（概率论与数理统计专业论文）马尔可夫骨架过程的两个应用.pdf

摘要 本文主要是利用马尔可夫骨架过程理论来研究单一奶牛群个体 数量增长模型和家庭收支模型。 对于单一奶牛群个体数量增长模型，与前人的工作相比，本文 所研究的模型中各个参数均是服从为一般的分布。而前人所研究的主 要是对单种群增长模型进行分析，数据拟合，从而建立起一个常微分 模型方程组，或者一阶、二阶偏微分方程组，通过解微分方程组来研 究单种群的增长规律，建立的一般为马尔萨斯模型和有阻滞的 l o g i s t i c 增长模型。 对于家庭收支模型，本文所研究的模型是随机环境流体模型的 一个推广，而前人对家庭收支模型的研究较少。在本文中，研究了家 庭收支模型中家庭帐户上资金的瞬时分布。同时，改进了家庭收支模 型，使之与实际情况较为贴近。 针对以上两种模型，本文利用的是侯振挺、邹捷中、刘再明教 授等人于1 9 9 7 年首次提出的，并在最近的2 0 0 5 年加以补充完善的马 尔可夫骨架过程理论来研究模型中某一些状态的瞬时分布。 本文的研究结果主要有： 第一，利用了马尔可夫骨架过程法列出了对单种群增长模型中种 群个体数 工( f ) ，蚕( r ) ，岛( r ) ，岛( f ) ，吃( f ) ( f ) ，舀( ，) 的瞬时分布所满足的方程 组，并对概率分布是某一方程的最小非负解作了证明。 第二，利用了马尔可夫骨架过程的向后理论和骨架时序列的逐段 决定的骨架过程理论对家庭收支模型中家庭帐户中资金数量的瞬时 分布给出了解的存在过程，并对其概率分布是某一方程的最小非负解 作了证明。 关键词：马尔可夫骨架过程，数学模型，最小非负解，增长模型， 家庭收支模型 a b s t r a c t t h i st e x tm a i n l ya p p l i e st h ep r o c e s st h e o r i e so f t h em a r k o vs k e l e t o n p r o c e s st os t u d y t h eg r o w t hm o d e lo f t h ei n d i v i d u a la m o u n to fs i n g l ec o w l ”r do f c a t t l ea n df a m i l yr e c e i p ta n de x p e n d i t u r em o d e l f o rt h eg r o w t hm o d e lo ft h ei n d i v i d u a la m o u n to fs i n g l ec o wh e r d o fc a t t l e ，c o m p a r e dw i t ht h ew o r km a d ei nt h ep a s te a c hp a r a m e t e ri nt h i s s t u d i e dm o d e li sa l lo b e d i e n c et ot h eg e n e r a ld i s t r i b u t i o n w h i l ew h a tt h e p a s ts t u d yi sm a i n l yt oa n a l y s et h ei n c r e a s em o d e lo fs i n g l eh e r dk i n d st o i n c r e a s ed r a wu pt h ed a t at om a t c h , s oa st ob u i l do n et h u st h ed i f f e r e n t i a l c a l c u l u sm o d e ls q u a r ed i s t a n c es e t ，p e r h a p sar a n k , t w or a n k sp a r t i a lt o t h ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u ss q u a r ed i s t a n c es e t b ys o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a l c a l c u l u ss q u a r ed i s t a n c es e t , t h eg r o w t hr e g u l a t i o no fs i n g l eh e r di s s t u d i e d , a n dt h em a l t h u sm o d e la n dt h eg r o w t hm o d e lo ft h el o g i s t i co f r e s i s t a n c ea r eb u i l tu p f o rf a m i l yr e c e i p ta n de x p e n d i t u r em o d e l ，t h em o d e ls t u d i e di st h i s t e x t t sa ne x p a n s i o no far a n d o me n v i r o n m e n tf u i i dm o d e lar a n d o m e n v i r o n m e n tf l u i di sa ne x p a n s i o no f t h em o d e l ，b u tt h ep a s ts t u d i e sm a d e f e wr e s e a r c h e so nf a m i l y r e c e i p ta n de x p e n d i t u r em o d e l t h et e x t e x p l o r e st h em o m e n td i s t r i b u t i o no ff a m i l yb a n ka c c o u n ti nt h ef a m i l y r e c e i p ta n de x p e n d i t u r em o d e l a tt h es a m et i m e ，t h ef a m i l yr e c e i p ta n d e x p e n d i t u r em o d e li si m p r o v e d t om e e tt h ea c t u a ls i t u a t i o n a sf o ra b o v et w ok i n d so fm o d e l s ，t h i st e x td e p e n d so nw h a t h o u z h e n t i n g ，z o u j i e z h o n g ，l i u z a i m i n gp r o f e s s o re t c p u tf o r w a r df o r t h ef i r s tt i m ei n1 9 9 7a n dt h ep e r f e c tm a r k o vs k e l e t o np r o c e s st h e o r i e s w h i c hw a si m p r o v e di n2 0 0 5t os t u d yt h em o m e n td i s t r i b u t i o nu n d e r s o m ec o n d i t i o ni nt h em o d e l t h er e s u l t so f t h es t u d ym a i n l yi n c l u d e f i r s t , i nt e r m so fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s sm e t h o d ，i tl i s t st h es q u a r e d i s t a n c es e tt h a tn u m b e r l ( t ) ，万o ) ，q ( f ) ，0 2 ( 0 ，晚( o ( f ) ，痧( f ) s a t i s f yw h e ni n am o m e n td i s t r i b u t ei nt h eg r o w t hm o d e lt ot h es i n g l eh e r d ，a n dt op r o v e t h a ta l lr a t e sd i s t r i b u t i n gi sas o m el e a s to fo n es q u a r ed i s t a n c et ot a k ea s o l u t i o n s e c o n d ，i nt e r m so f m a r k o vs k e l e t o np r o c e s sb a c k w a r dt h e o r i e sa n d t h et h e o r yt h a tf r a m e w o r kc y c l et i m er o wp u r s u eaf r a m e w o r kp r o c e s s t h e o r i e so fd e c i s i o nt h ec u r r e n tb a n ka c c o u n ti nt h em o d e lt 0t h ef a m i l y r e c e i p t a n d e x p e n d i t u r e t od i s t r i b u t et h ee x i s t e n c e p r o c e s s o f u n d e r s t a n d i n g t oi nam o m e n ti nt h ef u n d sa m o u n t ，a n dp r o v ei t sa l lr a t e s d i s t r i b u t i n gi sas o m el e a s to f o n es q u a r ed i s t a n c et ot a k eas o l u t i o n k e yw o r d s ：m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ，m a t h e m a t i c sm o d e l ，t h e l e a s t n o t - n e g a t i v es o l u t i o n ，i n c r e a s em o d e l ，f a m i l yr e c e i p t a n d e x p e n d i t u r em o d e l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：趁丝日期：2 1 鱼趾月兰日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：缘巫导师签名魁日期：趁年朋生日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题提出的背景与研究现状 首先，我们来介绍单一奶牛群个体数量增长模型研究的历史和应用背景 种群( p o p u l a t i o n ) 是指分布在一定范围内，同一物种个体的集合。它既是 遗传的单位，又是适应、进化的单位。在自然界，它是连接群落与个体的纽带和 生态系统的基本组成部分，是生态学研究中的一个重要层次 1 。 种群的研究最早是集中于对人口、动物种群的统计与研究。最先起源于 l h l t h u s ( 1 8 0 3 ) 的。人口论”( e s s a yo np o p u l a t i o n ) 2 先后建立了各种各 样的研究种群数量动态变化的数学模型比较典型的有指数型增长模型和 v e r h u r s t ( 1 7 9 4 1 8 4 9 ) 提出了l o g i s t i c 增长方程，作为种群在有限环境中的增 长模型 3 。 7 生物资源是自然资源的有机组成部分，是一种可更新的自然资源，能够根 据自身的遗传特点，借助于增长、繁殖而不断地进行自我更新，维持数量稳定。 但任何生物的繁殖必须满足其必要条件，如果对其进行合理利用和科学管理，会 取之不竭。永续利用；生物资源也是一种可耗竭的自然资源，如果不加以科学管 理，采取掠夺式的过度开发，资源将受到破坏，甚至完全枯竭。 科学地利用和管理生物资源，必须遵循生态规律。过度捕猎而造成渔业、 狩猎业、林业等生物资源的严重破坏，许多有经济价值的生物面临灭绝或种群密 度过低而不能被利用。当然对于生物资源不加利用或不充分利用，昕任其自生自 灭，也是不符合入类利益的。因为这不一定能使资源增加，而是徒然的浪费。可 更新资源的科学管理既要使产量达到最大，又要达到持久利用。最适产量比最大 可持续产量更加广泛，它包括经济上对成本和收益的考虑，为了讨论方便起见， 这里我们把最适产量的概念限定在最大可持续产量范围内。因此，从定量的角度 来了解单一种群数量的实时变化将对政府部门提供决策上的数据支持 前人在研究单一种群数量的变化上已经有许多成果和结论 8 r 2 7 ，这些 研究和成果基本上可以归结为两种途径：一是从统计学的角度，进行统计和分析， 硕士学位论文第一章绪论 得出结论；二是从微分学的角度，根据其增长率的情况，建立微分方程或微分方 程组，得出数量变化规律。 其次，我们来介绍家庭收支模型的背景和现状。 家庭消费对于每个家庭和整个社会的经济生活以及社会物质资料的再生产 都是十分重要的。首先，物质资料的消费是家庭生活的基础 z s 。我们每一个人 的一生，大部分时间是在家里度过的。如果没有一个家庭，就觉得生活没有活力 和兴趣，尤其老年人更是如此。但是，任何一个家庭都需要一定的物质资料做为 保证。因为，人需要生存，需要发展，首先必须吃、穿、住。要建立一个家庭， 至少要具备能够满足人的生活的最起码的物质条件 2 9 。 家庭消费并不是每个家庭的私事。它是社会再生产的重要环节。对于整个 社会主义建设以及社会的安定团结都有着十分重要的意义 3 0 1 3 1 。 家庭生活消费里面有很多学问。但是，要科学地、经济地、合理地搞好自 己的消费生活，那就很不容易了。家庭经济问题的研究由来已久。最早可追溯到 古希腊和罗马的柏拉图、亚里士多德、希罗多德等人，柏拉图时代就开始研究家 庭生产和农业问题。启蒙学者孟德斯鸠、卢梭等人批判宗教神学，开始触动父权 神话。达尔文的物种起源使人类在进化论影响下开始探索家庭的起源。而真 正揭开家庭史奥秘的，是美国人摩尔根，将人类史划分为蒙昧、野蛮、文明三个 时代，揭示家庭形态的内在联系。马克思和恩格斯把家庭与社会经济联系起来， 把家庭置于社会发展过程加以考察，从而揭示出家庭的两种生产，即人和物的生 产本质 3 2 。 家庭消费经济学是社会主义消费经济学的一部分。从另一方面来说，又可 以把它叫做微观经济学，或微观消费经济学。它的任务是运用马克思主义经济学 原理，简明地论述家庭消费规律，说明各种经济现象问的本质联系。一方面，为 广大消费者提供经济方面的科学指导，有利于家庭科学地、合理地搞好自己的消 费生活。另一方面为消费经济学和市场学、经营学等提供基础材料 3 3 。 现代市场经济主体由家庭、企业和政府构成，实践中，家庭与企业和政府构 成完整的统一体；理论上，与收入相对的是支出，支出的一部分或全部必须首先 2 硕士学位论文第章绪论 用于消费，消费首先是物质消费，其次是文化发展消费。消费余额便是积蓄，积 蓄可转化为投资，投资又可分为金融投资和实业投资。 家庭作为市场主体自主做出经济决策，独立承担决策的经济风险，包括职 业和就业场所的选择，消费资料、劳务的购买、投资等。家庭作为以经济、情感 和血缘关系为纽带的社会组织形式，随着社会生产力的发展和生产资料所有制的 变迁而发展变化 3 4 。作为市场经济的主体，要求参与社会的交换，离开市场， 家庭经济无法运行；社会作为家庭赖以生存的环境，由无数充满活力的市场主体 构成互相依赖又互相竞争的社会有机体。家庭是社会的一个最基本的单元，家庭 的生存与发展离不开市场。家庭也对市场发生着影响。因此，家庭的经济问题是 一个值得研究的重大课题。 前人研究家庭经济问题主要有以下两种途径：一种是从微观消费经济学的 角度，另外一种就是从社会学的角度。 最后，我们来介绍马尔可夫骨架过程的发展背景。 马尔可夫过程的原型是马尔可夫链，是由俄国数学家a a 马尔可夫 6 7 于 1 9 0 6 年提出的，此后许多学者对马尔可夫过程进行了源源不断的研究，在前入 的基础上 6 8 “ 7 3 ，侯振挺、邹捷中、刘再明等人结合自己的工作 7 4 7 7 于1 9 9 7 年首次提出了包括马尔可夫过程、半马尔可夫过程，逐段决定马尔可夫 过程，更新过程及半更新过程等诸多随机过程为特例的马尔可夫骨架过程这一新 概念，并建立了补角完善的马尔可夫骨架过程的理论。并将其应用到排队论、存 储论、控制论、可靠性等领域，成功的解决了排队论的瞬时分布，平稳分布， 遍历性等一序列经典难题 7 8 8 2 。最近 8 3 8 4 ，又对应用中广泛存在的一 类特殊的马尔可夫骨架过程d o o b 骨架过程给出了广义的极限分布，极限分 布以及不变概率测度的存在性条件和表达式。 本文是利用马尔可夫骨架过程理论来研究单一奶牛群个体数量增长模型，用 马尔可夫骨架过程法列出了模型中奶牛数量 ( f ) ，百( f ) ，q ( r ) ，岛，眈( f ) ( f ) ，口o ) 的瞬时分布所满足的方程组，并证明了其概率分布是某一方程的最小非负解。也 就是模型中的各个参数的分布函数均是连续函数的情形。对于家庭收支数学模 型，本文利用马尔可夫骨架过程法列出了模型中家庭帐户中资金的瞬时分布 q ( f ) ，x ( f ) ，h f ) ，o l ( t ) ，岛o ) ) 脚所满足的方程组，并修订得出了与实际情况比较 3 硕士学位论文 第一章绪论 吻合的模型，同时也给出了模型状态的瞬时分布所满足的方程组。由于此模型中 的参数服从一般分布，不存在再生点，故对其极限性态暂时无法讨论。 与前人相比，本文是结合马尔可夫骨架过程理论来研究单一奶牛群个体数量 增长模型和家庭收支数学模型，这将对研究生态数学模型，排队网络，随机神经 网络，计算机网络，通讯网络等有较大的理论价值。 1 2 论文的结构 本文主要研究的内容有两个：第一是单一奶牛群个体数量增长模型中奶牛数 量的瞬时分布，也就是模型的各个参数的分布函数均是连续函数的情形。第二是 家庭收支模型中家庭帐户中资金的瞬时分布。 第一章是绪论。主要介绍论文的选题背景及研究现状，以及本文的结构。 第二章是预备知识。主要介绍马尔可夫骨架过程的定义、基本性质、向前方 程和向后方程、有限维分布、极限分布、广义极限分布与不变概率测度，另外还 介绍了向量马氏过程。这是本文处理单一奶牛群个体数量增长模型以及家庭收支 模型的理论基础。 第三章是单一奶牛群个体数量增长模型的描叙以及奶牛数量的瞬时分布。 本章利用马尔可夫骨架过程法列出了模型中奶牛数量 三，百p ) ，q p ) ，岛( f ) ，e o ( f ) ，百( f ) 的瞬时分布所满足的方程组，并证明了其概 率分布是某一方程的最小非负解。 第四章是家庭收支数学模型的模型描叙以及状态的瞬时分布。本章利用马 尔可夫骨架过程法列出了模型中家庭帐户中资金的瞬时分布 ( q ( f ) ，x c t ) ，h f ) ，毋( f ) ，岛( f ) ) 脚所满足的方程组，并修订得出了与实际情况比较 吻合的模型，同时也给出了模型状态的瞬时分布所满足的方程组。 4 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 马尔可夫骨架过程的概念 设( 层，占) 是一可测空间，工= x q ，国) ，o s t o o ) 是定义在完备概率空间 ( q ，f ，p ) 上取值于( e ，占) 的随机过程， z x , t o ) 是x 自然盯一代数流。只为推 移算予： 国) = 国。+ ， ，) 脚eq 定义2 - 1 1 称随机过程x ； x ( f ，国) ，0 t 为马尔可夫骨架过程，如果存在一 停时列 l 棚，满足 ( 1 ) r o = 0 且靠t ，并对任意的捍0 ，l o o 每靠 “； ( 2 ) 对于一切栉= o 2 ，有r m = “+ f l ( 3 ) 对每一个l 和任意定义在e 【o 一上的有界一o 。) 一可测函数厂，有 研( z ( 毛+ 侧】= 司l 厂( 石( + 洲j ( ) 】，p d 吼， ( 2 一1 ) 其中q r 。 ：k ( 国) a o ) ，硭= ：v f o ，4 n ：r ) e e 。 是q 上的盯一代数。我 们把纯 乙叫做马尔可夫骨架过程x 的骨架时序列。进而，如果在o 。上 e l f ( x ( r + ) ) l 】一目( z ( + ) ) i x ( f 。) 】= e x ( f - ) 【厂( x ( o ) ) 】p a , s 成立， 则称x 是时齐的马尔可夫骨架过程，记为m s p 。这里点i ( ) 表示对应于p ( i x ( o ) = x ) 的 期望。 注2 1 1 在本文中，设e 为p o l i s h 空间，s 是b o r e l 仃一代数，o 定义在 凹+ = 【o ，) 上取值于e 的右连续函数空间。 ， 注2 1 2 由于p o l i s h 空间可度量化，可视x 是定义在度量空间上的右连续随机 过程，所以z 关于 互x , t o ) 是循序可测的。故( o ) 和八x ( + ) ) 是可测的，这 里厂是( e i 。m ，占【o 声) ) 上的可测函数。 命题2 1 1 如果x = x ( f ，国) ，o t e - a s 令p ( x , t ，4 ) = p z ( f ) e a l x ( o ) = 耐 定理2 2 1 设x = x o ) ，f 芝0 ) 是以 f 。 乙为骨架时序列的正规的马尔可夫骨架 过程，则对于任意的x e ，t 0 ，a 占有 6 硕士学位论文 第二章预备知识 如= 批“) + j ( 砉( 而戤l i l 0 ，, t - s , a ) 。 ( 2 _ 2 ) 从而 p 瓴f ，_ ) 是如下非负方程的最小非负解： p ( x , t ，彳) = ( 而f ，彳) + g ( 五丞，西，) p ( y ，f 一曲彳) ， x e , t 0 ，彳占( 2 - 3 ) 证明：对任意的x e 。t o , a 占，玎e n ， 以x ( ，) a ，ls t f “泌( o ) = 曲 ；fp ( x ( t ) g a ，s f p ( 气) = 弘。s ，x ( o ) = x ) ，( x ( l ) 咖，e 凼i x ( o ) = 力 e = 只( f s + 靠) e a t - j 气f i i 以厶) = 弘l = j ，z ( o ) = 力g 一 ，d s ，劬 f 由命题( 2 1 1 ) ，x = z ( f ) ，t o 的齐次性及z = x ( f ) ，t 2 0 ) 在乇处的马尔可夫性立 得： e ( x ( t j + 靠) e 4 ，t j 吒。 i 以气) = 弘l = j ，x ( o ) = 曲 = p ( x ( t - s ) e 4 f j f l ( o ) = 力= h ( y ，t 一以彳) 故 p ( x ( t ) e a r 。s ， i 即) = ) = f g 呻( x , d s , d y ) h ( y , t 喵) 占0 从而 p ( x , t ，4 ) = p ( r ) e 纠x ( o ) = 功 = p ( x ( | ) e a , t 是取值于( e ，s ) 且 具有右连左极轨道的马尔可夫骨架过程，则x = 工( f ) ，t 0 ) 是正规的。 2 3 正则性准则 为讨论方便，我们假定马尔可夫骨架过程x = x ( f ) ，t 0 ) 是不中断的( 或称正则 的) 实际上，上面得到的定理2 2 1 2 2 4 对于中断马尔可夫骨架过程 x = x ( ，) o s t q x ( o ) = n 0 则z 正则。 9 硕士学位论文第二章预备知识 2 4 有限维分布 令d ”) = i ，f 2 ，t 。) ；f 1 ，t 2 ，乙r + ，o t ! , t 2 ， 定义2 4 1 称时齐的马尔可夫骨架过程x = x ( f ) ，t o 是严正规的，如果对于 任意的n n ，存在e x d “占“上的函数h ( x ，t l ，t 2 ，f 。，4 ，4 ，a n ) 使得 ( i ) 对于固定的薯f i ，厶，h ( x , 6 ，厶，) 是饵”，占”) 上的有限测度； ( i i ) 对于固定的a 1 ，以s ，_ 1 2 ( ，a t ，以) 是e d ”上的肋彤，可测的函 数； ( i i i ) 对于任意的0 t i t 2 阼v ( 硕士学位论文第二章预备知识 2 5 极限分布 定义2 5 1 设x ( f ) 是( q ，f ，d 上的取值于( e ，s ) 的随机过程 e ( x , t ，4 ) 垒p i ( f ) 彳i x ( 0 ) = 力，若对于任意的工e e ，a e c ，舰p ( 五r 田存在且与x 无关，并且p ( 锄z l i m p ( x ，f 由是( e ，回上的概率分布( 彳s ) ，则称工的极限( 概 率) 分布存在，称p 0 为x ( t ) 的极限( 概率) 分布。 定义2 5 2 设x ( f ) 是一个以 l 为骨架时序列的马尔可夫骨架过程，如果存 在( e 回上的概率测度万( ) ，使得对于任意的a e g ， p ( x ( f 1 ) e 彳i 双o ) = x ，q = 曲= p ( x ( r o e 4 ) = 万( ) ( 2 一1 2 ) 则称x ( f ) 为d o o b 骨架过程，称万0 为x ( t ) 的特征测度， f 。 备称为x ( t ) 的再生点 注：d o o b 骨架过程是齐次可列马尔可夫过程中d o o b 过程的推广。在应用中，我 们会常常遇到d o o b 骨架过程，或者通过骨架时序列的再选择而得到d o o b 骨架过程。 令 f 伉f ) = p ( f is d 坝o ) = 功， v x e ，t 0 ； f ( f ) = i 万( d k ) f ( 毛f ) v t 0 引理2 5 1 若x ( t ) 为d o o b 骨架过程，则 q ( x , d s ，d y ) = f ( 毛d s 加( 铆 引理2 5 2 若x o ) 为d o o b 骨架过程，则 p ( 工( “) e 彳) = p ( x ( r 1 ) 彳) = 万( 彳) ( 行d 引理2 5 3 若x ( f ) 为d o o b 骨架过程，则 p ( “一f _ s f ) = 以7 2 一f ls f ) = f o ) ( 疗1 ) 令 f a x ) = k 。f ，西) ， ； 兄= i f a x ) x ( d x ) ， 以( 4 ) = 以瓴椰石( 鳓 f 定理2 5 1 设x 为d o o b 骨架过程，则 删) = 等 p a x , a ) = 舭掣半 ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ) i 埘 埘 h 伢 ， 硕士学位论文第二章预备知识 定理2 5 2 设工( r ) 为d d d 6 骨架过程且陋f ( ，) f 0 ，v i , ，e 和r ”中的任意子集爿有 p s ( t + f ) = j ，x ( t + f ) a l s ( r ) = l r ( f ) = 田= 尸 s o ) = _ ，x ( ，) a l s o ) = f ，x ( o ) = 工) ( 2 2 6 ) 记 b ( f ，x ，彳) = p s ( t ) = j , x ( t ) a l s ( o ) = i , x ( o ) = x 它称为转移概率函数，我们对此转移概率函数引进如下的几类假设。 对转移函数矩阵p 以五4 ) ，关于离散状态可作如下假设： 假设2 7 1 ( 连续性假设) 存在矩阵q ( 功= 【吼o ) 】使得 1 姗【p r ，x ，r ”) - 刀= q ( 力 ( 2 2 7 ) 成立，q ( 功称为生成元矩阵。 假设2 7 2 ( 保守性假设) 若q ( 功，v i e 有 g ，( 功= 1 。o ) = g f ( 2 2 8 ) j 则称q ( 力为保守的。 假设2 7 3 ( 稳定性假设) 若q ( 力对给定的x r ”，v i e 有吼( 功 0 ，使得 l ，i 。m f l - p r ，x ，酬i y - 刮 艿 ) ) = o ( 2 - 2 9 ) 假设2 7 6 ( 漂移性假设) 对艿 0 ，存在矩阵彳( 工) - 【嘞 ) 】使得 渤；叫盘 _ 蝴 引叫 ( 2 _ 3 0 ) 1 4 硕士学位论文 第二章预备知识 假设2 7 7 ( 扩散性假设) 对艿 o ，存在矩阵曰( x ) = 吼( 砷】使得 l 叫i r a l - ；一出- 班方) = 荆 ( 2 _ 3 1 ) 令善是一非负随机变量( 或称寿命) ，参= f r 称为其剩余寿命。假定描述随机模 型的随机过程s ( f ) 只依赖有限个相互独立的寿命，其中非指数寿命都是连续型的。过 程的每个离散状态变动都与某个寿命终止相联系，即在某一状态的逗留时间将由其最 小( 剩余) 寿命决定，且终止的寿命按某种规则再次出现时仍服从同一分布。仿照 c o x 6 3 引进补充变量的方法，令，时刻这些非指数随机变量的年龄分别为 五( f ) ，以o ) ，则 s o ) x i ( f ) ，x 。( r ) ) 形成一个混合型向量随机过程，状态空间为 e x 贮 ， 定义2 7 4 设善的密度函数、分布函数和补分布函数分别为厂o ) ，( f ) ，y ( t ) ， 其中，( f ) = l f ( ，) ，则 川) = 溉古跗褂r i 归器= 篇 ( 2 - 3 2 ) 称为f 的风险率函数。 定理2 7 1 对于离散状态随机过程s o ) ，若按年龄引进补充变量，则所得混合型 向量随机过程 s ( f ) ，置( f ) ，j 0 ( r ) ) 是齐次稳定的混合型向量马氏过程。 硕士学位论文 第三章单一奶牛群个体致量增长模型 3 1 引言 第三章单一奶牛群个体数量增长模型 畜牧业是我国经济中的一个不可缺少的组成部分，加强畜牧业资源的保护、开发和 利用，促进畜牧业生产的健康发展和促进牧民增收是有关政府部门的首要任务。 养殖业是畜牧业经济中的一个重要组成部分，做好养殖规划能够有效地提高畜牧 业收入，促进畜牧业的可持续发展。牛羊的养殖受到养殖区域的生态环境状况和自然承 载能力等多因素的影响和制约。怎样合理安排和确定养殖种类、养殖容量以及制订养殖 方式等内容是有关政府部门和养殖户非常关心的问题。 牛羊养殖户最关心的是怎样能够在较短的时间内用最少的成本获取最大的经济效 益。因此，牛羊养殖户往往需要从定量的角度来了解群体中个体数量的实时变化情况。 下面我们将以奶牛的养殖为例来分拆奶牛群体中奶牛的数量变化情况。 3 2 模型假设与描述 本文将利用马尔可夫骨架过程理论来研究单一种群个体数量变化的预测模型。在这 个模型中，我们所考虑的是一个封闭区域的单一的奶牛群，即不考虑人工放养，而只考 虑该区域奶牛的自由繁殖、死亡( 在这里，我们称奶牛的生命结束或使用价值终结为奶 牛的死亡) 和客户的订购销售。 在这个模型中，我们作如下假设： ( 1 ) 假设在某一片区域养殖户养殖着一种奶牛，其他动物的存在不会影响到奶牛的 生长； ( 2 ) 假设奶牛发生了死亡，我们将把它从奶牛群体中移除； ( 3 ) 假设客户的订购销售是一种随机行为，并且每一次订购的奶牛数目是一个随机 变量： ( 4 ) 假设在0 时刻的奶牛数目为i ( i o ) 头。 那么对于奶牛群这一个有进有出的开放系统而言，有奶牛数量的增加和奶牛数量的 减少。奶牛数量的增加有一种方式。奶牛的繁殖。奶牛数量的减少有两种方式：奶牛的 1 6 硕士学位论文第三章单一奶牛群个体数量增长模型 死亡和客户的订购销售。 符号与变量的引进： ( 1 ) 假设每一次只有一头奶牛出生，而且相邻两头奶牛出生的时间间隔以独立同 分布。其分布函数为 d ( f ) = p ( 丸f ) ( 3 1 ) ( 2 ) 假设奶牛的寿命是一个随机变量，而且假定每一头奶牛的寿命是相互独立同分 布的，其分布函数为 bo)=pgf)(3-2) ( 3 ) 假设相邻两次客户的订购销售的时间间隔c _ 独立同分布，其分布函数为 c ( f ) = 尸( f ) ( 3 3 ) 同时我们假设在一次客户的订购销售中客户订购的奶牛数目为f ，并且订购七头奶 牛的概率为只= p ( f = 尼) ， = 1 ，2 ，3 ，0 ，假定在一次客户的订购销售中养殖户出售 的奶牛平均数目为m 头，a l j e 4 = 蛾= m 。在本奶牛数量变化的预测模型中，我 七一l 们将 ，看成是发生一次客户订购销售中养殖户出售的奶牛数。 ( 4 ) 假设用l ( f ) 来表示时刻f 该区域的奶牛的总数目。 ( 5 ) 假设以，f ，c 衙是相互独立的，其分布函数都是