（计算机软件与理论专业论文）基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑.pdf

基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 摘要 纹理编辑是近年来国内外一个比较活跃的研究领域，原因在于纹理编辑在 计算机视觉、图像处理及计算机图形学等领域占有重要的地位和广阔的应用背 景。比如在布料、软体家具包装、汽车内饰等产品表面设计的过程中，以及影 视特效制作、电子游戏等行业，都需要对大量的表面纹理图像进行编辑操作。 纹理编辑主要是通过对图像表面纹理进行着色、变形、混合等操作，产生 ， 与原输入图像具有不同纹理特征的新图像。目前二维纹理的编辑技术研究已经 取得了不错的效果，但是其输入和输出都是二维的，还不能反映光照和视角改 变下的相应图像纹理的变化。 三维表面纹理编辑理论主要研究三维表面纹理在不同光照条件和视角角度 下的纹理表现，并根据三维表面几何特征、反射特性及基本元素的变化，来生 成任意大小、任意光照条件及任意观测角度下的新的纹理图像，从而产生最具 真实感的效果。 本论文从纹理基元和小波变换两种方法对三维表面纹理自相似编辑进行了 研究。其主要思想是根据三维表面纹理的表示图像的像素邻域之间的自相似性， 对表示图像进行涂色、混合、纹理元素变形等一次性编辑操作，再通过绘制编 辑后的表示图像，生成不同光照及观测角度下的新纹理图像。通过多个实验纹 理数据结果研究证明了本论文提出的基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理 编辑是有效的。 关键词：纹理编辑；小波变换；纹理基元；自相似性；双向纹理函数；三维表 面纹理表示方法 t h r e e - dim e n sio n ais u r f a c et e x t u r ee di 七in gb a s e do n w a v eie td e c o m p o sitio na n dt e x t o n a b s tr a c t t e x t u r ee d i t i n gi sam o r ep o p u l a rf i e l do fr e s e a r c hb o t ha th o m ea n da b r o a di n r e c e n ty e a r s i tp l a y si m p o r t a n tr o l e si nc o m p u t e rv i s i o n , i m a g ep r o c e s s i n ga n d c o m p u t e rg r a p h i c s am a i nr e a s o ni st h a tt e x t u r ee d i t i n gh a sv e r yb r o a da p p l i c a t i o n f i e l d s ，e g d e s i g no ft e x t i l ep r o d u c t s ，s o f tf u r n i s h i n g s ，t e x t u r e df i n i s h s ，c a ri n t e r i o r s ， f i l mp r o d u c t i o ne f f e c t sa n de l e c t r o n i cg a m e s t e x t u r ee d i t i n gn o r m a l l yi n v o l v e sg e n e r a t i n gd i f f e r e n tt e x t u r ec h a r a c t e r i s t i c so f t h en e wi m a g e s ，谢mc o m p l i c a t e dp a i n t i n g ，c l o n i n ga n dw r a p p i n go p e r a t i o no v e rt h e t e x t u r es a m p l e s a tp r e s e n tt w o - d i m e n s i o n a lt e x t u r ee d i t i n gt e c h n o l o g yr e s e a r c hh a s b e e na c h i e v e dg o o dr e s u l t s ，h o w e v e r , i t si n p u ta n do u t p u ta r es i n g l ei m a g e ( a l s oi s c a l l e dt w o - l i g h t 一 图3 1b t f 纹理图像【6 5 】 d a n a 把他提出的b t f 方法称为三维纹理映射，而把只用一幅样本图像作为 输入的方法称为二维纹理映射。从函数的角度来考虑，b t f 是关于二维位置和 照明角度以及视点角度的6 维函数。它可以表述为t = t ( u ，谚，包，谚，丸) ，其中 ( 材，1 ，) 是像素的坐标。谚为表面的法方向与光源方向的夹角，鼠为表面法方向与 视点方向的夹角，岛和见分别表示光源方向和视点方向在平面上的投影方向与 x 方向的夹角，因为有些纹理是有方向的，绘制时必须要考虑谚和吮。 它们的意义如下图所示： 图3 2b t f 模型 b t f 既捕捉了材料光照属性随光照方向和视线方向的变化，也捕捉了它随材 质表面采样位置的变化。当前关于b t f 的研究主要集中在以下三个方面： ( 1 ) 如何从真实物体表面获取b t f 数据，同时提高数据表示的效率：( 2 ) b t f 的压缩； 2 1 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 ( 3 ) b t f 的合成与绘制。 b t f 数据的获取有两类方法：第一类捕捉物体的几何及物体表面上各点的反 射属性( b r d f ) 。f u u r k 和l n e s h c 利用激光扫描仪获得几何及不同光照方向和视 线下的物体的图像。f u r u k a w a 将图像映射到物体的面片上并用张量积分解来压 缩数据；l e n s h c 则把数据拟合为一个参数化的b r d f 模型。第二类独立于物体 几何，直接捕捉扁平样本在不同视线和光照方向下的图像数据，这些样本数据 映射或合成到物体几何上产生丰富的外观效果。当前大部分b t f 的应用都属于 第二类。 但是，由于b t f 是表面纹理图像关于视线方向、光照方向和纹理坐标的六维 函数，数据量极大，必须对其压缩才能降低内存数据量并获褥较快的绘制速度。 压缩方法不仅要求有较大的压缩率，而且压缩后的数据要适合快速绘制，现在 很多算法都利用g p u 来获得快速绘制效果。 当前的压缩方法主要有两类，一类方法是把b t f 的每个像素在不同光照和 视线方向时的采样值看成一个b r d f 四维函数，用b r d f 反射模型来拟合。对深 度变化较大的几何细节区域，同一像素在不同视线下对应的表面位置可能不同， 因而利用全都视线方向下采样数据拟合的统一b r d f 模型很难表现此像素在不 同视线时的颜色变化和像素之间几何细节的自遮挡、自阴影效果。d a u b e r t 使 用一个跟视线方向相关的颜色放缩因子调节统一的b r d f 模型来重建不同视线 下观察到的不同颜色。m e s e t h 对视线方向进行采样，对每一视线拟合一个二维 b r d f 模型。这类方法绘制时只对视线方向插值，绘制速度快。第二类方法把 b t f 数据看成多维信号，借助b r d f 预计算的方法，用p c a 主元分析方法抽取数 据中的主元，用主元的线性组合来拟合原来的数据。s u y k e n s 分别将各个像素 处的b r d f 数据分解成几个纹理的乘积，但由于该方法没有开发像素间的连贯 性，压缩率比较低。l i u 将整个b t f 数据分解成一些表示空间变化的纹理和表示 采样方向变化的纹理的综合效果，提高了压缩率，但分解过程较为耗时。l i u 方 法适合小样本b t f ，通过p c a 降低维数来减少距离的计算量。v a s i l e s c u m 和w a n g 将数据表示成高阶张量积形式，获得了对数据操作的更大自由度。s a t t l e r 对每 个视线方向下的b t f 数据分别进行p c a 分解，只需较少的主元就能获得较好的 重建结果，因而能达到实时绘制。但由于每个视线都对应一组主元，所以压缩 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 率并不理想。这类方法所取得的最佳效果来自局部p c a 方法，先对像素聚类， 然后再对每个聚类的数据进行p e a 分解，在保证质量的前提下获得了较高的压 缩率。上述方法都要借助g p u 来提高绘制速度。还有一类方法把b t f 图像看成 低频分量和高频分量的和。w u 首先对序列纹理样本图像求取一个整体b r d f 模 型后，假设表面光照细节是由于表面反射属性和法向的变化引起，在每个像素处 求一个泰勒展开的高频扰动值，以重建表面的微小细节。m a 取了一个更简单的 高频函数。这两种方法由于无需插值，因而用软件实现就能接近实时，但一般只 对表面几何细节深度变化小且颜色均匀的简单样本有效。m a 的方法对高频函数 的选择没能体现出准确的物理意义。本文充分考虑了b t f 样本图像在像素和视 线方向间的连贯性，对像素和视线方向自适应聚类，求取像素在不同视线类里的 高频函数，在较大的压缩率下对深度变化大的几何纹理b t f 样本取得了较好的 重建效果，在无g p u 的情况下也能取得较快的绘制速度，采用g p u 加速后，能达 到实时绘制的效果。吴向阳、龚怿【6 5 l 等人通过分离高频和低频分量来压缩和重 建b t f 样本数据，并对深度变化大、颜色复杂的几何纹理样本做像素和视线方向 的聚类并分别处理，他们提出的双向纹理函数的有效压缩与绘制的方法虽然压 缩率比较大，但在深度变化特别大的样本中由于要划分为更多的视线类，会增加 存储量并减小绘制速度，但总体来说也是一种绘制效果不错的方法。 b t f 由于大量采样了不同光照方向和视线方向下的数据，所以能绘制出高度 真实感的图形，但数据量巨大，现有的压缩方法都只是对数据粗糙的处理，压 缩率不大，还难于在游戏、动画中广泛应用。 由于存储量的原因，当前的b t f 采样系统一般只获取一块小样本数据，但 在现实中b t f 材质往往覆盖了一个大面积的物体表面，因此需要基于小样本生 成大样本再映射到曲面上或者直接在物体表面合成。在对b t f 的合成与绘制研 究过程中关于如何用过程化方法生成b t f 纹理算法的研究很少。t o n g 嘟】用三维 粒度的方法对b t f 纹理进行了合成，当然他并没有直接用三维粒度进行计算， 因为直接合成三维粒度然后重构b t f 图像将会是非常消耗时间和资源的事情。 因此，他预先计算了每一对观察向量的点积，把他们存为一个矩阵。然后用这 个矩阵在b t f 图像中寻找最佳匹配，这样不考虑观察向量会大大的节约计算时 间。同时，t o n g 还使用了快速的搜索算法。但就算是这样，这种算法计算量之 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 大还是没有办法能够实时的进行应用。 4 纹理基元t e x t o n 对于纹理，至今还没有一个统一完整的定义，也没有一个定量的模型，只能 说，纹理在一定的区域内具有某些统计特性。从这个描述中可以看到，首先纹理 是针对具有一定面积的区域而言的，如果区域面积太小，从宏观上来讲难以构成 纹理；其次，纹理的特征具有一定的统计特性所以，对这些纹理进行统计时。选 择合适的窗口尺度就成为一个重要问题尺度太小，则统计难以反映纹理的真实 特征：尺度太大，又不利于纹理之间边界的精确定位。从结构化纹理的角度看， 纹理是由不同纹理基元按一定方式组成的图案。基于这种假设，在1 9 6 6 年，b e c k 以不同的英文字母作为纹理基元进行观察【6 7 1 ，发现纹理基元按不同方向分布影 响着人们对纹理的区分。1 9 8 3 年，b e r g e n 和j u l e s z 又在此基础上，进行了一系 列的精神物理实验。通过实验发现，不仅是纹理基元的方向，纹理基元的密度也 显著影响着人们对不同纹理之间的区分。1 9 8 8 年b e r g e n 和a d e l s o n 又发现，纹 理基元的大小以及尺寸之间的对比，也对纹理的区分有着重要的影响。这一系列 的实验，从生理和心理的角度说明，纹理图像可以分解为纹理基元，从而奠定了 以纹理基元的不同统计特征来分割纹理图像的基础嘲。 4 1t e x t o n 什么是t e x t o n ? 现实世界物体表面有各种各样的光照和几何信息，如：水泥、毛皮、大理 石、织物，我们可以根据这些纹理的表面特征去识别这些不同的纹理表面。由 于这些表面受光线条件的影响变化很大，可以呈现完全不同的表面形态。为了 刻画出一个物体表面的纹理特征，我们用一组方向和空间选择的线性滤波器对 物体表面纹理的图像数据进行滤波，得到每个像素块的滤波响应向量，然后用 k m e a n s 方法将这些向量进行聚类，每个类别的代表向量就是一个t e x t o n 6 9 。由 于纹理图像具有重复性、规则性、方向性等，所以我们可以利用有限的t e x t o n 表示各种纹理图像。最后我们可以通过逆变化，利用得到的t e x t o n s 重建原来 2 4 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 的纹理图像。 t e x t o n 描述了自然图像或视频图像的基础微观结构，是能被人类视觉预先 感知的原子信息【7 0 l 。可惜的是，名词”t e x t o n ”仍然是一个缺乏数学模型的模糊 概念。我们的实验方法把一幅图像看作是经过g a b o r 和g a u s si a n 滤波器在不同 比例、尺度和方向上处理过的图像基块组成的t e x t o n 的集合。每个t e x t o n 包 含了图像的几何、动态、光照信息： ( 1 ) 对于几何结构，t e x t o n 是大量的空间可变型的图像基块的组合； ( 2 ) 对于动态结构，t e x t o n 的运动是由马尔科夫链模型实时转换图像基块 的组合实现的；我们称运动的t e x t o n s 为9 m o r o n s 。，从视频序列中跟踪t e x t o n s 的运动轨迹来学习动态模型； ( 3 ) 对于光学立体结构，t e x t o n 表示了不同光照条件下的三维表面图像块 的集合，称之为”l i g h t o n ，采用一个照明锥( i l l u m i n a t i o n c o n e ) 表示，即 三个一组的t e x t o n 表示一个l i g h t o n 。给定一个光源，一个l i g h t o n 就由三个 t e x t o n 基线性组合产生。 朱松纯等入【7 1 1 进行了一系列的实验，从图像和视频中学习t e x t o n 的几何、 动态、光照结构，并且对不同的产生方法做了一些比较，并且他们还对如何从 一般的原始自然图像中产生t e x t o n 纹理基元作了详细的解释。 通常，我们区别不同物体的表面图像，例如：水泥、大理石、毛皮，是通 过研究它们的纹理表面特征。然而这些自然的纹理表面特征，由于受到光的反 射和表面法向量的影响所以变化很大，不太容易识别出来。那么，在不同的光 照的条件下如何才能更好的识别出一个纹理的表面，我们如何能提供一个统一 的模型把自然纹理的这两个特征都表示出来。中心思想是建立一个原型库，每 个原型使得局部几何和光照属性统一起来。我们称这些原型为。3 9t e x t o n s ”w ) i ， 它们可能是突起、凹槽、斑点、条纹，或是它们的组合。每个t e x t o n 由一个刻 画了局部光照分布的表面向量表示，它表征了在不同光照和视角下的一系列线 性高斯导数滤波器输出。给定一些不同纹理的大量图像，运用聚类的方法获取 大量的t e x t o n s ，聚类后再给定一种纹理的少量图像，我们就可以根据这些 t e x t o n s 识别和表示出那些后来给定纹理图像。 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 4 2 基于t e x t o n 的三维表面纹理自相似编辑 要刻画一个纹理，我们可以用它对一组方向和空间频率选择的线性滤波器 ( 滤波器组，见下图) 的响应来表示。这个方法在图像分割、图像识别【碉和图 像合成等方面，被很多研究者证明是很有用的。 图4 1 本文实验中用到的滤波器组。总共有4 8 个滤波器：在6 个方向、3 个尺度和2 个 相位下的3 6 个方向滤波器，8 个中央环绕导数滤波器和4 个低通高斯滤波器【例。 使用一组滤波器的响应来表示纹理非常具有通用性，然而，有人可能说这 么做有多余的成分( 每个像素由v 肼个滤波器响应表示，肼通常为5 0 左右) 。此 外，应该注意的是我们是在刻画纹理，在定义上存在空间重复的实体。所以， 我们不能期望整个纹理的所有像素对滤波器的响应是不同的。因此，有几个独 特的滤波器响应向量，而其他的可以视为噪音。这样的动机让我们产生这样的 想法，将滤波响应分成原型响应向量集合。我们把这些原型称为t e x t o n s 。按 一般规则，每一个纹理用上面的滤波器族( 图4 1 ) 滤波处理。总共有4 8 个滤 波器( 3 6 个方向滤波器：在6 个方向、3 个尺度和2 个相位下的3 6 个方向滤波 器，8 个中央环绕导数滤波器和4 个低通高斯滤波器) ，所以每个像素就由一个 = 4 8 维的向量表示。 这些向量被使用向量量化算法进行聚类，例如k 均值( k m e a n s ) 。首先设 定k 个聚类中心，然后将所有向量分配给最近的聚类中心；使得所有聚类中心 的s s d 值的和最小。 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 k - m e a n s 分类算法是一个贪婪算法，它通常由以下两步迭代完成： ( 1 ) 将每个像素的向量分配到最近的聚类中心。 ( 2 ) 更新每一个聚类中心，将每个类别的向量均值作为新的聚类中心。 重复以上这两步，直到算法按照某个规则达到最小化标准。这些聚类中心 就是t e x t o n s ，相应的响应向量被称为表面向量( a p p e a r a n c ev e c t o r s ) ，其中 “r ，k = 1 ，k 。利用这些表面向量靠来重建局部图像块就可以 表示出t e x t o n s ，这些局部图像块肌，可以被认为是用滤波器检测出的特殊图 像结构。 使用t e x t o n s 在运用滤波器的正交和逆矩阵进行重建是非常繁琐的【7 3 1 ，在 非正交和无逆矩阵的滤波器族的情况下，从滤波器的响应向量重建图像可以利 用最小二乘法实现。首先要创建滤波器矩阵f ：将每个滤波器转化成一个行向 量，然后把这些滤波器向量组成一个矩阵。在表示图像的过程中，使用滤波器 族进行卷积等于用f 去乘局部图像块。每个图像块p k 的重建可以通过用f 的广 义逆矩阵乘表面向量q 得到。 用k - m e a n s 聚类方法得到的t e x t o n s 表征了图像的局部结构特征，使重建 算法没有太多的误差，是有效的。 4 3 实验结果 在实验中，对于3 8 幅原始图像的每个像素x ，我们用1 0 0 个t e x t o n s 对其 进行量化分配，即用k - m e a n s 聚类算法求图像的t e x t o n s ( k = 1 0 0 ) ，把不同光 照的纹理像素分成1 0 0 类之后，求得一个图像的自相似图，根据选定纹理区域 图像相似度的大小，进行了纹理涂色、纹理混合与纹理变形的操作，结果如下 2 7 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 图4 2 所示。第一行是原始输入样本图，左边的是b t f 纹理样本中的一幅光照 图像( 共有3 8 幅不同光照的图像) ，右边是待做纹理混合的图像；第二行是基 于t e x t o n 的三维表面纹理涂色效果图：第三行是基于t e x t o n 的三维表面纹理 混合效果图；第四行是基于t e x t o n 的三维表面纹理变形效果图。 图4 - 2 基于t e x t o n 的三维纹理自相似编辑结果图 由于在选择t e x t o n 个数和样本图像本身的纹理特征之间协调性不好把握， 像素值的相似度图计算不是很精确，致使我们的实验结果不是很理想，还有待 继续改进和研究。于是我们尝试从小波变换方法进行三维表面纹理编辑的研究。 鞭 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 5 小波变换理论 目前，小波变换在许多工程领域中都得到了广泛的应用。由于小波分析是 一种在时域和频域上同时具有良好的局部化特性的分析方法，因此，小波分析 可以根据实际分析的需要，自适应地调节时频窗口，能够聚焦到信号时域和频 域的任意细节，被誉为信号分析的“显微镜”。经过1 0 多年的发展，小波分析 被广泛地应用于信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、数字水印等专业 和相关技术中。 本章将对小波变换理论的基本概念进行简要的介绍。 5 1 小波变换的历史与现状 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师m o r l e t 在1 9 7 4 年首 先提出的，他通过物理直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当 时未能得到数学家的认可。幸运的是，c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间 的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且 s t r o m b e r g 还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1 9 8 6 年著名数学家m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并有m a ll a t 合作建立了构造小波基的统一方法 多尺度分析后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) 对小波的普及起了重要的推 动作用。 小波变换与f o u r i e r 变换，窗口f o u r i e r 变换、g a b e r 变换相比，它是一 个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移 等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( n u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决 了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，成为继f o u r i e r 变换以来在科学方 法上的重大突破。从而小波变换被誉为“数学显微镜 ，是调和分析发展史上的 里程碑。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它 已经在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中 的一个重要领域，图像和信号处理又是电子信息技术领域的重要方面。现今， 2 9 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 信号处理已经成当代科学技术工作的重要组成部分。信号处理的目的是：对信 号进行准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确重构( 或 恢复) 。从数学角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理( 图像可以 看作是二维信号) ，小波分析和应用中的许多问题都可以归结为信号处理问题。 现在，对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然傅立叶分析。但在 实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处 理工具。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，包括：数学领域的许多学科；信号 分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理； 大型机械的故障诊断等方面。例如，在数学方面，它已应用于数值分析、构造 快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的 滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面它已应用于图像压缩、分类、 识别与诊断、去噪去污等【7 4 】。在医学成像方面用于减少b 超、c t 、核磁共振成 像的时间，提高分辨率等【7 5 】。 5 2 傅立叶分析和小波分析 5 2 1 傅立叶变换 傅立叶变换是信号处理中的一个重要方法，它是架起时间域和频率域之间 的桥梁。傅立叶变换是傅立叶级数在连续情况下的推广： 定义：函数t = t ( u ，v ，谚，乱，识，丸) 的傅立叶变换为： f ( 缈) = p - 耐f ( t ) d t ( 5 - 1 ) f ( r o ) 的傅立叶逆变换定义为： 厂o ) = 芴1 ，( 缈) 如 ( 5 2 ) 傅立叶变换有很明确的物理意义，如果厂是一个能量有限的模拟信号，那么( f ) 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 就是它的频谱，引入负的频率是为了方便表示，根据p a r s e v a l 等式，可以得到 一个信号的能量与它频谱的含量成比例，即 1， 、 ( ) = 去 。 ( 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间 是自相似的。 ( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两 个方面： ( 1 ) 由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号 ，f ，砂的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变 换是一一对应的。 ( 2 ) 小波变换的核函数即小波函数j ( f ) 存在许多可能的选择( 例如，它们 可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的) 。 小波变换在不同的( a ，b ) 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的 困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之 一【7 6 1 。 5 4 离散小波变换 离散小波变换( d is c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m , d w t ) 是相对于连续小波变 换( c w t ) 的变换方法，本质上是对自变量a 和b 进行离散化处理。由连续小波 变换的概念知道，在连续变化的尺度a 及时间b 值下，小波基函数虬j ( f ) 具有 很大的相关性，体现在不同点上的c w t 变换系数盯( 口，b ) 的信息量是冗余的。虽 然在有些情况下，其冗余性是有益的( 例如在去噪，进行数据恢复及特征提取 时，常采用c w t ，以牺牲计算量、存贮量为代价来获得好的结果) ，但在很多情 3 4 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 况下，我们需要考虑的是压缩数据及节约计算量，如在图像数据压缩、数值计 算等领域。从这个角度考虑，我们希望在不丢失原信号，( ，纱信息的情况下，尽 量减少小波变换系数的冗余度。 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。更 具体地说，目前在图像处理技术中处于主流地位的是离散小波变换。离散小波 变换广泛用于图像压缩、边缘检测、图像融合和图像增强等，所以离散小波变 换比连续小波变换更为实用。 因此，有必要讨论连续小波( r ) 和连续小波变换( 口，b ) 的离散化。需要 强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的， 而不是针对时间变量t 的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续 小波中，考虑函数： ，6 ( f ) ：坨沙仁皇) ( 5 11 ) “ 这里b r ，a r + ，且口0 ，为方便起见，在离散化中，总是p ( 尺) 限制 a 只取正值，这样相容性条件就变为 q = r 肾 1 ( 由于m 可取正也可取负，所以这个假定无关紧要) 。所以对应的离散小 波函数 o ) 即可写作 瞅m m y ( 学= 2 v ( 础一鲰) 而离散化小波变换系数则可表示为 q j = 厂( f 杪么( t ) d t 其重构公式为 ( r ) = c q 盼j ( f ) c 是一个与信号无关的常数。 3 5 ( 5 - 1 3 ) ( 5 - 1 4 ) ( 5 - 1 5 ) 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 离散小波变换实现的算法是s m a l l a t 于1 9 8 8 年发展的m a l l a t 算法( 快 小波算法，又称塔式算法) ，及先对较大尺度的信号进行小波变换，再选取其中 的低频部分在原尺度的1 2 尺度上再进行小波变换，从滤波器的观点看，就是 把信号通过低频和高频滤波器分解为近似系数( 低频部分) 和细节系数( 高频 部分) 两个部分，其中低频部分代表了信号的主要特征。 实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算c w t 的a ，b 值，加 之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中一般都是用离散小波变换 ( d w t ) 。 真正使小波在应用领域得到比较大发展的是m e y e r 在1 9 8 6 年提出的一组小 波，其二进制伸缩和平移构成l 2 ( r ) 的标准化正交基。在此结果基础上，1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给 出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性， 给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起 来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法一 m a l l a t 算法。如果把原始信号占据的总频带空间定义为v 0 ，经过一级分解v 0 被 划分为两个子空间：低频v l 和高频细节w 1 ，v 1 再经过二级分解得到低频v 2 和 高频细节w 2 ，如此类推得到关系v 0 = v lo w l ，v l = v 2o w 2 ，v j i = v jo w j 。 这样，在计算上变得可行以后，小波变换在各个领域才发挥它独特的优势，解 决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息。 5 5 多分辨率分析与正交小波 多分辨率分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 又称为多尺度分析， 是小波分析中的重要概念之一。它从函数空间的角度来研究函数或信号的多尺 度表示。多分辨率分析的作用是将信号分解成不同空间的部分，另外，它也提 供了一种构造小波的统一框架，还能提供数字信号分解与重构的快速算法。 5 5 1 尺度函数与尺度空间 形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有 一个统一的形式。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基， 3 6 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 而所有函数空间的闭包中的函数则构成r 俾) 的标准化正交基，那么，如果对信 号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数 目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性。 定义函数矽( ，) r 似) 为尺度函数，若其整数平移系列唬( f ) = 矽p 一尼) 满足 ( 纯( f ) ，吮，( ，) ) = 盈。r ，后，k z ( 5 1 6 ) 定义由吮o ) 在r ( 尺) 空间张成的闭子空间为，称为零尺度空间： i o = 印口刀 纯o ) ) ，七z( 5 1 7 ) 同小波函数相似，我们假设尺度函数九( ，) 在平移的同时又进行了尺度的 伸缩，使我们得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合： 一 以j o ) = 22 # ( 2 - j t - k ) = # k ( 2 - j t ) ( 5 1 8 ) 则称每一个固定尺度上的平移系列吮( 2 7 ，) 所张成的空间匕为尺度的 尺度空间： 吩= 册刀 吮( 2 一，) ，七z ( 5 1 9 ) k 则对于任意( f ) 匕，有 o ) = q 纯( 2 一0 = 22 a k k ( 2 一t - k ) ( 5 2 0 ) k k 由此，尺度函数矽o ) 在不同尺度下其平移系列张成了一系列的尺度空间 o 扣z ，随着尺度j f 的增大，函数办j o ) 的定义域变大，且实际的平移间隔也变 大，则它的线性组合式( 5 2 0 ) 不能表示函数小于该尺度的细微变化。 5 5 2 多分辨分析 由此我们引入了多分辨率分析的概念。如果我们把尺度理解为照相机的镜 头，当尺度由大到小变化式，就相当于将照相机镜头由远及近地接近目标。在 大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌。在小 尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观测到目标的细微部分。因此，随着 3 7 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标，这就是多分辨率 的思想。 多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 吩) ，je z ： ( 1 ) 一致单调性：c ，对任意j f z ( 2 ) 渐进完全性：i 屹= o ) ，u 吩= r ( 只) j e zj e z ( 3 ) 伸缩规则性：f ( t ) e v j ( 2 ，) 匕+ l ( 4 ) 平移不变性：f ( t ) e j f ( t - n ) e 。对所有疗z ( 5 ) 正交基存在性：存在，使得 ( r 一甩) 越是的正交基，即 = s p a n # ( t 一力) ，上o 一刀o 一删) 出= 瓦一 七 多分辨分析理论为正交小波变换提供了数学上的理论基础。 5 5 3 正交小波变换 小波理论包括连续小波变换和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在 很多问题，因为两者都存在信息冗余。在对信号采样以后，需要计算的信息 量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都 做计算。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间 没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。 在定义了多分辨分析以后，我们把函数空间r ( r ) 分解成一组全嵌套的函 数空间集合，下面我们简单的介绍一下正交小波变换： 由于 力。一( 功 肋。z 是p ( r ) 的标准正交基，所以对于任意厂r ( r ) ，都有 ，o ) = ( 厂，秀，溉一 ) ( 5 2 1 ) j , n e z 称为厂0 ) 的小波基数。正交小波变换的结果是在不同尺度小波基上的展 开系数，是离散的。 常用的小波函数有：h a i r 小波，d a u b e c h i e s 小波，s y m l e t s a 小波族， b io r t h o g o n a l 小波族，m o r le t 小波等。 3 r 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 6 基于小波分解的三维表面纹理自相似编辑 我们对已有的二维纹理编辑方法进行了改进，研究了一种操作在小波变换 的小波系数上的三维表面纹理编辑方法，根据小波系数的相关性，实现了三维 表面纹理的自相似编辑。 我们提出的基于小波分解的三维表面纹理自相似的编辑方法是一种简单快 速的纹理自相似编辑方法。从对三维表面纹理进行小波变换后的小波系数角度 进行分析，对于小波分解系数的自相似性进行研究，找到他们之间的相似关系， 来实现基于自相似的三维表面纹理编辑。在该方法中，我们利用多尺度邻域来 找到图像小波分解系数的相似性关系，即由一幅纹理图像的自相似邻域去编辑 不同光照方向相同观测角度下的所有图像，最终实现了图像纹理着色、纹理混 合、纹理变形及重光照等编辑操作。 6 1 算法描述 基于小波分解的三维表面纹理自相似的编辑算法描述如下： 1 、准备采样纹理 需要准备三维表面纹理的各维度表现数据图，作为采样纹理。本文实验所 使用的每组结构纹理图像都是视角固定，光照角度变换拍摄到的不同的图像。 视角是在纹理的正上方垂直与纹理所在的平面。第一组( 海绵) 是s l a n t 角度 变化，t i l t 角度不变，1 - 3 8 幅图片。第二组( 石头) 和第三组( 电路板) 都是 s l a n t 角固定为4 5 度，变换t i l t 角度( o ，9 0 。，1 8 0 。, 2 7 0 4 ) ，拍摄的图片，即第 二组是s l a n t 角度固定不变，t i l t 角度变化的图片。 2 、提取三维表面表现数据 纹理图片采集完毕以后我们需要提取表面表现数据，利用采集到每一组的 不同光照角度的图像，提取三维表面纹理表示，本章实验中采用的方法是小波 变换方法。 我们以不同光照下的同一纹理( 图片大小为n * n 像素) 的多幅( m ) 图像为 研究对象，将其看成是m * n * n 维大小的向量，对这m 幅纹理图片的同一个位置 3 9 基于小波分解和纹理基元的三维表面纹理编辑 ( 共有n * n 个) 的像素点进行小波分解，然后对分解的小波系数进行压缩，保 留有用的低频信息，再对这些低频小波系数做相似性度量，找到与输入指定位 置的像素邻域相似的小波系数，通过一次改变输入像素的小波系数从而自动改 变图像中的与输入像素邻域相似的小波系数值，最后对整个图像的小波系数进 行重构，实现了对图像的纹理编辑。即通过对纹理根据自相似特征进行一次性 编辑操作而绘