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山东师范大学硕士学位论文 基于迭代函数系统的植物仿真建模研究 摘要 自然景物的计算机模拟是计算机图形学中研究的一个重要课题。自然景物在 外形上的随机性和不规则性难以用传统的方法加以描述。自分形概念创立后，其 作为一门新兴的交叉学科，受到非线性学术界的广泛重视。分形为探讨自然界复 杂事物的客观规律及其内在联系提供了新的概念和方法，在自然景观的模拟特别 是植物的模拟中，分形技术展现了其独特的优势，成为当今时代研究者们的热点 之一。 利用分形技术进行植物模拟实际上是利用植物自身结构的分形特征生成植 物图形。当前，分形植物模拟的方法有很多种如迭代函数系统( n e r a t e df u l l c t i o n s y s t 锄，s ) 、l 系统、受限扩散凝聚i 触s i o l l l i l i l i t e da g 舯g a t i 呱d l a ) 模型和 粒子系统等。本文主要研究迭代函数系统s 方法，该方法可以由一个数学系 统去解析地构造、研究一大类人为的或自然的具有自相似结构的对象，是科学研 究的一种非常有效的简化事物的方法。 本文首先介绍了s 的基本原理、重要概念以及用s 迭代生成分形图的两 种算法：确定性迭代算法和随机迭代算法，为进一步利用巧s 模拟植物奠定理论 基础。本文的研究工作主要有以下两个方面： 二维s 植物建模。在本部分的研究中，主要针对二维s 码的获取方法及 阴影绘制技术两方面的内容。首先分析比较已有的获取二维s 码的方法如传统 拼贴方法、三点法和三角形法。在此基础上，提出矩形框法并得到若干种植物的 s 码及其所对应的效果图。矩形框法是在原图上画出拼贴方式的示意图，在示 意图上对原图及其每一个小“拷贝 用矩形框先进行约束然后再取点。此方法在 取点和选取拼贴方式两个方面都做了一定的改进；然后，分析了已有的二维s 模拟植物的阴影绘制技术，并且对已有的阴影绘制方法作了改进，通过对象素点 进行线性变换，消除了在绘制过程中树影偏离树体的现象。 三维s 植物建模。首先阐述3 d s 植物建模的理论基础，分析总结前人 研究成果，在此基础上提出了分别针对合轴分枝和单轴分枝树木的3 d s 码确 定算法。另外，在3 d s 树木建模的基础上，通过定义着色变量砌，和着色 函数厂( x ) ，给出了一种基于3 d s 的树木着色方法。该方法首先根据生成树 体各部分的仿射变换不同，确定树体各部分的基本颜色。然后根据树木3 一di f s 建模时各参数在影响树木着色中所起的作用及影响程度，得到对树体各部分的差 异颜色值，再综合确定树体各部分的颜色。该方法不仅能体现树体不同部分颜色 山东师范大学硕七学位论文 的差别，消除了平板色块现象，而且综合考虑了建模中的各参数对树木颜色的影 响程度，细致的表现了树体某一部分内部的颜色差异，通过了在计算机上绘制和 检验，证明该方法可大大增强了树体颜色的层次感。 关键词：分形；迭代函数系统；i f s 码；建模；着色变量：着色函数 分类号：t p 3 9 1 山东帅范大学硕 学位论文 r e s e a r c h0 np i a n tm o d e h n gb a s e d0 nt h ei t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m a b s t r a c t c o m p u t e rs i i i m l a t i o no ft h em “= u r a ls c e i l e r yi sa ni m p o r t a n tt o p i ci i lt ：i l ec o m p u t e r g r a p l l i c s 1 kn a n 】r a 】s c 锄唧i sd i 硒c u nt ob ed e s 嘶b e du s i n g 缸们i t i o n a lm e m o d s b e c a u s ei t s 啪d o m e s sa 1 1 di 玎e g u l 耐咄a f i e r 劬c t a lb e i n ge s t a b l i s h e d ，鹪an e w i n t e r d i s c i p l i n a r ys u 巧e c t ，i tw 笛t o o ks e r i o u s l yb yt h em i s a l i 鲫e n ta u c a d e m i cc i r c l e f r a c t a lh 弱p r 0 v i d e dm en e wc o n c 印t 锄dt 1 1 em e t h o df o rm eh u m i l l go fm eo b j e c t i v e l a wa n dt 1 1 ei n l l e rl i i l l 【o fc o m p l e x 伽n g si l lm en a t u r e h ls i m u l a t i o no fm en a t u r a l s c e i l e 巧s p e c i a l l ym ep l 锄ts i m u l a t i o n ，廿l e 丹a c t a lh 弱u n f o l d e di t s 硼i q s u p 嘶o r i 饥 b e c o i n j n go n e 妣璐o f e r ar e s e a r c h e 瑙 t h ep l 锄ts i l i l u l a t i o nu s i i 培t l l e 仔a c t a lt e c l l i l 0 1 0 9 yi i lf a c ti st op r o d u c ep l 锄t 伊a p hu s i n g 丘a c t a lc h a r a c t 耐s t i co fi t so w ns 劬c t u 】旧p r e s e n t l y ，t h e r ei s a1 0 to f m e t h o d so fp l a n ts i m u l a t i o n ，s u c h 邪n e r a t e df l l l l c t i o ns y s t 锄( 巧s ) ，n l el s y s t e m ， d i f m s i o nl 妇i t e da g 乒e g a t i o n ( d l a ) t 1 1 ep a n i c l e s y s t e ma n d 0 n 1 1 l i sa n i c l e m 酞l e 戗l ef 1 0 c l l so ni t 训o nf 1 m 以o ns y s t e i i l ，也i sm e t h o dm a y 孤咖e 吼dc o n s t n l 砹 al a 玛ek i ：n do f 枷f i c i a l0 rn a t u l 锄o b j e c t s 、i ms i m i l a rs 饥l c t u r e 锄di ti so n ev e 巧 e 髓c t i v em e t h o di n 恤s c i 铋t i f i cr e s e a r c ht 0s i m p l i 矽t l l i n g s h lt h eb e 舀n i ：i i n gt l l i sa n i c l ei i l 仃) d u c e 也eb 笛i cp r i n c i p l c ，t h e 曲p o r t a n tc o n c 印t 锄d 铆oa 1 9 0 r i t l l l ：璐o fp r o d u c t i o n 丘a c t a lw i m s ：d e t e 咖谢s mi t e r a t i v ea 1 9 0 r i t h m a i l d 戗l es t o c h a s t i ci t e r a t i v ea l 鲫t h m ，t 0m a l 【et 1 1 ef o u n d a t i o nf o rt h ef o l l 衲gp l a n t s i m u l a t i o nu s i n g 坞s t m sa n i c l em a “yl 瑚t h ef o l l o w i n g 觚oa s p e c t s ： t w od i n l e n s i o n sp l a n tm o d e l 吨1 1 1 雠sp a n ，m a i l d ya i l i 塔a tg e t t i n go f m e t 、o - d i m 髓s i o n sc o d e s 觚dt l l e s h a d o w - m a 虹n gt e c h n o l o g yf i r s t l y 孤a l y z e s e x i s t i n gm e m o d st 0g e t 铆o d i m e i l s i o n sc o d e s ，s u c h 嬲t 1 1 e 仃a d i t i o n a ls p e l l i n g m e m o d ，m en l | e e - p o i n tm e t h o d 觚dn l et r i a l l g l em e m o d 1 1 l p r o p o s e dm e r e c t a n g u l a r 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sp l a n tm o d e l i n g ， a 1 1 a l y z ea n ds 岍吼撕z et h ep r e d e c e s s o r sr e s e a r c hr e s u l t s ， t h 锄p r o p o s e3 d 一sc o d ed e f i l l i t ea 1 9 0 r i t h ma i m sa ts 印a r a t e l yg a t h e r sn l ea ) 【i s b m c l l i n ga n dm es i n 百ea x l eb 啪c l l i n gn e e s m o r e o v e r ，a r e r3 d sm o d e l m g ， t l l r o u 曲t h ed e f i n i t i o no fm ec o l o r a t i o nv 撕a b l ea n dt h ec o l o 枷0 n 知1 曲o n ，p r e s e n t o n ek i i l do ft r e ec 0 1 0 r a t i o nm e t h o db 鹬e do nt h e3 一d 口s t l l i sm e t h o dd e 丘i l i t eb a s i c c o l o 璐o fv a r i o u sp a no f 仃e e sa c c o r d i n gt od i m ：r e n ta m m 仃a l l s f 0 m l a t i o n s ，t h e n d e f i i l i t ed i 仃e r 豇l c ec o l o rv a l u ea c c o r d i n gt ov a r i o u sp a r 撇e t e r s r 0 1 ea n di n n u e n c ei 1 1 t l l e3 d - sm o d e l i l l g 1 a u s ts y n t l l e s i z e sd e t e n n i n a t i o n 臼e eb o d yv a r i o u s p a r to fc o l o r s t l l i sm e t h o dn o to n l yc 锄s h ( ) 1 t h ed i 热瞰tc o l o ro ft l l e 协e eb o d y e l i m i n a t em e c o l o r b l o c kp h e n o m e n o n ，b u ta l s oo v e r a l lc v a l u a tv 撕o l i sp 觚吼e t e r s i i l f l u e n c et 0t h e 仃e e sc o l o r ，d e s c 衲e c a r e m l l yn e m a lc o l o rd i 仃e r e n c eo ft l l e 缸e eb o d y 1 l 】u 曲 p r 0 鲫m i n g 0 nm ec o m p u t i tp r 0 v e dt l l a t “sm e t h o dl i l i g h ts 眈n g m e nt l l es e n s e 0 f1 e v e l0 fm et r e e sc o l o r 肿a t l y 1 哂啊o r d s ：f r a u c t a l ；n e r a t i o n f l l i l c t i o n s y s t 锄；sc o d e s ；m o d e l i n g ；c o l o r a t i o n m a b l e ： c o l o r a t i o nf u r l c t i o n c l a s s i a c a t i o n ：t p 3 9 】 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没 有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意。 学位论文作者签名：? 永催? 彖 导师签字： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解当堕有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：泵估昧导师签字： 知仍 签字日期：2 0 08 年计月【。日 签字日期：2 0 0 2 年铲月，p 日 山东师范大学硕十学位论文 第一章引言 1 1 分形理论的形成与发展 分形是由b m a n d e l b r o t 于2 0 世纪7 0 年代创立的，用来描述那些不规则而 欧氏几何无法描述的几何现象和物体，被誉为“大自然本身的几何学”n 1 。分形 ( f r a c t a l ) 一词由m a n d e l b r o t 拼造而成，来源于拉丁文的f r a c t u s ，本义是分数、 分级，同时具有碎片、不规则的含义。 m a n d e l b r o t 曾经为分形下过两个定义： ( 1 ) 、满足下式条件：d i m ( a ) d i m ( a ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合a 的h a u s d o f f 维数( 或分维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数乜1 。一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数。 ( 2 ) 、部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富 的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正 如生物学中对“生命 也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一 系列特性来加以说明。类似的，有学者给出分形的描述性定义口1 ： ( 1 ) 、分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构： ( 2 ) 、分形集具有不规则性，从整体到局部都不能用传统的几何语言来描述， 它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集； ( 3 ) 、分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似， 亦即满足标度不变性； ( 4 ) 、一般情况下，分形集的“分形维数，严格大于它相应的拓扑维数； ( 5 ) 、在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，具有递 归性，可在计算机上以递归的方式生成。 分形理论是非线性科学三大理论前沿之一，分形学家在研究复杂系统的空间 结构性质的过程中，提出了各种描述自然形态的迭代方法，并利用计算机进行迭 代而生成各种逼真的自然景物h 1 。例如，用于生成自然景物的迭代函数系统 ( i f s ) ，生成海岸线和区域边界线的中点细分内插法，用于生成山脉、地形、岩 石、云团等的三角形中点位移法和二维随机网格法，用于生成植物、树木的l 系 统，用于描述自然形态的形成过程和机理的d l a 模型等等。这样，人们就可以通 过研究简单的数学模型及其迭代过程，达到研究复杂事物的目的。所以，分形理 论的出现具有重要的方法论意义。 山东师范大学硕t 学位论文 1 2 分形的应用领域 自分形理论建立至今，分形已从一个简单的几何概念发展到一个有着重要应 用价值的理论体系。当前已渗透到图形学、社会科学、艺术等各个领域。一般来 说，分形主要应用于以下几个方面。 1 2 1 分形在计算机图形学中的应用 分形几何在描述自然界的真实特征和细节纹理方面具有特殊的作用。因此， 分形技术是计算机真实感几何造型方面十分活跃并且有效的方法和手段随。而计 算机的应用也大大推动了分形理论的发展，并形成了一种新的研究领域：计算机 实验教学。目前，国外已经推出多种不同的以分形技术为特征的计算机绘图软件， 而且，在许多产品设计中也用到了分形的思想和方法。混沌分形理论在自然景观 的模拟、信息压缩及传送中发挥了重要作用。 1 、分形在植物仿真领域的应用 分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观 规律及其内在联系的需要。自然界中的许多植物，如羊齿植物、菜花和硬花甘兰， 以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保 证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。这些植物的生长、形态很难 用传统的欧氏几何来描述。 分形方法提供了一种描述自然界各种生长现象的新的模型。著名的d l a 模 型、i f s 、卜系统等模型在模拟无机生长现象和植物生长形态描述方面取得了令 人鼓舞的成功，各种新的模型和方法也正在不断发展之中。 2 、在数据压缩方面的研究 分形理论在数据压缩技术中有重要的应用。c 0 1 1 a g e ，b a r n s l e y 等应用迭代 函数系统编码在分形信息压缩方面做了有益的尝试。8 0 年代末，美国数学家 b a r n s l e y 提出了一种利用图像本身的复杂性中包含的自相似性进行压缩编码的 新方法。b a r n s l e y 和s l o a n 在一篇文章中令人惊讶地宣称，利用他们的方法对 静止图像压缩可获得高达1 0 0 0 0 ：1 的压缩比。 分形图像压缩编码方法适用于二值图和灰度( 彩色) 图像，其理论基础是迭代 函数系理论。作为一种较新的图像编码方法，其发展前景仍十分光明。 1 2 2 分形在社会科学中的应用 2 近年来，分形在社会科学中的研究也己经取得了很大的发展。分形作为一种 山东师范大学硕f ：学位论文 其重点在后者，为进一步利用i f s 模拟植物奠定理论基础。 第三章分析比较了已有的获取二维i f s 码的方法：传统拼贴方法、三点法和 三角形法。在此基础上，提出矩形框法并得到若干种植物的i f s 码及其所对应的 效果图。 分析了已有的二维i f s 模拟植物的阴影绘制技术，并且对已有的阴影绘制方 法作了改进，消除了在绘制过程中树影偏离树体的现象。 第四章首先阐述了3 d i f s 植物建模的理论基础，分析总结前人研究成果， 在此基础上提出了分别针对合轴分枝和单轴分枝树木的3 d i f s 码确定算法。 另外，在3 一di f s 树木建模的基础上，提出了一种3 d i f s 树木的着色算法， 增强了树体颜色的层次感。 第五章是对本文进行总结并且对进一步的研究方向提出设想。 本文的主要创新点有： 对获取二维i f s 码的方法一三角形法作了改进，提出矩形框法：在原图 上画出拼贴方式的示意图，在示意图上对原图及其每一个小“拷贝”用矩形框先 进行约束然后再取点。此方法在取点和选取拼贴方式两个方面都做了一定的改 进。 以。 对已有的二维i f s 植物模拟的阴影绘制方法作了改进，通过对象素点进行 线性变换，消除了在绘制过程中树影偏离树体的现象。 ， 在3 一di f s 树木建模的基础上，提出了一种3 d i f s 树木的着色算法，它 不仅能体现树体不同部分颜色的差别，消除了平板色块现象，而且综合考虑了建 模中的各参数对树木颜色的影响程度，细致的表现了树体某一部分内部的颜色差 异，增强了树体颜色的层次感。 本文对典型的方法附有简短的源程序，并有图例说明处理结果。所有图例都 通过了在计算机上绘制或检验。 山东师范大学硕十学位论文 第二章迭代函数系统的理论基础 自从m a n d e l b r o t 创立分形几何学以来，分形理论己从最初对自然物体形态 的描述过渡到对现象的解释。目前，在分形的诸多研究课题中，分形图的计算机 生成问题已显示出了巨大的应用价值。迭代函数系统( i f s ) 是生成分形图的一种 典型方法，它可以由一个数学系统去解析地构造、研究一大类人为的或自然的具 有自相似结构的对象，并为大家广泛认可。 迭代函数系统具有广泛的应用价值，是一种具有普遍意义的方法，可以产生 各种形态的植物、丛林、山川、烟云等自然景物阳1 。从原则上讲，不管多么复杂 的图形，只要能够获得它的i f s 代码，就能够应用计算机生成它。不仅如此，i f s 还具有很高的图形数据压缩能力。总之，迭代函数系统是科学研究的一种非常有 效的简化事物的方法。 2 1lf s 的基本思想 分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只 是在大小、位置和方向上有所不同而已；而数学中的仿射变换是一种线性变换， 它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个小复制品就 相当于对图形作一次压缩仿射变换。于是，从原则上说，任何图形都可以用一组 压缩仿射变换来描述或生成。当然，并不是任何仿射变换都可以用于迭代函数系 统，只有压缩仿射变换才可以应用，否则就不能保证不断重复应用仿射变换过程 ( 即迭代过程) 的保形性和收敛性。 在这里，一个仿射“变换 就是一个线性“函数 ，“不断重复应用仿射变 换就是一个“迭代”过程。一般说来，生成一个分形图需要一组仿射压缩变换， 这就是“迭代函数系统 名称的由来。 由此可见，仿射压缩变换与分形图有着对应关系，即一组仿射压缩变换决定 一个分形图；反之，一个分形图由一组仿射压缩变换确定。 2 2if s 的理论基础 2 2 1 仿射变换 6 定义二维欧氏空间中的仿射变换为国：r z 专尺z 。设尺z = ( x ，j ，) 是此二维空 个 山东师范人学硕十学位论文 间中的一点，经仿射变换后得到点r 乙= ( 工，y ) 丁，写成矩阵形式为： ； = 国 ； = ：宝 ； + ； c 2 一l ， 其中口，6 ，c ，d ，p ，厂六个参数为实系数，确定一个仿射变换。可以将其分解成 平移、旋转、比例变换等，用下式表示： ；t = 国 ； = ：三薹吕二弓兰兰； ； + ； c 2 2 ， 其中岛厂为x ，y 方向上的平移分量，9 ，缈为分别围绕x ，j ，轴的转角，g 是x ，y 方向上的比例放大系数。 仿射变换具有如下几何特征阳1 ： ( 1 ) 、仿射变换的逆变换仍然是仿射变换。 ( 2 ) 、仿射变换是线性变换，直线段经仿射变换后仍然是直线段：并且保持线 段上的点的定比不变。 ( 3 ) 、两平行直线经仿射变换后，仍然保持平行性。因此，平行四边形经仿射 变换后，变为另一个平行四边形。 ( 4 ) 、任意图形经仿射变换后，其面积将发生变化，为变化前的i 耐一k i 倍， 若i 耐一6 c i = 1 ，则面积在仿射变换前后不变。 此外，对于一个仿射变换，总可以找到一个非负的数s 使尺刀中任意的两个 空间点z 1 ，z 2 都满足：i 卜( z 1 ) 一国( z ) 4 s 0 2 1 一z 2 8 其中非负数s 称为映射国的l i p s h i t z 常数。上式表明，总可以找到非负数s ， 使得映射象点之间的距离小于原来两点之间距离与s 的乘积。s 可以看作映射国 的压缩比，若s l ，则称仿射变换映射国为一压缩映射。在i f s 迭代函数系统 中，要求所有的仿射变换均为压射缩仿射变换。 仿射变换是一种线性变换，一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距 离、图形的面积等，但不改变共线、平行、相交、共线点的顺序、中心对称、二 次曲线的次数等。它可以将球变换为椭球，把正方形变换为平行四边形。本章主 要针对二维仿射变换，包括对图形作绕原点的旋转、比例变换及平移等。 7 山东师范犬学硕士学位论文 在构造分形图的过程中，如何用若干个小的复制品表达原始图，b a n s l e y 的 拼贴定理给出了解决该问题的理论依据。 定义2 3 ：设 哆，乃i = 1 ，2 ， 是一组i f s 码，s 是各个映射功，的 l i p s c h i t z 常数中最大的一个，并且s l ；s 是任意小的正数，t 为r z 上给定的 ， 厂、 边界闭合的子集假定国，已经选定使得：办丁，d ，国，( 丁) l g ，那么 o 、，= l o ， 办( 丁，么) 0 ，则沿+ x 方向错切；若c o ，则沿+ j ，方向错切；若6 0 ，则沿一y 方向错切。 y 。 l c 6 b c ，r ， 廿 一。一。 图3 9 沿y 轴关于x 的错切 4 、平移变换 团。一日川m “刖w x 平移变换是点p ( x ，y ) 沿x 方向的平移量t 和沿y 方向的平移量0 ，经变换后 x 、= x + t i ，y j2y + t y o 3 3 2 阴影绘制算法及其改进 对于物体阴影的绘制，一般在工程图学中，都是基于三维直角坐标系，首先 进行立体造型，然后根据光源模型和视点位置，结合复杂的技术进行面投影得到 的“印嘞1 。但是，因为绘制树影的目的是增强树木模拟效果的真实感，没有必要采 用工程图学中的方法，以大计算量为代价，绘制丝毫不差的阴影。一些学者提出 利用i f s 模拟简易树影的绘制方法【2 妇呦1 ，其基本思想是，依据i f s 码迭代产生的 点集，在绘制其中每个点，从而得到分形树木的同时，逐点进行二次处理，然后 绘制经二次处理后的点，得到树影图形。 李庆忠等提出：对点的横坐标进行错切变换x = 麟+ c 砂；对点的纵坐标 进行缩放变换y = 砂。其中：a ，b 是x ，y 方向的缩放因子，c = 留7 ，7 是沿x 方向错切的角度。 该方法确实可以获得真实感较强的树影。但是，使用该方法绘制树影时，会 1 9 山东师范大学硕七学位论文 出现一个问题：假设树干最下端的点坐标为( ，) ，经x 轴的错切变换 x = 似+ c 砂和y 轴的缩放变换之后，得到的点( x ，y ) 必将偏离了点( ，) ( 除 非( 而，) 为( o ，o ) 点) ，如下图所示。因此，在绘制每一个树影时，就需要对绘 制算法中的输出像素点的函数s e t p i x e l v ( i n tx ，i n ty ，u n s i g h e d1 0 n g r g b ( ，i c ，宰，i ：) ) 的前两个参数作修改，使生成的树影不至于偏离树体。 图3 - 1 0 分形树l图3 l l 偏离树体的树影 为了解决此问题，本文提出一种改进的树影绘制方法。 假设树体上某点的坐标为尸( x ，y ) ，将它的x ，) ，均进行线性变换： p _ 腰+ 砂棚 【y 。弘+ 纱+ 厅其中，参数p ，g ，s ，r ，朋，行均为实数值。 在此线性变换中，通过对参数朋，刀的设置，就完全可以解决树影偏离的问题。 本论文中，为简单起见取g = 0 ，留口= 三，口为沿y 轴顺时针方向的旋转角， l 调整口的值，可以得到太阳在不同方位既高度所产生的树影。 下面以原图为例，介绍树影具体绘制过程： 1 、对点的x ，少坐标进行缩放变换和旋转变换： 2 7 ：砂 ( 3 3 ) l 少2 吵 其中：p ，r 是x ，y 方向的缩放因子，j = f 增口，口是y 坐标沿顺时针方向旋 转的角度，这反映了现实中树影随太阳方位角的改变而产生的位置变动。 现实中，当太阳接近直射时，树影形状比较粗短，随着太阳高度角减小，即 太阳偏于斜射时，树影趋于纤长。通过对点坐标缩放变换，可以塑造出不同形状 的影子，以反映太阳高度角的变化。同时，旋转可以使树影图形产生适当的整体 变形，避免其过于拘泥于分形树自身形状，有助于进一步表现树影的真实感。 2 、用鼠标取树干最下端点的坐标，并记录，假设其坐标为m ( ，此) 。将 2 0 点m 进行式( 3 3 ) 的变换，得到点m ( x 肘，j ，m ) 。根据下式( 3 4 ) 得到，l ，疗。 j 所= 一j t 辨 【抬= 一y 掰 ( 3 4 ) 按照上述树影绘制算法，可以得到太阳在任意方位角和高度角时，比较逼真 的树影。以下便是使用该算法得到的树影的图形。 图3 1 2 分形树1 的树影l 树影1 的各参数取值如下( 详细程序实现见附录a ：2 ) ： p = o 4 ，f = o 5 ，岱= 6 8 0 j = f x 留口= o 5 留( 一6 8 0 ) 一1 2 4 所= 一8 5 ，捍= 3 0 图3 一1 3 分形树1 的树影2 树影2 的各参数取值如下： p = 0 8 ，f = 0 5 ，口= 3 0 0 s = f 留口= 0 5 辔( 3 0 0 ) 0 2 9 聊= 1 5 ，即= 2 5 树影3 的各参数取值如下： p = 0 3 ，f = o 7 ，口= 5 0 0 s2 f 留口= o 7 留( 5 0 0 ) 0 8 3 ，l = 5 0 ，刀= 1 8 2 1 山东师范大学硕七学位论文 图3 1 4 分形树1 的树影3图3 一1 5 分形树l 的树影4 树影4 的各参数取值如下： p = 0 8 ，f = 0 3 ，口= - 2 0 0 0 s = f 培口= 0 3 留( - 2 0 0 ) - o 1 1 朋= 一5 ，刀= 4 5 在实际绘制过程中，考虑到现实中由于光线的作用，越靠近树根部影子越偏 暗，因此绘图时，依据x 的值，适当调整点的着色，以进一步加强其真实感。 山东师范大学硕士学位论文 第四章三维i f s 植物建模 i f s 植物建模的应用受到一定限制，这主要是因为，二维i f s 码不易获得， 它是利用交互图形技术对景物图像不断“试凑 而获取的，对使用的硬件、软件 以及操作人员的经验要求都很高。其次，二维i f s 码只是景物图像的模型，而不 是景物自身的形体模型，反映的只是从某个确定的视点所看到的景物的某个观察 面。并且，若景物自身的形态发生了变化或者变换了观察视点，就需要有相应的 景物图像并由此得到另一组新的i f s 码，这在实践上是很困难的口们。 本文将i f s 推广至三维空间，用3 d i f s 来描述植物的形体模型。这样，由 一组i f s 码即可获得多幅在任意视点观察到的植物的三维图形。 4 1 理论基础 4 1 1 三维if s 码的相关概念 射族q ：r 3 一尺3 ，组成一迭代函数系统即3 d i f s ，记为 r 3 ：哆，扛1 ，2 ， ； 如果q 对应的压缩比为e ，则称o c = m a ) 【 e ，f = l ，2 ，) 1 为此i f s 的压缩 比。如果对应每一个q 有一伴随概率露，o 毋 1 且忍= l ，所谓i f s 码是指 椰( 矿，p ) 中的集合 哆，lf _ l ，2 ，) 。 q 茎 = 三兰耋釜差 茎 + 蒌 简写成缈( x ) = 么( x ) + m 。所以说，确定一组i f s 码，就是要确定这组压 缩映射中每一个q 的变换系数a 和m 。实际上，a 是一个复合变换矩阵，它包含 山东师范大学硕十学位论文 缩放矩阵：s c ，勺，乞，= 毫 绕x 轴旋转口的旋转矩阵： 绕y 轴旋转口的旋转矩阵： 绕z 轴旋转口的旋转矩阵： 列 她，= 陛壶 地，= i b ( q ) = i o1o l i s i n 口， o c o s 口。i 她，= 降葶0 么= s ( ，o ，乞) 疋( 吒) 髟( q ) 足( 吒) = 雕驰熹毒 i 三篓忭学辜 m 2 【肌y 他j 其中，0 ，乞分别表示x ，y ，z 三轴的比例变换系数；口，口，口：分别表示绕 x ，y ，z 轴的旋转变换角度，豫，朋，聊：分别表示平移变换系数。 在三维空间上将b a r n s l e y 的拼贴定理船刚推广如下：设 哆，霉if - 1 ，2 ，) 是 假设哆已选定，使得 z ，q ( 丁) l p 那么办( 丁，b ) p ( 1 一c ) 。这里，b 是该i f s 刀次因子的定义：若厂( x ) = 口1 x + 口2 x 2 + + ，( o x = t c ，则着植物的叶的颜色，否则 着植物的干或茎脉的颜色。 ! ； ( 3 ) 、随机i f s 由于引入了概率集，从而可以控制某仿射变换在随机迭代过程 中被选中的机率啪1 ，即控制落入相应拼贴子图区域中点的数目，因此有助于表现 层次感，但是，如果给树冠着以单一的绿色，则同样由于概率集的引入，在某些 区域会出现点的过于密集，从而产生许多大小不一的平板色块现象，让人感觉生 硬、呆板，与现实世界中的树木不相符。对于这种情况，如果机械地减少迭代次 数，又会使小概率控制的区域因点数减少变得模糊。为解决此问题，我们引入一 个随机干扰颜色值c 阳刀如搠，使得所着颜色为某一区域的“摆动色 ，避免出 现平板色块。 定义变量c m ，l 如聊为范围限制在 一1 0 ，1 0 内的一个随机数。 关于随机干扰因子r c 的取值可以有多种情况“帅羽，但一般情况下，为确保其 模拟效果的逼真度，其取值范围一般在 一4 0 ，4 0 。 ( 4 ) 、在现实世界中，除了客观的环境条件( 此处暂不考虑) 之外，树木自身 各分枝的着枝高度、粗细；各个分枝的长度、粗细等，对树体各部分的颜色也有 山东师范大学硕卜学位论文 一定的影响，从而使树体呈现出较强的层次感。 为获得此效果，本文分别从以下两方面解决： ( 1 ) 、对于第一种情况即树木自身各分枝的着枝高度、粗细对颜色的影响，可 以根据得到树体各部分仿射变换的不同，对变量c c d 珊t a i l f 加减某一合适的值， 来表现树体各相似部分的细微颜色差异。如，根据自然界中树木的生长规律，树 体的各分枝中，着枝相对矮、粗的分枝较着枝高、细的分枝颜色更深一些，则对 前者的变量c 玎j t a l l f 加一个适当的值。 ( 2 ) 、对于第二种情况即各个分枝的长度、粗细对颜色的影响。首先分析树木 3 一di f s 建模时的各个参数在影响树木着色中所起的作用，然后设计一个着色函 数。由该着色函数得到一个差异颜色值。通过差异颜色值的引入使整个树体及其 各部分的颜色有一个合理的过渡，从而更好的表现其层次感。 在对树木进行3 一d i f s 建模时，需要确定的参数有名，乞，气，口y ，等。为 叙述的简单起见，本文仅考虑朋y ，聊1 ， 朋，几个参数。 。、 j - 为了定义着色函数，我们根据现实世界中，影响树木颜色的各种因素做以下 分析： ( 1 ) 、m 越大，则树越高( 或者树枝越长) 。从自然界中树木的生长规律容易 y 看出，树的颜色越浅。若将着色函数值的大小与颜色的深浅建立对应关系，那么 着色函数和朋的值应呈反向变化。 y 为表现各参数对着色函数的影响程度，引入以次因子的概念，见4 1 1 。 在本文中，假定树的高度是决定其颜色的最重要的因素，因此，将朋定义 y 为着色函数的一次着色因子。 ( 2 ) 、珑，珑越大，则树干越粗( 或者树枝越粗) 。从自然界中树木的生长规 工 z 律也容易看出，此时树的颜色往往越深。同样，若将着色函数值的大小与颜色的 深浅建立对应关系，那么着色函数和朋，朋，的值应呈正向变化。 本文中，假定树的粗细，在决定树的颜色时较为重要，因此，将聊，聊作为 么 着色函数的二次着色因子。 ( 3 ) 、越大即分枝与主轴的夹角越大，则树枝生长的越下倾。在树枝的长度 相同的情况下，当然越大树枝生长的越矮小。从自然界中树木的生长规律容易 山东师范大学颀 j 学位论文 看出，树的颜色越深。但是，树枝的长度并不一定都是相同的。所以，考虑到 的值对树的颜色影响相对也较重要，因此，将作为着色函数的三次着色因子。 依此类推，可以定义着色函数的四次因子、五次因子等，那样就会得到更为 细致的着色效果。 根据以上分析，定义着色函数厂( x ) 如下： ( x ) = 1 x + ( 龟+ 口3 一z ) x 2 + x 3 + j ， 将着色函数值的大小与差异颜色值的大小建立对应关系，得到差异颜色值 c g 叩。 综上所述，定义树体的着色变量c d 砌，如下： 砌，= c c d 淞t 觚f + c 一阳，z 面肌+ c 一聊 其中，c c d 淞t a i l r 为基本着色值；c 一阳珂如聊为随机干扰值；c 一即为差异 颜色值。 4 3 3 实现效果分析 根据该着色方法，仍以槐树为例，说明其应用。 首先确定着色变量砌，各分变量c c d 淞t a i l f ，c 一阳刀如肌，c 一聊的值如下： ( 1 ) 、对干体映射气，吃：c 一邶t a n f 取黑褐色；对分枝映射勺，鸭： c 一珊t a n ，取深绿色。 ( 2 ) 、c m 托如聊的取值： 尺c 乃唧= ( 加讲) 翮d o 删一脚 艘= r c 脚1 0 0 0 。 ( 3 ) 、为简单起见，本文仅考虑，z x ，聊1 ，几个参数，最高用到三次着色因 子。在此前提下，得到着色函数厂( x ) ： m ) ：熹甜x 2 + 黑x 3 ( o ) r = ( n o a