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诱骗态密钥分配和稳定子码纠缠上下界研究 摘要 量子信息是- i 1 综合性的学科，它结合了量子力学、信息论、计 算机科学等多门基本学科，知识涵盖范围很广。 量子密码通信是最近二十多年才迅速发展起来的一门新的通信 技术。它是密码学和量子力学相结合的产物，利用量子特性来得到或 提高保密性。量子密钥分配( q k d ) 是量子密码学的核心。基于单 光子的量子密钥分配已经从理论一l z 证明了其无条件的安全性，但是通 信双方需要具备完美的通信条件才能真正的实现。现实量子密钥分配 系统中不完美的单光子源和信道衰减会导致p n s 攻击，而诱骗态方案 可以很好的应对p n s 攻击。 噪声是信息处理系统的一大祸害，我们总要试图抵消噪声的影 响。在量子信息处理中，我们也像经典信息处理中那样使用纠错码来 保护量子信息。纠缠是量子纠错码的重要资源。人们希望能对纠缠进 行定量描述。如今已经有相对熵纠缠度量、几何纠缠度量、全局稳健 纠缠度量等多种纠缠度量方法被提出。对于稳定子码来说，以上三种 纠缠度量方法是等价的。 本文分为两大块内容：第一块是对诱骗态方案进行研究，并结合 b b 8 4 协议对其进行了仿真；第二块是针对纠错码中的可加码稳 定子码，从生成元入手，提出了纠缠上界和纠缠下界的算法，并给出 了部分稳定子码的纠缠上界和纠缠下界的值。 关键字：量子密钥分配，诱骗态，量子纠错，纠缠，稳定子码 i 也s e a r c ho nt h ed e c o yst f 蜩卫k e yd i s 即5 洄u 1 r i o n a n dt h ee n t a n g l e 匝门叮tu p p e ra n dl o 、e r b o u 小t d so fs 1 = ：f 气b i l i z e rc o d e w o r d s a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sac o m p r e h e n s i v es u b j e c tw h i c hc o m b i n e s q u a n t u mm e c h a n i c s ，i n f o r m a t i o nt h e o r y , c o m p u t e rs c i e n c ea n dm a n y o t h e rb a s i cs u b je c t s i th a saw i d es c o p eo f k n o w l e d g e q u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o ni s an e wc o m m u n i c a t i o n t e c h n o l o g yw h i c hd e v e l o p e dr a p i d l yi nt h el a s tt w od e c a d e s i ti st h e c o m b i n a t i o no fc r y p t o g r a p h ya n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，u s i n gq u a n t u m p r o p e r t i e s t o g e t o r i m p r o v ec o n f i d e n t i a l i t y q u a n t u mk e y d i s t r i b u t i o n ( q k d ) i st h ec o r eo fq u a n t u mc r y p t o g r a p h y q u a n t u mk e y d i s t r i b u t i o nb a s e do ns i n g l ep h o t o nh a sb e e n p r o v e du n c o n d i t i o n a l s e c u r i t yt h e o r e t i c a l l y , b u tb o t hs i d e sn e e dt oh a v ep e r f e c tc o m m u n i c a t i o n c o n d i t i o n sc a i lb et r u l yr e a l i z e d n o tp e r f e c ts i n g l ep h o t o ns o u r c ea n dt h e c h a n n e la a e n u a t i o ni nt h ep r a c t i c a lq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o ns y s t e mw i l l l e a dt op n sa t t a c k ，a n dd e c o ys t a t es c h e m ec a ns o l v ep n sa t t a c kw e l l i i i n o i s ei sh a r m f u lt oi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs y s t e m s ，w ea l w a y st r y t oc o u n t e r a c tt h ee f f e c to fn o i s e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，w e d ot h es a m ea sc l a s s i c a li n f o r m a t i o n p r o c e s s i n gs y s t e m ，u s i n g e r r o r - c o r r e c t i n gc o d e st op r o t e c tq u a n t u mi n f o r m a t i o n e n t a n g l e m e n ti s a l li m p o r t a n tr e s o u r c eo f q u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e s i ti sh o p e dt h a t e n t a n g l e m e n tc a nb eq u a n t i t a t i v e l yd e s c r i b e d av a r i e t yo fe n t a n g l e m e n t m e a s u r em e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e d ，s u c ha st h er e l a t i v ee n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t ，t h eg e o m e t r i cm e a s u r e a n d g l o b a l r o b u s t n e s so f e n t a n g l e m e n ta n ds oo n t os t a b i l i z e rc o d e s ，s u c ht h r e ee n t a n g l e m e n t m e 笛u r e s 嚣ee q u i v a l e n t t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st w op a r t s t h ef i r s to n ei sr e s e a r c ho n d e c o ys t a t e ，a n ds i m u l a t i o ni tw i t hb b 8 4p r o t o c 0 1 t h eo t h e ro n ei s s t a b i l i z e rc o d e s ，w ep r o p o s eaa l g o r i t h mf r o mt h eg e n e r a t o r so fc o d et o g e tt h ee n t a n g l e m e n tu p p e ra n dl o w e rb o u n d s ，t h e ng i v es o m er e s u l t s k e y w o r d s ：q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ，d e c o ys t a t e ，q u a n t u m e r r o r - c o r r e c t i n g ，e n t a n g l e m e n t ，s t a b i l i z e rc o d e s i v 1 绪论 量子力学是二十世纪科学上的一个重要突破，它告诉我们只有在宏观上，经 典物理对于物质世界的描述才是准确无误的。但是经典物理学对于微观世界是无 法正确的进行描述的，其遵循的是量子的规律。量子力学改变了我们对世界本质 的看法，特别是对微观世界的描述。 量子信息学是最近二十多年才迅速发展起来的学科，它是建立在量子力学的 基础上，是- f - j 新型的交叉学科。在二十世纪八十年代之前，计算机科学、信息 论与量子力学这三个学科基本上是完全平行地发展，也就是说除了信息需要借助 与物理的方式来进行存储、传输和处理外，前两个学科与量子力学之间几乎毫无 联系。但是，在近些年，研究越来越多地发现，三个学科之间的联系其实是非常 密切的。这种联系不只表现在信息的存储、传输和处理等过程需要借助物理的方 式，还表现在计算机科学和信息论的某些原理要受到物理规律的约束。当编码的 信息从经典物理的层面过渡到量子物理的层面时，由于经典的物理态的性质与量 子态的性质完全不同，建立在经典物理学基础上的计算机科学和信息论当然需要 重新进行审视，这样便产生了建立在量子力学基础上的量子信息学( q u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r y ) f l 】。 1 1 量子密码学介绍 从古至今，人们一直都希望能够实现秘密的通信。在信息化飞速发展的今天， 安全秘密通信的愿望就更是一种必然的要求，特别是在网上交易与档案管理等方 面的需要更为迫切。密码学是信息安全的核心部分，其主要研究使用怎样的保护 措施才能使通信双方传送的信息安全，避免他人窃听。经典( 或传统) 的密码通 信系统，不管是非对称密码体系( a s y m m e t r i c a lc r y p t o s y s t e m ，又称为公钥系统) 还是对称密码体系( s y m m e t r i c a lc r y p t o s y s t e m ，又称为私钥系统) ，传送信息的安 全性完全取决于密钥的安全性。由于总是有窃听者，难以保证密钥的绝对安全， 并且在传统密码通信中，密钥分配总是在通信双方根本没有觉察到的情况下被消 极的监听，导致严重的后果【2 】o 量子密码通信是最近二十多年发展起来的一种新的通信技术，是密码学与量 子力学相结合的产物，其利用量子特性来得到或提高通信的保密性t 3 1 。由于量子 态具备测不准原理和不可克隆定理等经典信息所不具备的性质，窃听者在对量子 密码系统中的量子态窃听时，肯定会不可避免地给量子态带来一定的干扰，这样 通信双方便会发现窃听者。如果遭到了窃听者的窃听，而通信双方能够及时的发 现，这便是量子密码通信相对于传统密码通信的最大优势，也是其安全性的保证。 目前量子密码通信的研究主要有以下几个方面：量子密钥分配( q u a n t u mk e y d i s t r i b u t i o n ，q k d ) 、量子秘密共享( q u a n t u ms e c r e ts h a r i n g ，q s s ) 1 4 】【5 】f 6 】和量子认 证( q u a n t u mi d e n t i f i c a t i o n ，q i ) v i 8 】1 9 】等。 量子密钥分配( q k d ) 是量子密码学中非常重要的部分，它是由i b m 公司的 研究人员c h b e n n e t t 和加拿大m o n t r e a l 大学的gb r a s s a r d 在1 9 8 4 年首次提出 的。虽然量子密钥分配发展历史并不悠久，但早在1 9 6 9 年，哥伦比亚大学的学 者威斯纳( s w i e s n e r ) 写了一篇名为共扼密码( c o n j u g a t ec o d i n g ) 的论文【1 0 】。 该论文中提出了两个相当新颖的想法，分别是量子钞票( q u a n t u mb a n kn o t e s ) 和复 用信道( m u l t i p l e x i n gc h a n n e l ) 。w i e s n e r 的这篇论文可谓是开创了量子密码学的先 河，但是由于其中提出的思想太过于新奇，一直到1 9 8 3 年才得以面世。幸运的 是，1 9 7 9 年，c h b e n n e t t 和gb r a s s a r d 了解到w i e s n e r 的想法后，将其与对称 密码体系相结合，提出了量子密钥分配的概念，并提出了第一个量子密钥分配协 议，真正的迈出了量子密钥分配的第一步。 常见的量子密钥分配协议主要有两类：一类是基于单光子的量子密钥分配协 议，这种协议的优点是所产生的密钥具有无条件安全性，但是由于现实实验条件 的限制，存在单光子源不完美、探测器效率低下、信道衰减严重等问题，使得其 安全密钥产生率较低，而且安全通信距离较短。这类量子密钥分配协议主要有 b b 8 4 协议【1 1 1 ，b 9 2 协议【1 2 1 等。另一类是基于相干光的量子密钥分配协议，这种 协议虽然改善了单光子量子密钥分配协议中安全密钥产生率低和安全传输距离 短的问题，但却是其安全性至今仍没有得到证明，相比之下这种协议没有基于单 光子的量子密钥分配协议丰富，主要有连续变量量子密钥分配【1 3 】。针对上面两 种协议出现的问题，现在的研究方向主要有：针对现实的的量子密钥分配系统提 出新的量子密钥分配协议；针对具体的问题提出改进方案( 比如针对p n s 攻击提 2 出的诱骗态方案) ：改进优化密钥分配的后续处理，如数据协调和密性放大。 量子密钥分配实验所采用的量子通道主要有自由空间和光纤，量子位编码方 式主要是偏振编码和相位编码。对于利用自由空间的量子密钥分配系统，因为光 在空气中传播的双折射效应很低，同时色散效应弱，一般是用偏振编码。但是利 用自由空间进行传输存在的一个主要问题是光脉冲的衰减，目前比较光明的方向 是由地面站将单光子密码送到近地轨道卫星，再由卫星转给全球各地。使用光纤 的量子密钥分配系统，由于光纤的双折射效应和色散效应都非常严重，一般是用 相位编码。针对两种通道中量子密钥分配实验存在的问题，目前的量子密钥分配 实验研究主要集中在改进光路、单光子源及探测器等实验设备来提高量子密钥分 配系统的性能【1 4 1 。 1 2 量子纠错码与纠缠介绍 在量子信思中，无论是量子通信述是量子并行计算，本质上郡是利用量子的 相干性。然而，在实际环境中，量子比特不是孤立存在的，它时刻与外部环境发 生相互作用，从而破坏了量子比特相干性，导致量子消相干。因此，无论是要实 现量子通信、量子计算机还是任何快速的量子算法，一个核心的问题就是要克服 由消相干带来的量子噪声。 研究证明，目前对付量子信道噪声最有效的一种方法是量子纠错码( q u a n t u m e r r o rc o r r e c t i n gc o d e s ，q e c c ) f 1 5 】【1 6 】，这种方法在量子密钥分配1 刀、容错量子计 算【1 8 】、纠缠纯化【1 9 】等方面都有着广泛的应用。量子纠错码的基本思想是恰当地 选择h i l b e r t 空间的一个小的子空间作为编码子空间，使我们希望纠正的全部错 误都改变这个子空间到与之正交的出错子空间中去【l 】o 如果出现了错误，可以通 过测量检测出错误，然后进行相应的幺正变化操作来纠正错误，并确保这些操作 不会破坏编码信息。 稳定子码( 有时也被称为加性量子码) 是量子纠错码中一类非常重要的码， 最早是在g o t t e s m a n t 2 0 l ，c a i d e r b a n k t 2 1 1 等人在发现了量子纠错码的群理论结构后， 引入了“稳定子 这个概念。这一类码的码空间是一些被称为“稳定子算符”的 本征值为+ l 的共同本征态空间，而稳定子则是定义为p a u l i 算子群中的一个阿贝 尔子群【2 2 1 。 量子纠错理论的关键就是寻找一个合理的态空间划分方案，从而能够快速地 找到符合上述要求的子空间。近几年的研究发现，量子纠缠在构造纠错码的过程 中起到非常大的作用，利用高度纠缠的纠缠态来构造纠错码已经成为了一个新的 研究方向1 2 3 】。 量子纠缠是量子信息处理过程中非常重要的资源，除了量子纠错外，在量子 密钥分配、量子隐形传态、稠密编码等方面都起到了关键作用。量子纠缠的一个 重要的特征是其违背b e l l 不等式，但不是所有的纠缠态都违背b e l l 不等式，因 此我们就需要定量的分析一个纠缠态究竟有多大程度地违背了b e l l 不等式【1 1 。定 量分析是量子纠缠研究中的核心问题，在应用上显得犹为重要。具体来说，纠缠 的定量分析就是确定量子系统态中包含了多少资源。最近这些年，由于人们对于 量子纠缠的度量关注很多，已经取得了不少进展，但仅仅是两组分量子体系的纠 缠。对于多组分纠缠的度量至今仍然在广泛研究中，即使是对于多组分纯态纠缠， 也只能是在一些特殊的情况下才能获得纠缠值。目前，已经有相对熵纠缠度量、 几何纠缠度量和全局稳健纠缠度量等多种多体纠缠度量的方法被提出。但是，这 些方法涉及到各种复杂的变量及复杂度问题，还不能有效地解决多组分纠缠度量 上的难题。幸运的是，对于稳定子码来说，三种度量方法都是完全等价的。 1 3 本文主要内容 本文的主要内容包括两个方面。 第一个方面是研究应对量子密钥分配中的光子数分离攻击( p n s ) 的诱骗态 方案，并对这个方案结合b b 8 4 协议进行了仿真； 第二个方面是提出了稳定子码的纠缠上下界的算法，并计算出了部分稳定子 码的纠缠上下界的值。 各章节安排如下： 一，绪论。简要介绍了量子密码学、量子纠错码与纠缠，对本文的主要研究 内容进行了概述。 二，量子信息的基本原理。主要介绍了量子信息的一些基本原理和特性。 三，量子密钥分配和量子纠错码。首先介绍了几种基本的量子密钥分配方案 和量子密钥分配的模型；其次对量子稳定子纠错码进行了介绍。 4 四，诱骗态密钥分配研究。首先介绍了诱骗态方案，根据不同强度信号的数 量对诱骗态方案进行了分类，给出了诱骗态方案系统模型，并结合b b 8 4 协议对 诱骗态的三态方案进行了仿真。 五，稳定子码纠缠上下界算法及举例。首先简单介绍了纠缠的概念，并介绍 了三种主要的多体纠缠的度量方法。然后提出了纠缠上界和下界的算法，并举例 说明，最后给出了部分稳定子码的纠缠上下界。 最后，我们对本文所做的工作进行y d , 结，并对未来的研究提出了新的研究 方向。 2 1 态矢量 2 量子信息的基本原理 一个质点的运动，在牛顿经典力学中是以任何时刻的位置和动量来表示的。 而这个质点的位置及动量的集合就构成了一个多维的线性空间，该质点在任何时 刻的任何一个状态都可以用这个线性空间中的一个矢量表示。 在量子力学中，也存在相似的空间，我们称之为希尔伯特( h i l b e r t ) 空间， 希尔伯特空间是一个多维的线性复数空间，它被用来表示一个量子系统。任何一 个量子态都可以由希尔伯特空间中的一组单位矢量来表示，这组矢量我们称之为 基矢量。相互独立正交的基矢量就组成了一个矢量空间，而相互独立的基矢量的 数目就称为这个空间的维度。将一个态矢量投影到基矢量上就可以得到它的投 影。量子态通常用符号i ) 来表示，矢量l ) 也可以用多个列向量的线性组合 来表示【2 4 】，如 l o ) = 毛1 1 ) + 乞1 2 ) + + z n l n ) = 毛 z 2 ： 乙 ( 2 - 1 ) 其中，z ，z 2 ，乙是i 西) 在基矢量下的一个坐标，分别是在基矢量 1 1 ) ，1 2 ) ，1 3 ) ，l 疗) 上的投影的长度，是一个复数，我们称之为概率幅，它并且满足 下式： iz l2 + l z 21 2 + + i 乙1 2 = l( 2 2 ) 式( 2 2 ) 表明了各个概率幅满足标准化的要求，同时也表明了为什么我们要 称之为概率幅的原因。上式中，i 五1 2 表示量子态以概率k 1 2 出现在第f 个基矢量上， 所以，标准化是指量子态在所有基矢量上出现的概率之和，当然必须等于l 。 量子态( 叫是量子态i m ) 的对偶态，( 中l 是个行矢量( 叫= ( i 乏艺) 。其中， 彳与弓互为共轭。i 西) 和( 西l 都是狄拉克( d i r a c ) 符号，我们分别称之为右矢( k e t ) 6 和左矢( b r a ) 。 2 2 量子比特 在量子信息论中，由于一个量子比特就司以构成最小的单量子比特系统，所 以量子比特是整个量子体系的基本组成单位。而在经典信息论中，一个系统的基 本组成单位是比特，一个经典比特的状态只能够在0 和1 这两个数中取值。量子 比特作为经典比特的类比与延伸，同样也是用两个状态来表示，那就是基矢量i o ) 以及基矢量1 1 ) 。虽然这看起来很抽象，但是量子比特的这种模型在现实世界中 是有具体的存在形式的，比如水平偏振与垂直偏振的两个光子、自旋向上和自旋 向下的两个粒子等。但是，与经典信息论不同的是，一个量子比特可以处于态矢 量i o ) 和1 1 ) 的任意叠加态，即 i ) = 口i o ) + 夕1 1 ) ( 2 3 ) 式中1 0 ) 和1 1 ) 是互相正交归一的，通常称之为基态。以l o ) 和1 1 ) 为基矢量就 可以构成一个二维矢量空间，我们称之为二维h i l b c r t 空间，而任何一个量子比 特就是此二维h i l b e r t 空间中的一个矢量。基矢i 。) 可以用列矩阵f 三) 来表示，而 基矢| 1 ) 可以用列矩阵( ? ) 来表示，故量子态i ) 可以用列矩阵( ；) 来表示，其 中的口，是任意的复数，口表示量子态处于i o ) 时的概率幅，而表示量子态 处于1 1 ) 时的概率幅，当然它们满足i 口1 2 + l 夕1 2 = l 。当口= o 时，i ) = 1 1 ) ，说明 i o ) 永远是1 1 ) ；当= o 时，i ) = l o ) ，说明i ) 永远是i o ) 。上面这两种特殊情 况与经典信息中的0 和1 对应【2 5 1 。但是，量子比特也有与经典比特截然不同的 一面，在经典信息论中，任意时刻经典比特的状态都是确定的，如果我们想要 获得某个比特的状态的话，可以直接进行测量，因为测量本身并不会影响到被 测比特的状态。但是，量子比特和经典比特最大的不同就是在绝大多数情况下， 量子态是处于l o ) 和1 1 ) 的线性叠加态上的，如式( 2 3 ) 所示。如果我们对量子 7 态l ) 进行测量的话，测量结果可能是i o ) ，也可能是1 1 ) 。测量结果是l o ) 的概 率是i 口1 2 ，测量结果是1 1 ) 的概率是i 1 2 。但是，测量之后，原来的量子态l ) 就 会受到影响，从而变成了l o ) 或者1 1 ) ，之后才被我们测量所得。也就是说，我 们测量所得的状态不仅是错误的，而且还会使原先的量子态发生改变。 由于i 口1 2 + i 卢1 2 = 1 ，可以将公式( 2 - 3 ) 改写成： i ) = c o s 扣s i n 扣 ( 2 4 ) 量子态i ) 的所有可能的取值构成了一个球，我们称这个球为b l o c h 球( 如 图2 1 ) 。 图2 - i 量子比特的b l o c h 球面表不 公式( 2 - 4 ) 表示，量子态是球面上的一点，实数目表示这个点与z 轴的夹 角，而痧表示与x 轴的夹角。特别的，当口= 0 或者= o 时，量子比特就变成了 经典信息论中的比特了。有人觉得，一个球面上的点是有无穷多个的，那么就是 说量子比特可以处于的状态是有无穷多个的，但是这样的理解是错误的。因为如 果我们要想获得量子比特中储存的信息，就必须对它进行测量，而一旦测量一个 量子比特之后，此量子比特的叠加态变为i o ) 的概率为h 2 ，变为1 1 ) 的概率为l 纠2 。 所以，一个量子比特与一个经典比特所能表示的信息量是一样的，即使量子比特 的叠加态是有无穷多个的。 2 3 量子比特的物理性质 量子比特具有比经典比特更丰富的特殊的物理性质，这为量子通信和量子计 算提供了保障。下面介绍量子比特的几个主要的性质，包括态叠加原理、不可克 8 隆定理、测不准原理和非正交量子态不可区分性。 2 3 1 态叠加原理 ，态叠加原理是指：如果i ) ，i ) ，i ) 是h i l b e r t 空间中任意的态，它们的 线性叠加： i 少) = qi ) ，f = ( 1 ，2 ，刀) ( 2 - 5 ) j 同样也会是h i l b e r t 空间中的一个态。 2 3 2 不可克隆定理 克隆是指以一个物体为基础，可以制造出另外一个一模一样的物体，而且对 原来的物体不会造成任何影响。量子的不可克隆定理表明不能精确复制一个未知 的量子态；两个不同的非正交量子态也不能进行克隆；同时一旦测量它们，必然 会引进干扰【2 6 1 。 假设存在这样一个复制机，能够精确的复制一个未知的量子态，即 u q y ) lc 户l 叻i 谚，其中i y ) 是量子空间中任意一个未知的量子态。而对于另外 一个未知的量子态l 矽) j y ) ，u ( 1 ) l o ) ) = i 矽) 陟) 也同样成立。那么对于 i ) = i 力+ i ，必然有 u q 7 ) i o ) ) = u ( ( | ) + i ) ) i o ) ) = i 缈) l y ) + l 矽) i ) ( 2 6 ) 显然，结果并不是l y ) 的复m j i r ) l r ) ，也就是说复制并没有能够实现，即这 样的复制机是不存在的。由此我们可以推出：一个未知的量子态不能被完全精确 的拷贝。 2 3 3h e i s e n b e r g 测不准原理 假设有两个可观测的力学量彳和b ，同时有许多相同状态为i ) 的量子系 统，我们对一些量子系统进行彳测量，对另外一些量子系统进行b 测量，那么么 9 测量的结果的标准偏差鲋和b 测量的结果的标准偏差衄必定满足【2 7 】： 鲋凹掣 任7 ， 其中m ，b 卜么肛b 是彳和曰的对易子，当力学量彳和占不对易，即 【4 明o 时，则4 跏，要么鲋 o ，要么删，也就是说不可能同时用两 个可观测量来准确测量量子态l y ) 。测不准原理说明我们对任意一个物理量进行 测量都必然会对另一个物理量带来干扰。 一 2 3 4 非正交量子比特不可区分性 非正交量子比特的不可区分性可以定义如下：l 。) 和l ) 是两个量子比特， 如果它们之间满足下式： 0 ( i ) 1 1 2 = c o s 0 ( 2 - 8 ) 其中秒是两个量子比特间的夹角，0 0 ，i 幻，j ，o = l ，2 ，3 ，功； ( 2 ) 对于接收到的光子，b o b 从 1 0 、i l ) 和 i + 、l 一 ) 两组偏振基中随机选择 一组对光子进行测量； ( 3 ) 测量以后，b o b 通过经典信道告诉a l i c e 他测量每个光子所选用的偏振基( 不 是测量得到的偏振态) ； ( 4 ) a l i c e 与发出的光子的偏振信息进行比较，并再一次通过经典信道告知b o b ， 其所采用的测量基哪些是吻合的，哪些是不吻合的，双方同时保留测量基吻合情 况下的测量结果，舍弃其他不符合的结果； ( 5 ) a l i c e 和b o b 按照约定将量子态按转换成二进制比特：i 专o ，矽 专0 ， i $ 斗l ，卜 一l ，由此获得一串密钥，成为生密钥( r a w k e y ) ； ( 6 ) a l i c e 和b o b 随机选择生密钥的一部分通过公开信道对比，根据出错率孝来判 定是否有攻击存在，设彘为阈值，若善彘，继续协议；否则表示有窃听存在， 终止协议； ( 7 ) b o b 对生密钥进行纠错和密性放大等进一步处理，提高密钥安全性，获得最终 的安全密钥。 b b 8 4 协议的具体过程我们可以采用下表表示出来，其中“? 表示不确定 的情况，“表示测量基吻合，“x 表示测量基不吻合。 表3 1b b 8 4 协议的执行过程 a l i c e 发送的量子比特$ 付、，$ $ hh 、 l00loll000l a l i c e 对应的经典比特 + + + + b o b 的测量基 b o b 的测量结果 付$ ，$ ，h 付 xxk了k?x a l i c e 和b o b 比较测量基 a l i c e 和b o b 留下的量子比特? 97 、，? $ ? 付? ol 0 l o o 转换成二进制比特 密性放大后的最终密钥 1loo 3 1 2b 9 2 协议 b 9 2 协议【1 2 】又称为二态协议( t w os t a t ep r o t o c 0 1 ) ，是c h b e n n e t t 在1 9 9 2 年 提出的。b 9 2 协议是以两个非正交的量子比特为基础，由非正交量子比特不可分 的性质和不可克隆定理保证，窃听者无法窃取到有效的信息【3 0 1 。 i y ) 和i 驴) 是希尔伯特空间中任意两个非正交的量子比特，以它们为基础构 造两个投影算符： 0 = l l 缈) ( 缈l ( 3 - 1 ) 乞= l i y ) ( ；f ，l ( 3 2 ) 上式中，弓与0 分别将i ) 和i 妒) 投影到与这两个量子比特正交的子空间中。 进一步可以看出： 易i y ) = l ) 一i 矽) ( 矽i i y ) ( 3 - 3 ) 0j 缈) = i 伊) 一l 伊) ( 伊i | 矿) = o ( 3 - 4 ) p 矿i 矿) = l 伊) 一i y ) ( y i i 伊) ( 3 5 ) 弓l 妙) = i ) 一l y ) ( 矿i l y ) - 0 ( 3 6 ) 这四个式子说明了：0 会与i 伊) 相消，但是投影到l 沙) 上却可以得到确切的 结果，此情况发生的概率： 昂= ( 沙i 如0i 吵) = l i l ( 伊i y ) 8 2 ( 3 7 ) 其中以= i y ) ( 沙l 。 同样的，弓会与l ) 相消，但是投影到j 妒) 上得到确切结果的概率是： 昂= ( 伊l 岛弓l 伊) = l l l ( y i 训1 2 = 唧( 3 - 8 ) b e n n e t t 根据上述的思想提出了b 9 2 协议，其具体执行过程如下： ( 1 ) a l i c e 以希尔伯特空间中的任意两个非正交量子比特l 沙) 和i 功为基础生成随 机量子比特串，并通过量子信道逐个地发送给b o b ； ( 2 ) b o b 收到量子比特后，从 0 ，乞) 中随机的选择一个作用到该量子比特上； 1 9 ( 3 ) b o b 通过经典信道告知a l i c e 哪些量子比特的操作得到了确切的结果，但并 没有公开它对每一个量子比特测量所采用的测量算符，即b o b 在测量时选择的 是0 还是弓仍然是保密的； ( 4 ) a l i c e 和b o b 同时保留那些有确切测量结果的情况，放弃其它没有确切结果 的情况； ( 5 ) a l i c e 和b o b 根据测量算符的错误率孝来判定是否有窃听者存在，设彘为阈 值，若孝彘，继续协议，否则终止协议； ( 6 ) 与b b 8 4 协议一样，a l i c e 和b o b 对剩下的密钥进行纠错和密性放大等操作， 获得最终的安全密钥。 3 1 3e p r 协议 。 第一个提出e p r 协议【3 1 1 的是午津大学的a e k e r t ，他在1 9 9 1 年首次采用了 e p r 纠缠对来完成量子密钥的分配。与b b 8 4 协议中将单粒子用来存储信息不同 的是，e p r 协议使用了e p r 纠缠效应，利用双粒子纠缠对来实现对于信息的存 储的，同时，b e l l 理论成为了该协议的强有力的论证者，b e l l 理论证明了该方案 是足够安全的。 如果粒子的自旋向上的话，就用1 0 ) 表示，否者就用1 1 ) 表示，则我们可以将 b e l l 纠缠态表示为下式： 1 去喊1 1 ) 2 + o ) ( 3 9 ) v 二 我们将双粒子中的其中一个发送给a l i c e ，而另一个发送给b o b ，我们认为消相 干是不会发生的，所以两个粒子始终是纠缠的。那么如果a l i c e 和b o b