（计算机软件与理论专业论文）试井分析模型中解的相似结构及其分析软件的研究.pdf

试井分析模型中解的相似结构 及其分析软件的研究 计算机软件与理论专业 研究生郑鹏社指导教师李顺初 摘要 为了解和控制油藏信息，人们从发现油田开始就从事试井分析工 作。试井从狭义上讲即是通过改变油、气、水井的工作制度，以引起 油层中压力重新分布，进而测量井底压力随时问的变化过程。试井分 析就是对所测取的压力变化结合产量等资料进行分析，研究确定油气 井及地层的许多特性参数，进而对油气藏和井作出准确的描述。试井 技术经过8 0 多年的历程特别是近2 0 年，伴随着渗流力学的发展， 一直处于快速发展和不断完善中。 本文研究了均质、双孔介质、双渗、复合等油藏变( 常) 流率问题 的无因次储层压力和井底压力的l a p l a c e 空间解，剖析了各个压力分 布表达式间的相互联系，归纳出了一个统一的通式，目的是系统地揭示 储层的压力动态分布规律，展现了其理论与应用相结合的一种完美表 达式，对试井分析理论是一种完善；进而编制出试井分析软件对用计 算机自动分析系统研究油气藏的渗流规律定会带来无法估量的促进作 用，具有深远的意义。 关键字：油藏；压力分布；l a p l a c e 空间解；外边界条件；试井；( 变) 流率：相似结构。 西华大学硕士学位论文 s t u d yo fs i m i l a rs t r u c t u r eo ns o l u t i o na n dt h e a n a l y s i sp r o g r a mi nt h ew e s ta n a l y s i sm e t h o d c o m p u t e rs o f t w a r e t h e o r y m d c a n d i d a t e ：z h e n gp e n g s h e s u p e r v i s o r ：l is h u n c h u a b s t r a c t t ok n o wa n dc o n t r o lt h ef o r m a t i o no fo i lr e s e r v o i r ，t h ep e o p l eh a v e b e e nm a k i n gw e s ta n a l y s i ss i n c eh a v i n gf o u n do i lr e s e r v o i r t h ew e s t a n a l y s i si s t os t u d yo i la n dg a sw e l la n dt oa c c u r a t ed e s c r i b ei t w i t h e v o l u t i o no ft h ep e r c o l a t i o nm e c h a n i c a li n r e c e n t l ym a n yy e a r s ，t h e w e s ta n a l y s i sm e t h o dh a v em a k er a p i d l yp r o g r e s sa n du n i n t e r r u p t e d g r o w t h b u tt h es t u d yt oh o m o g e n e o u sr e s e r v o i r 、d u a l - p o r o s i t yc o m p o s i t e r e s e r v o i r 、d o u b l e p e r m e a b i l i t y r e s e r v o i r 、c o m b i n e dr e s e r v o i ri sn o t p e r f e c ta n du s ep r i m a r i l ym a n u a lo p e r a t i o n t h i sp a p e rp r o p o s e sm a t h e m a t i cm o d e lf o rw e l lt e s ta n a l y s i so f p e r f e c t l yd e s c r i b i n gt h eh o m o g e n e o u sr e s e r v o i r 、d u a l p o r o s i t yc o m p o s i t e r e s e r v o i r 、d o u b l e p e r m e a b i l i t yr e s e r v o i r 、c o m b i n e dr e s e r v o i r w i t ht h e b o t t o m - h o l es t o r a g ea n dt h es k i ne f f e c t sa n dt h et h r e ek i n d so fo u t e r b o u n d a r yc o n d i t i o n s ( i n f i n i t eb o u n d a r y ，c o n s t a n tp r e s s u r eb o u n d a r ya n d c l o s e db o u n d a r y ) b yu s i n gt h el a p l a c et r a n s f o r mm e t h o d ，t h es o l u t i o no f t h ed i m e n s i o n l e s sr e s e r v o i r p r e s s u r e a n dd i m e n s i o n l e s sb o t t o m h o l e p r e s s u r ei nl a p l a c es p a c ei sg o t i ti s t h es o l u t i o n sf o r mi nt h et h r e ek i n d s d i s c o v e r e dt ot h es i m i l a rs t r u c t u r eo f o fo u t e rb o u n d a r yc o n d i t i o n sp a s s i n g t h r o u g hd e e p l ya n a l y s e si t sc h a r a c t e r i s t i c s f u r t h e r m o r e ，t h ep a p e rd e s i g n s w e l lt e s ta n a l y s i sp r o g r a m ，a n di ti sa l s oa d e e pd e v e l o p m e n to ff l o w t h e o r yo ff l u i d s k e yw o r d ：r e s e r v o i r ：p r e s s u r ed i s t r i b u t i o n ；o u t e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ； s o l u t i o no fl a p l a c es p a c e ；( v a r i a b l e ) f l o wr a t e ；s i m i l a rs t r u c t u r e 西华大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 本论文的研究背景、目的和意义 为了解和控制油藏信息，人们从发现油田开始就从事试井分析工 作。试井从狭义上讲即是通过改变油、气、水井的工作制度，以引起 油层中压力重新分布，进而测量井底压力随时问的变化过程。试井分 析就是对所测取的压力变化结合产量等资料进行分析，研究确定油气 井及地层的许多特性参数，进而对油气藏和井作出准确的描述。 最近二、三十年以来，试井分析理论从古典走向现代，从早期的 经验公式到人工图版拟合、计算机自动分析系统，其基础建立在求解 渗流微分方程这一根本问题之上。为此，广泛使用的求解渗流微分方 程的方法有：分离变量法、特征函数法、级数法、格林函数及源函数法、 镜像映射方法及叠加原理、积分变换法( 如；l a p l a c e 变换、f o u r i e r 变换、l a p l a c e b e s s e l 变换、w e b e r 变换以及其它正交变换法) 、算子 级数法等解析( 精确) 方法以及各种近似方法、数值模拟方法。事实上， 数学上的所有可能的知识几乎已全部应用到了试井分析理论研究中。 这对于从事与油气田试井研究的科研人员来讲，无疑是一种挑战，只 有将数学与工程实际紧密且灵活的结合在一起，才能把握现代试井理 论前沿。这种数学应用与应用数学的结合，带来的是百花齐放、百家 争鸣的景象，致使每年都有数千篇的论文发表，也有多本专著的诞生。 但对于工程应用研究人员来讲，要想理解每一篇文章或读完每一本著 作，可能并不是一件容易的事。如果能用某种基本的数学知识( 方法) 去解决工程问题，也许会取得意想不到的成效。一方面能让更多的读 者掌握所研究的内容，另一方面由于研究方法的统一性( 一致性) ，使 得更容易发现工程实际问题中的内在规律更有利于系统性地进行数 值和图版分析。 本课题针对均质、双孔、双渗、复合油气藏，研究了变( 常) 流率问 题的无因次储层压力和井底压力的l a p l a c e 空间解，对解析表达式进 行整理和简化，剖析了各个压力分布表达式间的相互联系，归纳出了 西华大学硕士学位论文 解式的相似结构，说明了该类微分方程组的解具有类似于实数可表为 连分式、图形具有相似性的所谓式相似性质，目的是系统地揭示储层 的压力动态分布规律，展现了其理论与应用相结合的一种完美表达式， 对试井分析理论是种完善；利用这一理论及m a t l a b 语言编制出的试 井分析软件，具有结构严密、系统性强、语句简单，便于各种组合、对 比分析地层和开发参数的特点，对用计算机自动系统分析研究油气藏 的渗流规律定会带来无法估量的促进作用，具有深远的意义 1 2 预备知识 1 2 1 从形和数的相似到式相似 任何一个实数均可表为连分式，这在数论中有广泛而深入的研究， 数论被称为数学中的皇冠。图形的相似性，从中学的相似三角形的到 分形几何的崛起，永远是人们乐此不疲的研究课题。 上述两个方面能否具有联系? 它反映在描述它们的表达式上! 而 作为微分方程的解式，是否也具有相对应的相似性? 至少直至今日， 还未得到人们的重视，人们总是要么想到解析解，要么求得它的数值 解，并辅以讨论它们的适定性。是否可曾想到：现实世界里有那么多 的实际问题，人们用理论曲线图版去分析变化规律，而该族曲线与定 解条件中出现的参数紧密相关且具有很好的相似性? 图形如此，作为 表达图形的解式( 确定图形数值的式子) 会是什么样? 会像数字一样 能表为连分式或连分式的乘积吗? 作为数和形的桥梁，式必然会有反 映的。式的相似性，它的表现应该具有像数字一样能表示为连分式或 连分式的乘积形式，具有一个相似核：在图像上具有通常图形或分形 的相似特征。 本课题的主题特色是在理论上研究此种解式的相似性，通过对微 分方程边值问题解式的整理和简化，发现它的解式具有所谓的相似结 构；并在实际分析中，利用强大的m a t l a b 程序设计语言，进一步地证 2 西华大学硕士学位论文 实它的适用性和显著的优越性。 1 2 2 常微分方程的边值问题 在常微分方程论的定解问题中，除了初值( c a u c h y ) 问题之外，还有 一类同数学物理问题密切相关的所谓边值问题这一问题的研究，早在 十九世纪的所谓s t u r m 和l i o u v i l l e 时期就己经开始了至今，不论在问 题的深度和广度方面，还是在研究方法上都有了很大的发展本文所研 究的内容，本质上也是建立在此理论基础之上，主要涉及到二阶线性微 分方程( 组) 的边值问题，此节就此介绍相关的概念和结论。 一般所谓n 阶微分方程 a ，h w 7 ，一) p = 窘) 的边值问题是：求这个微分方程的一个非零解，使之在某一区间l d ，b l 上 有定义并在区间端点a , b 处满足某些附加条件或边界条件。 这类问题，特别是二阶线性微分方程的边值问题在数学物理以及 许多工程技术问题中都具有广泛而深入的应用事实上，在数学物理中 的一些法则的数学描述大多数都可以写成二阶偏微分方程，而求解这 些方程通常需要利用分离变量法、积分变换法等手段，又往往归结为求 解一个常微分方程的边值问题。 1 2 3 变型b e s s e l 方程与变型b e s s e l 函数 特殊函数一b e s s e l 函数是工程技术中常用的一种函数，主要地来 源于圆柱形或圆柱物体的有关物理问题，广泛运用于渗流力学、石油 工程中。特别在求解反应扩散型微分方程的定解问题中，常常会遇到 交型的b e s s e l 函数及变型的b e s s e l 方程的求解。 西华大学硕士学位论文 早在b e s s e l 之前，e u l e r 、l a g r a n g e 等人研究过这个方程，并 求出了它的解。b e s s e l 在1 8 2 4 年在天文学问题的研究中，系统地研 究了此方程的解，同时编制出这些函数具有十位小数的函数表。此后， 称这种函数为b e s s e l 函数，并被广泛地应用到物理学和技术科学中。 1 、b e s s e l 方程 。：鲁+ d y + 0 z b ：0 ( i - 1 ) 出2 出 、“ 的解称为b e s s e l 函数。b e s s e l 函数分为三类，它们分别是： 第一类b e s s e l 函数，通常简称为b e s s e l 函数。它记为 ，。b 肌一。仁) ，即： 即 ，。t x l - 薹茄( 犷 j 一。b ) = ：妻j 揣( 主) 2 第二类b e s s e l 函数，有时也称为n e u m a n n 函数。它记为匕0 ) 删= 坐铲 第三类b e s s e l 函数，又称为h a n k e l 函数。它记为h ? b 舯日p g ) ， b u ： f h ? ) b ) = j 。b ) + f 匕b ) 1 h 1 2 b ) = l ，。仁) 一f 匕b ) 日? b l h p 仁) 又分别称为第一类h a n k e l 函数和第二类h a n k e 函数。 ，。b ) ，匕g ) ，日? g 廓h p 0 ) 都是b e s s e l 方程( 卜1 ) 的解，且其 中任意两个都是线性无关的。所以b e s s e 】方程( 卜1 ) 的通解可以表示 d 西华大学硕士学位论文 为： 或 或 y ；4 。b ) + b l 仁) y ：。b ) + 跗? b ) y = 一日? ( z ) + b p ( x ) 等等。 2 、变型的( 也称虚宗量的或变形) b e s s e l 方程： x ：鲁+ z 笔一g ：b ：0 ( 1 - 2 ) 出d x 、 ” 的解称为( 也称虚宗量的或变形) b e s s e l 函数，它分两类。 第一类变型b e s s e l 函数，记为，。仁并口，一。b ) ，即为： ，。g ) = z 一”j 。( k ) = ；i ；南( 主) ”+ 2 l 附l = 耄孟司“ 第二类变型b e s s e l 函数又称为m a c d o n a l d 函数，记为k 。g ) 即 吼) = 三锴 因为。b ) 平k 。b ) 是线性无关的，所以变型b e s s e 方程( 1 2 ) 的通解可 表示为 y 。a i 。g ) + b k 。x ) 由于在研究的过程中经常会用到b e s s e l 函数递推关系式，因而 有必要对其作一简单的陈述： 第一类变型b e s s e l 函数，。b ) 有如下递推关系式： 5 西华大学硕士学位论文 车0 _ ) ：川。 d r _ d 仁1 。o x - v k ， 础 仁。) = x v - ”l 一。 & ”，。) x - ( ) ， 待别地伺： ，) x 。，o = ，。 第二类变型b e s s e 函数k 。g ) 的递推关系式有不少差异，其递推 关系如下： f 芝b k ) = 一 1 丢b “k ) a 一”e 。 特别地有： i 2 4l a p l a c e 变换 ( 去) 4 h ) _ ( _ 妒广k ( 去) “) - ( - 1 ) m x 七训k 。 ( x k ，) = 一x k 。，k o = 一k 。 l a p l a c e 变换法是求解偏微分方程得一种经典方法。从2 0 世纪4 0 年代开始，由v a n e v e r d i n g e ra n d h u r s t ( 1 9 4 9 年1 将该方法引入油气层渗 流领域并逐步得到应用。到今天为止，由于广泛地使用l a p l a c e 变换 的数值反演技术，使得相当多种类的渗流偏微分方程定界问题均可利 用l a p l a c e 变换法求解。 1 l a p l a c e 变换的定义 函数，( n 的l a p l a c e 变换定义为 6 0一】怯旦础 ，hu 堕兰奎堂堕圭兰垡堡茎 p，一 l 【厂( r ) j = ，( z ) = r ，( f ) g 一“d t 其中：t = 仃+ i w 是复数，称为l a p l a c e 变换变量( 或称l a p l a c e 空间变量) ： 厂( z ) 称为函数厂( f ) 的象函数( 或称l a p l a c e 空间象函数) ，有时也称f ( z ) 为函数，o ) 的l a p l a c e 变换。 若，( z ) 是函数f ( t ) 的l a p l a c e 变换，则称厂( f ) 为f ( z ) 的l a p l a c e 逆 变换( 或称象原函数) ，记为： r 1 ，( f ) = l - 1 i f ( z ) l lj 2 l a p l a c e 变换存在的充分条件 l a p l a c e 变换的存在定理：若函数f ( t ) 满足下列条件： 1 在t2 0 的人以有限区间上分段连续； 2 当卜+ 十o 。时，o ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存 在常数m ，0 及口0 ，使得： i ，p ) i s m e 4 ，0 s t 乜上一定存在，右端的积分在r e ( z ) q ，a 上绝对收敛 而且一致收敛，并且在r e ( z ) a 的半平面内，( z ) 为解析函数。 1 2 5l a p l a c e 空间中的数值反演技术 1 、 反演定理 给定于( z ) ；工 厂p ) 】，r e ( z ) ；盯，口，则在厂q ) 是有 界变差( 若，o ) 在开区问上有界的，且有有限个相对极大，极小值和 不连续点，则( t 1 是有界变差的) 的任一个区间上有： ( f ) = 土r l i m j r o l - + i r “恐) e “出= 圭【厂( f o ) + ，( f + o ) 1 r o ； 昙厂。一o ) ， f 。o ； 0，t(0； 7 ( o - i a ) 西华大学硕士学位论文 对每个使，o ) 连续的点t o 有： ，( f ) = 去艘篡确e “出圳r ) ( 叩口) 上述公式中积分路径位于，( z ) 一切奇点的右方。由此可知，l a p l a c e 逆 变换 o ) 可表示为： 厂，o ) ；去牌f ：? ( z 弦“出 ( 若此积分存在) 否则，l ( t 1 是c a u c h y 主值。 2 、 反演解析方法 l a p l a c e 逆变换是将象函数f ( z ) 反演为象原函数f ( t ) ，这种解析反 演主要有两种方法：一种方法是利用现在的l a p l a c e 变换表再利用 l a p l a c e 变换的各种性质进行( 间接) 的反演：另一种方法是根据上述反 演公式利用复变函数的围道积分知识进行运算而得。 3 、l a p l a c e 变换的数值反演 在工程实际应用中遇到l a p l a c e 变换的象函数，( z ) 往往是相当复 杂的，以致于用上述的解析反演方法很难求得其原函数。下面介绍一 种主要的数值反演方法：基于概率密度函数的s t e h f e s t 方法 s t e h f e s t 数值反演法 该方法由s t e h f e s t ( 1 9 7 0 年) 提出。他根据g a v e r 所考虑的函数，( f ) 对于概率密度正( ，t ) 的数学期望，其中l ( a ，t ) 为： 脚印蒜( 1 - e - s t 卜一o ( 1 - 5 1 ) 提出了如下的l a p l a c e 数值反演公式： m = 等羹_ 确睁了j l n 2 ) ( 1 - 5 - 2 ) 其中：n 是偶数：而k 为： 西华大学硕士学位论文 _ 卟1 ) 等，等；盘型( 1 - 5 - 3 ) 铲卜圹”。羁两茄 利用式( 1 5 2 ) ，给定一个t 值和j 值，就可以算出一个，( z ) 值和一个k 值，从而由象函数，0 ) 算出函数f ( t ) 的数值结果。 计算精度。一般地，需要针对不同类型的象函数厂( z ) 在实际计算的过 缓的函数进行计算时显得简便而快捷，但对于变化较陡的函数将会计 算结果数值弥散和振荡。为此，有很多的学者在s t e h f c s t 原有理论的 设f ( z ) 为象函数，( f ) 为原函数，即： ，( z ) = 工【，( r ) j ，( f ) = 半冀_ 确_ j l n 2 ) ( 1 - 5 - 4 ) 此式与( 1 - 5 2 ) 形式上完全相同，但系数旷被修正为： 州q 争蒿而若赫5 5 ) 其中：n 仍为偶数，而n 值的取值在1 0 3 0 之间。大多数情况下取n = 1 8 、 2 0 或2 2 是合适的，作上述修正后，在实空间的解，( f ) 变陡的位置处 其数值的弥散和振荡状况有所改善。 s t e h f e s t 数值反演法还有一个缺点是：难以估计和控制计算误差。 西华大学硕士学位论文 1 3 本文的内容组织 本文的内容组织如下： 第一章：绪论部分介绍了本文涉及的部分基础知识。 第二章：针对均质油藏建立了考虑井筒储集和表皮效应以及三种 外边界( 无穷大、定压、封闭) 条件下的试井分析模型；利用l a p l a c e 变换，在l a p l a c e 空间中求出储层压力分布和用于试劳分析的井底压 力分布的精确解，并找出该类油藏在三种外边界条件下渗流特征的解 式的相似结构。在此基础上，利用数值反演结果，编制了m a t l a b 分析 程序，绘制出相应的理论图版，并对图版作了一些初步的解释和分析 第三章：针对双孔介质油藏建立全面地考虑井筒储集和表皮效应 以及三种外边界( 无穷大、定压、封闭) 条件下的试井分析模型：利用 l a p l a c e 变换，在l a p l a c e 空间中求出储层压力分布和用于试井分析 的井底压力分布的精确解，并找出该类油藏在三种外边界条件下渗流 特征的解式之间的相似结构。在此基础上，利用数值反演结果，编制 了m a t l a b 分析程序，绘制出相应的理论图版，并对图版作了一些初步 的解释和分析 第四章：针对双渗油藏建立全面地考虑井筒储集和表皮效应以及 三种外边界( 无穷大、定压、封闭) 条件下的试井分析模型：利用l a p l a c e 变换，在l a p l a c e 空间中求出储层压力分布和用于试井分析的井底压 力分布的精确解，并找出该类油藏在三种外边界条件下渗流特征的解 式的相似结构。在此基础上，利用数值反演结果，编制了m a t l a b 分析 程序，绘制出相应的理论图版，并对图版作了一些初步的解释和分析 第五章：针对复合等油藏建立全面地考虑井筒储集和表皮效应以 及三种外边界( 无穷大、定压、封闭) 条件下的试井分析模型：利用 l a p l a c e 变换，在l a p l a c e 空间中求出储层压力分布和用于试井分析 的井底压力分布的精确解，并找出该类油藏在三种外边界条件下渗流 特征的解式之间的相似结构。在此基础上，乖j 用数值反演结果，编制 了m a t l a b 分析程序，绘制出相应的理论图版，并对图版作了一些初步 的解释和分析 1 0 两华大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章均质油气藏径向流的式相似结构 均质油藏模型是试井分析理论和实践中的最理想化、应用最广泛 的一种模型。对此模型的研究，构成了油气田开发工程及试井分析研 究的最基本、最核心的内容之一，至今也是其理论与应用研究最为透 彻和完善的一种储层模型，所推导出的解析公式及绘制的理论图版已 得到广泛的应用。但这并不意味着，此种储层模型缺乏有趣的研究主 题。本文在文献的基础之上，对均质储层模型，研究了三种外边界 条件( 无穷大、封闭、定压) 及两种内边界条件( 是否考虑井筒储存和表 皮效应) 下的变( 常) 流率问题的无因次储层压力和井底压力的l a p l a c e 空间解，剖析了各个压力分布表达式间的相互联系，归纳出了一个统 一的通式，此通式的出现是对均质储层试井分析理论的一种完善，对 编制相应的应用分析软件等也具有借鉴和指导意义。 2 2 均质储层的渗流定解问题的数学模型 设有均质、等厚、各向同性、水平储层、流体是微可压缩单相的。 储层中只有一口井生产，无论是油井还是气井都可以建立如下的无因 次形式的渗流定解数学模型。 渗流基本方程 初始条件 p 。( r o ，o ) = 0 内边界条件 不考虑井筒储存和表皮效应时 ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 垃 = 垃一监皖 两华大学硕士学位论文 p 。o 。) ；p 。( l t d ) ( 唔札i 一( f d ) 。 外边界条件 无穷大外边界： 定压外边界： p m ( f 。) = 【p 。一s 瓦o p d i ( 2 4 ) ( r d 挈h - - 【“u 警1 封闭外边界：堡 ：0 a ，di ，d “。 无量纲量的定义： 油= 志”p ) 气：p 。：_ 7 8 4 8 9 k h 坤。一妒) 口1 妒：r p 望d p ， j 泣1 ：击，rd，ro=一rco ，q o 。旦 2 荔丽2 i i 。i 2 3 数学模型解的式相似结构的推导 3 6 幻 t o 。蕊 对上述考虑井筒储存和表皮效应时的数学模型取关于无量纲时间 t d 的l a p l a c e 变换： 死( r ，z ) = 9 et o p 。( r ，r 。陋。； 1 2 、， 0 1 m 5 5 巧 q p 西华大学硕士学位论文 歹。) r e 一。p 。( f 。) 出。：瓦( z ) ；f o 。e = d o ) d t 。 则上述的偏微分方程的定解问题( 2 - 1 ) ( 2 5 ) 转化成如下的常微 分方程边值问题： 定解方程： ( 2 6 ) 眦h 驴s 科。 ， ( r d 等忆i 【砷) - c 柳m 】 外边界条件： 无穷大外边界：瓦0 ，z ) = 0 ( 2 8 a ) 定压外边界：死伍。，2 ) = 0 ( 2 8 b ) 封闭外边界：矧一- o 8 。 定解方程( 2 - 6 ) 为0 阶变型的b e s s e l 方程。于是，它的解可由下式给出： 瓦( ，d ，办。爿j 。旧。) + b k 。旧。) ( 2 9 ) 其中l h ( ) 、k 。( ) 分别为h 阶的第一类、第二类变型的b e s s e l 函数，常 数a ，b 由条件( 2 7 ) 、( 2 - 8 ) 确定。 由变型b e s s e l 函数的微分性质： 磐：4 而。( 点z f d ) 一b 瓜，旧。) ( 2 1 0 ) 将( 2 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 代入( 2 7 ) 中，经整理得： o玩 亟，一b堕睇 件条界边内 西华大学硕士学位论文 第一种情况： 当外边界无穷大时，因为! 翌，。( _ r d ) = m ，由( 2 8 a ) 、( 2 - 9 ) 得 一= 0 代入( 2 一1 1 ) 得：口； 把a ，b 代入( 2 - 9 ) 令 且 c 。z 一( 1 + c 。& ) k 。瓯) 一( 1 + c 。孺。瓯) 死( ，d ，z ) z i 丽g 可( z ) 百k o ( 压丽- z r d j ) 历而 匕。 ，卢，y ) ； y 也y ) + ( 一矿一1 l y ) y ) ，= 捌 i 丽1 端u j ( 1 ( 2 _ 1 2 )s + ! 堡三1 1 一 ，z ) ” 1 一掣( 1 ，z ) 第二种情况： 当外边界定压时，由( 2 - 8 b ) 、( 2 - 9 ) 得： 爿，。陋。) + b k 。胁。) ：0 ( 2 1 3 ) 结合( 2 7 ) 、( 2 - 1 1 ) 得 爿= 丽蕊弭丽葫掰蟓羽蕊 1 4 篙啦嘛 一刁q 删啦 一 巳 靠 一 z 一 孑 ，l一吼 篁 z d，l 触 卢 西华大学硕士学位论文 砭d 螂斯r d _ j + ( 1 + c j 磷取娅i k o i 压r ob 巩一( 1 + 巳鳓疡。娅 把a ，b 代入( 2 - 9 ) 得： 五( r d ，z ) 2 _ 0 令 且 整理得( 2 1 2 ) 。 司+ ( 1 + q 姝f 蕊匝i k 瓯i q 弛匝二( 1 + q 嘣皿匝 叱。 ，声，y ) = k ，( a y ) i ( f l y ) + ( - l f 1 i m ( a y ) k ( f l y ) ，= 期 第三种情况： 当外边界封闭时，由( 2 - 8 c ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 - 9 ) 得： k 陋。) + 压z r o i 。洳+ k 协。j 一胁。k 陋。惟；0 ( 2 - 1 4 ) 结合( 2 7 ) 、( 2 - 1 1 ) 得： 小砺蕞面瓤面赢瓣搿毫孺瓜丽丽 拈蕊藁孺而蕊蒜糕溉函丽蕊 把a ，b 代入( 2 - 9 ) n - ： 砺力= 蕊陶礴橼糯糍拨妇 令： 。 ，卢，y ) = 蚝 y ) l y ) + ( 一矿1 l 似y ) k ( f l y ) 西华大学硕士学位论文 且： 整理得( 2 一1 2 ) 。 综合以上三种情况得： 对于任意整数m 和n ，定义函数。x ，y ，z ) 如下： k x ，y ，z ) = k m k p 。( y z ) + ( 一1 p “，。k k ( 弦) 其中l h ( ) 是第一类h 阶变型贝塞尔函数；k 。( ) 是第二类k 阶变型 b e s s e l 函数。 定义相似核函数l = v ( r o ，j ) 如下： 、，z ) = k “z ) 止k “z ) q ，0 0 ( r d ，z ) 止1 l k ，z ) 王，l 0 如，z ) 止l ，z ) 磊( 鸭z ) ；o 磊( ，z ) = o 亟1 ：o d 七i 自喝 则储层内无量纲压力的l a p l a c e 空间解，对于三种外边界( 无穷大、定 压、封闭) 条件，均具有统一的表达式： 。矗丽1 端( 2 - 1 5 )s + ! 垒! 型 1 一v ( 1 ，z ) ”7 1 一平( 1 ，z ) 将( 2 1 5 ) 代入( 2 7 ) 的第一式中，利用函数。b ，卢，y ) 的微分性质， 即可得到无量纲井底压力的l a p l a c e 空间解，对于三种外边界( 无穷大、 定压、封闭) 条件，也具有统一的表达式： ( 2 1 6 ) 另墅恳勰 加。叭 高 、j z lb i l 、j z 七曲 一p 西华大学硕士学位论文 若不考虑井筒储存，则：c 。= 0 a 若不考虑表皮效应，则：s = 0 2 4 常流率问题的储层压力分布的通式 当流率口( f ) 为常数( 与时间t 无关) 时，和( f d ) 可取为1 ( 适当选 取无因次化变量时的参考流率即可) ，则根据公式得： 碘) = f 础d ) e = 三 将其带入通式( 2 1 5 ) ，即可得到均质油藏常流率问题相应的通式： i 丽1 篇( 2 1 7 ) s + ! 坚! 型 1 一v ( 1 ，z ) 卜“7 1 一v q z ) 2 5 无因次井底压力的l a p l a c e 空间解的通式 根据渗流定解问题的内边界条件中的井底压力的表达式，利用公 式( 2 - 1 6 ) 及函数妒，。 ，卢，y ) 的微分性质，即可得到无因次井底压力 的l a p l a c e 空间解的通式： 。( z ) ：b ( z ) l _ - 一( 2 - 1 8 ) c d h 赢 对于常流率问题的无因次并底压力的l a p l a c e 空间解有： 一 ) 1 l ：广一(219)pwd(z) 一二：- ( 2 - 2 c d h 赢 西华大学硕士学位论文 2 6 数值分析结果 公式( 2 1 8 ) 、( 2 - 1 9 ) 可方便地应用于均质储层试井分析中的理 论图版的制作、储层参数、井筒储存系数和表皮因子等的确定。下面 根据理论图版在三种情况讨论了井底压力和储层参数、井筒储存系数、 表皮因子等的关系： i 、表皮因子s 0 ( 污染井) 的情况( s = 4 ，肋= 5 0 0 ) ： g r a p h 2 1d i m e n s i o n l e s sb o t t o m - h o l ep r e s s u r ea n dt i m ed o u b l el o g a r i t h m i c 图2 1 三种井边界条件下无因次井底压力和时阅变仡的双对数关系鼙 从圈2 - 1 中可以看出在s 0 ( 污染并) 的情况下： 1 在油气井开发初期，压降的变化主要取决于并筒储存系数和表 皮系数的组合参数团c 。8 2 5 值的影响，外边界条件对井底压力没有影响； 并且随着参数团c 2 。值的增大，井底压力降落的值随之而减小。 1 8 西华大学硕士学位论文 2 压降变化的峰值出现的时间随着参数团c 。矿值的增大而延迟， 峰值的大小随之增大，下倾越陡。 3 在油气井开发中期，井底压力同时受到井简储存系数和表皮系 数以及外边界的对其发生作用，其压力降之值满足：外边界封闭时的 压降值 无穷大外边界时的压降值 外边界定压时的压降值。 4 在油气井开发中期，随着参数团c 。9 2 5 值的增大，三种边界条件 下的井底压力降之值，当表皮系数s 0 ( 污染井) 时，同时随之增大， 即井底压力随之减小。 5 在油气井开发中后期，随着外边界对其发生主要的作用，其匿 力降之值同样地满足：外边界封闭时的压降值 无穷大外边界时的压 降值 外边界定压时的压降值：但其显著的特点是：在外边界封闭时 会出现拐点，其压降值由减小变为增大( 即井底压力将会不断下降) 。 、表皮因子s 0 ( 改善井) 的情况( s = 一l ，r d = 5 0 0 ) ： g r a p h 2 2d i m e n s i o n l e s sb o t t o m h o l ep r e s s u r ea n dt i m ed o u b l el o g a r i t h m i c 图2 2 三种外边界条件下无因次井底压力和时间变化的双对数关系图 从图2 - 2 中可以看出在s 无穷大外边界时的压降值 外边界定压时的压降值，即外边 界封闭时的井底压力c 无穷大外边界时的井底压力 o 基本相同。 i l i 、外边界半径如呻o o 的情况： ( 1 ) 封闭和无穷大外边界条件下井底压力间的关系 g r s p h 2 3d i m e n s i o n l e s sb o t t o m h o l ep r e s s u r ea n dt i m e d o u b l el o g a r i t h m i c ( i n f i n i t e & c l o s e d ) 图2 - 3 封闭和无穷大外边界条件下无因次井底压力和时间变化的双对数关系图 西华大学硕士学位论文 从图2 - 3 中可以看出：当如斗m 时，外边界封闭的极限状态是外 边界无穷大的情形。 ( 2 ) 定压和无穷大外边界条件下井底压力间的关系 g r a p h 2 4d i m e n s i o n l e s sb o t t o m - h o l ep r e s s u r ea n dt i m ed o u b l el o g a r i t h m i c ( i n f i n i t e & c o n s t a n tp r e s s u r e ) 图2 - 4 定压和无穷大外边界条件下无因次井底压力和时间变化的职对敷关系圈 从图2 - 4 中可以看出：当r d _ q 。时，外边界定压的极限状态是外 边界无穷大的情形。 2 7 储层压力分布与井底压力间的关系 根据渗流定解问题的内边界条件，可很容易地从储层内压力分布 得到井底压力的表达式。若观察公式( 2 1 6 ) 、( 2 - 1 7 ) 与( 2 一1 8 ) 、( 2 - 1 9 ) ， 则可从无因次井底压力得到无因次储层内压力分布的公式： 2 l 西华大学硕士学位论文 砜z ) = 嚣糕霸z ) 2 8 迸一步的结论与认识 ( 1 ) 对于所求得的l a p l a c e 空间解，均可通过解析反演求得相应的 实空问解析解，其表达式是积分或无穷级数的形式，但没有类似的 简洁和实用的通式。 ( 2 ) 一般情况下，可采用s t e h f e s t 数值反演公式，求得所给通式相 对应的不同情况下的实空间数值解，完全满足试井分析中的应用需要。 ( 3 ) 若将实测压力数据进行数值l a p l a c e 变换，也可直接在l a p l a c e 空间中进行试井分析，这将更加体现出本文所得通式的优越性。 ( 4 ) 储层中的压力与井底压力均可用统一的一个通式来表达，这 对编制试井分析软件，无疑是带来了极大的方便，可以简化和优化软 件结构，也是对试井分析理论的深化与完善。 ( 5 ) 从所得通式中，可很容易的看出和分析井简储存与表皮效应 对储层压力和井底压力的影响。 符号说明： p 储层中任意点处在时刻t 时的压力，m p a ；p 。一并底压 力，m p a ；q 一井产量，m 3 d ；q e 一参考产量，m 3 d ：f 一时间，h ；，一径 向距离，m ；r 一外边界半径，i n ；_ h 一储存厚度，m ：c ，一综合压缩系 数，m p a ；k 一地层渗透率，p i n 2 ；一流体粘度，m p a t s ；b 一原油体 积系数，m 3 m 3 ；t 一地层温度，k ；c 一井筒储集系数，i n 3 m p a ；s 一表 皮系数( 无量纲) 。 下标：口一无量纲：w 一井；f _ 一初始。 瓦无因次压力的l a p l a c e 空间像；乏一无因次井底压力的 l a p l a c e 空间像；：磊一无因次流率的l a p l a c e 空间像。 西华大学硕士学位论文 第三章双孔介质油藏径向流的式相似结构 3 1 引言 双孔介质储层是存在天然裂缝的储层，这种储层类型在实际分析 中，常将其视为由两种孔隙介质组成，即基质岩块介质和裂缝介质， 介质之间的分布互相均匀。其中的裂缝介质是油气水渗流的主要通道， 岩块介质是储存流体的主要空间。双孔介质中的裂缝介质由于占储层 体积较小，所以孔隙度低，渗透率却很高。而岩块介质受沉积及岩化 作用则孔隙度很高，渗透率却很低。这种特征，给实际分析该种储层 时带来了许多方便，可以忽略相对的小量，简化分析模型。 有关双孔介质储层的研究成果很多，但较为综合和全面地研究其 储层压力动态分布规律的成果并不多。在论著中，作者对双孔介质 储层在三种外边界条件( 无穷大、封闭、定压) 和两种内边界条件( 即 是否考虑井筒储存和表皮效应) 下的压力状态分布作了作了较为详细 的研究，利用l a p l a c e 变换法获得了其相应的l a p l a c e 空问解或实空间 的解析解。本文在【1 i 中所做的工作基础上，全面、深入地剖析了所求 l a p l a c e 空间解的结构，找出了它们之间的内部联系，得到了一个通用 公式，进步地也得到了储层压力与井底问的关系式，并简要的引导 和指出了各个通式的应用。其成果对试井分析的理论及其应用均具有 广泛的现实意义和应用前景。 3 2 双孔介质储层渗流的数学模型 考虑具有井筒储存和表皮效应下的变流率平面径向渗流网络，设 有双孔介质( 裂缝介质+ 基质岩块介质) 、等厚、各向同性、水平的储 层，流体是微可压缩单相的。假设储层中只有一口井生产。则可以建 立如下的无量纲形式的渗流数学模型“。 渗流基本方程组 2 3 西华大学硕士学位论文 初始条件 f 只。( r d ，0 ) = 0 1 只。( r d ，o ) = o 内边界条件 不考虑井筒储存和表皮效应时 考虑井筒储存和表皮效应时 外边界条件 无穷大外边界： 定压外边界： 封闭外边界 i r d - r d = o r d - r d = o 岛1 ，t d 0 r d 1 ，t d 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 6 ”) ( 3 6 ”) 堕 钏u 地 一 j 嵋 “ 学钞 监睇 堕 c 一 一 柏 气 一 ) d 一， 峨一吒 匕 以 却却 u uh 心 ，l 却却 、j 、j 岛阮 ，r1l 一一魄 西华大学硕士学位论文 无量纲量的定义如下： 驴嚣b 码l ( - = 1 ，z ) f d 一丽等麝 c