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摘要n s a f 代数的交不可约理想 摘要 交不可约理想在非自伴算子代数的研究中扮演着重要角色本文首先研究 了套代数直和的交不可约理想，用矩阵单元给出了交不可约理想的形式，并证 明了在套代数的直和中以下是等价的：( i ) ，是套本原理想；( i i ) ，是交不可约理想； ( i i i ) i 是( k 4 ) 的；( i v ) ，= i ( e ) = 硒丽 歹是4 的理想：e 甓了) ，而且在套代数直和的 交不可约理想集q 上引入一个拓扑，使得每一个理想都是包含它的交不可约理想 的交接下来我们用m i - 链刻画了套代数直和的极限f i p n s a f 代数的交不可约理 想，- 与m i - 链( e ) 七 n 相对应的理想就是交不可约的，任给一个交不可约理想能找 到一个m i 链( e ) k n 与之对应，但它们不是一一对应我们也用n s a f 代数的商代 数, 4 y 的c - 包络来探测理想7 的交不可约性我们表明理想歹是交不可约的当且仅 当, 4 y 的c - 包络是本原的，并证明了在n s a f 代数中套本原理想就是交不可约理 想最后我们用c m i - 链和一种特殊的套表示c m i 表示给出了n s a f 代数的完全交不 可约理想的刻画 关键词：n s a f 代数，交不可约理想，套代数，m i 一链，c m i 链，c m i 表示，套本原理 想 a b s t r a c t n s a f 代数的交不可约理想 a b s t r a c t t h em e e ti r r e d u c i b l ei d e a l sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn o n s e l f a d j o i n t a l g e b r a s a tf i r s t ，w es t u d yt h em e e ti r r e d u c i b l ei d e a l so ft h ef i n i t ed i r e c ts u mo fn e s t a l g e b r a s ，a n dg i v et h ef o r m so ft h em e e ti r r e d u c i b l ei d e a l sb yt h em a t r i xu n i t s w e p r o v et h a ti nt h ef i n i t ed i r e c ts u l t io fn e s ta l g e b r a st h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ：( i ) ， i sn e s t - p r i m i t i v e ；( i i ) ii s ( k 4 ) ；( i i i ) ii sm e e t i r r e d u c i b l e ；( i v ) t h e r ee x i s t sam a t r i xu n i te i naw i t h = i ( e ) = 。s p a n , i sa ni d e a lo fa ：e 譬歹) t h u s ，w ec a ng i v et h es e t qo fm e e ti r r e d u c i b l ei d e a l st h eh u l l - k e r n e lt o p o l o g y ，a n df o re v e r y ( c l o s e d ，t w o - s i d e d ) i d e a l sii nt h ea l g e b r a ，ii st h ei n t e r s e c t i o no fa l lm e e ti r r e d u c i b l ei d e a l sc o n t a i n i n g w eg i v et h ed e s c r i p t i o no fm e e ti r r e d u c i b l ei d e a l si nt e r m so fm a t r i xu n i t s ( m i - c h a i n ) i nt h el i m i to fad i r e c ts u m o fn e s ta l g e b r a s ( n s a fa l g e b r a s ) f o re a c hm i c h a i n ( e k ) k n ，t h ei d e a lia s s o c i a t e dw i t h ( e k ) i sm e e ti r r e d u c i b l e c o n v e r s e l y , e v e r yp r o p e rm e e t i r r e d u c i b l ei d e a li si n d u c e db ys o m em i - c h a i n ，b u tt h e r ei sn o tal lc o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nm i c h a i na n dm e e ti r r e d u c i b l ei d e a l s w ea l s ou s et h ec * - e n v e l o p eo fa jt o d e t e c tt h em e e ti r r e d u c i b i l i t yo ft h ei d e a lj w es h o wt h a t3i sm e e ti r r e d u c i b l ei fa n d o n l yi ft h ec * - e n v e l o p eo fa 3i sp r i m i t i v e 。w ea l s oc h a r a c t e r i z et h em e e ti r r e d u c i b l e i d e a l sa st h ek e r n e l so fb o u n d e dn e s tr e p r e s e n t a t i o n ，i e ，t h en e s tp r i m i t i v ei d e a li sm e e t i r r e d u c i b l e a tl a s t ，w eg i v et h ed e s c r i p t i o no fc o m p l e t e l ym e e ti r r e d u c i b l ei d e a l si nt e r m s o fc m i c h a i n ，a n dc h a r a c t e r i z et h ec o m p l e t e l ym e e ti r r e d u c i b l ei d e a l sa sk e r n e l so fn e s t r e p r e s e n t a t i o no fas p e c i a lk i n d ( c m ir e p r e s e n t a t i o n ) k e y w o r d s ：t h en s a fa l g e b r a s ，t h em e e ti r r e d u c i b l ei d e a l s ，t h en e s ta l g e b r a s ，m i c h a i n ，c m i c h a i n ，c m i r e p r e s e n t a t i o n ，t h en e s tp r i m i t i v ei d e a l s i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：物f 么之釜。铲车7 月日 硕士论文n s a f 代数的交不可约理想 1 1 引言 第一章绪论 表示理论在算子代数的研究中扮演着重要角色在代数中表示理论有大量结 果，我们尤其关注不可约表示近年来，非自伴算子代数的表示理论引起了广泛兴 趣，特别是t a f 代数的表示理论，但是在非自伴算子代数中，不可约表示不能充分 地刻画代数的结构于是，1 9 9 1 年，m i c h a e ll a m o u r e u x 在文献 2 2 1 啦j i x 套表示的概 念，算子代数4 的表示丌称为套表示，如果7 r ( 4 ) 的不变子空间构成一个套，在沪代 数的范畴下，套表示事实上就是不可约表示，并且引入了套本原理想的概念，一个 理想被称为套本原理想，如果它是一个套表示的核，并且证明了在一些非自伴算子 代数中，套本原理想扮演了类似于代数中本原理想的角色因此，可以给套本原 理想赋予一个包核拓扑，那么代数中的每个理想都可以表示成所有包含它的套本原 理想的交集在文献 2 3 】中，作者l a m o u r e u x 提出：给定一个算子代数，我们可以在什 么样的理想集上建立一个拓扑空间，使得这个拓扑空间能够描述这个代数的所有理 想? 由【2 3 】中的命题1 1 和1 3 知，这样的理想必定是交不可约理想，即那些不能表示 为有限个严格包含它的理想的交的理想，并且证明了在c 一代数，紧套代数，圆盘代 数等代数中，套本原理想与交不可约理想是等价的 在文献 2 】中，d o n s i g ，h o p e n w a s s e r ，h u d s o n ，l a m o u r e u x 与b a r u c h - s o l e l 等五 位作者用广群的方法证明了在强极大t a f 代数中，交不可约理想就是套本原理想， 反过来成不成立? 这个问题在1 9 9 7 年夏天在英国a m b e l s i d e 召开的会议上被提出来， 随后在文献 1 2 1 中取得了一些进步，得到了部分结果，h o p e n w a s s e r 等三位作者证 明：如果强极大t a f 代数有全序谱且俨包络是单的，那么它的套本原理想就是交不 可约理想这个问题最终在文献【2 0 中被解决了，这样在强极大t a f 代数中，套本原 理想与交不可约理想也是等价的 在文献【2 0 】中，三位作者提出一个开问题：问题1 1 是否存在一类算子代数，它 的套本原理想与交不可约理想不是等价的? 本文从这个问题出发，在n s a f 代数中做了一些研究，我们证明了在n s a f 代数 中套本原理想就是交不可约理想，即定理2 4 3 反过来，交不可约理想是不是套本原 1 第一章绪论硕士论文 理想，我们正在研究中n s a f 代数是d a v i d s o n 与k a t s o u l i s 在文献 1 9 中引入的，它 是套代数直和的极限也就是a fc 一代数的套子代数，它包含了强极大t a f 代数，事 实上，强极大t a f 代数是一类非常特殊的n s a f 代数 在文献【2 3 中，l a r n o u r e u x 用无限矩阵单元链刻画了一类对嵌入( 标准嵌入或 加细嵌入) 有要求的强极大t a f 代数的交不可约理想然而这种方法不能给出一 般t a f 代数所有交不可约理想的刻画在文献【2 中，五位作者解决了这个问题，他们 用m i 一链给出了t a f 代数中所有交不可约理想的刻画本文也用无限矩阵单元链刻画 了一类对嵌入有限制的n s a f 代数的交不可与理想接着用m i 链刻画了一般n s a f 代 数的交不可约理想，即定理2 3 1 ，与m i 链相对应的理想就是交不可约理想，任给一 个交不可约理想能找到一个m i 一链与之对应，但它们不是一一对应的 在文献【2 0 】中，d a v i d s o n 等三位作者表明t a f 代数4 与它的理想了的商的伊一包 络足够敏感探测歹的交不可约性，歹是交不可约当且仅当4 了的驴包络是本原的， 而且也等价于存在c + 一包络c 。( 么歹) 的一个忠实的表示，且表示在a 5 上的限制是 一个套表示本文也用n s a f 代数与它的理想的商的c 包络来探测它的理想的交不可 约性 在交不可约理想中有一类特殊的子类，完全交不可约理想，即那些不能表示为 有限个或无限个真包含它的理想的交的理想，在文献 2 】中，五位作者用c m i - 链刻画 了t a f 代数的完全交不可约理想在本文中我们给n s a f 代数定义一个c m i 一链，来刻 画它的完全交不可约理想即定理3 2 1 ，与c m i 链相对应的理想就是完全交不可约 理想，任给一个完全交不可约理想能找到一个c m i 链与之对应，但它们不是一一对 应的在文献【8 】中，作者在强极大t a f 代数中构造了一种特殊的套表示一e s s e n t i a l 表 示，e s s e n t i a l 表示的核就是完全交不可约理想，完全交不可约理想一定是强极 大t a f 代数的某个e s s e n t i a l 表示的核本文给n s a f 代数定义一个c m i 表示，使得这 个表示的核就是n s a f 代数的完全交不可约理想 2 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 1 2 基本概念 定义1 2 1 【1 5 】设是h i l b e r t 空间h 中的一族子空间，称是一个子空间格，如果下 列条件成立： ( 1 ) ( o ) ，m ( 2 ) 对的任意一族子空间 晟) i a ，总有v 诞a 最和八诞 易属于人厂这里v 和八分 别表示子空间的闭线性扩张运算和集合论意义下的交运算特别地，称子空间格为 套，如果中的元素按包含关系成全序集 定义1 2 2 【1 5 】设，定义_ = v m a f ：m2 ) 和+ = a m a r ：mg ) 同时也规定。一= o ，冗+ = “如果是套，则- = v m ：mc ) ，+ = a m ：m ) ) 显然- n + 若_ ，则称e 为的原子 定义1 2 3 【1 5 】设是咒中的子空间族，定义a f 是“上的所有使 厂中每个元素都 不变的有界线性算子的全体，即a l g a f = t b ( u ) ：( i 一) t = o ，v n ) 易 证a z g 是含单位元的弱闭算子代数，如果是套，则称a 1 9 人厂是套代数 定义1 2 4 【2 2 】4 是作用在h i l b e r t 空间咒上的一个b a n a c h f 数，么的一个非退化 表示7 r 称为一个套表示，若丌( 4 ) 的不变的闭子空间格按包含关系成线性序关系， e t j l a t r ( a ) 形成一个套 定义1 2 5 【2 2 】j 是b 彻n c 九代数4 的一个闭双边理想，称为一个套本原理想，若，是代 数4 一个套表示的核 定义1 2 6 【2 2 】一个套表示是真的，若它是另一个套表示的真压缩，即它是形式q 7 r q ， 其中7 r 是某个套表示且投影q = p l p o ，p o ，p l ，是丌的不变投影，岛0 ，p 1 i 定义1 2 7 【2 】b a n a c h f p , 数4 的一个理想j 称为交不可约的，如果j r a 且对于代数 中的任意理想j ，k 若j = jnk ，则有i = ，或，= k 理想称为完全交不可约的，如 果i = n a 厶，就有i = 厶，其中q a 定义1 2 8 【2 3 】b o 礼o c 九代数4 的一个理想确史称为( k 4 ) 的，若对于代数中的任意理 想，k 均有j r2 ，nk 兮i2j 或j2k 3 第一章绪论 硕士论文 注意条件( k 4 ) 的类似于素理想( 即，2j k 兮，三j 或j k ) 的条件，也类似于 交不可约理想( 即，= ，n 兮i = j 或，= k ) 的条件 定义1 2 9 【2 9 】代数翻称为a fc 叫弋数，若存在一个有限维c 叫弋数的递增序 列( 碥) ，使得甜= u , 竺l z 4 定义1 2 1 0 2 9 设“是一个a fc 叫弋数，d 是甜的一个极大可换自伴子代数( 简 称为m a s a ) ，a 是甜的包含d 的一个闭子代数定义d 在4 中的正规化子 为( 4 ) = w a ：加是一个部分等距算子，w d w 口，切+ d wc 刃) 假设存在 一个有限维驴一代数的套序列 ) ，使得“= u 至1 玩且d i i u 罂1 现，其中对于任 意的i ，：d i = dn 玩是强中的一个m a s a 且对于任意的i ，d t ( 玩) + ，( 强+ 1 ) ，那 么d 是酣中的一个典型m 弱a 定义1 2 i i 【2 9 】代数4 称为正则极限代数，如果4 是a fc + 一代数纠的范数闭子 代数，且包含一个典型m 够ap 这个定义等价于4 = 妞( a ，仇) ，其中a = 4n 玩，慨是a 到a + 1 的单射，且满足( i ) 职ac 玩；( i i ) 仇可延拓为玩到m + 1 的章单同 态；( i i i ) 仇把慨( 巩) 映到+ 。( 珑+ 1 ) ，一 定义1 2 1 2 1 1 9 a = 墼( a ，忱) 是正则极限代数一4 的一个表像，把姆( a 。，饥) 称 为_ 的表像( p r e s e n t a t i o n ) 的压缩，其中i k 是n 的子序列，饥= 妒t + 。o o 忱k + lo 慨i 定义1 2 1 3 【2 9 】一个b a n a c h 代数4 被称为姒f 代数，若存在a f 矿代数甜，使 得4 是甜的一个范数闭子代数且an4 。是甜中的一个典型的m a s a 定义1 2 1 4 【1 9 】一个t a f 代数4 酎称为强极大t a f 代数，若a + a + 在甜中稠密， 即翻= 万砑如果么是强极大? a f 代数，那么么表示成4 = 墼( a ，) ，其中a 是全 上三角矩阵代数的直和，仇可以分解成重数为一的嵌入的直和更一般地，我们可 以考虑a n 代数的套子代数，其中每一个a 是m 叼套子代数的直和且a 的每一个直 和项都包含7 我们称之为n s a f 代数 定义1 2 1 5 【1 8 】b r 口扰“i 图d 的子集5 是定向的( d i r e c t e d ) ，如果存在某个p ，i ) s 且，i ) _ + 1 ，j ) d ，那么有0 + l ，j ) s 4 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 定义1 2 1 6 【1 8 】b r o t 纠z 图口的子集5 称为可遗传的( h e r e d i t a v ) ，如果对于某个p ，i ) 刃，所有满足，i ) 一p + 1 ，j ) d 的0 4 - 1 ，歹) ，我们有p + l ，j ) s ，那么0 ，i ) 5 定义1 2 1 7 【4 】v o n - n e u m a n n 代数么的投勋称为么的原子，若有p 却= c p ，这意味 着p 不忧于其他非零投影即p 是极小投影 1 3 基本结果 引理1 3 1 【2 3 】对b a n a c h 代数4 中的任意一个闭的，双边理想， ( 1 ) 若j 是素的，则j 是( k 4 ) 的； ( 2 ) 若j 是( k 4 ) 的，则，是交不可约的 引理1 3 2 【2 3 】，是可分的c 掌- 代数的闭双边理想，那么下面的是等价的： ( 1 ) 是套本原的； ( 2 ) i 是本原的； ( 3 ) i 是素的； ( a ) i 是( k 4 ) 的； ( 5 ) i 是交不可约的 此外，在可分的c 宰一代数中的每个理想等于所有包含它的交不可约理想的交 引理1 3 3 【2 3 a 是作用在h i l b e r t 空间h 上的一个紧套代数，是4 的一个闭双边理 想那么下面的是等价的： ( 1 ) ，是套本原的； ( 2 ) z 是( k 4 ) 的； ( 3 ) i 是交不可约的； ( 4 ) i 是4 的套表示在某个区间上的压缩的核 此外，4 中的每个理想等于所有包含它的交不可约理想的交 引理1 3 4 【14 】设“是一个a fc + 一代数，d 是所的一个典型m a s a ，巩= dn 玩， 设 螈) 罂是“的一个递增的子空间序列，且是的巩一模，令m = 口飘， 若螈= + 1n 碥，对所有的凡都成立，那么螈= mn 碥 5 第二章n s a f 代数的交不可约理想 硕士论文 2 1引言 第二章n s a f 代数的交不可约理想 我们知道礼xn 的全上三角矩阵代数兀的交不可约理想是通过从这个代数中去掉 一个楔形得到的：令1 i o j o n ，理想j = ( 口巧) ：a i j = o ，i o i js 如) 是交不 可约的，且死的每个交不可约理想均是这种形式 例如：磊的交不可约理想是如下形式： 幸，i c奉爿c幸 0 0 o0 幸 0 o 00 木 o 000 木 0 oo0 宰 ：木c 对于有限维的套代数a f ，它的交不可约理想可以用中的一对子空间0 1 及一个左连续的序同态妒刻画 2 2 】，定义如下： i 1 这样妒就决定一个拐角，那么如= 1 【n a l ：a n 妒( ) ，v n ) 就是一个交不 可约理想实际上，套代数根据套的原子分块后就是准全上三角代数【5 】【1 3 】，它的交 不可约理想就是从代数中去掉一个分块后的准楔形例如：下面的套代数 6 l 、 宰 木木 坐 卡车 ，k 木木 木枣木 木木木木幸| c 木木木 宰车 木 木宰 唪 l木 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 我们把这个套代数分块后，把每一块看成一个整体，每一块按顺序定义为嘞， 套代数就是一个5 5 准全上三角代数，从代数里去掉一个准楔形就得到一个交不可 约理想，我们令：令1 i osj o 5 ，理想j = ( e 易) ：勖= 0 ，i osi 歹j o ) 就是交 不可约的且它的交不可约理想都是这种形式比如：我们取i o = 3 , j o = 4 ，它的交不 可约理想就是： 、 出 木木 木 木幸木 木书奉幸半 木 木丰 】k 球木 木 000 00 士 0o 虫 木 实际上它是不包含局4 中任意矩阵单元的最大理想，即不包含e 4 5 ，e 4 6 的最大理 想，我们用，( e ) 表示套代数中不包含矩阵单元e 所在分块的最大理想，那么这个理想 就可记作j ( e 4 5 ) 或i ( e 4 6 ) 我们知道n n 的全上三角矩阵代数兀的每一个矩阵单元生成的理想，就是这 个矩阵单元右上角的部分，我们从兀任取一个矩阵单元e 如知，理想j = ( a i j ) ：a 巧 0 ，i i o ，j j o 就是e t 。j 。在磊中生成的理想 例如：e 2 3 在磊中生成理想是如下形式： 00 幸木宰 00 木幸奉 0 0 0 o o 0 o 0 oo 0 0 0 o 0 ：掌c 前面我们已经说过有限维的套代数分块后就是准全上三角代数，那么套代数的 矩阵单元生成的理想是什么样的呢? 经过研究发现：在套代数中每一个矩阵单元生 成的理想与它所在的分块有关，就是它所在分块右上角的部分，我们用上面的套代 7 第二章n s a f 代数的交不可约理想 硕士论文 数来解释一下，我们取矩阵单元e 3 4 ，它所在的分块是岛3 ，那么e 3 4 生成的理想就是 、 ，000 ，k 木木木 0o ，i 木木，i c 0 0 采 木木木 oo00 000 0o0 l0 其中半号表示整个复数域同样的道理e 2 a 生成的理想也是这个，因为它们所在的分块 相同 2 2套代数直和的交不可约理想 令4 = a ，厶。o oa 。其中a i 是吼阶的套代数令，( e ) 表示4 中不包 含e 所在分块的最大理想因为a 。0a 。0 oa 。中的矩阵单元可以写作00 0 e jo oo ，其中是中的矩阵单元易见，( e ) = a 。o oi ( e s ) o oa 其 中，( e ) 是a u 中对应于矩阵单元的交不可约理想 定理2 2 1 令4 = a ，e a ：o e a 。贝u z ( e ) = a 。o e x ( e j ) o o a 。是4 中 的交不可约理想，反过来4 的交不可约理想都是这种形式 证明：只需证明，( e ) 是是k 4 的，因而由引理1 3 1 知它是交不可约的假设，k 是4 的 理想，并满足，( e ) 2j n k 由于e 不属于j ( e ) ，则有e 不属于j ，或不属于k ，由，( e ) 的定 义，我们得到j ( e ) 2j ，或，( e ) 2k 因此，( e ) 是k 4 的，所以是交不可约的 反过来，假设，是a 的交不可约理想，由于4 是一个直和，j 我们可以记作 i = 1 10j 1 20 0 厶， 其中乃是气中的一个理想如果至少有两个易是真理想，不妨假设易。，如 ，那么我们有： ，= ( o o ，o o 厶：o o 厶) n ( o ok 。o o ：o o 厶) ， r 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 这与j 是交不可约的相矛盾! 因此至多有一个易不等于氐，我们记： i = a ，o o 乃o o 。， 其中乃是的理想 下证乃是交不可约的假设乃不是交不可约的，我们记乃= 乃n 坞，其中如， 玛是中严格包含易的理想，所以 = ( a 。o o 乃o oa 。) n ( a ，o o 玛o oa 。) ， 这又与硝邑交不可约的矛盾! 因此乃是的交不可约理想由上一节的分析可知，在氐中存在一个矩阵单 元，使得易= j ( ) 那么有： j = a 。o oj ( 矿) o oa 。 = j ( oo o o o0 ) = j ( e ) 其中e = 00 0 0 00 是4 = a ，0a 。o 0a 。的一个矩阵单元 注：由定理的证明过程我们可知4 的理想是( k 4 ) 的等价于理想是交不可约的 定理2 2 2 令4 = a 。0a n 。0 oa 。，其中是m 啦的套代数，是4 的闭双边 理想则下面几条等价： ( 1 ) j 是套本原的； ( 2 ) j 是( k 4 ) 的； ( 3 ) ，是交不可约的； ( 4 ) 存在4 中的矩阵单元e ，使得j r = i ( e ) = 硒丽【j 是4 的理想：e 隹j ) 证明：定理2 2 1 的证明表明了在a ，o 。o o a 。中的理想是( k 4 ) 的当且 仅当它是交不可约的，且其形式是，( e ) ，其中e 是4 中的某个矩阵单元 易证，( e ) 是某个套表示的核，这个套表示可以通过压缩下列套表示： 乃：a 。o oa 。_ q 召( c 唧) 9 第二章n s a f 代数的交不可约理想硕士论文 到c 的某个区间弓得到，其中弓是c 唧中对应于e = 0o o e jo oo 中的矩阵单 元的某个区间，因此j ( e ) 是一个套本原理想 反过来，若，= 厶0 厶0 0 厶是一个套本原理想，那么它是某个套表示7 r 的 核如果至少有两个乃是真理想，不妨假设乃，。，如，那么理想 j = o o o 。o oo 聋k e r ( 1 r ) ， 且 k = 0 o o ：o oo 隹k e r ( 7 r ) 因为7 f 是一个套表示，非零不变子空问瓣和永瓦历有序关系，因此我们可以假 设 0 ；面口丽 通过乘以7 r ( j ) ，我们得到 0 孺瓦7 丽= o ， 这显然是个矛盾! 因此，至多有一个厶是真理想。那么我们可以把，记作： i = a 。0 0 乃0 oa 。， 其中乃是如的理想( 可以是真的) 由前面的分析可知，在中存在一个矩阵单 元e j ，使得乃= ，( ) 那么有： i = a ，o o ( 一) o oa 。 = ( oo o e ，o oo ) = ，( e ) 其中e = 00 0e j0 00 是a = a ，0a ：0 0a 。的一个矩阵单元即套本原 理想都是如上构造的形式定理得证! 注：定理2 2 2 的( 4 ) 表明给定一个套本原理想，( 即交不可约理想) ，4 中存在矩阵 单元e ，使得j = j ( e ) ，反过来，给定4 的一个矩阵单元e ，那( e ) 就是一个套本原理想人 们自然会问4 的套本原理想与矩阵单元是不是一一对应的，事实上，它们不是一一 对应的，不同的矩阵单元可能对应相同的套本原理想，只要它们所在的分块一样 1 0 硕士论文n s a f 代数的交不可约理想 给定b a n a c h 代数a 的一个闭双边理想的集合q ，我们通过定义q 的一个子集f 的 闭包- f = h u l l ( k e r ( f ) ) 弓l 进q 上的一个拓扑，其中，= k e r ( f ) 是在集合j f l 中的所有理想 的交集，h u l l ( i ) 是q 中包含，的所有理想的集合为确保这个运算产生一个拓扑，只需 验证对闭包运算k u r a t o w s k i 的四条准则成立即空集0 的闭包是空集， ( k 1 ) 0 = 0 ； 且对q 中的任意子集f ，g ，我们有 ( k 2 ) f2f ； ( k 3 ) f = f ； f k 4 ) f ug=fug 前三条是很容易验证的，目丽f u 虿也不难验证因此我们只需证明f 可虿 fu 召下面的引理给出 h u l l k e r n e l 运算产生一个拓扑闭包运算的充要条件 引理2 2 1 【2 3 】令q 是b o 佗o c 代数a 的真理想的一个集合，那么危u ：f k e r n e l s _ 算产 生一个拓扑闭包运算当且仅当对q 中的任意一个理想j 和子集f ，g 我们有 ，三k e r ( f ) nk e r ( g ) 兮i k e r ( f ) 或，k e r ( a ) 有了定理2 2 2 和引理2 2 1 ，我们就可以建立一个有限的拓扑空间来描述代 数a = a 。0a 。0 0a 。的理想格了 定理2 2 3 a = a 。oa ：o o 厶。，q 是4 中的套本原( 等价于交不可约) 理想集 那么h u l l k e r n e l n 包在q 上产生一个拓扑，且在闭子集f q 和理想i a 之间存 在一一对应，即 j = k e r ( f ) j i f = h u l l ( j ) 证明：由定理2 2 2 ，知4 的交不可约理想都是( k 4 ) 的，再由引理2 2 1 失i l h u l l k e r n e l 闭包在q 上产生一个拓扑下面我们只需证明4 中的每个理想都是所有包含它 的交不可约理想的交集因为理想，是由它所包含的那些矩阵单元决定的，当然也被 1 l 第二章n s a f 代数的交不可约理想硕士论文 它所不包含的那些矩阵单元决定，因此有 j = n ( e ) ：e 聋了) = n ( ，( e ) ：( e ) j ) = k e r i q ：i j ) = k e r ( h u l l ( j ) ) 2 3n s a f 代数的交不可约理想与m i 链 接下来我们研究a fc 代数的套子代数，也就是套代数直和的极限，我们称之 为n s a f 代数【1 9 】我们主要研究它的交不可约理想，并试图在它的交不可约理想集 上建立一个拓扑空间，用来描述它的理想结构a fc 叫弋数纠有一个递增的9 一子代数 序列 m 使融= 讽，a 七= an 是阮的套子代数，4n 包含一个典型m a s a 我们在每一 个伊一代数阮中选择一个矩阵单元系统 e ) 使得阮中的矩阵单元可以表示成+ l 中 矩阵单元的和，自伴的矩阵单元就是在典型m a s a的那些矩阵单元，每一个4 k 都 是中的套代数的直和 下面我们介绍无限矩阵单元链的概念 e k l _ e k l + l e h + 2 _ 其中每一个e k 都是的矩阵单元系统_ ( e 嘉) 中的矩阵单元，记号e 謦一e k + l 表示e 七+ l 是e 的一个子坐标如果e 七在n s a f 代数4 中，那么e 七的子坐标都会落在4 中，因此如 果无限矩阵单元链的第一个矩阵单元落在4 中，那么它的所有矩阵单元都落在4 中 令 e 七l _ e k l + 1 _ e k l + 2 一 是4 的一个矩阵单元链，令厶表示在4 七中不包含e 所在分块的最大理想由上一节 知厶是4 k 的交不可约理想且是( k 4 ) 的注意到厶+ 1 是不包含e 七十1 的，所以五+ 1n4 不 包含e 七，由于厶是a 中不包含e 所在分块的最大理想，所以 1 2 厶2 + 1na k 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 通常情况下，在a 七中这两个式子是不相等的( 后面的例子2 3 1 就是一个反例) ， 然而，如果厶= 厶+ 1na k ，忌k l 那么由引理1 3 4 知厶并的闭包就决定了一个理 想i = 面且使得厶= ina k 命题2 3 1 令a = 顶i 是一个闭的n s a f 代数， 厶) 是按照以上方式构造的理想序 列如果厶= 厶+ lna ，七之k l 那么理想i = b - 7 ；既是( k 4 ) 的又是交不可约的 证明：首先证明j 是( k 4 ) 的，设zk 是4 的闭理想，满足，nk ，那么 厶= ina 七2 ( jnk ) na k = ( jna k ) n ( kn4 ) = 以nk k 。 由于厶是( k 4 ) 的，k k l , 所以厶2 以或厶2 凰，k k 1 不失一般性，我们假设 当尼南l 时，厶以注意到如果k 7 k ( k h ) 时，那么有 厶，= 厶na k ，2j kna k ，= j k ， 因此我们得到厶以，对所有的k 都成立，所以，2 了因此，是( k 4 ) 的由引理1 3 1 ，j 也 是交不可约的命题得证! 我们可以证明若套代数4 七一a + 1 这个嵌入是保持分块不变的标准嵌入或块加 细嵌入，那么就有k = 厶+ 1na k 事实上，若存在矩阵单元，隹厶+ lna k ，由于，可以 表示成a + 1 中矩阵单元的和即，= 厶 a k + - 则存在某个五隹厶+ 1 由这种嵌入 的结构可知f 窖厶，因此有厶厶+ 1n a k 所以厶= 厶+ ln a k 更一般地，a 。0 oa 。_ 。，0 0 。，这样一个嵌入，如果每一个 构成映射a ，_ 。，是保持分块不变的标准嵌入或块加细嵌入或零嵌入，那么也 有厶= + 1na k 因此在这种情况下，由引理1 3 4 知理想i = 耐所有的k h 满 足厶= ina k 这样给一个无限矩阵单元链，我们就能构造一个交不可约理想与之对 应，下面的命题表明这样的交不可理想还是很丰富的 命题2 3 2 设4 是一个n s a f 代数，其中a _ a + 1 这个嵌入的构成映射是保持分块 不变的标准嵌入或块加细嵌入那么4 的每一个闭理想等于包含它的交不可约理想的 交，其中这些交不可约理想是按照命题2 3 1 构造的 证明：设，是4 的一个闭理想，m 是按照命题2 3 。1 构造的所有包含了的交不可约理 想的交，显然j m 下面证明j2m 】3 第二章n s a f 代数的交不可约理想硕士论文 设e 七。是么七。的一个矩阵单元且不属于j e k 。可以表示成4 h + 1 中矩阵单元的和那 么e 知。至少有一个子坐标不属于j ，不妨记为e 七。+ 1 依次下去我们得到一个无限矩阵单 元链 e k l _ e k t + l e 1 + 2 一 其中每一个矩阵单元都不属于理想j 由于厶是4 七中不包含矩阵单元e 七的最大理想， 因此我们有厶2 了na k ，k2h 由这个矩阵单元链构造的交不可约理想，= 瓯满 足，2ze 知。岳，n n e k 。就不属于所有这样构造的交不可约理想的交，故而e 知，也不属 于m 因此j2m 命题得证! 推论2 3 1 设么是命题2 3 2 中的n s a f 代数，q 表示所有由矩阵单元链e 七一e 七+ 1 _ e k + 2 一构造的交不可约理想的集合，那么h u l l k e r n e l 闭包在q 上产生一个拓扑， 且在闭子集f q 和理想j a 之间存在一一对应，即，= k e r ( f ) j l f = h u l l ( j ) 下面我们来看一个一般的n s a f 代数，我们不要求套代数4 七一4 七+ 1 这个嵌入 是保持分块不变的标准嵌入或块加细嵌入。在这个代数中厶= 1 4 + 1na s 是不成立的那 么以上的结论在这个代数中也是不成立的! 例2 3 1 n s a f 代数a 有一个表像： a 1 _ 4 2 _ a 3 _ 4 其中每一个a 的一包络都是单的代数，令a 。等于 4 1 在4 2 中的像为： 1 4 ，n6cd e ，、 g h2 3 k t mnd p 口 rs亡 札u lw 硕士论文 n s a f 代数的交不可约理想 ，o6cde l g h2 j k f 仇礼d p g rst abcde g hz j 七f m 礼d p g rst uu w ut ， l 叫 设l 是4 l 的交不可约理想，它的拐角是矩阵单元o ( 当然也是s ) 所在的分块，也 就是使得m ，礼，0 ，q ，r ，s ，札为零的理想在4 2 中我们选择交不可约理想如使得它的拐角 是o 所在的分块，我们有两种选择第一个我们选择位置在上面的d ，此时厶n4 ，就是 使得a ，b ，c ，d ，g ，h ，i ，j ，m ，佗，o ，g ，r ，8 ，u 为零的理想它是严格的小于厶的第二个我们选 择位置在下面的0 ，此时如n4 1 就是使得m ，n ，0 ，q ，ns ，仳，口，彬为零的理想它也是严格 的小于 的但是如果我们把这个嵌入做一个扭转( 也就是把位置在上面的u ，口，w 所在 的行或列作为一个整体与下面的让，衫，w 所在的行或列做一个扭转) 这时候选择的交不 可约理想j 1 2 其中一个满足 = j 1 2na 1 ，然而另一个我们却得到厶屯na 1 = 0 由此 可见，在一般的n s a f 代数中情况还是比较复杂的 这样我们用无限矩阵单元链描述了n s a f 代数的交不可约理想，但是它对套 代数的嵌入是有限制的，它要求4 七一4 七+ 1 这个嵌入是保持分块不变的标准嵌入 或块加细嵌入然而对于一般的n s a f 代数它不能刻画它的所有交不可约理想在文 献【2 】中借助于矩阵单元序列即m i 链给出了强极大t a f 代数中的交不可约理想的刻 画下面我们也用矩阵单元序列给出一般的n s a f 代数的交不可约理想的刻画 设4 是一个n s a f 代数，它有一个表像( p r e s e n t a t i o n ) ： 】5 第二章n s a f 代数的交不可约理想 硕士论文 a l _ a 2 一a a _ 4 记号2 3 1 若e a n ，我们用厶( e ) 表示e 在a ；中生成的理想若k n ，那么有e a 七， 则j 也( e ) 是有定义的且j 如( e ) i d k ( e ) 定义2 3 1 令4 = 虹( a ，忱) 是一个n s a f 代数，来自4 的一个矩阵单元序列( 岛) t 被 称为一个m i 链，若下面两条对所有的i n 均成立： ( a ) e i a ( b ) e i + 1 i d i + 1 ( e ) ， 其中j r 吨+ 1 ( 龟) 表示由e 在a + 1 中生成的理想，即a + 1 中包含色的最小理想 如果( e i ) 忿是n s a f 代数4 的m i 一链，设z 是4 中不包含任意e l 的所有理想的并的 闭包，也就是4 中不包含任意e t 的最大理想 定理2 3 1 设a = 堑婴( a ，帆) 是一个n s a f 代数，对于_ 的表像( p r e s e n t a t i o n ) 中的每 一个m i 一链( 龟) i ，与m i 一链( e t ) i 之相对应的理想是交不可约理想；反过来，么中的 每一个真的交不可约理想都可以从a 的表像或表像的压缩中选择一个m i 链来得到 证明：设( 岛) l 是代数4 的一个m i 链，z 是与之对应的理想，假设歹与瓦