（机械设计及理论专业论文）多自由度粘弹性传动带系统非线性动力学的研究.pdf

摘要 粘弹性传动带系统是将原动机的电机或发动机旋转产生的动力，通过带轮由带 传送到机械设备上，它是设备的核心联结部件，种类异常繁多，用途极为广泛。传 动带系统在高速运转时，将会产生很大的横向振动，皮带中的张力呈现出周期性的 变化。因此在传动带系统中必须考虑非线性因素的影响。研究传动带系统的动力学 建模、横向非线性振动及其控制问题具有着重要的理论意义和实际应用价值。目前 对传动带系统的研究多集中在对单自由度和二自由度系统的线性和非线性振动研 究上，对于多自由度系统非线性振动的研究还比较少。本论文主要研究了传动带三 自由度和四自由度系统的非线性动力学问题。主要内容有以下几方面： 综述了传动带系统的工程背景，传动带系统动力学问题的研究现状。 综合运用多尺度方法和g a l e r k i n 离散法对三自由度和四自由度传动带系统的非 线性振动进行分析。先利用多尺度法摄动分析得到偏微分形式的平均方程，然后对 偏微分形式的平均方程进行g a l e r k i n 离散，分别取模态数为三和四，得到三自由度 非线性系统和四自由度非线性系统的平均方程。 根据四自由度非线性系统的平均方程得出了它的频幅响应方程，利用数值模拟 方法得出了四自由度系统在1 ：2 ：3 ：4 内共振情况下的共振响应曲线。 利用数值模拟方法研究了三自由度和四自由度非线性系统的混沌运动，给出了 二维平面和三维空间中的相图。根据计算结果，发现固定一组参数而只改变参数激 励时，三自由度非线性系统运动的变化规律是周期一混沌一概周期交替变化。四自 由度非线性系统运动的演变过程是混沌周期一概周期一混沌概周期一周期一 混沌。 关键词 多自由度传动带系统；g a l e r k i n 方法；多尺度方法；共振响应曲线；混沌 运动 。i 苎塞三些奎兰三耋堡i 圭兰堡兰耋釜。，。，。一 a b s t r a c t v i s c o e l a s t i cd r i v eb e l ts y s t e m st r a n s m i tt h ep o w e rb r o u g h tb yam o t o r o re n g i n et o m a c h i n et h r o u g ht h ep u l l e y s t h e r ea r em a n yk i n d so ft h ev i s c o e l a s t i cd r i v eb e l ts y s t e m s w h i c hh a v eb e e nw i d e l yu s e db e c a u s eo ft h e i ri m p o r t a n c ei nm e c h a n i c a la n dv e h i c l e e n g i n e e r i n g d e s p i t em a n ya d v a n t a g e so fv i s c o e l a s t i cb e l td r i v ed e v i c e s ，t r a n s v e r s e n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sa s s o c i a t e d 、v i t l lt h ed e v i c e sh a v el i m i t e dt h e i ra p p l i c a t i o n s i ti s f o u n dt h a tt h et e n s i o ni n t h eb e l tm a y c h a n g ep e r i o d i c a l l y s o ，t h en o n l i n e a rf a c t o r sm u s t b ec o n s i d e r e dw h e nd e s i g n i n ga n dc a l c u l a t i n gt h ed r i v eb e l ts y s t e m s a tp r e s e n tt h e s t u d i e so nt h ev i s c o e l a s t i cd r i v eb e l ts y s t e m sc o n c e n t r a t eo nt h el i n e a ra n dn o n l i n e a r v i b r a t i o n so fo n eo rt w od e g r e eo ff r e e d o ms y s t e m t h e r ea r eaf e wr e s e a r c h e so n n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n so fm u l t i - d e g r e e f r e e d o ms y s t e mi nt h ev i s c o e l a s t i cd r i v eb e l t s y s t e m s t h en o n l i n e a rd y n a m i cp r o p e r t i e so fm u l t i d e g r e e f r e e d o md r i v eb e l ts y s t e m s a r ei n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s t h ee n g i n e e r i n gb a c k g r o u n da n dt h er e v i e wo ft h er e s e a r c h e s0 1 1t h ev i s c o e l a s t i c d r i v eb e l ts y s t e m si sg i v e ni nc h a p t e r1 b o t ht h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sa n dt h eg a l e r k i na p p r o a c ha r es i m u l t a n e o u s l y u t i l i z e dt of i n i s ht h ep e r t u r b a t i o na n a l y s i so nt h ee q u a t i o n so fm o t i o nf o rt h ev i s c o e l a s t i c d r i v eb e l t s y s t e m f i r s t ，t h em e t h o do fm u l t i p l e s c a l e si su s e dt ot r a n s l a t et h e n o n a u t o n o m o u sg o v e r n i n ge q u a t i o n so fm o t i o nt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a la v e r a g e d e q u a t i o n t h e n ，t h eg a l e r k i nm e t h o di sa p p l i e dt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a la v e r a g e d e q u a t i o ny i e l d i n g6 - d i m e n s i o n a la n d8 - d i m e n s i o n a la v e r a g e de q u a t i o n s t h e a m p l i t u d e f r e q u e n c yr e s p o n s ee q u a t i o n s o ft h e f o u r d e g r e e - o f - f r e e d o m n o n l i n e a rs y s l e ma r eo b t a i n e df r o mi t sa v e r a g e de q u a t i o n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r e g i v e nt oo b t a i nt h er e s p o n s e - f r e q u e n c yc u r v e so faf o u r d e g r e e o ff r e e d o ms y s t e mi nc a s e o fl ：2 ：3 ：4i n t e m a ir e s o n a n c e t h ec h a o t i cm o t i o n so ft h r e e d e g r e e o f - f r e e d o ma n dt h ef o u r - d e g r e e o f - f r e e d o m n o n l i n e a r s y s t e m s a r e i n v e s t i g a t e db y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h e p l a n e r a n d i i t h r e e d i m e n s i o n a lp h a s ep o r t r a i t sa r eg i v e n t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ec h a n g i n g p r o c e d u r eo fm o t i o nf o rh ev i s c o e l a s t i cd r i v eb e l ts y s t e mw h e np a r a m e t r i ce x c i t a t i o n i n c r e a s e s t h ec h a n g i n gp r o c e s so fm o t i o nf o rt h et h r e e d e g r e e o f - f r e e d o mn o n l i n e a r s y s t e mi sf o l l o w s ：t h ep e r i o d 珂m o t i o n t h ec h a o t i cm o t i o n 手t h eq u a s i - p e r i o d i c m o t i o n t h ec h a n g i n gp r o c e s so fm o t i o nf o r t h e f o u r - d e g r e e o f - f r e e d o ms y s t e mi s f o l l o w s ：t h ec h a o t i cm o t i o n - t h ep e r i o d m o t i o n - - t h eq u a s i p e r i o d i cm o t i o n t h ec h a o t i cm o t i o n 斗t h eq u a s i - p e r i o d i cm o t i o n 斗t h ep e r i o d nm o t i o n 寸t h e c h a o t i cm o t i o n k e y w o r d sm u l t i - d e g r e e - f r e e d o md r i v eb e l ts y s t e m ，g a l e r k i nm e t h o d m e t h o do f m u l t i p l es c a l e s ，r e s p o n s e f r e q u e n c yc h iv e s ，c h a o t i cm o t i o n s m - 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：鳖冁地堕兰i 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阗；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢燃跏鲐盟吼型立! i 第1 章绪论 本章概述了粘弹性传动带系统的的工程背景，介绍了在实际工程中的应用，粘 弹性传动带动力学研究过程中的建模方法，轴向运动弦线模型目前的一些研究成 果，以及传动带耦合振动的研究现状。简要介绍了本论文计算所采用的动力学模型， 以及根据该模型所建立的动力学方程，最后给出了全文的主要内容。 1 1 前言 粘弹性传动带系统是将原动机的电机或发动机旋转产生的动力，通过带轮由带 传送到机械设备上，故又称之为动力带。它是设备的核心联结部件，种类异常繁多， 用途极为广泛。从大到几千千瓦的巨型电机，小到不足一个千瓦的微型电机，甚至 包括家电、电脑、机器人等精密机械在内都离不开传动带。它的最大特点是可以自 由变速，远近传动，结构简单，更换方便，所以从原始机械到现代自动设备上都有 传动带的身影，产品历经多次演变技术目臻成熟。v 型带自从1 9 1 7 年首次由美国 制成汽车风扇带，2 0 年代初开始推广用于工农业机械之后，半个多世纪以来久盛 不衰，发展十分迅速。现已成为世界各种机械装置动力传动和变速的主要部件，在 当今农机、机床、汽车、船舶、办公设备等广泛领域发挥着日益重要的作用。平带 是传动带最老的一个品种，也以结构简单、传动方便、不受距离限制、容易调节更 换等特点在各种工农业机械中得到普遍采用。 粘弹性传动带系统在高速运转时，将会产生很大的横向振动，皮带中的张力呈 现出周期性的变化。因此在传动带系统中必需考虑非线性因素的影响，而且是一个 时变的非线性系统，呈现出分叉和混沌现象。由粘弹性材料制成的传动带，例如汽 车发动机中的皮带驱动系统，磁带存储装置中的磁带，由于这些材料具有强烈的时 间、温度和频率效应等，理论分析和定量计算都很困难。由于需要考虑粘弹性材料 的非线性特性，以及主动轮、从动轮和张紧轮的影响，因此粘弹性传动带系统的动 力学建模和非线性动力学分析是比较复杂的，也引起了国内外学者的极大关注。虽 然对线性牯弹性传动带系统动力学分析已趋于完善，但非线性振动问题和有效的数 值方法研究仍有大量有待于解决的问题，成果也很少。 1 2 粘弹性传动带系统动力学问题的研究现状 粘弹性传动带系统的振动是多年来倍受关注的课题，至今仍然是比较活跃的研 究领域，文献 1 - 4 】给出了该领域的研究综述。下面分别以不同的角度介绍传动带系 统的研究进展。 1 2 1 对轴向运动的传动带建模的研究 传动带系统的振动包括转动振动和横向振动两类。转动振动是带轮绕固定的中 心振动，轮间的带作弹性伸缩。横向振动是轮问的皮带横向往复振动，与振动弦线 类似。传动带的振动根据其弯曲刚度的不同可以分别简化为两秘模型，即轴向运动 弦线和梁。如果弯曲刚度可以忽略不计，则系统简化为弦线振动，反之简化为梁的 振动。 g a r z i e r a 5 用二自由度的线性模型研究带的横向振动，得出了磁带正常运转的边 界条件为 w ，f ) _ 。，。= v 孰。= 。 其中d 为两个带轮之间的距离。这个结论说明了带的零速率在振动过程中有显著的 减幅作用。s u w e k e n 和h o r s s e n n 研究了弦线方程的初值问题，其结论可以用作速率 随时间变化的传动带横向振动的简单模型，他们所建立的系统动力学方程如下 v + 2 i ，v ：f + l v ，+ 怔y 2 c2 如“= 0 其中v ( x ，r ) 是带在y 方向的位移，v 是速度中随时间变化的部分，c 是速度中不变 的部分。为了表现该系统复杂的动力学特性，他们作出了函数曲线。 u l o s y 和p i e r r e 7 1 在理论和实验两个方面对传动带系统的局部振动进行了研究， 采用两个模型分别对系统进行理论分析：一个是简单模型， 另外个是由w a n g 和m o t e 【8 】提出的较为复杂的模型，对两个模型所得到的结果进行比较，并分别给出 实验结果的比较，结果一致。h w a n g 等嘲对汽车驱动系统建立了非线性模型并预测 了带的打滑条件 杀嘉筹裟畿一忙，们， ( z 一叫r ? e ；) u + 凹r ? o2 】0 坤一1 ) 一 a b r a t e 研究了传动带的轴向、横向和扭转运动的动力学特性，分别建立了自由 振动和受迫振动的模型，讨论了初始力、传动速度、弯曲刚度、支承弹性和位移等 因素的影响，并提出了一些新的观点。m i r a n k e r 1 0 1 研究了距离为l 的带轮之间带的 横向振动，得到传动带以非恒定的速度在轮间运动的方程。计算表明系统的能量并 不守恒，因此系统与外界有能量转换。h w a n g 和p e r k i n s s 1 1 1 建立了绕在两个带轮之 间的连续传动带的非线性平面运动模型，分析了系统的非线性响应，并用实验验证 第1 章绪论 了理论结果。u w e k e n 和h o r s s e n 【l2 j 研究传动带的弱非线性横向振动，他们假设带以 缓慢随时间变化的速度运动，用k i r c h h o f f 方法可以简化耦合系统的偏微分方程为 一个独立的方程，并用多尺度法求方程的近似解，结论证明带速波动的频率对带的 动力学特性起重要作用。发现在线性系统中带的波动频率等于两个自由频率之和是 线性系统会产生振动的结论在弱非线性系统中已经不再适用，得出弱非线性可以使 系统稳定的结论。 1 ，2 2 轴向弦线运动的研究成果 在忽略带的弯曲刚度后，可以将带的模型简化为轴向运动弦线。轴向运动弦线 的研究起源于1 8 9 7 年s k m c h 1 3 】的工作，现在已经有了很大的进展。 轴向运动弦线早期的工作主要讨论振动的频率对各种具体激励的岛应。 s k u t c h u 3 利用两个波反向传播的方法得到了该系统的基频。s a c k 【1 4 3 研究了一端受简 谐纵向位移激励时运动弦线横向振动的响应，由共振关系得到了系统的固有频率。 m a h a l i n g a m 【l5 】以轴向运动弦线为力学模型研究动力传输链的振动，得出共振振幅随 轴向运动速度减小的结论。a r c h i b a l d 和e n s i i e “t6 1 用变分原理建立了运动弦线的动力 学方程，并分析了轴向运动对固有频率和本征函数的影响。w i c k e r t 和m o t e t n l 采用 连续陀螺系统模态分析的方法确定了轴向运动对一般激励的响应，系统的动力学方 程为 m 等+ g 粤十k u ：f ( 1 - 2 ) 其中m 为恒等算子，陀螺算子g 和刚度算子k 分别表示为 g = 2 v 豪，世一0 - v 2 蓐出c k 在给定边界的条件下，导出了系统的本征值和本征函数，并用模态分析的方法 给出任意作用力满足初始条件的响应。 m o t e ”t8 j 首先考虑轴向运动弦线中的约束问题，研究了运动弦线端点的弹性对振 动固有频率的影响。s c 蝎e r 【1 9 1 绘出在弹性支承闯轴向运动的弦线的固有频率和模态 的近似解。p e r k i n s 和m o t e 2 0 给出了精确解。z h u 和m o t d ：2 1 1 研究了受一单侧约束时 。运动弦线对任意分布力和边界激励的瞬态响应，采用模态分柝的方法，在刚性约束 s 和柔性约束的情形，分别导出系统的时滞方程和时滞积分方程，时滞积分方程在不 ：计约束惯性时可以退化为时滞微分方程。b h a t 等2 2 1 应用有限差分方法对弹性基础上 运动弦线的自由振动进行了研究，用数值方法分析系统的运动。p e r k i n s 2 3 1 分别研究 了具有多个离散的弹性支承在连续的弹性基础上运动弦线的自由振动及对端点简 北京工业大学工学硕士学位论文 谐运动的稳态响应。h u a n g 等【2 4 】研究了具有局部反馈的轴向运动弦线，指出当负指 数趋近于零时横向振动减弱时边界控制获得最佳增益。结论对运动弦线振动的控制 提出了建设性的建议。 除一些早期工作”外，轴向运动弦线的空间振动研究较少。h u a n g 等乜8 1 研究 了轴向运动弦线3 维运动由于轴向力周期涨落导致参数振动的稳定性。此外，对于 匀速轴向运动弦线的横向非线性振动也可建立能量变化关系并定义守恒量。2 。 1 2 3 耦合振动的研究现状 在传动带的运动过程中，通常有带的横向振动与转动振动的耦合。耦合振动也 是近年来传动带系统的研究热点。 对于耦合振动最早进行研究的是u l s o y 等【3 0 ，他们考虑了带的横向振动与张紧 装置振动的耦合，发现张力涨落导致参数振动不稳定性，产生了带的大幅横向振动。 u l s o y 3 l j 建立了轴向运动的动力学方程，并求出方程的近似解，进行了数值仿真。 w i c k e r t 和m o t e 3 2j 研究了弦线与其他部件的耦合振动，将工程中具有非均匀分布质 量的运动弦线模型简化为附加一质点的运动弦线，首先将这一系统的自由振动问题 依据弦长的不同归结为弦线中行波在质点处的反射和在质点处衔接的两弦线，前者 用谐波散射法求解，后者在质点质量及弦线轴向速度较小时可得到本方程组的渐进 解，一般情形可用g a l e r k i n 方法离散后数值求解。 耦合振动较为重要的工作出现于9 0 年代后期。b e i k m a n n 3 3 】等用模态截断和数 值方法研究了非线性祸合振动。他们利用模态函数进行模态展开而将耦合的非线性 偏微分方程离散化为常微分方程组，用r u n g e k u t t a 法进行数值仿真，发现了一种 强耦合机制，转动占优模态导致动态张力的张落，通过1 ：2 内共振激起带的大幅 横向振动。这一结果也得到实验的验证。z h a n g 和z 1 1 1 3 4 1 用多尺度法分析非线性耦合 振动，他们直接用多尺度法研究连续体的振动，发现2 阶空间解与系统的线性模态 函数不同，因此该方法能得到比基于系统模态函数展开方法更准确的结果，特别是 1 ：1 内共振的情形，两种方法显然存在差别。对于某些调谐参数，系统出现h o p f 分叉，表明系统可能存在复杂的分叉现象。z h a n g 和z u 3 5 。3 6 1 发展了模态分析方法， 研究一般的线性耦合振动，他们综合m e i r o v i t c h 的离散陀螺系统模态分析法及 w i c k e r t 和m o t e 的运动弦线的模态分析法而提出混杂系统的模态分析法，建立显式 的频率方程，并得到对任意激励的响应和对简单谐激励的稳态响应，数值结果与已 有的实验值吻合良好。他们发现带轴向速度对横向振动占优模态的固有频率有很大 影响，而当轴向速度较小时，对横向振动占优模态影响也较小。w i c k e r t 和m o t e 3 7 】 采用模态分析的方法研究受迫振动的耦合问题，导出耦合系统相互作用力满足的带 第1 章绪论 时滞的v o l t e r r a 积分方程，在质点质量及弦线轴向速度较小时可得渐进解，一般情 形时可求数值解，并进行了实验验证。l e e 和w i n e m a a 【”】以橡胶轴套的振动为模型 研究非线性粘弹性耦合振动的模态响应，明确了轴向运动和扭转运动耦合时的相互 关系，说明了临界值对耦合振动的影响，在这个模型中根据位移和扭转角分别表述 轴向力和扭转力矩，根据边界值的条件得到的数值结果可以建立轴向位移和扭转角 的函数关系，并对己知边界条件的确定耦合模态相应和由所建立模型预测的响应作 出比较，结论一致。b e i k m a n 等1 3 9 1 将动力传输带简化为运动弦线振动与圆盘振动的 耦合，他们研究了不考虑带上激励的情形，利用基h o l z e r 方法的双重迭代求解本征 值问题。 1 2 4g a l e r k i n 方法及研究现状 近年来，各种高分子高强度的聚合材料、人造纤维，如：玻璃、碳纤维等，由 于具有某些传统材料所没有的优点，它们已被广泛地用于各种工程领域，如：桥梁、 建筑、航空、汽车等。这些高强度的人造纤维具有粘弹性特性，其动力特性相当复 杂。随着高聚物材料和复合材料的广泛采用，粘弹性理论的研究“”4 7 1 愈来愈受到重 视。而结构稳定性问题是动力系统稳定性研究的一个重要方面，特别是混沌和分岔 等非线性动力学理论的发展为结构稳定性的研究提供了新的方法和观点。g a l e r k i n 方法【4 8 却j 是一种广泛适用而又不失简洁的简化连续系统动力学数学模型的途径。 。 应用g a l e r k i n 方法建立粘弹性结构简化数学模型的一般过程可作如下概括。首 先利用运动方程、几何关系和本构关系建立力学模型。对于粘弹性材料，若本构关 系用b o l t z m a n n 叠加原理或l e a d e r m a n 关系的积分形式表达时，数学模型为线性或 非线性偏微分积分方程。然后利用g a l e r k i n 方法，由边界条件出发，将方程中的位 置函数在特定的正交函数基上展开并略去高阶项，可将原数学模型简化为线性或非 线性常微分积分方程组。对于特定的粘弹性材料，如标准线性固体，还可以进步 简化得到常微分方程组。在此基础上，可以考察稳定性等动力学行为。 下面综述了采用g a l e r k i n 方法分析粘弹性结构动力学行为的进展。 在g a l e r k i n 截断得到简化模型的基础上，李雅普诺夫指数被应用于研究粘弹性 结构的稳定性“。1 9 9 0 年a b o u d i 等1 5 “首先利用最大李雅普诺夫指数考察了受面内 周期荷载作用小挠度线性粘弹性板的动力稳定性。随后c e d e r b a u m 等 5 2 - 5 3 佣该方法 研究剪切变形复合板和正交层合板的动力稳定性。最大李雅普诺夫指数也应用于粘 弹性柱的动力稳定性研究【5 4 巧“。值得指出的是，对于线性系统，李雅普诺夫指数为 正并不意味着出现混沌，而是意味着系统的渐近动力学行为发散到无穷。 在g a l e r k i n 截断得到简化模型的基础上，近似解析方法也可应用于研究粘弹性 北京工业大学工学硕士学位论文 结构的稳定性。c e d e r b a u m 等【5 6 5 7 1 用多尺度法分别给出了受轴向周期荷载作用的粘 弹性柱和受面内周期荷载作用的粘弹性板的稳定性条件，粘弹性材料均为 v o i g t 固体模型和满足 叠加原理的标准线性固体模型。对于满足_ k e l v i n b o l t z m a t m l e a d e r m a n 关系的非线性粘弹性材料，陈立群等采用平均法建立了粘弹性柱和板在 平衡状态失稳时而发生h o p f 分岔的荷载幅值的临界条件口8 。5 9 】，这些条件与数值实 验的结果一致。 d r o z d o v 等1 6 0 - 6 2 对超音速流动气体中线性粘弹性板的工作表明，采用g a l e r k i n 截断得到的稳定临界荷载的条件略高于用其他理论分析得到的临界荷载。这说明工 程闯题中采用g a l e r k i n 方法可给出偏于安全的结果。 n a g u l e s w a r a r l 和w i l l i a m s 6 】用静止弦线本征函数进行4 阶g a l e r k i n 展开发展了 确定参数共振不稳定的数值方法。p a k d e m m i 和u l s o y 6 4 1 研究轴向速度速度为固定 值上附加小周期性涨落情形的运动弦线的参数振动，对于主共振问题，分别用先模 态离散化再多尺度展开的方法和直接对偏微分方程多尺度展开的方法，得到稳定区 域边界，对于组合共振问题，在模态离散化的基础上用多尺度法分别得到和型组合 共振和差型组合共振的稳定区域边界。 l i q u nc h e r t 等1 65 研究轴向运动的粘弹性弦线的有序和混沌振动，利用k e l v i n 模型建立了系统的动力学方程，对方程进行g a l e r k i n 离散，并作出了四个自由度的 p o i n c a r e 图形进行分叉、混沌等特性分析。h u a n g 【6 6 j 等研究了轴向弦线3 维运动， 由于轴向力周期涨落导致参数振动的稳定性，利用g a l e r k i n 方法将连续系统转化为 离散系统，然后用离散陀螺系统模态分析方法进行解耦，用多尺度方法分别导出非 共振和组合共振时不稳定条件。l i u 和h u a n g 用g a l e r k i n “7 1 方法建立了轴向传动带 不稳定时的特性的公式。p a k d e m i r i 等【6 m 研究了轴向速度周期变化时弦线横向振动 的稳定性，采用g a l e r k i n 方法将偏微分方程截断为常微分方程，然后用数值方法计 算h o q u e t 乘子判断稳定性，并将数值结果与含小参数时经典的解析结果进行比较， 发现由于陀螺项的存在，偶数阶g a l e i k i n 截断得到较好的结果，分别进行的2 阶， 4 阶，6 阶，8 阶截断比较，高阶截断给出较好的结果。 1 3 本文的主要研究内容 1 3 1 本课题的来源 本课题来源于来源于国家自然科学基金( n o 1 0 3 7 2 0 0 8 ，1 0 3 2 8 2 0 4 ) 和北京市自 然科学基金( n o 3 0 3 2 0 0 6 ) 资助项目。 粘弹性传动带由于在运动过程中可以忽略弯曲刚度，因此其动力学模型可以简 第1 章绪论 化成为具有粘弹性特性的轴向运动弦线1 6 9 1 ，如图1 1 所示。 图1 - 1 系统模型 f i g u r e l - 1m o d e lo f t h es y s t e m 选取两个支撑之间长为l 的带段为研究对象。假设材料是均匀的，变形前垂直 于带轴线的横界面在变形后仍垂直于变形的轴线，带的模型服从e u l e r b e r n o u l i 理 论。考虑传动带运动过程中线性阻尼的影响。假设传动带中的张力周期变化，可以 表示为t = r 0 + tc o s q t 。选取粘弹性材料的本构关系。”7 “为k e l v i n 模型，如图卜2 所示 它的基本本构关系是 图2 - 2 k e l v i n 模型 f i g u r e 2 2k e l v i nm o d e l 口= e s + r l k 可以建立传动带系统的非线性动力学方程为 w t t + 2 7 w 。+ p 2 1 一口c 。s f h 。+ 2 ，一；e 、w = - 2 ew ，_ 。 一e 嵋w 。= 0 ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) ! ! 童三些奎兰三兰堡圭耋兰窒篁! ：一，；：，：，。 1 3 2 本课题要解决的问题 对于上述已经建好的动力学方程，研究其非线性特性。目前对于传动带非线性 特性的研究主要集中在单自由度和二自由度，本课题将研究三自由度和四自由度系 统的非线性动力学的特性。首先用多尺度法和g a l e r k i n 法得到三自由度系统和四自 由度系统经行摄动分析，得到振动的平均方程，然后对平均方程的共振响应曲线和 混沌运动进行数值模拟，并比较模态数不同的两个系统的数值结果。 1 3 3 本文的内容安排 第1 章是绪论，概述了传动带系统的的工程背景，介绍了在实际工程中的应用， 粘弹性传动带研究过程中的建模方法，轴向运动弦线模型目前的一些研究成果，以 及传动带耦合振动的研究现状，并介绍了g a l e r k m 截断和基于g a l e r k i n 截断的传动 带系统的研究现状。 第2 章用多尺度法和g a l e r k i n 法对三自由度系统的传动带系统进行摄动分析， 得到振动的平均方程。 第3 章用多尺度法和g a l e r k i n 法对四自由度系统的传动带系统进行摄动分析， 得到振动的平均方程和幅频响应方程。根据幅频响应方程作出四自由度传动带系统 的共振响应曲线。 第4 章对三自由度系统的平均方程的混沌运动进行数值模拟。 第5 章对四自由度系统的平均方程的混沌运动进行数值模拟。根据第四章得到 的三自由度系统的混沌运动的数值模拟结果。 最后在结束语中，对全文进行了总结，提出了可能存在的问题和进一步的研究 方向。 ，：董! ：茎三! 星量量篓竺! ! 童篁坌塑。，。，：。： 第2 章三自由度系统的非线性分析 本章将研究三自由度传动带系统的非线性动力学特性。首先介绍了非线性动力 学中几种常用的摄动分析方法，然后先用多尺度法对动力学方程摄动分析得到偏微 分形式的方程组，接着用g a l e r k i n 离散得到三自由度系统在1 ：2 ：3 内共振情况下振 动的平均方程。 2 1 摄动方法 对非线性振动问题的研究，特别是对工程技术中出现的非线性振动问题的研 究，一般从两个方面进行研究。一是实验研究，根据原理相似的条件，建立机械( 或 电子的】模型，研究各种参数对振动特性的影响，以及研究解的稳定条件。实验研究 可以验证理论，也是进一步研究理论的基础。另一方面是理论研究，这是非线性振 动研究中的主要方面。由于科学技术的发展的迫切需要，非线性振动理论目前已经 获得了迅速的发展。由于非线性微分方程的特点，在非线性振动理论中没有适应各 种不同类型方程的通用的解析方法，目前仅有少数的非线性振动方程可以求得精确 解。为了尽可能深入了解系统的非线性振动特性，已经硕究出不少有效的近似方法， 摄动法即是其中的一种。摄动方法的中心思想是，设法按某种人为的特定步骤，构 造出一个渐近的解析表达式，以代替难于求出的微分方程定解问题的精确解。对于 构造出的解析表达式希望满足两点要求：第一、能反映出微分方程问题解的主要性 质；第二、在数值上与欲求的解十分接近。目前已有很多摄动方法发展的比较成熟， 例如：小参数法、林特斯蒂脱小参数法、多尺度法、慢变参数法、k b m 法、g a l e r k i n 法、谐波平衡法等。 本章综合利用多尺度法和g a l e r k i n 法对动力学方程( 1 。4 ) 进行摄动分析。由于直 接用g a l e r k i n 法对动力学方程进行离散计算过程中会丢掉陀螺项，因此必须先用多 尺度法离散成偏微分方程组，然后对偏微分方程组进行g a l e r k i n 离散。 2 1 1 多尺度法 多尺度方法7 2 彤是6 0 年代发展起来的一种摄动方法，是奇异摄动理论中最有 成效的方法之一，被广泛地应用于自然科学和工程技术的许多非线性问题。多尺度 方法的基本思想是根据变量的变化不同，来区分快慢时间尺度，将响应的展开式考 虑成为多个时间变量，即多个时间尺度的函数，而不是单个时间变量的函数，这种 北京工业大学工学硕士学位论文 把解展开成多个时间变量函数的方法称为多尺度方法。多尺度方法具有很多优点， 例如，可以方便地处理许多类型的系统。 按照 瓦= s “r = 0 ，1 ，2 ，)( 2 - 1 ) 引进一些新的时间变量，因此关于时间t 的导数变成为如下的微分算子，即有 旦：导孕+ 导亟：d o 十幽十”， d t0 五西a zd t 1 矛d 2 = ( d o + 幽+ ，) 2 = 瑶+ 2 蛾d l + s 2 ( d 1 2 + 2 d o d 2 ) + ， ( 2 。2 ) 假定解可以表示成形如 的展开式。所需的独立的时间尺度的个数取决于此展开式精确到哪一阶项。如果展 开式精确到o ( c 3 ) 阶，那么需要瓦、互和疋三个时间尺度。 2 1 2g a l e r k i n 法 g a l e r k i n 方法可将偏微分方程近似为常微分方程组。该方法也可以用于常微分 方程，将其近似为代数方程组后求解。 对于非线性的偏微分方程 凹雾+ 。( w ) = 。 f 2 4 、 式中d ( w ) 关于工的非线性偏微分算子 方程( 2 - 4 ) 的解空间具有无限维。g a l e r k i n 方法的基本思路是取一组满足边界条件的 形状函数中，0 l ，= 1 , 2 ，n ，构造 w g ，f ) = ( p ，( x h ，t ) ( 2 5 ) r = l 将( 2 5 ) 式代入方程( 2 - 4 ) ，方程残差反映了残余力。为了尽量减小残余力，可以 选择未知函数q ，0 lr = 1 , 2 ，胛，使残余力关于各形状函数( p ，g ir = 1 ，2 ，n ，对应 的位移平均作功为零，即 詈!量：! 董璺三! 呈璧童篓墼：! 堡篁坌丝，! f 砉竹。) a o ) + 。( 喜仍。) g m 卜g 陋= 。，s 乩z ，n ( 2 _ 6 ) 这显然是竹个关于未知函数g ，( f ) ，= l “2 一，n 的二阶常微分方程。 这样，通过g a l e r k i n 方法就达到了将连续体离散化，将偏微分方程转化为常微 分方程组的目的，从而可以进行后续的分析。 2 2 用多尺度法进行摄动分析 运用多尺度法进行摄动分析，引入质量、陀螺和线性刚度算子如下 m = ，g = 2 ，昙， 盘k = ) 鲁怕昙 为了应用多尺度方法，引进小参数，令 盘专锄，卢寸掣，e _ c e 。，e ，哼e 。 把式( 2 7 ) ( 2 8 ) 带入式( 1 4 ) a 缈。+ g v 。+ k w 。= 跗c 。s c o t w , 。一2 c k t w ，+ 昙巨w ：一。+ 2 c e , w ，。 设式( 2 9 ) 的一致渐进解为 + 啦w 2 ：v 。，= 0 w g ，f ，f ) = g ，兀，墨) + “e ，瓦，巧) + 式中瓦= t ； z = 甜 微分算子为 j d ：d 。+ 如1 + o ( e2 ) d f 豢叫2 + 2 d o d ，+ o 妒) 式中d 。= o a r ， = o ，1 将式( 2 - 1 0 ) - ( 2 1 1 ) 代入式( 1 4 ) ，令等式两边同次幂的系数相等，得到 s o 项： ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 佗一1 l a ) ( 2 1 1 b ) 北京工业大学工学硕士学位论文 坳：w o + g d o w o + k w o = 0 ( 2 1 2 ) s 1 项： 0 m d 2 w i + g d o w l + k = 一2 m d o d l w o g d l w o + a c o s o t w o ，“一2 a g o w o + i 。j 止。2 ：w 0 ，且 z + 2 e v w 0 4d 0 1 , 9 。，”。，。+ e 。”。2 ，d 。w o n 2 3 用g a l e r k i n 法对系统离散 ( 2 一1 3 ) 引进模态函数，对系统进行g a e r k i n 离散。方程( 2 ，1 2 ) 的通解可以用复数形式 表示为 式中 3 正，x ) = ，g 汕，( 正) e m + c c j = 1 = 压s i n ( k 瓜) e ( “ k ：1 ，2 ，3 式中c c 前一项的复共轭 考虑1 ：2 ：3 内共振，共振关系为 1 3 - 2 i 卅盯- ，甜z 铷+ e o z ，0 ) 32 主叶盯s 将( 2 - 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 4 - e n ( 2 1 3 ) ，并合并同类项： m d 2 0 w 1 + g d 。+ 砜：r 。伍，x “”卢 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 1 ( 2 1 6 ) + r ：伍，。) e 如+ m + r ，伍，。) e g t + 枷一) + 知4 e i i 码。蛾私。q ) 脚b 式中船7 1 不产生长期项的所有项 r 1 ，22 f m 五t o ) l g f f i 一2 枷i p , j a l 0 9 1 + ( 3 e 。+ f 嘶。 3 i2 y 掣? 互+ ( 2 y i 2 ? + 4 y i 蟛) 4 4 夏+ ( 2 妒；2 。o + ，妒，t r v 地乌呜- - + 匿e + f ( 2 吁鸭k 弦小z 咖彬) 镐e 啦一硼 + 医巨+ f b ，一2 出，归v p ：2 蜡+ 2 妒：“吖) 刁呜e 忆一h ) 。 ( 2 1 8 a ) - 1 2 ：董：，耋三! 里堡量鎏墼耋耋塞坌堑，。，!，： r ：= 一：村妒：_ z c 0 2 - g y 2 1 2 - 2 i h 2 a 2 c 0 2 + 1 3 e + i c 0 2 e ，) 3 y ；2 1 4 ：2 一- - ： + ( 4 v ：y ：w + 2 y i 2 妒；h 五4 + ( 4 v ；v ；9 3 + 2 v ；2 y ；k 呜互】 + 3 e o + 2 i ( c o ，+ ，一0 ) 2 ) e 。如；缈；：+ 妒；y i v ? + y ：缈i y ；1 4 l 互3 e 7 ( t + 。一2 f ：) 。 ( 2 8 b ) r ，= 一2 肘3 c 0 3 - g 掣也一2 啦4 q + f ；也+ i c