（基础数学专业论文）hausdorff测度和维数与所在空间度量的依赖性.pdf

摘要 讨论在r 口中具有嵌套结构的几何对象上构造新度量的问题主要结果是： k 是r ，中具有嵌套结构的几何对象，那么对于任何一个连续的纲函数 ( 亡) ，可以构 造一个在k 上的度量，在这个新的度量空间( k ，力中，0 乡砂( k ) + o o 如果纲 函数取危( 亡) = 扩，那么对于任意0 8 + o o ，同样可以构造一个在k 上的度量，在这 个新的度量空间( k ，尸) 中，况9 8 ( ) = 1 并且有d i m p k = d i m b k = d i i l l 日k = s 成 立设k 为一满足强分离条件的自相似集，则对任意0 s 。o 可以构造度量p 使得k 在( ，p ) 中仍为自相似集并且0 7 l f 。( k ) o o 关键词h a u s d o m 测度，h a u s d o m 维数，度量，自相似集，嵌套结构 a bs t r a c t r h i sp a p e rd i s c u s s e dt h ec o n s 仃u c t i o no fm e t r i cs p a c e0 nt h en e s t c dg e o m e 仃i c a l0 b j e c t g i v c nan e s t e dg e o m e t r i c a lo b j e c tk i nf p 锄dac o n t i n u o u sg a u g em n c t i o n 九( t ) ， a n e wm e t r i cp w a sc o n s 仃i j c t e do nks u c ht h a t0 洗她( k ) + 。i nn l en e wm e t f i c s p a c e ( k ，p ) p a r t i c u l a r l y i f l eg a u g e 劬c t i o ni s ( t ) = 护，t h e nf o ra n yp o s i t i v ef i n i t e 姗m b e rs ，i t sa l s op o s s i b l et oc o n s t m c tan e wm e t r i cpo nk s u c hm a t 翻p ( k ) = l 粕dd i l np k = d 证lb k = d i l l l 日k = s 1 fki sas e l f s i m i l a rs e tw h i c hs a t i 娟e ss t l 0 n g s e p a m t e dc o n d i t i o n ，t h e nf o r 卸yp o s i t i v e6 n i t en u m b e rs ，w ec 锄c o n s “u c ta n e wm e t r i c p o nk ，s u c h t h a tki sa l s o as e l f s i m i l 盯s e t a n d0 篪弛( k ) + 。o 、 k e yw o r d s ：h a u s d o mm e a s e ； h a u s d o r f fd i i l l e n s i o n ； m e t r i c ； s e l fs i m i l a r s e t ； n e s t e dg e o m e t r i c a lo b j e c t 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：l 邀 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 一蔻鳓a 菇善趣 学位论文作者签名：隧导师签名：翌 日期： 2 口。驴2 日期： 2 。口甚厶，乙 引言 分形( 丘犹t a l ) 这个名词是m 雏d e l b o n 在2 0 世纪7 0 年代为了表征复杂图形和复 杂过程首先将拉丁文f r a c t i l s 转化后引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、 支离破碎的物体一般英文辞典中有一个相近的词触c t i o n ，其意义是碎片或分数 在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的，不光滑的 集合，如1 8 7 2 年w e i e r s t r a s s 提出了一种处处连续，处处不可微的w e i e r s 仃a s s 型函 数；1 8 8 3 年c 被t o r 提出了c 锄t o r 集；1 8 9 0 年p e 柚。构造了一个能填充平面的p e 锄。 曲线；1 9 0 4 年k b c h 提出了i 乙d c h 曲线；1 9 1 5 年s i e 巾i n s k i 提出了s i e 印i n s k i 垫片和 海绵等这些都属于规则分形图形，它们是数学家按一定规则构造出来的、具有严 格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集 1 9 1 3 年p e r r i n 对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入研究，明确提出布朗运动 轨迹不具有导数自然界的许多事物，如连绵起伏的山峦轮廓线；四通八达的江海 河川；蜿蜒曲折的海岸线等等也具有不光滑和不规则性它们和几何学中的规则图 形不同，这主要表现在对它们测量时，其被测量值( 如长度、面积、体积等) 的大小 一般随测量尺寸的变化而变化，在一定范围内两者闻存在幂函数关系为了测量这 些集合，1 9 1 5 年豪斯多夫( h a u s d o r 田引入豪斯多夫维数的概念，这类统计自相似 图形和曲线的豪斯多夫维数一般都不是整数，而是一个分数值2 0 世纪2 0 年代到 7 0 年代维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数( 如计盒维数， 填充维数等) 使分形理论初见雏形但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没 有在其他学科中得到应用 m 锄d e l b o r t 锐意创新，经过多年的冥思苦索、博览群典的艰辛努力于1 9 7 5 年发表 了他的划时代专著“分形：形状、机遇和维数”( f r a c t a l ：f o m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) 在此专著中，第一次系统阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法此专著的发 表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，1 9 8 2 年他又出版了自然界的 分形几何( t 1 1 ef r a c t a lg e o m e 仃yo f n a t l 鹏) 一书，这两本书把分形理论推进了一个 华东师范大学硕士论文h a u s d o r f r 测度和维数与所在空间度量的依赖性 迅猛发展的阶段在这一阶段中分形理论逐渐得到科学界的广泛重视，同时在物理 学、化学、生物学、地学、材料学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛领域得 到应用 1 9 8 1 年，h u t c h i s o n 于文【l 】把用。相似”递归步骤产生的自相似集的方法一般 化，并给出了开集条件( o p s c tc o n d i t i o n ) 的定义满足开集条件的自相似分形的 h a u s d o m 维数、计盒维数、填充维数均与自相似维数相等b a n s l e ) r 和d e m k o 于1 9 8 5 年在文 2 】引人了产生和分类分形集的统一方式：迭代函数系统( i t e r a t e d f u n c t i o n s s y s t e i n ) 许多经典的分形可以利用礤s 产生，如c 锄t o r 三分集，s i e 印i n s k i 垫片 等关于礤s 数学理论及应用方面的专著以b 蛆s l e y 文 3 】为代表f a l c o n e r 在文【4 】 的定理4 中蕴含了很好的结论，对于一个一般的自相似分形( 不必满足开集条件) 它 的h 硼s d o m 维数、计盒维数填充维数均相等这不仅使得对于一些分形集的维数 计算变得容易，而且给讨论分形的测度带来很大的方便 分形在一般度量空间中的结论引起了越来越多的关注；文【5 】中对完备度量空 间中自相似集的结论进行了非常有趣的讨论文【6 】中提出了存在性定理，指出： 对任意给定的纲函数九 1 6 0 ，存在一个紧的度量空间( q ，p ) ( q 【0 ，1 】) ，使得o 矿( q ) 。需要强调指出的是这里的度量j d 已不是通常的欧氏度量，其构造与纲 函数九0 ) 及空间q 相关 本文将考虑一个与之相关的问题；设k r 口为一给定的集合，对任意纲函 数，能否在k 上构造一个度量_ | d 使得k 在这个纲函数下的豪斯道夫测度是一个正 有限数? 当k 为具有嵌套结构的几何对象时，我们给出了肯定的回答进一步地， ( k ，p ) ( 这里将p 标出是为了强调所使用的度量为p ) 的豪斯道夫、填充及盒维数 均被相应地确定事实上，度量p 可以被适当地选取使得k 的几何特征仍被保持， 例如，设k 为三分c o m 凹集( k 为一自相似集) ，则对任意0 s 。可以构造度 量p 使得k 在( k ，j d ) 中仍为自相似集并且0 o 时， ( 亡) o ，且九( o ) = o 用7 l f o 表示全体纲函数的集合 定义1 1 1 2 在度量空间q 中，九h o 令 郴，= 刚髫篓 其中g 是开集，那么 是定义在开集族箩上的预测度，通过方法2 用 构造的 测度称为豪斯道夫测度可以简记为澎 它的表达式为 4 华东师范大学硕士论文 h a u s d o r 盯测度和维数与所在空间度量的依赖性 澎h ( f ) = ! i 哩力( f ) ( 1 1 ) o u 其中 冗；c f ，= t 时 砉 c d c 阢，：亘阢f ，d c 阢，文阢够) ， 冗( f ) = i n f ( d ( 阢) ) ：u 阢f d ( 阢) 6 ，阢够 ， lt = 1 = lj 举个简单的例子：当 ( t ) = l 时，乡秒就是我们常见的计数测度 容易看出，如果纲函数取危( 舌) = 扩，则澎 ( f ) 即为8 - 维h 卸s o m 测度并记 为咒8 ( f ) ，相应的h a u s d o r f f 维数定义为： d i m 日f = i n f s ：咒8 ( f ) = o ) = s u p s ：咒8 ( f ) = ) 同样地，对一般度量空间中的集合可以与j 护中类似地定义盒维数、填充测度与填 充维数为阅读方便起见，我们将在文中适当的地方给出它们的定义 定理1 1 6 【6 ，鼬8 0 r 咖2 2 7 】豪斯道夫测度是正则的 定理1 1 7 【6 ，t e o r 唧2 2 8 | 令 h o 且e 是空问q 中的一个集合，对于每个6 0 ， j p ( e ) = i n f g 。秽，d ( g 。) s 6 ，u g t e 九( g t ) ， 2 碚( e ) = i i l f r 莎，d ( 晟) s 最u r e ( 尼) ， 3 砖( e ) = i n f d ( g ；) d ，us 2 e 九( & ) ， 彳堙( e ) = i n f d ( g 。) s 6 ，us ；：e 九( s ：) ， 其中够表示全体开集，莎表示全体闭集，砖，诒定义中& 表示任意集合那 么，对于任意e 及 6 ，我们有 p ：( e ) 以( e ) = 砖( e ) = 骨( e ) p ( e ) 从而 p ( e ) = 8 u p 肛( e ) = s u p 结( e ) = s u p 砖( e ) = s u p 砖( e ) 6 od do u o u 定理7 说明了在豪斯道夫测度定义式中，覆盖的集族既可以是开集全体，也可 以是闭集全体，还可以是任意集合，这给计算测度和证明些结论带来了方便 5 华东师范大学硕士论文h a u s d o r f f 测度和维数与所在空间度量的依赖性 1 2酽中自相似集的定义及性质 设& ，岛，是有限多个肝_ 舻的自相似压缩映射，r 1 ，亿，7 - 分 别为& ，岛，鼬的自相似压缩系数，记 妒= 舻：& ，岛，) 我们称妒= 舻：岛，岛，鼬) 为一个自相似压缩系统记最。珏一t p = & 。o 最。o o ，其中1 幻，j = 1 ，2 ，p ，则& 。i 。一向是舻一舻的自相似压缩 映射，用n 。珏知表示其压缩系数，有n 。t 2 _ p = n ；：1 对于z 舻，ac 舻，点 z 与集合a 之间的距离d ( z ，a ) 定义为： d ( z ，a ) = i n f d ( z ，) ：y a 给定e o ，ac 舻，a 的一邻域( a 的e 平行体) a 定义为； 如= z ：d ( z ，a ) ) 显然aca 设够( 尼) 表示舻中的非空紧子集全体，在够( 尼) 上定义h a u s d o r 仃 度量妇如下： d j j f ( e ，f ) = m a x 8 u p d ，f ) ，s u p d ，e ) ) ，e ，f 够( 彤) 茁ez t 它的一个等价定义为 d 日( e ，f ) = i n f 6 o ：易) f 扇) e ) ，e ，f 够( 肜) 容易证明d 日是够( 舻) 上的一个度量且( 够( r n ) ，d h ) 是完备度量空间对于 h a u s d o r f f 度量d 日有如下性质： 设厂为舻一形上自相似压缩系数为r 的自相似压缩映射，则 ( i ) ：妇( ，( e ) ，( f ) ) = r 妇( e ，f ) ，e ，fc 够( 舻) ( i i ) ：设( 鼠) 。l ， r h lc 够( 舻) ，则 妇( u 鼠，ur ) s u p 妇( 玩，r ) ) 扎2 ln 1 6 华东师范大学硕士论文 h a u s d o r 玎测度和维数与所在空间度量的依赖性 设妒= 钟；研，& ) 是舻_ 舻的自相似压缩系统，压缩系数为r l ，您， r 对任意ec 舻，记矿( e ) = e ，妒( e ) = u 墨ls ( e ) ，( e ) = 最则妒( e ) = u 墨1 最，对p 1 ，记伊( e ) = 纠矿- 1 ( e ) 】，最，2 南= & 。小i ，( e ) 则 n n 矿( e ) =u& 。小知( e ) =u蜀。小p 且l 噩，访4 p l = n l 锄i e i 故当e 为非空紧集时，有熙i 晟- 咖却l = o 定义1 2 1 设妒= 舻：s l ，) 是舻_ 舻的自相似压缩系统，若存在 舻中的子集k ，使得妒( k ) = k ，则称k 是由妒决定的不变集 定理1 2 1 1 8 ，t l i l e o r e m5 1 】设e 是舻中的非空紧子集，妒= r r i ：& ，岛，鼬) 是 e e 的自相似压缩系统，其压缩系数为r 1 ，r 2 ，r 则存在唯一的非空紧子 集kce ，使得妒( k ) = k ，即k 是妒唯一的不变集 定理1 2 2 【9 ，t e o r 册9 3 】假设压缩比为r l ，您，r 的彤上的相似压缩变换 & ，t = l ，2 ，) 成立，如果k 是不变集，它满足 k = u & ( k ) t = 1 则d i m 日k = d i m b k = s ，其中s 由 罂1 臂= l 给出，并且对于这个值s ，有0 形8 ( k ) 为一列正整数序列( 若无特殊说明， 我们总假定礼知2 ) ，西= 以) 为一列有限正实数向量序列，其中 妒七= ( l ，吼2 ，c h k ) ，o o ，更l ld i n l 日e = s 。 定理1 3 2 【8 ，鼬。o r e m8 2 】设g o ，则对任意的e m ( z 佗知) ， 妣) ) ， d i m p e = d i mb e = 8 定理1 3 3 【8 ，o r 咖8 3 】假定g = o ，设莫朗集类m = m ( z n 七) ， 机) ) 满足下述 条件： j 8 u p 血 竹七) ：= a o 。j 2o 0 兮d i i n 日k = q ，事 实上，文献 1 0 给出了更好的结果： 定理1 4 3 【1 0 孤8 胛唧2 2 】设k 是由自相似压缩系统妒= 舻；，岛，踟) 所确 定的自相似集，q 为其自相似维数，则以下三条等价； i ) ：9 满疋s o s c 10 华东师范大学硕士论文h a u s d o r f r 测度和维数与所在空间度量的依赖性 ( 动：9 满疋o s c 一矽? 冗a ( k ) o 但是d i m 日k = q 与冗。( k ) o 并不等价 另外，为了降低h a u s d o f 匿测度研究的困难程度，我们还将引入强分离条件如 定义1 4 4 设妒= 舻；研，& ，鼬) 为一个自相似压缩系统，k 是由妒决定的 自相似集，即u & ( k ) = k ，如果最( ) n 岛( k ) = 仍，歹，t ，j = 1 ，2 ，成 t = l 立，则称妒满足强分离条件 在一般度量空间中，类似在舻中同样可以定义开集条件、强开集条件、强分 离条件文献 5 更进一步给出如下结果； 定理1 4 4 【5 ，t 8 d r 8 m4 1 】在完备度量空间( x ，p ) 中，k 是由 ，尼，a ) 决定 的自似集，考虑以下几个命题： j 集合虬，恐，是强分离的； 2 咒口( k ) 0j 3 对每个 0 ，住 0 使得 满足 条件 ( t 竹) = 仇( 1 2 眠) ，佗l ；危( 幻) = 哿，在k 上定义一个二元函数肛 p ( z ，可) ： 。n 忙) z 秒， i o z = 可 此处他( z ，可) 由口矽式给出则j 9 是k 上的一个度量且( k ，j d ) 为紧度量空间 证明：为证p 是k 上的一个度量，只须证明对任意z ，名k 有p ( z ，) j d ( z ，耖) + j d ( z ，z ) 成立，即证明t 竹( 啪) t n ( 刎) + t ”( 邓) - 注意到数列 亡。 严格单调下降趋于o ，故 当n ( z ，y ) n ( z ，掣) 或佗( z ，可) n ( z ，名) 时，上述不等式显然成立下面证明佗( z ，) n ( z ，3 ，) 且n ，拶) 佗( z ，z ) 的情形不会发生不妨假设n ( z ，) o ( 不妨设6 t o ) ，取七使得拓 为k 的一个自然覆盖注意到i 虬i p = 氏，盯七， 所以咒( k ) l 2 帆 ( “) = m ，即得7 l f ( k ) m 其次证明。澎 ( k ) m 对任意k 的有限6 开覆盖t 巩，阢) ，设l 阢l p = 厶t ，l z z 不妨假设m = m a x l t g 啦令 玩= ：n 以0 ，盯。) ，1 冬z 则u 笔lu 地蟛= k ，于是 h ( i i p ) ( 1 虬i p ) = m i = lj o 矾 口e n t 另一方面，九( | 阢l p ) 铂 ( 1 l p ) ，从而得 聊( k ) m 注当纲函数的值域是【o ，m ) 时，在引理2 1 1 中可以令 ( 。) = 罟( l 2 ) _ 1 ，礼1 ； ( t o ) = 景； 当纲函数的值域是 o ，) 时，在引理2 1 1 中可以令 ( 。) = ( 1 2 帆) ， 佗l ； ) = 熹对于以上两种情形，相应的定理2 1 1 仍然成立，而且后者对应 的豪斯道夫测度是1 常见的豪斯道夫测度定义中纲函数是 ( t ) = 亡8 ，由定理2 1 1 不难得出以下结论 定理2 1 2 设k r n 为上面描述的具有嵌套结构的几何对象，那么对于任意0 s + o o ，设p 仍按引理2 j j 所定义供中m = l ，则有澎5 ( k ) = 1 与d i m 日k = s 成立 由于满足强分离条件的自相似集也是具有嵌套结构的几何对象，所以从定理2 1 2 的结论不难得出以下结论： 推论2 1 1 k 是础中满足强分离条件的自相似集，那么对任意0 s 0 证明；令b l ，b 2 ，b ( n f ) 为中心在f ，半径为r 的互不相交的开球如果z 属 于f ，则z 至少与鼠中的一个球的距离小于r ，否则可以把以z 为球心，半径为r 的球加进去，从而组成更多的不交的球这样，( r ，f ) 个与鼠同心，但半径为2 r 的球覆盖f ，所以有2 r ( f ) ( 7 ，f ) 成立 另一方面，设b ：，磁，磁为一列半径；的覆盖f 的开球，由于b i ，磁必 然覆盖鼠的球心，所以每个鼠含有某个b ；，又因为b l ，b 2 ，b ( r f ) 两两不 交，b ；的个数一定不小于鼠的个数，因此有( r ，f ) 蓦( f ) 成立 推论2 2 1 定义2 2 j 中的珥( f ) 可以用( r ，f ) 代替 引理2 2 2 在一般度量空问( x ，p ) 中，f x 是非空紧集，则( 1 i m h fs 蚍f 否示r f 1 6 华东师范大学硕士论文h a u s d o r 仃测度和维数与所在空间度量的依赖性 证明：设s d h h f ，由于l i 脚。o 雄( f ) = 澎8 ( f ) = ，所以当6 充分小，有 嚣( f ) l 成立设f 被魄( f ) 个半径为耋的球覆盖，所以有 要( f ) ( f ) 扩吲。1 = 1 成立，对它取对数有 所以 l o g ( f ) + s l 0 9 6 o 嘧f 器= 垴p d o 一1 n 匹霎一1 n 匹2 所以有d i i l l 日f 尘堕b f 蕊f 引理2 2 3 在一般度量空间( x ，p ) 中，f x 是非空紧集，则d i m p f 蕊f 证明；选定任意和s 使得t s d 曲p f ，则p ( f ) = ，所以瑶( f ) = o 。， 于是对于给定0 6 l ，存在半径最大为6 球心在f 上相互不交的球族鼠使 1s 墨1i 鼠卜设对每一个七，有礼知个这样的球满足：2 山- 1 o ，于是砜f ，所以d i m p f 蕊f 定理2 2 1 设k 舯为上节所描述的具有嵌套结构的几何对象且s u p 肌， ，对任意o s d i m p k ，则p ( k ) = 0 由p ( k ) 的定义式可以知道存在一 列集合只，使得k ue ，且对任意i ，瑶( 只) 取定l ，当6 充分小时 有辟( 只) o o ，不妨设瑶( e ) m ，于是对( 6 ，只) 个球心在r 上，半径为6 的 互不相交的开球b ，有( 6 ，最) l 鼠1 5 m 记最= b ( 以，6 ) ，戤e k ，不妨 设t n 艿t n 一1 ，戤，其中川= n ，于是有 鼠= y ：p ( z i ，可) j ，夕k ) = y ：p ( z ，秒) t n ，k ) = k d 所以有i 最i p = i 坼i p = k = t ”一1 k ：6 胍i ，所以 ( 6 ，只) 扩孵1 ( 6 ，只) i 晟1 5s m 所以 ( 文只) 扩m 帆 又由于s u p 帆 ，所以a i 面b 只s ，由豪斯道夫维数的单调性与可数稳定性及 引理2 2 2 可知； d i m 日k d i m 日u 只= 8 u p d i m 日最s u p 蕊r s 所以有d i i l l 日k d h p k 其次证明在( k ，p ) 中有d i m b k d i m 日k 成立 不妨令亡n 艿t n l ， 最：1 i ( 6 ，k ) ) 是球心在k 上，半径为j 的一 族互不相交开球，对k 做成填充由本定理上述证明过程可知t 对每个鼠，存在 盯( 川= 礼) ，使得最= ，并且显然有( 6 ，k ) = 1 2 帆，于是有 砜t 哿p 笔挚剑罂音黔一s 6 0 一l o g o n o ol o g v 1 2 川。) 一i 由引理2 2 3 及本定理的前面两部分可以得到 d h n p k = d i r n b k = d i mh k = s 华东师范大学硕士论文h a u s d o r f r 测度和维数与所在空间度量的依赖性 引理2 2 4 i 匀对于自相似集k 若硒，鲍，是强分离的，则有d i i l l h k = d i m s k = q ，其中d i m s k = a 是k 的自相似维数，满足；篓1 ) 口= 1 定理2 2 2 k 是在五 = l ，2 ，) 决定下的础中的满足强分离条件的自相似 集，对任意o s + ，可以构造一个新的度量空间，在新度量空间( k ，p ) 中，k 仍 然是 ，i = l ，2 ，决定下的自相似集，并且d i n l p = d i n l b k = d i m h k = d i m s k = s 证明： 首先证明k 是在 ，i = 1 ，2 ，下的自相似集令圪= 一( ，则由引 理2 1 1 可以知道p 是k 上的度量设z 3 ，如果n ( 甄3 ，) = 那么n ( 五0 ) ，五( 3 ，) ) = 七+ l ，所以如果p ( z ，可) = 。，那么p ( 五( o ) ， ( 可) ) = 亡n + l ，于是有 j d ( 五( z ) ，五( 可) )州 立挚 一三 p ( z ，秒)t n 掣 所以五，i = 1 ，2 ，都是以n = 一 为压缩系数的相似压缩映射由于( r n ，d ) 是 完备空间，所以( k ，d ) 是完备度量空间由于( k ，d ) ，( k ，力的拓扑致性，所 以( k ，p ) 也是完备度量空间所以在完备度量空间( k ，p ) 中，五，i = 1 ，2 ，决 定唯一非空紧集，由于k = u 墨，五( k ) ，所以k 同样成为了( k ，p ) 中由 ，i = l ，2 ，决定的唯一非空紧集，并且满足强分离条件，于是由引理2 2 4 可以知 道d i m 日k = d i n l s k ，而从竺l ) 口= 1 可以解出d 洫s k = s 由定理2 2 1 及本定理中前面证明的结果可以知道， d i i i l p k = d i n l b k = d i i l l h k = d 妇s k = s 1 9 参考文献 【l 】j e h u t c h i s ，f 瑚i c t a l s 锄d l f s i m i l a r i 劬阴，i n d i 撇蛆i v m a 也j ，3 0 ( 1 9 8 1 ) ：7 1 3 - 7 4 7 【2 】m f b 锄s i c y 弛ds g d e m k 0 ，i t e r a t c df 呻c t i 册s y s t c f n 锄dg 1 0 b a lc o 璐劬c t i o f f m c t a l s ， j 】，p f o c r s o c l o n d a3 9 9 ，( 1 9 8 5 ) ：2 4 3 - 2 7 5 。 3 】m f b 籼s 埘，f m c t a l se v e l y w h 啪，【m 】，n 删y o 咄a c 础= m i cp 麟s ，1 9 8 8 【4 】k j f a l c o n d i n l 哪i o 船锄d 眦a s u r e so fq u 勰i - 婚s i i n i l 雒s e t s ，【j 】，p 眦舢嘲m a t h s o c ，l0 6 ( 19 8 9 ) ：5 4 3 5 5 4 【5 】s c h i e fa s e l f s i m i l a rs e t s i l l c o m p l e t em e 臼啦s p a c e s 叨p r o ca m c rm a n ls ) c ， 1 9 9 6 ，1 2 4 ( 2 ) ：4 8 l 柳0 【6 】r o g e r sca d h a l