专题复习数列、数列的极限、数学归纳法 .doc

亿库教育网 http:/www.eku.cc专题复习数列、数列的极限、数学归纳法一. 本周教学内容： 1. 复习内容：专题复习“数列”、“数列的极限”、“数学归纳法”。重点是：数列的通项公式、前n项和公式的关系；用递推关系式表示数列；两种基本数列等差数列与等比数列的定义，通项公式、前n项和公式、性质；极限的运算法则，公比q的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和的定义以及计算公式；数学归纳法的涵义及其运用。 2. 要点综述： 数列与极限是初等数学与高等数学衔接和联系最紧密的内容之一，有关极限的概念及方法是微积分的重要工具。因此，数列的极限就成为进一步学习高等数学的基础。 两种基本数列等差数列、等比数列，是高考中的必考内容，要熟练掌握这两种数列的定义，通项公式、前n项和公式以及其性质。 数列的极限的思想方法要认真体会，为进一步学好高等数学作好充分的准备。高考试题中对极限的考查逐渐由单一地求数列的极限，向结合等差、等比数列的计算求极限转化逐渐向结合数列求和方法求极限转化。 数学归纳法作为一种证明方法，在证明某些与自然数n有关的命题时，有其他证明方法所不具有的独特性和优越性，是一种非常重要的证明方法，应认真体会其要义并能正确使用它，在高考试题中，经常作为解答中的一个环节来考查，比如，给出一个数列的递推关系式，先求出其前三项，进而推测通项公式，最后再用数学归纳予以证明。这其中，体现了数学中“归纳猜想证明”的由特殊到一般的思维方法。 3. 复习建议： 认真复习以下概念等差、等比数列的定义，数列极限的定义，认真体会其内涵。 掌握几个重要公式数列的前n项和Sn与通项an的关系式；等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式；无穷等比递缩数列的所有和S的计算公式。 掌握一个重要性质设m、n、p、qN，且m+n=p+q， 掌握数列求和的几个方法裂项求和法，错位相减求和法，以及公式法。【典型例题】 例1. 分析：这是一道数列与函数综合的习题：由条件“f(x)的图象过原点”，可以确定f(x)它们依次成等差数列的条件，可列出关于x的方程，解方程得x值；在的基础上只需证。 解： 例2. 分析： 例3. 分析： 例4. 分析：欲求等差数列an，等比数列bn的通项公式，只要求出an的公差d以及bn的首项b1的公比q即可。因此，要用已知条件列出关于d、b1、q的方程组。 解：设an的公差为d，bn的公比为q，首项为b1， 依题意，有： 注：本例是一道很注重基础知识、基本方法的习题，对于这类的习题应通过复习熟练掌握。 例5. 分析： 解： 注：根据已知条件，确定数列的类型，对于进一步解题特别重要，因此要充分掌握已知条件中的各种有利因素，联想已学知识，发现解题的思路。 例6. 设an是一个由正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。 （I）写出数列an的前3项； （II）求数列an的通项公式（要写出推理过程）； 解： an是首项为a1=2，且公差d=4的等差数列。 从而其前三项依次为2，6，10。 例7. （I）求数列an的通项公式； ， 求函数f(n)的最小值。 分析：由此发现，an是公差为d=1的等差数列，进而可写出其通项公式。先判断数列的类型，再求其通项公式的方法，做为一种基本方法要熟练掌握。 （II）所给函数f（n）是一个不连续函数，或称之为离散函数，这一点可通过自变量n的取值看出。通过计算f（1），f（2），f（3）的值会发现：f（n）是一个单调递增函数，（当然这一点应予以严格证明），既如此，那么f（n）的最小值是f（2），于是问题得解。 解： 函数f(n)是增函数， 例8. 分析：对n赋值后，比较几对an与bn的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以论证。 解： 下面用数学归纳法证明上述猜想： （1）当n=6时，显然不等式成立，n=6时，不等式anbn成立； （2）假设当n=k(k6)时，不等式成立，即akbk，也即(k+1)22k+4。 然数。 例9. 有一个下岗职工，一月初向银行贷款10000元作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需交纳的所得税，为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？ 分析：这是一道由社会生活实践中抽象出的应用型数学习题。将涉及到数列的有关知识，这种问题需要从起始月份逐月分析，寻找蕴含其中的数量关系，化归为某个数学模型来求解。 解：依题意，第一个月月底余款为 若设第n个月月底的余款为an元，第n+1个月月