图形属于同一个等价类。于是同一个等价类的一切图形所共有的几何性质和几 何量必是变换群下的不变性质和不变量；反之，图形在变换群中一切变换下的不 变性质和不变量必是同一个等价类里一切图形所共有的性质。因此，可以用变换 群去研究相应的几何学，这就是e i n 的几何学的群论观点【2 7 】。例如，射影变 7 山东大学硕士学位论文 换因为其线性和可逆性而具有集合论上的等价性。即： ( 1 ) 恒等变换是射影变换。 ( 2 ) 射影变换的逆变换是射影变换。 ( 3 ) 两个射影变换的乘机仍然是射影变换。 这样在射影变换群下图形的不变性质所构成的命题系统就是射影几何学，同 理，还有仿射几何学和欧式几何学。 下面说明相似空间，仿射空间和射影空间的概念。n 维欧几里得空间( 简称 欧式空间) 是指由n 维实数向量在实数域上由向量加法和向量与实数的乘法组 成的线性空间。可以证明，不同的欧式空间在正交变换群下具有相同的不变性。 欧式空间的坐标系是笛卡尔坐标系。相似空间( m e t r i cs p a c e ) 是带有全局距离 函数g 的集合s ，如果墨y ，z 是s 中的元素，则g 满足：g 仅y ) = o 当且仅当x = y ；g 伍y ) = g o ，x ) ；g ( x ，y ) + g o ，z ) = g 伍z ) 。在该空间中，相似坐标系可由笛 卡尔坐标系经过一个相似变换得到。笛卡尔坐标系经过仿射变换之后得到的坐标 系称为仿射坐标系。由仿射坐标系形成的空间称为仿射空间。类似，射影空间是 指在射影变换群下具有不变性的空间。它的坐标系可由笛卡尔坐标系经过射影变 换后得到。可见，射影空间包含仿射空间，仿射空间包含相似空间。如果一个射 影变换将射影坐标系变成仿射坐标系，那么称这个变换将射影空间升级到仿射空 间。如果一个射影变换将射影坐标系变成相似坐标系，那么称这个变换将射影空 间升级到相似空间。 2 1 3 三维射影空间 在三维射影空间中，每一个点x 用l 4 的向量表示。一个平面在欧式空间 中通常写成万l z + 死y + 乃z + 万4 = 0 的形式，在射影空间中用1 4 的向量，r 进行表示。所以在三维空间中，点和平面是互为对偶的。下面是关于点面关系的 一些结论【2 6 】： 结论2 ，1 3 1 ： 如果点x 在平面石上，则，7 x = o 。 山东大学硕士学位论文 五_ 蜀一露删嘶陆圈一抓 三个平面巧，死，乃交于一点x ，则x 是矩阵m = 的右零空间。 在点变换x = 冠r 作用下，平面疗被平移到石= 日4 ，r 。 在三维射影空间中，二次曲面q 由4 4 的对称矩阵表示：x7 q x = o 在点变换x = 王作用下，该二次曲线被变换到q t = 日i r q h 。由于三维 空间中点和平面对偶，所以对偶二次曲面是一个平面的集合。q 的对偶曲面表示 为：石7 q 石= 0 。q 。表示q 的伴随矩阵，这些平面和q 相切。并且有如下 结论【2 6 】： 结论2 1 3 2 ：在点变换x = 兄y 作用下，对偶二次曲面q 被变换到 qq = 日q 日7 在三维空间中无穷远点具有( ，【y ，互o ) t 的形式。所有这些点组成了一个无穷远 平面，表示为( o ，o ，o ，1 ) t 。 本文中用到了一些比较特殊的几何元素和它们的性质。对于无穷远直线和无 穷远平面，有如下结论【2 6 】： 结论2 1 3 3 ：当且仅当射影变换h 是仿射变换的时候，无穷远直线l 在h 的作用下仍然是k 。 结论2 1 3 4 ：当且仅当射影变换h 是仿射变换时，无穷远平面死在h 的作 用下仍然是无穷远平面九。 根据结论2 1 3 4 ，如果知道死在经过照相机拍摄之后的表达形式万，而且 能够找到一个三维射影变换h 使得万变成了死= 【o o o l r ，那么将这个h 作用于射影空间中的所有几何元素，得到了仿射空间。或称h 将射影空间升级 9 山东大学硕士学位论文 到了仿射空间。 a b s o l u t ec o n i cq 【2 0 】是一个在无穷远平面瓦上的点集圆锥曲线，在欧式 五2 + 而。+ 毛2 = o 空间里面，瓯的表达式为：z 。：o ，所以它是在无穷远平面死上 由虚点组成的圆锥曲线。它有如下一些性质【2 6 】： 结论21 3 5 ：当且仅当射影变换h 是相似变换时，a b s o l u t ec o i l i cq 在h t 2 + 工2 2 + 屯2 = o 的作用下保持q 的表示形式：z ：o 3 。 a b s o l m ed u a lc 0 n i c 【2 l 】是a b s o l u t ec o n i cq 的对偶，它是三维射影空间里 面的退化对偶二次曲面，记作鲒在欧式空间内它的表达式是见= 瞄抖从 几何角度来看，晓表示所有和瓯相切的平面的集合，如图2 1 3 1 。它有一个和 q 类似的结论【2 6 】： 结论2 1 3 6 ：当且仅当射影变换h 是相似变换时，a b s 0 1 u t ed u a l c o n i c q = 二习在h 的作用下仍然保持形式q ：= ；： 。 因为q 在相似变换下不会变化，同时相切关系在相似变换下具有不变性， 所以d 也不会变化。 图2 1 3 1 结论2 1 3 7 ： 在射影空间中，无穷远平面死是q ：的右零空间。 1 0 山东大学硕士学位论文 结论2 1 3 8若h 是射影变换，则q t _ 脚医? 日不满秩。 2 2 照相机 本节首先说明照相机的针孔模型，然后说明在射影空间内各个几何元素的成 像变换。 2 2 1 照相机模型 照相机可以看作是从三维世界空间向二维图像空间的一个映射，根据光心和 景物的相对距离远近分成有限照相机和无限照相机。针孔模型是基于小孔成像原 理的模型，它的原理 2 6 】如图2 2 l ： 图中c 代表光心，i m a g ep 1 锄e 是成像平面，p 血c i p a la ) 【i s 表示过光心垂直于 成像平面的直线，p 表示p m c i p a la 商s 和成像平面的交点，叫做象主点o 血c i p a l p o i n t ) 。现在我们建立的世界坐标系以光心为原点，p r i n c i p a la x i s 为z 轴。 假如象主点和成像平面的原点重合，由图2 2 2 可得成像点和物体点( 三维空 间中的点) 的关系： x r z l 讶 ，l0 图2 2 1 x r z 1 图2 2 2 其中f 代表焦距。如果象主点和图像坐标系的原点不重合，那么模型表达式 山东大学硕士学位论文 变成： x y z 1 i ， 一般我们称足2 l l 以 ? i 为标定矩阵。 x y z l 如果照相机光心不在原点，而且照相机朝向不是z 轴，那么在世界坐标系中 的照相机可以经过一定的平移旋转以和原点重合且朝向z 轴，如图22 3 ，因而 其中，r 表示旋转矩阵，e 表示光心在世界坐标系里的非齐次坐标形式。 数码照相机的成像单位是一个个的像素，这些像素可能不是正方形的。如果 用m x ，m y 分别表示在x ，y 方向上的单位长度的像素个数，模型表达式进一步演 置= 。 ，车1 = 吒吒车 图2 23 图2 2 4 最后，数码相机中的像素排列并不一定是理想中的垂直，标定矩阵进一步修 厂 。l i 、， 识玩 + z 髓仃 ，。l h 山东大学硕士学位论文 姚k = r 三军 综上所述，照相机模型表示为：p = k r i | - e 。其中k 又被称为内部参 数，r 和c 称为外部参数。 2 2 2 照相机对几何元素的作用 本节介绍射影空间中几何元素的成像公式。下面用p 表示照相机矩阵，即 p = 觑【，卜团。它的每一列表示为p i ，i = 1 ，2 ，3 ，4 。本文中提到的投影是指从三维 空间向二维图像的投影，反投影是指按小孔成像的原理从二维图像反向定位三维 几何元素的过程。 首先考虑照相机对个平面的作用，从这个平面上任选一点x ，假设该平面 是z = o 。则 x = p x = 【p l p ：p ，p 。】 x r o l p = 【p l p ：p 。护l 【1 j 上面的变换是从一个平面到另一个平面的映射，它的特点是变换矩阵是一个 3 3 的非奇异矩阵。 对于图像上的圆锥曲线c ，它的反投影是一个圆锥q 0 表示为： q 。= p c p 对于二次曲面来说，由于它是一个光滑曲面，它的轮廓线是反投影的光线和 二次曲面的切点组成的圆锥曲线，具体结论如下【2 6 】： 结论2 2 2 1 ：射影空间中，在照相机矩阵p 的作用下，二次曲面q 的轮廓线 c 是一个圆锥曲线为：c = p q + p r 。其中c 和q 表示c 和q 的对偶图形。 i m a g eo fa b s o l u 眙i l i c q a c ) 是a b l u t ec o l l i c 在成像面上投影。既然 a b s o l i i t ec o i l i c 是一个虚图形，它的成像在照片里面是不可见的。考虑在无穷远平 山东大学硕士学位论文 面死上的点k = ( ，o ) 7 在p = 觑pj 】的作用下的像点x = 只k = 圈耐。即在 欧式空间内，无穷远平面到成像面的射影变换是k r 。 结论2 2 22 ：在欧式空间内a b s o l u t ec o n i c 所成的像。c ) 是圆锥曲线，k 是标定矩阵，则 ：( k k t ) ：k w 证明：在点变换石专胁下，圆锥曲线的变换是从一个无穷远平面到成像面 的变换：c 一日。c 日。由上面的分析知h = k r ，c - i 所以结论成立。 结论22 2 3 ：在欧式空间中a b s o l u t ed l l a lc 0 n i c 所成的像是 彩= p 级尸7 = k k 7 证明：如果把曲s o l u t ec o n i c 看作是三维空间的二次曲面q ( 则q j 是它的对 偶) ，是其成像，根据结论2 2 2 1 ，得到国+ = p 绒p 7 ，其中国= 国一1 是的对 偶，再由结论2 2 2 2 推出本结论。 2 3 极线几何 极线几何p i p o l a r g m e 仃y ) 研究两个照片的几何关系，它与照片内容无关， 而只和照相机的内部参数k 和外部参数r ，c 有关。 x 图2 3 1 如图，c ，c 是两个照相机的光心，x ，x 是三维空间点x 分别在c 和c 的照 相机成像面上的投影。e 和e 分别是c 和c 在对方成像面上的投影，叫做极点 ( 印i p o l e ) ，即c c 连线与成像面的交点。c c 被称为基线。e p i p o l a r p l a l l e 是通 1 4 山东大学硕士学位论文 过基线的平面，即平面x c c 。极线( e p i p o l 缸l i n e ) 是e p i p o l 盯p l 肌e 和成像面 的交线，例如直线x e x e 。 由上图知点x 对应一条极线p x ，点x 也对应一条极线麟。这种从点到直 线的映射关系由基础矩阵f 【2 6 】表示。 结论2 3 1 ：对于图像上任意一对对应点( x x ) ，存在f 都满足：j 4 凡= o ， f 被称为基础矩阵。这个结论被称为极线约束。 向量f x 表示过x 的极线，因为对任何点x 都有z 孺= o 成立，故 e 盯f = 0 。 在本文算法中用到从基础矩阵分解出一对相机矩阵的算法，其主要结论在下 面进行叙述，详细证明参考文献【2 6 】。从两个确定的照相机可以得到一个基础矩 阵，但是从一个基础矩阵不能唯一确定这两个相机的矩阵，且有如下结论【2 6 】： 结论2 3 2 ：设h 是表示三维射影变换的4 4 矩阵，那么由两对照相机矩阵 ( p ，p ，) 和( p h p 田对应的基础矩阵是相同的。 具有相同基础矩阵的照相机对之间有如下关系： 结论2 3 3 ：设f 是照相机对口 p ) 和( q ，q ) 的基础矩阵，那么存在一个4 4 的非奇异矩阵h 满足p = q hp = q h 。 这意味着可以从一个基础矩阵分解出若干个照相机矩阵对。 山东大学硕士学位论文 第3 章测量算法 本文的主要目标是设计一个能够满足用户要求的测量精度，较为方便可用， 使用器材价格低廉的算法。为了让测量不依赖具体图像场景，本文采用空间升级 的思想，通过使用照相机的已知的属性和固定不变的属性，将射影空间升级到相 似空间，然后在相似空间里面进行测量。为了实现变焦无影响的目标，提出使用 c h e i r a l 岫条件来减少a d c 的数目。为了使用户不必在每次测量时都要标定照相 机，整个系统主要分成标定和测量两个独立模块，对应的算法分为标定和测量两 个流程，这样用户只要事先对照相机标定一次，以后只要载入保存的相机信息即 可测量。本章主要阐述测量部分的原理和流程。 3 1 算法框架 计算a d c 幺t 和，l 缀剁 捌似空阳纳射影变换h 将对廊点升级剑帽似空问 靛坐标( 掰求纳果) 价懈出两个照转机矩阼 计算f d a m m 眦矩阼 对每个像壶甲移( 求t * 曲 两确照片上的对应点对 图3 1 汁算在射影宅问中年u 嗣擞 点对戍的点的二维坐标 1 6 山东大学硕士学位论文 测量算法流程图如图3 ，l 所示。首先，以手工方式找到图像上的对应点对。 然后由至少8 个点对，计算出两幅照片的基础矩阵，并从该基础矩阵分解出一对 射影空间的照相机矩阵。根据标定算法求得的照相机标定矩阵和上面得到的射影 空间中照相机矩阵对，计算出a b s o l u t ed u a lc c m i c ，从而分解出将该射影空间升级 到相似空间的射影变换h 。另一方面，由图像点和该照相机矩阵对重建出在射影 坐标系下像点的坐标，最后通过h 将这些点的坐标从射影空间升级到相似空间。 如何计算基础矩阵不是本文的研究重点，具体方法可以参考文献【2 6 1 。下面分别 详述各个算法的思想和步骤。 3 2 各子模块的算法 3 2 1 分解基础矩阵 本算法的主要目标是从已知的基础矩阵中分解出一对射影空间内的照相机 矩阵。由结论2 3 3 知，从一个矩阵中可以分解出若干个照相机矩阵。因此可以 选择一个较简单的表示方式【2 6 】。 结论3 2 1 ：对应于基础矩阵f 的一对照相机矩阵可以选择为p = ，lo 】和 p = 【p l x f ip 1 。其中口是第二张照片上的极点，p 1 。表示p 做左外积时的矩阵 表示。 首先，如果f 分解出p 和p ，那么p ”刀是斜对称，反之亦然。因为 旧- r 丹= 0 显然成立，其中x 是三维空间点坐标。然后，若s 是任一个斜对 称矩阵，则p = p l o 】和p f - 【跖i p 。】经验证可知是f 的一个分解。如果再特殊化 一下，令s = p 1 ，则结论成立。 本算法的主要步骤如下： 1 计算f 的右零空间。 2 计算出p 。 需要注意的是，虽然从理论上f 是个不满置的矩阵，但是在求f 的计算过程 中由于数值误差等各种原因，计算出来的f 并不是严格的不满置，因此使用了迭 1 7 山东大学硕士学位论文 代方法来求其右零空间。即首先求出一个初值，然后迭代优化。 3 2 2 重建三维射影空间点坐标 本算法的主要目标是根据图像上的对应点对和上面分解出来的两个射影空 间照相机矩阵，重建出在这个射影坐标系内的三维空间点坐标。当分解出两个照 相机矩阵时，已经意味着选择了一个射影坐标系，该坐标系和世界坐标系( 欧式 坐标系) 之间相差的射影变换，是照相机在世界坐标系中的矩阵与分解出的矩阵 相差的射影变换。 文中使用三角法进行三维重建。三角法的思想是，若从空间同一点x 和两 个光心c ，c 的连线与成像面相交，产生像点x = 蹦，j = 蹦，或者写成 x p x = o ，通过上面分解出来的p 则可从这些像点产生的方程组中计算出x 。 ； ，矿 一 | | f 厂 图3 2 2 为了减少噪音和手工选点产生的对应点误差，通过使用极线约束重新估计图 像点，从而减少重建的误差。最优图像点对定义如下：设x ，x 是图像上的一对 对应点，我们希望找到这样的点对( 未p ) ：它们对应的射影空间三维点受在 两张图像上产生两条极线l l ，l 2 ，若用d ( ) 【，l ) 表示平面上点到直线的距离，则满 足： m i n ( d ( z ，厶) 2 + j ，厶) 2 ) 由图知，重新估计得到的图像点对；，粤i 贝u 为x 和x 分别到l 。l 2 的垂足。显然这 样的点对是满足极线约束的。 山东大学硕士学位论文 求最优图像点对算法思想如下。对于已知的一对像点，我们将极线进行参数 化，用，( f ) 和，x f ) 表示两个成像面上过极点的一族直线。这样只要变换t ，求得两 个像点分别到对应极线的最小距离即可。下面给出一个多项式算法。为了方便表 示基础矩阵，首先把两个像点石，平移到原点，然后旋转放缩使得两个极点为 ( 1 ，o ，) 7 和( 1 ，o ，j r ，则此时根据f ( 1 ，o ，力7 = ( 1 ，o ，j r 7 f = o ，得知f 的形式如下； r d f = f 移 【一 一l j c 口