（概率论与数理统计专业论文）拟可迁图上渗流临界概率的唯一性.pdf

i l 摘要 渗流模型首先是被b r o a d b e n t s r 和h a m m e r s l y j m ( 参看文献【1 】) 在1 9 5 7 年所提出，并且在近六十年来被深入地研究( 参考文献【2 】) ，这统计物理模型的建 立大大扩充了概率的研究领域。并且还为此模型提供了严格的数学根据 第章，我们首先回顾渗流模型的背景，并给出一些经典渗流模型的知识然 后介绍拟可迁图上的渗流模型，举出了拟可迁图上渗流模型在p p c 情形下的一 些结果在第一章后面给出在拟可迁图上p 乳a tl a s t ，t h i sp a p e rg a v et h et h e o r e m 0 ft h ee x p o n e n t i a ld e c a yo ft h er a d i u sd i s t r i b u t i o nb e n e a t hp c a n dt h et h e o r e mo f u n i q u e n e s so fc r i t i c a lp r o b a b i l i 锄 i nt h es e c o n dc h a p t e l w ei n t r o d u c e dt h er e l a t e da t t e a u a t i o no ff o r m u l aa n d r e l e v a n tk n o w l e d g ei n e q u a l i t y t h e nw eu s e dt h er u e s o sf o r m u l a ，b ki n e q u a l i t y ， s o m ep r o p e r t i e so nt h eq u a s i - t r a n s i t i v eg r a p ha n d8 0o nt op r o v et h et h er e s u l t s k e yw o r d s ：p e r c o l a t i o n ；t h eq u a s i - t r a n s i t i v eg r a p h ；i n f i a i t ec l u s t e r ；p i v o t a l e d g e s ；c r i t i c a lp r o b a b i l i t y i v r 1 ：实数空间 矛：平面整数格点 r 4 ：d 维实列向量空间 z o ：d 维整数格点 i i p 们：连通函数 p c ：l 晦界概率 e ：事件发生的期望 e ：边的集合 v ：顶点集 d ：空间的维数 o ：空集 v ：任意的 j ：存在 u ：集合并 n ：集合交 i - i ：无穷乘积 ：蕴含于 = 净：等价于 z y ：z ，y 在同一条开串上 符号表 第一章问题的提出 渗流模型的建立记。冬兰圣兰：兰乡z = ，3 2 ，一1 ，o ，1 ，2 ，3 ， ， e 4 = ：z ，y z d ，6 0 ，掣) = l 甄一玑i = l 酢，制 q = o ，1 ) e d = o ，1 ) 2第章同题的提出 对v ，q ，= 扣( e ) ：e ，称u 为组态芦一五为由n 中的有限柱集 e e g d 类生成的域心为定义 0 ，l ，上的b e r n o u l l i 测度，满足p 。( e ) = 0 ) = q = 1 - - p ，p 。 ( e ) = 1 ) = p ，定义昂= 地为上的概率测度，则( n ，弓) 即为所 e e l z d 要研究的概率空间 事实上，对于u n ，我们都可以把它看作一张图，这样渗流模型在某种意义 上就是z d 上的随机子图模型，因而图论中的许多知识在渗流的研究中发挥着重要 的作用( 在下面的关于分形格点图上渗流的研究中尤其能体会到它的重要性) 定义了所要研究的概率空间之后，我们在上定义路称”为路。如果霄是 由知，e o ，z l ，8 l ，一l ，组成的集合其中z o ，z 1 ，z d ，岛_ - - 为连接和珀1 的边，这样的路 r 长度为n ；称7 r 为自回避路，若对于， 当 ，都有瓤；称为环路，若有跏= ；称7 r 为开路，若中任一条 边开，类似若任一条边闭，则称为闭路若z 和y 之间可通过开路连接，记z y 在中考虑由开边组成的子图，此子图的连通部分称为开串，记c ( x ) 为包 含z 的开串，i e ( z ) i 为g ( z ) 中的顶点个数，则我们可记c ( z ) = ”ez d ：z 一 ， c ：= c ( 0 ) = 妇z d ：0 一订，其中0 为坐标原点，则我们知i c l = o o 等价于 0 一0 0 令e ( p ) = b ( i c l = o o ) = 昂( o o 。) ，我们称8 ( p ) 为渗流概率函数 经典渗流模型主要研究平面d 维整数格点对于上面定义的口( p ) ，显然有e ( 0 ) = 0 ，8 ( 1 ) = 1 ，并且用耦合的方法可证得口0 ) 是关于p 的增函数( 注；本节所用定 理编号均采用g r i m m e t t g 书【1 1 中的定理序号，详细定理及证明可参考文献【1 1 ) ( 1 )渗流理论的基本问题 口( 力为取值从0 到1 的增函数，我们考虑当p 增大到何值时，口( p ) 0 即 对于vd ，是否存在一个确定的概率m ( d ) 使得 r _ 0 一诅 i 0 ，p p c ( d ) 第章同麓的提出 我们称p c ( d ) 为临界概率，即 p c ( d ) = s u p 伽：口= o ) = i n f p ：p ( p ) o 3 妒( = 0 , p 九时) 此时存在无穷开串。我们首先关心无穷开串的个 数 定理1 4 ( 无穷开串的唯一性) ：若p ( p ) 0 ，剐b ( 图中存在唯一无穷开串) = 1 此结论由b u r t o n 和k e a n e 证得 ， 另外，当p p c 时，相应于p p c 的情形时考虑的k ，我们定义 = 岛( 旧；l c l o 。) ， 其中f 表示有限的( f i n i t e ) ，它也有类似于定理5 4 的指数衰减性 c ) 临界情形( 即p = 时) 此时主要研究的口连续性显然，当p p c 时，口( 力连续 在矛上，已经证得p c = 1 2 ，且o ( 1 2 ) = 0 ，并且d 1 9 时，口( p c ( d ) ) = 0 。于 是我们猜测对任意的d 。都有o ( p o ) = 0 ，即日在f 0 ，1 】上连续 3 拟可迁图上渗流模型的建立及已经有的一些结果 设g = ( v ，e ) 为一有限连通图，其中v 为图g 中顶点的集合。e 为图g 的边 的集合，同属于一条边的两个顶点称为相邻顶点一组不同的点列粕，。l ，z 。称 为一条链。若对任意i , x i 与z “1 为相邻顶点，链的长度为n 定义点x ，y 之间距离 d ( x ，y ) 为连接x , y 最短链的长度记a u t ( g ) 为图g 的图的自同构群 定义1 6 图g = ( v ，e ) 称为可迁困，若对任意的z ，v 存在从x 到y 映射一y a u t ( g ) 图g 称为拟可迁图，若v 可分成有限多个集合( 轨道) k ，即对 z k 和刍，巧，存在从x 到y 映射1 a u t ( g ) 当且仅当i = j 把经典渗流模型中的换成拟可迁图g 即完成了拟可迁图上渗流模型的定 义同样的在拟可迁图g 上，我们有t p c ( g ) = i n f p 【o ，1 1 磁( 存在无穷开串) = 1 关于渗流的学习我们大部分的结果都是建立在z 4 或模型上的近几年来，一些 研究者把渗流扩展到其他模型上比如，l y o n s ( 1 9 9 6 ) 给出的渗流建立在t r e e s 的一 第一章同题的提出 5 些结果，g r i m m e t t 和n e w m a a ( 1 9 9 0 ) 把渗流建立在( r e g 讲 t r e e ) z 的知识。 以及b e n j a m i m 和s c h r a m m 等人得出的一些关于拟可迁图上渗流模型的结论本 文讨论的是拟可迁图上p p c 的情形 下得到的在前面已经定义了p c ( g ) ，根据b e n l a m i n i 和s c h r a l l n 【3 1 ，我们再定义 m ( g ) = h l f p f 0 ，1 】：璐( 存在唯一的无穷开串) = 1 ) 定理1 7f 5 l 【6 】考虑连通的，无限的，局部有限的拟可迁图g 上的边渗流，那么 譬一口s ，n ( 无穷开睾的数量) 满足， e 纂三 = 1 ，若p ( m ，1 1 定理1 8 5 】设g 为连通的，无限曲，局部有限的拟可迁圈，则在( 纯，1 】中，对所 有的p l p 2 ，每个弦无穷开串包含着一个p 1 一无穷开串 定理1 9 【5 】5 设g 为拟可迁图，那么对任意点x ，函数眙0 ，z ) 在区间上( m ( g ) ，1 】 连续 由于篇根所限，关于拟可迁图上渗流的结果还有很多，读者可以参考【3 】，【4 1 【5 】，【6 ，】 等文献来进行更深的学习 4 本文的主要结论 在g r i m m e t t 书中，对在平面格点上，当p 纯时，关于开串半径指数衰减的 问题给出了定理和相应证明在其证明过程中，用到了关键边，b k 不等式，r u s s o 公式及平面格点上的平移不变性质等我们通过拟可迁图定义知道，拟可迁图上不 具备绝对地平移不变性，我所作的就是突破这条限制，在拟可迁图上得到类似于平 面格点上关于开串半径衰减性的同样结果 6 第一掌问题的提出 现在我们引进_ 皱已号设g 为拟可迁图，图中顶点可分为m 类，v l ，v 2 v 。 6 ( z ，) 表示连接x , y 最短路的边的条数，即x 和y 之问的距离记c ( z ) 为包含卫的 开串，旧( l 为e ( z ) 中的顶点个数，则我们可记c ( x ) = b g ：霉一暑 ， c o * # c ( d 1 ) = 白g ：铆一， ，其中o t v l ，( 1 l m ) 为图g 中m 类坐标原 点。则我们知l c ”l = o o 等价于o t o o ，令 萨( 力= b ( c ”i = 0 0 ) = 耳( o i o o ) ， 我们称卵p ) 为渗流概率函数并设口( p ) 2 忍焉卵再定义舻( p ) = 岛( f c ”1 ) 表 示包含原点o l 的开串的平均长度再定义图g 上另一临界概率p t ： 船= s u p p ：驴 o o ， 1 s l m 在第二章的证明中，我们可以看出当p p c 时，“( p ) o o 与府呀( 力 o o 等价， 即舻p ) o o 与i 的选取无关 记s 1 ( n ) 为以o t 为圆心，n 为半径的球，即s ”( n ) ：= 伽降g ，a ( o l ，z ) n ，a 舻( n ) 为即( n ) 的边界，即o s m ( n ) _ x l x g ，6 ( o r ，z ) ；n ) 现定义 0 为 事件从原点o l 出发到o s m ( n ) 存在条开路”我们现设0 1 为原点举倒，假设 事件船发生，我们用e ，e 2 e 表示事件a 鲁中的关键边因此所有从原点0 ， 出发到边界a 舻( n ) 的开路都要经过白( 1 j ) 令7 r 为其中一条开路；我们 假定霄上的关键边按e l ，e 2 8 顺序标出e l 的端点和终点分别用和y i 来表 示令n = 6 ( d l ，z 1 ) 及岛+ 1 = 6 ，z ) ，1si n ，m = m “ 詹：a o l 发生) 我 们令蝣( n ) = b ( 钾) ，定义随机变量府，满足 p ( k - i n ) 2l m a x 。p p ( a ：) 定理1 1 0 设g 为拟可迁图若p 0 ，使得 b ( a 鲁) e 一呻， 对任意1 f s m ，竹2 1 成立 推论1 1 1 设g 为拟可迁图。若p 乳，则庐( p ) o o ( 1 墨f m ) ，印乳= 纷 第二章主要结果及证明 1 基础知识及常用不等式 引理2 1 ( f k g 不等式) 若事件a ，b 为增事件，则b n b ) 2 昂( a ) b ( b ) 引理2 2 ( b k 不等式) 若事件a ，b 为增事件，则斥( a ob ) s 昂( ) b ( b ) 定理2 3 ( r u o 公式) 令a 为增事件且只依赖于l d 中有限条边的状态，那么， 乏o ( a ) = 昂( ( a ) ) ， 其中n ( a ) 表示事件a 中关键边的条数 以上为渗流常用引理及定理，详细证明可参看g r i m m e t t ，g 课本【l 】1 2 定理证明 我们来看定理1 1 0 的证明由拟可迁图的定义可以知道，在图g 中存在着i l l 类点，而同属于类的顶点应满足平移不变性，即 昂( a 等( u ) ) = 弓( a ：( ) ) ，其中“，”v i 为同一类点 先固定i - - 1 ，由锋的定义可知a 为增事件且只依赖于s ”( 呐中的边，对 b ( a 2 ) 应用r u s s o 公式得到( 2 4 ) ： 矿( n ) = 耳( ( a 2 ) ) 其中( a ) 为事件a 2 的关键边的条数由上式可得 咿( n ) = ；昂( j i v ( 舒) ；舒) = ；目( ( 衙) i 钾) 9 ；1 ( n ) 所以得到 ( 2 5 ) ；：r i 两跏 0 1 ( 呐2 ；目( j i ，( a ) ia 2 ) 令0 s 口 1 ，对( 2 5 ) 式从p = a 到p = p 积分可得( 2 6 ) ： 鳐( n ) = 够) e x p ( 一f ；耳( ( 钾) i 舒) d p ) 够c n ) e x p ( 一易( ( a 2 ) ia 2 ) a l p ) 我们现在需要证明当p p c 时，日( ( 钾) i 2 ) 是随着n 大概线性增长的。因 此上式将得到鳐加) 的个上界 现在证明中最主要的工作是估算马( j ! 、r ( a 鲁) ia ) 我们知道，若p p c ，那么 纬( a 0 ) 一o 当”一o 。因而n 越大，我们越是限制在一个很小概率的事件上 在平面格点上我们知道，如果厶发生，那么从原点到边界a s ( n ) 的连接一定是稀 松的；在s ( n ) 中一定存在着一些对a 发生起着关键作用的开边可以猜测，从 原点到o s ( 2 n ) 的开路中关键边的数量大约是从原点到o s ( n ) 这样开路中关键边数 量的2 倍，因为这种稀松的路走过的距离是从原点到o s ( n ) 的2 倍因此，以等 中( 钾) 的数量也大概是随着n 的增大而线性增长的为此，我们先来看相应引 理 引理2 7 设k 为正整数，1 1 1 ，i 2 r k 为非负整致，并满足坠l r i n k ；0 p 1 ， 那么 ( 2 8 ) b ( m r k ，对于1si ia 0 ) b ( 府s “) 局( 胁= r i ，对于1si r 1 ) n 衙) 弓( a o ：+ 1 ) 昂( 4 2 ) 我们两边同除以昂( a 2 ) 得到 b ( n r li 舒) 妒( n + 1 ) p ( 曰r 1 + 1 ) 进而得到 昂( n ! r ii a o * ) 尸( 曰r 1 ) 由此我们得到了引理= 1 时的情形 第二章主要结果及证明 9 现在对般情形的k 进行证明设七i ，令 ，您，q 为非负整数，并满足 e 冬l n s n 一七令n 表示事件a 2 关键边的条数；我们用白= 按顺序标 记这些关键边对任意的边e = ，令d e 为从原点d l 出发沿开路且不经过e 的所有顶点及连接这些顶点的所有开边的集合并设玩为事件。它的状态要依赖 于i ( 8 ) n v 只有一点属于d c ，记作u ； ( b ) e 为开边； ( c ) 眈不包含边界o s m ( n ) 中的点； ( d ) 1 0 t ， 事件的关键边，按顺序依次为 ， = e ，且占( 弘一l ，z ) = r t ，i i 飞 n a 磬n b ) = 弓( b ，g = r ) 昂( m r k n a lb ，g = f ) 第二章主要结果爰证明 = 昂( b ，g ；r ) b ( b ( r ) 一o s ( r k + l ，( r ) ) 在r 之外l ob ( r ) 一 0 s “( n ) 在r 之外 ) 对最后边的式子应用b k 不等式得到( 2 9 ) 式 昂( a “ n a p n b ) e b ( b ，g = r ) b ( ( r ) 一a s m ( n ) 在r 之外) p a u ( r ) 一o s ( r , + l ，y ( r ) ) 在r 之外) 事实上，对r 的每一种可能， p p ( u c r ) 一0 s ( r k + 1 ，可( r ) ) 在r 之外) 昂( y ( r ) 一0 5 ( r , + 1 ，! ，( r ) ) = 昂( a 乏+ 。) 其中u ( r ) 与o l 属于同一类点由定义( 1 6 ) 知， b ( ，( r ) 一o s ( r k + l ”( r ) ) 在r z 夕l - ) p ( 府之7 1 ) 因此，再由( 2 9 ) 式可得( 2 1 0 ) 式， 昂( “) n 舒r i b ) 昂( b ，g = r ) 昂( ，( r ) 一a 铲( 呐在r 之外) p ( 府2 “+ 1 ) r = p ( 曰r k + 1 ) 昂( a 2 n b ) 把( 2 1 0 ) 式两边同除以昂( a 2nb ) 得到 弓( m r k n bj 衙) 2 p ( 厨“) 0 ( 口l a 等) 由此，我们证明完了该引理 引理2 1 1 对0 p n 设最= 膨+ 必+ + 磁， w a l d e ( 1 u a t i o n ( 可查阅c h o wa n dt e i c h e r ( 1 9 7 8 ，p p 1 3 7 ，1 5 0 ) 或g r i m m e t ta d ds t i z a k e f ( 1 9 9 2 ，p p 3 9 6 ，4 6 6 ) ) ， l 赢2 而南2 川蠹丽2 蕊勃 因为 e ( m i n 腹，n ) ) = p ( 厨订= y 一 m a x g 挈( i ) 所以 剐州舒衙k 蕊i t ；t i 翻i , - 一 l j 。- i 7 。， 至此，该引理证明结束 口 现在我们再来看定理( 1 1 0 ) 的证明，现在把( 2 1 2 ) 式代入到开始的( 2 6 ) 式中 得到，对0 s d p 1 ， 蜘) s 枷蚓一f 磊蠢两叫d p ) 因为当p 卢时，有鳐1 ( i ) 醪( i ) ，所以得到( 2 1 6 ) 式t 洲哪种) 唧( - 妒m 磊意两。1 j ) ， 由此，一旦我们知道n 一1 r s f l i 如一，、) o o ，对所有p p c ，那么通过( 2 1 6 ) 式就可 以得出t 鳐( ) 冬e - n p ( ，对所有a 0 为此，我们有下边的引理 引理2 1 7 对p 纯，存在6 ( p ) 使得； 第二章主要结果及证明 ( 2 1 8 ) 要薹毛筇( n ) 5 6 ( p ) n 一 ，对于n 1 证明，固定卢m ，和正整数n 设0 n n 由( 2 1 6 ) 式得( 2 1 9 ) ： 9 = i ( 们删蛔( 1 一蔷) 帕蛔。一若， 因为n 我们把求和式分解成i 仃和i n 两个相应部分形式，由鳐( i ) 的 单调性可以看出， 专壹i = o 燃- - 辨) 丢( o ) 州婶m a x 瞻( 枷 3 。m g a ：x 。瞻，( n ) ，如果n 。毳翮1 j 现在定义【2 2 0 ) 拈州砷舯似哪叫赢上 由( 2 1 9 ) 可知有( 2 2 1 ) 式： 州呐鲫蛔( 1 赫 下面我们选取n ，记作( 2 2 2 ) 式 卢一a 2 3 ，m 。a 。x 。秽( n ) 1 1 0 9 ( 。鼍撄轰彩o t ( n ) ) ， 注意到，当k 。o 。时，有1 m 。a x 。9 ，。2k ) _ + 0 所以当0 n 反若n 取到充分大的 时候；由( 2 2 1 ) 是可以得到t ( 2 - 2 3 ) 鳐( n ，) s 谬( n ) l m a x 。9 ，p ( n ) 进而得到t ( 2 2 4 ) 燃鳐( ) ( m 。a xg ，o ( n ) ) 2 1 4 第二章主要结果厦证明 接下来。我们固定p p c ，并选取霄使其满足p 0 ，选取的n o 充分大，( 2 2 5 ) 式就有意义这一点我们来看下边的推导从 抛，a 和n o ，仉的定义。以及( 1 1 2 ) 式可以发现， ( 2 2 6 ) g j + t 刃，j = 0 ，1 ，l 一1 如果个实数列( ：j20 ) 满足0 知 1 和对j 0 有+ l = 碍，则容易注意 到； 3 ( 如) = 3 z j ( 1 一t o g x , ) 珊，并选取一个整数k 使得m l 健 n k ；这是可以办到的，因为当 k 0 0 时鲰一0 ，因而对所有较大的k 有”b l n k 那么下式成立- 1 m 型a ( m xg ，o t ( “) l m s l a s x 。蟊一o t l ( “h ) = g k 一1 如1由( 2 2 8 ) 6 n 一，因为n n o 下，我们可以调整常数5 ，来得到同样的不等式对所有 n 1 都成立 口 观察上边引理，其实( 2 1 8 ) 式暗示着存在z x o , ) 1 设o t 乳，选取卢使其满足o t 卢 p c 把( 2 2 9 ) 式及p = 代入( 2 1 6 ) 可以发 现， ( n ) 卯m ) e x p 邓) ( 赢蒜- 1 ) 唧”瑞由 因而， 1 瑚燎鳄( ) m ，对于q p c 1 6 第二章主要结果及征明 在前边的讨论中我们知道t i i = of ；莲篇却o l 、 ) 成立，则定理( 1 1 0 ) 得证 口 再来看推论1 1 l 的证明在掣中s 1 ( n ) 内的顶点数日不会多于以q 为四心， n + l 为半径的欧几里德球内的顶点数因而存在t j = t ，使得， i s n ( n ) i s u ( n + 1 ) 4 ， 1 f m 若p p c ，则g ( m ) = 1 ( 1 s f m ) ，并且有 一) = 昂l 伊i 昂“伊ii m = n ) 昂( 删= n ) n s 妒( n ) i b ( 群) ”+ 1 ) d e - 删 na 其中妒是定理1 1 0 中给出的由此可以得到p r 乳，再由舶和p c 的定义可以 得到纷s p c ，所以& = p t 口 参考文献 1 1 】1s r b r o a d b e n t ，j m h a m m e r s l e y , p e r e o l a t i o np r o c e s sj c r y s t a l sa n dm a z e 8 p r o c c a m b p h i l s o c 5 3 ( 1 9 5 7 ) ，6 2 9 - 6 4 1 2 1g g r i m m e t t ，p e r c o l a t i o n ，2 n de d i t i o n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，b e r l i n ( 1 9 0 0 ) 【3 】i b e n j a m i n i ，o s c h r a m m ，p e r c o l a t i o nb e y o n d ，m a n yq u e s t i o na n daf e w 廿 8 w e r 8 e l e c t r o n c o m m u n p r o b 1 ( 1 9 9 6 ) ，7 1 8 2 【4 】h i g g s t r 6 m ，o p e r e s ，y s c h o n m a n n ，f 0 0 0 8 ) p e r c o l a t i o no nt r a n s i t i v eg r a p h s a 8 ac o a l e s c e n tp r o c e s s ：r e l e n t l e s sm e r g i n gf o l l o w e db ys i m u l t a n e o u su n i q u e n e s 8 f 5 jr o b e r t oh s c h o n m a n n s t a b i h t yo f i n f l n i t ed u s t e r si ns u p e r c r i t i c a lp e r c o l a t i o n ，p r o b a b t o 【6 | h i g g s t r s m , o p e r e s ，y m o n o t o n i e i t