（基础数学专业论文）三类生态模型解的定性研究.pdf

竺垒兰生坐一 摘要 三类生态模型解的定性研究 本文研究了三类微分系统的定性性质在第章运用微分方程定 性理论研究了生化模型 霉：x y - x 一甜十c 冬：一x 。+ z 。+ a 。 ( 小， ，m h ，c 。，。 6 ，且 ( + + 善 ) ，) = 0 ， ( + ( 6 + d u o ) 1 ) ：0 ，为了证明正解 ，+ “ 存在的这个充分条件引入了三个引理，并给出了两个引理的证明在 第三章运用稳定性理论的李雅普洛夫函数法( 或v 函数法) 证明了一 个r l 维自治l o t k a v o l t e r r a 系统 愁譬雄鼗懿 鲁叫6 j 一言俐，涎 存在非负而全局渐近稳定平衡点的充分条件，并利用二次型原理将以 上条件转换为另一种比较容易判定的等价形式，此判定能够很方便地 应用于各类l o t k a v o l t e r r a 系统，文中就把它应用在了一类比较特 殊的l o t k a v o l t e r r a 系统，进而推广到了其它领域，如经济领域的新 产品促销系统，流行病的传播系统等等 关键词：奇点：一次近似系统：正解：特征值：分歧 全局渐近稳定性：平衡点 基础数学专业研究生： 阿布力米提阿稚都热衣木 答辩闩期 指导教师： 窦霁虹 指导教师签字 要：坐查：! ：竺! ：堡苎 m a s t e r s d e g r e e d i s s e r t a t i o n s t u d y t h em a t h e m a t i c a lb e h a v i o ro fs e v e r a lt y p e so fb i o c h e m i c a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e m ( d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c s ，n o r t h - w e s tu n i v e r s i t y ，x i a n ，7 1 0 0 6 9 ，c h i n a ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h es t a b i l i t y p r o p e r t i e so f t h r e et y p e so f d i f f e r e n t i a l s y s t e m a r es t u d i e d i nt h ec h a p t e r1 ，b yu s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yo f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h es i n g u l a rp o i n t so f ab i o c h e m i c a ls y s t e m ( ， n ，胛n ，m ，? ，c o ，0 b ，a n d x q x q x a q 五( + ( 日+ 生) ，) = o ，五i ( + ( 6 + 幽。) ，) = 0 ，f o r t h e p r o o f f o r t h e s u f f i c i e n t ，+ v c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s ，i ti sl i s t e dt h r e el e m m a s i nt h ep a p e r ，o fw h i c ht h ep r o o ff o rt w ol e m m a si sg i v e n i nt h ec h a p t e r3 as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f ag l o b a la s y m p t o t i c a l l y p o i n t i n ac l a s s i cn - d i m e n s i o n a ll o t k a v o l t e r r as y s t e m 鲁q ( 卜喜) ，f e i sp r o v e db yl i a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ( o rv f u n c t i o nm e t h o d ) i nt h e s t a b i l i t yt h e o r y t h e c o n d i t i o ni sc h a n g e di n t oa n o t h e re q u i v a l e n tf o r m t h en e wc r i t e r i ac a nb ev a l i d a t e dm o r ee a s i l y ，a n db a sb e e na p p l i e d t o as p e c i a ll o t k a v o l t e r r as y s t e m a tl a s t ，i ti se x t e n d e dt om o r ef i e l d s ，f o r e x a m p l en e w p r o d u c ts e l l i n gs y s t e ma n de p i d e m i c d i s e a s es p r e a d i n g s y s t e me t c ， m a i nr e s u l t so f c h a p t e r 2w a s p u b l i s h e d o nt h ej o u r n a lo fs h a a n x i n o r m a lu n i v e r s i t y ( s u mn o 19 ，2 0 0 3 ) g r a d u a t e sn a m e ：a b l i m i ta b d i r y i m ( d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) d i r e c t e db yd o u j i h o n g v k e yw o r d s ：s i n g u l a rp o i n t ；l i n e a ra p p r o x i m a t i o n s y s t e m ；p o s i t i v e s o l u t i o n ；e i g e n v a l u e ；b i f u r c a t i o n ；g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；e q u i l i b r i u m p o i n t ； v 型! 查兰丝! ：堕苎兰5 2 3 8 3 2 t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了，文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得 酉j 竖友堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 签字h 期：年月日 引言 生物数学通过建立数学模型对人类所关心的自然现象进行预测和 解释，它己确定的随时间演变的种群系统为研究内容，在生物，医学， 化学等许多学科1 1 1 得到广泛应用例如v o l t e r r a 模型就成功地解释 了捕食与被捕食系统的振荡现象( 数学卜称之为分支现象) ，对人类 消灭害虫揭示生态规律提供了依据，口j 指导人类有效和经济地进行灭 害上作，因而在国际范围内引起广泛重视 从历史发展来看，h p o i n c a r e 所创立的微分方程的定性理论就 曾以天体运动中所出现的一些非线性微分方程的模型作为重要的研 究背景之一由于不能得到其解的表达式，他着眼于从方程本身的特 性去研究其解的各种性质，这就是定性理论的出发点，自二十世纪以 来已成为微分方程发展的主流与p o i n c a l e 同时，俄国数学家李雅 普诺夫对微分方程的稳定性所作的深入研究，是定性理论的有一个奠 基性工作解的某些局部或大范围的性态有时往往要随着方程的变化 ( 常体现为系统中的参数的变化) 而变化，这就是分支( b i f u r c a t i o n ) 概念就平面系统而言，分支现象可以出现在一个奇点邻近，那么与 该奇点相应的一次线性近似系统的特征方程具有一对纯虚根，这时相 应的奇点为中心，细焦点或中心焦点，系统经摄动以后，奇点邻近的 拓扑结构或性态就会发生变化，且在此奇点外围邻近可能出现极限 环，这就是1 o p f 分支 x 本文分三部分着重讨论了三类重要的生化生态模型第一部分研 究的是一类二维生化系统利用微分方程定性理论，对其奇点进行了 细致的分类，将文献 3 的结果进行推广第二部分主要研究了一类互 惠模型的正解的存在性并且利用分歧理沦给出了一个正解的存在的 充分条件第三部分研究的是一类n 维自治l o t k a v o t e r r a 系统 利用李雅普诺夫第二方法，证明了系统存在非负而全局渐近稳定平衡 点的充分条件，得到了l o t k a v o l t e r r a 系统几个稳定性的判定式， 包含和推广了文献 1 0 的一些结果 x 第一章一类生化系统奇点的分类 1 1 问题的提出 郯融化模型詹鲁t = - 一x y + b + x c 尝篇( m e n , ne n , m n , c o , o b m ，肼2 时，系统( 1 2 ) 的奇点分类如表1 所示， 其中s ：( ) ” n 一疗 s i , 2 = 阶一咧击) m _ 2 ) 6 刊2 # - m ) ( a c - 刍_ b ) - i + ( n - 1 ) b ( a - b ) 娶 o 州南卜( n - ) ( 击厂l 虮口 ， g _ ( - 6 ) ( 南a ) ” 口扫口一扫 一口 2咄=(击)”一n-肌)(南)”埘-+。】24(a-aa6 ) ( 志) ”一0d 口一口 _ 【( 南r 卜2 ( 志h 咧南广l + 肌小叫) ( 南) 。1 柏h 】2 4 ( 。一6 ) ( ) “ a d ( ( 南2 叫南h ( 删) ( 南) m - i + ( 一2 ) b 怕m 叫) ( 南广1 + 柚r 2 如 如 如 印 加 加 如 加 印 如 如 如 印 西北大学硕士论文 令( ) ”= sp 2 一幻= ， 口一d f = s 2 2 k ”一州) ( 三) “一+ ( 玎一2 ) 6 + a l s + k 行一喊二_ ) ”一+ n b 一口) 2( 1 3 ) 口一d口一d 上式判别式 = 4 ( 盯一m ) ( 考) ”1 + ( 胛一2 ) b a 9十口】2 4 ( ”小) ( 南) ”1 + 加一日】2一 口一d = 4 1 2 ( n 一，”) ( 三_ ) ”。+ 2 ( n 一1 ) b 2 ( a - b = t 6 ( n 一，”x ) ”。+ ( n d b ( a 一6 ) 0 ， 由于肛 脚2 ，则( 1 3 ) 式与坐标轴，= 0 有两个交点，分别为： 驴骱刊c 身z 肌小：厅霹孑磊 州( n - m ) ( ac - 三_ b ) 一n - 2 ) b + a h 厅霹磊 由( 1 3 ) 式中【o m ) ( ) ”。+ n b 一口】2 o易知s o ，疋 o ，且当 口一d ( 南肛( o , s 2 ) 或( 南肛( s 删- 4 9 o , s 2 ( 南卜轧q 卿r 当( 鲁) ”= s 。或( ) “= 蔓，p 2 - 4 q “一b 口一移 s ： m 2 ，o b 1 2 因为，当r = 以2 + v 2 _ 0 时，尺配，g ( 1 ，) 是，- 的高阶无穷小量， 且f ( u ，v ) ，g ( u ，v ) 在( o ，0 ) 点的邻域内对i t , v 连续可微，故由文 5 】 定理1 2 得证 证毕 当p = o 时，奇点是对应线性系统的中心，由于非线性系统( 1 1 ) 右端函数解析，故不可能是非线性系统的中心焦点，从而只可能是非 线性系统的中心或焦点区分中心与焦点的问题定性理论研究的重 要课题 西北大学硕士论文 第二章互惠模型正解的存在性 2 1 问题的提出 生态学中互惠模型的研究已有很多结果，二维l o t k a v o l t e r r a 互惠模型 “，一a u = u ( a l 一6 1 “+ c i v ) ， c q ， u a v = u ( a 2 + b 2 u c 2 v ) ， c q ， “= v = 0 。c 触， u ( x ，o ) = u o ( x ) 不恒等于0 ，v ( x ，o ) = ( x ) 不恒等于o ， 其中q 是r “( 门1 ) 中的有界开集且边界地充分光滑，u ( x ，f ) ，v ( x ，f ) 是 两个种群的密度，参数a j , 抚，q 均是正常数( f - l ，2 ) ：a i , 口：是种群的增长 率文献 6 ，7 讨论了扩散诱导解的爆破，并且给出了平衡解存在的 充要条件。文献 8 讨论若4 ， a 。，口： 丑：，方程( 2 1 ) 平衡态方程正 解存在的充要条件是弱互惠c 。岛 1 ；而凸如 5 2 时有唯一解，这里 是 一在q 上具有齐次d i r i c h l e t 边界条件的主特征值，占为小于1 的 正常数而对于饱和互惠模型研究工作不多文献 9 曾用计算不动点 指标和谱的性质讨论了下列带有饱和项互惠模型 一“= “( d 一“+ 旦) ，x q ， 一：i - - v + a v v ( b d 7 u + ) ” x q ， ( 2 一2 ) 一 = ，x q ， ( zj “= v = 0 x m ( l 是饱和项) 正解的存在而遗留了一种情况，不能用上述方法 r + v 研究，本文主要用分歧理论给出正解存在的一个充分条件，饱和项具 有一定生物意义 为了叙述方便，设 ( 一+ p ( z ) ) 表示问题一a u + p ( x ) u = 五“， ，。f - l u 。：o 最小特征值，当口 时，一“= m 一“) ，“i 。= o 有正解b 0 ( z ) c ：地地：!： 且( x ) 时，- a v = v ( 6 一v ) ，v | 。= 0有正解v o ( x ) 且v o ( 工) ，且 ( + ( n + 丢等= o ， ( + ( 6 + d u 。) ，) = o 则方程( 2 2 ) 至少有一个正解 引理2 1 ( 简单特征值的分歧) u = s xv 是斤的开子集， e c2 ( u ，r ) ，其中x ，y 是巴拿赫空间假设o ) ；0 成立， l o = d 2 f ( 2 , ，o ) ，厶= d i d 2 f ( 2 0 ，o ) ，下列三个条件成立 ( i ) n ( 厶) 是一维的，并且n ( l o ) 由岫生成； ( i i ) 用( 厶1 ) 的余维是一维，即：d i m r r ( t 。) _ 1 ； ( i i i ) ，“o 仨r ( l 。) 则f ( a ，”) 存在分歧，即：- 厂( 兄，“) = 0 除( 厶，o ) 以外还有解参见 2 0 。 其中n ( 7 3 ，斤( 7 3 分别是算子7 1 的核空间和值域空间 2 3 定理2 1 的证明 弓j 理2 2 若口 丑，b ，贝0 i n d e x w ( a ，( o ，o ) ) = 0 子如下 证明定义y = ( o ，o ) ，而= k o k ，a ( u ，v ) 在( 0 ，o ) 的线性化算 上= 爿c 。，。，= 。+ p 。口+ 尸。一+ 尸，一l 。? 尸， 下面证明，一在只上可逆，如果存在弘y ek ，使得( 孑 = ( 孑) ( 一+ j p ) 叫( a4 - j r ) ) 妒= p = - d l ( p = a e ( 一a + | d ) 一( b + p ) f ，= j 一= 6 由上式知4b 是一具有特征函数妒，5 f ，的特征值，因为a 五，6 ：所 以p 兰；0 ，可知一三在呒上可逆设兀。= “， ：，如，) ，1 7 ：= 协：，兄，兄。， 上l o ，所以，( 0 ，1 ) ，( 。0 ) e 嘭q c ，一， 鼍1 = 专1 一，l 一+ ，：口+ 9 。一+ 尸，一o ( 。+ 尸， ： 把t 代入可得中。一f 1 ( 一+ j 1 ) ) 一1 ( 口+ p ) 中l = 巾一( 一+ j d ) 一。( 丑l + 尸) 中i 因为 一巾l ：2 1 。，所以巾，一r ，( 一+ ，) 一( n + j 口) 中= o ，三具有口性质，由文献 9 弓l 理2 1 ( 1 ) 可知i n d e x 。( 爿，( o ，o ) ) = 0 第( i i ) 种情况：，一在c 。( q ) o c o ( q ) 上不可逆证明，一j 已在瓯上 不是满射，就1 ) 来证明，a ef i ：，其余情况相同，假设n 丑。，巾。是 特征函数，巾。改变符号 ，1 ) ，存在甲g ( q ) ，甲 0 ，z q ，使得 f 甲o 。0 有反证法，假设存在 州，门，y e k ，c ，一上， ： = 了 j m 一( 一+ p ) ( 日+ p ) m 2 甲， ( 2 3 ) 【n 一( - a + p ) _ 。( 6 + j 口) 肝= y ( 2 3 ) 式的第一式乘以中。，在q 上积分 。( 一一口) 巾。m d x = 。( 一+ j d ) 中。t f d x ( 2 4 ) 因为( 2 4 ) 式左面f 。( - a a ) o o 。m d x = 0 ，而右面 f 。( 一+ p ) 巾。甲d x = j n ( 五。+ p ) o o 。q s d x 0 ，因此，一e 在啄上不是满射，由 文献 9 的引理1 ( 3 ) 可知i n d e x ，( 爿，( o ，o ) ) = 0 弓i 理2 3 若 丑，b a ，且五j ( + ( 日+ 竺鱼一) ，) ：o ，丑】( + ( 6 + 如。) ，) ：0 ， 则i n d e x ”，( 爿，( 。，o ) ) = i n d e x h ( 爿，( o ，v o ) ) = 1 证明用分歧理论计算不动点指标，令 f ( “，v 丑) = ( “+ “( 口一“+ 旦) ，a v + v ( v + 丑+ 幽) ) ，f ( u ，v ，五) 在( “。，0 ，6 ) 一上二存 在分歧下面证明满足分歧引理1 1 的三个条件： d ，d i m k e rf 。( ，o ，b ) = 1 ， 三2 ：只，( “。，o ，6 ) ：j a + a - 2 u o l0 c u o a + b + d u o 存在( 甲，o o ) k e r l ：，存在惟一( 一，中。) 不恒等于( o ，o ) ， 使得 甲十( d 一2 ”。) 甲：一e u 。e 1 ) ， ， 中+ ( 6 + 幽。) o = 0 ，所以d ir a k e r l 2 = 1 ， 0 ，眦：= 瞄 l h 蚍舯o d x = 0 所以删m r 佣毗乩 t ，r 2 = f r ( u o , o , b ，= 啦 - 小蜥岛 由上述三点，f ( u ，v ，a ) 在( “。，0 ，6 ) 上满足分歧引理1 1 ，f ( “。，0 ，a ) = ( o ，o ) ， 对于所有五r ，f ( u ，h a ) = ( o ，o ) 在点( “。，0 ，有一个分歧，存在c 1 函数 “o ) ，v ( s ) ，a ( j ) ，ls i o ) ，使得“0 ) = “o 十s + r ( s ) 】，v ( 5 ) = s i _ u o + f ( s ) ，五( o ) = b ， r ( o ) = t ( o ) = 0 ，并且，( z ，( s ) ，v ( j ) ，五( j ) ) = ( o ，o ) 有两种情况考虑：1 ) ( s ) ；0 is l 5 2 ) 丑( s ) 不恒等于零 第1 ) 种情况： 五( s ) e0 = 辛旯( j ) = b ，is i 占f ( “( 5 ) ，v ( s ) ，a ( j ) ) = f ( “( s ) ，v ( j ) b ) = ( 0 ，o ) 删州s ，( + 羔 = o a v ( s ) + v ( s ) ( 6 一v ( s ) + d u ( s ) ) = 0 ， ( ”( s ) ，v ( j ) ) i = ( o ，o ) “( s ) ，t ，( s ) 是系统( 2 ) 的正解。 第2 ) 种情况：丑( j ) 不恒等于零is l o 因为丑( + ( 6 + 幽。) ，) = 0 ，可以证明 所以厶没有大于1 的特征值，并且 f ，在o d 上没有1 i 动点，由度的同伦不变性， i n d e x w ( 爿，( ，o ) ) = i n d e x ( 4 ，( ，o ) ) = 1 同理i n d e x ( 爿，( o ，v o ) ) = 1 可知加咖。( 爿，d ) = 1 ，由引理2 2 ，引理2 3 知 i n d e x w ( 爿，( o ，0 ) ) + i n d e x ( 爿，( “o ，o ) ) + i n d e x ( 爿，( o ，v o ) ) = o + 1 + 1 = 2 ， 由不动点指标与解的性质，定理2 1 得证 2 值 盾 征 矛 特 如 个 一 与 一 o 的 o 满足口。口 “u 日口p ， ? - ，f ，那么存在正的常数q ，c ，r + ，；卣c j c j a i j a 2 j i 1 “，( c ，+ c ，口，) 2 证明：要证明存在常数。，c ，r + ，使c i c j a a z , i l ( c ，+ c y a j i ) 2 成立， 鼬为n 。n 1 段u q 0 ， 所以墩po ，c ：堡生掣po ， h 。a h 此时， ；“。( c i q i j + c j o j i ) 2 = i 1 “，( c ，口，+堡堑塑。 所以要证c l c j a j i a i j ，三“。( c ，a e + c j a j t ) 2 ， 暇证坐学a 坐咖焉 等曩u ”u h n f ， ，。 j ! 丁口，“( 2 d 。d f ，一“”口日，一日。日“) 0 “口j 1 由条件 口口 “ d 口，且口。，口月+ 丰口d 口，口r 一 o ) ，“ o ，c ，c j r + ， 所以上面的不等式成立，即c ，日， l d ! j ( c ，+ c ，口，) 2 成立 引理3 1 得证 证毕 3 2 一般n 维l o t k a - v o l t e r r a 系统平衡点在一定条件下的稳 定性 关于系统( 3 1 ) 的平衡点的全局渐近稳定性，曾在 1 0 中详细 讨论过系统( 3 1 ) 的平衡点即就是满足方程组t ( 6 ，- z 0 ) = o ，f e n 的解假定a 是一个非奇异矩阵，( 3 1 ) 的平衡点i 满足方程组 6 ，一兰d 。x ，= o ，f n 即6 一爿王+ = 0 ，且i + o 在这样的假设下我们来证一 i = 1 个定理 定理3 1 ：假定系统( 3 1 ) 存在非负的平衡点孟：一7 5 ，如果存 在一个n x 力的正定对角矩阵g 使得翻卅7 f 也是正定的，则j 是全 局渐近稳定的平衡点 证明：根据j + ：云0 ，系统( 3 1 ) 可以化为： 鲁一，新x i - - x j e ( 3 3 ) 对非负的平衡点i ，不妨假定x 0o ，x o ，i r 当然，也可以假定王有 不止一个分量为零，对下面的证明将不会有任何影响 d _ m 即x ，：z ? e x p ( y ，) i r _ = y ，把它代入( 3 3 ) 中有 y 1 ： y ， ： y 。一卜，二 ( 3 4 ) 这样我们就将讨论( 3 1 ) 的非负平衡点i + 的稳定性问题转化为 考虑( 3 4 ) 的零解的稳定性问题，便可以利用v 函数法 定义：y ( j ) = x ? q e x p ( y ，) 一y ，一1 + c ，y ， 二 w e x p ( y ，) 一y 。一1 其中f ， o ，i n 是矩阵c 的元素，即c = d i a g ( c ，c2 ，c ，) 定义有界闭集q = y l y ，o ，y ( 萝) ( 歹( f 0 ) ) ) ，( 歹( ，。) 是与歹( f 。) 有关的 一个正常数，且有上( 夕( “) ) v ( y ( t 。) ) ，则可得在q 中矿( 多) 0 ，且萝= 0 时 i ，( 歹) = 0 所以在q 中y ( 萝) 是正定的 此时， 丢yc歹。，。，=一。xrcyl，一-，一，y，一，excy。，一，f二，二 其中j = 0 o o 0 e x p ( y ) 一 y ， e x p ( y 。) 一 = 一；7 c a j = 一j 1 j 7 ( c a + 爿7 由翻明钐的正定性知警是定负的，则( 3 4 ) 的零解在q 中是 渐近稳定的，即( 3 1 ) 的非负平衡点i + 在q 中是渐近稳定的 又因为，当三( 罗( ，。) ) 哼o o 时，q 无限接近于 圳y ，0 ，”r i , i n ，i r ， 这个集合即就是集合 r ：，： x k r ”，x ，0 ，一 o ，i n ，i r ) ，因此( 3 1 ) 的非负t 、p l z 划- 鼎- x _ + 是全 局渐近稳定的则定理3 1 得证 证毕 在卜- 面的证明中平衡点i ：a r b 是非负的，而实际问题中平衡点 i + ：ar b 一般是不为零的，这就是我们对它的感兴趣所在，因为考虑 o b c 这个平衡点的稳定性问题对研究一个生物链系统中各物种的共存问 题很有帮助 根据上面的定理我们得到了关于系统( 3 1 ) 存在非负而全局稳 定平衡点的充分条件，而要做出平衡点稳定性的正确判定就必须得寻 找一个矩阵c ，看它是否满足定理中的条件寻找矩阵c 会给判定带 来很大的困难，因此将寻找矩阵的问题转化为比较容易判定的条件的 问题将会很有意义 3 3 判定条件的转化 首先，我们来看一个定理，下面的所有讨论都将在第二部分中的 假定下进行 定理3 2 ：在系统( 3 1 ) 中，如果不等式a 。 ( ”一1 ) 2 嘞订， i en ，en 成立，那么存在正定对角矩阵f 使翻捌7 f 也是正定的，即 系统( 3 1 ) 有一个非负而全局渐近稳定的平衡点 证明：令c = d i a g ( c l ，c 2 ，o ) 是正定的，j = ( _ ，x 2 ，x 。) 7 ，牙0 ， 对应于当( ( _ + ar c ) 的二次型： f ( x ，而，一，) = 去王7 、( c 爿+ a r c ) 牙 = t “。z ? + ( q 盯l 2 + c 2 口2 1 ) x l x 2 + - ，+ ( q 口i 。+ c 。q ，1 ) 工1 x n + ( f ，1 q h 。+ t ，g j ，, - i ) 一】x t ， = 喜姜i j 1 h 叩。印一呐+ i 1c ，咿铂 由引理3 1 和题中条件日，a 。 ( n 一1 ) 2 。”i n ，e 可知，不等式 t n 彬一志叩 0 j t 0 , i n 且a ! 0 ，日， o , i ，是竞争食物链系统 日， 0 , i n 且a 0 8 a 1 3 d 3 1 ，日2 2 口3 3 1 2 a 2 3 口3 2 ，a 2 2 口4 4 1 2 a 2 4 a 4 z 日肌i 川 1 6 a i a + l a i + l d 2 1 2 a h i ，n 一2 口h 一2 一l a m z c ”一2 8 a n , n - 2 ( i n - 2 , n c l 月一】，月一1 口月月 6 a h 1 a 月，h 一1 ， 成立，那么存在正定对角矩阵c 使( 洲+ c ) i e 定，即系统( 3 5 ) 有 个非负且全局渐近稳定的平衡点 证明：令：c ：d i a g ( c ，c 2 ，c 。) 是正定的，贾= ( x i ，x 2 ，x 。) ”r ”，贾0 同样利用二次型原理，考虑对应于圭( 例+ 彳7 c ) 的二次型， f ( x ， = ，：i x 2 ，x 。) = i i xf ( c 爿+ a r c ) i c ，a ，x ? + ( c i a l2+c2 a2 i ) x l x2 + ( c i 口i 3+c3 d3 i ) x l x3 + 9 0 0 o o o o o o 吒o ； m m m 他 恐 扯 d 口 口 们m m + ( q a 2 3 + q q 2 ) x 2 + ( c 2 a 2 4 + c 4 a 4 2 ) x 2 x 4 + ( c 。一1 a n i 。+ o 口n n - i ) x nl = 吉q n ，。彳+ c c t a l 2 + c 2 a 2 m ，x x ：+ j 1c ：a ：x ：2 + 薯 c ，q ，# + c c q ，+ e + ，q 扎，x x , + a + 圭。+ ，q 扎。x 2 。 + 1 c , c l m ，“c , a nn i - - c n - i c l n - 1 n ) x n x n _ i + 知越 当不等式( 3 6 ) 成立n , ，利用引理3 1 上式中每一项的判别式 均为债，即： l22 ( c l i 2 + c 2 d 2 1 ) 2 一兰3 t i c 2 n i i d 2 2 o ，= ( c 1 日，+ c ，口，) 2 一当c c ，口。l 口， o 即存在正定对角矩阵f 使翻捌7 f 正定，( 3 5 ) 有个非负而全局渐近稳定的平衡点 则定理3 3 得证可见，应用定理3 2 和定理3 3 ，要确定一个系统 非负平衡点的稳定性，我们不用很费力地去寻找矩阵c ，而是将定理 3 1 中的判定条件转化，只要判断。下矩阵元素a ，满足的条件即可， 这样使平衡点的稳定性判定问题容易了很多 3 4 其它领域的l o t k a v o l t e r r a 系统 1 经济领域的新产品促销系统 用常微分万程组表不产品促销系统如f ： 鲁毛卜喜q 1 0 删 其中n = f 1 ，2 ，门) ，”是所要促销的产品种数；函数一( ，) 表示 第i 种产品在f 时刻的销售率；常数扛表示第i 种产品的销售率最 大值：a , j ( i ，) 表示两种产品在促销过程中的相互制约性；“表示 第i 种，扣品销售率受内部因素影响的制约性 如果 a， e 表示各产品是受内部因素制约的1 i 0in 吼，0 ，0ie ，j n ，i j 表示两种产品的促销是相互竞争的 口，c0 ，“，c0fe v ，j n ，i ，表示两种产品的促销是相互互惠的 n ，a ，c0 ien ，e ，i 表示两种产品的促销是制约与被制的 这样的一，个产品促销系统，其非负而全局渐近稳定平衡点的存在 性完伞可以用前面已证明过的判定法来判定系统有一个非负而全局 稳定的平衡点即各产品的销售存在一个相对稳定的销售平衡状态 2 流行病的传播系统 流行病的传播系统可以用常微分方程组如下表示： 鲁鼍卜喜刊，删 其中n ： l 2 卅 ，一是流行病的种数：函数t ( f ) 表示在第f 时刻感 染第j 种流行病的人群密度；常数6 ，表示所有感染第 i 种流行病 的人群最大密度；吼( 待) 表示两种流行病在传播过程中的相互制约 性；峨表示第i 种流行病受周围环境，内部变异等凶素影响的内部 制约性 如果 a ， 0 ，f v 表示各流行病在传播过程中有自身减弱的趋势 o ，口，0 ，f e ，f ，表示两种流行病的传播是相互制约 的 日。 0 珂， 0 is ，e | v ，表示两种流行病的传播是相互互为 有利条件的 n 。d ，c 0 ，f en ，e ，海，表示两种流行病的传播是制约与被制 约的 同样可以利用前同己证明过的判定法来判定系统中非负平衡点 的稳定性问题若系统有个非负而全局稳定的平衡点即感染各流行 病的人群存在一个相对稳定的平衡状态除此之外，这种n 维 l o t k a v o l t e r r a 系统模型及它的平衡点稳定性问题还可以推广到更 多领域，如岩石的剥落，元素的放射等 参考文献 【lj l sc h e n m a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dm e t h o d si n e c o l o g y , s c i e n c e p r e s s ，19 8 8 ( c h i n e s e ) 2j y k a n g “d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h a p p l i c a t i o n s i n p o p u l a t i o n sd y n a m i c s ”，a c a d e m i cy o r k ，l 9 9 0 3 窦霁虹一类生化系统奇点的分类延安大学学报，2 0 0 0 ，1 2 ( 3 ) ：2 2 2 3 4 张艇芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜微分方程定性理论北京科 学冉版社，1 9 8 5 ，5 3 5 6 5 马知恩，周义仓常微分方程定性与稳定性方法北京科学出版 利：，2 0 0 l ，1 0 9 - 1 1 4 ， 6 l o uyo nd i f f u s i o n i n d u c e d b l o w u p si n am u t u a l i s t i c m o d e l j n o n l i n e a r a n a l ，2 0 0 1 ，4 5 ：3 2 9 3 4 2 7 l o uyn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e s o l u t i o n so fc e r t a i n c o o p e r a t i v es y s t e m j n o n l i n e a r a n a l ，19 9 6 ，2 6 ：10 7 9 10 9 5 8 k o r m a nr ，l e u n ga o nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f p o s i t i v e s t e a d y s t a t e si nt h ev o l t e r r a l o t k a e c o l o g i c a l m o d e l sw i t h d i f f u s i o n j a p p la n a l ，1 9 8 7 ，2 6 ：1 4 5 - 1 6 0 9 李艳玲，马逸尘具有饱和项的惠模型正解的存在性 j 】西安 交通大学学报，2 0 0 3 ，3 7 ( 6 ) ：6 5 0 6 5 3 1 0 x u e z h il i ，c h u n - l e i t a n ga n d x i n h u aj i t h ec r i t e r i af o r g l o b a l l y s t a b l e e q u i l i b r i u m i nn d i m e n s i o n a ll o t k a v o l t e r r a s y s t e m s ，j o u r n a l o fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s 2 4 0 rl9 9 9 ) 6 0 0 6 0 6 11 j u n j i ew e i ，s h i g u ir u a n s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n i nan e u r a l n e t w o r km o d e lw i t ht a o d e l a y s ，p h s i c ad1 3 0 ( 1 9 9 9 ) 2 5 5 2 7 2 1 2 s h i g u ir u a n a b s o l u t es t a b i l i t y , c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y