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中山大学硕土论文量子信息中量子运算无歧区分的一些注记 量子信息中量子运算无歧区分的一些注记 专业：计算机软件与理论 硕士生：肖华华 指导教师：邱道文教授 摘要 非正交的量子态是不可完全区分的，这是量子信息与量子计算的核心概念之 一一，在量子算法、量子密码等领域中扮演着关键角色。研究如何确定非正交量子 状态的区分程度是信息论中的一个重要问题，一直有很多人对它进行研究。量子 运算是描述开放量子系统动力学过程的一般工具，研究它们的区分同样是有意义 的问题。 本文第二章介绍了量子计算机研发的必要性和它的巨大潜力。第三章较系统 地总结了前人对状态区分的研究成果。对纯态和混合态的区分条件和主要结果都 做了介绍；回忆了区分过程中是否引入了辅助系统，是否只能进行l o c c 操作 的情况。 酉算子是一种特殊的量子运算，本文得到了一个关于多个酉算子无歧区分的 充要条件的推论和它们无歧失败概率的一一个下界。接着，本文得到了两个用酉算 子表示的量子运算无歧区分失败概率的一个下界，并把它推广到了多个的情况。 对一类用二维正交酉算子表示的量子运算进行了最优区分，并构造了它们的最优 测量算子。最后，由于量子运算无歧区分失败概率的下界与有歧区分错误概率的 最小值有一定的联系，我们对有歧区分也做了介绍，并用一种不同的方法证明了 有歧区分最小错误概率的公式。 关键词：量子计算机，量子信息，量子运算，无歧区分，有歧区分 中山大学硕士论文 量了信息中量了运算无歧区分的一些注记 n o t e so nu n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o no fq u a n t u m o p e r a t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o n m a j o r ：c o m p u t 盯s o f t w a r ea n dt h e o r y n 锄e ：x i a oh u a h u a s u p e r v i s o r ：q i ud a o w e n ( p r o f e s s o r ) a b s t r a c t t h ei n d i s t i n g u i s h a b i l i t yo fn o n - o r t h o g o n a lq u a n t u ms t a t e si s0 1 1 0o ft h ec o r e so f q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n , a n dt h u si tp l a y sak e yp a r ti nm a n y a d d s , s u c h 秘q u a n t u ma l g o r i t h m sa n dq u a n t u mc r y p t o g r a p h y i t so n eo ft h e i m p o r t a n tp r o b l e m so fq u a n t u mi n f o r m a t i o n 幻d e v e l o pm o a s l l 锚q u a n t i f y i n gh o w w e l ln o n - o r t h o g o n a lq u a n t u ms t a t e sm a yb ed i s t i n g u i s h e d h e n c e , i t sa l w a y sb e e n s t u d i e da n dr e s e a r c h e db ym a n yp e o p l ei nt h i sa s p e c t a sq u a n t u mo p e r a t i o n sa f ek e y t o o lt o0 1 1 1 - d e s c n p t i o no ft h ed y n a m i c so fo p e nq u a n t u ms y s t o m s , i ti sa l s oa s i g n i f i c a n tp r o b l e mt os t u d ya n d 门篙e a r c ht h e i rd i s t i n g u i s h a b i l i t y i nt h i sd i s s e r t a t i o n , c h a p t e r2i n t r o d u c e st h en e c e s s i t yo fr e s e a r c h i n gq u a n t u m c o m p u t e r sa n dt h eg r e a tp o t e n t i a lo fq u a n t u mc o m p u t e r s t h e n , i nc h a p t e r3w o s u m m a r i z es y s t e m a t i c a l l yt h ea c h i o v c m e n t sm a d eb y 璺d l n of o r m e rr e s e a r c h e r si nt h e d i s c r i m i n a t i o no f p l | r es t a t e sa n dm i x e ds t a t e s ，a n dw or e c o l l e c tt h ec , f l s 髂o f w h e t h e r a n ya n c i l l a r ys y s t e mi s u s e da n dl o c ci s m e r e l yo p e r a t e di nt h ep r o c e s so f d i s c r i m i n a t i o n u n i t a r yo p e r a t o r sa l es p e c i a lq u a n t u mo p e r a t i o n s w eo b t a i nac o r o l l a r yr e g a r d i n g n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dal o w e rb o u n do nt h ef a i l u r ep r o b a b i l i t yf o r u n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o na m o n gu n i t a r yo p e r a t o r s 耽锄w eg e tal o w e rb o u n do n t h ef a i l u r ep r o b a b i l i t y 如ru n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o nb c t w o e nq u a n t u mo p e r a t i o n s 1 1 i 主坐叁兰堡! 堡兰 望三! ：皇! 里王垩竺垄些坚兰塑生二些! i i 生一 w h i c hr e p r e s e n t e db yu n i t a r yo p e r a t o r s ，a n d i ti se x t e n d e dt ot h ec a s f f 3 o f d i s t i n g u i s h i n ga m o n gq u a n t u m o p e r a t i o n s w ed i s t i n g u i s h t w o q u a r t t u m o p e r a t i o n sw h i c hc a nb er e a l i z e db yo r t h o g o n a lu n i t a r yo p e r a t o r s t h a ta c ti na t w o d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e ，a n dw ea l s oc o n s t r u c tt h e i ro p t i m u mm e a s u r e m e n t r f i n a l l v a st h e r ea r es o m el i n k sb e t w e e nt h el o w e rb o u n d o nf a i l u r ep r o b a b i l i t yo f u n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o n a n dm i n i m u m - e l t o rp r o b a b i l i t y o f a m b i g u o u s d i s c r i m i n a t i o n ，w ei n t r o d u c et h ea m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o na n dp r o v et h ef o r m u l ao f m i n i m u m e l t o rp r o b a b i l i t yi nad i f f e r e n tm e t h o d k e y w o r d s ：q u a n t u mc o m p u t e r , q u a n t u mi n f o r m a t i o n ,q u a n t u m o p c r a t l o l l ， a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o n , u n a m b i g u o u s s t a t ed i s c r i m i n a t i o n i v 中山大学硕士论文量了信息中量了运算无歧区分的一些洼记 1 1 背景 第1 章引言 电子计算机及信息科学的产生、发展和应用是二十世纪科学技术最突出的成 就，深刻地影响了整个社会的面貌和发展方式。另一方面，量子力学是二十世纪 物理学最重要的成就之一，它是微观粒子运动规律的概括和总结，是人类对自然 界认识过程中里程碑式的突破。两者的结合便产生了量子信息学【l l - - f 新 兴的学科，它是利用微观粒子的量子力学原理来解决经典信息学和经典计算机所 不能解决的问题的学科。 由于量子计算机具有不同于经典计算极的独特性质，例如量子并行性、纠缠 裂i 】等等，从而可能赋予人们更强大、更安全、更灵活的计算能力和信息处理能 力。例如，并行性使它具有比经典计算机更强大的信息存储容量和计算速度；量 子隐形传态【2 】是一个令人惊奇和非常有趣的现象，它可以在不知道具体量子状态 的情况下精确传输量子状态；密集编码f 3 】可以通过传输一个量子比特达到传输两 个经典比特信息的功能。量子密码学1 4 】把人们带入了绝对安全的信息世界。特别 是被称为“杀手应用或应用杀手”的s h o t 发现的大数质因子分解算法【5 】和g - r o v e r 发现的数据库搜索算法嘲，更是掀起了人们研究量子信息的热潮。近年来，量子 信息学已成为一门快速发展的边缘学科，成为计算机学家和物理学家共同关心的 一个燕点领域，在理论 7 - 1 萄和实验【l 习上都取得了令人瞩目的突破。 对于个人来说，要研究量子信息的所有领域是不可能的，但有针对性地研究 某个方面是很有必要和可行的。量子信息论的一个重要问题就是研究如何定量度 量非正交量子状态的区分程度在经典情况下，研究对象的不同状态之间理论上 总是可以区分的，但在量子力学中情况并非如此，只有相互正交的量子状态是可 以完全区分的。非正交量子态具有不可区分性【1 】。这个性质是量子计算和量子信 息的核心概念，在量子算法、量子密码中扮演着关键角色。未来也许还可以利用 这个性质来做电子钞票，起到真正杜绝造假钞的目的。所以国内外有较多人研究 量子状态的区分。量子运算是描述开放量子系统动力学过程的一般工具，丑前对 中山人学坝l 论史 量了信息中量了运算无歧区分的一牲f = 记 量子运算的区分悼1 习研究并不多，但研究它们的区分同样是有意义的问题。 1 2 本文的意义和工作 基于研究量子状态区分的重要性，国内外众多学者投入了很多精力来研究 它，并做出了一系列重要的成果。这些研究涉及到纯态的区分【1 6 - 2 5 1 和混合态的区 分 2 6 - 3 1 】。根据它们对测量结果是否允许有错误发生，量子状态区分又可以分为无 歧区分【l6 。捌和有歧区分0 3 2 ，3 3 1 。根据量子系统是否处于相同位置，又可将其分为 全局测量操作的区分【1 e - 2 0 和只能通过l o c c 操作的区分【2 l - 2 3 。有些研究者为了 提高区分概率而引入辅助系引1 4 ，1 5 , 1 9 1 ，有些还研究了酉算子的区分1 3 卅和量子 运算的有歧区分 1 4 , 1 5 。由此可以看出，情况比较复杂和繁多，对它们做个系统的 分析和总结是很有必要的，也是很有意义的。在阅读了大量的文献后，我们对各 种区分的适用条件和主要结果都做了较全面的整理。希望这部分工作可以让读者 对区分有个较系统的认识，也希望能帮助从事区分工作的研究者从整体上把握该 领域目前的研究进展情况，了解哪些工作还可以继续做，可以改进，能从中发现 问题，解决问题，以进一步完善这些理论。 在开放系统中，量子状态的演化是通过量子运算来表示的。从广泛的意义来 说，酉变化只是量子运算的一种特殊情况。由于量子运算的表示具有一般性，它 们的区分计算极为复杂，目前，相关的工作做得还很少，主要集中在由p a u l i 算 子【1 1 表示的量子运算的有歧区分 1 4 , 1 习上。因而，对量子运算的区分进一步研究是 有意义的。本文在前人对量子状态区分和酉算子区分的研究基础上，研究了量子 运算的无歧区分。所做的主要工作有；( 1 ) 本文得到了一个关于多个酉算子能无 歧区分的充要条件的推论和无歧它们失败概率的一个下界。( 2 ) 本文得到了两个 用酉算子表示的量子运算无歧区分失败概率的下界。并把它推广到了多个的情 况。( 3 ) 对一类用二维正交酉算子表示的量子运算进行了最优无歧区分，并构造 了它们的最优测量算子。( 4 ) 由于量子运算无歧区分与有歧区分有一定的联系 】，我们对有歧区分也做了简单介绍，并用种不同的方法证明了有歧区分最 小错误撅率的公式。 2 中山大学硕：论文量子信息中量予运算无歧区分的一些注记 1 3 本文的结构 本文以下部分是这样安排的：第二章介绍了量子计算机研发的意义和它具有 的巨大潜能，并简单介绍了量子信息里面的内容。第三章介绍了本文将用到的一 些常用概念和定理，并较系统全面地总结和分析了前人对量子状态区分的一些科 研成果。第四章是本文的重点，研究了量子运算的无歧区分，对用酉算子表示的 量子运算的无歧区分，得到了一些成功分辨的界。第五章总结了本文所做的工作。 中山人学坝 论文量了信息中量了运算无妓区分的一牡i 记 第2 章量子计算机的研发意义和量子信息基础 2 1 研究量子计算机的必要性 有人也许会问这样一个问题，经典计算机已经具备很强大的功能了，在很多 领域也表现非常出色，为什么还要研究量子计算机呢? 下面我们从三个方面来回 答这个问题。 ( 1 ) 量子计算机可以解决芯片发热问题。二十世纪六、七十年代人们就发现 能耗会导致计算机芯片的发热，影响芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速 度。这是经典计算机不可避免的缺陷。那么，能不能设计一种不产生能耗的机器， 从而一劳永逸地解决发热问题呢? i a n d a u e r 【7 】最早研究了这个问题，指出计算 过程的不可逆性( 也就是能耗) 来自信息的擦除。只要对基本的逻辑电路加以改 进，计算过程就变成可逆的，就能消除能耗的问题。l a n d a u c r 证明了理论上这是 可以做到的。b e i l i l e t t 【8 】更严格地分析了可逆计算过程，并证明了所有经典的不可 逆计算机都可以改造为可逆计算机而且计算能力不变。这些理论成果引起了人们 对可逆计算机的研究，并进一步提出了量子计算机的概念。因为只有量子力学中 的幺正变换才能真正地实现可逆操作，而量子计算机恰恰是建立在量子力学基础 之上的机器。 ( 2 ) 量子计算机的并行特性能出色处理海量数据。当今人类社会进步与经济 发展向计算机提出了几乎是无止境的需求，经典计算机性能的改进却始终赶不上 人类不断增长的信息处理的需求。有人统计，世界范围内信息量的增长速度已经 从1 9 5 0 年前的每1 5 0 年翻一番到现在每5 年翻一番。人们预计2 0 2 0 年以后信息 量每7 3 天就要翻一番。遗憾的是，目前计算机处理海量数据的能力非常薄弱。 然而，量子计算机的并行性却能出色地解决这个问题。 ( 3 ) 量子计算机可解决芯片高度集成后的量子干涉效应。科技的不断进步使 计算机的性能有了突飞猛进的发展。仅就计算速度而言，从第一台电子管计算机 e n i a c 的5 0 0 0 b s ( 比特秒) ，到现代高性能计算机的万亿次，半个世纪竟提高 了1 0 亿倍! 但按照摩尔定律，计算机c p u 每1 8 个月处理速度会提高一倍，单 4 中山大学硕士论文 量子信息中量了运算无歧区分的一些注记 位面积的硅片上电路元件也会大量增加。目前集成电路的特征尺寸已经降到了几 十个纳米的量级，这个趋势还在继续着，预计再经过2 0 年左右，将要降到几个 原子的大小，甚至更小。当电路集成密度很大时，电子不再被束缚，就会出现量 子物理所描述的量子干涉效应，从而破坏传统计算机芯片的功能。也就是说，大 约2 0 年后传统计算机将达到它的“物理极限”。由电子波动性产生的量子效应已 经不可忽略，这种c p u 将不能正常工作。 在这种情况下，人们自然提出如下问题：能不能根据量子力学的原理，在原 子的尺度上制造一种全新的计算机器量子计算机? 它的性能是否能够超越 传统的计算机? 这也导致了人们对量子计算机的研究，对量子信息的研究。 2 2 量子信息的一些理论成果 令人振奋的是，经过很多科学家二十多年的努力，量子计算机的理论研究领 域一量子信息学取得了很多令人兴奋的理论成果。 七十年代初，美国的c b e n n e t 等提出可逆计算。 1 9 8 2 年，b e n i o f f 9 1 最早探讨了服从量子力学的可逆计算机。但是，他的“可 逆量子计算机”只不过是经典计算机的使用在量子系统中的实现。 1 9 8 2 年，f e y m a n n 【1 0 1 指出了利用量子力学特性来实现计算的可能性。他也是 第一个认识到量子特性可能赋予计算过程意想不到的形式和威力的人。 1 9 8 5 年，英国牛津大学的d e u t s c h 初步阐述了量子图灵机的概念，认为量子 图灵机可能比经典图灵机具有更强大的功能。 1 9 9 2 年，d e u t s c h 在量子力学迭加性原理的基础上提出了d 2 j 算法【i i 】，它是 第一个真正的量子算法。 1 9 9 4 年，s h o t 利用量子力学迭加性和纠缠态提出了著名的大数因式分解的 s h o t 算法【5 1 ，显示了量子计算的效率可以远远超过经典计算。 1 9 9 6 年，l l o y d t 2 1i 正昨j y f e y n m a n n 的猜想，即量子计算机可以用来模拟一切 局域量子系统。利用量子计算机，大约需要几百至几千个量子比特，便可精确地 模拟一些具有连续变量的量子系统。 1 9 9 7 年，g - r o v e r 提出了“在一组无序数中找出满足条件的一个数”的g r o v e r 5 中山人学坝l j 论文量了信息中量了运算尤止上区分的一牡往让 算澍6 】。随之而来，有一大批以解决经典n p 问题为目的的量子算法被提出。 这些理论说明了量子计算机的确可能解决经典计算机难以解决的实际问题， 极大地提高了人们研制量子计算机的信心。 2 3 量子计算机的概念和巨大潜力 什么是量子计算机? 它有哪些超越经典计算机的功能呢? 2 3 i 量子计算机的概念 量子计算机【”是实现量子计算的机器，是一类遵循量子力学规律进行高速数 学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量 子信息，运行的是量子算法时，它就是量子计算机。 2 3 2 量子计算机的巨大潜力 量子计算机在增大信息容量、提高运算速度、提高检测精度和搜索速度、确 保信息安全等方面都有可能突破现有经典信息系统的极限，潜力巨大【1 ”】 ( 1 ) 存储容量大。经典计算机中玎个比特只能存2 “个状态中的某一个状态， 但万个“量子比特”可以同时表示2 ”个状态。可见，“量子比特”的信息量比“经 典比特”增加了指数倍。一个2 5 0 个量子比特( 由2 5 0 个原子构成) 的存储器， 可同时存储的数达2 2 ，这个数字比现有已知的宇宙中全部原子数目还要多! ( 2 ) 计算速度快。如果我们能够用一种办法对n 个“量子比特”( 量子叠加 态) 进行操作，那就意味着一次能同时操作2 “个状态，实现所谓的“量子并行”。 同样的操作在经典计算机中却要进行2 l ，次。计算速度因此提高了指数倍! 因而 有人估计以处于量子状态的原子作为中央处理器和内存的量子计算机其运算能 力比目前以微型晶体管电路为基础的经典计算机快几亿倍! ( 3 ) 可以破解r s a 公开密钥体系。以大数分解为安全性依据的r s a 公开密 6 中山大学硕士论文量了：信息中量子运算无歧区分的一些注记 钥体系，现在被广泛用于电子银行、网络等领域。经典计算机至今还找不出一种 多项式时间的经典计算机算法进行大数分解。由于量子计算机具有并行计算的特 点，却可能存在量子多项式算法。例如，1 9 9 4 年s h 一5 】给出的关于大数因子分 解的量子多项式算法。这对r s a 公钥系统的安全性提出严重挑战。因为对一个 4 0 0 位的密码数字进行质因数分解，即便使用世界上运算速度最快的巨型计算机 也要l o 亿年，而如果用量子计算机只需不到一年时间就可完成。 ( 4 ) 搜索速度快。1 9 9 7 年g r o v e t l 6 l 发现了所谓的量子搜寻算法，它适用于 解决如下问题：从n 个未分类的客体中寻找出某个特定的客体。经典算法平均地 讲要寻找n 2 次，成功几率为二分之一，而g r o v e r 量子算法则只需要n 次。 g r o v e r 算法的用途很广，可以寻找最大值、最小值、平均值等。还可有效地攻击 密码体系，如d e s 体系。这个问题实质是从2 5 6 个可能的密钥中寻找一个正确的 密钥。若以每秒1 0 0 万密钥的运算速率操作，经典计算需要1 0 0 0 年，而采用g r o v e r 算法的量子计算机贝i j 只需小于4 分钟的时间。难怪有人称“量子力学可以帮助在 稻草堆中寻找一根针”。 ( 5 ) 保证通信安全。量子计算机还提供了一种保密通讯的方式。在利用e p r 对【1 3 j 进行量子通讯的实验中我们发现，只有拥有e p r 对的双方才可能完成量子 信息的传递，任何第三方的窃听者都不能获得完全的量子信息，实现真正不会被 破解的保密通讯。 其次，量子密钥体系采用量子态作为信息载体，其安全性由量子力学原理所 保证。基于量子力学线性叠加原理和不可克隆定理的量子密钥分配可以解决传统 密钥分配不安全这个问题。未知量子状态不可以克隆也使得量子密码本身是牢不 可破的。这才是真正不会。泄密”的“量子密码术0 其技术已经开始运用于战 争、通讯、金融和国家安全等领域。 2 4 量子信息的基本内容 经过上面的介绍，大家也许已经对量子计算机的强大功能产生了兴趣。不过， 目前量子计算机只是处于理论研究阶段，为了使大家对它有个更好的了解，有必 要对它的理论领域一量子信息里面的一些内容做个介绍。 7 中山人学坝卜论j 量了信息中量了运算尤歧区分的一牡沣记 在量子信息中用量子态来表示信息，信息传输就是量子态在量子通道中的传 送，信息处理是量子态的幺正变换，信息提取便是对量子系统实行量子测量。信 息一旦量子化，量子力学的特性便成为量子信息的物理基础，基本内科1 ，1 3 1 有： ( 1 ) 量子比特：它是量子计算机的基本单元，由量子态相干叠加而成，采 用有两个能缴的原子来做量子计算机的比特。规定原子在基态时记为io ，在激 发态时记为i1 ) 。原子除了保持上述两种状态之外，还可以处于两种态的线性叠 加，记为i 力= a l o ) + 6 1 1 ) ，其中a ，b 分别代表原子处于两种态的几率幅度。 ( 2 ) 量子纠缠：n ( 大于1 ) 个量子比特可以处于量子纠缠态，子系统的局 域状态不是相互独立的，对一个子系统的测量会得到另外一个子系统的状态。 对纠缠的研究是目前量子计算与量子信息研究的一个核心。不论在量子信息 还是量子计算里，纠缠都是一种非常重要的资源。很多研究，如隐形传态等都用 到了纠缠这种资源。 ( 3 ) 量子不可克隆：量子力学的线性特性禁止对任意量子态实行精确的复 制，量子态不可精确复制是量子密码术的重要前提，也是量子力学的固有特性。 ( 4 ) 量子叠加性和相干性：量子比特可以处在两个本征态的叠加态，在对量 子比特的操作过程中，两态的叠加振幅可以相互干涉，这就是所谓的量子相干性。 ( 5 ) 量子并行计算：它的能力来自于量子态的可叠加性，是量子信息理论应 用的一个重要分支。量子计算机对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计 算，所有这些经典计算同时完成，并按一定的概率振幅叠加起来，最终给出量子 计算机的输出结果，以这种方式实现的信息处理叫量子并行处理。 8 中山大学硕士论文 量了信息中量了运算无歧区分的一些注记 第3 章量子状态的区分 在经典世界中，研究对象的不同状态之间理论上总是可以区分的，但量子力 学的知识告诉我们：非正交的量子态是不可以区分的。这是量子计算和量子信息 的核心概念，在量子算法、量子密码等领域中都起着至关重要的作用。 量子信息的一个中心问题就是研究如何定量度量非正交量子状态的区分程 度。基于研究量子状态区分的重要性，国内外众多学者投入了很多精力来研究它， 并做出了一系列重要的成果。这些研究涉及到纯态的区分【1 汹1 和混合态的区分 拍- 3 1 1 。无歧区分【1 6 - 3 0 1 和有歧区分【3 2 3 3 1 ，只能通过l o c c 操作的区分 2 1 - 2 3 1 ，有的 在区分过程中还引入了辅助系鲥1 9 1 。情况比较复杂和繁多，对它们做个系统的 分析和总结是有必要的，也是有意义的。 这一章我们对状态区分做了一个较系统的总结，对各种区分的区分条件和主 要成果都做了较好的整理。希望这部分工作可以让读它的人对区分有个较系统的 认识，也望能帮助研究区分的人从中发现问题，总结经验来完善这些理论。不过， 在介绍量子状态区分之前，我们先介绍一些本文将要用到的定义和定理。 3 1 本文用到的一些定义和定理 以下是一些本文将要用到的重要概念和几个重要定理( 详见文【l 】) 。 定义3 1 ( 密度算子) 称一个算子p 是某个系综 只，i 仍 相关联的密度算 子，当且仅当它满足下面的条件： ( 1 ) ( 迹的条件) t r ( 力- - 1 。( 2 ) ( 半正定条件) p 是一个半正定算子。 定义3 2 ( 纯态，混合态) 能精确知道状态的具体形式的量子状态叫纯态， 其状态的具体形式不完全知道的状态叫混合态。 9 中山人学硕f 论丘：量了信息中量了运算光歧选分的一些注让 定义3 3 ( 算予函数) 令4 = 。口1 4 似i 是正规算子4 的一个谱分解，则_ 的算子函数，定义为 厂( 爿) = 。，( n ) i n ) ( a i 定义3 4 ( h i l b e r t s c h m i d t 内积) 假设4 ，b 是线性算子，我们定义函数 ( a ，b ) = - t r c a + b ) 为算子a ，b 的h i l b e r t s c h m i d t 内积。 定义3 5 ( 支集，核)4 是线性算子，由a 的所有非零特征值对应的特征 向量所张成的线性空间称为算子a 的支集，记做s u p p ( a ) 。 由a 的零特征值对应的特征向量张成的线性空间称为算子a 的核。 定义3 6 ( 测量) 量子测量由一组测量算子 硝。 描述，这些算子作用在被 测量的系统空间上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统 的状态为l 谚，则测量结果m 发生的概率为 p ( m ) = ( 妒i m = m mi 力， 测量后的状态为 织f 分 丽丽露丽 这里， 心) 满足完备性关系，峨帆= ， 定义3 7 ( 投影测量) 当定义3 6 中的测量算子肘。满足，峨心= j ，并 且是正交的投影算子时，郎故螺= 以参。，它就变, 或- j - 投影测量。 定义3 8 ( p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e dm e a s b l e ) p o v m ) 在定义3 6 中记 乜= 峨 ，则有完备性关系。瓦= ，状态测量后的概率为 1 0 中山丈学硕：l ：论文 量了信息中量了运算无歧区分的一些注记 p ( 帕= ( 伊l 瓦i 咖， 这里把乜叫p o v m 元，完整的集合 已) 叫一个p o v m 。 它一般用于统计特性的简单方法，当我们只关心得到某种结果的概率而不关 心测量后的状态时常用的一种方法。 定义3 9 ( l o c a lo p c r a t i o ma n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n s ，l o c c ) 当一个操 作只能进行本地局域操作且只能通过经典信道进行通信则是l o c c 。 定义3 1 0 ( 保真度) 设p 和盯为量子系统q 的状态，我们把p 和盯的保真 度定义为 f ( 店仃) = 护历万 定义3 1 1 ( u n a m b i g u o u ss t a t ed i s c r i m i n a t i o n , u s d ) 一个由 最) 描述的 p o v m 测量是状态 n ) 上的无歧状态区分测量，这里n 对应的先验概率为仉， 当且仅当下面的条件成立： ( 1 ) 这个p o v m 包含元素 岛，蜀，目) ，元素岛与不确定的结果相联系， 元素互用来识别状态n ( 2 ) 结果不能有错误发生，即v i ，k = l ，n ，p j 0 ，有 t r ( p , e d = 易& ( 3 ) 不确定的结果的概率为 q 【佤) 】= ，研f r ( 辟岛) 由这组p o v m 元所做的操作过程就叫无歧区分。 定义3 1 2 一个由 e ) 描述的p o v m 见) 上的最优无歧状态区 分测量，这里n 的先验概率为仉，若满足以下条件： 中山人学坝j 论文 量了信息中量了运算无歧区分的一些注记 ( 1 ) p o v m 元 县) 是 展) 上的无歧状态区分测量。 ( 2 ) 不确定的结果是最小的，即 q 酽) 】2 。矗q 【 最) 】 由这组p o v m 元所做的操作过程就叫最优无歧区分。 定义3 1 3 ( m i n i m u me r r o rd i s c r i m i n a t i o n ，m e d ) 在定义3 1 1 中，如果有 e o = 0 ，并且结果不一定满足f r ( n e ) = o v i 七，f ，k = 1 ，n ，即允许有错误的 结果发生，就称它为有歧区分。错误结果取最小值时就是最优有歧区分。 定义3 1 4 ( 约化密度算子) 假设有量子系统一，君，其状态由密度算子p ” 来描述，我们定义系统a 的约化密度算子为 - ；t r b ( p ”) ， 其中，为系统曰上的偏迹，定义为 ( i a i ) ( 吒i p i b , x b ：i ) 暑4 a i ) ，i a 2 是一系统的两个向量，i 岛) ，i 也) 是曰系统的两个向量。 定义3 。1 5 ( 纯化) 给定量子系统一中的状态，我们引入另外一个系统 记做尺，定义联合系统爿尺的纯态i 爿r ，使得= ( i a r ) ( a r i ) ，则1 4 r ) 就是 的一个纯化。 定理3 1 ( 谱分解) 向量空间矿上的正规算子膨，在y 的某个标准正交基 上可以对角化。反之任意的对角化算子是正规的。即如果 ” 是v 的一组标准正 交基，见是肘的特征值，则有 m m = m m 营肘= ，五i f x f i 中山大学硕士论文 量了信息中量了运算无歧区分的一些注记 定理3 2 ( s c h m i d t 分解) 设i 谚是复合系统a b 的一个纯态，则存在系统4 上的标准正交基i 和曰系统上的标准正交基i ) 使得 f 办= ，4i ) i ) ， 这里，a 是满足，筇= l 的非负实数，叫做s c h m i d t 系数。 定理3 3 ( 极式分解) 令彳是线性空问v 上的线性算子，则存在酉算子【， 和半正定算子，和足，使得 彳= u j = k u 其中，- ，和k 是唯一满足这些方程的半正定算子，；石，足；万若彳 可逆，则u 是唯一的。 定理3 4 ( 奇异值分解) 若彳是方阵，则存在酉算子u 。v 和非负的对角阵 d ，使得 彳= u d v 这里，d 的对角元素称为彳的奇异值。它的第f 个奇异值记为s ( d ) 。 3 2 纯态的区分 纯态是指它的状态完全知道的一种量子状态。它的区分问题涉及的计算量不 像混合态那么复杂，也是研究者们涉及最早的区分对象。因此，这里我们从最简 单最容易理解的纯态开始俞绍。 3 2 1 区分条件 纯态的区分条件【l 】是这样的： ( 1 ) 要完全区分一组纯量子状态，当且仅当这组量子状态是相互正交的。 中山人学颁l 论文量了信息中量了运算尢歧区分的一些沣记 ( 2 ) 要以一定的概率区分一组纯量子状态，当且仅当这组量子状态是线性 无关的。 3 2 2 纯态区分的理论成果 关于纯态的区分研究比较多，我们将分成以下四种情况来介绍。 ( 1 ) 线性无关的纯态，且只做全局测量的情况 1 ) 早在二十世纪八十年代，i v a n o v i c t l 6 1 ，d i e k s m ，p e r c s 1 8 1 对两个非正交的线 性无关的纯态i 妒) ，i 庐) 进行了研究。他们假设i 谚，l ) 的具体形式已经知道，且出 现的概率相同，但不知道具体准备的是哪个。则i 妒 ，i 矿) 最优无歧区分时，最小 失败概率q ”为： q 叫= i i ( 3 - 1 ) 2 ) 1 9 9 5 年，j a e g e r 和s h i m o n y l l 9 1 x 寸i v a n o v i c ，d i e k s ，p e r e s 的研究从两方面进 行了扩展。 首先，假设l 力，i ) 的先验概率分别为编，仍，其中编+ 现= 1 ，一般不相等。 求解过程如下：添加一个辅助系统s ，s 以初态i ) 进行启动，然后对联合 系统做一个酉变换，其过程可以表示如下： 舞妒$ o ) 蚓- 9 o r 嬲嚣 z ， i ，i 氟 + 艿i 办屯) ， 其中，i _ ，l s ： ，i 磊) ，l 办) ，i 仍) ，i 仍) 都是单位向量，i 仍) ，i 珐 相差一个相位因子， 且有 = o ，妇i 屯) = 0 ( 3 3 ) 先对辅助系统s 做一个测量，可以明确地知道是i ) ，i 屯 中的某个。如果是 前者，再对i 磊 ，l 仍) 做一个测量便可以得到准备的是i 力还是i 妒 的概率；如果是 中山人学硕上论文量子信息中量子运算无歧区分的一些注记 后者，就表明不能对l 力，i ) 进行区分了。 不失一般性，假设砚仍。j a e g 盯和s h i m o n y 通过分类讨论，并经过一系 列的计算，得到最小失败概率为： = 2 丽i ，对应的先验概率为 珐，i = l ，2 ，n 。导师q “捌得到一个多个纯态无歧区分失败概率的下界 q 后i 磊而 ( 3 - 5 ) ( 2 ) 只能进行l o c c 操作的情况 如果状态i 力，l 妒) 由两部分或者更多部分组成，共享i 力，i 妒) 的各方是相隔很 远的，各方不能像上面那样进行全局操作，只能对自己拥有的那部分系统进行局 部操作，且只能通过电话进行联系。在这种情况下我们是如何知道这两个状态能 否区分昵? 1 ) i 力，i 是正交的2 0 0 0 年，j w a l g a t o 等刚证明了只允许l ( ) c c 操作 时，两纯态能完全区分的充要条件。 文【2 1 】首先研究了i 咖，i ) 是两方的情况。由于l 力，i ) 是正交的，所以总能 找到a l i c e 那个系统的一组标准正交基l 现和b o b 那个系统的两组非正交的且不 一定单位化的基l 佛) 。，l 叶) 。，i = 1 ，把i 咖，i 妒) 表示成： l 咖= ，i i ) 。j 仇 。，l 妒) = ，1 0 。i 巧 ，( 3 - 6 ) 1 5 4 卅序 劬 刚 矿悟 力 分 矿 矿 1 厂 1 广 川 矿 旷 中山人学 礁j j 论文 量了信息中量了运算尢歧区分的一些注记 i ) b o b ，b o b 的任务就是区分j 研 。，iv 1 ) 。如果它们可以完全区分，贝t j b o b 可以 完全区分l 谚，i 矿 。为了区分它们，b o b $ 戈至i 自己系统里的一组标准正交基l ) 。， ，= l ，把i 瑰) 。，iv f ) 。分别表示成 i 聃) 。= j 乃i 眈，iv f ) 。= ，嘭i j 。， ( 3 - 7 ) 其中，i = l ，弓，g ：f ，分别为两个n 所阶矩阵f 和g 的元素。于是有 f ( h i 聃 ( v i i 仉) 1 f g = i ； i ， ( 3 8 ) l ( i 仇) = 2 。啄g ：。j w a l g a t e 等证明了如下定理： 定理3 5 在a l i c e 那组标准正交基上作用一个酉变换，f g 相应变成 配fg 奶，丽x c b o b 那组标准正交基做酉变换，却不会影响月g t 。 元素同化的方案。由于i 妒) ，l ) 正交且对角线上的元素都相同，所以这些元素都 全区分l 伊) ，i 庐) 。 21 区分对象不正交。若区分的对象不正交，能不能够只通过l o c c 操作实 现最优无歧区分呢? 2 0 0 4 年，a c h e f l e s 2 2 1 证明了一个通过l o c c 区分有限维有 限多方的量子状态的最优无歧区分的充要条件。这里状态可以是混合态、纠缠态 或它们的组合。 文1 2 2 假设量子系统窖在d 维的希尔伯特空间h 中，准备了膨个状态中的某 1 6 中山大学颈j ：论文量了：信息中量了运算无歧区分的一些注记 个状态r ，是 l ，肘) 的子集，, el , - - - , 肘 。既= 砖n 磅，其中对为既的 支集的正交补，砖为除了以剩下的那些密度算子的支集的正交补。l o c c 无歧 区分量子状态的充要条件描述如下： 定理3 6 无歧区分m 个方状态成的充要条件是，对于任意的a 有 非零概率的探测( d e t e c t i o n ) 算子，且集合咒至少包含一个方乘积态。 定理3 7 全局测量时，能无歧区分m 个状态成的充要条件是，对于每个 e a ，集合咒a 一 3 ) 两个非正交纯态通过l o c c 操作的区分。 在j a e g e r , s h i m o n y t l9 】的研究基础上，y i x i nc h c n 和d o n gy a n g l 2 3 】从l o c c 的角度对其进行了研究。并通过类似的分类讨论和计算，得出如下结论： 以先验概率分别为r l ，砚准备的两个非正交的多方乘积纯态i 咖，i 妒 ，这里， r , + 仍= l ，通过l o c c 操作与通过全局操作得到的最优无歧区分的失败概率的 结果是一样的。 ( 3 ) 区分的状态组是线性相关的情况 上面研究的状态组都是线性无关的，如果它们是线性相关的，情况又会怎样 呢? 我们有什么办法来区分它们呢? 区分的条件是什么昵? 2 0 0 1 年，a c h e f l e s 2 4 给了我们一个答案。文【2 4 】中假设量子系统准备了一 组非正交的状态i 僻 ，i = 1 ，2 ，n 。如果l 仍) 张成一个d 维的线性空间，易知 d 。这里假设状态允许c 份拷贝，即有l 仍) ”。在这种情况下，c h e f l e 螅证 明了一个很重要的结论： 如果对v f ，有l ( 仍i 伊，) i ”是线性 无关的，可以无歧区分，其中，_ ，= l ，2 ，n 。 1 7 中山人学坝i 论上量了信息中量了运算尤歧区分的一些注记 ( 4 ) 区分状态形式未知的情况 上述考虑的都是状态具体形式已知的情形，若区分的状态是未知的，有区分 它们的方案吗? 对于未知状态的区分，j a b e r g o u 和m h i l l e r y l 2 5 1 提出了一种广 义可编程量子状态区分器，并证明了它是未知态的最优无歧区分器，且这种区分 是