（应用数学专业论文）双温度热传导方程初边值问题解的存在性.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文将考虑以下半线性双温度热传导方程的初边值问题 “，一a u a u ，；，( ) ，x q ，t 0 ( 1 ) u ( x ，o ) = o ( 工) ，x q ( 2 ) 甜i m = 0 ，t 0 ( 3 ) 的整体弱解与强解的存在性其中q c r 4 为有界域，f e c ，且f ( u ) u z 0 本文主要分为六个部分： 第一部分为概述及引言简单介绍了偏微分方程的应用背景：非线性发展 方程的发展历史：问题的研究现状及已有的主要结果等 第二部分为位势井族的引进及其性质在这一部分中，首先给出了位势井 的概念，紧接着又给出了位势并族的定义列举并证明了有关位势井的一些定 理和引理 第三，四部分分别研究了问题( 1 ) 一( 3 ) 的整体弱解与强解的存在性在这 两部分中主要证明了整体弱解与强解的存在性定理尤其是在证明定理4 4 之前，先证明了解或解对x 的某些导数的r 模的估计式 第五部分为解的不变集合与真空隔离现象。真空隔离现象是2 0 0 3 年刘亚 成教授首次提出的 第六部分为问题( 1 ) 一( 3 ) 的解的b l o w u p 在这一部分，分别利用积分 估计法和特征函数法给出并证明了问题( 1 ) 一( 3 ) 的整体强解或古典解在有限 时间内爆破的两个充分条件 关键词：熟传导方程；位势井；整体解：存在性；爆破 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s s o fs e m i l i n e a rd o u b l et e m p e r a t u r eh e a te q u a t i o n 。 一越一a u ，= f ( u ) ，x q ，t 0 ( 1 ) u ( x , o ) = “o ( x )，xq(2) u j = 0 ，t 0 ( 3 ) q c r ”i sab o u n d e dd o m a i na n df cw i t hf 0 a n dt h ee x i s t e n c e a n dn o n e x i s t e n c eo f g l o b a ls o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e d t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so f s i xp a r t s ： i ns e c t i o no n e ，t h e r ei sa no u t l i n ea n da ni n t r o d u c t i o no ft h i sw o r k i ts i m p l y i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h eh i s t o r yo f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a n dt h em a i nr e s u l t st h a tw eh a v ek n o w no nt h e p r o b l e m a r eg i v e n i ns e c t i o nt w o , w ei n t r o d u c et h ep o t e n t i a lw e l la n di t sp r o l 埘t i e s i nt h i s p a r t , w ef i r s tg i v et h ec o n c e p to fp o t e n t i a lw e l la n d t h ed e f i n i t i o no ft h ef a m i l yo f p o t e n t i a lw e l l s t h e nw eg i v ea n dp r o v es o m et h e o r e m sa n dl e m m a so np o t e n t i a l w e l l i ns e c t i o nt h r e ea n df o u r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a lw e a ks o l u t i o n s a n ds t r o n gs o l u t i o n so fq u e s t i o n ( 1 _ 一3 ) r e s p e c t i v e l y i nt h e s et w op a r t s ，w e m a i n l yp r o v et h ee x i s t e n c et h e o r e m so ft h eg l o b a l w e a ks o l u t i o n sa n ds t r o n g s o l u t i o n s , a n dt h e nw ep r o v es o m er f o r me s t i m a t e so fs o l u t i o n s a n dt h e i r d e r i v a t i v e sb e f o r et h ep r o o f o f t h e o r e m 4 4 t h ef i f t hp a r ta r ea b o u tt h ei n v a r i a b l e s e t so fs o l u t i o n sa n dt h ev a c u u n l i s o l a t i n go f s o l u t i o n s a n dt h ev a c u u mi s o l a t i n gw a s f i r s ts h o w nb yl i uy a c h e n gi n 2 0 0 3 t h es i x t hp a r ti sa b o u tt h eb l o w - u po fs o l u t i o n sf o rp r o b l e m ( 1 卜一3 ) i nt h i s p a r t , b yu s i n gi n t e g r a le s t i n m t em e t h o da n de i g e n f u c t i o nm e t h o d ，w ep r o v et h e 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f i n i t et i m eb l o w u pf o r s o l u t i o n so f t h ep r o b l e m k e y w o r d s h e a te q u a t i o n ；p o t e n t i a t w e l l ：g l o b a ls o l u t i o n ；e x i s t e n c e ：b l o w - u p 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的 指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、 数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对 应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 作者( 签字) ： 日期：7 年 趔丝 乒月咖 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 非线性偏微分方程对于物理、化学、生物化学、工程科学、数理经济等 现实世界的应用有着实际意义，在过去的几十年里，随着各个领域研究的需 要，非线性抛物方程也得到了广泛的研究和发展例如化学反应理论，量子力 学以及流体力学领域的实际问题的研究推动了偏微分方程的爆破理论的发 展；而空气动力学等领域的研究也促进了边界层方程的有限时间奇性的理论 研究；具退化和奇性的非线性抛物方程则来源于自然界中广泛存在的扩散现 象 1 1 1 非线性发展方程及其初值问题 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说， 是包含时间参数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或 其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程狭义地说，它是指可以 用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来处理 的那些数学物理方程波动方程、热传导方程、反映扩散方程、k d v 方程、流 体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方 程组，都属于发展方程的范畴 对线性发展方程来说，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有 适当的光滑性，而且在整个半空间，0 上是整体存在的但对于非线性发展 方程，情况就根本不同了一般地，非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体古典 解通常只能在时间r 的一个局部范围存在，即使对充分光滑甚至还充分小的 初值也是如此：相应地，解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，或者说，解 或解的某些导数的厶模当，j ，i ( f l 为有限) 时它趋于无穷这一现象称为解 的爆破( b l o w u p ) 因此非线性发展方程的古典解的整体存在性一般是无法保 证的这是区别于线性发展方程的一个重要的特点但初始条件的厶模相当 哈尔滨工程大学硕士学位论文 小时，则又可得到它的整体解由此我们可以看到，对非线性发展方程而言， 考虑下面两方面的问题是相辅相成的 ( 一) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题( 包括c a u c h y 问题，各种混合初边值问题及自由边晃问题等) 存在着唯一的整体古典解并 在此基础上研究解的整体性态，特别是当t 一时的渐进性态 ( 二) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题不存在整体古 典解，而必在有限时间内发生爆破现象并在此基础上深入考察解在爆破点的 性态，例如究竟是解的本身还是解的某一阶导数首先发生爆破，解在爆破点的 奇性特征以及爆破点集的性质等等 研究这两方面的意义是很明显的对一些重要的数学物理方程的解的整 体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以 解的整体存在性为前提另一方面，如果发现解会在有限时间内爆破，而这种 爆破的性态不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学模型 有问题，而必须加以修改：如果这种爆破的性态是相应的物理模型所允许的， 由于相应的物理过程决不会终止于某一时刻，必定要继续发展，我们就必须在 一个更广的函数类中来考察问题的解( 例如空气动力学方程组，就要考虑到出 现激波的可能性，而在包含间断性的函数类中求解) 1 1 2 解的存在性和爆破及相关问题 抛物方程的“整体( g l o b a l ) ”和“局部( 1 0 c a l ) ”解是指解在整个半空间 ， 0 或在0 点的右侧某个有限区间存在对于线性方程来说，例如热传导方程， 只要初值适当光滑，其初值问题的解也必具有适当的光滑性，而且对于t 0 解是整体存在的，但对菲线性方程来说情况则不同，一般地，非线性抛物方程 初值问题的整体古典解通常只能在时间f 的一个局部范围中存在，即使对于 充分光滑的初值也是如此：相应地，解的爆破( b l o w u p ) 有时也指代“整体不存 在性”即“解的最大区间是有界的”尽管后者的概念在某种意义下更宽泛一 些，是指解在有限时间内回失去正则性，产生奇性( 解本身或某些导数趋于无 穷) 偏微分方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性，而退 化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解，s o b o l e v 空间引入为求解初边 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 值问题提供了有效的途径研究这类方程的第一步就是选取适合于方程特点 的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间来定义广义解，在远为广泛的函数类 中寻求方程的解，比直接求古典解容易的多如果在这样选取的函数空间中， 解不仅是存在的而且是唯一的，那么这就是一个理想的函数空间在得到弱 解后，在进一步讨论这些解是否具有更高的光滑性，是否也是古典解，这就是 所谓的正则性问题无论是从理论上还是从应用上总是希望能找到使解唯一 的最弱的函数空间，同样也希望知道解最好的正则性如何，函数空间的选取还 用于对各种逼近问题作必要的先验估计，也是进一步研究解的性质的基础研 究解的整体存在性的意义是非常明显的，对一些重要的方程的解的整体性态 ( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整 体存在性为前提 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应，绝热燃烧 和爆炸理论的研究中提出的自七十年代起，随着气体动力学、激光核聚变和 燃烧等领域的深入研究，非线性发展方程解的爆炸理论引起了研究者的极大 兴趣解在有限时刻爆破是指解或其某些导数的某种范数在有限时间变成无 界的，经典意义下的爆破是指逐点爆破现在仍然没有完整的一般化理论，但 是对于各类特定的模型都有了许多相应的研究和绪论，现今爆破理论仍然是 一个有发展空间的课题最典型的爆破模型是 珥一a u = 甜p ，x r ，t 0 ( a ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，工r ” ( b ) 2 0 世纪6 0 年代，f u j i t a 对这个模型做了开创性的工作。其中p l ，为 维l a p l a c e 算子他的兴趣在于非负解对于固定的时间r 在无穷远处的衰减性， 从而初值是非负的。且非线性项有定义，他证明了如下结果：定理( f ) p c ( n ) = 1 + 亩 ( a ) 如果l 0 时间的存 在性和t 0 后某个有限区间的存在性。在一般的文献中，用“爆破”来指“全 局非存在性”，即表示“解的极大存在区间是有限的”而“有限时间爆破” 意指解或解的导数在有限时间内，在某个范数意义下变成无界事实上，古典 意义下的爆破是指“逐点爆破”，即解在空间区域的某点处无界( 如果区域是 无界的，可能也包括无穷远处的点) 让我们回到问题( a ) 一( b ) 在这之后，关于此结果有了进一步研究首先 当不存在整体解时。解实际上是逐点爆破的其次，人们的兴趣在于具有很小 初值的情形实际上l e v i n e 在 6 中证明了只要初值( 力很大。满足 击扣彳“ 批卧纵工) 籼 则对与任意时间都不存在整体解( 即z ，l p “n h l ) ，其中 v ，= c 毒素，寺 在定理( f ) 中，p c ( n ) 叫做问题( a ) 一( b ) 的临界指数( 当p 2 + 口， 无需要对u ( x ，o ) 加以进一步的限制就能得到一个非负的全局解：而对于 2 p ( 2 + a 的情形，要求u ( x ，0 ) 足够小才能得到同样的结论如果 2 0 ，z q ，t 0 在这篇文献中，作者首先用新的方法得到了位势井深度d 的值，并且首次得到 了位势井内外结构而后用位势井方法得到了问题的整体弱解，整体强解的存 在性最后证明了位势井及井外集合v 在问题的流之下的不变性这篇文 章是在位势井方法提出之后又一次实质的发展 文 1 中。刘亚成又在原位势井理论的基础上加以改进，利用新的方法引 进了位势井族，并给出了这族位势井的性质，而后利用这族位势井得到了一些 哈尔溪工程大学硕士学位论文 完全新的整体弱解与强解的存在定理最后，讨论了解的不变集合及真空隔离 现象 在本文中，利用位势井方法研究了以下方程 坼一缸- a u t = ( “) ，j q ，t 0 ( 1 1 ) u ( x ，0 ) = “o ( x ) ，x q( 1 2 ) u l = 0 ， 0 ( 1 3 ) 的初边值问题其中，qc - r “为有界域，厂c ，且f ( u ) u 0 在本文中，我们 总假设方程八) 满足 ( h ) f ( u ) s 口卜i p , l p a o ，当t i = l ，2 ；l p s 爰，当n 3 对问题( 卜1 ) - - ( 1 3 ) ，我们定义f ( 甜) = r 厂o ) a s ，f l j f ( 1 ，m o 及( h ) 可得 o 胁) 熹旷 首先利用新的方法引进了一族位势井，并证明了这族位势井的某些性质， 接着讨论了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 整体弱解与强解的存在性，并给出了整体解存 在的几个充分条件：然后，证明了整体解在问题( 卜1 ) ( 卜3 ) 的流之下的不变 性，并证明了当满足一定初始条件时，解的真空隔离现象：最后，分别利用积 分估计法与特征值法研究了方程( 卜1 ) 的解的爆破问题 本文中，用虬表示r ( q ) 模，r ( q ) 模又简记为”9 模用 忆，表 示及( “，v ) = 胁 引理1 1 ( s o b o l 6 v 嵌入定理) 设q c r “为有界域或无界域，且具有锥性 质，则 ( i ) 如果勿h ，则w k , p ( q ) 可嵌入到l 4 ( f 1 ) 中，此时当印 玎 时，p q 墨j 车：当印= 一时，p q 聍，则肜却( q ) 可嵌入到c ( 五) 中，且 i l u l l 。sc , l l u l l 其中常数c ，c 。与甜无关，与k , n ，p ，g 有关 引理1 2 对砧h 2 ( 锄，b l l + i l a i i ：o t l , , l l 。的等价模，对甜叫( q ) ，j i v - 1 1 ：0 i l u l l 。的等价模 引理1 3 l 若g ( x ，r ) 口( q ) ， ( x ，f ) ) 于f ( q ) 有界，1 g o o ，且 如( x ，r ) 一g ( x ，f ) 于q 几乎处处收敛，则g 。( x ，r ) 斗g ( x ，r ) 于口( q ) 弱收敛 引理1 4 假设厂c ，u j ( x ，f ) p ( o ，t ；w 9 ( q ) n r ( q ”，k 1 ， 1 p o ，( “) d ) u o ) d = i n f ( s u pj ( 2 u ) ) e 州 口- o d = i n f ，0 ) 其中甜础( q ) ，l l v “0 o ，( “) = o 进一步对于万( 0 , 1 ) ，我们定义 以( 咖扣卜而a ： 邓，= 半c 舄回吉，c = 呻旨 ( 2 - 1 ) 在以下引理2 1 一推论2 1 2 中，我们总假设p 满足( h ) ，“日：( q ) 且 0 万 0 当且仅当 l o 哈尔滨工程大学硕士学位论文 。 0 ，且由 j ( u ) = 半酬1 2 + 帕) 圳回( e - 3 ) 可得( 2 2 ) 引理2 2 若j ( “) d ( 6 ) ，则以( z ，) ( 器回击 证明首先设以( ) 0 ，则由j 8 ) 定义得 _ p - + lj 1 2 半( 笳回南训国 故由( 2 - 3 ) 得以( “) 氏时d ( j ) o ，( “) d ( j ) u o ，0 o 另一方面由于以( 甜) 关于占的函数在【0 ，1 】 ；。；。；。；坠釜型查茎堡圭兰! ：i 垒；。；。；一。 上单调递增，且当艿= 1 时j ( ) = 以( “) 故也可得上述结论 另外我们定义 矿= 0 日j ( q ) l ，( “) o ，( ”) d ， = 0 - ：( n ) l j ；o ) o ，j ) d ( d j ，0 5 龆万，击 显然我们有 = 矿 由引理2 1 与引理2 2 可得如下 推论2 7 设，( ”) d ( 万) 则“( k ) ，当且仅当球b 。( b d 注意到j ( ) 如v “n 因此对于给定的万( 0 ，1 ) 当 。 i i v i i ( 1 埘；( 券j ) 击 则有，( ) 0 这意味着 岛c ，否满足孑亩= ( i - 研i j 面 由此，及引理2 1 与引理2 2 ，我们有 定理2 8 令，彰及艿如上所定义，则 乜c c 以，c 彤 推论2 9 氏c wc 如，yc 磁 其中 哈尔滨工程大学硕士学位论文 氏： 啪v 训 ( 嘉) 击 ：( 舄- o ) 击= 导c 嘉，击 引理2 1 0 ( i ) 若0 j 艿。s 民，则c ( “) 若磊茎8 8 。 1 ，则c 证明由以( “) 在( o ，1 ) 上单增及引理2 4 可得 引理2 1 1 假设对给定的1 h ：( q ) ，0 j ( u ) d ( 磊) = d ( 暖) 此与j ( u ) = d ( 4 ) = d ( 8 2 ) 矛盾 推论2 1 2 假设对给定的“矾( q ) ，o j ( u ) d 成立，8 1 o ( o ( o ) 2 3 本章小结 本章首先给出了位势井的定义并且对j ( 0 ，1 ) ，对位势井深度的值做了 推广接着证明了与位势井相关的一些引理，最后给出了位势井族的定义，使 我们对s o b o l e v 空间中的位势井结构有了比较清楚的认识 ；一。；。；堕：窒耋三堡奎茎至：兰：堡篁茎；。一。，。；一 第3 章整体弱解的存在性 3 1 弱解存在定理 仿照p a y n e 与s a t t i n g e r 关于弱解的定义我们有： 定义“：“( x ，r ) 称为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 于q 【0 ，丁】上的弱解，若 “r ( o ，r ；h j ( q ) ) ，“，l 2 ( o ，r ；联( 囝) ，对几乎所有的，【0 ，】成立 ( “。，v ) + ( v “，v v ) + ( v u ，v v ) = ( 厂( “) ，v ) ，v v 硪( q ) 及 批0 2 a ，+ 扣“卜量f ( ”m 三1 j v u 卜量，( “。 其中u ( x ，o ) = u o ( x ) 于日；( q ) 定理3 1 设f c ，f ( u ) u x o 且满足( h ) ，“o ( x ) 日j ( q ) ，若 。 - l l v u o l l 2 一工尸( 灿 d ，4 o 或l i v 1 1 = o 则问题( 1 - 1 ) 一( 卜3 ) 存在一个整体弱解 甜r ( o ，；h j ( f ) 且“降名，于艿( 6 l ，艿2 ) ，o sr o ，由d ( u o ) 毒0 v 1 1 2 一量f ( ) 血 o 于j ( 4 ，如) 故由此及d c u o ) 妻l l v 0 2 一l f ( “。) 血 = d ( 8 t ) = d ( 8 2 ) d ( 6 ) 于6 ( 磊，& ) ，有u o ( x ) r e , 于占强，如) 老：1 1 w 。= o ，则- t ：a ( o ，1 ) 对任一固定的占( 磊，疋) ，由( 3 2 ) 可 知，对充分大的朋，我们有o 0 有。( f ) 用反证法，若不然，则必存在 t o = f o ( 聊) 0 ，使得u r n ( ，o ) a ，即d , c u 。( r o ) ) = o 且l l v 甜，( r 。) l o ，或 d c u 。( f o ) ) = c t ( a ) 由( 3 - 4 ) 可褥，对充分大的m 有 j ( u 。( f ) ) 勃v ( o ) 1 1 2 一f ( ( o ) ，f o ( 3 - 5 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 l i t j ( u 。( “) ) = d ( j ) 是不可能的若以( 材，( ，o ) ) = o 且l l v u 。( ，o ) 0 0 ，则由定理 2 5 可得 j ( u 。( f o ) ) d ( 6 ) 这与( 3 - 5 ) 矛盾由( 3 4 ) 及 扣盯一f ( ”。m 扣盯一百a 以崂 = ( j 1 一剖1 陬u 2 + 等 可得，对充分大的m 及t 0 有 i ( 1 i “。，2 + i l v “。2 ) d r ，i i v “。0 2 o 再取定一( 西，j ) ，则对充分大的埘与r 0 ， 我们也有“。( ，) ，c 岛，( 由定理2 8 ) 从而z f ( f ) 否 c 吼，f 0 ，若 i l v u u = o ，则”( r ) 若l i v “忙o ，则由此及( 3 4 ) 可得 m ) 扣( o ) 卜肌( o ) ，又蝴) 易知。 0 ，所以( f ) 于艿( 4 ，8 2 ) 及f 0 在( 3 - 1 ) 中令m = y 斗o o 得 ( “，i ，) + ( v u ，v w s ) + ( v u ，v 屹) = ( ( z ，) ，屹) 故对任意v 日：( q ) 有 ( ，v ) + ( v u ，v v ) + ( v u ，v v ) = ( - ，( ”) ，v ) 且“于6 ( 4 ，j 2 ) ，o s t 0 或 i i v u 。| 1 - o ，即u o ( x ) 矿，则定理3 1 成立 证明这个推论由i ( u 。) 0 意味着厶( ) 0 ，又由厶( ”。) 厶( ) 可知 定理3 1 成立 由引理2 1 ，推论3 2 及其证明可得 定理3 4 若将定理3 1 的假设如( ) o 或i l v 。0 = o 换成 ) ，则 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在一个整体弱解甜e r ( o ，；碰( q ) ) 且甜( f ) 巩，于 0 t 0 首先仿照p a y n e 与s a t t i n g e r 关于弱解的定义给出了本文弱解的定义 然后在初始条件下证明了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的弱解的存在性定理接着，根据 弱解存在定理给出了几个有效的推论，并给出证明 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第4 章问题整体强解的存在性 4 1 对模的估计及其证明 引理4 1 设 ( i ) f c ，f ( u ) u 0 且满足 ( h 1 ) i 厂 ) l 爿川“，o p l a 。当刀= 1 ，2 ：o p 1 i j 4 当疗3 ( i i ) “。o ) h 2 ( n ) f l 卅( q ) ，并选取a ，。使得“。( x ，o ) j ( x ) 于 h 2 ( q ) n 日；( q ) ( i i i ) o 专i l v 1 1 2 一量f ( m d 且( x ) ，4 0 ，对问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 在定理3 1 中所定义的近似解有估计 “。1 1 2 巨，0 t s 丁( 4 - 1 ) 证明在这种情况下“。( 五t ) 应满足如下常微分方程组的初值问题 ( u m tw s ) 一( a u 。，m ) 一( a u 。，嵋) = u ( 。) ，w ，) ( 4 - 2 ) 。( 工，o ) = m ( 功_ ( x ) ( 4 3 ) j - i 首先，由f ( u ) 的连续性及f ( u ) u 0 可得f ( o ) = 0 故由假设( h ) 可得 f c u ) i r ，( s ) b 4 “ 而l p l + 1 0 0( 甩：1 , 2 ) ：l p 1 + 1 s 竺二罢( ”3 ) 另外，由 ( x ) b s , ，o d ( u o ) 圭1 1 v o u 2 一量f ( u 0 ) d x 0 ，故在本引 1 理的假设下，定理3 1 的一切条件都成立，从而定理3 1 中对近似解“，( x ，) 的 估计也成立 ( 4 2 ) 两边同乘以a , g 。( f ) 再对s 从1 到肘求和得 j l 刘d v w + k i l 2 ) + t l a u 1 1 2 = ( 他。) ，一) ( 4 - 4 ) 由h 6 1 d e r 不等式 ( 厂( ) ，一) = ( ( ) v u m , v ) - 1 代入( 4 - 4 ) 得 扣v 1 1 2 + i i a u 。1 1 2 ) 2 ( m - 一1 ) 1 1 “。1 1 2 再由嵌入定理得 扣w 茎m z k i l 2 对，从0 到t 积分得 峥。1 1 2 - 0 还有 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 f a u 。，0 2 历 ，o srst(4-5) 证明( 4 2 ) 两边同乘以五g 二( r ) 再对s 求和，有 ( “，一a u 。一a u 。，一a u ，) = ( f ( u 。) ，一“。) 故有 l “。0 2 ( 妙( 甜。) h + i i a ”。i i ) i i a “。 ( 4 6 ) 由引理4 1 ，4 3 可知( 4 6 ) 式右端括号项对0 t t 及肼一致有界，故由 ( 4 6 ) 可得 岫。，1 2 - 0 ，问题( 卜1 ) 一( 1 - 3 ) 存在一个整体强解 ”r ( o ，t ；h 2 ( q ) n h o i ( q ) ) ，”，r ( o ，t ；h 2 n 圩：( q ) ) 且否4 ，o ，t ， 其中点 疋是方程d ( 艿) = 勃v j j 2 一量f ( ) 血的两根 证明由引理4 1 4 3 知， “。) ， 越。) 都在r ( o ，乃2 n h o j ( q ) ) 中有 界，由列紧原理可知，存在“及扣。) 的予序列扣，使得当y _ m 时 甜，( 工，t ) 斗u ( x , t ) 在r ( o ，t ；h 2 ( q ) n 叫( q ) ) 中弱收敛 “。( x ，f ) - - ) ”，( 毛f ) 在r ( o ，t ；h 2 ( q ) n h o ( q ) ) 中弱收敛 而且由于“，( x ，t ) 在日2 ( q ) 中有界，进而弱收敛，故有甜，化f ) 专u ( x ，f ) 在 日( q ) 中强收敛，其中绋= q 【o ，r 】，且在g 中几乎处处收敛，由定理3 1 2 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的证明可知 f ( u ，( x ，r ) ) _ f ( u ( x ，) ) 于g 中几乎处处收敛，且于l 2 ( q t ) 中弱收敛 在( 4 2 ) 中取m = y 两边同乘d ，( f ) c ，对j = 1 , 2 ，y ( l ，) 求和，对r 在 ， 【o ，叫上积分，令l ，一。o 取极限，由 以( r ) w ，( x ) 于c ( 【o ，刀；三2 ( q ) ) 中稠即知 s * l ，) 为( 卜】) 一( 卜3 ) 的整体强解。根据整体弱解存在性的证明及引理3 4 可 得“瓦，0 t t 4 3 本章小结 本章首先对问题( 1 - 1 ) 一( 卜3 ) 的解的模的几个估计式给出了证明，然后 根据弱解存在定理以及弱解的定义给出了强解存在性定理到此为止，我们对 半线性双温度热传导方程在日2 ( q ) n 础( q ) 空间中解的存在性问题有了相对 清楚的了解 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第5 章解的不变集合与真空隔离现象 5 1 解的不变集合 定理5 1 若厂( “) c ， m o 且满( h ) ，告i i v l 4 0 1 1 2 一f ( u o 灿 d ( 万) ， “。( x ) h ：( q ) ，则集合与在问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的流之下是不变 的，艿( 0 , 1 ) 证明( 1 ) 设u 。( x ) ，“( ，) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解，r 是甜( f ) 的存在 时间，往证u ( t ) 于0 ， t 用反证法，若不然，则必存在f 。( o ，t ) ，使得 z f ( f 。) a ，即1 6 ( ( f o ) ) = o 且l y ( t 。) 8 0 或j ( u ( t 。) ) = d ( 万) ，由 ，( “) 吉删1 2 一f 似m 知v l l o 卜量f ( u o ) d x o ( s - 1 ) 知，( “( ，o ) ) = d ( 艿) 是不可能的，若以( “( “) ) = o 且l l v u ( t 。) 忙0 则由定理2 5 可 知j ( u ( t o ) ) d ( 6 ) ，这也与( 5 - 1 ) 矛盾 ( 2 ) 设( x ) e ，u ( x ，) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解，丁是( ，) 的存在时间， 往证u ( t ) 于0 ， t 用反证法，若不然，则必存在一个t o ( o ，t ) 使得 “( r 。) o r 6 即以( “( f o ) ) = o 或j ( u ( t 。) ) = d ( 8 ) ，由( 5 - 1 ) 可知， ( f o ) ) = d ( 回是 不可能的设t o 是使以( “( f o ) ) = o 第一个t 值，则以 ( f ) ) 0 于0 f ( 丢昔回音，于o t t o , 故有恸( ，o 料丢蔷回吉再 由定理2 5 得j ( u ( t o ) ) d ( a ) ，这也与( 5 - 1 ) 矛盾 推论5 2 在定理5 1 的条件下，集合矽与y 在问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的流之 下是不变的 由定理5 1 及定理2 8 可得如下推论 哈尔滨工程大学硕士学位论文 推论5 3 在定理5 1 的条件下，球岛与彤在问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的流之下 是不变的 5 2 真空隔离现象 定理5 4 设p 满足( h ) ，u o ( x ) e 联( q ) 设0 e d ，西 o ，则当毒1 1 v “。1 1 2 一f ( ”。) 血= p 时问题( 卜1 ) - - ( 1 3 ) 的解 属于，万( 4 ，岛) ( i i ) 若，( ) o ，则当勃v 0 2 一量f ( 灿= p 时问题( 卜1 ) - - ( 1 3 ) 的解 属于，占( 磊，以) 证明( i ) 设u ( t ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解，r 为其存在时间首先由推论 3 3 及定理3 1 可知u o ( 工) ，艿( 磊，疋) - f i 正u ( 0 ，0 f t 用反证 法，若不然，则必存在r o ( 0 ，t ) 使得u ( t 。) a ( x f f 于某些艿( a t ，以) ) 即 以( “( ，o ) ) = o 且l l v , , ( t o ) 9 o 或d ( u q o ) ) = d ( 占) 由 m ) 扣v “卜m m 寻恸。0 2 一上脚。m o ( 5 - 2 ) 可知d ( u ( t 。) ) = d ( 占) 是不可能的另一方面，以( “( f 0 ) ) = 0 且l l v “( ，。) 0 0 ，则 由定理2 5 可知d ( u q o ) ) d ( j ) ，此与( 5 - 2 ) 矛盾 ( i i ) 设u ( t ) 为问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 的解，r 为其存在时间首先由 i ( u o ) 0 得厶( o ) 0 故由推论2 1 2 知以( ) 0 于6 ( 磊，以) 又由 ，( z ，) 吉l i v 8 2 一量f ( d ( 艿) 于艿( 4 ，以) 得( x ) e 于艿( 4 ，疋) 往证u ( o ，占( 点，岛) 若不然，则必存在f o ( o ，r ) ，使得u ( t o ) a 以( 对 于某些j ( 磊，岛) ) ，即以( “( ) ) = 0 或，似( “) ) = d ( j ) 由( 5 2 ) 可知 哈尔滨工程大学硕士学位论文 j ( 材( ，o ) ) = d ( j ) 是不可能的设，o 是使以( ( ，o ) ) = 0 第一个，值，则以 ( ，) ) 0 t o t ( 舄回击，于。f o ，则当o 毒i l v 旷一e f ( 灿p 时问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的 解属于，万( 4 ，8 2 ) ( i i ) 若，( ) o ，则当o o ，则当o 告i i v 1 1 2 一量f ( ) 出茎p 时问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的 解属于矿a ( i i ) 若，( ) o ，则当o 却v 1 2 一工f ( p 时问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解属于矿如 证明设u ( t ) 为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解，r 为其存在时间则由 ) 扣“1 1 2 一e 脚m 丢1 1 v , o i l 2 一m 。m o ( j j ( “) o ) 在( i ) ( “) 中，我们有以2 0 ( j 6s o ) 由推论5 6 及引理2 1 2 2 得到如下定理 哈尔滨工程大学硕士学位论文 定理5 7 设p ，u o ( x ) ，e 与一( f = 1 , 2 ) 如定理5 4 所述，则 ( i ) 若( x ) 氏，o 吾i l v 9 2 量f ( m p ，则问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的 解在闭球b 内 ( i i