（应用数学专业论文）关于中心群代数的一些结果.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r c e n t r a lg r o u pa l g e b r a sa r es t u d i e da n ds o m er e s u l t sa r co b t a i n e d f i r s t l y , i nap - m o d u l a rs y s t e m ( k ，r ，f ) ，w es t u d yi s o m o r p h i s m so ft w oc e n t r a l g r o u pa l g e b r a so v e rf i l e dfa n dg e tac o r r e s p o n d e n c eo fi r r e d u c i b l em o d u l a rc h a r a c t e r s ， b l o c ki d e m p o t e n t s ，i r r e d u c i b l eb r a u e rc h a r a c t e r sb e t w e e ng r o u pa l g e b r af ga n dg r o u p a l g e b r af h ( hi sa n o t h e rg r o u p ) t h e nt h en u m b e ro fp r e g u l a re l e m e n tc o n j u g a c y c l a s s e so fga n dhi s s a m e s e c o n d l y , a l g e b r ah o m o m o r p h i s m 夕：r g r g ( w h e r eri sac o m m u t a t i v er i n go fh a v i n gi d e n t i t y ) i ss t u d i e da n dac o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nt h ec l a s ss u m si ng r o u pa l g e b r ar ga n dt h a t i ng r o u pa l g e b r ar gi sg i v e n a tt h es a m et i m e ，c e n t r a lg r o u pa l g e b r az ( k g ) o v e rc h a r a c t e r i s t i cz e r of i l e dkt o z ( k g ) b eak - a l g e b r ah o m o m o r p h i s mi sp r o v e n f i n a l l y , c e n t r a lg r o u pa l g e b r ai s g e n e r a li z e da n dan a t u r eh o m o m o r p h i s m 厂：g 啼召= g ni n d u c i n gk a l g e b r a h o m o m o r p h i s mo f ( h ) t o ( ) i sp r o v e nb yc o m p l e xc a l c u l a t i n gc o n j u g a c y c l a s s e s ( w h e r eki sac h a r a c t e r i s t i cz e r o ) k e yw o r d s ：g r o u pa l g e b r a s ；c e n t r a lg r o u pa l g e b r a s ；c o n j u g a c yc l a s s e s ；c l a s ss u m s 哪2川5 i孙-舢4m 3m 7 iiii删y 目录 弓i 言l 第l 章基本概念和基本结果4 1 1 基本概念4 1 2 基本结果6 第2 章f 一中心群代数同构之间的一些结果8 第3 章有限群环与它的因子群环之间的类和对应一l l 3 1 基本概念与相关结果l l 3 2 主要结果及证明1 3 第4 章中心化子群代数的结果”1 6 4 1 基本定义与记号1 6 4 2 主要结果及证明1 7 参考文献2 l 攻读学位期间的研究成果2 3 致谢2 4 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声2 5 引言 引言 群论是从e g a l o i s 研究高次方程的根的置换开始的直到1 9 世纪末2 0 世纪初， 由f gf r o b e n i u s 和w b u r s i d e 独自开创了线性群( 或等价的矩阵群) 来描述群的理 论( 即群表示论) ，群论才可以说形成了一个完整的系统的理论体系 我们知道群上的表示理论就是群代数的表示理论设g 是一个有限群，r 是一个 含幺交换环，我们用r g 表示g 在r 上的群代数由于环r 的性质不同会直接导致群 代数r g 的不同性质，进而影响到群代数r g 上的表示这样就有了常表示和模表示 之分而常表示和模表示通常又放到p 一模系( k ，尺，f ) 上来进行研究关于p 一模系 的概念详见第一章 在本文中我们主要研究中心群代数的一些相关性质所谓r g 的中心群代数是 指r g 的中心，即z ( r g ) = z r g i 及= 愆， v x er g 注意到群的中心在研究群这个代数系统中起着重要的作用例如：群的中心被循 环群的扩张是交换群群的中心被幂零群的扩张是幂零群同样，在群表示论中，中心群 代数在群代数的深入研究中也扮演着重要的角色 在文献 2 中，h n a g a o 在p 一模系( 足，r ，) 中多次提到中心群代数的应用如定 义中心群代数z ( 船) 的表示q ：z ( k g ) - - ) k ( zh 吼o ) ) ( 其中z - - - - q ( z k ) 易 知吃是一维表示且q ( 互) 爿g i z ( 葺) ic g ( t ) i z ( 1 ) ( 其中薯c j ) 这样就诱导了 中心群代数z ( 尺g ) 的线性表示q ：z ( 尺g ) j 尺( 互h 吐( 互) r ) 而模( 万) 后，q 就 变成z ( 粥) 的线性f 一表示：z ( 粥) jf ( c j ah ( - 0 x ( 互) ) 在文献 2 中有相当一 部分结果都说明了表示彩，和蠢在研究群代数块的过程中起到了重要作用 关于群代数及中心群代数，历史上有许多不同的研究方式如： 1 9 8 6 年，i m i s a a c s 在p 一模系( k ，r ，) 中，就域k 上的群代数之间的同构情况 进行了研究( 详见文献 3 ) 证明了若k g 兰k h ( h 是另外一个有限群) 且对于某 个素数p ，g 有正规p 一补，则h 也有正规p 一补进一步，若m ，分别是g 和的 青岛大学硕士学位论文 z - h a l l ：= 子群，则k m 兰k n ，k ( g m ) 兰k ( 6 n ) ( 其中m ，分别是m 和的导 群) 在此基础上，1 9 9 0 年，gn a v a r r o 在文献 4 中，考虑了p 一模系( k ，尺，f ) 中域， 上的情况证明了若f g 兰用且对于某个g ，g 是g 一幂零群，则h 也是g 一幂零群 实际上，文献 3 和文献 4 我们可以设在同一个p 一模系中去研究，只要设r g 兰r h 即可 1 9 8 8 年，r s a n d l i n g 在文献 5 中对有限群的整群环决定群共轭类( 与中心群代 数的基有关) 的数目这一事实给出了一种新的证明方法 2 0 0 1 年，qr r o b i n s o n 在文献 6 中，证明了怎样产生p 一模系( k ，尺，f ) 中域k 上的中心群代数z ( k g ) 的全部幂等元，还给出了在更一般环中提升幂等元的方法 2 0 0 8 年，m h e r t w e e k 在文献 7 中，通过对同构的中心群代数的研究得到了：对 于两个有限幂零群g 和h ，它们的整群环z g 和z h 的中心同构当且仅当g 和日有 相同的特征标表并且还证明了：若矽：z ( k g ) 寸z ( k h ) 是一个k 一代数同构，则缈映 z ( k g ) 中的本原幂等元到z ( k h ) 中的本原幂等元注意到z ( k g ) 中有一组k 一基是 中心本原幂等元，而类和也是中心群代数z ( k g ) 的一组k 一基一般地，9 不能将一 个共轭类的类和映到另一个共轭类的类和，但g 和h 的共轭类数是相同的进一步 还证明了：矽能将g 的线性特征标映到日的线性特征标 受文献 7 的启发，如果我们在p 一模系( k ，尺，f ) 中去考虑中心群代数，即设g 和是两个有限群，( k ，尺，) 是一个p 一模系，令伊：z ( r g ) 专z ( r h ) 是一个r 一代数 同构，则将缈系数扩张得到z ( k g ) _ z ( k h ) 的一个k 一代数同构，记为痧由自然满 同态：r g _ f g 诱导了z ( r g ) 啼z ( f g ) 的一个满同态，容易证明矽也诱导了 z ( f g ) 寸z ( f h ) 的一个同构映射，记为p 。在本文第二章中我们证明了对于尺一代 数同构妒所诱导的f 一代数同构缈有如下结果：群代数f g 与群代数用的不可约模 特征标，块幂等元，不可约b r a u e r 特征标之间存在一一对应，并且还证明了g 与的 引言 p 一正则元共轭类数相同 设c , - - g n ，r 是含幺交换环则自然满同态y ：g 一召= 6 n 经过系数线性扩 张到尺上，得到代数满同态夕：r g r c , 那么在这个代数满同态下，是否能够诱导 出中心群代数z ( r g ) 到中心群代数z ( r 西的r 一代数满同态? 在本文的第三章我们 证明了z ( r g ) 中的类和与z ( r 面中的类和之间的一个对应关系，并得到了有限群g 的共轭类与的陪集之间的一个关系进一步证明了中心群代数z ( k g ) 到z ( k c ) 是 k 一代数满同态( 其中k 是一个特征零的域) 在本文的第三章中，我们将中心群代数推广到中心化子群代数，通过更复杂的共 轭类计算，证明了自然满同态y ：gj 召= 6 n 也能诱导出c x g ( h ) 到( 厅) 之间的 一个足一代数满同态，其中k 是特征零的域，h g 注意到在群中c o ( 日) 到( 厅) 一般是不满的 青岛大学硕士学位论文 第1 章基本概念和基本结果 1 1 基本概念 我们把本文中涉及到的基本概念叙述如下： 定义1 1 1 设r 是一个环，r 的所有极大右( 左) 理想的交称为j a c o b s o n 根 记为j ( 尺) 定义1 1 2 设r 是一个环，若o e r r e 2 = p ，则称e 是尺的幂等元若e l ，e 2 是环r 中两个幂等元，r e i e 2 = e 2 e l = 0 ，则称幂等元巳，e 2 正交若环r 中幂等元p 不 能表成两个正交幂等元的和，则称e 是本原幂等元若环r 中幂等元e 是本原的且 e z ( r ) ( 环r 的中心) ，则称e 是中心本原幂等元 定义1 1 3 设g 是有限群，若x g 的阶是素数p 的幂，则称x 是g 的p 一元素 或p 一奇异元若x g 的阶与素数p 互素，则称工是p 一元素或p 一正则元 定义1 1 4 设g 是一个有限群，r 是一个含幺交换环。令 r g = g l r ) 、j 5 一i5 。 g c g 并且定义尺g 中的加法为 za g g + 展g = ( 吃+ 展) g ( 其中，乓r ) g c g譬e 6g e 6 定义r g 中的乘法为 ( 吃蜀) ( p 9 2 9 2 ) = 以g ( 其中以= 气cr ) g i e - g 9 2 e gg c - gg 1 9 2 = g 定义r g 中的纯量乘法为 r ( z g ) = r c t 譬g ( 其中，r ) g e g g e g 这样容易验证r g 成为一个r 一代数，通常称为g 在r 上的群代数 定义1 1 5 群代数r g 迹映射占：尺g 一尺( 咋g h 占( g ) = q ) g c gg e g 定义1 1 6 设尺是一个完备的离散赋值环，k 是r 的特征为零的商域，假设剩 余类域为f = r ( x ) 且c h a f f = p ( 其中( 万) 是尺的唯一的极大理想) 在这个条件下， 4 第l 章基本概念和基本结果 三元组( k ，r ，f ) 称为p 一模系我们确定k 的一个赋值1 ，使得v ( p ) = l ，并有自然同态 ：r j f = r c j r ) h 口) 设有理数域q 在k 上的代数闭包为k o ，不失一般性，设 k c ，则k 是代数数域对口，历表示口的复共轭设g 是一个固定的有限群， 假设p 一模系( k ，r ，f ) 满足：k 包含所有i g l 次单位根则k ，f 是g 的分裂域 f 面我们给出关于群代数块的基本概念和记号 在群代数r g 中，l z ( r g ) 有中心本原幂等元分解： l = q + e j + + q ( 其中 岛ll f f ) = p f ( z f r g ) ) ) 把上述等式模( 万) ，则有l f g 的中心本原幂等元分解： l = 西+ 艺+ + 方( 其中t e ；il f r = p i ( z ( f g ) ) ) 因此r g 作为( r g ，r g ) 一双模有不可分解的分解： r g = eo 岛o o e ( 其中忍= e ，r g = r g e j ( 1 f f ) ) 所以得到f g 作为( f g ，f g ) 一双模的不可分解的分解： f g = 辟。毯o o 耳( 其中g = e ；f g = m e ( 1 f f ) ) 我们称e ( 1 f f ) 是g 的块，用b t ( g ) 表示g 的所有块的集合哆称为e 的块幂 等元，也表示为气i r r ( b ) 表示曰的所有常不可约特征标的集合，i b r ( b ) 表示b 的所 有不可约b r a u e r 特征标的集合这样易知i r r ( g ) 和i b r ( g ) 分别是i r r ( b ) 和i b r ( b ) 的 不交并即加( g ) = ui r r ( b ) ，i b r ( g ) = um r ( b ) 青岛大学硕士学位论文 1 2 基本结果 我们把本文中需要的基本结果叙述如下： 引理1 2 1 幻设r 是一个环，则，( r ) 中不含幂等元p 引理1 2 2 嘲设彳是域k 上的有限维代数，则有以下关系成立 j ( z ( 彳) ) = j ( 彳) n z ( 彳) 引理1 2 3 圆设尺是一环，且尺= 墨。是o o 兄，则有以下等式 ( 1 ) z ( r ) = z ( 墨) 0 z ( 心) o o z ( 疋) ( 2 ) j ( r ) = ，( 墨) o j ( r ) o o j ( r ) 引理1 2 4 嘲设r 是群g 的模表示，卿，新分别是群g 的模表示t 所确定的 b r a u e r 特征标和模特征标若对任意的x g ，定义西( 工) = 卿( ) ( 其中是x 的 p 部分) ，则西= 矫 注记1 2 1 若上述引理中群g 的模表示r 是不可约模表示，并且假设 i b r ( g ) = 因为a = g 。+ + & + 岛，所以夕( a ) = 瓦+ + 磊+ + 磊另一 方面，因为 巨，厩，历) 是z ( r 西的一组尺一基，并且由定理3 2 1 我们知道 夕( a ) z ( 尺召) ，故我们可设尹( a ) = 七l 巨+ + 肼西+ + 向历，其中鼻，m ，七，r 从而 夕( a ) = 蚕+ + 蚕+ + 磊= 毛巨+ + 朋6 + + 向西 将上式视为r o 中的等式，因为召中的所有元构成了r o 的r 一基，所以由线性无关性 可得除坍外，其它系数毛，七，全为零于是上式即为 夕( a ) = 蟊+ + 或+ + 磊= m s 因为 d l a ，d 2 a ，历 是z ( r 召) 的一组基，所以朋和6 是唯一的至于定理3 2 2 的第二 部分，根据引理3 2 1 和上面的证明是显然的证毕 定理3 2 3 记号同上，若c h a r r = 0 ，则ld ci 证明我们不妨设啊爿c f 3 g ，i ( ，= l ，s ) ，则有 蟊+ 丕+ + 磊+ + 磊= 啊l 凡蚕+ n 2 1 凡磊+ + 氓l 凡最 ( 1 ) 再注意到5 = 蚕+ + 蚕，从而( 1 ) 式变为 夕( a ) = _ l r 蚕+ n 2 1 凡磊+ + 、i 批重= ，嘁+ + ，厦= m 5 ( 2 ) i i 第3 章有限群环与它的园r 群环之间的类和对应 将( 2 ) 式视为r 召中的等式，再根据线性无关性得册= _ l r = n 2 1 尺一* oo = 吃l 詹r 又c h a r r = 0 ，所以 啊2n 22 2 吃 而ic | = 强+ + 吃= 明，id l = j ，所以ldi | lc1 证毕 注记3 2 1 在定理3 2 2 中若c h a r r = 0 ，则根据定理3 2 3 ，我们有如下关系： 夕( m 赫两( 其中c c i ( g ) ) 作为定理3 2 3 的应用，我们有以下结果，这个结果揭示了有限群的共轭类与正 规子群的陪集之间的一个关系 推论3 2 1 设尺，g ，c ，厂同上，则对于任意满足n g f l c a 的陪集g ，有 i g f l c i - - - t c i i r ( c ) 1 定理3 2 4 若k 是一个特征零的域，则夕：z ( 解) - - z ( k g ) 是k 一代数满同态 证明在定理3 2 1 和定理3 2 2 中将系数环尺换为特征零的域k 相应的结论仍 然成立，特别地注意到 五，厩，巨) 是z ( 丽) 的基，则对于所。，m ：，啊k ，我们知 道 聊。磊，厩，啊历) 仍是z ( 面) 的基( 这是因为a 脯= 0 ) ，从而定理3 2 2 说明夕将z ( k g ) 的基映成z ( x o ) 的基，故夕：z ( 脚) 专z ( 府) 是x 一代数满同态证 毕 青岛大学硕士学位论文 第4 章中心化子群代数的结果 在这一章，我们将中心群代数推广到中心化子群代数，通过更复杂的共轭类计算， 证明了自然满同态厂：g j 6 = 6 n 也能诱导出气( ) 到( 疗) 之间的一个k 一代 数满同态，其中k 是特征零的域，h g 4 1 基本定义与记号 设尺是含幺交换环，g 是有限群，日是g 的子群，r g 是尺上的群代数如果 是有限群g 的一个正规子群，那么g 和h 的商群分别记为召= g 和厅= j 叼v n 定义4 1 1 群环r g 中与子群h 的所有元素可交换的元素的集合称为h 在r g 上的中心化子记为c i i 6 ( ) 即j ( ) = 口r g ia h = h a ，v h e 日) 考虑日在g 上的共轭作用，对任意的g g ，我们称轨道g 是包含g 的一共 轭类 ( g ) 表示g 中所有一共轭类的集合显然g = ug 一“l l l t t n g = x = 9 6 表示g 的日一共轭类和 j e g “ e 片 我们类似地定义商群及商群环上的相应符号 ( 疗) = f 尺召i 办= h f f , v h e 疗) 表示疗在r 百上的中心化子 虿厅表示召的包含蚕的疗一共轭类 ( 弓) 表示召中所有疗一共轭类的集合 蚕疗= i = 矿表示6 的疗一共轭类和 1 6 第4 章中心化f 群代数的结果 4 2 主要结果及证明 定理4 2 i g 片ig ( g ) ) 构成了c 朐( 日) 的一组尺一基类似地， 虿疗l 季厅e c i n ( 召) ) 构成了( 疗) 的一组r 一基 证明首先任取g g ig c 如( g ) ) ，则对于任意的x h ，有等式 g h x = ( 9 6 h = x ( 9 6 ) 。= x ( g h ) = x ( g ) = x g 所以g e c 尬( 日) 再者假设关于，r 的线性组合og = o 因为g = 。u g h ，而g 矿e t i n ( ( j ) 矿“，( g ) 中所有元素构成r g 的一组r 一基所以对所有的g e ( g ) 有o = 0 因此 g lg ( g ) ) 在尺上线性无关 最后任取口= 名g ( ) ，则对所有的办，有口厅= h a ，即 ( 名g ) j i = 厅( 名g ) ， 所以9 6 = 名g 因此我们得到= 名所以口= 名g = 乓( g 月) ，即 g c - g譬“jg e ( og s lc 4 1 ，( 6 口( 日) 可用 孑lg ( g ) ) 线性表出证毕 下面证明自然满同态y ：g 寸0 = g j v ( g h 季) 诱导的两个引理 引理4 2 1 自然满同态厂：g 专召= g ( g 卜季) 诱导了( g ) 到c ，疗( 召) 的一 个满射c 0 ( g ) 一c b ( 召) ( g h 蚕厅) 证明因y ( g ) = 岳厅c ( 6 ) 证毕 注记4 2 1 由引理4 2 i 可知c i 疗( 召) 可表成 y ( g ) lg ec h ( g ) 因此 灭孬lg c i n ( g ) ：是c x 疗( 疗) 的一组r 一基 引理4 2 2 自然满同态厂：gj 否= g n ( gh 虿) 诱导了巳。；( 日) 到g 疗( 疗) 的 1 7 青岛大学硕士学位论文 代数同态 证明自然满同态y ：g 专弓= g n ( g h 勘经过系数扩张得到r 一代数满同态 ：r g - r g ( 名g h 名誊) 只需证尹( c k ( h ) ) ( 霄) g e 4 1 露“j 任取名g ( 日) ，则对任意的x 日有( 名g 弦= x ( 名g ) 所以 g e ( g c gg c - g 夕( ( 名g ) 工) = 夕( x ( ，g g ) ) 量e “g c g 即 夕( 名g ) 夕( x ) = 夕( x ) 尹( 名g ) g c - u g c - g 因此夕( 名g 弦= 影( 名g ) 故尹( 名g ) c 未( 疗) 所以y ( c m ( h ) ) c _ c r c ( h ) 证 g e c d g 百ig 圣【； 毕 由注记4 2 1 知道 厂( g ) lg ( g ) ) 构成了( 疗) 的一组尺一基下面我们 将要讨论c 舳( h ) 的一组尺一基 g lg c ，( g ) ) 与g o ( f i ) 的一组尺一基 7 ( g ) lg ( g ) ) 之间的关系 定理4 2 2 记号同上，设r 是含幺交换环且c h a r r = 0 ，则对任意的 ( g 脯尹( 孑) = 揣硒 证明不妨设g = 像 ，g 屯，g ，g 气”，g r ( g ) = y ( g ) ，r ( g 如) ，y ( g 吃) ) 则g = g ，y ( g ) = ，( 矿) 注意到页孬 孑i 妒c i o ( c ) = 灭而l ，c ( g ) ) 因此我们- t 设 y o ) i c 疗( g ) ) = y ( g ) ，y ( x j 7 ) ，7 ( ) 根据引理4 2 2 我们可以知道 尹( g ) c 腑( 疗) 因此在环尺中存在厂，i 使得 1 8 第4 章中心化+ r 群代数的结果 y ( g ) = r y ( g ) + 7 ( 掣) + + 厂( ) ( 1 ) 又因为厂( g ) = y ( g ) ，r ( g 如) ，r ( g ) ，所以有g u g ( 其中n g l 是在g 中的陪集) 设吩刊g n g i ( 其中j f = l ，2 ，s ) 则 因为 y ( g ) = 夕( g ) = 夕( 矿) = 一夕( 矿) = 吩厂( 矿) i l l= l j f f i lj = l 灭药：窆y ( g ) 和灭雨：7 ( ) ( 其中七：i ，2 ，) i = l h e l l 这样( 1 ) 式变为 ，t 夕n j y ( g 一) = ，r ( g 一) + 厂( ) i f f i lj t i t t lh e h 再者 7 ( 9 6 ，) ij = l ，2 ，s u r t x d lh eh ，七= l ，2 ，f ) 构成尺召的一组r 一基这样由 ( 2 ) 式得到， = r 2 = = ，：= 0 和，= 惕l r = n 2 1 露= = n , 1 月 c h a r r = 0 ，故_ = n 2 = = 吃不妨令所= 吩( f = i ，2 ，s ) 因此 g i = t g n ( u n g 一) l = l u ( g r i n g ) l = _ = m s = m l y ( g ) l j f li = 11 = 1 所以朋2 丽ig l 故- 凡2 丽i g l - r 又吒。吒一2 2 。由( - ) 式知道 夕( 孑一硒= ( 揣莉= 踽莉 证毕 从定理4 2 2 的证明过程中我们可以很容易得到下面推论 推论4 2 2 记号同上，则以下成立： ( 1 ) 对任意g g ，i r ( g ) g i ( 2 ) 对在g 中仟意陪集舭，若m n g f 2 j ，则舭n g l = 专g 岳 青岛大学硕士学位论文 定理4 2 3 若k 是特征零的域，则自然满同态厂诱导了( h ) 到( 疗) 的代 数满同态 证明 由定理4 2 2 知蝴孑) = 耥硒由注记4 2 1 知道 厂( g ) lg 吼( g ) ) 构成了( 厅) 的一组k 一基又c h a r k = 0 ，所以 锨孑) = 揣硒i g he ( g ) ) 也构成( 疗) 的一组k - 基事实上，定理 4 2 1 又告诉我们 g lg ( g ) ) 构成了( h ) 的一组k 一基这样可以知道厂 诱导了( ) 到( 疗) 的代数满同态证毕 2 0 参考文献 参考文献 【l 】h k u r z w e i la n db s t e l i m a c h e r t h et h e o r yo f f i n i t eg r o u p s m n e w y o r k ：s p r i n g e r , 2 0 0 4 【2 】h n a g a oa n dyt s u s h i m a r e p r e s e n t a t i o n so f r m i t eg r o u p s m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，19 9 2 【3 】i m i s a a c s r e c o v e r i n gi n f o r m a t i o na b o u tag r o u pf r o mi t sc o m p l e xg r o u pa l g e b r a j a r c h m a t l l ， 19 8 6 ，4 7 ：2 9 3 - 2 9 5 【4 】qn a v a r r o t w og r o u p sw i t hi s o m o r p h i cg r o u pa l g e b r a s j a r c h m a t h ，1 9 9 0 ，5 5 ：3 5 3 7 【5 】r s a n d l i n g ap r o o fo ft h ec l a s ss u mc o r r e s p o n d e n c eu s i n gt h er e a lg r o u pa l g e b r a , r i n gt h e o r y ( g r - a n a d a ，19 8 6 ) ，l e c t u r en o t e si nm a t h 【c 】b e r l i n ：s p r i n g e r , 19 8 8 【6 】gr r o b i n s o n l i f t i n gt on o n i n t e g r a li d e m p o t e n t s j j p u r e a p p l a l g e b r a , 2 0 0 1 ，1 6 2 ( 2 3 ) ：3 5 9 - 3 6 6 f 7 】m h e r t w e c k o ni s o m o r p h i s m sb e t w e e nc e n t e r so fi n t e g r a lg r o u pr i n g so f f i n i t eg r o u p s j p r o ca m e t m a t h s o c ，2 0 0 8 ，13 6 ：15 3 9 15 4 7 【8 】i m i s a a c s c h a r a c t e rt h e o r yo ff i n i t eg r o u p s m a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，19 7 6 【9 】d s p a s s m a n i s o m o r p h i cg r o u p sa n dg r o u pr i n g s j p a c i f i cj m a t h ，19 6 5 ，15 ：5 61 - 5 8 3 【l o 】d s p a s s m a n t h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo f g r o u pr i n g s j p u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，w i l yi n t e r s c i e n c e ，n e wy 0 戊，19 7 7 【ll 】m h e r t w e c k a u t o m o r p h i s m so f p r i n c i p a lb l o c k ss t a b i l i z i n gs y l o ws u b g r o u p s p a r c h m a t h 2 0 0 4 ，8 2 ( 3 ) ：1 9 3 - 1 9 9 【12 】y u a n l i nl i ，m m p a r