4—4.3 直线的参数方程..doc

44.3 直线的参数方程【学习目标】1能选择适当的参数写出直线的参数方程2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1. 直线参数方程的标准形式：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2. 参数的几何意义：参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离。当点在上方时，；当点在下方时，；当点与重合时，；要点注释：若直线的倾角时，直线的参数方程为.要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0(x0,y0)斜率k=tg=的直线的参数方程是(t为参数) 在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，t表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b21，则动点P到定点P0的距离是t. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为(1) 当1时，则t的几何意义是有向线段的数量. (2) 当1时，则t不具有上述的几何意义. 可化为 令t=则可得到标准式 t的几何意义是有向线段的数量.要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是 （t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cos,y0+t1sin)，(x0+t2cos,y0+t2sin)；(2)P1P2=t1-t2;(3) 线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离PP0=t=(4) 若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|FQ|=| t1t2|，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程例1. （2016春 福州校级期中）直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）A 20 B. 70 C. 110 D. 160【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角把参数方程改写成，消去t，有，即，所以直线的倾斜角为160第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，所以直线的倾斜角为160，选D【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。举一反三：【变式1】 已知直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角【答案】 关键是将已知的参数方程化为的形式。若化成另一种形式，若2t为一个参数，则，在内无解；而化成时，则得 故直线的倾斜角为【变式2】求直线的斜率。【答案】 【变式3】为锐角，直线的倾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】，相除得，倾角为，选C。 【变式4】 已知直线的参数方程为，的参数方程为试判断与的位置关系 【答案】 解法一：将直线化为普通方程，得y=2x+1，将化为普通方程，得 因为，所以两直线垂直 解法二：由参数方程可知的方向向量是a1=（2，4），的方向向量是a2=（2，1），又22+4(1)=0， 即两条直线垂直例2设直线的参数方程为 （1）求直线的直角坐标方程； （2）化参数方程为标准形式【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正 【解析】（1）把代入y的表达式， 得， 化简得4x+3y50=0 所以直线的直角坐标方程为4x+3y50=0 （2）把方程变形为 ， 令u=5t，则方程变为记，直线参数方程的标准形式是： 【总结升华】 已知直线的参数方程为（t为参数），由直线的参数方程的标准形式可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为再令，由直线倾斜角的范围，使在0，）范围内取值，并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为（t为参数）由上述过程可知，一般参数方程中的具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。 举一反三：【变式1】写出经过点M0（2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且求出直线上与点M0相距为2的点的坐标.【答案】直线的标准参数方程为 即（t为参数）（1） 设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t, 则| M0M|t| =2, t=2 将t的值代入(1)式 当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（2，3）； 当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（2，3）.【变式2】直线的参数方程能否化为标准形式？【答案】 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) 令t= 得到直线参数方程的标准形式 t的几何意义是有向线段的数量.【变式3】化直线的普通方程0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明t的几何意义.【答案】令y=0,得1，直线过定点(1,0). k= 设倾斜角为，tg=,= , cos =, sin= 的参数方程为 （t为参数） t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由 (1)、(2)两式平方相加,得 tt是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长. 类型二、直线的标准参数方程的初步应用例3 设直线过点A（2，4），倾斜角为 （1）求的参数方程； （2）设直线，与的交点为B，求点B与点A的距离【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.【解析】（1）直线的参数方程为， 即（t为参数） （2）如图所示，B点在上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离 把的参数方程代入的方程中， 得， 由t为正值，知【总结升华】（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点举一反三：【变式1】已知直线与直线相交于点，又点，则_。【答案】。 将代入得，则，而，得【变式2】已知直线l1过点P(2，0)，斜率为(1)求直线l1的参数方程；(2)若直线l2的方程为xy50，且满足l1l2Q，求|PQ|的值【答案】(1) 设直线的倾斜角为a，由题意知tan a，所以sin a，cos a，故l1的参数方程为(t为参数)(2)将代入l2的方程得：2tt50，解得t5，即Q(1，4)，所以|PQ|5【变式3】求点A（1，2）关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A 的坐标。【答案】由条件，设直线AA 的参数方程为 (t是参数)，A到直线l的距离d = ， t = AA = ，代入直线的参数方程得A ( ，)。【变式4】 已知直线过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|PB|的值为最小时的直线的方程 【答案】设直线的倾斜角为， 则它的参数方程为（t为参数） 由A、B分别是x轴、y轴上的点知yA=0，xB=0， 0=2+t sin，即； 0=3+t cos，即 故90180，当2=270，即=135时，|PA|PB|有最小值 直线方程为（t为参数）， 化为普通方程为x+y5=0类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用例4. 经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点 （1）求弦BC的长； （2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC的方程； （4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程 【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算 【解析】取AP=t为参数（P为上的动点）， 则的参数方程为， 代入x2+y2=25，整理得 =9(2cos+sin)2+550恒成立 方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos+sin）， （1） （2）A为BC中点，t1+t2=0， 即2cos+sin=0，tan=2 故直线BC的方程为， 即4x+2y+15=0 （3）， (2cos+sin)2=1，cos=0或 直线BC的方程是x=3或3x+4y+15=0 （4）BC的中点M对应的参数是， 点M的轨迹方程为 ， 即点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便举一反三：【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ） A B C D 【答案】D，得，中点为【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程 【变式3】过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线相交于A、B两点，求线段AB的长【答案】直线的参数方程为曲线可以化为将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分别为， AB例5（2016 鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为=4cos，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x24x+y2=0 将代入上式并整理得解得点T的坐标为 其极坐标为（5分）（2）设直线l的方程为由（）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l的距离为则，解得k=0，或直线l的方程为，或 其极坐标方程为（R）举一反三：【变式1】已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。【答案】（1）直线的参数方程为，即 （2）把直线代入得，则点到两点的距离之积为【变式2】（2016 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|【解析】（I）=4cos，2=4cos，圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x2）2+y2=4整理得，即t1，t2异号|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=【变式3】 设M、N是抛物线y2=2px (p0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O为坐标轴原点），过M、N作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P1、P2两点和Q1、Q2两点.求证：|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2| 【答案】设点M、N的坐标为M(a，0)，N(-a，0) (a0)，两平行线P1P2，Q1Q2的倾角为，则直线P1P2的标准参数方程为代入抛物线方程y2=2px，得t2sin2-2ptcos-2pa=0 由t的几何意义得同理Q1Q2的参数方程为 得|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|【巩固练习】一、选择题1下列可以作为直线2xy+1=0的参数方程的是（ ） A（t为参数） B（t为参数） C（t为参数） D（t为参数）2. （2016春 吉安期末）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x-2y-1=0和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为（ ）A.4 B.0 C. 2 D. -43曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 4直线的参数方程为（t为参数），则它的倾角为（ ）.A B C D5直线（t为参数）上对应t=0，t=1两点间的距离是（ ） A1 B C10 D6直线(t为参数)上与点A(2，3)的距离等于1的点的坐标是( )A(1，2)或(3，4) B(2，3)或(2，3)C(2，3)或(2，3)D(0，1)或(4，5)7（2016春 沈阳校级期末）直线 (t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题8.直线过定点_.9.直线上与点的距离等于的点的坐标是_.10直线的参数方程为，直线的极坐标方程为，则与的夹角为_11（2015 湖北模拟）在直角坐标系中，参数方程为（t为参数）的直线l，被以原点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为=2cos的曲线C所截，则截得的弦长是三、解答题12. 已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.13. 已知直线经过点P（1,3）,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆16的两个交点A，B与P点的距离之积.14. 设抛物线过两点A(1,6)和B(1,2)，对称轴与轴平行，开口向右， 直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程.15.（2015 锦州一模）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积【答案与解析】1【答案】C 【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两若中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2xy+3=0，故选C。2. 【答案】A【解析】直线l2的普通方程为2x-ay-a=0，因为直线l1的斜率为 ，直线l2的斜率为，所以，解得a=4，故选A。3【答案】B 【解析】当时，而，即，得与轴的交点为； 当时，而，即，得与轴的交点为4【答案】D；【解析】由题, 因,故,应选.5【答案】B 【解析】 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不个有几何意义，故不能直接由10=1来求距离，应将t=0，t=1分别代入方程得到两点坐标（2，1）和（5，0），由两点间距离公式来求出距离，即。6【答案】C 【解析】由(t)2(t)212，t7【答案】B【解析】直线的普通方程为x-2y+3=0，圆的圆心为（0,0），半径为r=3，所以圆心到直线的距离 ，弦长为 ，故选B。8【答案】；【解析】，对于任何都成立，则9【答案】,或；【解析】10【答案】 【解析】 直线的参数方程可化为。其倾斜角为。直线的倾斜角为。与的夹角为。11.【答案】【解析】由题意知，直线l的倾斜角为30，并过点A（2，0）；曲线C是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C也过点A（2，0）；设直线l与圆C的另一个交点为B，在RtOAB中，12.