（飞行器设计专业论文）飞机连接接头的细节应力分析与优化设计研究.pdf

万f 歹主乒乎硪士学位论文 要 摘要 飞机结构中由于设计需要以及制造工艺i l l 限制等因素，不可避免的要使用 连接接头来实现不同构件闯的连接以及载荷的传递和分配。然而，接头的紧固 件孔边是结构应力集中最严重的地方之一，而应力集中又是导致结构强度降低 和疲劳破坏的重要原因。正确分析接头的整体受力特性以及孔边应力分布特征， 是设计减小其应力集中的基础与关键。 由于孔边的受力属于接触问题，使得该区域的力学特性表现出非线性特征 圆，从而使接头部位的孔边细节应力分析变得非常复杂。本文应用子模型技术 3 1 ， 通过对接头结构接触模型进行细致的有限元网格划分，获得了精细的孔边应力 分布数值结果。 实际中的飞机连接接头往往是由多排标准的连接件实现连接的。本文对典 型的多排沉头螺钉接头建立了三维有限元接触分析模型，对螺钉的钉载分布在 截面等厚度和变厚度、无预紧力和加预紧力多种情况下进行了数值计算分析， 给出了诸多实用化钉载分布规律。 论文还应用子模型法对某无入杌机翼前后段连接接头的截面构形进行了优 化，使各列铆钉上的钉载趋于均匀。为降低紧固件孔边应力集中奠定了设计分 析基础。在此基础上，采用子模型接触分析技术，对孔边应力分布进行了精细 的有限元数值分析 4 1 ，获得了孔边应力集中及其应力分布的详细计算结果。通 过本文的设计分析，达到了减轻结构重量以及降低连接接头各钉孔边应力集中 的双重工作目标，得到了若干具有工程意义的结论。 【关键词】连接接头，接触非线性，有限元分析，子模型方法，构形优化 万, j r 歹主幺学磺士学位论文 a b s t i 1 c t a b s t r a c t d u et ot h ed e s i g nr e q u i r e m e n ta n dt h el i m i t a t i o no fa i r c r a t tm a n u f a c t u r i n g , j o i n t s 黜u n a v o i d a b l yn e e d e df o rt h ec o n n e c t i o n so fd i f f e r e n ta s s e m b l i e s a n d i n t e r n a lf o r c e sp a s sa n dd i s t r i b u t i o n t h ea r o u n d - h o l ev i c i n i t yo fj o i n t si so n eo f s 缸 e s sc o n c e n t r a t i o n5 0 u r c e ，a n dp r o n et ol e a d i n gt o $ t r u c t u r a as t r e n g t ha n df a t i g u e f a i l u r e t h e r e f o r e ，i ti se s s e n t i a lf o rt h ed e s i g na n dl i f ei m p r o v e m e n to ft h ej o i n t st o c a r e f u l l ys t u d yt h ed e t a i l e dc h a r a c t e r i s t i c sa n ds h _ c s sd i s t r i b u t i o na r o u n dh o l eo ft h e j o i n t s j o i n tc o n n e c t i o nm a n i f e s t st y p i c a ln o n l i n e a rc o n t a c tm e c h a n i c a lf e a t u r e w h i c h m a k c $ i tc o m p l i c a t e dt oa n a l y z et h es t r e s sd i s t r i b u d o na tt h i sr c g i o r l t h i st h e s i s a p p l e sf i n i t ee l e m e n tf i e ) m e t h o da n dc o m p u t a t i o n a ls o f t w a r e t ob u i l dt h e n u m e r i c a lm o d e lo f t h e j o i n t s ，a n dr e f i n e st h em e s ha n db o t m d a l r yo f j o i n th o l e - a r e a b yf es u b - m o d e lt e e l a n i q u e s o m er e f i n e da r o u n d h o l es 1 1 e 5 $ d i s t r i b u t i o nr e s u l t sa l e o b t a i n e dt l u m e r i e a l t yw i t ha i do f t h ef et e e t m o l o g ya n dc o m p u t a t i o n t h er e a l w o r l dj o i n t si nt h ea i r c r a f ts m l e t u r eu s u a l l yc o n s i s to fm u l t i - r o w f a s t e n e r s t h i st h e s i sb u i l d st h e3 df ec o n t a c ta n a l y s i sm o d e lo fat y p i c a la i r c r a f t j o i n t w i t ht l l r e c - r o wc o u l l t e l s u n ks c r e w s a n ds t u d i e sp i n - l o a dd i s t r i b u t i o na n ds t r e s s c h a r a c t e r i s t i c su n d e rc o n s t a n ta n dv a r i e dc r o s s - s e c t i o nt l a i e k n e s s e sa sw e l l 蠲w i t h a n dw i t h o u tp r e - t i g t l t e ns c i e wc o n d i t i o n sf o rt h ej o i n t m a n ya p p l i e dp i n - l o a d n u m e r i c a ld i s 乜 i b u t i o nl a w sf o rd i f f e r e n tc o n d i t i o n si nt h ej o i n ta 聆r e c o g n i z e d t l a et h e s i sa l s o a p p l i e sf es u b - m o d e la n dn u m e r i c a lo p t i m i z a t i o nd e s i g n t e c h n i q u e st oc o n d u c tt h ec r o s s - s e c t i o nc o n f i g u r a t i o no p t i m i z a t i o nf o rt h ew i n g s j o i n to fs o m eu n p i l o t e da i rv e h i c l ep r o j e c t , w i t ht h el i g h tw e i g h to b j e c t i v ea n dt h e b a l a n c eo fp i n - l o a dd i s t r i b u t i o na te a c h1 0 ws c l i ：w $ ，w h i c hl a y sa l le x c e l l e n td e s i g n f o u n d a t i o nf o r r e d u c i n g t h ea r o u n d - h o l es t r e s sc o n c e n t r a t i o na n di t sf i f e i m p r o v e m e n t b a s e d0 1 3 f o r e g o i n gw o r k , t h r o u g h2 ds u b - m o d e la c c e s sa n d n u m e r i c a la n a l y s i s ，m o l er e f i n e da r o u n d - h o l es 眈s sd i s l r i b u t i o n sa r co b t a i n e d t h i s r e s e a r e l aw o r kr e a c h e st h ed u a ld e s t i n a t i o mo fd e c r e a s i n gt h ej o i n tw e i g h ta n dt h e s t r e s sc o n c e n t r a t i o n , a n dp r o v i d e s5 0 m cs i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n sf o re n g i n e e r i n g p l a c t i c t ： k e yw o r d s = a i r e r a t l j o i n t ，c o n t a c tn o n l i n e a r i t y , f em e t h o d , s u b - m o d e l , s e c t i o n a l c o n f i g u r a t i o no p t i m i z a t i o n 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：罐6 j 盘丝 研年如i g 指导教师签名 胡年月巧百 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成 果。不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：墨为幽冰 泸7 年3 月2 括 万, j r 歹= ； 乒擎硬士学位黻第一章绪论 第一章绪论 1 1 飞机连接接头及其力学分析特征 接头是飞机结构中常见的结构连接形式，也往往是强度破坏或疲劳破坏首 当其冲的部位之一。尽管人们在努力发展飞机整体性结构以避免接头的产生， 但由于设计、工艺以及经济上的限制，使大量的飞机结构仍采用传统的接头连 接形式来实现不同部位之间力的传递和分配。而大部分接头的出现都会伴随着 孔结构的产生，孔边的受力由于要考虑摩擦和接触问题，使结构孔边周围呈现 出非线性特征，有时为了更大的挖掘接头结构的承载能力，甚至还要考虑结构 局部进入塑性区应力分布，这就更增加了非线性程度以及求解接头接触问题的 复杂性。因此，试图通过直接求解带有边界条件的偏微分方程来得到接头接触 闯题的解析解将是很难，甚至可以说是不可能的。而随着计算机技术的发展和 计算机应用的推广，接触问题的数值方法得到了较大的发展，通过不断细化网 格，有可能得到逼近精确解的数值解。 图1 一l 机翼机身对接接头 影, j r 歹孝破乎爱士学位论文第一章绪论 图1 2 飞机部件连接接头 1 2 接触力学概述 h e i n r i c hh e r t z 在1 8 8 1 年发表了关于简单接触问题的弹性力学理论解论文 嘲，奠定了接触力学的理论基础。一百多年来，接触力学首先在弹性理论中得 到发展和完善，以后逐渐扩展到弹塑性、粘弹性、塑性以及各向异性材料、动 力学和运动学等各种领域，提出了各种接触问题的解法。 1 2 1 接触力学的分类嘲 工程中的接触力学问题是各种各样的，以接触体的材料特性可分为以下几 类： ( 1 ) 弹性物体的接触。主要研究弹性物体和弹性物体的相互接触，弹性 物体和刚性物体之间的接触。在这种情况下，虽然材料的本构关系仍然是线性 的，但却存在着表面单面约束状态下的力边界非线性问题。 ( 2 ) 塑性物体的接触。主要研究材料屈服后的接触，应力应变之间的本 构关系非常复杂化，属于材料非线性和力边界非线性的耦合问题，包括弹塑性 接触、刚性物体和塑性物体之间的接触、塑性物体和塑性物体之间的接触等。 ( 3 ) 粘弹性物体的接触。其中又主要是线性粘弹性物体的接触，应力和 应变仍是线性，但其系数和时间、速率有关。包括粘弹性物体同刚性物体的接 触、粘弹性物体和粘弹性物体之间的接触。 ( 4 ) 可变形固体同液体之间的接触。如机械零件和润滑油膜之间的接触， 属于固体和液体之间的耦合问题。 2 影f 歹孝乒掌硬士学位论文第一章绪论 1 2 2 接触力学问题的解法 接触力学问题有两种求解方法，即解析法和数值法。 ( 1 ) 接触力学问题的解析法 接触力学问题的解析解法又称经典接触力学。经典的h e r t z 型接触问题可 以应用位移势函数或拉普位移函数等求解。一般说来，接触问题属于数学上的 混合边值问题，积分方程是接触力学的主导方程。由于不连续接触边界端点及 各种间断点都可能成为奇点，于是有的主导方程便成为奇异积分方程川。求解 积分方程可以用积分变换，而平面接触问题可以用复变函数求解，即是以半平 面的边界方程作为根据，寻求半平面内部的一个解析函数或者位势函数，从而 得到接触变形和接触应力的计算公式。 经典接触力学只能求一些几何形状比较规则的物体，应用范围非常有限， 但它可以给出封闭的解析解，揭示一般规律。 ( 2 ) 接触力学问题的数值解法 接触力学问题的数值解伴随着计算机的发展而获得越来越广泛的应用，它 可以求解许多复杂的接触问题。但不能得出一般性的函数关系，对于复杂的问 题需要进行专门的研究来开发软件。然而，在工程应用上数值解很有实用价值， 已经取得了许多重要成果例如有限元法、边界元法、有限差分法以及与数值 方法相配合的各种变分法、实变函数法、泛函分析法等。本论文主要讨论接触 问题的有限元法，因为有限元法应用最广泛，可以求解边界条件、几何形状、 载荷方式复杂的工程接触问题。 1 3 结构优化设计技术概况 1 3 1 结构优化设计法的基本概念 从一般意义上讲，优化就是从完成某一任务的所有可能方案中按某种标准 找出最好的方案。各种问题只要存在不同的解决方法，就可以进行优化。“结构 优化设计”就是在满足各种规范或某些特定要求的条件下使结构的某种广义性 能指标( 如造价、重量、刚度或频率等) 为最佳。同一设计任务，可以有多种 不同的可用设计方案，从这些可用的设计方案中选用最满意的方案自然是设计 人员所应当的追求。结构优化设计就是在所有可用的方案中，按某种标准找出 最优方案。 万少歹考乒学硕士学位论文 第一章绪论 结构优化设计方法是在结构设计中应用数学上的最优化理论和计算机技术 的一种设计方法。它将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划方法、准 则法或其他方法，借助于电子计算机的高速运算速度和逻辑判断的巨大能力，从 满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标，自动寻找最优的设计方案的 一种设计方法。用数学语言表达，就是求出某些变量的函数值在一定条件下的极 值( 极大值或极小值) 的问题。这里所要求的变量相当于所要选择方案的参数，在 工程设计中称为设计变量：所要求出函数的极值相当于预定的优化目标；所需优 化的变量的函数称为目标函数：所要满足的条件称为约束条件；求出的变量的解 称为最优解。 1 3 2 优化设计技术的分类与特点 结构优化设计的分类主要有以下几个方面： 按设计变量的性质，可分为连续变量优化设计和离散变量优化设计。 从研究层次上看可有尺寸优化问题、形状优化问题及材料选择、拓扑优化问 题等。 从问题的复杂程度看已从简单的桁架设计发展到梁、板、壳等多种复杂元素 的结构设计；约束从最初的应力、位移，发展到稳定、动力特性等。 随着对工程设计概念例如随机性、模糊性等不确定因素认识的提高，相应的 优化模式也已提出。基于可靠性概念的优化设计、结构模糊优化设计，结构多目 标函数优化设计问题已成为结构优化设计研究中的重要方面阿。 1 3 3 优化技术实用化发展 结构优化设计这门学科领域的研究十分活跃，涉及的领域很广，研究的深 度在不断提高。它的研究内容从相对简单的单元截面尺寸优化扩展到结构形状 优化，以及更高难度的结构拓扑优化嘲。优化的对象从简单结构拓展到大型复 杂结构系统，包括结构力学、结构动力学、空气动力学、声学等多学科的集成 系统优化等等。 有了对各学科、各层次优化设计技术广泛深入的研究理论成果作为基础， 结构优化设计在实际应用方面得到极大的推广，应用领域从航空航天扩展到机 械、土木工程等更广泛的工业部门，解决的问题从减轻结构重量到降低结构应 力水平、改进结构性能和提高安全寿命等诸多方面。同时，相应的优化设计应 4 影, j r 歹耋z 乎磺士学位论文第一章绪论 用软件也有了很大的发展，不仅有一批专门开发研制的结构优化软件，而且出 现了一些结构优化设计软件，这些软件将现有的商品化有限元分析软件扩充为 适用性更强、更容易被用户接受的工具软件，如a c c e s s 、d d d u 、a n s y s 、 s a p 0 0 p 、a s r t o s 、c a o s 等。 1 4 本论文的主要研究工作内容 本文的主要研究工作内容是应用弹性接触问题的数值算法理论和结构优化 设计技术对典型的飞机接头结构的钉载分布和细节应力进行分析，获得实用化 的多排螺钉连接接头的钉载分布规律。然后应用大型有限元结构分析软件 a n s y s ，建立了机翼前后段接头部位的粗模型，计算出了粗模型下接头钉载的 分布，并应用子模型法提取出接头的边界条件，建立接头细致模型进行迸一步 的接头部位力学特征分析，并以此模型为基础，以各列钉载均匀化为优化目标， 优化出了阶梯型肋缘条截面构形，达到了减小接头孔边应力集中系数，减轻结 构重量的工程目的。具体包括以下几点： ( 1 ) 较详细地介绍了接触问题的数值算法理论。简单地介绍了结构优化设 计方法及其数学模型的相关概念，并着重介绍了论文中所应用的优化数值计算 方法。 ( 2 ) 对大型有限元分析软件a n s y s 的接触分析能力和步骤进行了详细的 介绍，并配合命令语言和图形交互两种方式对每个步骤中方法的实现进行了细 致说明。 ( 3 ) 针对典型飞机接头的结构形式和力学特征，建立了细致的有限元实 体接触模型，并应用有限元结构分析软件得出了典型飞机接头结构的应力分布 特征和钉载分布规律。 ( 4 ) 最后针对某无人机机翼大型接头结构，应用上述研究理论和方法，结 合基于圣维南原理的子模型法，利用大型有限元结构分析软件a n s y s 对比分 析了该部位的粗细模型钉载分布特征；以钉载均匀化为目标，对该部位肋缘条 截面构形建立优化数学模型，结合有效的优化算法进行了截面构形优化，并通 过孔边细节应力分析校核了应力强度，得出了满足耐久性和经济型要求的接头 构形。 影j f f 歹考乒学硕士学位论文第二章接- 力学目题的教值计算方法 第二章接触力学问题的数值计算方法 2 1 接触力学问题的边界条件和接触判定条件 2 1 1 接触力学问题的非线性特点与基本假设 接触力学问题属于不定边界问题，即使是弹性接触问题也具有表面非线性， 其中既有接触面积变化产生的非线性及由接触压力分布变化而产生的非线性， 也有由摩擦作用产生的非线性。由于这种表面非线性和边界不定性，所以，一 般说来，接触问题的求解是一个反复迭代的过程。 为了简化分析过程，对接触问题的分析采用了如下基本假定： ( 1 ) 接触表面是光滑连续面； ( 2 ) 接触表面摩擦作用服从库仑定律； ( 3 ) 接触表面的力学边界条件和几何边界条件均用节点参量来表示； 另外，本文主要针对二维弹性接触问题进行分析，相应的分析过程和结果 可推广到三维情形。 2 1 2 接触的定解条件及其力学解方程 在接触问题中，除了各相互接触物体内部的变形协调性以外，还必须保证 各接触物体之间在接触边界上变形的协调性，即接触面的连接条件，亦即定解 条件。 如图2 - - 1 ，在边界上相互 接触的两个物体口n 口z ，对其 中任一个接触点，取口，物体上 该点外法线方向作为n 方向，然 后逆时针方向旋转9 0o ，作为其t 方向，以( 勘匀) 组成局部坐 标系。设口，口口上的接触点 对法向接触力为j i 。( j = i ， i i ；户1 ，2 ，p cp 为接 触点对数) ，切向接触力为 图2 - - 1 两物体接触的力学简化图 6 ：影, j r 歹孝乒学硕士学位论文第二章接触力学闩是的致值计算方法 j i 删( j = i ，i i ；户l ，2 ，p ) ，相应的法向位移和切向位移为毛，巧。 首先根据工程经验，选定其可能接触区，这种可能接触区可以是连续的， 也可以是间断的，而且在每一可能接触的区段内允许包含若干分离点。在可能 接触区内的任何接触点对均只可能处于下述接触状态中的某一种：连续状态、 滑动状态或分离状态。 所谓连接条件实质上是各种接触状态下的定解条件，这些条件可以表述如 下： ( i ) 对于连续状态 r 。p + 置呻= 0 ； r 珂+ r 四= 0 ； 2 越母； h = 。哳 ( 2 ) 对于滑动状态 ( 2 一1 ) o、 r 曲+ r ，四= o ；i 孟毋枷田= 0 ； ( 2 2 ) 坳铆平；l r 畸= r 珊j 式中a 一摩擦系数。 ( 3 ) 对于分离状态 g毋=r曲=r毋=r唧=0(2-3) 上式表示分离状态没有法向作用力。 由式( 2 - - 1 ) 式( 2 - - 3 ) 可见，无论该接触点对处于何种接触状态，每 一接触点对都有4 个定解条件，对于这类平面问题，这些定解条件已经足够。 对于图2 - - 1 所示系统，我们可以分别对两个物体写出其力学解方程 涨篇 c z 叫 【如】【】= 昂 + ) j 。 式中【k 】一q ，物体的整体刚度矩阵( j = i ，i i ) ； ) 一q ，物体的整体外载荷向量； 7 i 里生兰兰幺翌硕士学位论文第二章接触力学闩最的数值计算方法 置 一q 。物体的接触力向量： k 卜一q ，物体的节点位移向量。 在式( 2 4 ) 中【墨】，【】， 弓 ， 易) 均是已知的， “，) 和 ) 是基 本未知量。由于 蜀 ， 也是未知的，所以方程无法求解。因此如有p 个接 触点对，则式( 2 4 ) 中共有幼个多余未知数。而根据上面的分析，我们也可 以找到个4 p 个定解条件作为补充方程式。因此在某一确定的接触状态下，式( 2 - - 4 ) 是可以求解的。当然，这个确定的真实的接触状态只有通过多次反复迭代 才能找到。 2 1 3 接触判定条件 接触求解的迭代过程大致如下：首先假定可能接触区内各接触点对的接触 状态，根据相应的接触定解条件可以求解式( 2 4 ) 。但是，一般说来，开始假 定的接触状态并不符合实际，如何确定三种接触状态的分解点是接触问题处理 中的最基本问题，在有限元的能量泛函中，这一问题可以归结为确定积分界限 的问题。而这问题只有通过迭代过程才能求解，因此每次求解式( 2 4 ) 后， 必须逐步检查接触点对的接触状态是否需要修改。为此必须正确地拟定接触判 定条件。而且不可能给出适合于所有情况的接触判定条件，必须针对不同的原 始接触状态分别给出。详见表2 1 。 表2 1接触判定条件 接触状态 加载之前加载之后 判别式 分离 分离 0 连续 岛o 且i 毛降i i 连续 顺向滑动 毛o 且吲 剐且毛 o 逆向滑动 o 且剐 刚且毛o 分离 _ 兄h 0 万f 歹孝乒掌磺士学位论文第二章接- 力学问题的数蝴方法 顺向滑动连续 屯s o 且毛s o 顺向滑动 是。o 且氘 0 分离 逆向滑动 r 。 0 连续 毛o 且岛 o 逆向滑动 毛o 且毛o 表2 一l 所列接触判定条件是一种简便可行的方莱。当然并不是唯一的方 案。 为了防止出现不稳定的迭代过程，不直接从分离状态修改为滑动状态，也 不直接从顺向滑动修改为逆向滑动，或者反过来从逆向滑动修改为顺向滑动。 2 2 弹性接触力学问题的有限元算法 2 2 1 基本方程 根据变分原理，对于由两个相互接触物体所组成的系统，在和接触边界有 关的单元g 上，其外力虚功为 = l 耳) 7 厮8 ) 扣+ l 弦 7 髓0 订+ 孵) 7 砌 ( 2 5 ) 式中 髟 一单元体力向量； 覃 一单元面力向量； 巧) 一单元接触边界上接触力向量； 厨。 一单元内虚位移向量： 如。) 一单元节点虚位移向量； 饼一单元区域； r 一单元是作用面力的边界。 其内力虚功为 8 u = l 矿 7 昆。 咖 ( 2 6 ) 9 受班多型l 乒萝硬士学位论墼第二章接触力学目匿的数值计算方法 式中 矿 一单元内的应力向量，是坐标的函数； 跆。 一单元内虚应变向量。 矿 = 阿 又知 箸二需 o - e ) = 【d 弦 ( 2 7 a ，b ，c ，d ) 式中 n 。 一单元形函数矩阵； 一单元应变矩阵； 【d 】一弹性矩阵。 由虚功原理可知，当系统处于平衡状态时，其外力虚功和内力虚功相等， 即 l 矿) 7 出。 咖= l 髟 7 颤。) 烈2 + l 巧 7 跖 d r + 巧 7 砌。 ( 2 - - 8 ) 将式( 2 - - 7 a ，b ，c ，d ) 代入式( 2 - - 4 0 ) ，则有 砌。 7 ( l 矿 7 【d j 锄) 旷 = 勘。) 7 ( l 了 耳) d q + l 旷 7 巧 d r + 碍 ) ( 2 9 ) 由此可得： k 。 = p + 蟛 ( 2 一1 0 ) 再考虑到其他和接触边界无关的单元并进行组装，最后可得 【k 】 ” = p + r ( 2 1 1 ) 式中 k 。 一单元刚度矩阵； p 一单元载荷向量； 巧 一单元接触力向量； 【k 】一整体刚度矩阵； f p 一整体载荷向量； 1 0 万少歹主乒学焉士学位论文第二章接量力掌闩是的致值计算方法 r 一整体接触力向量。 从式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 的比较中不难确定单元刚度矩阵和单元载荷 向量的表达式。 2 2 2 求解方法 上一节介绍了接触力学问题的基本有限元刚度方程的建立过程。但要求解 剐度方程还需要接触边界上的定解条件来唯一确定。而由针对边界条件的不同 处理方法，产生了接触闯题的各种不同的解法。下面我们主要介绍罚函数法和 增广l a g r a n g e 法【l o l 。 1 、罚函数法 将接触区域的非嵌入条件以及其他条件作为惩罚项弓l 迸接触系统的能量 泛函中，使原来的条件约束变分问题转化为罚优化问题，这就是接触问题 的罚函数优化法。它的最大优点在于引入接触条件时并不增加系统的自由度， 不增加存储量和计算量。而且很容易从物理上解释。 圈2 2 两物体接触系统示惹圈 在图2 2 的接触系统中物体o 的约束是不充分的，有刚体位移。系统的 刚度矩阵是半正定的，为了保证解的唯一性，系统还应满足某些附加约束条件， 其中包括接触边界上的非嵌入条件，这个条件可表示为： + m 砚一函s 0v f e 或如仨f u c ( 2 - - 1 2 ) 这样接触问题的最小势能原理可以表述为：在所有满足初始位移约束的可 能位移中，真实位移满足非嵌入条件式( 2 1 2 ) ，并使系统总势能取得极小值。 这显然是一个具有附加不等式约束条件的变分问题【l l 】。 影j f fz 菇乒掌硕士学位论文 第二章接触力学向题的数值计算方法 罚函数法是处理约束变分问题的方法之一，它将约束条件引入能量泛函1 1 2 】 中，从而消去约束条件。现构造如下的泛函式，即 ii。=ii。+ii。(2-13) 式中 。一系统在无约束下的总势能； n 。一边界r 虻和f c 上当不满足约束条件时所产生的附加能量( 惩罚 项) 。 i i 。含有惩罚项的系统能量泛函，它是一个罚函数。 按外点罚函数法惩罚项为 。：拦1 喀z 一一蜀) 2 v 一一g ， u ( 2 1 4 ) 【0v 一够吼一g ；o 式中，t 为罚因子。它是一个递增的正的常数序列，在这里它的物理意义是连 接接触点的弹簧刚度，但一般它只有数学的含义；z 为接触边界r c 上的节点个 数。 罚函数法是求解接触问题的典型方法之一。但遗憾的是，罚函数法往往导 致刚度方程病态，当罚值增加，病态减弱，只有在罚值很大是约束条件才能得 到精确满足。 2 、增广l a g r a n g e 方法 近年来在有限元方法中，增广l a g r a n g e 方法已成功地运用于不可压缩弹性 有限变形无摩擦接触问题、弹粘塑性问题之中。所有这些问题有一个共同的特 点，即通过一个罚函数强迫满足一个特定的关键约束。如前所述，罚函数方法 的优点是技术简单、没有引入附加的方程，而且很容易从物理角度解释，但却 往往导致刚度方程病态。因此很多问题要求用增广l a g r a n g e 方法代替，以克服 这种困难。下面将讨论用增广l a g r a n g e 方法处理摩擦接触问题的方法。 设两个接触物体的张开位移函数为g ，且初始时为9 0 一0 ，从而接触条件可 表示为： g ( u ) = n o n g o 01 目( u ) = 一n a ( u ) n 0(2-15) 昂( u ) g ( u ) = 0 j 1 2 ：影, j r 歹考乒乎硬士学位论文第二章接触力学问题的敦值计算方法 由c o u l o m b 摩擦定律和k u h n - t u c k e r 条件 弓( u ) 2 叽一日n ( 2 - - 1 6 ) r = u 一( u u ) n o ns 。= o 弓卜昂0 , u r = 善豪。，善o ，扣= o ( 2 1 7 ) 控制方程 d i v e r + f = 0 i n v 1 衄= yon(2-18) 2 一u o f t 鼠j 由式( 2 - - 1 5 ) 可得 8 u n 0o ns i fg(u1=0(2-19) 于是 p f 勋= 一丑r ，u i i i 0 ( 2 - - 2 0 ) 根据式( 2 - - 1 8 ) ( 2 - - 2 0 ) ，可建立起等效积分方程的弱形式方程 c ( u ，8 u ) = f 小g r a d s u d v i f 8 u d v 一_ 淞 2 f 卜昂n 挽l 一弓踟r a s o ( 2 2 1 ) s u b 钿n 0 ， o n s ， 矿g ( u ) = 0 上式中s u b 表示约束条件。 由于上式难以处理约束，难以求解，于是引入独立的l a g r a n g c 乘子厶，乃， 则上式可写为： c ( u ，8 u ) 2j ( 厶n 加一2 r s n r ) d s s u b x e s ，g ( ) o ，如o ，= 0 ( 2 2 2 ) 中= i i ：吁i i 一凤o ，弓= f 击中，f o ，笋= o 由罚函数法有 最= ，( g ( u ) ) ，o = i i b i i 一昂o 卟f 毒。= 毒玲峥= 。 _ 2 3 因为只有在罚参数一。时约束才可能精确地满足，而专a 。会导致方 影, j r 歹孝幺学壤士学位论文第二章接麓力学目题的数值计算方法 程出现病态。为此，采用增广l a g r a n g e 方法。 g ( u ，钿) = i ( 一n 8 u - p r 8 u ，) a s ，昂= ( 丸+ 钆g ) 妒皤。= 专c w 巩删 q 4 上式即为摩擦接触问题的增广l a g r a n g e 方程。 2 3 点对面接触算法 实际接触体上的接触点对在物体接触变形较大并出现滑动时，原来一一 对应的接触点对就会发生错位。这时基于接触点对所建立起的边界条件的假设 以及接触过程中接触条件的判定都显得不准确了，需要针对点对面接触建立起 新的平衡条件和刚度方程的形式。另外对于点对面接触中接触点位置的搜索【1 3 】 和定位也是点对面接触算法中比较关键的部分，本节将对一种点对面接触点搜 索和定位的算法做详细介绍。 2 3 1 接触点位移的表达关系式 如图2 - - 3 所示，接触体 b 上的i 点原来与a 物体上的 _ ，点对应接触，在接触体间 发生较大滑动后，i 点将 与a 物体上，和七之间的 某点_ ，接触。 由插值知对于此线性 单元有： r2 n i + n k r i = n 母rr k = n 2 r r 图2 3 点面接触示意图 ( 2 2 5 ) 式中 l = j 一，n 2 = ， ( 0 b o 上式：c f 与c i + 1 是主单元面上在点的两条边矢量；g 为主节点指向从节 点n s 的矢量：矢量s 是矢量g 在主单元面上的投影： s = g - ( g 掰) ， m - - - - o 已c 0 ，) i c , c l 。i ( 2 3 2 ) 图2 - 4 从节点与主面的接触图2 - 5 从节点与主单元面的关系 如果魄接近或位于两个单元面交线上，上述不等式可能不确定，这时： s = m a x ( g c , i c , i ) i = 1 2 。 ( 3 ) 确定从节点b 在主单元面上的接触点c 的位置。 主单元面上任一点位置矢量可用下式表示： r = z ，穆) + 五g ，翠) 乏+ 五g ，巧) 1 6 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 万少孑乒掌硬士学位论文第二章接触力学闩题的教值计算方法 4 上式：，皓，玎) = 办g ，叩) j = l 丸售，7 ) = 三( 1 + 乞f x l + 仉刁) 可是单元第j * s 点的x 。坐标值，“如、f 3 是而、善：、而坐标轴的单位矢量。接触 点c 戗，仉) 位置为下式的解： ( 4 ) 检查从节点是否穿透主面。 若：，；吩【f 一， ，仉) 】 - 0 ，那么只须两边乘上一l 变为一 q ( j ) s 0 ，然后设蜀- - - g , ( x ) 就化为式( 3 - - 3 ) 中的形式了。 ( 3 ) 关于约束个数k 、珊，容许k = o 或m = o 或k = m = o ，当k = m = o 时，数学模型中只有目标函数，不存在约束，此时可行域为整个空间掣，这种 问题称为无约束最优化问题，当k 或m 至少有一个不为零时，称为约束最优化 问题。 当，o 【) 、g 舯，( f = 1 ，2 ，助， 疋x ) ，( i = 1 ，2 ，所) 全是线性函 数时，称为线性规划问题，简写为三p ( 1 i n e a r p r o g r a m m i n g ) ，否则称为非线性规 划问题，简写为n l p 或p ( n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g ) 。 3 3 优化算法 3 3 1 优化算法的分类【1 町 与建立结构优化设计数学模型紧密相关的是选择优化算法。目前采用的优 化算法很多，但大体上可归为两大类：准则法和规划法。 准则法是对于规定的设计条件，建立某种优化准则，以此准则为依据来确 定设计程序。譬如同步失效设计，就是一种准则法。它以“结构所有可能破坏 形态同时发生”作为优化准则。准则法一般并没有追求结构最轻或造价最低， 从这个角度说，它的解一般不是最优解。准则法由于计算简单，优化效果也不 错，因此常被采用。准则法的典型代表满应力设计法。 形如式( 3 3 ) 的优化闯题称为规划问题，而解这种问题的方法一般称为 规划法。规划法的本质是在某些约束条件下，求目标函数的极值问题。简单说， 就是求条件极值问题。由于结构问题的复杂性，通常采用数值解法，即用某种 规定的步骤，一步一步接近所追求的目标。对干一些简单问题，也可采用解析 法求解。规划法可分为线性规划、非线性规划、动态规划和几何规划。由于通 2 0 万, j r 歹菇乒掌硕士学位论文第- - i t 结构优化设计的教学模型 常式( 3 3 ) 的约束条件都是非线性的，所以我们主要来介绍非线性规划法的 概念。 3 3 2 非线性规划法的基本方法 在通常的非线性最优化问题中，要涉及三种基本方法：一维搜索、无约束 最优化和约束最优化。 在求解非线性规划所用到的方法中，有很多方法要确定迭代的下降方向， 然后再下降方向上寻找目标函数的极小值，从而得到新的计算点。这种方法称 为一维搜索( 1 i n es e a r c h ) 。一维搜索可以归结为单变量函数的极小化问题，它常 用的方法有试探法和插值法两种。试探法通常按照某种方式寻找试探点，通过 一系列试探点来确定极小点；插值法则是用曲线对原来的函数进行逼近，通过 逼近函数的极小点来确定目标函数的极小点。常用的一维搜索方法有；黄金分 割法、f i b o n a c c i 法、牛顿法、割线法、抛物线法、三次插值法等9 1 。 无约束最优化方法分为两大类：一类在计算过程中使用导数，另一类是直 接方法，在计算过程中只用到目标函数的值。第一类方法中常用的有最速下降 法、n e w t o n 法、共轭梯度法、拟n e w t o n 法等。在这些方法中，最速下降法的 收敛速度最慢。共轭梯度法和拟n e w t o n 法都具有二阶收敛性，n e w t o n 法至少 是二次收敛的。第二类方法中常用的有：模式搜索法、单纯形法、p o w e l l 方法 等。 在约束最优化方法中，通常使用的方法有可行方向法和罚函数法。 可行方向法是一种约束最优化方法，它可以看作是无约束下降算法的推广， 其典型策略是从可行点出发，沿着下降的可行方向进行搜索，求出使目标函数 值下降的新的可行点。算法的主要步骤是选择搜索方向和确定言词方向的移动 的步长。它的特点是：在迭代过程中每一点都是可行的，即使在达到最优前终 止算法，仍然可以得到一个接近最优的解；这种方法产生一个收敛序列，序列 的极限至少是一个局部最小点；它对问题无特殊要求，可适用于一般的问题。 但是，可行方向法要求初始点可行，这对复杂问题很难实现。常用的有z o u t e n d i j k 可行方向法、梯度投影法、集约梯度法等。 罚函数法的基本思想是通过罚函数把约束问题转化为无约束问题。它把目 标函数和约束组成辅助函数，在可行域外，辅助函数的值很大，在可行域内， 堑! 兰耋生爹磺士学位论文 第三章结构优化设计的数学模型 辅助函数的近似等于目标函数，这样，可以将原来的约束优化问题转化为辅助 函数的无约束优化问题。在实际应用中，根据罚因子的选择，又可以分为外点 罚( 罚函数法) 、内点法( 障碍函数法或壁垒法) 以及乘子法。在实际的计算中， 罚因子的选择很重要。一般是去一个趋向于无穷大的严格递增正数列p 。 ，从 q 开始，对每个k ，求解无约束问题： 肌n f ( x ) + o k p ( x )( 3 4 ) 得到极小点的序列j ，在适当的条件下，这个序列收敛域约束问题的最优解。 这种通过一系列无约束问题来获得约束问题最有解的方法称为序列无约束极小 化方法( s e q u e n t i a lu n c o n s t r a i n e dm i n i m i z a t i o nt e c h n i q u e ) ，简称s u m t 方法。 3 3 3a n s y s 优化模块中的零阶方法 由于本论文的建模与分析计算是在a n s y s 下进行的，所以有必要介绍其 中用到的优化理论方法。本论文模型的优化主要用到其中的零阶方法，又称子 问题逼近法。 该方法仅需要因变量的数值，而不需要其导数信息；因变量( 目标函数及 状态函数) 首先通过最 、- - 乘拟合值近似，而约束极小化问题用罚函数转换成 无约束问题，极小化过程在近似的罚函数上进行迭代，直至获得解的收敛。 由于该方法建立在目标函数及状态变量的近似基础上，故需要一定量的初 始设计变量数据。初始数据可根据其它优化工具和方法直接生成，或随机生成。 方法的第一步把极小化约束问题用近似方法描述每一个因变量，即 对目标函数，有 j = 1 0 x ) + s ( 3 - - 5 ) 对状态变量，有 誊( 的= g ( r ) + ( 柳= ( 幻+ 毛 ( 3 6 ) 坝j 0 = 以工) + 毛 具体的近似形式可取为