（应用数学专业论文）不确定环境下期权模糊定价模型及其应用.pdf

摘要期权的价格受到众多因素的影响，其中既含客观因素也有主观因素。在市场含有不确定因素的环境下，影响期权价格的因素变量不仅仅具有随机性的特点，而且还存在着模糊的性质。一方面，由于客观因素的干扰，有些变量并不能由精确的数据估计，而有些数据在观测和统计中不免会产生误差，这就产生了不确定的影响；另一方面，人们在进行市场投资和操作中，都不免要带上自身的主观判断，从而影响市场，这都使得定价问题更加复杂。本文利用传统的定价思想，在b s 模型和等价鞅测度模型的基础上。首先，假设股票价格服从模糊随机过程，运用模糊数学知识，求出了单因素欧式期权的定价公式，证明了欧式期权模糊价格平价公式，并对单因素美式期权也给出了二叉树离散模糊模型。进一步再假设无风险利率也为模糊随机过程，根据模糊扩张运算，得到利率的模糊期限结构。在此基础上，运用一对冲方法和转换计价单位的方法，化简模型，求出了两因素欧式期权的定价公式和美式期权的定价模型。然后，改变标的资产的模糊结构，对所得的模型进行了扩展，接着还介绍了模糊目标模型和均值模型。这两个模型都能引入投资者的主观判断来选择适合投资者自身要求的理性期望价格与美式期权最佳执行时间，对投资者选择投资策略能提供较实际的理论指导。最后介绍了模糊模型在欧式认股权证定价中的应用，给出了具体的定价公式，并以茅台j c p l 权证给出实例分析，验证了模糊模型的实用性。关键词：期权、模糊随机变量、模糊价格、利率期限结构、偏微分方程( p d e ) 、认股权证a b s t r a c tan e wm o d e lf o ro p t i o n sw i t hu n c e r t a i n t yo fb o t l lr a n d o m n e s sa n df u z z i n e s si sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r o w i n gt ot h ef l u c t u a t i o no ff i n a n c i a lm a r k e tf r o mt i m et ot i m e ，t h es t o c kp r i c ea n dt h er i s k - f l e ei n t e r e s tr a t em a yo c c n ri m p r e c i s e l yi nt h er e a lw o r l d t h e r e f o r e ，i ti sn a t u r a lt oc o n s i d e rt h et h e o r yo ff u z z ys t o c h a s t i cp r o c e s s e s s ot h er a n d o m n e s sa n df u z z i n e s sa r ee v a l -u a t e db yb o t hp r o b a b i l i s t i ce x p e c t a t i o na n df u z z ye x p e c t a t i o n b a s eo nt h et r a d i t i o n a lp r i c i n gm o d e l ，an e wp r i c i n gf o r m u l af o ro p t i o ni sg i v e nb yu s i n gt h ee x t e n s i o np d n c i p l ei nf u z z ys e t st h e o r y t a k i n ga c c o u n to fd e c i s i o n m a k e r ss u b j e c t i v ej u d g m e n t ，t h er a t i o n a le x p e c t e dp r i c eo fo p t i o na n dt h eo p t i m a le x e r c i s et i m ef o ra m e r i c a no p t i o n sa r ed e r i v e du s i n gt w om o d e l s t og i v ea ne x a m p l ef o rt h ea p p l i c a t i o n ，t h ew a r r a n tp r i c i n gu s i n gt h ef u z z ym o d e li sp r o p o s e di nt h el a s tc h a p t e r t h en u m e r i c a la n a l y s i so fa na c t u a lw a r r a n tf r o mt h er e a lf i n a n c i a lm a r k e ts h o w st h a tt h ef u z z ym o d e l sp r e s e n t e di nt h i sp a p e rs h o u l dd ob e t t e rt h a nt h eb l a c k - s c h o l e sm o d e li nf o r e c a s t i n gm a r k e tp r i c e k e y w o r d ：o p t i o n 、f u z z yr a n d o mv a r i a b l e s 、f u z z yp r i c e 、i n t e r e s tr a t et e r m - s t r u c t u r e 、p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) 、w a r r a n t学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：e 堑笙日期：趁生z 。笸：学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：醚笙日期：当翌z ：五：f第一章绪论1 1 期权定价理论简介期权是从基础证券( 股票、债券等) 衍生出来的金融产品，通常称其为衍生证券。衍生证券的历史由来已久。1 7 世纪晚期，在荷兰的阿姆斯特丹股票交易所就已经有了期权这种形式的证券交易。现在期权已成为国际金融市场中不可或缺的交易产品，品种越来越丰富。对期权定价理论的研究开始于1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 在论文里就初步引用随机过程的布朗运动来塑造期权的定价模型。但由于数学工具的限制，直到2 0 世纪五六十年代，这方面的研究还相当的肤浅。2 0 世纪四十年代，日本数学家伊藤( k i y o s h i i t o )的随机分析理论的发展，为衍生证券定价理论革命性的飞跃提供了理论准备。2 0 世纪7 0 年代，f i s h e rb l a c k 、m y r o ns s c h o l e s 以及r o b e r tm e r t o n 的工作将随机分析与金融学完美结合起来，产生了震惊世界的b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论( b s 模型) 和m e r t o n 的多期动态资产定价理论。s c h o l e s 和m e r t o n 因此获得了1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖( 遗憾的是，b l a c k 于1 9 9 5 年去世) 。在他们之后，期权定价的方法被广泛应用到许多金融领域甚至非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。学术领域内的巨大进步推动了金融部门的发展，期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场作用巨大。由于衍生资产在证券市场中具有分散风险、完善市场等重要作用，近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。1 1 1b - s 模型与等价鞅测度模型目前期权定价主要有两种方法一一偏微分方程方法和鞅方法。偏微分方程方法是构造一个衍生证券价格所满足的具有恰当边界条件的偏微分方程。著名的b s 模型就是其中的特例，至今仍被广泛使用。而鞅方法是把证券的价值作为在等价鞅测度下的贴现支付的期望值并使用概率方法计算它，这就产生了等价鞅测度模型。b s 模型与等价鞅测度模型都能产生风险中性的等价结果，即模型不依赖于投资者的风险偏好，所有投资者都是风险中性的。而且两种模型在股票价格遵循几何布朗运动的假设下，分别求解偏微分方程和风险中性的鞅测度概率计算，都得到欧式看涨期权和看跌期权的价格是股票价格和时间的函数y 岱，f ) ，且满足b l a c k - s c h o l e s 定价公式：欧式看涨期权在t 时刻的价格为：c ，= v ( s ，f ) = s ( 函) 一k e - , _ ( ( 如)欧式看跌期权在t 时刻的价格为：只= v ( s ，f ) = k e r ( r - o n ( 一d e ) 一s n ( 一d 1 )其中：d l - i n ( s k ) ，+ ( 仍r + o 2 2 x t - o ，如= h l ( s - l o + ( f r - 0 1 2 x t - t ) = d 1 一盯、再( 力为标准正态分布的累积概率分布函数，即( 曲= 忑1f f _ 二e - d c o并且，看涨、看跌期权满足平价公式( c a l l p u tp a r i t y ) ：c ，+ 肌一盯f ) = p f + s ，具体请参考【8 】和【9 】1 1 2 实际定价问题的不确定性：随机性与模糊性上面的b l a c k - s c h o l e s 定价公式是在股票价格遵循几何布朗运动，且无风险利率和股票波动率为常数的假设下得到的。然而b l a c k - s c h o l e s 定价公式得出的理论价格与实际市场价值存在着明显的差距。这主要是由于假设过于理想化，而实际定价问题还要考虑到市场变化中存在的不确定性因素。为了改进定价理论已经有许多经济学家在b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论基础上设计了多种数学模型。这些模型包括：标的变量遵循一种跳跃过程而不是连续变化过程的模型；无风险利率不为常数而是随时间演变的利率期限结构模型；以及股票波动率随机变化的模型，考虑波动率微笑、波动率期限结构和隐含树图方法。这些模型都希望能用随机性来刻画定价问题的不确定性。但在利用上述模型和方法对期权进行定价时，总有一些不确定性因素无法仅仅利用随机概率理论来表示。例如：在运用模型时要输入的一些原始数据( 如股票价格、无风险利率和股票波动率等等) ，都要取自现实的金融市场，但由于信息和现有知识的不完全，我们常常不能精确无误地搜集和记录这些数据。股票市场价格不仅与公司情况相联系，也受到社会政治等宏观因素和投资者心理等人为因素的影响。股票价格常会出现急速的变化，有时会在短期内较大偏离实际价值。由于各种因素的影响，股票的市场价格与实际价值之间的差距会随着市场变化速度的加快而加大。这就产生了随机性无法刻画的不确定性，无法由概率理论来解决。另一方面，因为在不同的商业银行和金融机构中利率会有所不同，有时虽然差距不大，但也使选择合理的利率陷入左右为难的状况：像银行的存款利率、贷款利率、银行间拆放利率、国债利率都不尽相同，怎样选择合适的无风险利率，仍然还值得研究。因为这样的现象并不是随机现象，概率论对此也无能为力。但我们可以发现虽然股票价格不能准确地反映股票的实际价值，但总是在其实际价值上下波动。同时众多的市场利率在短期内总是围绕在某一定值周围。例如某只股票的价值为9 3 5 元股，其股票价格从长期来看都是在9 3 5 元上下波动。而不同银行和金2融机构对三年的存款利率相差不大，都在2 2 5 周围。由此发现这些不确定性都带有一定的模糊特点。因而实际定价问题的不确定性包含随机性和模糊性两个部分，二者不能互相替代。我们可以用概率理论来表示某事件发生与否的不确定性。而对这些概率理论无法解决的不确定性问题，7 a d e h 的模糊理论提供了有用的工具，可以用模糊理论来描述我们因为缺乏对市场的完全了解所无法准确掌握信息的不确定性。1 1 3 模糊定价模型的发展现状与本文所做的工作正是考虑到金融市场上存在随机和模糊的不确定性因素，许多研究者都在考虑对经典的定价理论进行改进。其中日本学者y u j iy o s h i d a 在他的三篇文章 1 8 ，1 9 ，2 1 中，都假设股票价格是模糊随机的，为此构造了对称的三角型模糊数形式。并且在模糊程度与股票价格成比例的假设下，y o s h i d a 藿e 文章【1 8 】中用模糊目标来进行模糊期望的定义给出了欧式期权的模糊定价公式以及对冲策略，在文章 1 9 】中y o s h i d a 用二叉树的方法对美式看跌期权给出了离散模糊定价模型，在文章【2 1 】中y o s h i d a 与m a s a m iy a s u d a ，j u n - i c h in a k a g a m i 和m a s a m ik u r a n o 合作，引进主观的新测度计算一一模糊均值估计，给出了美式看跌期权的另一种定价方法。可以发现这三篇文章都将投资者的主观判断引入模型中，对不同的投资者即使使用相同的初始数据也会产生不同的计算结果。这一点对统一定价不利，但对投资者个人的实际操作分析却有一定的指导作用。但是，这三个模型的不足之处在于：l 、都仅仅考虑股票价格一个要素为模糊随机变量，对其他市场数据仍假设为准确数，尤其将无风险利率假设为一个不变的常数。2 、对称的三角型模糊数形式和模糊程度与股票价格成比例的假设都过于严格。h s i e n c h u n gw u 在文章【2 0 】和【2 2 】中也运用了模糊数学的理论对经典的b s 公式进行了修正，得到的定价公式不用假设股票价格的模糊形式是对称的，而且模糊程度可以与股票价格无关。虽然相同的初始值得到的模糊价格是一致的，而且考虑到其他公式输入量也为模糊的情况，但没有考虑到利率的随机变化过程，且结果仅仅是对b s 公式的形式进行一点改动，较难推广到其它衍生产品定价中。还有一些文章从其他方面将模糊理论应用到金融定价理论中来，如：z d e n i kz m e g k a l 在文章 2 5 】中将股票看作公司价值的看涨期权，利用b s 公式和模糊运算计算出了股票的理论价格。j o r g ed ea n d r o ss 矗n c h e z 和a n t o n i ot e r c e h og 6 m e z 在文章 2 3 】中用模糊回归方法为模糊定价统计检验了利率的时间结构( t s i r ) 。u m b e r t oc h e r u b i n i 在3文章【2 4 】中用模糊的v a r 方法进行了定价。目前模糊理论在金融产品定价中得到越来越多的应用，但由于模糊不确定性对市场的影响还无法完全被量化，而且在现有的定价理论中怎样运用模糊理论还没有统一的看法，因而模糊定价仍是一个值得研究的问题。本文也是利用原有的定价理论的思想，在b s 模型和等价鞅测度模型的基础上，假设股票价格或无风险利率是模糊随机过程的情况下，根据模糊扩张运算，运用一对冲方法，构造期权模型，然后化简模型、求解，得出各种情况下期权的定价模型或定价公式。与y u j iy o s h i d a 不同，本文允许股票价格的模糊形式是不对称的。值得一提的是，本文还改变了无风险利率为常数的假设，考虑了无风险利率也为模糊随机过程情况下的利率期限结构，以及两个因素都为模糊随机变量的定价模型( 下面简称两因素模型) ；而且在模型的扩展中，改变了模糊程度与股票价格成比例的假设，模糊程度可以服从自己的随机过程。文中的各模型都可对相同的初始值得到统一的模糊数作为期权的理论价格一一模糊价格。在第四章中还介绍了如何在模糊价格中引入主观判断来选择适合投资者自身要求的理性期望价格与美式期权的最佳执行时间。本文的结构如下：在这章的结尾介绍了要用到的模糊数学知识；第二章主要介绍仅有股票价格为模糊随机变量的单因素模糊定价向题，给出了欧式期权定价公式，证明了欧式期权模糊价格平价公式，对美式期权给出了二叉树离散模糊模型；第三章里，先介绍了利率的模糊期限结构，在此基础上给出了当股票价格和无风险利率都为模糊随机过程时，两因素欧式期权的定价公式和美式期权的定价模型；第四章是对前两章的扩展，首先假设资产服从另一种模糊结构，即模糊程度可以与股票价格不成比例而服从自己的随机过程，在此改变下模糊定价问题转化成多资产定价问题，接着介绍了模糊目标模型和均值模型，这两模型都能引入投资者的主观判断来选择适合投资者自身要求的理性期望价格与美式期权最佳执行时间；在第五章，将前面的模型运用到欧式认股权证中，并给出实例分析。1 2 预备知识参考有关模糊数学和模糊随机理论得到下面有关的预备知识，具体可查参考书e l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 】。1 2 1 模糊集、分解定理、扩张原理定义1 1 ( 模糊集) i 题是论域y 歪t j o ，l 】的一个映射，肌：x 一【o ，1 】，工h 五( 工) ，称五是4x 上的模糊集泓z 秽s e o ，五( d 称为模糊集苴的隶属函数伸硎6 p 坶 驴扣n c 砌哪。j 吐的全体模糊集所构成的集合记为莎t 酗。为书写方便，在不混淆的情况下，后面将不加说明地省去模糊集上的“。”定义：a v b = m a x a ，b 1 ，a a b = m i n l a ，扫 ，取大符号v 和取小符号a 在模糊数学中常被称作z a d e h 算子。定义1 2 ( 截集) 牵双e 莎( x x 而矗【0 ，l 】，记钆= f x x i a ( d 口 称钆为模糊集a 厅缸一截集佃一c u ts e t ) ，或称为a 的a 一水平集陋一l e v e ls e o 。而震芤a a = x x l a ( x ) 口l 为a 的强理一截集( s t r o n gd c u t s e t ) 或称为a 的强也一水平集或a 一开截集i s t m n ga - l e v e l s e oa 称为置信水j 7 z ( b e l i e f l e v e l ) 或阈t z i ( t h r e s h o m v a l u e ) 。任意模糊集的8 一( 强) 截集都是普通集，而不是模糊集。常记a o = s u p p a = 协x m ( 曲 o 的闭包。定义：设口【o ，1 1 ，a 莎) ，定义a a 莎( 的，其隶属函数为a a ( x ) = 口a a ( 曲。当a 为普通集时，以仍是模糊集：c 酬神= 口侧力= 悟：i 三朋( j ) 是集合a 的示性函数，即：x a ( x ) = ：翟从截集的性质，我们可以得到模糊集的分解定理：定理1 1 ( 分解定理) 荔m 莎( 嗣，舅i t j a = u ( a a 。) = u ( 口a a )a e l 0 1 1u e 0 1 】其中交n 并u 运算定义如下：设为t 任意指标集( ：，) ( 曲2 ：磬a t ( 曲22 ，( 曲咖，) ( 曲= i 。n r f a ，= ，驴r 定义1 3 ( 扩张原理) 设有跌射，：x = 几墨- + y = 九蚱( x l ，x 2 ，而) hf ( x l ，x 2 ，而) = y ( y l ，y 2 ，) k )则由它可以诱导出如下映射( 称f 为像一为逆像) ：，：兀莎( x f ) 一罗( y )( a l ，a 2 ，a 。) 卜f ( a 】，a 2 ，a 。) 皇f ( a l a 2 a 。)5_ 莎( 勘l ，历，既) h 厂1 ( 局，踢，巩) 皇厂1 ( 口1x b 2 )可得下列性质( 请参见 3 p 6 6 - - 7 5 ) ：定理1 2 荔v ：兀备l 墨_ y ，a i 莎( 墨) ( f = 1 2 栉) ，则：( 1 ) v a o ，l 】，( a l ，a 2 ，a 。h = f ( ( a 1 ) 6 ，( a 2 b ，( a 。) a ) ；( 2 ) f ( a l ，a 2 ，如) = ua f ( ( a 1 ) 6 ，( a 2 ) ( a 。b ) = ua ，( ( a 1 ) n ，( a 2 k ，似。) a ) ；口j v 口【o ，l 】，f ( a l ，a 2 ，也) 。= ，( ( a l k ，( a 2 ) ( a 。) 。) ，当且仅当y y y ，存在( ，蔓，鬈) 兀昝墨，使，( a l ，a 2 a 。) ( y ) = 函a l 孵)1 2 2 模糊数及其扩张运算定义1 4 ( 凸模糊集) 设x 为f 句量空间，a 莎( 的，称a 是凸模搿目集细，r 慨知z 矽s e t ) ，如果v 柏，x 2 x ，v x 【0 ，l 】，有- a ( h 1 - i - ( 1 一”耽) a ( x 1 ) aa ( x 2 ) 。将式中的“”改为“ ”，则称a 是严格凸模糊集。定义1 5 ( 模糊数) a 莎限) 称为模糊数( f u z z yn u m b e r ) ，如果：( 1 l a 是正规的即存在) c o r 使a ( x 0 1 = 1 ；( 2 ) v e t 【0 ，1 】，a 。是闭区间。全体模糊数记为莨。若似p p a 为有限集，则称模拗觌t 为有界模糊数( b o u n d e d f u z z yn u m b e r ) 。定义1 6 ( 模糊数扩张运算) 设a ，b 聂，而为r 上的二元运算，其扩张运算为：似t研( z ) = v ( a a 砌) )z = ，y由于v 和a 是r x r _ r 的满射，则v 口【0 ，l 】，有( a v 功。= a 。v 凡= 缸v y l x a 。，y 既( a a b ) 。= a 。a 毋= 协a y l x a 。，y 玩对模糊数还有数乘运算：v a r ，c 为常数，有( c a ) 。= 【c a ：，c a ：】，t t l 【0 ，l 】定理1 3 ( 区间数四则运算) 卮协，b ，c ，d r ，a s b ，c d ，有：r j ，k ，b 】+ 【c ，加= 【a + c ，b + a t f 2 j 【，剀一【c ，棚= k d ，b c 】( 3 j 【n ，b 】【c ，棚= p ，q 1 ，其中p = m i n a c ，b c ，a d ，b a q ，鼋= m a x a c ，b c ，a d ，蚓例设担 0 ，c 0 ，贝口布以纠【c ，棚= 【，剀【 ，扣= 【：，：】仞区间有偏序关系：陋，纠s 【c ，a q 兮a c ，b d ，则对应有运算 【a ，纠v 【c ，棚=【a v c ，b v 刃；【a ，b 】a 【c ，明= 【a a c ，b a 棚6慨莎。兀僦厂定理1 4 访，b 是有界模糊数，则下述命题成立：r j j a ( ) ，烈) 在r 内上半连续；( 2 ) v a 【0 ，1 】，有+ b ) 。= a 。- i - 最；( a 一切。= a 。一玩；似x 固。= a 。毋。从而a + 曰、a b ，a b 均为有界模糊数。1 2 3 模糊随机变量与模糊随机过程模糊随机变量以模糊数作为随机变量的取值范围，是随机和模糊概念的成功组合。1 9 8 6 年，p u r l 和r a l e s c u 在科上给出了模糊随机变量及模糊随机变量的期望的概念。定义1 7 ( 模糊随机变量) 一个取值为模糊数的跌射趸：q 一莨被称为模糊随机变量，当且仅当v 口【o ，1 】，翻( ，曲q x r i 豆) 口 留，其中留是r 中序g 肋彤z 矿一闭集，嗽鳓为b o 陀l 可测空间。铭是q 上的矿一代数，磁，玛是概率空闻。参考 1 p 7 5 7 7 ，我们可以发现在一般情况下的一些等价条件，但在这篇文章中只应用下面引理的特性。引理1 1 瞳皂模糊随祝变量，则，对比( o ，l 】，墨( ( o ) = ：( ( i ) ) ，磁( ( o ) 】，并且x ：( ) 、k ( ) 墨( ( o ) 。其中；巧( ) = i i l f ( 1 ) ) = i n f xr l 承( 1 ) ) 口磁( ( o ) = s u p x ( ( o ) = s u p xer i 承) ( 力口1引理1 2 设魂模糊随机变量，嬲d 晰口( o ，1 】，( m ) = 【嚣油) 鬈油) 】是随机区向。引理1 3 设趸：q 一聂是一个模糊值函数。魂一个模糊随杌变量当且仅当磁，磁对所有矗( o ，l 】为随机变量，并且菽) = u 口【苟( ( t ) ) ，磁( ( 1 ) ) 】* ( o l 】模糊随机变量的数学期望定义为一个模糊数( 可参考 1 p 8 0 8 9 ) ：定义1 8 ( 模糊随机变量的数学期望) 设耍是概率空问( q ，p ) 上的模物随祝变量，如瓢的数学期望存在刚：e 圆= u 。e 面。= ua f e 阵) ，e 雠) 】a e 0 i 】a e l o ，1 1其中：e ( 嚣) = 厶嚣舢) d p ( ( 1 ) ) ；e ( x d = 厶磁( ( o ) 卯( ) a直观的说，模糊随机过程所描述的对象是动态模糊随机现象的演变过程的规律性。书【l 】的第五章i ) 9 5 给出了其定义：7定义1 9 ( 模糊随机函数、模糊随机过程) 定义于概率空间( q ，用上的模糊随祝变量族承f ) = 承f ，c o ) ，t r l 称为模糊随机函数，参数集r 可以是实直线r 中的有腰集、可数集或一个区间。当丁为有_ 瞑集1 1 ，万l 时，承f ) 就是模期随机f 句量；当r 为可数集时馐o 屯n 芝u 称为模糊随机序列；当t 为区阚砸，m 时，x ( t ) 称f 1 2 模糊随机过程，故可知模糊随机函数有下列四种不同含义：( 1 ) 当f ，山均为变量时，豆( i ) ) 是一个二元模糊集值函数；( 2 ) 当f 固定，山为变量时，承f ，) 是一个模糊随机变量；( 3 ) 当u 固定，f 为变量时，承，o ) 是一个模糊集值函数；( 4 ) 当f ，都固定时，敏f ，0 ) ) 是一个有界闭模糊数。1 2 4 模糊测度与模糊积分定义1 1 0 ( 模糊测度) 设x 0 ，汐( 的( 汐是x 的幂集) ，p ：一 o ，l 】，满足条件：r j j ( o ) = 0 ，似抑= 1 ；但) 、，a ，b 。，a b = p ( a ) 叫( 曰) ；口j a 。，伽= l ，2 ) ，砉! f k a 州或k2a i ，且l i m a 。= ae ，有l i m p ( a 。) = ( a )则称酗为西上的模糊测度( f u z z ym e a s u r e ) 。岱彩，曲称为模糊测度空间( f u z z ym e a s u r es p a c e ) 。常见的几种特殊的模糊测度有：概率测度( p r o b a b i l i t ym e a s u r e ) 、d i r a c 测度( d i r a em e a s u r e ) 、k - 模糊测度( k - f u z z ym e a s u r e ) 、信任测度( b e l i e f m e a s u r e ) 、似然测度( p l a u s i b i l i t ym e a s u r e ) 、可能性测度( p o s s i b i l i t ym e a s u r e ) 、必然性测度( n e c e s s i t ym e a s u r e ) 。( 可参见 3 p 3 9 5 - 4 0 7 。)定义1 1 1 ( 可能性测度) i i ：一【0 ，l 】称为可能性溅，若r j ，n ( 0 ) = o ，n ( 的= 1 ；r 2 j ( u 高a 。) = v 蒯+ o oi i ( a 。)由定义可知：m a x r i ( a ) ，( a 。) = 1定义1 1 2 ( 必然性测度) n ：一【o ，1 】称为必然性溅，若：r j j n ( 0 ) = 0 ，n ( 的= l ；f 2 ) n ( n ：la 。) = a t = ln 。)由定义可知：m i n n ( a ) ，n ( a ) = 08设) 是可测空间，记氰) = h 莎( 习阮= x l h ( x ) 口 ，口【o ，l ”。显然，对于h 矿( 幻，有h 甄) 当且仅当h a = x l h ( x ) 口 ，并且若= 驴( 习，贝j j y h 莎( 的，h 氰) 。定义1 1 3 ( 模糊积分) 设m ：一 o ，l 】是模糊测度，a 仨，h 氰) ，枥彩上关于m 的模糊积分啦z 硪i n t e g r a l ) 为j ( 协舭蚍坂曲) 八m 似n 。)定义1 1 4 ( s u g e n o 积分) 设p 是汐( x ) 上的准测度( 即= 汐( 的) ，并假设函数h ：x + 0 1 】，且t 汐( 幻，( s ) f a h ( x ) a p 【o ，l 】是珊趴上序细侣p ，l d 积分，其中岱，f c 物= v ， a ! a p 阢删，由模糊理论 3 】p 4 0 7 硼，可知：定理1 5 设= 汐( 幻，h ：x 一【0 ，l 】，而a 汐( 】r ) ，模糊积分还可表示为：f 州卜， o e a m 似帆，= 岱) f 幽9第二章单因素模糊定价问题这一章将把模糊理论与对数正态随机过程相结合，考虑模糊性与随机性两种不确定性环境下期权定价的新模型。首先，假设无风险利率为常数，股票价格过程服从模糊随机过程的单因素模型，分别给出欧式期权的模糊定价公式和美式期权的模糊定价模型，最后利用二叉树图将模型离散化，介绍数值解法。下面先给出本文的基本假设，有些假设在下面几章也将用到。2 1 基本假设假设1 ：市场无套利、无摩擦( 无交易费用和税率) 。假设2 ：段票期权的到期b 为t ，敲定价格为k ，不考虑红利分配，假设3 ：殷票价格过程是一个模糊随机过程s ， ) = s ( f 叫) ；f 0 。当t 和山都固定时，是三角型模糊数其隶属函数为：s ，( “d ( 曲=x - s ( t - , t o ) + 弋a ( t , w 一) ，s ( f ，) 一4 ( 山) j s ( f ，曲a i t u )s ( t , t 0 1 ) + 石b 石( t , 广t o ) - x ，s ( f ，曲 xss ( f ，+ 6 ( f ，纠( 1 )其中：s ( t 。曲为市场上所观测的段票价格一般认为股票价格为s ( t 。曲的司能性最大。a ( t 、b q ，幽为随机过程并且满足；0 0 。s nss + bx肿口【o ，1 1 ，瓦( 曲厅缸水平集为：s 扯( “d = s 。( u ) = i s 二( ) s 0 ( u ) 】= i s ( f ，c d ) 一( 1 一c t ) a ( t , 山) ，s ( t ，c u ) + ( 1 一c t ) b ( t ，) 1其中：琵= s ( t ，u ) 一( 1 一a ) a ( t ，u ) ；现= s ( t , t o ) + ( 1 - c o b ( t , t o )假设4 ：设s ，= s ( t ，) 殿从几何布朗运动：d s f2i t s ，d t + t r s f d b t其中：仁、矿是常数，b l 是标准布朗运动。】0( 2 )( 3 )假设5 ：设a t = a ( t ，甜) = c s ( t ，曲；b t = b ( t ，0 3 ) = 岱( f ，甜) ；其中c 、p 为常数，1 c 0 ，e 0 。由t 2 l 式可得；s 乙0 d = ( i 一( 1 一a ) c ) s l ；s 0 ( ) = ( 1 十( 1 一a ) e ) s r ( 4 )又由3 ) 式可得：d s 0 = ( 1 一( 1 一a ) c ) a s f = u s 二d f + o s ：a d b l( 5 )d s 0 = ( 1 + ( 1 一c o e ) d s ，= u s o a t + d 咯0 d 口l( 6 )假设6 ：设市场无风险翻率为常数r2 2 单因素欧式期权模糊定价2 2 1 模型建立设( q ，p ) 是概率空间，其中是n 的矿一代数，设 磁j 为中由历( s ) ；( 0 s f ) 生成的非减右连续完备子d - 一代数。利用等价鞅测度方法( 可参见 1 3 1 ) ，在市场无套利的基本假设l 下，由经典定价理论可知：存在等价鞅测度q ，使得证券的贴现价格 凶在q 下是鞅。即令等匕= e x p ( r ，- , u 历一 与学f ) ；f20 。于是在q 下，睨皇b l 一譬f 是标准布朗运动，使得s ，满足随机过程：d s ，= r s d t + o r s f d w ,由i t o 公式得：_ s l = s o e x p ( ( r 一譬+ 矿坼) ；t 0 。因此，在基本假设5 下由( 5 ) ( 6 ) 可得：d 琵= r - f f ：, 。d t + 晚d m 忱【o ，1 1因为期权价格受到股票价格和到期时间的影响，故一般情况下将欧式的看涨期权和看跌期权的价格看作股票价格和时间的函数w s ，f ) 进行建模研究。但由于模糊因素的影响，在股票价格服从模糊随机过程的基本假设3 下，欧式的期权价格过程也是一个与股票价格和时间有关的模糊随机过程，记为：v ( s ，f ) 。在期权到期h t 时刻，欧式期权的收益为模糊随机变量y ( s ，r ) ，有：看涨欧式期权：y 岱，r ) = ( s r ) 一1 ) v 1 o l看跌欧式期权：矿( 曩r ) = ( 丑一爵( 曲) v 1 1 0 !其中1 表示普通数工，其隶属函数为特征函数：l ( z ) ： 1 22zl0 ，z 茗由扩张原理和区间数四则运算规则可得欧式期权到期收益矿西r ) 的口一水平集：看涨欧式期权：砍曩r ) 。= ( 爵) 一l 旧) 。v 丑 0 l 。= ( k ( 曲一 墨网) v o ，0 】= 陋 - k , o ，n m x f 既- k , 0 】吃= 麟晚一墨o ；吃= i i l a x 既一丘o j( 8 )看跌欧式期权：砍曩r k = ( 丑闻一爵) ) 。v 丑 o l 。= ( 【墨网一i t ) ) v 【o ，o 】= 哪 置一既，0 1 ，m a x k - 既，o 】吃= m a x k 一玩，o ；吃= m a x k 一琵，o l( 9 )由等价鞅方法可知：r 时刻的期权价值矿( 曩力为到期收益的贴现值在等价鞅测度q 下的数学期望，即得：矿( 曩力= e 口【e - ( t - t ) 矿( 瓦r ) l 磁 = e 尹【e 唧1 矿 r ) 】由模糊随机变量的数学期望的定义可知f 时刻的期权价值矿( 瓦0 是一个模糊数，且矿( 曩f ) = u 口【吃，吃】“【0 ，l 】其中：吃= 酬e - r ( t - t ) 霹, 小吃= e p e w o 吒】( 1 0 )将( 8 ) 、( 9 ) 分别代入0 0 ) 可得：看涨欧式期权：看跌欧式期权：由此得到单因素欧式期权的模糊定价模型：e q e - r ( t - om 觚 既- k , 0 e q e - w - om a ) 【 既- k , 0 】e t o e - a r - om a x k - 既，o l 】e q e - r ( t - 0m a x k - 既，o ) 】1 2定理2 1 ( o - n 素欧式期权的模糊定价模型) f 时刻的欧式期权价值是模糊数矿 f ) ，其中满足：矿( 瓦f ) = u 越吒，吃】( 1 1 )a e l o a !看涨欧式期权：吒= e p 【e 一一卜o m a x l s b - g , 0 】皇乞吃= 晔p 。一 觋一k , 0 i 】皇琵看跌欧式期权：政= e p p 卜o m a x k - 既，o 】皇瓦让= e - r ( t - o m a x k - 强。o i 】皇瓦2 2 2 定价公式与平价公式( 1 2 )( 1 3 )( 1 4 )( 1 5 )因为在等价鞅测度q 下有( 7 ) 式成立，即现服从几何布朗运动。所以对v 口【o ，l 】，上述模糊定价模型中的( 1 2 ) 、( 1 3 ) 、( 1 4 ) 、( 1 5 ) 四式，都可看成在一般情况下的欧式期权a 矗、魂的等价鞅测度模型，其分别以现、现为标的资产。故可以用传统的分析方法，得到这四个过程龟、琵均满足b 1 a c k - s c h o l e s 微分方程：鲁+ 譬雾+ 肛名一= 0 。故可得以下结论：定理2 2 对看涨欧式期权，由1 2 l 式( 或( 1 3 式) 可得：铆= 瓯，x = 亏k ( 或铆=免，石= j 二) ，有：f o 优y + 0 2 - 2 x 2 州o “y + 麒塞一9 - -，【y l 。r = m a x x - 墨o l定理2 3 对看跌欧式期权，由( i 4 ) 式( 或1 5 ) 式) 可得：如= 晚，x = 吾o ( 或勃=t 。x = 黾j 。) 奄：瓦0 5 , + 了o a r _ 礤0 2 y + h 象一秽= o( 1 7 )i y l 。r = m a x l k 一o 解y = 免，工= 现的偏微分方程( 1 6 ) ，即求解普通的看涨欧式期权的b s 模型，则可直接运用b l a c k - s c h o l e s 公式( 8 1 p 8 2 8 3 ) 得：免= 鼠( 计) 一k e 呻- o n ( d ；2 )其中：计：i n ( f f ：, , , k ) + ( i r + ：o ：- 2 2 ) ( t 一- t )矿、丁一t露：i n ( - s l d k ) + ( ；r - ：o ：= 2 ) ( r 一- t ) ：钟一矿r q v j - t矿、r t1 3再将( 4 ) 式现( 叫) = ( 1 + ( 1 一o t ) e ) s ，代入上式得：免= ( 1 + ( 1 一a ) e ) s ，n ( d d j & 州r - o ，( 呓)其中：矸：i n ( ( ( 1 + ( 1 - c e ) e ) s t l ) ：k ) ：+ ( r + o - z 2 ) ( t 一- t )砑：一in(1+(1-a)e)s,)k)+(r-oa2)(t-t)：ai一矿而1弼= - ：= = = 一=一矿v f类似地。对琵、琵、晚分别求解偏微分方程( 1 6 ) 、( 1 7 ) ，运用b l a c k s c h o l e s 公式可以得到如下单因素欧式期权的模糊定价公式：定理2 4 ( 单因素欧式期权的模糊定价公式)单囡素欧式期权的模糊价格河酗2 俺1 口【，南皇e 看跌( 1 8 )fu 烈c 矗，c 抽兰g 看涨y 口【0 ，l 】，有：免= ( 1 + ( 1 一a ) e ) s ，( 甜) 一k e 一，( 7 一。( 露)( 1 9 )免= ( 1 一( 1 一a ) c ) s ，( 订) 一k p 一，( 7 一o ( d ；)( 2 0 )晚= 眉p 一 7 一o ( 一右) 一( 1 一( 1 一口) c ) s | ( 一布)( 2 1 )芦：= k e 一一7 一o ( 一d ；) 一( 1 + ( 1 一c e ) e ) s 。 r ( 一时)( 2 2 )其中：布：i n ( ( ( i - ( 1 - a ) c ) s , ) i i c ：) + 。( r + e a 2 ) ( t 一- t )( 2 3 )方：i n ( ( ( 1 - ( 1 - a ) c ) s , ) ；k ：) ：+ ，( r - o - 2 2 ) ( t 一- t ) ：一一矿 f j - t a t1( 2 一4 )劬2 ：= = = 一=一矿，钟：i n ( ( ( i + ( 1 - a ) e ) s , ) 了 l ：o ：+ ：( r + o a 2 ) ( t 一- t ) ( 2 5 )劈：一in(1+(1-et)e)s,)lo+(r-o22)(t-t)：al一矿而1( 2 6 )口；2 ：= = = 一=一矿v fi z o n 为标准正态分布的累积概率分布函数，即：n = ：ie - 鼍d 、2 丌j m注意到：当e = c 时，上面所得的单因素欧式期权的模糊定价公式( 定理2 3 ) 与文章【1 8 】的结果一致，也与文章 2 2 1 中r 考虑单因素s 为模糊随机变量的结果相同。作为本文定价模型的特例，文章【1 8 】只考虑了s 为对称模糊数的情况( 即p = c ) 而本文的模型及公式对s 为非对称情况( e p e c ) 也同样适用。1 4按照传统的欧式期权看涨看跌平价公式( c a l l - p u tp a r i t y ) 的分析( 见【8 】p 1 4 ) ，在不确定环境下的欧式期权的模糊模型也有相应的平价公式。由一般平价公式c f +k e 一，( ) - 尸，+ s ，可得在任意置信水平( 或阈值) 口下，看涨一看跌欧式期权的模糊价格的a 一水平截集的端点值之间的关系如下：定理2 5v 口【0 ，l 】，y t 【o ，刀有：否乙+ k f 柙一日瓦+ k e - m= 尸乙+ s 乞= 吃+ s 乙按照区间数四则运算规则，联合( 2 7 ) 、( 2 8 ) 式，模糊平价公式也可表示成：( 2 7 )( 2 8 )c f ，n 一只，a + 丑 妇q ” 。= s t 口；v 口【0 ，1 】，y t 【o ，t 】其中：g ，口= g 二，c 铂；p ，。= 【，吃】。由模糊理论的扩张原理可得反映欧式期权模糊价格关系的平价公式：定理2 6 ( 单因素欧式期权的模糊价格平价公式) 在不确定环境下，在t l t r f 亥t i “【0 ，刀) ，以同一股票s 为标的，有相同的敲定价格k 和到期时阆t 的欧式看涨和看跌期权的模糊价格c p | 满足平价公式：g p f + 1 f 艇( m l = s ，( 2 9 )可以发现当石、曩、曩分别为一般随机变量c ，、p t 、s 肘，模糊