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硕士论文 基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 摘要 路面图像中线型病害信息的检测是高速公路病害自动检测的一个必不可少的环节， 是一个重要的预处理过程。本文主要研究了路面图像中线型形态病害信息的检测算法。 本文的检测算法从微分几何方面入手，充分利用了微分几何中曲率的性质，研究并 分析了一个基于曲率的检测算法，实现了对多种线型病害信息的检测。该算法的关键之 处在于将路面图像中的线型裂缝信息作为脊线处理，通过计算最大曲率沿其相应主方向 的方向导数的过零点值来提取线型病害信息，图像偏导数的计算使用图像与高斯核函数 相应阶次的导数卷积得到。实验表明该算法是有效的，在检测准确性上远高于常用的几 种基于边缘的检测算法。同时考虑到线型裂缝宽度的不一，单一尺度检测方法有着一定 的局限性，本文对算法进行了参数估计及尺度分析，寻求最优尺度因子的确定，通过不 同线宽最优尺度因子的选取，得到多尺度检测结果，进一步的实验表明拓展后的算法提 取出了更加完整的裂缝信息。 本文最后对检测后的路面图像进行了进一步的处理，给出了一个基于曲率的聚类算 法，以检测后的二值图像为基础，通过提取初始图像中这些位置的信息作为聚类的数据 集，以像素点的灰度、曲率作为聚类特征因子进行k 均值聚类检测，有效去除了虚假信 息，提高了图像的检测效果。 关键词：路面裂缝，曲率，尺度，聚类 a b s 咖i c t硕士论文 a b s t r a c t p a v e m e n tl i n e a rc r a c k i n gd e t e c t i o ni se s s e n t i a lf o rt h eh i g h w a yd i s t r e s sa u t o m a t i c d e t e c t i o n , w h i c hi s a l li m p o r t a n tp r e - t r e a t m e n tp r o c e s s t h i sp a p e rs t u d i e st h ep a v e m e n t c r a c k i n gd e t e c t i o na l g o r i t h m s i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ed e t e c t i o na l g o r i t h m sf r o mt h ea s p e c t so fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y a n dm a k ef u l lu s eo ft h ep r o p e r t yo ft h ec u r v a t u r e w ed e s c r i b ean e wa p p r o a c hf o rd e t e c t i n g t h ep a v e m e n tc r a c k i n g ，w h i c he x t r a c t saw i d er a n g eo fl i n e a rd i s t r e s si n f o r m a t i o n t h ek e y p o i n to fo u ra p p r o a c hi st om o d e lt h el i n e a rd i s t r e s si n f o r m a t i o na sc r e s tl i n e so ft h ei m a g e s u r f a c e w ea c h i e v eo u rt a r g e t b ye x t r a c t i n g f o rt h ez e r o - c r o s s i n g so ft h ed i r e c t i o n a l d e r i v a t i v eo ft h em a x i m u mc u r v a t u r ew h i c hf o r mc r e s tl i n e s t h ei m a g ed e r i v a t i v e sa r e c o m p u t e du s i n gr e c u r s i v ef i l t e r sa p p r o x i m a t i n gt h eg a u s s i a nf i l t e ra n di t sd e r i v a t i v e s t h e e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ea p p r o a c hi se f f e c t i v e ，w h i c hi sm u c hh i g h e rt h a nt h ec l a s s i c a le d g e d e t e c t i o ni nt h ed e t e c t i o na c c u r a c y h o w e v e r , w ec o n s i d e rt h el i m i t a t i o n so ft h i sa p p r o a c h i n t h en e x tp a p e r , w es h o wt h a t ，t h ee x t r a c t i o np r o c e s so ft h el i n e a rd i s t r e s si n f o r m a t i o n ，h a v i n g d i f f e r e n tw i d t h , r e q u i r e sam u l t i - s c a l ea n a l y s i so ft h ei m a g e t od e s i g nt h ef u s i o np r o c e s so f t h em u l t i s c a l ei n f o r m a t i o n ，w ew i l ls t u d yt h eb e h a v i o ro ft h ec u r v a t u r e si nt h es c a l es p a c e a n dt h eo p t i m a ls c a l e w ei l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm u l t i - s c a l ea p p r o a c hb y e x t r a c t i n gt h el i n e a rd i s t r e s si n f o r m a t i o no fd i f f e r e n tw i d t h si nt h ep a v e m e n ti m a g e s f i n a l l y , w ed e s c r i b eac l u s t e r i n ga l g o r i t h mb a s e do nt h ec u r v a t u r ef o rt h ep a v e m e n t i m a g e s f i r s t l yw et a k ef u l l u s eo ft h ed e t e c t e di m a g ea n de x t r a c tt h ei n i t i a li m a g e i n f o r m a t i o ni nt h e s el o c a t i o n sa sac l u s t e ro fd a t as e t s t h e nw ec h o o s et h e 伊a ya n dt h e c u r v a t u r ea st h ef a c t o r so ft h ek - m e a n sc l u s t e r i n g t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tw ew e a k e nt h e f a l s ei n f o r m a t i o na n di m p r o v et h ei m a g eq u a l i t y k e yw o r d s ：p a v e m e n tc r a c k i n g ，c u r v a t u r e ，s c a l e ，c l u s t e r i n g i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：斟 _ 年6 月k 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：焯伽产 阴如日 硕上论文基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 1 绪论 1 1 研究背景与研究目的 近年来随着数字图像处理技术的发展，数字图像中信息的分析与检测也逐渐变得日 趋重要，在近几十年来相关的研究中取得了一系列丰硕的成果，其中图像中有关线型形 态特征提取的研究得到了人们广泛的关注。线型形态特征提取实际上是图像分割中的一 部分，是图像信息预处理的一种方法，其基本原理是将图像中有意义的线型特征提取出 来，从而使人们所关心的目标得以增强。目前，线型特征提取有着诸多应用领域，例如 在工程图纸矢量化【4 9 1 ，机器人视觉 5 2 , 6 2 】，图像处理【6 3 ，4 1 1 ，计算机辅助设计【4 引，物体定位 1 2 8 1 ，非接触式检测【5 5 】等方面都有着广泛的应用。在图像处理方面，线型特征的提取在 医学图像，航空图像，路面图像等诸多方面都有体现。在医学图像【5 4 j 领域，线型特征主 要体现在病人的血管特征、骨骼特征等某些器官特征方面。在航空图像【5 3 j 领域，线型特 征主要体现在地物特征如道路，城市建筑群，农田，机场跑道等方面。在路面图像【1 2 】 方面，线型特征主要体现在路面的各种裂缝等病害信息上，本文的研究重点就是放在路 面图像的线型特征检测方面，主要是路面图像的线型形态病害信息检测方面。 伴随着我们国家经济的快速发展，高速公路的通车总里程已跃居世界i j i 列。然而随 着公路使用时间的增长，一些问题也日益突出，例如公路使用寿命的延长，养护费用的 降低等等。这些问题使得公路状况的检测与养护逐渐取代公路建设成为交通建设的主 流。路面图像的线型病害特征主要体现在路面裂缝等病害信息上，在图像中很多这些信 息都表现出非规则、弱信息等特征，如何在不影响正常交通秩序的情况下，快速对整段 路面这些病害特征进行检测成为急待解决的一大难题。传统的基于人工视觉检测病害的 方法不仅耗时、耗人力，而且不精确、危险系数大，这些问题的存在使得人工视觉检测 病害的方法已愈来愈不能适应高等级公路发展的要求。 我国在公路路面状况检测方面的实际情况是现在仍采用人工或半机械化的方式， 这种方式不但使得检测的效率比较低下，只能采取抽样检测的方式，而且还需要对道路 进行封闭，给正常的公路交通带来很大影响。因此，一种自动化的高速检测系统的使用 已变的日趋必要，而如果进口一套这样的软硬件设备，其价格是相当的昂贵。与此同时 国内对这方面的研究尚处在初期研究阶段，从事有关路面裂缝的计算机检测算法的各个 高校和科研机构尚不是很多，而且由于户外环境和条件极为复杂，现有算法的性能极为 有限，因此这方面的研究工作逐渐成为热点所在。本文的研究旨在力求寻找一种更为高 效的线型病害信息检测技术，为这方面的研究作一些基础性工作。 1 2 国内外研究现状 1 绪论硕士论文 由于路面图像的特殊性和病害目标的弱信号性，研究者提出了很多不同的处理方 法，然而却一直没有一个通用的有效方法来检测各种路面的裂缝病害。虽然如此，近几 年来随着对基于图像分析、机器视觉的智能检测方法的研究愈来愈多，相应的方法也日 益增多，具体来说可分为，边缘特征提取方法，形态学方法，分形维数法，神经网络法， 纹理分析法，小波分析方法等等。 1 - 2 1 边缘特征提取方法 边缘是图像最基本的一个特征，它是图像目标提取所依赖的最重要的特征，也是纹 理特征的重要信息源和形状特征的基础。对于路面灰度裂缝图像来说，一般情况下病害 裂缝边界都有一定的边缘性，因此可采用边缘检测方法。这类方法的一般步骤是使用一 些合适的边缘检测算子检测出图像中灰度有突变的地方，增强裂缝目标的信息；或者针 对图像整体灰度不均问题进行校正，使整个图像的光强变得均匀，再使用阈值等方法分 割目标。文献【47 j 首先采用加权的邻域平均算法对图像进行噪声滤除，边缘检测时对每个 像素用8 个方向的s o b e l 算子检测边缘，在图像分割时采用了o s t u 提出的最大类间方 差法选取阈值进行目标提取，最后比较清晰的提取出来路面裂缝的轮廓。但这类方法的 局限性在于裂缝强弱不定，变化太多，不容易分割出目标，而且分割出的噪音目标太多， 对后续处理结果很有影响。 1 2 2 形态学方法 数学形态学作为一个重要的图像处理方法，在路面图像病害的检测中也有广泛的应 用【2 7 , 6 1 】。文献6 1 】基于数学形态学的原理，提出了一种路面裂缝图像检测与分析的新方法。 该方法通过4 种结构元素的中值滤波算法增强路面灰度图像，并利用形态学梯度算子、 闭合算子进行边缘检测和裂缝空隙弥合，能够有效地检测出裂缝边缘、并保持边缘的平 滑性。在此基础上，利用改进的腐蚀算子细化裂缝并获取其骨架，通过计数的方法得到 裂缝的长度和宽度。这种方法对简单路面图像该方法在抗噪性和边缘提取方面取得了良 好的效果，但对处理复杂路面图像该算法表现出一定的局限性，检测效果一般。文献【2 7 1 提出一种利用数学形态学的方法来检测裂缝。利用数学形态学四个基本的操作算子腐 蚀、膨胀、开运算和闭运算以及t o p h a t 等操作来完成线状裂缝目标的检测、连接等处 理，取得一定的效果。但该方法也有着一定的局限性，如需要裂缝有较强的边缘性而且 过多的阈值设定降低了此方法的可用性和检测效果。 1 2 3 分形维数法 最近几年分形几何作为一种新的数学理论得到应用与发展，其中包括图像处理、 模式识别、计算机视觉等领域。分形几何研究对象是自然界中不规则的，具有自相似性 和自仿射性的集合或无序系统。s a r k a r 和c h a u d h u r i f 3 6 】根据覆盖思想提出了一种有效 硕士论文 基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 的计算分形维数的方法，叫做差分计盒方法( d b c ) 。文献【5 7 】基于分形几何理论，研究采 用路面图像的分析维数将线型裂缝提取出来的方法，并针对差分计盒方法提出一种改进 算法，以提高分形维数的计算效率。改进的差分计盒方法被应用到计算路面图像的分形 维数上，其分割结果与s o b e l 算子进行比较，此方法对路面图像上的单根纵向裂缝取得 了很好的检测效果。但路面图像背景复杂，裂缝种类繁多，限制了这类方法的使用范围。 1 2 4 纹理分析法 纹理是图像中除了颜色与形状之外另一个重要的特征。在路面图像中，路面的纹理 特征体现在用于组成道路的石子、沥青、以及石子与石子之间的间隔，而当出现病害信 息时这些纹理将表现出不同的特性，因此一些研究者把纹理分析方法用在路面病害检测 之d p 7 , 1 3 , 3 7 , 6 0 】。文献【6 0 1 针对传统路面信息获取方法效率低、强度大的问题，提出了公路 路面图像的纹理分析方法，利用标准布朗运动模型1 4 0 j 描述公路路面，用标准分数布朗运 动矢量获得各像素块的特征矢量。同时应用k 近邻分类实现图像块的分类，对完好和损 坏路面像素块的分类取得了良好的效果，但这种方法的准确性和计算的复杂性有待优 化。而且不同的道路纹理不同，即使同一道路的不同地段，纹理也有很大的差异性，这 也限制了纹理分析方法在路面病害信息检测方面的应用。 1 2 5 神经网络法 神经网络法的基础是神经网络理论，近年来也得到了广泛的利用，其一般用于裂 缝检测后的类型分类。在这种方法中，一般来说首先抽取用于描述模式类的特征向量， 然后利用神经网络的主要特性即自动学习和记忆功能，通过样本训练建立对已知类的记 忆信息，然后再将未知样本作为输入，由神经网络识别该样本所属类别。文献【8 】研究了 直接用路面图像本身作为输入并直接分类出该图像有还是无病害，但最后的研究结果表 明此方法效果不理想。其主要原因在于路面图像一般较大，造成学习训练时间太长，效 率比较低，而且路面状况通常比较复杂，不同的路面有效果有着很大的不同。因此需要 先抽取出有意义的目标，再用神经网络去识别它，而目标的抽取本身就是一个很困难的 问题，因而大多数应用神经网络的方法还是对检测出的裂缝进行分类3 , 1 5 - 1 7 , 2 1 1 。 1 2 6 小波分析方法 小波变换是处理时变信号的有力工具，随着小波理论的研究日趋完善，许多研究者 利用小波变换来检测和提取路面图像的裂缝信息【1 9 2 0 3 2 3 3 ，3 4 1 。这类方法一般先采用小波 变换将路面图像分解为不同频率的子带信息，其中待提取的裂缝信息就对应于高频子带 中的高幅值小波系数，背景噪声则对应于高频子带中的低幅值小波系数，路面中的纹理 则对应于低频子带的小波系数，根据上述这些特点，可以设计基于小波变换的路面裂缝 检测和提取算法。但是从表现形式来看，对一幅含有纵向或横向裂缝的路面灰度图像来 1 绪论硕上论文 说，裂缝信号是一种高幅值负信号，多表现为较长的线段。而由组成路面的石子沥青等 所形成的随机噪声信号则表现为离散的点及较短的线。因此，路面裂缝提取属于二维图 像中的一维奇异性检测问题，而在表示一维奇异性方面，小波基和傅立叶基均不是最优 基【1 0 1 ，用于图像处理中二维的小波变换是通过一维小波变换的张量基来得到的，对于由 于边缘造成的不连续性它表现出良好的实用性，而对于边缘的连续性其局限性很明显， 不能很好的刻画。这一性质直接导致y d , 波在路面图像检测中不能得到很好的效果。 从上面国内外的一些研究现状可以看出，虽然对路面裂缝检测的方法很多，各个方 法都有自己的优点，然而由于路面图像的特殊性和复杂性，仍然没有一个有效的通用的 方法来实现对路面裂缝的检测。因此，本文考虑从微分几何入手，充分利用微分几何中 曲率的性质，通过研究并分析一个基于曲率的检测算法，来实现对多种形态线型裂缝病 害信息的检测。 1 3 本文内容安排 本课题研究了基于曲率的路面图像中线型形态病害信息的检测算法，全文分成五个 部分，具体章节安排如下： 第一章：绪论，主要介绍了该课题在国内外的发展现状，分析和总结了一些路面图像中 线型病害信息的检测方法。 第二章：介绍了本文算法要用到的微分几何的基本理论。 第三章：研究并分析了一个基于曲率的检测算法，完成与原算法和常用的几种边缘检测 算法的比较。实验表明该算法是有效的，在检测准确性上远高于常用的几种边缘检测算 法，算法适用范围较广。 第四章：对第三章节基于曲率检测方法进行参数估计及尺度分析，弥补了基于曲率检测 算法的不足之处。实验表明该算法取得了良好的检测效果。 第五章：给出了一个基于曲率的聚类算法，对检测后的图像进行聚类分析，提高了图像 的检测效果。 4 硕士论文基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 2 微分几何理论 2 1 引言 图像分析是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息，从而 建立对图像的描述，本质上是从图像到数据的过程。这些数据是对目标特征测量的结果， 或是基于测量的符号表示，描述了图像中目标的特点和性质。在图像分析的发展历程中， 对图像中的目标物体进行描述的有力工具是欧几里德几何学，以及解析几何、射形几何、 微分几何等。 微分几何是一门历史悠久的学科，初始研究的对象包括曲线的切线与长度，曲线围 成的区域面积等内容。作为微积分在几何学中的应用，微分几何学的主要内容是研究如 何描述空间中一般曲线和曲面的形状，以及寻求确定曲线，曲面的形状及其大小的完全 不变量系统。微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质， 换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围 上的性质的数学分支学科。 微分几何学以光滑曲线和光滑曲面作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线 长、曲线上一点的切线等概念展开的。经典微分几何主要研究曲线和曲面上每一点的局 部微分特性，包括每一点处的法向，主法向，主曲率，g a u s s 曲率和平均曲率，刻画了 曲面上每一点临近的一阶和二阶导数性质，可以根据这些微分特性局部重建曲面。 近几十年来，随着自然科学的飞速发展，微分几何已不仅仅局限于数学这一领域， 在计算机视觉领域也广泛采用了微分几何的思想，如人脸识里j l j 4 5 , 5 0 ，图像复原【5 l 】，图像 去噪【4 6 , 5 8 , 5 9 】，图像特征提取【删，物体形状识别【删等。 2 2 基于微分几何学的图像分析与描述 在人类的初期视觉问题中，如何用几何学来描述其构造是最难的问题之一。眼球的 动作提示了这个问题的求解。人类的眼睛在看对象物体时，无意识地从具有某个特征的 部分扫描到其它的特征部分，注视的时候眼球有频繁的微小的振动。微小的振动相当于 局部的空间微分操作，注视点的扫描是为了得到全局的结构。因此，图像可以认为是在 某个照明条件下所生成的亮度空间。设二维平面上的扫描函数为s ( x ，y ) ，沿着与s 上 的扫描视点相同的特征线，得到s 的结构。对应与地形图上的山峰和山谷，在图像 s ( x ，y ) 上可以得到特征线。 定义2 1 所谓s 的特征点是指使g r a d s = 0 的点的集合。 定义2 2 ( 1 ) 特征线是指沿着s 的特征点及等高线使i g r a d s l 取极值的点的集合。 ( 2 ) 轮廓线是指沿着s 的特征点及张力线使lg r a d si 取极值的点的集合。 2 微分几何理论 硕士论文 ( 3 ) 分割线是指沿着s 的特征点及等高线使反砂取极值的点的集合。 从以上的定义可以得到以下的方程式： a 特征线方程式： ( s - s o ) s ，s , - ( s = , 一) 岛= o ( 2 1 ) b 轮廓线方程式： 弗+ 2 鼠邑- + $ = o ( 2 2 ) c 轮廓线方程式： $ - 2 s f l y s , 吵+ = o ( 2 3 ) 上面给出了特征线、轮廓线及分割线的定义及方程，这些线结构统称为结构线，其 各自的特征也很明确。结构线是几何不变的，即对坐标的平移、旋转是不变的。这是图 像所固有的几何特征，是我们进行图像处理经常要考虑的特征不变量。除了考虑特征线、 轮廓线、分割线这些图像的几何特征之外，图像中曲线和曲面的曲率也是我们进行图像 处理与分析时要考虑的一个重要的特征不变量，接下来，我们对将要用到的曲率【4 2 1 进行 一下分析和介绍。 2 3 光滑曲线的基本原理 定义2 3 曲线，：，= ( 口，b ) - e 2 ( e 3 ) 称为正则曲线，如果： ( 1 ) 曲线的每一个分量都是c ”函数。 ( 2 ) 吲 o , v t e ( 口，6 ) 成立。 考虑平面正则曲线，( f ) = ( x ( f ) ，y ( ，) ) ，v t ( 口，b ) ，设 c ，d 】c ( a ，b ) ，曲线，( ，) 的弧长 为j 1 ，( f ) i 西，对其而言可以把它看成是动点在时间间隔，= c 到f = d 之间的距离。假设 固定初始时间c ，用时间f 来代替d ，可以得到c 到f 移动的距离s ( f ) = 门r ( ) l 咖。s ( f ) 是 f 的函数。这时t 就可以表示为s 的函数r = f ( s ) 。曲线，关于新参数s 的表示为 ，( s ) = ，( x ( s ) ，y ( s ) ) = ，一( x ( f ( s ) ) ，y ( f ( j ) ) ) ，s 称为曲线的弧长参数。 令 6 设曲线c 的方程是，( s ) ，其中s 是曲线的弧长参数，( s ) 是曲线c 的单位切向量场。 硕士论文 基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 a ( s ) = ，。s ) ( 2 4 ) 下面分析如何刻画曲线的弯曲程度。从直观上看，仅( s ) 是曲线c 在s 处的方向向量，因 此当一点沿曲线以单位速率前进时，方向向量转动的快慢反映了曲线的弯曲程度，而方 向向量仅( s ) 转动的快慢恰好是用i 警l 来衡量的。如图2 1 所示。 定义2 4 设曲线c 的方程是，( s ) ，其中j 是曲线的弧长参数，令七( 5 ) = i 警l - i ，( j ) i ， 称七( s ) 为曲线，( s ) 在s 处的曲率，并且称华为该曲线的曲率向量。 定理2 1 曲线c 是一条直线当且仅当它的曲率尼( s ) 暑0 。 定义2 5 如果k ( s ) 0 ，则向量0 【( j ) 有完全确定的方向，记这个方向的单位向量为 p ( s ) ，称其为曲线c 的主法向量。曲线的单位切向量伍( s ) 和主法向量p ( s ) 唯一确定了 曲线的第二个法向量y ( s ) = 0 【( j ) p ( 5 ) ，称其为曲线的次法向量。这样，在正则曲线上 曲率七( j ) 不为零的点有一个完全确定的右手单位正交标架 ，( s ) ：a ( s ) ，p ( s ) ，丫( s ) ) ，它与 表示曲线的笛卡尔直角坐标系的选取无关，也不受曲线作保持定向的容许参数变换的影 响，称为曲线在该点的f r e n e t 框架。 图2 1 曲线方向向量的转动 口 d 0 + s ) 口0 + 厶) 一口( s ) j 7 2 微分几何理论硕士论文 性质：曲线的弧长，曲率在刚体运动下保持不变。 2 4 光滑曲面的基本原理 定义2 6 ：子集sc r 3 是一张正则曲面，如果对每个点p s 存在一个邻域vc r 3 和一 个开集ucr 3 到v nscr 3 上的映射x ：u vn s 满足下列条件( 图2 2 ) ： 1 x 是可微的 2 x 是同胚映射 图2 2 从平面区域d = ( “，v ) 至：l je 3 的映射，其中r ( “，v ) = ( x ( “，v ) ，y ( u ，1 ，) ，z ( u ，v ) ) 2 4 1 曲面的第一基本形式 设有正则参数曲面s ：，= r ( u ，v ) ，函数，的微分是 a r ( u ，1 ，) = ，：f ( “，v ) d u + r , ( u , v ) d v 记 i = a r ( u ，) c t r ( u ，1 ，) = ( 吒( “，v ) 幽+ o ( “，v ) 咖) ( 吒( “，v ) 出+ o ( “，v ) 咖) = e ( ”，1 ，) ( 咖) 2 + 2 f ( u ，v ) 撕+ g ( “，v ) ( 咖) 2 其中系数 e ( u ，v ) = ( 甜，v ) ，：，( “，v ) f ( u ，v ) = 乞( “，v ) ( “，v ) = ( “，v ) 巴( 材，v ) o ( u ，v ) = ( 甜，v ) o ( “，y ) 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 硕士论文 ， 基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 定义2 7 称1 = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 是曲面s 的第一基本形式，e ，f ，g 是曲面的第 一基本量。 1 = d r 2 也称作曲面的弧长元素，第一基本形式的矩阵表示为 = 毋2 = c 咖，咖，( ；丢 ( 窑 c 2 8 ， 事实上，根据一次微分的形式不变性，微分式a r ( u ，y ) = r ( u ，v ) d u + ( ”，v ) a v 与正则参数 曲面s 的参数的选取无关，因此，作为d r ( u ，y ) 与其自身的内积当然与正则参数曲面s 的 参数的选取无关。 2 4 2 曲面的第一i 基本形式 设s ：，= ，- ( “，) 是一张正则参数曲面。曲面s 在任意一点( ，) 处的切平面兀的单位 蜘量是肛尚k 设( v o ) 触戤是( u o + a u , ”虮镪i j 切平面嘣有 向距离是万( 缸，a v ) = ( ，( + a u ，v o + v ) 一，- ( ，) ) n ，由t a y l o r 展开式得 r ( u o + a u ，v o + a v ) - r ( u o ，v o ) ；( 吒血+ ，y ) + 吾( ( ”) 2 + 2 。缸加+ 。( v ) 2 ) + 。( ( 血) 2 + ( 加) 2 ) 2 9 由于向量函数吒，等都在点( “。，v o ) 处取值，并且 兀r t = 0 ，以= 0 1 i m ! ( ! 全竺苎：! 全：苎! ：o ( 2 1 0 ) ( 血) 2 + ( 加) 2 o ( “) 2 + ( y ) 2 所以 a ( a “川= 三( ( ( ”) 2 + 2 r 。a u a v + ，w ( y ) 2 ) + 。( ( 甜) 2 + ( v ) 2 ) ) 刀 记 = ( ，) n ( u 。，v o ) m = ( u o ，) 丹( ，v o ) = ( ，) n ( u 。，v o ) 则a ( a u ，a v ) 的主要部分是二次微分式 三( ( 幽) 2 + 2 黝+ ( 咖) 2 ) ，幽= 缸，咖= 加 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 9 2 微分几何理论 硕士论文 定义2 8 称f i = ( 咖) 2 + 2 m d u d v + n ( d v ) 2 是曲面s 的第二基本形式，其系数 l m ，称为曲面s 的第二基本量。 第二基本形式可以用矩阵表示为 n = ( 如，咖) ( 乞m na 1 f 幽) ( 2 4 ) 给出了曲面的第一基本形式和第二基本形d 式v 后，我们就可以给出曲面的法曲率和主曲 率，主方向的定义及其计算公式了。 定义2 9 设j 下则曲面s 的参数方程是，= ，( “，v ) ，i 和兀分别是它的第一基本形式和 第二基本形式，则 吒：旱：一l(du)2+2mdudv+n(dv)2 ( 2 1 5 ) j r = 一= 一 tz “ i e ( d u ) 2 + 2 f d u d v + c ( a v ) 2 称为曲面s 在点( ”，v ) 处沿切方向( d u ，咖) 处的法曲率。 定理2 2 正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率必定在两个彼此正交的切方向 上分别取得最大值和最小值。 定义2 1 0 正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率取最大值和最小值的方向称 为盐面在该点的主方向，相应的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 2 4 3w e i n g a r t e n 映射与主曲率 定义2 1 1 设，= r ( u ，v ) 是一块正则参数曲面，它在每一点处有一个确定的单位法向 量玎( “，v ) 。将n ( u ，1 ，) 在空间e 3 中平行移动到坐标原点0 ，那么它的终点便落在e 3 中的 单位球面上，于是得到从曲面s 到的一个可微映射g ：s 专，使得 g ( ，( “，v ) ) = n ( u ，v ) ( 2 1 6 ) 这个映射称为g a u s s 映射( 图2 3 ) 。 1 0 图2 3g a u s s 映射 由于两个曲面之间的可微映射在对应点的切空间之间诱导处一个线性映射，称为该 映射的切映射。这样，g a u s s 映射g ：s 专便诱导出从曲面s 在点p 的切空间r , s 到球 面在像点g ( p ) 的切空间i ( ，) 的切映射g ：乃s 一五( ，) 。 定义2 1 2 令 形= 一毋：s s 岭乙s ， ( 2 1 7 ) 称矿为曲面s 在点p 的w e i n g a r t e n 映射。 定理2 3 曲面s 的第二基本形式n 可以用w e i n g a r t e n 映射表示成 n ：w d r d r ( 2 1 8 ) 定理2 4 正则参数曲面在每一点的w e i n g a r t e n 映射的两个特征值恰好是该曲面在 这一点的主曲率，对应的特征方向是曲面的主方向。 定理2 5 ( e u l e r 公式) 设e l ，e 2 是曲面s 在点p 处的两个彼此正交的主方向单位向 量，对应的主曲率是毛，如，则曲面s 在点p 处沿任意一个切向量p = c o s 如+ s i n 的法 曲率是吒( 口) = 毛c o s 2 秒+ 也s i n 20 当霸= 乞时，对任意的切方向护都有一( 0 ) = k i = 屯，这正是主方向不确定的情形。 我们把这样的点称为曲面的脐点。 由于在脐点，法曲率屯= 皇篙g 笺锱与切方向( 幽，咖) 无关，即 ( 三一吒e ) ( 幽) 2 + 2 ( m - k f ) d u d v + ( n - k g ) ( d v ) 2 = o ( 2 1 9 ) 是关于如，咖的恒等式，所以在该点有 2 微分几何理论 硕士论文 一l ：一m ：一n ( 2 2 0 ) u 一= 一= 一 厶 efg 由此可见，脐点是曲面的第一类基本量和第二类基本量成比例的点。如果这个比是 零，则称该脐点是平点；如果这个比不是零，则称该脐点是圆点。 2 4 4 主方向与主曲率的计算 根据法曲率的e u l e r 公式，主曲率是法曲率的最大值和最小值。因此，计算主方向 和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段。根据定理2 4 我们已经知道主方向 和主曲率恰好是曲面在这一点的w c i n g a r t e n 映射的特征方向和特征值。因此求曲面主方 向和主曲率的问题归结为求w e i n g a r t e n 映射的特征方向和特征值。 设曲面s 的方程是，= ，( “，1 ，) 。假定卉= ，：i 如+ 万，是曲面在点( “，y ) 的一个主方向， 即( 如，8 v ) 0 ，并且有实数力使得 w ( s r ) = 2 8 r ( 2 2 1 ) 将( 2 2 1 ) 式展开就是 一( 以。8 u + n ，艿v ) = ( r 。s u + r s v ) ( 2 2 2 ) 将( 2 2 2 ) 式分别与切向量屹，作内积，得到 一( n s u + r 。艿1 ，) = 五( 吒r 。s u + r r , , s v ) ( 2 2 3 ) 一( ，：n s u + r n s v ) = 五( r 。s u + r r , , j v ) ( 2 2 4 ) 即 l # u + m s v = a ( e s u + f s v ) m j u + n s v = ：l ( f s u + g s v ) 所以( 砌，万，) 应该是线性方程组 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ：篇搿篙鬻0 仁2 7 ， 【( m 一兄，) 万”+ ( 一名g ) 万，= 、7 的非零解。根据线性方程组理论，线性齐次方程组( 2 2 7 ) 有非零解的充分必要条件是它 的系数行列式为零，即允要满足二次方程 将其展开得到 即 1 2 l 三一旯em 一五，l i m 一旯f 一旯g 1 0 l = 旯2 e g - f 2 ) 一五( g 一2 m f + n e ) + ( l n m 2 ) - - o ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 硕士论文基于曲率的路面图像线型形态病害信息检测方法研究 九2 一l g - 2 m f + - n e 九+ l n - m 了2 ：o 一- _ - _ 一，l - r ：一一、，“ e g f 2e g f 2 。 ( 2 3 0 ) 根据定理2 4 知道，二次方程( 2 2 7 ) 必定有两个实根毛，乞。这个事实也能够用方程( 2 2 7 ) 的判别式来检验。事实上，二次方程( 2 2 7 ) 的判别式是 l g 一2 m f + n e 2l n m 2 2 _ 云石二j r 一4 1 夏歹二j 丁 但31 ) 化简一下，我们得到 = ( ( 删刮一警( 肼一f l ) ) 2 + 掣( 肼一f l ) 2 。 所以二次方程( 2 2 7 ) 必定有两个实根毛，如。 由二次方程的系数与根的关系得知 毛+ 毛：2 h ：l g - 2 m f + f n e 2 仍一f 2 ( 2 3 2 ) 墨也= k = 丽l n - m 2 、 我们把h = 毛+ 哎称为曲面的平均曲率，把k = 毛哎称为曲面的g a u s s 曲率。 式( 2 3 2 ) 给出了平均曲率h 和g a u s s 曲率k 用曲面的第一类基本量和第二类基本量计 算的公式。这样，主曲率是方程 九2 2 h l + k = 0 ( 2 3 3 ) 的根，于是得到一般形式 毛：日+ 瓜，乞：h 一瓜 ( 2 3 4 ) 2 5 小结 本章节介绍了经典的微分几何理论，主要包括了基于微分几何学的图像分析与描 述，光滑曲线和光滑曲面的基本原理，重点介绍了曲线和曲面中曲率的计算。介绍这些 基本原理是因为本文接下来基于曲率的检测算法都充分利用了这些原理和概念，尤其是 主方向和主曲率的计算。有了本章节的微分几何理论，就为本文接下来的算法提供了一 定的理论基础。 3 基于曲率的线型病害信息检测算法硕士论文 3 基于曲率的线型病害信息检测算法 3 1 引言 在图像分析和计算机视觉领域，大量的研究集中在线型信息检测方面，这些线型形 态信息在具体形式上往往表现为图像表面的线结构，细微纹理等特征。从微观上看来， 体现出图像中这些信息特征的线结构往往由一些特殊的像素点形成，这些像素点在给定 的方向上取得局部极值。从外在表现形式上看，这些线型形态信息往往对应着图像的重 要特征。例如，在路面图像中，这些线型信息体现在路面的各种裂缝上，而如何有效对 路面裂缝信息提取是一个非常困难的问题。这主要是因为路面图像的质量一般不是很 好，图像中裂缝与周围的背景对比度低，所含的信息量很少，同时路面上存在着大量随 机分布的噪声。经典的基于边缘的检测算法不能很好的检测这些线型裂缝信息。目前， 如何准确的提取路面图像中线型裂缝信息己成为图像处理领域研究的一个热点问题。本 章节介绍一种基于曲率的方法用来在路面图像中提取这些线型裂缝信息。本节将通过分 析图像中线型信息的曲率特征，将信息中的线结构转换为图像表面的脊线来处理。所谓 的脊线p 2 j 就是规模最大曲率在相应的主方向上取得最大的线。我们用图像的一阶，二阶 和三阶导数来定义这些脊线。图像偏导数的计算考虑到用图像与高斯核函数相应阶次的 导数卷积来求得。实验证明这种方法对各种不同的线型裂缝均取得了良好的检测效果。 3 2 经典的边缘检测算法及实验分析 在路面图像中，相当一部分线型形态的病害信息都可以进行边缘分析。对于这些病 害信息而言，其灰度值部分与周围的背景相比都有着明显的边缘分界特征。一般来说， 路面图像中这些线型病害信息有着明显区别于其它对象的特征。线型病害相对于路面背 景来说颜色更深更暗，因此线型病害上的像素值通常来说是局部最小值。而且这些病害 一般来说带有线型特征，具有一定的方向，尤其是单根裂缝。 边缘检测是图像处理技术的重要内容，一直是图像处理领域的热点，迄今己有许多 边缘检测方法。下文先介绍与边缘相关的内容。 依据图像边缘的特征和梯度理论，目前已提出了诸多被认为是传统经典的边缘提取 算子。设i ( x ，y ) 为图像灰度函数，令 v f ( x , 少) = 譬f + 娑：z ( 训) f + ( 训) ， ( 3 1 ) l 珥 o y 这里夥( x ，y ) 为i ( x ，y ) 的梯度。接下来定义 1 4 硕士论文基于曲率的路面图像线型形态病害信息榆测方法研究 e ( 训) 2 拉( w ) + ( ) ( 3 2 ) 为夥( x ，y ) 的幅值。也可以将e ( x ，少) 写为如下形式： e ( 训) = l z ( w ) i + l ( 训) i ( 3 3 ) 其中六( x ，y ) 、乃( x ，y ) 为f ( x ，y ) 的偏导数。 以上述介绍的这些理论为基础，涌现出了许多边缘提取算法，例如差分边缘检测算 法【1 4 】、r o b e r t s 边缘检测算澍3 5 1 、s o b e l 边缘检测算法【2 4 3 8 1 、p r e w i t t 边缘检测算法【2 6 l 、 k i r s c h 边缘检测算法【2 3 1 、零交叉边缘提取算法【2 5 】，c a n n y 边缘检测算法【5 】，小波边缘检 测算法【6 1 等。下面我们介绍其中的两种对线型裂缝检测有帮助的算法。 3 2 1 零交叉边缘提取算法 零交叉边缘提取算法主要采用l a p l a c e 二阶导数标量算子v 2 g 。定义l a p l a c e 算子 为 俨乳导作川号弛川 ( 3 4 ) 接下来定义二维g a u s s 滤波函数为 g ( w ) 2 寺沪2 ( 3 5 ) 考虑到微分和卷积的可交换性，可得到下述公式 v 2 g ( x ，少) 木( x ，y ) ) = ( v 2 g ( x ，少) 卜i ( x ，y ) ( 3 6 ) 其中， v 2 g 垆寺( ，等一2 卜等 = 彳2 (