（应用数学专业论文）常用类型的模糊矩阵幂序列的收敛性.pdf

摘要 本文在逻辑运算m a x m i n 的意义下系统地研究了常用类型的模糊矩阵幂序 列斡收敛憋。我们善走分绥了模凝集与模糊关系游橛念，弓l 出模凝矩阵零序歹l 麴 收敛性问题。然后简要潮顺了中外学者针对一系列特殊类型的模糊矩阵幂序列的 收敛性所作的研究成果，并且在总结过程中逐步地建立了它们之间的包含关系， 爨咒乎翳窍兹鬻曩类垄瓣模凝矩痒都缡入到二除囊鼹占缆模凝艇阵静统一鬃袭 之内。 模糊矩阵的分解定理，建立起了联系模糊矩阵和布尔矩阵之间的桥梁，将蒋 逶模期矩黪麴收敛挂弱熬转驻受了摇荚毒尔矩阵毂收敛篷闫题。缀据寿尔矩簿蕊 有向伴随圈中顶点之间蠹勺连通性，我们给出了任意布尔矩阵在置换相似意义下的 标准型，证明了一个收敛布尔矩阵收敛于一个幂等瓶阵，具体归纳了收敛布尔矩 痒戆三季孛擞限形式。裂翅模颧矩痒与獒蠢淘转夔蚕之阙懿基本关系，我们逐步深 入的探讨了二阶回路占抗布尔矩阵的收敛性。在给出了二阶回路占优模糊矩阵收 敛的一个充臻条件之后，我们又一次借助模糊矩阵的分解定理，将二阶回路占优 毒尔矩疼戆收敛指数懿蠢关续暴壹接平移n - 除隧爨占毯模凝怒簿上亲，扶懿蠢乏 明了常用类溅的挖阶模糊矩阵幂序列的收敛指数的一致上界为3 n 一4 。 本文建立的有关结果可以视为对以往关于模糊矩阵幂序列的收敛性的研究 成莱懿系绞倦窝发展，梵模壤矩阵瘦弱予聚类分掇耧褥经网络等镁域瓣凌了浚皴 性问题。 关键运：模糊矩薄；袁尔矩薄；据磴攒；浚敛撑鼗。 。 ，。，一，。， 些至篓些奎辇兰堡圭墼塞，。一，一。，。一 ， a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n d u c t e das y s t e m a t i cr e s e a r c ho nt h ec o n v e r g e n c eo ff u z z y m a t r i c e so fc o m m o n l yu s e dt y p e so nt h eb 秀s i so fm a x r a i nc o m p o s i t i o n a t f i r s t , b o t ht h ec o n c e p t so ff u z z ys e ta n df u z z yr e l a t i o na r eg i v e n , a n dt h e c o n v e r g e n c eo ff u z z ym a t r i c e si si n t r o d u c e d t h e nt h ep a p e rb r i e f l yr e v i e w s t h ep r e v i o u sr e s e a r c ha c c o r d i n go nas e r i e so ff u z z ym a t r i xo fs p e c i a l t y p e s i n t h ep r o c e s so ft h a t , t h ea u t h o re s t a b l i s h e st h e i ri n c l u d a b l ec o n n e c t i o n s ，a n d p u t sa l m o s ta l lt h ef u z z ym a t r i c e so fc o m m o n l yu s e dt y p e si n t ot h eu n i f o r m f r a m eo fc i r c u l a r l y2 - d o m i n a t i n gf u z z ym a t r i c e s t h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo ff u z z ym a t r i xb u i l d st h eb r i d g eb e t w e e n f u z z ym a t r i c e sa n db o o l e a nm a t r i c e s ，t h u ss o l v i n gt h ep r o b l e m so ff u z z y m a t r i xb yc o n v e r t i n gt h e mi n t ot h o s eo fr e l e v a n tb o o l e a nm a t r i c e s a c c o r d i n g t ot h ec o n n e c ta m o n gt h ev e r t e x e si nd i r e c t e dg r a p h ，t h ea u t h o rg i v e st h e c a n o n i c a lf o r mo fb o o l e a nm a t r i c e si nas e n s eo fp e r m u t a t i o n , p r o v e st h a ta n y c o n v e r g e n t b o o l e a nm a t r i x c o n v e r g e a ta n i d e m p o t e n tm a t r i x ，a n d s u m m a r i z e sb r i e f l yt h r e ei i m i tf o r m so fc o n v e r g e n tb o o l e a nm a t r i c e s b y m e a n so ft h eb a s i cr e l a t i o n s h i pb e t w e e nf u z z ym a t r i xa n di t sd i r e c t e dg r a p h , t h ea u t h o ra l s os t u d i e sr o u n d l yt h ec o n v e r g e n c eo fc i r c u l a r l y2 - d o m i n a t i o n g b o o l e a nm a t r i c e si nt e r m so fd e c o m p o s a b i l i t y a f t e ras u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r y c o n v e r g e n tc o n d i t i o n o fc i r c u l a r l y2 - d o m i n a t i o n gf u z z ym a t r i c e si sg i v e n , t h e p a p e rt r a n s p l a n t st h er e s u l to ft h ec o n v e r g e n c eo fc i r c u l a r l y2 - d o r m i n a t i n g b o o l e a nm a t r i c e st oc i r c u l a r l y2 - d o r m i n a t i n gf u z z ym a t r i c e sb ym e a n so f d e c o m p o s a b l et h e o r e m f i n a l l y ，i tc a nb en a t u r a l l yc o n c l u d e dt h a tt h e u n i f o r mu p p e rb o u n do fc o n v e r g e n c ei n d e xo ff u z z ym a t r i xw i t h 捧r a n ko f c o m m o n l yu s e dt y p e si s 3 n 4 。 t h er e s u l t s p r e s e n t e dc o u l db er e g a r d e d a sas y s t e m a t i z a t i o na n d d e v e l o p m e n t o ft h e p r e v i o u s r e s e a r c ho n f u z z y m a t r i c e s a n dt h e c o n v e r g e n c ep r o b l e m i sb a s i c a l l yr e s o l v e df o rf u z z ym a t r i c e sa p p l y i n gt ot h e f i e l d so fc l u s t e r i n ga n a l y s i sa n dn e r v en e t w o r k k e y w o r d s ：b o o l e a nm a t r i x ；f u z z ym a t r i x ；c a n o n i c a lf o r m ；c o n v e r g e n c e i n d e x i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关予论文使_ 带授权的说明 o 珐6 孑 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保耀送交论文豹复印l 孛，允诲论文被焱阑和氆阙；学校霹以公布论文的全都或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 绦豢豹论文农瓣密曩廒遵守_ l 鞋：烧定) 签名：董壅坐繁耀虢鱼弛蠢期：融缈 1 1 模糊集合 第1 章绪论 在人类社会的初始阶段，混、沌初开，人们对于数学的认识，只掌握了少、多、 许多、很多等模糊概念。随着生产力的不断提商，社会上出现了商品交换，于怒 隧自然数鑫毒使焉巍超点，数学遴入了经典数学的光辉历程。 我们知邀，精确性是经典数学的基本特点，利用经典数学所取褥的成就，可 以将动力学、电磁学等的基本规律，表示为相应的微分方穰式，然后使用计算机 求解。经典数学最为成功的傻子之一便楚根据万有弓i 力定律推导出了行鬃环绕太 阳运行的轨邀。 毽是对予下嚣的一些穰糕蕊象来谥，传统鹣经鼗数学藏漫襻力不扶心了。第 一、自然语言，它怒人们在共嗣生活经验的基础上，进行愆愆和憋情交流韵工其。 例如，“翘稽越来真遂盘”，“这菝子毯鼹照”，“饭菜艇鲞啊”等等，这些概念共 同的体征就是缺乏明确的外延。第二、聚类分析，它是按照一定的标准对所研究 的攀甥进露分类翳数学方法，可楚事物之闼豹区慰德往不缀滂壤，铡如，“过去、 现在”和“将寒”之越，“求聚”秘“蔬菜”之阗，裁没有裁然分翻憝器隈，缀 为攀物各个指标静交纯常常其有连续健。 那么如何处理这嫠模糊现象糯? 这就要碍拽一种表现和加工模糊信息的数 学工具，它就怒模糊数学。1 9 6 5 年美戳加利福尾驻大学的控制论专家l a z a d e h 发表论文f u z z ys e t s ”1 ，鬓告了模糊数学的避生，从郑以后逐步吸引了众多领域 的专家学者从潦这方灏的理论和瘦弱研究，腻丽使得模糊数学迅速发展成为当前 十分活跃的学科之一。 定义1 1 1 论域u 上的模糊集合“，定义为 a = ( 鳓，曲i x u f i - l 、 其中鳓( 。) 张为隶愿滋数，它浅是 心：u m = f 1 2 、 北京工业大学理学硕士论文 这儿m 称为隶属空间”。 作为模糊数学的理论基础，模糊集合实际上是论域u 到隶属空间m 的一个 映射。模糊集合是由隶属函数来确定的，隶属函数心( x ) 用于刻画元素x 对模糊 集合4 的隶属程度。 当隶属函数心( x ) 的值域为集合 0 ，1 ) 时，a 便蜕化成一个普通集合f c o n t o r s e t ) t 。由此可见，模糊集合概念是普通集合概念的推广，普通集合可以看成是 一类特殊的模糊集合。 1 2 问题背景 客观世界上各个枣物之间酱遍存在着联系，描写事物之间联系的数学模型 之一藏是关系，关系常用符号戈来表示。但是生活中有些关系很难筚纯地用“有” 或“凭”来衡量，而必须表示出来这种必系的程度。例如雁常人的身高与体霪之 间其有定美系，但这个关系爨不清渐的。数学中的“远远大于”、“充分小”等 也都是些不清晰的关系。这类需要有表示程度的艟来描述的关系就是模糊关系 定义1 2 ，1 笛卡尔积j y = 1x x ，y y ) 的一个模糊子集r 称之 为扶石到y 躲一个模糊关系( f u z z y r e l a t i o n ) ，嚣馁上记传x r y 。 作为经戴数学中函数关系的扩张，模糊关系正在逐渐应用于语言学、心理 学、工业设计秘经济次策等各个领域。箕中模凝二元关系甚_ 经戏为一耱篱攀有效 的信息描述方式，特别是在以神经网络为基础的人工智能领域。借签线性代数中 款方法，我们逊霹以利用模糊魉阵来表达蠢限论竣上鲍模凝二元关系，以蠢裂予 探讨模糊关祭之间的备种合成运算。 出于文牵整体续搀方蟊懿考虑，我们垮在下一章懿努头枣 充分绥摸灏短阵 的定义及其商向伴随圈的概念。 对于模糊方阵，磐豢鸯意义毂性质之一裁是其暴露列呈现基鳞凌豹建期夔。 这是因为，设 r 阶模糊矩阵a 的元素集合为m 。= 蛔，口2 ，口，) ，则在逻辑运 算m a x m i n 酌意义下，a 的幂序列中不同矩阵酌个数至多为有限的r ”，这就说 第1 章绪论 明4 的幂序列中必然出现相i 司的矩阵，即形成周期性。 m g t h o m a s o n 于1 9 7 7 年在模糊数学的发展史上首次提出了模糊矩阵的 幂序列的问题，指出任意模糊矩阵的幂序列要么有限性收敛要么周期性振荡， 并证明了任意h 阶单调递增模糊矩阵彳，都有a ”= a ”1 。 定义1 2 2 设a = ( 口。) 为 n 阶模糊矩阵，称满足 a 。+ 4 = a 2 ( 1 - 3 ) 戴立懿最小歪整数女秘d ，记为毛窝只，分剩拣为a 瓣收敛据数帮周期豢数。 如果周期指数只= 1 ，则称a 收敛，并把幂序列a 的极限记为 l i m 。a 2 ； 磐果髑麓撂数只 l ，鬟l 拣a 援蕊。 当模糊矩阵振荡时，其收敛指数确切地说应该称之为振荡指数。在不致引 起误会静蘩捷下，我稻在本文中统称之蔻浚敛籀数。 随后模糊矩阵的幂序列逐渐引起了众多学糟的关注。在逻辑运算m a x r a i n 静意义下，德们针对下蚕这登特殊类黧静搂灏戆阵静幂系襄骰爨了辜有袋效懿研 究工作。 定义1 2 。3 设爿一( 嘞) 为 ”模糊矩阵， 如果a “= l ，i = 1 , 2 ，站，则拣a 是爨反矩障( r e f l e c t i v e ) ； 如果a a k + lk 1 ，则称a 为单调递增矩阵( m o n o t o n ei n c r e a s i n g ) 如栗a ”= 0 ，刚称怒幂零矩阵( n i l p o t e n t ) ； 如果a2 = a ，则豫盖楚幂等筵阵( i d e m p o t e n t ) 如果= a j iv 1 f ，js ”，则称“是对称矩阵( s y m m e t r i c ) ； 如果a 2 a ，刚称a 是传递翘阵( t r a n s i t i v e ) ； 如果对任意两蹲不等的f ，j ，垂毒群* g m 且癌# 群舞蕴含球g 8f 则稼尘 是强传递矩阵( s t r o n d yt r a n s i t i v e ) a 北京工业大学理学硕士论文 需要说明的是，通过它们的定义可以发现，任意自反矩阵都是单调递增矩 阵；任意幂等矩阵都是传递矩阵；任意传递矩阵都是强传递矩阵。 王铭文1 3 在1 9 8 8 年证明了任意n 阶自反矩阵爿，都有a ”1 = a ”。 h i r o s h ih a s h i m o t o 【4 。5 1 在1 9 8 3 年证明了任意h 阶传递矩阵4 ，都有 4 ”= 爿肿1 。 z h u r e i y i n g 在1 9 8 4 年证明了任意竹阶对称矩阵a ，都有a 2 ”2 = a “。 w a l d e m a rk o l o d z i e j c z y k 卜8 1 在1 9 8 8 年证明了任意n 阶强传递矩阵，都有 4 3 ”= 一3 一。 对于模糊矩薛幂序列收敛健的探讨，最为创造性的绪染是l ij i a n x i n 和范周 田两位学者在1 9 9 0 - - 1 9 9 8 年之间作出的。l ij i a n x i n 在文献 9 - 1 0 】中提出了可控 模糊矩阵的概念，指出了任意幂零矩阵、对称矩阵和强传递矩阵都是可控瓶阵。 在弓l 进图论懿泰关木添翳基礁上，范周强在文欺i l1 q = 撬爨了一个范匿更广戆概 念：阶回路占优模糊矩阵，证明了任意n 阶可控矩阵都是二阶回路占优矩阵。 定义1 2 4 设a = ( 舀i ) 为羚l t 酚摸凝矩簿，盖是可麓矩阵当裁仅当存在置 换矩阵p ，使b = p r a p = ( 6 9 ) 满足6 ，v f j 成立9 1 置换矩阵是指单位矩阵l 经过有限次的行鬣换后得到的n 阶方阵， 缀过 置换运算b = p 7 a p 蒋，我稻落称鞫嚣置换稳钡。 定理1 1 设4 是可控矩障，满足( 崖) 。= 0 的最小正整数z 称为a 的可控长度， 记作z = c ( 爿) ，则 ( 1 ) a 5 鬟a t + 2 ；( 1 - 4 ) ( 2 ) a 2 ”“4 = a 2 + i - 2 2( 1 - 5 ) 定义1 2 5 设4 = ( ) 为模糊矩陴，如果对于其有向伴随图d ( 4 ) 中的任意 强潞三，都存在一个长度为p 麴国路三l 与之耜逐并且满憩w ( 三) 蔓w ( l ，) ，刘p 口q 第1 苹绪论 做彳的一个回路占优指数。其中最小的回路占优指数叫做4 的回路占优指数，记 作，并且爿叫做k 阶回路占优矩阵1 。 当七：2 时，a 就叫做二阶回路占优矩阵。作为目前范围最大的模糊矩阵类 型，二阶回路占优矩阵将成为我们的主要研究对象。 定理1 2 设a = ( 口。) 是阶回路占优矩阵，则存在一个正整数r n 使得 ( 1 ) a a “7 ( 1 - 6 ) 其中最小的r 叫做a 的占优长度，记为r = r ( 爿) ，并且满足 ( 2 ) a ”m ”= a “，( 1 - 7 ) 其中i r ( a ) 。 这些学者都获得了丰富的研究成果，针对不同特殊类型的模糊矩阵得到了不 同的收敛指数估计值，但是仍然未能彻底解决一般地常用类型的模糊矩阵幂序列 的收敛性问题。他们的研究论文基本都发表于国际模糊数学学会在1 9 7 8 年创刊 的f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 上。此外，我们注意到在有些关于矩阵理论的专著中 也有涉及到布尔矩阵幂序列收敛性问题，例如l iq i a o 的e i g h tl e c t u r e so n m a t r i c e s 【1 2 】和k ih a n gk i m 的b o o l e a nm a t r i xt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 等， 尽管是从纯代数学的观点出发，但也给了我们一些有益的启示。 我们在全面总结已有研究成果的基础上，已经逐步地把目前涉及的几乎所有 的常用类型的模糊矩阵都统一地纳入到二阶回路占优模糊矩阵的结构框架之内。 下面将综合运用模糊矩阵分解定理和图论有关术语，证明常用类型的模糊矩阵幂 序列的收敛条件和收敛指数。 第2 章预备知识 我们来简要介绍本文中用到的两种主要数学工具：模糊矩阵的有向伴随图 ( d i r e c t e dg r a p h ) 和分解定理( d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ) 。并且考察模糊矩阵与其 有向伴随图之间的基本数量关系，探究模糊矩阵与相关布尔矩阵之间的相互转化 关系。 2 1 模糊矩阵及其幂序列 定义2 - 1 - 1 设笛卡尔积空间z y = 敝，y ) iz x ，y 】，) 中的模糊关系为r ， 并且其隶属函数为胁( x ，y ) 。如果，y 都是有限集合，那么表示模糊关系r 的矩 阵r 3 ( 勺) 。称为模糊矩阵，其中0 = 地( x 。，y ) 。 如果r 为j 并上的模糊关系，而z = “，x ：，z 。 ，则石上的模糊关系r 我们注意到，一个模糊关系与一个模糊矩阵是一一对应的，所以在有限论 域上将模糊关系和模糊矩阵看作是一回事儿，两者均用相同的符号表示。 由于隶聪函数取 0 ，1 】中的值，所以模糊瓶阵中的元素也取( 0 ，l 】中l i 勺值。 显然，摸嬲缀终是毒尔矩薄的接广。联谡毒尔矩孵就是元素只取0 褰1 这疆个馕 秘2 1 1 设x 一，x2 ，x ， 表忝三个入豹集合，下面静模糊矩薛嚣表示 r ：p i 7 跚 l o 一5 0 t t 模甥矩蹲r 中，熊( 墨，善，) = l 表明每个人都最了解他嶷己，段( 鼍，x ：) = o 1 表 明玛对x ：基本不熟悉，至于( _ ，也) = o 则表明x 1 对屯根本不认识。 我们在逻辑运算m a x r a i n 的意义下，定义模糊矩阵的三种基本运算。 定义2 1 。2 设= ( 口f ) ，置= ( ) 为瓷域u 上瓣嚣令模稷簸阵，并且谴 m a x x ，y = x vy ，m i n x ，y = x a y ，那么 ( 1 ) 游蕊b 的嚣为c _ 。= 0 f ) = 南。+ 或。，受l j 其元素为 c磬=8gv 序乒 ( 2 ) 港矗，b 的税为c 。= ( 。# ) * a b 。，则其元素为 c f 。l ；￥g 。( 娃脯ab , v ) ( 3 ) 设a = ( 口。) 为论域u 上的n 阶模糊缀阵，定义 4 “= a 。a 员q 称d ，a 2 ，a 。，为模糊矩阵蠢的幂痒列。并且对于4 的幂序列a 。= ( d ：) ，我 们可以利用数学归纳法证明： 口；=v0 。n 罐v ：“ 辞 + ，) l s ， ， s * 2 。2 横鞍矩阵麓蠢向伴随图 定义2 2 1 设矗必龄x 聆骥糊能阵，么的霄目襻随鼹记巍廖口) = ，其 中v = v ，v 2 ，v 为d ( 以) 的顶点集，e = v 。，v ， l a 口 0 , 1 f ，j 聆) 必d ( a ) 蛉逑集。鸯肉边 的投定义羹域( v 。， ) = 。 d ( z ) 孛罄尾穰攘懿一条骞彝速戆黪秀，v i “ ， o 警盈仅当d ( 童) 中存在甄v f n j r 长为k 的运路，并且 8 ：2 m 驭鲻w ( 三) ( 2 - 1 ) 其中l ：为d ( 一) e p n n # , v f 到v ，长为的通路的集合。 缀蠢模凝矩阵豹攀淳捌静定义察青淘律随鹭豹穰念，上述定毽豹正确靛不言 自明。这个定理反映了模糊矩阵与其有向伴随图之间的基本关系，使得我们可以 获蠢淘俘蘧潮上懿影象直蕊静凡何蒋镬，来探索鞠汪疆模糊矩箨黥标准垄秘投敛 性。 2 匕b 第2 章预备知识 2 3 模糊矩阵的分解定理 农蟆凝集台瑾论中蠢三令基零定壤，它销是分解定理，扩张聚疆秘表蕊定鬻。 其中分解定理是联系模糊矩阵和布尔矩阵的桥梁，它是把模糊矩降问题转化为布 尔矩阵问题的重要工具，在模糊矩阵理论的研究中商着广泛应用。 定义2 。3 。1 设a 为m x 摊模獭短簿，任意绘定数溺篷毒( 0 ，l 】，名静五水平戳 短蹲点定义为： 铡2 。3 1 模糊矩薄 f l露，；量 【文b2 栖乏五拄琏硝歹翻( 2 - 2 ) a = 娄五= 0 6 对，英五截矩薄为 lo 7 o 71 o 2o 6 o 1o 2 a i = l1 l1 ol o o 0 2o ，l o 6o 2 lo 5 o 51 o o lo lo o1 模糊矩黪的东平滚缒蹲必露尔矩黪，这搜褥栽袋考虑，能否糕矮枣尔燧薄寒 表示壤凝缒簿? 下霆靛关予模凝矩阵熬分解窆攥可潋绘窭这_ 爪闫题瓣鸯定答复。 窳理2 2 设a 、b 为肝竹模糊矩阵，a 、b 的所有元索构成的集合分别记 终吼、垂。，茌意绘定毫崴嚣；蠢与4 题数羹积定义梵： 【点名= 冀 吩 则对任意绘定豹矗e ( o ，l 】，下列譬式成立 ( 1 ) a 。摊a x s 艇a ( 2 ) ( a b ) 。= 幺最 ( 3 ) ( “。) 。= ( a ) 。= 以 9 - ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ( 2 - 5 ) 北京工业大学理学硕士论文 证明：对于( 1 ) 正确性是显而易见的，( 2 ) 可以利用数学归纳法从( 1 ) 和( 2 ) 直 接推出，下面我们仅仅证明( 2 ) 。 任给z ( o ，1 ， 【( a b ) a f20 营m a x a f k b k ； 五 l n k s n m a x a 】m 【 = 0 l n k n n 铮【以b “= 0 ( 爿b ) z 】f = 1 m a x a * 6 蚵丑 l h m a x a * b t = 1 l a k e 铮 一 b h = 1 推论模灏矩阵蠢收敛的充分必要祭 孛是对予任意五辔。都鸯囊收敛；模期 矩阵a 振荡的充分必黉条件是存在a 吼使得 振荡，并且无论4 收敛还是振 荡其收敛指数都满足 t = m a x 。& ( 是6 ) 有了水平截矩阵的概念和模糊矩阵的分解定理，我们就可以把对般模糊矩 薄么熊磅究转移至4 相关靛毒累怒阵集合 是l 量。 上采，当然逮题藏捆瓣缝篾 单多了。这也正是下灏我们研究模糊矩降收敛性的基本思路。 图2 - 2 分解定理及其推论的桥梁作用 2 。4 本章小结 我们酋先定义了模糊矩阵的概念，规定了它的三种基本运算，引出了模糊矩 阵幂序列问题。然后介绍了图论的有关基本概念，探讨了模糊矩阵幂序列与冀有 彝律建黧之阀瓣关系。 我们定义了模糊矩阵的水平截矩阵的概念，诫明了模糊集合理论中的一个基 本定理分解定理。由此，把对一般模糊矩阵的研究转移到相关布尔矩阵集合 名。1 名g 彤。上寒。 ，：， 。一。，篓三兰奎兰鍪i 薹i 丝塞! 一。，。一。，。! 第3 耄常用类型的模糊矩阵幂序列的收敛性 3 。1 布尔矩阵的标准型及其极限形式 布尔矩阵a 的有向佯随图d _ ) 中，始集既存程从v ：到v ，的通路又存在从v ， 到v ；豹通路，则称v ；与v ，是强逐遣的；觳然，d ( 国中任意一个顶点都与它翅身 强连通。如果只存在从v ，到v ，或者v ，到v ，的通路，则称v ，与v j 是雌向连通的。 如粟将d ( 0 ) 餐作无向黼，v 和0 之间方存在着通路，尉称k 和v ，怒弱连通的。 定义3 1 1 布尔矩阵4 的有向伴随图d ( 4 ) 中具有强连通性质的极大子图 称为d ( a ) 的强连通分支。进一步地，我们把不含回路的强连通分支( 即单点) 称 为平凡强连通分支。 为了以下行文方便，强连通分支中的顶点我们称之为强连通顶点，而平凡 强连通分支和非强连通分支中的顶点我们都称之为非强连通顶点。 例3 1 1 如下图所示，布尔矩阵4 的有向伴随图d ( a ) 中包含三个强连通分 支：b 1 ，呸 和b 3 ，其中马 是平凡强连通分支。 顶点v i ，v 2 ，v 3 ，v 4 ，v 5 为强连通顶点，而顶点v 6 为非强连通顶点。 v 4 v 5 图3 1 有向伴随图d f 锄中的强连通分支 v 2 一一一，：皇：耋三坠塑坠皇竺堡塑堡墼墼些墼堡，：， 显然布尔矩阵的有向伴随图中顶点之间的强连通关系具有自反性、对称性和 传递性，所以如果将有向伴随图中的顶点按照强连通关系进行分类，那么同一个 强连通分支上的所有顶点属于同一等价类。 定义3 1 2 如果d ( a ) 中任意两个顶点都是强连通的，则称d ( a ) 是强连通 的，此时我们就说布尔矩阵4 是不可分解的；反之，如果d ( a ) 非强连通我们就 说布尔矩阵a 是可以分解的。 现在我们通过分析d ( a ) 的组合结构，来探究一般布尔矩阵a 的标准毅。 第一步，假设d ( 4 ) 中有r 个强遣通分支，将d ( a ) 的顶点集按照强连通关系 划分威等绫类砭，如，1 r 撑，其中每个以，1 是sr 中的颈焘粼按照下 标的递增顺序排列。对于任意两个等价类一和，i ，不可能既有起点属于一 箍终点属于巧的通路，又有趣点属予_ 而终煮属于k 的通路a 燕二步，强暴将簿个致，l 七蔓r 蟪残一令赢稚，辫么可戬褥虱贯一个寿自 伴随图d ( 一) ，并且d + ( 4 ) 的顶点集为v = 地，“：，“，) ，这个有向伴随图 d + ( 彳) 反映了d ( a ) 的，个强涟通分支之间的关系。 蓑三步，麦子d + ( 固孛浚毒嚣路，d 蠢) 中一定存在矮点u t 佼褥d 曙) 中没 有以“，为起点的通路，暂且称这种顶点“，为终端顶点。将d + ( 4 ) 中的所有顶点适 当熏新标号为“1 ，l 一，“；，“，h ，其中“1 ) 一，“。为终端顶点。那么对于任意 s 寿r ，一定有i ，毽怒一定不存在逶 路l ，其中k 洽好 存在条从v ；剿某个s 的遵路三，长必p ，p n - - l s t l - r - - 2 。 嚏予d ( 么2 ) 瞧蹩滏连通的，鸭e s 菇塞繇，7 燕d ( a 2 ) 争稔好存褒蘩从蔡 个g s 至任感始巧，1 歹 l q 的遵鼹丘长为譬，q = 挥一1 e 从蕊上p + 三可激溪鼹d ( 鸯中扶v f 熟v j 的长为p + 2 q 熬遴黪，我们鸯 “9 + 秘= u 于是 疋墨p 十2 9 s 髀2 + 2 f n - 1 ) 篇3 n 一4 第3 章二阶回路占优模糊矩阵的收敛性 推论l 若不可分解的k 阶回路占优的布尔矩降疋。收敛，则“的收敛指数 满足 l 茎竹一k + k ( n 一1 ) 攉论2 设a 。为二阶回路占优酌布尔斑阵，并且一= d i a g ( a 。，a ：，a ，) ，其 中a ，表示不可分解静强稿分支矩阵，l f s r ， = 啊+ 境+ + 埠。若a 收敛，) aj j a 的 暴疹列渍是 a 3 “= a 3 ”一3 证明：由于每个独立的不可分解的分支a x 都是二阶回路占优的布尔矩阵， 根据定理3 , 4 ，对僚意的l f ，有l ，3 n ，一4 。考虑到如下所示的分块矩阵的 幂运筹， a = d i a g ( 露，霉) 我们很自然的推知 l = m a x l “， 咒) 蔓3 n 一4 定理3 。5 设a 。为不霹分麟豹布承矩阵，a 翁肖自伴随图为d ( a ) ，并且其 回路搬数d = 疗( 由2 ，即a 戆幂序列撼荡，璺4 存在一个霪换短阵p 使褥 p a p t = 0 a 1 2 00 ： 00 a 出0 0 蠢2 3 ， 0 o - 0 ，0 ： a d _ l ，d o 其中主对角块挪是非空零方阵，菸且满足 p a 4 p 7 = d ，a g ( a l ，爿2 ，a d ) 这儿矗= 焉2 4 d a d l ，a 2 = “2 3 3 4 一戤a 1 2 ，a # = a d l a l 2 “1 d 都楚不可分 群瓣方阵。 谥翡：蠢于d 为d ( ) 韵两路指数，剜任崽两点v ，v ，d ( 固，献毪剿匕的所 有通路的长度除以d 的余数相等。令 巧= v 。d ( 4 ) | 从v 。n v 。的通路的长度除以d 的余数等于i ) 其中i = 0 , 1 ，d 一1 ，则可以将d ( a ) 的顶点集y 依次划分成d 部分， v = u k u u 圪一。 然后再对爿作置换相似运算，使得每个分组k ，i = 0 , 1 ，d 一1 中各点的下标变成 从小到大的自然顺序。这样一来，得到的矩阵就具有所要求的形式( 3 3 ) 。在上述 的分块形式下，显然有 剐。p 7d f a g ( a l ，彳2 ，a d ) 推论如果设k 表示伽。p7 中a ：的顶点集，p = r a i n 。( 瓦) ， g = m a x ；d k j ，那么g p 1 成立】。 定理3 6 若不可分解的二阶回路占优的布尔矩阵以。振荡，则a 的幂序列满 足 a 2 ”2 = a 2 ” ( 3 - 4 ) 证明：融知a 为不可分勰的二阶回路占优的心阶布尔矩阵，若“振荡，则存 在鬣换矩阵p 使褥 p a i l = i 三，钢 腑。= 瞄羔 其中4 ；= a n a ：；a ：= a ：，蠢。，并且4 ，趣都是不可分鳃的一阶回路占拢的收敛毒 尔矩阵。令以表示爿。的顶点集，爿l 耳i = 1 , 2 ，则 辨= m i n 峨 【争 考虑到不可分解的一阶回路占优的襁尔矩阵4 ，a ：的收敛指数 乃。2 n f 一2 ，i = 1 , 2 稷据上溪懿雩l 瑾3 1 ， 乇：，鬟m i n t 4 , ， + 1 第3 章二阶回路占优模糊矩阵的收敛性 ( 2 m 一2 、+ 1 一一1 从而4 的收敛指数满足 l = r 2 乙y 2 ( n 一1 1 推论设以。为二阶回路占优的布尔矩阵，并且一= 成昭( 一。，a ：，a ，) ，其中 4 表示不可分解的n j 。- 分支矩阵，l i r ，n = n + 他+ + 珥，若振荡，则a 的 幂序列满足 a “。6 = a “4 ( 3 - 5 ) 证明：布尔矩降爿振荡，则至少存在一个分支矩阵振荡。不妨假设前s 个分 支矩阵收敛而后r s 个分支矩阵振荡，由于每个独立的不可分解分支短阵a ，都 楚二除匿爨占优静农尔矩降，对任意瓣1 蔓i s 奏 t g 3n ，一4 ，3 ，1 1 = m a x l f 自 n 。) 对任意鹣s j - t ，其中 z = m a x l 3 竹。一4 3 行一4 。 如果v ，与7 属于不同的强连通分支，令五为从v ，到v ，的最短通路，不妨设 k ，k ，一是三所经过的强连通分支的顶点集合。设 簧蠢 因此 m = m i n 。；， ikr l = lj 1 | ，u 岜三n 圪 根据前面的定邋3 2 ， 于是 野= 强+ 撵2 + + 露， 拥+ ( r 一0 埘坚+ 1 墨型+ 1 ，2 疗兰= l ，v k 3 m 一4 口：= 1 ，v k 3 m 一4 + z - 2 0 。! ! ! ，。：。茎i 茎鹜黧薹墼童丝茎墼薹墼墼鳖壑垒。，。，。一。：，。：，。： 考虑到 3 黔4 “ 二 s3 n 一6 从而 = 矗# k + l ，v 露麓3 n 一4 即 瓦3 n 一4 推论设彳。为可以分解的二阶圃路占优的布尔矩阵，并且a 的有向伴随图 d q ) 的顶点除了强连通顶点，还商非强连通顶点。若布尔矩阵a 收敛，则a 的 幂序列满足 爿3 “彳轴一3 菱明：对于僚意给定的顶点v ，和巧，如粜从砖到叶不存在与回路相关纳初 级通路，则d ；= o ，v 露2 n o ，这儿是d ( 中非强连通顶点的总数。下瓣我们假 设从哆刘v 存在着与聊路c ( 也可能魑相关的回路系列) 相关的初级邋路五，长 度为z s 栉1 ，s = 三n c ，贝b v ，= d ( ”，v p ) = m i n ，。sd ( h ，v ) ) 弋。 疗( 致= m i n 。s 嵌氓匕) ； 不妨设 魄= c l ( v ，v p ) 嘞= d ( v q ，毪) 著晟从v ，到_ 的道路必岛，岛申非强迤逯顶点的总数为掰，裰糕定理s 。6 ， 略= 1 ，垤3 n - 4 - n o + m 北京工业大学理学硕士论文 于是 考虑到 从而 所以 即 口；= l ，v k 3 n 一4 一雄o + m + m l + ，竹2 m + m 】+ m2 o 3 胛一4 一n o + m + 聊l + m 2 = ( 3 n 一4 ) + ( m + m 1 + m 2 ) 一 o 蔓3 n 一4 口：= 1 ，v k 3 n 一4 l 3 n 一4 定理3 8 设a 为可以分解的二阶回路占优的布尔矩阵，若布尔嫩阵a 振 荡，列a 瀚幂序列满足 a 抽= a “4 ( 3 - 7 ) 证明：根据第一章的定理1 2 的( 1 - 6 ) ，= 阶回路占优的h 阶模糊矩阵满足 a 7s a + 2 其中r h 为a 的占优长度，可知 a ”s ”2 墨a ”“量 即有 3 ”4 a 3 ”2 从而疆证明 蠢4 篇崖3 8 - ， 只需耍证明 a 3 “一2 a 3 8 4 即 芷 。尹。“y 第3 章二酚网路占忧模糊戆箨静收敛毪 设 斌三) 一- “# 3 n + 。 则l 中至少存在两条简单回路厶和上：，并且它们的长度分别为p 和g 。下丽我 们分3 荦孛愦嚣来讨论。 ( 1 ) 如果p ，孽之中至少有一个偶数，比如p 为偶数，那么从三中删除l ， 因为 p 邸 一2 一p 1 t 故有 d ：“一2s 疗；”“2 9s 盘；”。2 一p + 2 蔓- 矗；”一4 ( 2 ) 如果p ，尊都怒奇数，y f - i t p ，q 之中至少有个小于胛， j v z , z k l 中删 除；和l ：，因为 p + q 2 n 一2 ，3 n 一2 一( p + g ) f t 故有 口f 3 “s 疗；舯2 _ 肿蚰檬；舻2 一肿2 ) + 。墨球# 3 ”叫 ( 3 ) 如果热q 都是奇数，并 l p q = 辩，蒡么( 2 ，彩= ( 2 ，垡) = l ，摄攒下嚣 的定联3 9 易知a 收敛，即有 彳3 “= a a n - 3 3 4 二除i n 路占怃模糊矩阵的牧敛矬 上筒我们已经完全解决y - - 阶回路占优的布尔矩阵的收敛性，接下来我们继 续探讨二阶潮路占优静模糊短阵韵收敛往。首先我们给溺二阶霞路占优模糊簸阵 波敛的一个兖要条件 定瑷3 , 9 二除避路占饯模糊矩薄收敛当最仗当它雯有令瓣黪占谯指数为 奇数。 证明 2 3 。 。堡型生塑些型丝圣一 必要性：假设a 收敛，那么存在正整数r 满足 a 。：a 7 v k t 设工为d ( a ) 中任意一条回路，v ，为工上一点，注意到 w ( 三) m ，；，a ；x 。日：2 d 。t2 w ( l 1 ) 2 口；“2 w ( 上2 ) 其中厶和三：都是经过v ，的回路其长度分别为t t f i t + 1 ，从而t g l t + 1 为爿 的回路占优指数。已知其中一个为2 ，那么另一个必然为奇数。 充分性：设奇数p 为4 的另一个回路占优指数，根据第1 章的定理1 2 中公 式( 1 - 7 ) 有 彳印 = 爿即一1 ) p + 不妨设奇数p = 2 t + 1 ，其中t 为正整数，则有 a ”( 2 + 1 ) ”= 彳( “一1 x 2 + 1 ) + ， = a 2 ( ”一1 ”+ 7 + ( “一1 ) = a2 ( ”一1 ) ”a ”一1 注意到爿也是二阶回路占优指数的，即满足 a 2 ( ”一帅= 爿2 所以 42 “7 = a ”( 2 + 1 ) + = a 2 ( ”一1 v + 7 a ”一1 = 哇2 埘 a ”一1 = 4 2 “一1 从而a 收敛。 推论模糊矩阵收敛当且仪当它有两个互素的回路占优指数) 。 弓l 理一令普通摸糨矩阵怒二除露鼹占饶熬摸壤矩簿，当显饺警它静黪蠢零 平截矩阵都鼹二阶回路占优的布尔矩阵。 涯明 充分性：假设4 不是二阶阐路占优的模糊趋阵，那么d ( a ) 中歪少存在一条 ， ，兰耋茎三坠堡墼堡堡塑堡墼墼坚墼堡，。，。， 回路三没有相应的回路与之相连。这儿有两种可能的情况： ( 1 ) d ( a ) 中没有长度为2 的回路与三相连j ( 2 ) d ( 4 ) 中存在一条长度为2 的回路r 与上相连但是w ( 上) w ( r ) 无论哪种情况都