（基础数学专业论文）关于四元heisenberg群上的平均值定理和唯一延拓性.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 本文以四元h e i s e n b e r g 群为研究对象。主要研究了以下三个方面的内容： 首先，鉴于欧氏空间中l a p l a c e 算子的平均值定理和h a r d y 不等式在偏微分 方程和相关学科中所起的重要作用，我们在四元h e i s e n b e r g 群上建立次l a p l a c e 算子的平均值定理。作为对平均值定理的运用，我们得到p 为2 的h a r d y 不等式 和不确定原理。利用p i c o n e 恒等式的方法，我们得到四元h e i s e n b e r g 群上一般p 的h a r d y 不等式。 其次，我们通过考察球面函数的技巧，得到四元h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的唯一延拓性的若干结果。 最后，我们建立四元h e i s e n b e r g 群上p 一次l a p l a c e 算子的基本解，并证明 四元h e i s e n b e r g 群是一个可极化c a m o t 群。 关键词；四元h e i s e n b e r g 群，平均值定理，h a r d y 不等式，唯一延拓性，基 本解，可极化c a m o t 群。 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yf o l l o w i n gt h r e ep a r t so nq u a t e r n i o n i ch e i s e n b e r gg r o u p s ： f i r s to fa l l ，i nt h ev i e wo ft h em e a nv a l u et h e o r e ma n d h a r d yi n e q u a l i t i e sp l a y i n g a ni m p o r t a n tr o l ei np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dr e l a t e ds u b j e c t so nt h ee u c l i d s p a c e ，w ee s t a b l i s ht h em e a nv a l u et h e o r e mf o rt h es u b l a p l a c i a no nq u a t e m i o n i c h e i s e n b e r gg r o u p s a ss o m ea p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i nh a r d yi n e q u a l i t i e sa n dt h e u n c e r t a i n t yp r i n c i p l eb yu s i n gt h em e a nv a l u et h e o r e mi nt h ec a s eo fp = 2 w h a t s m o r e ，b yu s i n gt h em e t h o do fp i c o n e si d e n t i t y , w eg e tt h eh a r d yi n e q u a l i t i e sf o r g e n e r apo nq u a t e m i o n i ch e i s e n b e r gg r o u p s s e c o n d l y , b yt e c h n i q u e so fs u r v e y i n gs p h e r i c a lf u n c t i o n s ，w ei n v e s t i g a t eu n i q u e c o n t i n u a t i o n p r o p e r t i e s o n q u a t e m i o n i ch e i s e n b e r gg r o u p s ，a n do b t a i ns o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t s a tl a s t ，w ee s t a b l i s ht h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h e p - s u b l a p l a c i a no n q u a t e m i o n i ch e i s e n b e r gg r o u p sa n dp r o v ea l li n t e r e s t i n gf a c t st h a tq u a t e m i o n i c h e i s e n b e r gg r o u p sa r ep o l a r i z a b l ec a r n o tg r o u p s k e y w o r d s ：q u a t e m i o n i ch e i s e n b e r gg r o u p s ，m e a nv a l u et h e o r e m ，h a r d y i n e q u a l i t i e s ，u n i q u ec o n t i n u a t i o np r o p e r t i e s ，f u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ，p o l a r i z a b l e c a m o tg r o u p s 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留井向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许沧文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：丑壶i 率 指导教师签名： 学位论文作者签名：= 厶够i e 指导教师签名： 刍钐期参托 却。产弓月f 7 日 2 - 。7 年 月，7 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果。不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一即相关的法律责任。 学位论文作者签名生壹搀 刃d 7 年j 月 f - 7 日 西= l l ：- r 业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 四元h e i s e n b e r g 群与h e i s e n b e r g 群的比较 h e i s e n b e r g 群、四元h e i s e n b e r g 群是典型的齐次群，近些年来，许多学者对 h e i s e n b e r g 群作了大量的研究，所涉及的范围相当广泛。无论是在分析领域，还是 在代数，几何，方程等领域，其研究内容和体系都已十分深刻和完整 ( 【3 ，l l ，1 2 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 0 等) 从所周知，h e i s e n b e r g 群( h “- - c ”r ) 所对应的复 数域c 对乘法具有交换律和结合律，然丽，四元h e i s e n b e r g 群( h ”月3 ) 所对应 的四元可除代数h = r x r 对乘法只具有结合律，不具有交换律；同时，四元 h e i s e n b e r g 群所对应的向量场结构( 见第二章的引言部分) 远比h e i s e n b e r g 群复杂， 因此研究四元h e i s e n b e r g 群比研究h e i s e n b e r g 群困难得多。目前，越来越多的学 者在关注着四元h e i s e n b e r g 群的研究，并取得了很多好的结果( 【5 】【6 】【7 】【8 】【9 】【lo 】) ， 然而，相比较h e i s e n b e r g 群而言，四元h e i s e n b e r g 群上的研究仍然是不完整的。 1 2 本文研究的内容和方法 鉴于以上考虑，本文以四元h e i s e n b e r g 群和微分算子为研究对象。主要研究 了以下三个方面的内容： 一、欧氏空间中l a p l a c e 算予的平均值定理和h a r d y 不等式在偏微分方程和相 关学科中起着重要的作用( 见【l ，2 】) 。近年来，由于由向量场构成的退化椭圆方程 的唯一延拓性，特征值等问题研究的需要，建立与向量场相联系的平均值定理和 h a r d y 不等式引起了人们极大的关注。1 9 9 3 年，g a r o f a l o ，n ，在【3 】中研究了 h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的基本解、平均值定理、h a r d y 不等式和不确定原 理；1 9 9 8 年，w a l l e g r e t t o 和y x h u a n g 在【2 】中证明了欧氏空问彤上的p i e o n e 恒 等式，并利用此恒等式给出了广泛的应用，其中提及h a r d y 不等式可由p i c o n e 恒 等式得到；2 0 0 1 年，钮鹏程等人在 1 2 】中将此恒等式推广到h e i s e n b e r g 群上，并 由此导出h e i s e n b e r g 群上的一般p 的h a r d y 不等式( 【3 】中的h a r d y 不等式是这里 p - - - 2 的特殊情形) 沿着这种思路，我们克服四元h e i s e n b e r g 群复杂的向量场结构 西北工业大学硕i 论文 的困难，首先建立了四元h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的平均值定理，同时，作 为对平均值定理的运用，我们又建立了p 为2 的h a r d y 不等式和不确定原理；然 后，运用【2 】中的技巧，我们把相关结果推广到了四元h e i s e n b e r g 群上，得到了四 元h e i s e n b e r g 群上一般p 的h a r d y 不等式。 二、近年来，越来越多的学者在关注着关于某类算子方程解的唯一延拓性 ( 【4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】等) 。1 9 9 2 年，潘一飞( 【1 6 】) 研究了欧氏空间中关于 s c h r o d i n g e r 算子的难一延拓性问题；2 0 0 3 年，张慧清和钮鹏程等人( 【1 5 】) 利用 c a r l e m n 型估计的方法研究了关于h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的唯一延拓性问 题；2 0 0 5 年，韩静和潘一飞把【1 6 】的思想推广到h e i s e n b e r g 群( 【1 7 】) 上，他们通 过分析h e i s e n b e r g 群上球面函数的性质，研究了关于h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算 予的唯一延拓性，这一方法的推广使得关于算子方程解唯一延拓性的研究变得更 加简洁。在本文的第三章中，我们结合【1 6 】和【1 7 】的思想和技巧，通过研究四元 h e i s e n b e r g 群上球面函数的若干性质，得到了四元h e i s e n b e r g 群上带奇异位势的次 l a p l a c e 方程解的唯一延拓性结果。 三、考虑到基本解的重要性，在第四章中，我们建立了四元h e i s e n b e r g 群上p 一次l a p l a c e 算子的基本解，该基本解包含了朱理( 【5 】) 的结果( 见注4 2 2 ) ，最后 我们证明了四元h e i s e n b e r g 群是一个可极化c a m o t 群( b a l o g h 【2 5 】) 。 1 3 本文研究的意义 本文对四元h e i s e n b e 唱群做了较系统的研究，得到了该群上的平均值定理，并 运用平均值定理的方法得到t p 为2 f i ：j h a r d y 不等式和不确定原理；运用p i e o n e 恒等 式的方法建立了一般p 的h a r d y 不等式，这个结果使得该群上对h a r d y 不等式的研究 系统而完整；同时，利用球面函数的方法得到了该群上带位势的次l a p l a c e 方程解 的唯一延拓性若干结果，在这方面的研究中，仍然用到了前面建立的平均值定理； 最后，得到了p 一次l a p l a c e 算子的基本解，推广了朱理( 【5 】) 所取得的结果，并证 明了四元h e i s e n b e r g 群是可极化c a m o t 群这一有趣的结果。 我们相信，对四元素h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子、p 次l a p l a c e 算子各种研究 结果的取得，将有助于高步c a m o t 群的研究，同时也丰富了偏微分方程的普适理论， 深化和扩大数学各分支间的联系，如偏微分方程、幂零l i e 群等。 西北工业大学硕士论文 第二章关于四元h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子 的平均值定理和h a r d y 不等式 2 1 引言及主要结果 我们知道，欧氏空间中l a p l a c e 算子的平均值定理、不确定原理和h a r d y 不等 式在偏微分方程和相关学科中起着重要的作用( 【l ，2 】) 。近年来，由于由向量场构 成的退化椭圆方程的唯一延拓性、特征值等问题研究的需要，建立与向量场相联 系的平均值定理、不确定原理和h a r d y 不等式引起了人们极大的关注。文【3 】和丈 【4 】分别对h e i s e n b e r g 群上的次l a p l a c e 算子和重要的b a o u e n d i - - g r u s h i n 算子，通 过给出其平均值定理，建立了h a r d y 不等式( p = 2 情形) 和不确定原理；文【1 2 】 则应用p i c o n e 恒等式的方法建立了h e i s e n b e r g 群上一般p 的h a r d y 不等式，推广 了文【3 】的结果。 ： 经典的h e i s o n b e r g 群为”= c ”r ，其中c 为复数域。这里，用四元素 h ( h = r x r 3 ) 来替代日“= c ”r 中的c ，用彤来替代h ”中的r ，即四元h e i s e n b e r g 群为h ”p ，该群的群结构和向量场远比h e i s e n b e r g 群上的复杂。目前，四元 h e i s e n b e r g 群上的研究引起了越来越多学者的关注( 【5 6 78 ，9 ，1 0 】) ，但相比较 h e i s e n b e r g 群而言，四元h e i s e n b e r g 群上的研究是不完全的。文【5 】给出了四元 h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的基本解，并用基本解证明了卷积算子的有界性， 文 6 p l u 得到了该群上的热核的具体表示公式。至此，我们自然会闯：文【3 】和文f 1 2 】 中h e i s e n b e r g 群上的重要结果，如平均值定理、不确定原理和h a r d y 不等式在四 元h e i s e n b e r g 群中是否成立? 本章探讨这些问题。 为方便叙述，我们先介绍四元h e i s e n b e r g 群的基本知识。 沿用文献【5 ，6 】的记号，我们用h 表示r 帮的除环，其上的乘法法则定义如下： p q = ( 丑，u ) ，v ) = = ( 五- - u v ，j l , v + a u + u xv ) ( 2 1 1 ) 其中p 五，u ) q = ，v ) h ，2 , t r ，u ，v e r ，u v 和u v 分别表示u 与v 的内积和外 里型坚型生篁兰堡主堡奎 积对p = ，u ) h ，我们用记号名= r e ( p ) ，u = t m ( p ) 。p 的共轭记为硝丑一u ) ，p 的 模记为l p l ：( p 毋： z + u ：) j 1 其中 我们用h h ”表示力维的四元h e i s e n b e f g 群，定义乘法法则如下 ( u ，帆t ) 咿w ，v + t + 2 i m ( w p _ p ” ( 2 1 2 ) 睁i ( u ，。产( ”i ；u n ；v j ，吃，匕) 这里u ，( u p o ，u p l ，2 ，咋j ) h ，p = 1 ，n ， ( w ，t ) 鼍w 一；w n ；，l ，f 2 ，t d ，这里w ，= ( 。， ，l ，w ，2 ，”0 ) h ，：1 ，n 下列向量场构成了h - ”的李代数基底 以。 巧， x d t x 口3 5 毒以毒一：毒一z 毒 2 寺+ z 毒+ z ，番一2 考， = 老一z 暑+ ：毒+ z 毒， q - 3 2 a - - 旦- - + 2 u 2 毒- 2 u _ - o - - - + 2 u 叫o 0 _ 其中i p 刀。 以上向量场的l i e 括号满足 f 乃”杉】2 【_ ：，】= 4 者， ”砟：】= f ，】_ 4 毒， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 【，】- 【， “杀， ( 2 1 6 ) 其余的l i e 括号为零，因此，四元h e i s e n b c 喀群是二步幂零l j e 群， 构成h 日6 的李代数基底的向量场组为 z = 0 ，置- ，五z ，五，置。，瓦。，以2 ，z ，) ，( 2 1 7 ) 其上的广义梯度 4 西北工业大学硕士论文 v 。= ( “，五，五：，托，以。，五。，五2 ，以，) ， ( 2 1 8 ) h 上次l a p l a c e 算子定义为 3 三= 砟， ( 2 1 9 ) 通过简单计算，又可记为 上= 吾nt 丢3 荔2 + 。善3 蚤3 弓寿2 + 。耋c 。丽9 2 一丽9 2 ， + 4 “e 卅，i 一番_ ) ， 眨。， 其中1 i , j ，k s 3 ，o ，_ ，k ) 为一个循环置换。 相应地，h h ”上p 一次l a p l a c e 算子定义为 伊= n 3 爿0 q v 。妒l ”2 y 0 妒) ：旭q v 。叫9 _ 2 v 。力， ( 2 1 1 1 ) h h 4 上的伸缩群 蟊：0 ， o ，均有 l 争s 壶吾p 南+ 白2 肌酬2 ， 也， 其中见( 2 2 2 7 ) 式定义。 利用上面的定理2 3 1 ，可得p = 2 的h a r d y 不等式： 定理2 3 2 ( h a r d y 不等式) 若伊c o ( f “ ( 0 ) ) ，则 l 。争s 白2 l 。l v z 妒1 2 ， 经比 其中见( 2 2 2 7 ) 式定义。 应用上述h a r d y 不等式我们可以得到下面的不确定原理 定理2 3 3 ( 不确定原理) 对v 矿g ( 矗“、 ( p ) ) ，我们有 ( l 2 咖) ( 川v 。9 1 2 ) 学) 2 ( k 咖) 2 ，( 2 1 2 1 ) 其中见( 2 2 2 7 ) 式定义。 定理2 4 1 ( p i c o n e 恒等式) 设在h h ”或q ch 日”上t 伊o ，妒 o w 微，p i ， 记 6 西北工业大学硕士论文 则 纬( 州) = m 9 坳_ 1 ) 等m 9 一p 芦妒p - i m v 缈v 。妒， 易( 州) = i v c 纠9 一俐一v c ( 为矿， g ，) = b 印，庐) ， ( 2 1 2 2 ) 当且仅当在h h ”或q c 明”上几乎处处成立v c 呼) = o 时，g ( 妒，妒) 几乎处处为 零。 定理2 4 3 ( h a r d y 不等式) 设矿e g ( 尺4 ”3 、f 0 ) ) ) ，1 o 有 。赤l 伊尚， ( 2 2 3 5 ) ( 2 2 3 6 ) 在四元h e i s e n b e r g 群中，对不在原点e 处的函数可以通过上式( 2 2 3 6 ) 的左平 移得到。 2 3 p = 2 时的h a r d y 不等式 在本节中，我们致力于在四元h e i s e n b e r g 群上建立p = 2 情形的h a r d y 不等式， 先让我们回忆一下f c d e r e r 余面积公式：设f e p 俾”) ，g l i p ( r ”) 则 l m 肛c l 尚砜抑， 其中d h h l 是n 一1 维h a u s d o r f f 测厦，且a e p r 在 g = 办上确v g 0 。则对任葸 的伊，由余面积公式( 2 3 1 ) 可得 f eq d h + 3 2 r k 耙一和。 卿) 特别地 l 耳b = r k 尚产一咖，陋l 咿2 e 尚产一n 。( 2 3 s ) 下面，我们利用2 2 中建立的平均值定理2 2 5 给出定理2 3 1 的证明： , p 2 应用矬2 5 ，由警= 南得： 堕韭三兰兰查堂堕主丝苎 b 易c 矿2 向咖r ；i 和d 呐o bl l 0 2 ( f - p - - - 妥_ 2h 2 。，卜 = 【古丢 _ 象肛争节p ，卜 地_ 1 ) v i _ , ( ：一：。- c 口l l - 垆r 加一扣。) 印 + 石乏獗r 易 t 啪矿一净节 咖 = 志r 丢 l 啪矿一每，卜 地叫r 古( l 缈2 糊d 肛 注意到在a 耳上，r = 喜，根据余面积公式及散度定理得： ( 2 3 4 ) 易【l 啪c r 一嘉肛万d ol 啪正一嘉) 南瑚 = 队嘞2 ，铲由西 = 警l 删加 = 字k 伽2 ，阿v d 纪， 把( 2 3 5 ) 式代入( 2 3 4 ) 式右端得到 砖丢h 矿尚 和地枷r 专心矿尚卜一r 刍m 胛矿，罱卜 = ( q d l 矿蒡一鼍产 由余面积公式和矿e g 俾“”、 p ) ，并结合( 2 3 6 ) 得： l 争2r c l 芋尚矽p = r 卜扣k 9 2 静p ( 2 3 6 ) 西北工业大学硕士论文 x lr ：2 翌9 t ：, , 1 夏d 羔2 晓，m 一号妒2 尚+ ( q - 1 ) l 矿劳一l 等华 化荷( 2 3 7 ) 得到 c 卿，争弓矿尚+ l 鼍产 = 吾伊2 尚+ z e 单；掣矗南 ；l 矿尚+ 孚lq , 2 d v 。+ 壶肌叫2 即 l 争矗吾l 伊2 尚+ 岛，2 肌9 1 2 。 定理2 3 1 得证。 应用定理2 3 1 ，我们立即可得四元h e i s e n b e r g 群上的h a r d y 不等式定理2 3 2 的证明： 把定坪2 3 1 的积分区域蛮为r 4 n + 3 得到： l 。2s 瓦2m i f 。，妒2 阿。：+ 亡q - 2 ) 2l 。i v 。伊1 2 ， 注意到伊c 孑( r 4 ”3 、 ( p ) ) ) ，上式右端第一项便为零，所以 即 l 。争( 老) 2l i 纠2 。 定理2 3 2 得证。 应用上述h a r d y 不等式我们可以得到的定理2 3 3 不确定原理的证明 利用c a u c h y 不等式和定理2 3 2 有： ( 孚) 2 ( l 。咖) 2 - 譬) 2 ( l 。州妒；) 2 单2 ( l 。蒡洲l 脚) s ( 竿) 2 白2 ( 川v 。妒1 2 ) ( l 。伊2 。2 矿) 1 6 西北工业大学硕士论文 ( l 肿，d 2 伊2 ) ( l 舯，j v 。纠2 ) 2 ( 专与2 ( l 。伊2 矿) 2 。 定理2 3 3 得证。 2 4p i c o n e 恒等式和一般p 日gh a r d y 不等式 钮鹏程等人( 【1 2 】) 通过建立h e i s e n b e 曙群上的p i c o n e 恒等式得到了h e i s e n b e r g 群上一般p 的h a r d y 不等式，在本节中，我们应用这一思想，在四元h e i s e n b e r g 群得到了相应的结果。 我们首先给出定理2 4 1p i e o n e 恒等式的证明： 注意到 v 。( 知= 妒胪忙1 ) ) + f i - ( p - t ) v l ( = ( p 一1 ) 伊矿一v ( 庐) + p 妒p 一1 矿一产1 勺( 力 = p 笋v c 一p - 1 ) 笋v c 慨 ( 2 4 1 ) 把( 2 4 2 ) 代入到巧( 妒，矿) 中可得： 岛泐力= f 9 t 妒r f 吼妒i p 笋v 。( 力一( p 1 ) 芳l 侈) 。( ) = m 9 一p 笋p - im 肿v 删，v l 鼢( 川) 笋m 9 = 2 ( 弘声) ， 所以p i e o n e 恒等式( 2 1 2 2 ) 成立。 下面，我们证明鳞( 矿，矿) 几乎处处为零的充要条件a 注意到绯印，) 可改写为 彩积护酬9 一p 笋m 川m 坳- 1 ) 笋m + p 务m ”2 q v 。伊限i 纠吧卵翩 记 墨= m 一p 笋p - ii v 。矿仰t 叫砌_ 1 ) 笋m ， 最= p 筹m 即( i v l 妒帅i i - v v l 鼽 显然0 1 7 西北工业大学硕士论文 有： 取口= i v 砩卢= 捌川，利用y o 啪g 不等式筇笙p + 等( 其中三p + 吉= 1 ) 墨= a - p a p + ( p 一1 ) p 刍；p 譬+ 马一p a ：- 0 ，墨+ ( p 一9 - 1 = p ( = 一+ 一) 一 ， p g 这里利用了p - i ：旦，冬= p q = q 。 gp lp 因此 g 劬，矿) = 墨+ 最o 机争舭吼( 加詈吼则 s = 等f v 。妒卜p 笋i v c 矿卜( p _ 1 ) 笋p l v c 卜。， - - p 等l v 。2 q v 。1 2 一t v c 弗= 。， 于是 q ( 矿，) = 墨+ 最= 0 反之若眈( 仍矿) ( ) = o ，则分别考虑下列两种情形： ( i ) 当矿( 而) o 时，必有墨= o ，岛= 0 。由墨= o 及y o u n g 不等式中等式成立 的条件知 卧训2 詈i v c 咧 ( 2 4 2 ) 由岛= o rh o l d e r 不等式中等式成立的条件知 v ( 妒) = k v ( 矿) ( 2 4 - 3 ) 将( 2 4 3 ) 式代入到( 2 4 2 ) 式得：9 ：坳，即v 。( 罢) ：0 。 口 ( 2 ) 当伊( 而) = o 时，记集合s = x e r 4 ”i 矿( x ) = o ) ，则在s 中几乎处处有 v ，口= 0 ，因而 西：t l ：- r 业大学硕士论文 v t 铲她产一o 综上知q ( 仍妒) 几乎处处为零的充要条件的结论成立定理2 4 1 得证 为证明四元h e i s e n b e r g 群上一般p 的h a r d y 不等式，我i f 先给出下面的引理： 引理2 4 2 设对某个a o ，矿c z ( q ) 满足：一l p # - 五g # p - i ，且在h ”上， o ，则对于x p 中的矿0 有： l 。i v 。叫92 兄l 。g m 9 ( 2 4 4 ) 证明：由定理2 4 i 得： o s l 舯，g ( p ，矿) = l 。彤( 仍力 = l 。i v , 矿1 9 一l 。i v , 纠p - 2 v l ( 净帆