（概率论与数理统计专业论文）关于受干扰的古典模型和纯扩散模型的一些新结果.pdf

摘要 本文主要讨论了两类风险模型：受干扰的古典 模型和纯扩散模型。对于干扰模型，文章给出了破 产概率的明确表达式，当索赔是指数分布时得到了 众所周知的破产概率，文章还给出了古典模型和干 扰模型的数值比较。对于扩散模型，只得到了破产 概率以及破产前的极大值分布的拉谱拉斯变换。此 外，本文还给出了直基搓型、干扰模型以及扩散模 - _ _ _ _ _ 。一 。 型的林德伯格指数比较。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt w oc l a s s e so fr i s km o d e l s ，o n ei st h e c l a s s i c a lm o d e lt h a ti s p e r t u r b e db y b r o w n i a n m o t i o n ，t h e s e c o n di sa p u r ed i f f u s i o nm o d e l f o rt h ef i r s tm o d e l w i t | ls o m e a s s u m p t i o n si n s t o c h a s t i c p r o c e s st h e o r y ，w eg e tt h ec o n c i s e e x p r e s s i o n o ft h er u i n p r o b a b i l i t y ，w h e n t h ec l a i m sa r e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s ，w eg e tt h ew e l l k n o w nr e s u l t ，a n dw e a l s og i v et h en u m e r i cc o m p a r i s o nb e t w e e nt h ec l a s s i c a lm o d e l a n dt h e p e r t u r b e d m o d e l f o rt h es e c o n d ，w e o n l yg e t t h e l a p l a c et r a n s f o r mo ft h e r u i n p r o b a b i l i t y a n dt h em i n i m u m d i s t r i b u t i o nb e f o r er u i n i na d d i t i o n ，w e g i v e t h e l i n d b e r g e x p o n e n t i a lc o m p a r i s o no f t h ec l a s s i c a lm o d e l ，p e r t u r b e dm o d e l a n dt h ep u r ed i f f u s i o nm o d e l 1 引论 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，这一理论主要应用 于金融、保险、证券投资以及风管理方面，它是借助概率论与随机 过程的理论构造数学模型，来描述某类风险业务。基本的数学模型 是：x ( t ) = u + c t + 罂? 级，称为收入过程，可以看作保险公司在 时刻t 的净盈利，u 是初始资本，c 是保费收入率，z t 表示公司 截止时刻t 的索赔支出，巩是第k 次索赔额，n ( t ) 是一p o i s s o n 过 程描述索赔的发生。因为公司的目的是盈利，所以假定e x ( t ) 0 通常假定p = ! 三警 0 。在该领域已很多书籍和论文出版，现在我 们将该领域的基本概况概述如下： 在基本模型的推广方面： ( 1 ) 把利息及通货膨胀考虑进去。例如参考文献 7 ， 1 2 】 ( 2 ) 对基本模型加上扩散干扰因素，如文章【1 3 ( 3 ) 将p o i s s o n 过程推广至c o x 或r e n e w a l 过程，例如 6 】 对风险模型，一般都考虑以下问题： ( 1 ) 破产概率以及绝对破产概率 ( 2 ) 破产前、破产后的盈余以及破产时间三者的联合分布 ( 3 ) 首中时、末离时问题 ( 4 ) 林德伯格指数的计算与比较 在处理风险模型时所用的基本方法有：鞅方法、更新理论及随机 游动方法、随机微分方程、逼近方法等主要文献例如：【5 ， 8 【1 0 】， 【1 5 】， 9 】 1 4 】，【3 】l 【2 】 本文第二部分讨论了干扰模型，得到破产函数的明确表达式。 第三部分考虑了纯扩散模型，破产概率以及破产前的极大值分布 的拉谱拉斯变换。文章最后两部分给出了古典模型、干扰模型、纯 扩散模型破产概率的数值比较以及林德伯格指数比较。 2 受扩散干扰的古典模型 2 1 模型介绍 令收入过程 ( ) 矿( t ) = u + e t 一z k + 一( ) k = 1 其中u 0 ，c r 0 ，c 0 ，n ( t ) 是一a 一泊松过程，z k ，= 1 ，2 ，一，表 示意外索赔，w ( t ) 是一标准布朗运动我们假定( t ) ，z k ，z k ，w ( t ) 三者相互独立，此外我们假定玩的密度为p ( z ) 二阶连续可微， e u ( t ) = c a ，上 0 ，e 玩= p ，v a t ( z i ：) o ，p r ) 是一过滤概率空间，那么 r t 适应的过程 x ( t ) ) ，x o = 0 ，a s p r 是一勒维过程，当且仅当 1 x t 是一平稳独立增量过程 2 x t 的轨道是随机连续的 引理2 2 1 任何勒维过程都有一右连续具有左极限的修正，它 也是一勒维过程因此，任何右连续有左极限的平稳独立增量过程 都是勒维过程 定义2 2 2 谱正勒维过程设 置h o 是一勒维过程 e e i r x l = e 坤【r j 其中 卅) = j a r - 下b t , 2 + o 。h ，”一1 妇棚( 捌+ 正i 1 ( e i r - - 1 ) l i ( 删 咖( r ) ，n ( d z ) 分别称为该过程的特征指数( c h a r a c t e re x p o n e n t ) 和谱 测度( s p e c t r a lm e a s u r e m e n t ) ，若的i i ( d z ) 支集是r + ，则称该勒维过程 是谱正勒维过程 推论2 2 1 设矿( t ) 是上述定义的收入过程，一( ) 一u ( ) 具有 平稳独立增量性且只有正的跳，因此是谱正勒维过程 引理2 2 2 设x t 是一谱正勒维过程，妒( r ) 是其指数函数，即 e e r 五：e p ( r ) 其中r o ，妒( r ) = 咖( 一i r ) 设口是方程妒( r ) = 0 的最大非负根侄少 0 是一非负根，因此必存在非负根jm = s u p 。! o 五，啦= 尸r ( m z ) 若r 日则有如下等式 o ”e 删z = 而1 一鬻 ( 1 ) 注1 引理仁2 剀的证明用到测度变换知识，比较复杂，证明 过程可参照r a d o n e y 1 2 3 主要结论 设 y ( t ) ：c , w ( t ) 一矿( ) 由引理( 2 2 1 ) 知，它是一谱正勒维过程，m 如前所述，我们计 算妒( r ) e e - y ( 0 ：e e ( 掣一c t - u ) ：r e ( r ) 妒( r ) = r c + t p 2 f f 2 一a ( 1 一f o 。e - r x p ( z ) 如) 妒廿) = c + r a 2 一a j 6 孵”p ( 。) 如 妒”( r ) = 口2 + a z 2 e p ( 。) d z 我们注意到妒( r ) 的性质：由妒7 ( a ) 0 知妒( r ) 是一下凸函数， 又i p ，( 0 ) = c 一 0 ，知妒( r ) 0 只要r 0 ，所以方程 妒( r ) = 0 有唯一非负根0 ，从而口= 0 我们先作一些符号约定 p ( z ) = p ( z ) d z g ( z ) = ：j ( 。( 1 - p ( z ) ) d z f ( z ) = 塾vj ，o 。( 1 一g ( z ) ) 出 e ( z ) = 1 一e - 等。 叠( r ) =e - - r 2 d p ( z ) 珩) = 志州r ) = 掣 11 二箜f ! ! ，( r ) = 二 2 “ 其中d = 譬，v = e ( z ，) 2 ，羞是g ( z ) 的均值，同叠( r ) 一样， a ( r ) ，( r ) ，( r ) 分别是曰( z ) ，g ( z ) ，f ( z ) 的拉普拉斯变换，e ( z ) ，( 。) ，g ( z ) 分别是它们的密度函数 定理2 3 1 令 n c t ) k = z k c t 一口( t ) k = l 如前约定，m = s u p 。 。，如= p r ( m z ) ，妒( r ) 是k 的指数函 数，对于r 0 由引理偿2 纠得 逆拉普拉斯变换得 1 妒”) r 一口 妒( r ) 1c a “ r r c + 芷笋一a ( 1 一矗”e - r = p ( z ) 如) 霍( u ) = p r ( 蕊矿( ) 0 = 札= ( 洳+ 缸m ) 鬯却咖h r 5 ( 2 ) 结论2 3 1 设，( r ) ，r 0 ，是分布函数f ( z ) 的拉普拉斯变换 p 是其期望，令g ( z ) = i 1 臂( 1 一f ( z ) ) 则 上0 。e 倒垆掣 让： 。e - - r z d a ( z ) = ；上。e r 2 ( 1 - f ( z ) ) d z 一1 o 。( 1 一f ( z ) ) d e = 一面1e i 1 一f ( z ) ) i 铲一石1j ，o 。e d f ( z )r pj 、。 p 、 ：出 r 证明：根据前面的约定以及结论( 2 3 1 ) ，等式( 2 ) 的右边可表示 为 c a r c r + d r 2 一a 【1 一p ( rjj 一! 坐里! ：二苎【! 二篁剑 r c r + d r 2 一a ( 1 一多( r ) ) d 。1 一掣 一1 丁刁两一 1 c + d rr 去+ 镑壶学 一等南掣 一 罢( r ) + 尝a ( r ) ，( r ) 一 1 一竽a ( r ) 口( r ) = ( 小) 十孙) ) 薹( 却即叫“ 利用逆拉普拉斯得 f o “q u d u = 【知) + 芸即m ( u j + 曼( 翔即m r 6 对上式关于u 求导得 卟) = 轧= i d 小) + 筹e ( u ) 州“) 卜互o o ( 警) 惭) 吲u ) r 2 4 例一： 令z 1 的密度函数p ( z ) = 。! e - 扣，一= 0 ，则由引理( 2 2 2 ) 得 j ( 0 。e - r u j o 轧如= ! r 一萧 妒i rj 一 三一 ! 二兰竺 一 rr a “ ”一而五 1c a “ 一r ( c 一嵩) 竺! ! 二垒苎2 一 ! 二垒竺 r p c a p + cr ( r p c a p + c ) a 弘 一j i j 瓦 。【+ f j 逆拉普拉斯变换得 ：生j 坐。一专笋u 如2 _ 8 ” 因此若令p = ! 警 0 为安全负荷( s a f e t yl o a d i n g ) ，我们可以得到 一个众所周知的结果 2 5 例二： 州= g 。；而1 e 一尚 考虑索赔密度为混合指数情形，令一= o ，是1 p j = 1 ，p = 坠1 a m 此时 一= 宰= 警 。胪1 厂2 雹j i 刈 ，、三1 一1 2 p ( z ) = p j j = l 瓦8 一百2 r j e e - - r k ：e 。一x - , n ( t 一) = e r c t 妻唑( e e - r z z ) ” n = 0 。 = e r n 一 t ( 1 一e e - z 1 ) = e 坤( r ) 妒( r ) = r c a ( ，一z 。e p ( z ) a z ) = r c a 1 - k = lr # 丝k + 1 1 易见妒( r ) 是一下凸函数，口= 0 由引理( 2 22 ) 知 z o 。e - r z q z d z = i 1 一j f c - a 霸p k # k 令n = ! 二监呼- ! 监，b k = 1 2 磐，下面我们设法分解上式右边第二项 以求得钆 c a p k p k a ( 1 一点) 一r ( t - 护a1 群) ) r ( 1 一志 = 碗而音氅鬟( 3 )r ( n 銎1 ( 1 + r p i ) 一芒16 n i b ( 1 + r p i ) ) 、。 假定 nn i i ( 1 + r “) 一h 1 - 1 ( 1 + r 以) = o ( 4 ) i = 1 k = li 壬t 有n 个不同的实根，i = 1 ，n 则( 3 ) 可减化为 ! 垒! ! ! ! 趔 ( n 冬1 胁p n 警，( r n ) 8 = 而i 器鬻警去1bkr ( ( n 坠1 m ) r “+ + 一麓1 ) 7 通过运算可知a = 1 一b k ，根据部分分式法则，上式第二项有 如下的分解形式 ；1 + 妄五a i ! ! 卫垒! 丝! ! ：! r ( ( 冬lp i ) r “+ + 1 一嚣：l6 ) 其中是a j ，j = l ，n 待定系数，下面求山将等式( 6 ) 两边同乘以 ( r 一勺) ，并令r o 可得 a n 坠l ( 1 + 勺雕) 。1 一j ( 坠1p ii i k # i ( 1 + r j p k ) 一n _ 1b k i 七p ii i i f ( 1 + j p f ) ) 综上得 j ( 。e 砘舻一k 妻= l 瓢a k 由拉普拉斯逆变换得 皿( t ) = 钆= 一a k e h “ 注2 我们下面证方程例所有根都是负根令 m ( r ) = ( 1 + r m ) 一b k i i ( 1 + r m ) i = 1i = 1七壬t 2 娶( 1 + r p i ) 一蚤番里( 1 + r p k )t = t = l r = l =“l+rp)(一妻i=1h(1i=1i = 1 考) = 一羔) 。、i 。p j ， 因为 - 一a p i # i 矿一：圣p l p i ：1 一等= 半 。 可知m ( r ) 0 ，当r 0 时从而方程( 4 ) 没有非负根 关于( 4 ) 方程有n 个不同的实根的假定，我们只能证明当n = 2 或3 时是成立的当n 3 时，可选择适当的以使方程有n 个不同 的实根 9 p = 0 5p = 0 1 讪 t )钆( t )妒( u )锄( u ) d = 0 5d = 0 1d = 1d = 0 5d = o id = 1 1 05 9 1 66 0 6 56 2 0 57 7 1 4 丽 3 8 2 73 9 8 65 9 8 4 2 05 9 1 66 0 6 56 2 0 57 7 1 40 0 0 03 8 2 73 9 8 65 9 8 4 3 03 6 7 43 8 4 64 0 1 46 0 2 60 0 0 01 5 9 91 7 2 23 6 7 5 4 02 2 8 22 4 3 92 5 9 24 7 0 80 0 0 00 6 6 80 7 4 42 2 5 7 5 01 4 1 81 5 4 71 6 7 53 6 7 80 0 0 00 2 7 90 3 2 11 3 8 6 1 0 00 8 8 10 9 8 11 0 8 32 8 7 30 0 0 00 1 1 70 1 3 90 8 5 1 2 0 00 0 8 10 1 0 10 1 2 20 8 3 60 0 0 00 0 0 20 0 0 20 0 7 4 3 0 00 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 8 00 0 0 0 z4 0 0 0 1 而而 5 0 0 61 1 0 0 0 10 5 0 80 0 0 00 0 0 0 而而而而 lu1 02 03 04 05 01 0 02 0 05 0 0 i 妒( t ) p = o 0 1 8 9 6 88 9 6 88 1 2 27 3 5 4，6 6 6 36 0 3 53 6 7 90 5 0 8 id = _ l = 1 2 6 破产概率的比较 以下都假定索赔服从指数分布妒( “) 表示古典模型s ( t ) = u + c t 一z k 的破产概率，机( u ) 表示模型y ( t ) = s ( t ) + c , w ( t ) 的破产 概率妒( u ) = 南e 一尚t ，由引理( 2 2 2 ) 得 z 0 。e - - r u 州砒= 丽篙筹群岛 通过逆拉谱拉斯变换可求得讥( u ) ( t a b l e l ) ，( t a b l e 2 ) 是妒( “) 与忆( u ) 的比较，其中d = 譬： 注3 由上二表可以看出：在相同条件下，干扰模型的破产概 率比古典模型要大的多，这说明布朗运动的干扰影响很大，当系数 d 由1 到0 0 5 逐渐变小时，破产概率明显变小也说明了干扰因素 不可忽略后面我们将看到干扰模型的林德伯格指数比古典模型 及纯扩散模型的林德伯格指数都要小，这同上表一致 1 0 3 首过时问题在风险模型上的应用 3 1 基本过程 x ( t ) 是一强马氏过程，轨道以该率1 连续，其转移概率分布是 p ( 。l y ，t ) = p r x ( t + s ) 0 ，t 2 0 j o o 3 2 符号及变换 t 如( z l t ) 疋( 。) 疋( z i t ) 呓( z i t ) 巧( z l t ) 盛( z l t ) 厶( z | t ) = t 曲【j = s u p ( tl a x 【rj b ，0sts t ， = p r 死b ( z ) c l 正，一。( z ) 。 c = p r 噩( z ) sz ) ， ( z i t ) = 击e ( z i t ) = p r z k ( ) z 有 v ( z l y ，t ) = f c ( z l t ) p ( c l y ，t r ) 上式可理解为：过程x ( t ) 从z 点出发要在时刻t 达到y 点必先经 过c 点然后在剩余时间从c 点达y 点对上式l a p l a c e 变换得 声( z l y ，r ) = ，c ( z i r ) 叠( c r ) 由此可知p ( z r ) 可表示为关于z 的函数与关于的函数的乘积设 为u ( z ) u ( ) 从而五( z l y , r ) = 糍当y c z 时类似可得 小r ) = 小v 1 ) ，确r ) _ 器 引理3 3 2x ( t ) ，u ( z ) ，”( z ) 如上所示，则 盎= ，二2 厶b = 证明：由定义得 ”( 6 ) u ( z ) 一u ( 6 ) v ( z ) t 上( 口) ”( 6 ) 一 ( 6 ) ”( n ) ”( z ) t ( a ) 一u ( z ) ”( o ) u ( n ) ”( 6 ) 一钍( 6 ) ”( 口) 坐丛熊二坐1 2 二丛型塑! ) 二业1 2 u ( a ) v ( b ) 一u ( 6 ) ”( o ) 厶( z i t ) = 砧( z i t ) + z 2 蠡( 刮r ) 厶( 6 i 一r ) 打 h ( z l t ) = 厶( z i ) 十磕( z l r ) h ( a l t r ) 打 ，t j 0 l a p l a c e 变换得 五( z i r ) = 站( z l r ) + 厶( z l r ) 五( 6 i r ) 五( z l r ) = 矗( z l r ) + 站( z l r ) 五( a i r ) 解关于站( z 厶( z i r ) 的方程组，由引理一及厶= 站+ 厶结 论得证 引理3 3 3 设转移密度v ( z l y ，) 满足以下方程 知归徘) 未出i ) + 掣等出i ) 及边界条件v ( o o l y ，t ) = p ( 一o o l y ，t ) = 0 ，v ( z l y ，0 ) = 6 ( z g ) ，则u ( z ) ， ( z ) 是以下二阶微分方程的任意两个线性独立解 掣窘州z ) 荔d l l i = 。 3 4 纯扩散模型 设x ( t ) = u + 卢+ 一( t ) 是一扩散过程，且可由以下随机微分 方程确定， d x ( t ) = f l d t + 口d w ( t ) w ( t ) 是一标准布朗运动由此可知二阶微分算子三，对任意， c 2 ( 冠) 有 l f ( z ) = ；，”( z ) + 卢，k ) x ( t ) 的转移概率分布及密度分别为 p ( zj y ，t ) = p r x ( t ) sy l x ( o ) = z ) = p r z + 芦t + 口w 7 ( t ) ) = 尸r ( t ) 牛) ：三，学。一丢如 p i ，) = 南脚i ) = 孺1 e 一掣 显然x ( t ) 满足边界条件 v ( - o o l 舶t ) = v ( + o o l y ，t ) = 0 ，v ( , l y ，0 ) = 6 ( z y ) 下面证明v ( , l y ，t ) 满足c h a p m a a l - k o l m o g o r o v 方程 晏p ( 未p ( a 2 丽p ( b ， l y ， i ， ：e 一娃万- ：- # t 2 $ 一卢t ) c y z + 卢t ) 2 口3 t 2 2 耐 ：! 二! 丝咩 a 3 t 2 v 2 t = e 一唧志2 q t ( 错t 2 丌t 、一2 、2 丌 磋咖譬杀p ) 一咩去2 a t2 1 r t ( 等 、 矿o e 一呼未2 a t 丽( 鱼2 霄t 未p ( z 一 !、 2 口t 、j 磊 1 再丽j z 一肛】2 t a 2 1 = 型t o ! - 2 1 二! 趔一1 1 从而x ( t ) 满足引理( 3 3 1 - 3 3 3 ) 的条件，f 面解二阶常系数微 分方程 百a 2 硒0 2 w + 卢筹一r ”= 。 ( 7 ) 其特征方程为z 2 + 筹z 一2 r = 0 解方程得二根 j口j 2 ；萨 l 2 一参+ 之i + 上2 a 2 r 。= 一告一雩r + 景 从而可得方程( 7 ) 的二个线性独立解，使得u ( o o ) = ”( 一o o ) ：0 u ( x ) = e 2 。， ( z ) = e 1 2 由引理( 3 3 1 ) 得 脚) = 器= e r l z = e 母争佰 1 4 、， 通过逆拉谱拉斯变换可得 又由 ，r ( t o ，o 。出) = 如( u l t ) d t p r m t z ，= p r s u px ( s ) z ，2 i o o 0 1 5 凡 = z 。扣 。器砷m 爪t ) = j ( 。扣 。三黑孙m ) 一p r s u px ( 3 ) 。，咒 t d t o ! s t i = z ”象 f 0 一u i t ) 一只( u i 酬d t = ( ” i o 舯i ) 一厶( u i t ) 出 钟i 小燮喘渊譬潴 剑 e r 2 u q - v l 一e t m u + r z x e q 一e r 2 z 冰i r ) = 等一- r 2 卜山 因此p r m t z ) 可通国上面拉谱拉斯变换的逆求得 4 林德伯格指数的比较 对于x ( t ) = u + z t + a w ( t ) ，设，( z ) 满足工，( z ) = 0 ，即 i 0 2 ，怡) + 卢，( z ) = 。 解方程得一根e 一磐z ，从而。爹x ( t 是一鞅，林德伯格指数r ，： 筹对于古典模型s ( t ) = “+ c t 一z k ，已知林德伯格指数r ： 币鞠= ! i 芦若令e x ( t ) = e s ( t ) ，y 口r ( x ( t ) ) = v a r ( s ( f ) ) ，当z k 是指 数分布时，可得 口= c d p ，盯2 = d ( p 2 + 2 ) = 2 a 肛2 1 5 r ：竺 0 、( c p d ) 2 + 4 p a p 2 d c p ! 兰里二尘! ! 兰二望! ! 旦竺些! 1 2 d #p 可知0 r 2 ：，从而e - r 2 y ( ) 是一鞅7 2 即为所求林德伯格指 数，经计算可知r 。r r 由此可知干扰模型对破产概率的估计 有偏大特性，前面的数字比较也说明了这一点 r e f e r e n c e s 【1 1 r a d o n e y ( 1 9 9 1 ) h i t t i n gp r o b a b i l i t y f o rs p e c t r a l l yp o s i t i v el e v yp r o c e s s ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 4 4 ( 1 9 9 1 ) 5 6 6 5 7 6 【2 2d u f r e n s e ，f ，g e r b e r ，h u ( 1 9 8 9 ) t h es u r p l u s e si m m e d i a t e l y b e f o r ea n d a tr u i n i n 8 n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s7 ，1 9 3 1 9 9 3 f e l l e r a n i n t r o d u c t i o nt o p r o b a b i l i t yt h e o r y a n di t s a p p f i c a - t i o n v 0 1 i i 2 n de dj o h n w i l e y s o n s n e wy o r k 4 】g i t u n a n ；i j a n ds k o r o h o d ( 1 9 6 9 ) ：i n t r o d u c t i o n t ot h e t h e o r y o f s t o c h a s t i cp r o c e s s 5 jn o e l ，v e r a v e r b e k e a s y m p t o t i c e s t u n a t ef o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni na p o i s s o nm o d e lw i t hd i f f u s i o n i m c1 3 ( 1 9 9 3 ) 5 7 6 2 【6 b j 6 k k ，t a n dg r a n d e l l ，j ( 1 9 8 8 ) e x p o n e t i a li n e q u a l i t i e s f o rr u i n p r o b a b i l i t i e si nt h ec o xc a s e s c a n a c t u r a lj 【7 】d e l b a e n ，f a n dh a e z e n d o n c k ，j ( 1 - 9 8 7 ) c l a s s i c a lr i s kt h e o r y i na e c o n o m i ce n v i r o m e n ti n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de ：c o n o m i c s 6 8 5 - 1 1 6 8 g e r b e r ，h ，u ( 1 9 7 3 ) m a r t i n g a l e s i nr i s k t h e o r y m i t t v e t s c h w e i z v e r m a t h 7 3 ，2 0 5 2 1 6 9 g e r b e r ，h u ( 1 9 7 9 ) a ni n t r o d u c t i o n t om a t h e m a t i c a lr j s kt h e o r y s s h e u b n e rf o u