（光学专业论文）tc模型中的量子纠缠.pdf

摘要 量子纠缠是量子力学的最基本的特性之一。量子纠缠在量子力学及量子信息理 论中的重要地位使得对量子纠缠的定性和定量描述显得尤为重要。 本文从经典的t c 模型入手，利用p e r e s 判据讨论了两种情况下系统的纠缠量 的变化，一是原子间不存在耦极矩时，色散介质对原子间纠缠量的影响。二是原子 间存在耦极矩时，色散介质对原子间纠缠量的影响。 本文共有四章，第一章章主要介绍了量子纠缠的一些基本概念，第二章主要讨 论了在t c 模型中两原子的纠缠特性，得到一些重要结论，对纠缠态的制备和操控 有一定的指导意义。第三章总结了常见色散介质中三种模型的基本情况。第四章对 量子纠缠在隐形传输和量子计算机领域的应用做了简单介绍。 关键词：量子纠缠，纠缠度，色散介质，t - c 模型， a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n t i so n eo ft h em o s tb a s i cc h a r a c t e r i s t i c so f q u a n t u mm e c h a n i c s i tp l a y sa v i t a lr o l ei nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dq u a n t u m i n f o r m a t i o n ，s oq u a n t i f i c a t i o no f e n t a n g l e m e n ti sv e r yi m p o r t a n t t h i sa r t i c l ed i s c u s s e st w ok i n d so fs y s t e m a t i ce n t a n g l e m e n tq u a n t i t y c h a n g e ，u s i n gt h ep e r e sc r i t e r i o n ，w h i c ho b t a i n sf r o mt h ec l a s s i c st - cm o d e l o n ei st h ei n f l u e n c eo fd i s p e r s i v em e d i at oi n t e r a t o m i ce n t a n g l e m e n tq u a n t i t y , w h e ni n t e r a t o m i cd o e sn o th a v et h ep a i rd i s t a n c eb e t w e e ne l e c t r o d e s a n o t h e r i st h ei n f l u e n c eo fd i s p e r s i v em e d i at oi n t e r a t o m i ce n t a n g l e m e n tq u a n t i t y , w h e ni n t e r a t o m i c a l l yh a st h ep a i rd i s t a n c eb e t w e e ne l e c t r o d e s t h i sa r t i c l eh a sf o u rc h a p t e r s ，t h ef i r s tc h a p t e r sd e s c r i b e ss o m eb a s i c c o n c e p t s o f q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t h e s e c o n d c h a p t e r d i s c u s s e s e n t a n g l e m e n t sc h a r a c t e r i s t i c so ft w oa t o m i ce m o t i o n a li nt - cm o d e l ，g i v e s s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s ，w h i c hh a sac e r t a i no fs i g n i f i c a n c eo nt h e p r e p a r a t i o na n dc o n t r 0 1 t h et h i r dc h a p t e r s u m m a r i z e di nt h ec o m m o n d i s p e r s i v em e d i a t h r e ek i n do fm o d e lb a s i cs i t u a t i o n s t h el a s tc h a p t e rg i v e sa s i m p l ei n t r o d u c t i o no na p p l i c a t i o n so fq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nq u a n t u m t e l e p o r t a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t e r f i e l d k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，e n t a n g l e m e n td e g r e e ，d i s p e r s i v e m e d i u m ，t - cm o d e l ， i i i 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 作者签名： 笔童z 黎。 嗍 鬈! 鱼：! ： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原科技大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件、复印 件与电子版；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存 学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交 流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。、 作者签名：( 参l 磬，日期：? 罗：亏：! 导师签名：筮叁壶日期：12 ：兰：! 竺 绪论 绪论 纠缠( e n t a n g l e m e n t ) 是一种奇特的物理现象，量子纠缠是近年来在量子物 理文献中经常出现的一个词汇，它是量子物理的非局域性质，它有助于揭示物理 学中更深层次的本质特性。纠缠态概念最早是由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在 他们著名的“e p r ( e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ) 佯谬”【l 】文章中提出来的。它实质 上涉及到了纠缠态的概念。爱因斯坦等人在分析量子力学理论是否完备时，考察 了一个由两个粒子组成的一维系统，并提出了用于判断这个问题的三个前提：( 1 ) 任何两个互不接触且不可能直接作用的系统，对其中任何一个系统的测量，量子 力学的预言是正确的。( 2 ) 要是对于一个系统没有干扰，我们能够确定地预测一 个物理量的确定值( 即几率等于1 ) ，那么对应于这一物理量，必定存在着一个物 理实在的元素，即有物理实在性。( 3 ) 对于任何两个分开的系统，对其中一个系 统所作的任何物理操作不应该立即对另一个系统有任何影响，也可以说自然界没 有超距作用。这就是历史上有名的e i n s t e i n 可分隔原则。“e p r 佯谬”提出的目的 在于说明，在承认局域性和物理实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。 e p r 佯谬给出的两粒子体系的波函数实际上就是一个典型的纠缠态。纠缠态 的奇妙性质揭示了量子规律内在的非定域性，这种与经典物理规律完全背离的非 定域性使得量子物理现象显示出许多令人费解的特征，引起了以爱因斯坦和波尔 为首的关于量子力学的本质及其完备性的长期争论。然而早期关于量子纠缠及其 非定域性的理论讨论大多局限于哲学角度，直到2 0 世纪6 0 年代b e l l 不等式的提 出才使得这方面的研究具备了实验基础。b e l l 通过几条普遍的假设，引出了关 于量子可观测量的关联测量的一个不等式，任意的经典定域理论都应该满足这个 不等式；它是从隐参量理论和定域实在论出发，导出隐参量理论允许的、自然界 空间分离开的两部分相关程度必须满足的不等式。在b e l l 设计的实验中，局域隐 参量理论得到的结果满足b e l l 不等式，而量子力学的预言将超出不等式的限制。 因而我们有可能通过对b e l l 不等式的实验检验来判断对量子力学的各种解释是 否正确。而量子理论预言，对量子纠缠态的测量结果有可能破坏这个不等式。随 后的大量实验证实了量子理论的预言，从而严重冲击了定域实在论。值得关注的 t - c 模型中的晕子纠缠 是，最近的理论和实验研究【2 】表明，量子纠缠不仅破坏定域实在论，而且与某些 非定域的理论也不相容，所谓“非定域性”是不是量子纠缠的本质依然是一个没 有解决的理论问题。除了在物理学基础领域的进展以外，从二十世纪九十年代以 来，随着量子信息和量子计算研究的快速发展，纠缠态的潜在应用价值开始被人 们认识到。无论是信息以量子比特为载体进行的隐形传输，还是比经典算法以指 数形式节省计算资源的量子算法，它们的实现都离不开纠缠裂3 1 。因此近几年来纠 缠逐渐被当作一种重要的物理资源引起人们越来越多的关注1 4 】，并已经广泛地应 用于量子信息处理和量子通信量子态远程传输【5 j 、纠缠的传输【刚、量子密匙 分配【7 1 、量子纠错【引、量子计算【9 】等等理论本质上都是利用了量子纠缠这一基本 资源。量子纠缠也体现在对量子位相的研究中，因为多粒子体系的量子位相本质 上反映的就是多粒子量子态的纠缠特性1 9 j 。 总之，关于纠缠问题的讨论从1 9 3 5 年起至今一直是非常热门的话题，研究 工作空前的兴旺。原因是最初的争论仅限于理论概念和“假想实验”，从6 0 年代 后期起，人们进行了许多验证b e l l 不等式的实验。自8 0 年代以后，人们所进行 的实验已经基本上达到过去只能在理论上讨论的“想象中的实验”的水平。例如 1 9 9 8 年，奥地利i n s b r u c k 大学的z e i l i n g e r 小组，在实验验证b e l l 理论时，实现 了类空间隔事件的观察【1 0 】；2 0 0 1 年，美国的n i s t 的r o w e 等人用在离子阱中制 造出的一对占p + 的纠缠态来检验b e l l 不等式【1 1 1 ，即首次实现了有质量粒子的b e l l 不等式的实验检验。这些非常重要的实验，都证明了量子理论的成功和局域隐参 量理论的失败。有关量子纠缠对b e l l 不等式的违背的实验验证，树立了人们对 量子力学基本原理的信心，并使人们从此对量子力学的基本原理有了更加深刻的 认识。 2 第一章量子纠缠的基本理论 第一章量子纠缠的基本理论 1 1 量子纠缠的概念 本节我们将简要回顾量子纠缠的一些常用的基本概念 1 1e p r 佯谬与b e l l 不等式 爱因斯坦与玻尔就量子力学基础理论的完备性问题进行了长期争论，1 9 3 5 年，他和两位合作者p o d o l s k y 和r o s e n 共同发表了一篇文章【l 】，爱因斯坦等认 为，如果一个物理理论对物理实在的描述是完备的，那么物理实在的每个要素都 必须在其中有它的对应量，即完备性判据。当我们不对体系进行任何干扰，却能 确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理 量，即实在性判据。他们认为，量子力学不满足于这些判据，所以是不完备的。 这个佯谬的起源在于局域性的经典概念，它将一个客观物理实在与每个粒子及其 力学变量相联系。在量子力学中，只要体系不处于某个力学量算符的本征值，则 该动力学变量并不确切地具有一个值，除非对它进行测量，因此，在某种意义上 讲，测量就会产生物理实在。其基本观点是一个完备的物理理论应该满足下列两 个条件：一、物理实在的每一个要素在理论中都应有准确的描述；二、如果不以 任何方式干扰系统就能肯定的预言一个物理量的数值，那么就意味着存在一个与 这个物理量相对应的实在要素。同时，根据相对论的定域因果性定律，如果两个 事件之间的四维时空间隔是类空的，则两个事件之间不存在因果关系。由此，如 果一个系统包含的1 、2 两个子系统是处于类空间隔的，我们对1 、2 测量两次 可观测量，它们结果应彼此无关，并且数值是确定的。换句话说，对1 的测量不 影响与其类空间隔的2 的状态。 e p r 就此提出一个坐标动量的理想实验，后来b o h m 用电子自旋的理论对 该实验进行了一番改造，成为后来人们普遍讨论的一个模型，称为e p r b 理想 1 实验，玻姆( d b o h m ) 研究了由具有自旋的两个相同原子1 和原子2 组成的双 2 原子分子，开始处于总自旋为零的状态，分子受到某种影响使两个原子反向飞出。 3 t - c 模璎中的量子纠缠 正如玻姆说：“虽然两个原子的运动在相互作用停止以后实际上是彼此独立的， 但它们的自旋行为还是相关着的1 3 】。”即这两个原子仍处于自旋关联态。可见， 玻姆的理论中还有量子纠缠的思想，表示没有相互作用的两个系统存在相互关联 或相互影响。事实上量子力学认为，虽然原子1 和原子2 总的自旋为零，但原 子1 和原子2 各自的自旋指向都是不确定的，即便二者已经处在类空间隔，各 自的自旋指向仍然依赖于对方而处于不确定的状态。这显然与上述的定域实在论 是矛盾的。爱因斯坦等人就此认为，量子力学的理论只给出对单次测量结果的统 计性预言，没有找到统计规律背后的物理实在原因，因而是不完备的。实际上 e p r 佯谬表明下列两个观点必居其一：量子力学的描述不完备；即便两个 子系统处在类空间隔，它们的实际状态也是不独立的。出于对相对论性定域因果 律的深信不疑，爱因斯坦等人果断地排除了第二种可能。然而，近几年来的实验 观测和理论研究表明，观点并不一定意味着定域因果律的破坏。虽然两个子系 统互相纠缠在一起，但我们无法利用这种状态来传递任何超光速的信号，也就不 能导致由超越光速极限而带来的因果关系的违背。 用于判断爱因斯坦局域性理论是否正确的最主要根据乃是由隐参数理论推 导出来的b e l l 不等式【1 4 】，1 9 6 4 年，b e l l 从爱因斯坦的定域实在论出发，利用隐 变参数假设推导出一个不等式。b e l l 指出：任何基于定域实在论的物理理论都 遵守该不等式，而量子力学的预言极有可能违反这个不等式。这样，b e l l 不等 式就以定量的形式显示出量子力学与定域实在论之间的矛盾。，b e l l 不等式以 定量的形式把量子力学与定域实在论之间的矛盾曝露出来。由此可以用实验来检 验二者的是非。大量的实验结果表明，b e l l 不等式可以被破坏，从而否定了定 域实在论，反过来也就是验证了量子力学在本质上表现出了空间非定域性。现在 已经证明，对任意两体纠缠纯态，总可以找到一组适当的可观测量和关联函数， 使其b e ll 不等式遭到破坏。 b e l l 不等式提出了一种可以明确的用实验检验的方法，来揭示量子力学本 质上蕴含着的与经典观念绝然不同的非定域性。在b e l l 不等式的基础上，人们 发展了很多不等式以及非不等式形式的理论，作为量子纠缠存在的判据。不过， b e l l 不等式只是给出了纠缠态存在的充分条件，而不是必要条件。只有对两体 纯态纠缠，破坏b e l l 不等式是充要条件。在混态情况时，有一些存在纠缠的混 态并不破坏b e l l 不等式。 4 第一章量子纠缠的基本理论 1 2 纯态和混态；未关联态、可分离态与纠缠态 上一节中我们分析了e p r 佯谬和b e l l 不等式，从中出现了纠缠态的概念， 也涉及到了纯态、混合态等。为了理清量子纠缠的基本概念，下面我们就量子力 学中关于量子纯态、量子混合态、量子纠缠态、量子可分离态等概念做简要解释。 为简便记，只考虑两体系统。 1 、量子纯态n 钔 如果一个量子系统，能用单一波函数描述的态，或在态空间日月圆h 占中任 一套基矢下的任一相干叠加态，称为纯态。对于一般的体系，任一纯态为 l 甲 = gll ( il ) 是n 体的正交归一基矢) ( 1 1 1 ) 假设体系a 和b 组成的二体系，设a 的一组力学量完全集的共同本证态记为 t 。 爿，m 代表一组完备量子数，b 的一组力学量完全集的共同本征态记为 i 吼 b ，n 代表一组完备量子数，则复合体系的任意量子态i 甲) 彻可以表示成它 们的线性叠加 i 甲) 船= c 。i l ) 月oi 吼 占= c 。i c 。i t 。) 4i 妒。) b ( 1 1 2 ) 两体纯态可以分为两类，一类为可分离态，即i 甲) 他= l 甲) 爿 l 妒 口，a 和b 均处于确定的量子态；另一类为不可分离态即纠缠态，l 甲) 仙不能表示为直积 形式i 甲) 40 1 9 占的量子态。应当指出，量子纠缠必然体现为粒子态之间的关联， 但关联不等于纠缠。l l f ，+ ) = 万1 i o ) 爿1 1 ) 占+ 1 1 ) 一i o ) b ) 其中a 和b 均处于自旋确定态。 2 、量子混合态 一个量子系统如果不能用一个态矢量表示，而需用一组态矢量及其相应的几 率来描述，称为混合态。 量子混合态可以用密度矩阵p 来描述 p 加= a ，l 甲) 舢( 甲7l ，a ，= 1 ，o a ， h 爿) ， ) j p 占= 驴( j d 邶) = 一l 彻一，l l f 删( fi - li ， ( 1 1 7 ) 在用混态密度矩阵表示的一般情况下，a 、b 组成的复合系统的态可为三类： ( 1 ) 未关联态：未关联态密度矩阵可表为：p 肚= p 爿圆p 占 ( 2 ) 可分离态，包括纯态和混态，其密度矩阵可写为一些未关联态之和： p 仰= p ，p j p ：，0 p ，1 ，且p ，= 1 未关联态其是可分离态的一种特殊情况。 ( 3 ) 不可分离态，包括纠缠纯态和纠缠混态。 一，纠缠纯态1 6 1 是指在任何表象下复合系统的量子态都不能够写成各个子体 1 系波函数的直积形式。设a 与b 均为双能级系统，贝u - f 述态在a ：1 的情况下 z 是纠缠的 p 他= 及i 甲+ ) 彻( 甲+ i + 0 一a ) | 妒+ ) 彻( 9 + i ，( o 口 肫) l v ，) 乙= 百10 1 ) 一i o ) 占一忱i i 口) l l f ，) 22 万1 峨1 1 ) b + h i o ) 占) l l f ，) 乙2 击1 ) 一1 1 ) 占一h i o ) b ) ( 1 2 1 ) 其中l l f ，) 乙称为单重态，具有粒子交换反对称性，其它三个态均称为三重态， 满足粒子交换对称性。这四个态是一组正交完备基，称为b e l l 基。b e l l 基是具有 最大纠缠度的两量子位纯态，常称作最大纠缠态，也就是说没有其它方法再增大 它的纠缠度。 二、w e r n e r 态n 7 1 在量子混合纠缠态中研究得比较多的一类态是w e r n e r 态，一般可以由b e l l 态 通过对称操作形成，具体形式为： 7 t - c 模型中的量子纠缠 p 。= f 州计+ 孚( + 一) ( 9 一i + + i 妒+ ) ( 妒+ 1 ) ( 1 2 2 ) 其中系数f 表示w e m e r 态的忠实度，且0 g h z = - 触1 11 ) + o o o )( 1 2 3 ) g h z 态也具有关联性质，即当测得其中一个粒子的态为1 1 ) 态时，其他两个 粒子必定处在1 1 ) 态上，如果测得其中一个粒子的态为i o ) 态时，其余两个粒子必 定处在i o ) 态上。这一点使得它成为检验量子力学非局域性质时常用的一个态。 2 w 态 w 态的具体形式表示为： i y ) = 0 0 1 ) + o l o ) + 1 1 0 0 ) ) ( 1 2 4 ) ) w 态与g h z 态不能通过局域操作和经典通信( l o c c ) 相互转换在许多方面， g h z 态可以被看成三粒子的最大纠缠态，然而，当三个粒子处于g h z 态时，如果 丢失三个粒子中的任何一个，剩余两个粒子将完全解纠缠，因此g h z 态的量子纠 缠特性对于粒子丢失是非常敏感的。相反，w 态和其它任何三粒子态( 无论是纯 态还是混合态) 相比，在对其中任何一个粒子进行处理后，剩余的密度矩阵将继 续保持最大可能的纠缠数量，因此对于w 态来说，即使丢失其中的一个粒子，剩 余的两个粒子仍然保持量子纠缠态。对于多粒子体系，w 态仍然具有这种特性， 甚至当n 个粒子中的n 2 个粒子丢失了它们的量子信息，w 态中剩余的粒子还是 保持纠缠的，这意味着，n 个粒子中的任何2 个粒子不依赖于另外的n 2 个粒子， 无论这n 一2 个粒子是否和它们合作，这两个粒子还是纠缠的。 1 3 纠缠度的理论 1 3 1 纠缠度概念 8 第一章量子纠缠的基本理论 为了表示纠缠程度的量度，引入纠缠度的概念。所谓纠缠度，是指所研究的 纠缠态所携带纠缠的量的多少，对纠缠度的描述，实质上是对不同纠缠态之间建 立定量的可比关系。对于两体纠缠纯态，当且仅当它i j o s c h m i d t 数大于1 时是纠 缠态。对于两体混态，当且仅当不能表示为 p 仙= p ，p j 圆j d ： ( 1 3 1 ) 形式的态是纠缠的。要定量的描述纠缠程度的大小，就要定义纠缠度的概念。从 不同的角度出发可以定义不同的纠缠度，它们之间不完全吻合。但是，作为纠缠 程度的定量表示，所有的定义都应该符合一些约定的规则，分别是： 1 ， 可分离态的纠缠度为0 ，纠缠量的最大值为1 。 2 ，对系统当中的任意一部份作幺正变换将不改变系统的纠缠度。 3 ，对系统各部分分别作的局域操作以及它们彼此之间的经典变换，不会引起整 个系统的纠缠度的增加。 1 3 2 纠缠度的一些定义 目前常见的纠缠度有以下几种定义。 一，部分熵纠缠度【2 0 】 一个两体纯态i l f ，) 邶的量子纠缠程度纠缠度e 0 y ) 仰) 用其中任一粒子态 的v o nn e u m a n n 熵s 来定义： 0 y ) 他) = s ( p 一) = s ( p 口) ( 1 3 2 ) 这里，p 爿= t r 协0 v ，) 删。沁1 ) p 占= 驴0 l f ，) 似i ) s ( p 一) = - t r 月l o g p 爿) 此处求迹内的对数以2 为底，目的是将b e l l 基的纠缠度归一。若 一 是p 爿的非零 本征值，双粒子纯态的纠缠度重新写为t e 0 y ) 彻) = s ( p 爿) ：一? 1 a 。1 。g a , ， ( 1 3 3 ) f - l 其中，m 是s c h m i d t 数。 部分熵纠缠度表征了系统局域的混乱程度，它说明：量子态的纠缠越强，从 局部上看“局部态 的不确定程度就越大。由于纯态( 单一的量子态) 的量子嫡为 零，所以纠缠态的局部一定比整体更为混乱。这一定义虽然包含了与经典信息的 9 t c 模型中的量子纠缠 关联，然而进一步的理论研究证明它仍不是对量子纠缠程度最好的度量或者描 述，但对两体纯态而言，它仍是唯一合理的纠缠度的定义。与两体纯态相比，两 体混合态、三体或多体态的纠缠度的研究就不那么清楚了。人们首先想到的是将 两体纯态纠缠度的研究方法推广到三体或多体态的纠缠度的刻画上，但都失败 了。原因是多体态的纠缠度比两体态的纠缠具有更深、更复杂、内容更丰富多彩 的特点和性质。虽然，目前的一些理论和实验进展实现了三体、四体的纠缠。但 从本质上说，对多体态的纠缠的描述仍然是不清楚的。 二，相对熵纠缠度【2 0 】 对两体量子态j d 他，相对熵纠缠度e ，船) 定义为：态p 仙对于所有可分离态 的相对熵的最小值： e r 肋) 2 瘿s ( j d 仰0 仃郇) ( 1 3 4 ) 其中，d 为所有两体s 0 船忙肚) 可分离态的集合。船s 0 仰o a b ) 是态p 彻相对 于可分离态仃肚的相对熵： s c o 仰i p 肚) = 乃p 肚( 1 0 9 p 仰一l o g c r 彻) 】， ( 1 3 5 ) 另外还有形成纠缠度，共生纠缠度和可提纯纠缠度【2 0 1 。详细定义可参阅文献 2 0 】 1 3 3 量子纠缠的p e r e s 判据；“可计算”的纠缠度- n e g a t i v i t y 前面我们定义了好多种纠缠度，但是，除了纯态纠缠度的部分熵定义很容易 进行具体计算以外，其他的纠缠度都更多是一种概念性的定义，很难进行实际计 算。文献 2 1 提出了种很容易进行代数运算的“可计算”的纠缠度定义 一n e g a t i v i t y ，它的理论基础来源于文献 2 2 给出的一般情况下两体双态量子系 统可分离的判据，即一般所称的p e r e s 判据，也称p p t ( p o s i t i v ep a r t i a l t r a n s p o s i t i o n ) 判据。p e r e s 判据是说，两体双态系统密度矩阵p 朋是可分离 态的充分必要条件为：对其任一组成部分的单体作部分转置运算后得到的矩阵 p 么或p 盈仍是半正定的，即不出现负本征值。 换句话说，对两体中任一体作部分转置后得到的矩阵仍然表示一个密度矩 阵。这里部分转置运算的含义是： p 么= ( f 4 p 彻l j b l j 4 ) ( 以i ( 1 3 6 ) ，j 从物理本质上看，p e r e s 判据等价于只对两体中任一单体做部分时间反演操 l o 第一章量：子纠缠的基本理论 作。从p e r e s 判据出发，文献 2 3 给出了一种纠缠度的定义n e g a t i v i t y ，他们证 明了在局域操作和经典通信t n e g a t i v i t y 不增加。两体系统j d 彻的n e g a t i v i t y 定义为 2 3 ： n ( p 邶) = ( 1 3 7 ) 这里，是j d 么的负本征值，l 就是前述的部分转置，用密度矩阵的矩阵元表示就 是： ( p 爿占) z 肼= ( p b ) 移，甜 ( 1 3 8 ) 其中( i ，kj ，1 ) 分别指示a 、b 两部分的态。这个纠缠度定义的好处就在于其能 很方便的进行具体计算。 本章小结 本章从历史的角度讨论了爱因斯坦等人提出了著名的e p r 佯谬，b e l l 不等 式等量子纠缠理论初期的情况，迄今为止的大量实验表明，量子纠缠态破坏了 b e l l 不等式，定域的隐变量理论被证明是错误的。纠缠态所体现出来的奇怪特 型，在量子信息、量子计算和量子通信过程中得到了广泛的应用。为此引入纠缠 的分类等基本概念，并做了详细介绍。为了描述纠缠态的纠缠程度，引入纠缠度 的概念。分别讨论了几种纠缠度的定义。对于两体二能级系统纯态的纠缠度，已 经有了公认的定义，就是组成其部分的任一子系统密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵。 对于纠缠度的计算可由p e r e s 判据来完成。 第一章每：子纠缠的基本理论 第二章t c 模型中的量子纠缠 2 1t - c 模型的基本情况 t r a v i s c u m m i n g s 模型( 简称t c ) ，最初是由m t a v i s 和f w c u m m i n g s 两人于 1 9 6 8 年提出的。这个模型，主要是用来表征单模光场与两个全同二能级原子( 两 原子间无任何交叉耦合相互作用) 之间，单光子相互作用的，它是对单光子标准 j c 的一个直接推广，故可类似地称之为标准t c m 。很快地，人们将标准t c 推广到 了简并双光子、简并多光子以及多原子的情形。预计，今后人们将有可能将标准 t c 进一步扩展到多模光场领域的非筒并多光子t c 和任意多光子t c 的情形。实际 上，在现有的“q 模光场一两原子”系统任意n j 一度简并的任意n 光子相互作用 模型中，只要令原子之间的偶极一偶极相互作用的耦合系数为零即可。 t a v i s c u m m i n g s ( t - c ) 模型的哈密顿量的具体形式为 22 h = 壳嘞s d + 壳& 矿口+ 毳甄a + 墨d + 以墨f ) ) + 壳q 双1 墨2 + 罡1 2 ) ( 2 1 1 ) 其中& “) 、& “分别为表征原子行为的反转和跃迁算符，。是原子本征跃迁 频率，c o 是光场频率，口+ 和口分别为光场的产生与湮灭算符，g 为光场与原子的 耦合系数，q 为原子间的耦合强度。 利用数值模拟的方法求出了部分转置矩阵的负本征值，研究t a v i s c u m m i n g s 模型中两原子纠缠随时问演化的特征。对初始时刻两原子的状态，光 场的状态，以及原子与光场间的耦合常数对两原子间的纠缠的影响的研究1 2 5 】较 多，理论表明：初始的粒子数场、两原子的初始态以及原子与光场间的耦合常数 都对场中两原子的纠缠有着显著的影响。当我们适当地选择原子和粒子数场的初 始态、原子和腔场的相互作用的强度的大小，以便使两原子尽可能多的时间处于 较大的纠缠态，或控制原子和光场的相互作用时间的长短，得到原子间的一个较 大的纠缠度。但是这些结论均没能考虑介质对纠缠量的影响，下面讨论色散介质 1 3 t c 模型中的量子纠缠 对纠缠量的影响。 2 2 无耦极距作用时t - c 模型中的量子纠缠 2 2 1 理论模型及体系的波函数 我们讨论的模型是考虑两个全i 司二能级原子与双模真空场相互作用的理论 模型，系统的哈密顿量在旋波近似和偶极近似下为【2 6 ，2 7 1 ( 其中壳= 1 ) 日：。a ? 吼+ ：口；口：+ 去。壹仃j + 圭陆，口+ g ：口：+ b _ + ( g 。口，+ g ：口：) 叮1 ( 2 2 1 ) 其中，c o 。表示原子的本征跃迁频率，a ，和口，+ ( f = 1 ，2 ) 分别表示频率为c o ，的光 场的湮灭和产生算符，仃j = ie 1 ) ( p ，i - ig ，) ( g ，i ，仃? = h ) ( g ，i ，o r 7 = 旧) ( e ，1 分别 表示原子f 的膺自旋算符，h ) 和i g ，) 分别表示原子f 的激发态和基态，g ，表示第 i 个原子与腔场第i 个模之间的藕合系数，加入色散系数z 后，不考虑考虑失谐 系数【2 8 】影响的情况下，哈密顿量变为： h = z a ；口：+ 2 赂。口+ g ：口：+ b _ + ( g l a l + 9 2 a 2 b 1 ( 2 2 2 ) 当g 。= g ：= g 时，初始时刻双原子体系处于纠缠态去。印g ：) + i g 。，口：) ) ，双 模腔场处于真空态lo ，0 ) ，系统的状态为 i y ( o ) ) = 万1 忆g z ) + i m ) ) 。i o ，o ) ， ( 2 2 3 ) 那么，在相互作用绘景中f 0 时刻的态矢演化 i 少( ，) ) = c 。( ，) f 巳，g ：，0 ，0 ) + c ：( ，) fg 。，p ：，0 ，o ) + c 3 ( t g 。，g ：，1 ，o ) + c - 4o ) fg 。，g ：，0 ，1 ) ( 2 2 4 ) 带入到相互作用绘景中的薛定谔方程 f 掣：hy o ) ( 2 2 5 ) 0 1 利用初始条件可以得到 c 。( ，) = 而x2 + 2 9 = 丁压- c o s ( x , ) ， 第一章量子纠缠的莹本理论 c ：( ，) = c 。( ，) ， 吼) = 一嚣+ 掣一t i 4 r 2 9 s i n ( a t ) ， c 。o ) = 嚣一百g zcos(zt)一tixl29 s i n ( 允t ) 上式中扣等“9 2 2 2 2 数值分析 对于两体纯态，部分嫡是一个很好的度量方法但是由于此系统中原子与双模 腔场之间的纠缠使两个二能级原子演化成混合态，两个原子之间的纠缠就不能用 约化嫡来度量，我们用部分转置矩阵的负本征值讨论原子之间的纠缠演化，部分 转詈矩阵的负本征值定义如t ： e = 一2y “i 一 r o 1 l ( 2 2 6 ) 其中“，是部分转置矩阵p 的负本征值，若e = 0 ，两个子系统是分离的；若 e = i ，则说明两个子系统处于最大纠缠；若0 分别为原子 的激发态和基态， o - ? = ie 爿 + s i n 0g a p 占 pi 厅 ( 2 3 5 ) 在相互作用绘景中，系统在t 0 时刻的态矢可表示为 v ( t ) = c lp 月，e 占，万一1 + c 2p 4 ，g b ，n + c jg 一，e b ，z + c 4g 爿，g 占，n + 1 ( 2 3 6 ) 将( 6 ) 式代入相互作用绘景中的薛定谔方程 f 掣：h ，iy o ) ( 2 3 7 ) o t 1 9 t - c 模型中的鼍子纠缠 利用初始条件，可以得到 c 1 = 么l p 一a l r + 彳2 p 7 a 2 + 彳3 p 一a 3 c 2 = a ( s i n0 一c o s 日e - i ( n 2 z - q ) 7 + ( 九l 一( 玎一1 ) 2z ) p 一幽， 么口 + 2 丝a 三( 允：一( 一1 ) 2z ) p n ：， c 3 = 一 a ( s i n0 一c o s9 、) 2 + 去( 允，一( n - 1 ) 2 咖哪 p - f ( - q ) 7 + 互a - - 口a - ( z 。 一( 彤一1 ) 2z ) e 一幽7 + a - ，- 互2 ( 2 1 一( n - 1 ) 2 z ) p 一豌：，+ i h 3 ( 允1 一( n - 1 ) z z ) p 一如， z 口 z a c 4 = j 2 ( 允1 一( 规一1 ) 2z ) ( 允l i , 2z q ) 一2 a 2 e 一 - 7 + j 竺 ( 允2 一( ，z 1 ) 2z ) ( 允2 一n 2 z q ) 一2 a2 】g 叫a z 7 + j 竺 ( a 3 一( 力一1 ) 2z ) ( 允3 一，2 2 z c 2 ) 一2 a2 】p a s 。 式中 a = 9 4 石- - b = g 瓜 铲而确者高暑丽习 a 2 = 一 a ，( z x ) 1 一x 彳，= 一0 ：+ 彳，) b = a ( s i n0 + c o s0 ) x = ( a l 一( ”一1 ) 2z ) ( a 1 7 1 2z q ) 一2 a2 y = ( 九2 一( 一1 ) 2z ) ( 九2 一玎2z q ) 一2 a 2 z = ( 允3 一( 玎一1 ) 2z ) ( 旯3 一万2 z q ) 一2 a 2 其中 ，允：，九是 ( 2 3 8 ) 一九3 + ( ( 3 刀2 + 2 ) + q 且2 + 2 92 ( 2 刀+ 1 ) 一n z ( 2 咒2 + 2 ) 一z2 ( 3 甩4 + + g2 1 ) 2n 2 z3 + g2 1 ) 2q z2 2 9z ( 2 s + 门2 + 1k = 0 的解。 2 3 2 、数值计算与理论分析 对于两个子系统构成的复合系统的混合态，我j l 用p e r e s 提出的用部分转置矩 阵的负本征值判断纠缠的方法，即对于用密度矩阵p 表示的两个子系统，纠缠可 2 0 1 m 第一章量子纠缠的基本理论 以用部分转置矩阵的负本征值来定义e = 一2 _ ( 2 3 9 ) 其中肛i 是部分转置矩阵j d 的负本征值，若e = 0 ，两个子系统是分离的；若e = i ， 则说明两个子系统处于最大纠缠；若o e 等时，对系数c 。有较大影响，会使得原子的纠缠度始终较大，也说明两原子 z 同时处在基态的概率较小。在图2 3 ( d ) 中，当原子处在基态的概率为零时，两原 子将处于最大纠缠态。 2 3 2 2 、两原子的纠缠量和色散系数的关系 2 4 第一章量子纠缠的基本理论 在图2 4 ( a ) 中，当色散系数为零时纠缠量随时间做周期变化，可以分别达到 分离态和最大纠缠态。在图2 4 ( b ) 中当色散系数为1 时，达到最大纠缠量的周期 明显变长，出现纠缠的时间越来越少。图2 ( c ) 中纠缠量随时间演化的周期消失， 原子间的纠缠量在变小。图2 4 ( d ) 中两原子的最大纠缠量有所恢复，体系得状态 的演化的速度变快。图2 4 ( e ) 中纠缠量出现在最大值周期明显变短。 比较图2 4 中的( a ) 一( e ) 我们看到色散系数为0 和大于2 时，对纠缠量的影响不 是很大，只是处在最大纠缠的时间变多。在色散系数大于2 时体系得演化速度加 快。但色散系数为1 和2 时会使得纠缠量周期出现较大的变化，这是介质使得腔场 发生改变引起的。 2 3 2 3 、结论 通过对t - c 模型中两纠缠二能级原子加入色散因子后两原子纠缠演化特性的 分析，我们得到纠缠原子的初始状态和色散系数对两原子间的纠缠量有影响，结 果表明：当色散系数不变( 取1 ) 时改变初态并且当初始相干光场不是真空场时 且9 o 时刻的态矢可表示为： i 甲，( 砩= ，也 忍( ，z l ，n 2 ，圳3 ，碍，他) + 垦( 惕，n 2 ，0 1 2 ，啊+ 1 ，z 2 一1 ) + i l ，也 蜀( 碍，玎2 ，f ) 1 1 ，伟+ 1 ，他) ( 3 4 ) 将上式代x 、s c h r s d i n g e r 方程( 取力= 1 ) ： ，罢m f ) ) = q 纵研 ( 3 - 5 ) 2 7 3 ) 2 ) 1 ) 利用初始条件可得( 4 5 ) 式中各系数： 30 4 e - f 一x 他宅4 ，p 1 蜀= 生习再生一 g m + l 窆允2 ，矿一7 一x 帆九，矿一 最= 上l 了丙再r x ( m + 1 ) n ：【3 - 矿哪一矾，2 ：么尸- i 。】 一生g 丌qn 亏d n 鬲厂卫一 十l j b ：3 彳，p 呐7 嚣鬻b 2 a 篡= rc o s 麴( u + ：2 d j l , 矿鱼3 ”、一二 九= r c o s “一i - j “ h = r c o s ( 甜+ 扣专 ( 3 7 ) 式中b ，u 和r 可由下面式子得到： b = 一x ( 啊+ 1 ) ( 2 ，2 2 1 ) 一x n a n 2 c ：x 2 ( ，z i + 1 ) 门2 【( + 1 ) ( 吃一1 ) + 啊甩2 + ( n 2 - 1 ) n d 9 2 ( h i + n 2 + 1 ) d ：一x 3 ( + 1 ) 2 ( 刀2 1 ) m 门；+ 9 2 x ( h + 1 ) 2 ( 刀2 - i ) + 9 2 x 碍玎2 23 p 一等一d 专+ 苦一c 一咎“= 喜廿搿n 4 ：血坐鼍轰舞掣， 4 ：逝业鼍羔等趔幽， 4 ：逝坐警蔫黯型型 ( 3 9 ) 由* 场的初杰为双模s i i ( 1 ，1 ) 相干态，它可表示为【5 0 1 ： 2 8 一 4 ，声 第一章茧子纠缠的鼙本理论