（计算机软件与理论专业论文）基于多尺度边缘检测的图像测量研究.pdf

西华大学硕士学位论文 基于多尺度边缘检测的图像测量研究 计算机软件与理论专业 研究生蒋爱德指导教师罗晓晖 随着数字图像采集技术和处理技术的飞速发展，图像已成为人们获取信息的 重要途径，应用图像的相关信息对产品的几何信息做出相关评定也就成了图像处 理的夏要内容。图像测量技术就是近年来在测量领域中形成的新的测量技术。它 以光学为基础，融光电子学、计算机技术、激光技术、数字图像处理技术为一体， 组成光、机、电、算综合的测量系统。所谓图像测量就是测量被测对象时，把图 像当作检测和传递信息的手段或载体而加以利用的测量方法。 基于图像处理的图像测量是一种很新、很先进的测量方法，目前己广泛于几 何量的测量、航空等遥感测量、精密复杂零件的微尺寸测量和外观检测，以及光 波干涉图、应力应变场状态分布等和图像有关的技术领域中。对于图像测量来说 如果想提高系统的精度，可以提高硬件设施等。但改善硬件设施具有很大的限制， 而利用软件算法具有方法简单、有效等特点。因此，研究图像测量的软件算法很 有实际意义。 图像测量系统的测量原理是通过处理被测物体图像的边缘而获得物体的几何 参数。可见在图像测量系统中，图像的边缘提取是测量的基础和关键。本文根据 图像测量中对图像边缘提取要求噪声少，边缘连贯性强且定位精度高的特点。同 时根据近些年发展起来的小波分析的一些特点：如小波分析在时空域中分辨率随 频率的大小而调节，低频粗疏，高频精密，这样就可以通过一定途径将信号与噪声 分离；小波变换对奇异特性尤为敏感，使得它更适应检测图像的边缘和细节。根 据以上这些特点，本文将小波分析运用到图像测量中，对被测量图像进行边缘检 测。同时根据m a l l a t 多尺度的思想，利用能抑制噪声的大尺度得到的边缘指导能 精确定位的小尺度得到的边缘，最后得到测量图像的噪声少，连贯性强，定位精 西华大学硕士学位论文 确的图像边缘。 本文的研究目的是一些图像的几何量的测量，对于图像测量系统的硬件部分 不是本文研究的重点。本文针对的是怎样对采集到的图像利用小波分析理论对图 像进行测量。 关键词：小波分析多尺度图像测量 i i 西华大学硕士学位论文 i m a g em e a s u r e m e n tr e s e a r c hb a s e d m u l t i s c a l ee d g ed e t e c t i o n c o m p u t e rs o f t w a r e & t h e o r y m d c a n d i d a t ea i d ej i a n g s u p e r v i s o r x i a o h u il u o a l o n gw i t ht h er a p i dd e v d o p m e mo fd i g i t a li m a g eg a t h e r i n ga n dp r o c e s s i n g t e c h n o l o g y , i m a g eh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tw a yf o rp e o p l et og a i ni n f o r m a t i o n ，a n di t h a sa l s ob e c o m ea l li m p o r t a n tc o n t e n to ft h ei m a g e p r o c e s s i n gt om a k et h ec o r r e l a t i o n e v a l u a t i o nu s i n gt h ei m a g ei n f o r m a t i o nt ot h ep r o d u c t g e o m e t r yi n f o r m a t i o n m o r e o v e r i m a g em e a s u r e m e n tt e c h n o l o g yi s an e w t e c h n o l o g yi nm e a s u r e m e n td o m a i ni nr e c e n t y e a r s i tt a k e so p t i c sa sf o u n d a t i o n ，c o m b i n i n gp h o t o e l e c t r o n i c s ，c o m p u t e rt e c h n o l o g y , l a s e rt e c h n o l o g y , a n dd i g i t a li m a g e p r o c e s s i n gt e c h n o l o g ya sab o d y , c o m p o s i n gj j 曲t ， m a c h i n e ，e l e c t r i c i t y , c a l c u l a t i o nt ot h er e s u l t a n tm e a s u r e m e n ts y s t e m t h es o c a l l e d l i n a g em e a s u r e m e n ti st h em e a s u r i n gt e c h n i q u et h a ti m a g ei st r e a t e da sd e t e c t i o na n d t r a n s m i s s i o ni n f o r m a t i o nm e t h o do rc a r t i e rw h i c ht ob eu s e dw h e nm e a s u r i n gt h e o b j e c t sm e a s u r e d i m a g em e a s u r e m e n tb a s e do ni m a g ep r o c e s s i n gi sav e r yn e wa n da d v a n c e d m e a s u r i n gt e c h n i q u e ，a tp r e s e n t ，i ta l r e a d yw i d e l ya p p l i c a t i o ni ng e o m e t r y , a v i a t i o na n d r e m o t es e n s i n gm e a s u r e m e n t ，p r e c i s ec o m p l e xc o m p o n e n t sm i c r os i z em e a s u r e m e n t a n do u t w a r da p p e a r a n c ee x a m i n a t i o n ，a sw e l la sl i g h tw a v ei n t e r f e r e n c ef i g u r e ，s t r e s s s t r a i nf i e l dc o n d i t i o nd i s t r i b u t i o n t e c h n o l o g yw i t hi m a g er e l a t e da r e a s t oi m a g e m e a s u r e m e n t ，i fw ew a n tt oe n h a n c et h es y s t e mp r e c i s i o n ，w em a ye n h a n c et h e h a r d w a r ef a c i l i t ya n ds oo n b u ti th a sh u g el i m i tt o i m p r o v e m e n th a r d w a r ef a c i l i t y , w h i l et h em e t h o du s i n gs o f t w a r ea l g o r i t h mi ss i m p l y , e f f e c t i v ea n ds oo n t h e r e f o r e ， r e s e a r c ho fi m a g em e a s u r e m e n ts o f t w a r ea l g o r i t h mh a sp r a c t i c a ls j g i l i f i c a n c ev e r y 1 1 1 西华大学硕士学位论文 m n c h p r i n c i p l eo fi m a g em e a s u r e m e n ts y s t e mi st om e a s u r eg e o m e t r yp a r a m e t e ro ft h e o b j e c tt h r o u g hp r o c e s s i n gt h ee d g e so fi m a g e s oi m a g ee d g ed i s t i l l i n gi s t h e m e a s u r e m e n tf o u n d a t i o na n dk e yi ni m a g em e a s u r e m e n ts y s t e m t h i sp a p e ra c c o r d st o d i s t i l lt h ei m a g ee d g et h a tr e q u k ef e wn o i s e ，e d g ec o n t i n u i t ys t r o n ga l s oo r i e n l a t m n a c c u r a c yh i g hc h a r a c t e r i s t i ci ni m a g em e a s u r e m e n t a tt h es a m et i m ea c c o r d i n gt o w a v e l e ta n a l y s i ss o m ec h a r a c t e r i s t i c s w h i c hd e v e l o p e di nr e c e n t y e a r s ：i j k et h e r e s o l u t i o ni nw a v e l e ta n a l y s i sa 埘u s t si nt h et i m ez o n ea l o n gw i t ht h ef r e q u e n c ys i z e l o wf r e q u e n c yi sc a r e l e s s h i g hf r e q u e n c yi sp r e c i s e t h es i g n a la n dn o i s ea r e s e p a r a t e db yac e r t a i nw a y ；w a v e l e tt r a n s f o r me s p e c i a l l yi ss e n s i t i v et op a i rs t r a n g e c h a r a c t e r i s t i c ，w h i c hm a k ei tt oa d a p tt od e t e c tt h ei m a g ee d g ea n dd e t a i l a c c o r d i n gt o a b o v et h e s ec h a r a c t e r i s t i c s ，w a v e l e ta n a l y s i si su s e di ni m a g em e a s u r e m e n tt oc a r r yo n e d g ed e t e c t i o n a tt h es a m et i m ea c c o r d i n gt om a l l a tm u l t i - s c a l et h o u g h t ，u s i n gt h e e d g eb yt h eg r e a ts c a l ew h i c hc a nc o n t r o ln o i s ei n s t r u c t st h ee d g eb yt h es m a l ls c a l e w h i c hc a nl o c a t ea c c u r a t e l y , f i n a l l yw eo b t a i nt h en o i s et ob ef e w , c o n t i n u o u s ，p i n p o i n t i m a g ee d g eo fi m a g em e a s u r e d r e s e a r c hg o a lo ft h ep a p e ri sg e o m e t r yq u a n t i t ym e a s u r e m e n to fs o m ei m a g e s r e g a r d i n gt h eh a r d w a r ep a r to fi m a g em e a s u r e m e n ts y s t e mi sn o tt h ek e yw h i c ht h i s p a p e rs t u d i e s e m p h a s e so ft h i sp a p e ra r eh o w t ou s et h ew a v e l e ta n a l y s i st h e o r yc a r r i e s o ni m a g em e a s u r e m e n tt oi m a g e sg a t h e r e d k e yw o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，m u l t i s c a l e ，i m a g em e a s u r e m e n t 西华大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景及意义 随着科学技术和工业生产的发展，对物体的表面轮廓、几何尺寸、体积、粗 糙度、各种模具及自由曲面的测量工作越来越多，精度的要求越来越高，而传统 的接触测量由于不能对高辐射、易碎性、高温等材料进行测量，并且由于测量精 度差，测量时间长和对被测物体的干扰性大而存在很大的局限性。非接触测量【1 l 方法不仅可以减少对被测物体的干扰，而且还可以对被测物体表面的凹缝、死角 等细微部分得到准确的数据，因此作为测量技术的重要发展方向之一，非接触测 量技术已得到广泛的应用。图像测量1 2 】就属于非接触测量方式的一种，而测量技 术的发展是伴随制造业的发展而发展起来的。由于制造业的发展，加工出来的零 件越来越复杂；由于新材料、新工艺的应用，对特殊条件下( 如高温、高压或者 易脆性) 的工件的测量越来越多，而作为非接触测量方式的一种，图像测量因其 方便快捷、精度高、成本低等优点越来越受到人们的关注。作为一种主要的非接 触测量方法，图像测量它已经广泛地应用到外观检测、工业检测、生物医学等领 域。 图像测量的实现要靠图像测量系统来完成，而图像测量系统的处理过程有两 个任务：数据采集和数据处理。数据采集包括原始图像的采集和初始值的采集。 数据处理是利用图像测量原理和图像处理的各种技术，对采集到的图像进行处 理，计算物体图像的各种参数。从运作过程来看，可以将图像测量系统分为：成 像过程、图像处理过程及目标定位过程。而从整个测量系统出发( 大多数情况下 为目标精确定位后的加工) 还将有个反馈控制过程：从数字图像中得到目标精确 位置后根据实际要求调整目标位置，即定位控制调整一定位的一个循环过 程，直到达到要求的精度为止。在图像测量过程中，如何提高系统的测量精度始 终是一个急待解决的难题。如果想提高测量系统的精度，一般有改善硬件设施和 改进软件系统两种主要的方法。但改善硬件设施有时候受设备、技术、环境、资 金等影响，具有很大的限制，而改进软件算法具有操作性强、成本低，受环境影 西华大学硕士学位论文 响小，无须改动硬件设施等特点，成为人们提高测量系统精度的首选方法。而在 软件算法中，边缘检测技术的效果将直接决定图像测量系统的精度。然而随着现 代科技的发展和现代工业对微细加工技术需求的增加，传统的边缘检测技术已不 能够满足测量精度要求。因此，研究图像测量的软件算法很有实际意义。 1 2 图像测量技术 图像测量技术 3 1 是以现代光学为基础，融光电子学、计算机图像学、信息处 理、计算机视觉等科学技术为一体的现代测量技术。图像测量就是测量被测对象 时，把图像当作检测和传递信息的手段或载体加以利用的测量方法。其目的是从 图像中提取有用的特征信号，图像测量的重要课题是正确的测量和处理图像。测 量时，由光学测量系统、图像输入设备和计算机，在线非接触的获取大量被测工 件的原始图像，应用图像处理技术对原始图像进行处理，获取图像的边缘点数据 并进行数据处理，从而获得物体的几何参数。并根据工件的测量要求，计算出其 指定尺寸的测量结果。 1 2 1 图像测量系统 平台 f i g u r e1 1 s t r u c t u r es k e t c h o fs y s t e m 图1 1系统结构简图 2 号 西华大学硕士学位论文 图像测量系鲥4 硬件系统和软件系统。 a ) 硬件系统 采用摄像头的控制系统的结构如图1 1 所示。硬件系统由、照明设备、c c d 摄像头、图像卡、微机、控制器、驱动器和步进电机等组成。摄像头取得的视频 信号传到图像卡，经计算机处理，然后发信号给控制器，控制器再驱动步进或伺 服电机，从而形成一个闭环控制。在这样一个系统中，图像处理是关键，所有的 反馈量都是经图像处理后得出。 b ) 软件系统 软件系统由系统软件和图像测量分析软件组成。其中系统软件包括计算机操 作平台、图像卡接口软件、控制驱动程序软件。图像测量软件实现对图像的预处 理、图像边缘提取、边缘拟合及对几何参数的测量等，根据测量结果指导控制系 统的动作。本课题的研究对象主要集中在图像测量软件算法原理分析及实现上。 1 2 2 图像测量的现状、趋势及意义 目前，我国精密测量技术和仪器的现状仍然远远不能满足国内机械装备制造 业迅速发展的需求，尤其是在先进测量技术和仪器的基础理论研究、公共性关键 技术的开发方面与国外的差距越来越大。当前产品结构老化，品种和规格多年来 变化甚少，产品性能及可靠性提高不明显，高新技术及其相应产品开发速度缓慢。 尤其突出的是缺乏自主创新的技术和特色产品。近两年，由于制造业的复苏，特 别是我国汽车制造业的快速发展，带动了测量技术和相关产品的研究开发力度。 由于市场情况明显好转，使得一些产品甚至出现了供不应求的局面。在此大好形 势下，行业企业纷纷抓紧机遇，进行生产和技术开发，取得了一些可喜成绩。 目前图像测量技术正朝着高精度、高测量速度、高可靠性以及提高操作性能 和功能多样化的方向发展。另一个很有发展前途的发展方向是将模式识别、人工 智能和神经网络等技术引入图像测量系统，使之具有识别、测量、分析等多种功 能。就软件系统而言，测量软件功能应得到增强和扩展，发展方向【5 】大致如下： ( 1 ) 测量软件已从“被动”的测量数据处理和单个产品质量评定，发展为 “主动”的生产过程加工质量的监控和故障诊断：测量仪器精度补偿软件和加工 机床参数反馈调整软件的开发，为实现“零废品”制造提供了技术支撑； 西华大学硕士学位论文 ( 2 ) 相同或不同类型多传感器海量测量数据的集成融合技术，大大提高了要 求工程的制造质量并缩短了开发周期； ( 3 ) 对虚拟测量技术和虚拟仪器( 虚拟量仪) 的研究不断深入，产品不断更 新。 利用计算机图像识别及处理技术进行测量具有许多独特的优点 6 1 ，概括起来 有以下几个方面： a ) 用计算机图像识别及处理技术所进行的工件测量，是远距离测量，不接触 待测产品，所以不会对产品造成人为的损害； b ) n 用计算机所进行的产品图像测量具有直观性强的特点； c ) n 用计算机图像识别及处理技术进行产品图像测量，可以避免个人的精神、 疲劳、视力、体质等自身主客观条件及许多假想因素的干扰，测量效率高； d ) 测量标准客观，容易做到检测标准的统一。 1 3 本论文所做的工作 1 3 1 研究的主要内容 由于现代工业技术的飞速发展，对测量的要求越来越多，传统的人工测量技 术不能或很难对一些特殊条件的工件进行测量。本论文针对三类研究对象的系列 图像进行测量，这些研究对象都是用传统方法难以进行测量的，本论文通过运用 图像测量技术对这些传统方法难以测量的图像进行测量，通过对这些研究对象的 实际测量，深入研究边缘检测技术在图像测量中的应用效果，并使算法做到相对 完善。本论文研究的重点放在软件算法的运用和改进上，硬件系统不是本论文研 究的重点。 下面是需要进行测量的图像，所获取的每类图像都是系列图像，这里只分 别列出每一类图像中的一张。 4 西华大学硕士学位论文 f i g u r e1 2c l e a r a n c em a a g eo f u p a n dm o u l d 图1 2 上、下模间隙图像 这是一个工件的上、下模装配时的图像，在装配过程中随时需对上、下模进 行调整，使工件装配合乎标准。由于是在装配过程中，不方便对其手工测量，这 里利用图像测量技术获取上、下模之间的间隙值，然后反馈给步进电机对上、下 模型进行自动调整。从图中可以看出，由于上、下模表面的粗糙性，在图像测量 过程中进行边缘检测时容易获取许多我们不想要的边缘，这是这类图像测量的难 点。 f i g u i e1 3 f r o n ta n d b a c k h o l e si m a g e 图1 3 前、后孔配准图像 西华大学硕士学位论文 这是一个工件的前、后孔配准时的图像，由于前、后孔都是有一定深度的长 型孔，在装配过程中也难以对其手工测量。我们运用图像测量技术分别获取前、 后孔的圆心偏移量来指导它们的装配。而由图可以看出，由于光照不均和工件表 面的原因不容易提取图像的边缘，这是这类图像测量中的难点。 f i g u r e1 4l o w - b e a ml i g h ti m a g e 图1 a近光灯光照图像 这是车前灯光照图像，由于灯光的明暗性，也是不容易进行手工测量。这类 图像测量的难点是采集的图像光照不均造成图像边缘的难以提取。 由于传统的方法难以对这些图像进行测量，所以我们运用了图像测量技术， 而图像测量系统的测量原理1 7 j 是通过处理被测物体图像的边缘而获得物体的几何 参数。可见在图像测量系统中，图像边缘提取是测量的基础和关键，尤其是边缘 检测的效果将直接决定图像测量的精度。经典的边缘检测技术 8 1 是考察图像的每 个像素的某个领域内灰度的变化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导数变化规律， 用简单的方法检测边缘。目前常用的一阶导数算子有r o b e r t 算子，p r c w i t t 算子， s o b d 算子。二阶导数算子有拉普拉斯算子( l a p l a c e ) 。但这些算予对噪声很敏感， 它们对噪声的响应往往大于边缘的响应，由上面我们需要测量的图像来看，噪声 对图像的影响很大，所以我们用经典边缘检测算法提取图像的边缘很难满足图像 测量的要求。最近二十多年来，迅速发展起来的小波( w a v e l e t ) 理论为图像处理带 来了新的理论和方法。本文的研究重点是利用小波分析理论在图像处理方面所具 有的极大潜力，并根据m a l l a t 多尺度的思想，找出一种有效的能够符合人类视觉 特性的边缘检测方法。因为由于物理和光照原因，实际图像中的边缘常常发生在 西华火学硕士学位论文 不同的尺度上，并且每一个边缘的尺度是未知的，利用单一固定尺度的边缘检测 算子不可能同时最佳的检测出这些边缘。实际上，小尺度参数的边缘检测算子能 够检测出灰度发生的细变化，而大尺度参数的边缘检测算子能够检测出图像的粗 变化。并且，相同类型的边缘在不同尺度上存在着因果关系。因此，利用多尺度技 术检测边缘是获得理想边缘检测的一个好途径。所谓多尺度边缘检测，就是有效 组合利用多个不同尺度的边缘检测算子同时正确的检测一幅图像内发生在各个 尺度上的边缘。最后，根据检测到的边缘拟合并测量对象的几何特征。 1 3 _ 2 软件算法流程及软件界面 根据整个图像测量的要求我们设计整个软件系统流程图如下： f i g u r e l 5 f l o w c h a r t o f s o f t w a r es y s t e m 图1 5软件系统流程图 我们对输入的图像首先进行预处理，目的是去除噪声，突出感兴趣的i 虱像的 特征。接着进行图像测量的重点，即多尺度小波边缘检测获取图像的完整的，连 续的边缘。然后对得到的边缘点进行拟合及相应的图形生成。最后对拟合后的图 形进行测量。 根据流程图设计的程序的界面如下： 由 西华大学硕士学位论文 f i g u r e1 6 i m a g em e a s u r e m e n t s o f t w a r ec o n l a c t s u r f a c e 图 1 6 图像测量软件界面 综上所述，根据算法的流程及研究的重点将本文分为六章： 第一章绪论 说明本课题的选取背景及研究意义，阐述了图像测量的研究现状及发展趋 势，最后对课题研究的内容及研究重点、难点进行了分析，并对整个算法的流程 进行了设计。 第二章小波理论及其在图像边缘检测中的应用 是本课题研究的重点，小波理论及其在图像边缘检测中的应用进行了深入的 分析，并列出了多尺度小波边缘检测的流程。 第三章边缘点拟合及图形生成 对边缘检测后获取的图像边缘点进行相应的拟合，并将拟合后的结果将图形 生成出来，本章介绍了拟合和图形生成的一些知识。 第四章图像预处理 由于原始图像包含大量的噪声，不容易直接提取图像的边缘，所以需要对原 图像进行预处理，本章介绍了本课题研究中用到的预处理的一些知识和算法。 第五章基于多尺度小波边缘检测的图像测量 8 西华大学硕士学位论文 利用前几章提到的理论编写程序对本课题研究对象进行图像测量和分析。 第六章结论与展望 对算法的局限性和将来努力的方向进行了简单的阐述。 西华大学硕士学位论文 2 小波理论及其在边缘检测中的应用 2 1 小波分析的由来及发展1 9 1 1 1 0 】 小波分析的发展历史晟早可追溯到1 9 1 0 年h a r t 提出的小波规范正交基，不 过当时还没有“小波”这个概念。1 0 世纪3 0 年代，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分组理论( l - p 理论) ，这是多尺度分析思想的最早来源。 1 9 4 6 年，g a b o r 提出的窗口f o u r i e r 变换( 也称短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变 换的不足起到了一定的作用。后来c a l d e r o n ，z y g m u n d ，s t e i n 和w e i s s 等人将l - p 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。1 9 6 5 年，c a l d e m n 给出了再生公 式。1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对h a r d y 空间日给出了原子分解。1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他早先提出的再生公式给出了h 1 的原予分解，这一公式己成为许多函数分解 的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还没得到组成正规正交系的结论。 1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a r r 系进行了改进，构造了一组具有指数衰减且有限次连 续可微的正交基，这些工作为小波分析奠定了基础。1 9 8 4 年，m o f l e t 在分析地震 波的局部性时，发现传统的f o u r i e r 变换不具有时频局部性，很难达到实际需要， 因此他首先提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这_ - - 概念，并把它用于信号分解中。 随后，g r o s s m a n 对m o r l e t 的方法进行了研究。 真正的小波热开始于1 9 8 5 年。当时m e y e r l 8 】创造性的构造出了一个具有一定 衰减性的光滑函数妒( z ) ，其二进制伸缩和平移生成的函数系 伽j , k 0 ) _ 2 i 2 妒( 2 0 x 一七) ；七a z 构成了l 2 ( r ) = f c x ) 砷j ；，r i 舡) 1 2 d ) 【 。2 ，o 嵫( t ) d t ( 2 1 1 ) ( 巧) ，。) f 2 通常t 的逆不存在。如果存在常数0 c a ，bc + 0 0 ，使得 制卜。毳肌，) | 2s 制1 2 ( 2 1 2 ) 西华大学硕士学位论文 则函数族缈， ：j ，女z 称为一个框架。这时可以建立从小被系数重建原函数的 数学方法。特别地 m = 去c ，砷必) + r ( 2 1 3 ) 其中，r 为余项，i g b o ( 三一1 ) l l f i i 。 一般而言，小波函数族是相关的。如果函数族如， ： t z 是线性独立的， 则称似似：，七z ，为正交小波基。若 = 6 伽 ( 2 1 4 ) 则称为规范正交基。 1 消失矩性质 由小波变换定义可知，小波函数妒( f ) 满足 p ( f 冲= 0 一般地，若对于所有0 s ks m ，( m 为非负整数) ，均有 f t p ( t ) d t = 0 ( 2 1 5 ) r 而 户”v o 矽t o ( 2 1 6 ) 则称妒o ) 的消失矩为m 。 小波函数均有非负的消失矩。消失矩越大，则基于这样的小波所对应的函数 分解对信号压缩越有利。因为一般函数都可以由多项式函数逼近( t a y l o r 定理) 。 消失矩性质表明了，次数不大于m 的多项式在小波分解后，对应的分支都归于零。 2 正交性质 设妒( f ) 为小波函数，却j ，。：j ，七z 构成一组规范正交基a 并设 ( ，妒肚) = d 卅 ( 2 1 7 ) 1 4 西华大学硕士学位论文 若同时还有重构关系： 厂o ) = d ，一j , k ( f ) ( 2 - 1 8 ) 则妒o ) 称为正交小波。 若，o ) 一d j , k o j , k o ) ，但存在函数驴o ) ，使得对于任意的，( f ) r 僻) ， 若 ( ，妒，。) = d jk ( ，乒肚) 一五。 则 f ( o = d ，。矿j , k o ) = 五- 妒t o ) ( 2 1 9 ) 则称渺卅：，k e z 为船 ：，七z 对偶基，原小波基似：j , k e z 称为双正 交小波基( 或半正交小波基) 。正交小波在信号分解时，具有独立性，对于提取信 号的特征以便进行模式识别很有用。 3 紧支撑性质 设妒o ) 为小波函数，如果它的支集s u p p 缈) 有限，称妒o ) 为紧支撑小波。 紧支撑小波变换可以刻画信号的局部特征，这对于分析和描述突变信号很有用。 4 对称性 如果小波函数为对称的或反对称的，则对应的小波基称为对称小波基。对称 小波基用于小波变换，可以保持重要纹理位置不变。这对于多尺度边缘检测、或 运用多尺度方法进行目标跟踪有利。 2 3 多分辨率分析 多分辨率分析【1 1 l ( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sm r ，又称为多尺度分析，是建 立在函数空问概念上的理论。其创建者s m a l l a t 是在研究图像处理问题时建立这 套理论的。1 9 8 5 年m e y e r l l 日正交小波基的提出，使得m a l l a t 想到是否用正交小波 基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度问的“信息增量”。这种想法 导致了多分辨率分析理论的诞生。 西华大学硕士学位论文 2 3 1 尺度函数与尺度空间 定义函数o ) l 2 ) 为尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) ， 丸0 ) ；妒( f - k ) 满足仇o ) ，丸t o ) ) = 屯 ，k z 定义：由纯o ) 在工2 僻) 空间张成的闭子空间为， k = s p a n 庐k ( t ) ，七z 若其整数平移系列 称为零尺度空间 对于任意，p ) 有厂p ) 2 ；吼呶( f ) 同小波函数相似，我们假设尺度函数 庐( f ) 在平移的同时又进行尺度的伸缩，使我们得到了一个尺度和位移均可变化的 一 函数集合：丸。o ) = 22 妒( 2 t 一七) = 靠( 2 一f ) ( 1 ) 则称每一固定尺度，上的平移系 p 蜘k ( 2 一f ) 所张成的空间k 为尺度为j 的尺度空间1 3 1 ： y j = 印n 协( 2 1 f ，k z 由此，尺度函数庐( f ) 在不同尺度下其平移系列张成了一系列的尺度空间 曰。由( 1 ) 随着尺度，的增大，函数妒似( f ) 的定义域变大，且实际的平移间 隔( 2 j r 1 也变大，则它的线形组合式不能表示函数( 小于该尺度) 的细微变化，因 此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。相反，随着尺度的减小，函 数妒，。( f ) 的定义域变小，且实际的平移间隔( 2 j a r ) 也变小，则它的线性组合( 2 ) 便能表示函数的更细微( 小尺度范围) 变化，因此其张成的尺度空间所包含的函数 增多( 包括小尺度信号和大尺度缓变信号) ，尺度空间变大。 多分辨率分析的四个基本要求： 函数对其积分变换是正交的。 由低尺度的尺度函数跨越的子空问在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子 空间内，包含高分辨率函数的子空间必须同时包含所有低分辨率函数。也就是说， k 。c c v ，c c 嵋c c 圪，此外，这些子空间还满足直观条件，即， 如果f ( x ) y ，那么f ( 2 x ) 。 包含在所有v i 中的函数是厂( x ) = 0 。 任何函数都可以以任意精度表示。 1 6 西华大学硕士学位论文 2 3 2 多分辨率概念的引入 若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于 将照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目 标，只能看到目标大致的概貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观 测到目标的细微部分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及 精地观察目标。这就是多尺度( 即多分辨率) 的思想。 定义：多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 ，j e z ： 1 ) 一致单调性： c c k c 旷】c k ： 2 ) 渐进完全性：n = o ) ；u _ ；工2 僻) i e zi z 3 ) 伸缩规则性：，o ) f ( 2 t ) e j e z 4 ) 平移不定性：f ( t ) e 一f ( t n ) ，对称所有n z 5 ) 正交基存在性：存在k ，使得仰p n ) ) 。是的正交基，即 ；s p a n d p ( t 一，1 ) ) ，正一n ) 妒( 卜m ) d t = 6 。一 由多分辨率的定义知道t 所有的闭予空间形 j z 都是由同一尺度函数妒伸缩 后的平移系列张成的尺度空间。 2 4 信号的多尺度边缘特征 1 5 】 理想的边缘检测应当正确解决边缘的有无、真假和定位定向。但真正实现这 一目标尚有较大的难度，这是因为：( 1 ) 实际图像都含有噪声，并且噪声的分布、 方差等信息也都是未知的，同时噪声和边缘都是高频信号，虽然平滑滤波运算 可消除噪声，但它导致一些边缘模糊，检测出的边缘往往移位。( 2 ) 由于物理和 光照等原因，实际图像中的边缘常常发生在不同的尺度范围上，并且每一边缘像 元的尺度信息是未知的，利用单一固定尺度的边缘检测算子不可能同时最佳地 检测出这些边缘。下面就分析信号的多尺度边缘特征。 西华大学硕士学位论文 2 4 1 小波变换模极大值( 或过零) 点同信号突变点之间的关系 2 4 1 _ 1 一维函数的小波变换 当平滑函数o ( x ) 满足ro ( x ) a x = 1 ，且l i m 0 0 ) = 0 时，定义： j 一” 妒4 ( z ) = d p o ) 出，1 ；f - 6 0 ) = d2 口 ) 出2 。可以证明，妒4 0 ) 和妒6 ) 是小波，因 为广。o ) = o 和r 6 ) = 0 。用尺度因子s 对妒( x ) 作伸缩后得到的函数， j oj 一“ 记为：妒，( x ) ：! 妒( 羔) ，则在s 和位置z 处，函数，( 工) l2 ( r ) 的 小波变换定义为： w ，4 厂( z ) = ，t 妒? ( z ) ，6 ，( x ) = ，* 妒? ( 工) ( 2 2 0 ) 可以推导出 矽。6 ，( 工) ；， ，。( 5 d o ) ( 工) ：s d - _ ( ，+ 口，) ( 工) 积 o x t ( s 2 五d 2 丁0s ) ( 工) = 52 矿d2 ( ，+ 臼，) ( 工) 陀2 1 ) 从( 2 2 1 ) 式可得出：。4r ( x ) 的局部极值( t o e a le x l r e m u m ) 对应于 ，6 ，( x ) 的零交叉点和，s0 ，( x ) 的拐点。当s 较大时，t0 ，( x ) 将 滤掉小的信号波动，也就是模糊了信号的细节，因此只能检测大尺度范围内的信 号变化，这在视觉处理系统中相当于远距离的“粗看”。由此我们可知，当小波 函数看作某一平滑函数的一阶导数时，信号小波变换模的局部极值点对应于信号 的突变点( 或边缘1 。当小波函数看作某一平滑函数的二阶导数时，信号小波变换 模的过零点( z e r o - c r o s s i n g ) ，也对应信号的突变点( 或边缘) 。实际上，当取0 ( f ) 为高斯函数时，过零点检测就等效为m a r r - h i l d r e t h 边缘检测i “】，而极值点对应于 c a n n y 边缘检测。这两种方法相似，但是比较来说，用局部极值点进行检测更 具优越性：由于函数，。0 。( z ) 的拐点既对应于它的一阶导数模的极大值点， 又对应于极小值点，而i 彤，。，( z ) i 的极大值点( f 。，t ：) 是对应信号快变化点 的位置，而i ，4f ( 工) i 极小值的点( t 。) 对应变化最慢的位置，所以但凭检测 西华大学硕士学位论文 二阶导数的过零点，很难区分是信号的突变点还是缓变点。此外，过零点只给出 拐点的位置信息却不能给出变化点的快慢信息。另外，通过记录模极大值点在各 个尺度上的取值，可以推测出拐点处的导数值，从而得到信号变化快慢的信息。 接下来介绍一下平滑函数的二阶导数函数如何求突变点( 或边缘) 的极值点。 f ( t ) f4 0 a u ) 啊， ，5 ) f ( u ，s ) f 厂 r 炎 。 r厂 f i g u r e2 1 ( ， p ) ) d e r i v a t i v e 图2 1 ( ，* 口) 0 ) 的各阶导数 2 4 1 2 二维函数的小波变换 当0 ( x ，y ) 为二维平滑函数时，图像，( x ，y ) 和不同s 的0 ，( x ，y ) 卷 积将使图像，( x ，y ) 被模糊化。定义： 妒( 石，_ ) ，) ：旦j 掣，妒z ( 工，y ) ：旦j 掣 d x d y 妒：( x ，y ) = 妒1 ( 兰，旦) ，妒；( x ，) ，) = 丁1 sssl f ，2 ( ， ) 一 s 一5s 式中妒1 ( x ，y ) ，妒2 ( x ，y ) ，妒：( x ，y ) ，妒? ( x ，y ) 为二维小波。 西华大学硕士学位论文 ，2 f ( x ，y ) ；f + 妒：( z ，y )( 2 2 3 ) 在二维情形下，对于1sks2 ，f l2 ( r2 ) 的二进小波变换为： ，( “儿2 ) = ( ，( x ，y ) ，妒：k ，x 一“，y 一“) ) = ，+ 妒- - ：k ，( “，v ) ， 若( ) ；寺日f 寺，寺1 虻小川= ( 一x , - - y ) 哎，= 2j 百0 02 1 ，砰- 2 j 等 ( 2 2 6 ) 由上式导出，j 、波变换分量是正比于由( ，作用于f 的梯度矢量的坐标值， 孑：； ：j 2 z考：!：3 zj 可r c ，吒，c “，v ，q 2 7 ， m f ( “，v ，27 ) = 陟1 ，( “，v ，27 ) i2 + i w2 ，( “，v ，2 ，) i2 ( 2 2 8 其角度等于