（基础数学专业论文）拓扑空间中的kkm型定理及广义向量平衡问题.pdf

f c 空间中的k k m 型定理和广义矢量平衡问题 基础数学专业 研究生郑莲指导教师丁协平 本文主要对非线性泛函分析中的几个热点问题在不具有任何线性结构和凸 性结构的有限连续空间( 简称f c 空间) 中作了进一步的分析和研究，对已有 的结果进行了统一和推广。 首先，在f c ；空间中得到了涉及容许类集值映射和具有紧局部交性质的更 为一般的k k m 型定理，作为应用，在f c - 空间中证明了一些新的重合点定理和 不动点定理。 其次，在f c - 空间中引入了新的拟平衡问题组，并应用f c - 空间中的不动 点定理，证明了这些拟平衡问题组的平衡点的存在定理。 最后，在f c - 空间中引入了f c - k k m ( x , 1 1 集值映象类，并在f c 空间中证明 了一些新的k k m 型定理和重合点定理，作为应用，证明了f c - 空间中抽象广义 矢量平衡问题平衡点的存在定理。 关键词：f c - 空间；k k m 型定理 许类集值映射；紧局部交性质； 射类；抽象广义矢量平衡问题 重合点定理；不动点定理；容 拟平衡问题组；f c - k k m ( x , n 集值映 k k m t y p e t h e o r e m sa n dg e n e r a l i z e dv e c t o r e q u i l i b r i u m p r o b l e m si n f c - s p a c e s m 对o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t el i a nz h e n g s u p e r v i s o r x i e p i n gd i n g t h i sp a p e r m a i n l yf u r t h e rs t u d i e ss e v e r a lf o c u sp r o b l e m so f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s i nf i n i t e l yc o n t i n u o u st o p o l o g i c a ls p a c e s ( i ns h o r t ，f c - s p a c e s ) w i t h o u ta n yc o n v e x i t ya n dl i n e a r s t r u c t u r e ，u n i t e sa n dg e n e r a l i z e ss o m e k n o w nm s n l t si nr e c e n tl i t e r a t u r e a tf i r s t w ee s t a b l i s hs o m en e wk k m t y p et h e o 【e m si n v o l v i n ga d m i s s i b l es e t - v a l u e d m a p p i n g s a n dt h es e t - v a l u e dm a p p i n gw i t hc o m p a c t l yl o c a li n t e r s e c t i o np r o p e r t yi nf c s p a c e s a sa p p l i c a t i o n s ，s o m en e wc o i n c i d e n c et h e o r e m sa n df i x e d p o i n tt h e o r e m s a r e p r o v e d i n f c - s p a c e s n e x t w ei n t r o d u c es o m en e ws y s t e m so fq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m si 1 1f c - s p a c e s b y a p p l y i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nf c - s p a c e sd u et ot h ea b o v e ，s o m en e w e x i s t e n c et h e o r e m s o fs y s t e m so f q u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s a r eo b t a i n e d e v e n t u a l l y , w ei n t r o d u c eac l a s so ff c - k k m ( 墨聊i nf c - s p a c e s ，a n de s t a b l i s hs o m e n e wk k m t y p et h e o r e m sa n dc o i n c i d e n c et h e o r e m si n v o l v i n gt h ec l a s so ff c 一删”i n f c - s p a c e s b ya p p l y i n gt h e s er e s u l t s ，w ep r o v es o m eu e w e x i s t e n c et h e o r e m so fe q u i l i b r i u m p o i n t sf o ra b s t r a c tg e n e r a l i z e d v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s k e yw o r d s ：f c - s p a c e s ； k k mt y p e t h e o r e m s ； c o i n c i d e n c e t h e o r e m s ； f i x e dp o i n tt h e o r e m s ；a d m i s s i b l es e t - v a l u e d m a p p i n g s ；c o m p a c t l yl o c a l i n t e r s e c t i o n p r o p e r t y ；s y s t e m s o f q u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ；f c - k k m 陇的； a b s t r a c t g e n e r a l i z e d v e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m s i i 第一章前言和预备知识 1 1 前言 自从1 9 2 9 年有限维空间中经典的删定理 i 诞生以来，由于它在非线 性分析的理论研究和应用方面的重要地位，很多学者已从多个方向对其进行推 广和改进。1 9 6 1 年，f a n 2 把经典的k k m 定理推广到了无穷维的h a u s d o r f f 拓扑矢量空间并建立了f a n s 几何引理。1 9 6 8 年b r o w d e r 3 给出了这一几何引 理的匹配定理一f a n b r o w d e r 不动点定理；1 9 7 2 年f a n 4 运用这一几何引理 建立了k yf a n 极大极小不等式。这些结论在非线性分析的诸多领域，比如对 策理论，控制理论，不动点理论，凸分析理论，数理经济，力学，微分方程， 优化理论，非线性规划等理论和应用学科中都有极为重要的作用。 1 9 8 7 年h o r v a t h 5 ，6 用伪凸性和可缩性代替凸性假设将f a n ，s 几何引理 2 和k yf a n 极大极小不等式进行了推广。基于h o r v a t h 的这一概念，1 9 8 8 年 b a r d a r o 和c e p p i t e l l i 7 引入了h 一空间，并将k yf a n 极大极小不等式进一步 推广到h 一空间。沿着这个方向，1 9 9 7 年p a r k 和k i m 8 ，9 引入了包含保序条 件的广义凸( 或g 一凸) 空间，并在该空间中引入了容许集值映射类u ：( 五d 。 g 一凸空间包含凸空间 1 0 ，1 1 ，伪凸空间 1 2 以及h - 空间等作为特例。随后， p a r k 1 3 和b e n e l m e c h a i e k h 等 1 4 去掉此多余的保序条件给出了g 一凸( 或 l 一凸) 空间的定义。2 0 0 3 年d e n g 和x i a 1 5 引入了从非空集到拓扑空间上的 一类耨的广义r k k m 映象，它摆脱了以往结果中关于空间任何凸性的假设， 在不要求空间凸性的条件下证明了一些广义r 一删定理。最近，d i n g 1 6 引 入了没有任何线性结构和凸性结构的有限连续空间( 简称fc 一空间) ，包括上 述所有抽象凸空间作为特例。 。 具有局部交性质的集值映射概念由w u 和s h e n 1 7 在试图推广d i n g ，k i m 和 t a n 1 8 中的连续选择定理时引入的，它包含了具有开逆的集值映射作为特例。 d i n g 1 9 引入了具有紧局部交性质的集值映射，并在一凸空间中证明了一些新 的涉及容许类集值映射和具有紧局部交性质的k k m 定理和重台点定理。本文第 二章首先在没有任何凸性结构和线性结构的fc 一空间中证明了一些新的涉及 容许类集值映射和具有紧局部交性质的k k m 型定理。作为应用，在fc 空间 中得到了一些新的不动点定理和莺合点定理。作为第二章的延续，本文第三章 首先引入了一些新的拟平衡问题组，并运用第二章所得到的不动点定理，证明 了这些拟平衡问题组的平衡点的存在性。推广了d i n g 2 0 中的相应结论。 1 9 9 6 年，c h a n g 和y e n 2 1 从向量空间的凸子集到拓扑空间引入了一个范 围较大的集值映象类k k m ( x ，y ) ，它包含了p a r k 8 ，9 引入的容许类u ! ( z y ) ，p a r k ，s i n g h 和w a t s o n 2 2 引入的上半连续具紧零调值的集值映射类y ( 工，y ) 以及b e n e 1 一g i c h a i e k h 和d e g u i r e 2 3 引入的上半连续具紧值的逼近 集值映射类爿( x ，y ) 等作为特例。最近，l i n ，k o 和p a r k 2 4 在g 一凸空间 中引入了一类g k k m ( x ，y ) 集值映射类，将k k m ( x ，y ) 类由凸空间 推广到了广义凸空间。本文第四章第二部分在没有任何凸性结构和线性结构的 fc 圣间中引入了一类新的fc k k m ( x ，y ) 集值映射类，并在fc 空 间中证明了一些新的k k m 型定理和重合点定理。 自经典矢量变分不等式问题在有限维欧氏空间被g i a n n e s s i 2 5 引入以来， 由于它在矢量优化、优化控制、对策论以及经济平衡等阕题中的重要作用，已 有许多学者从各个不同的方向对其进行了改进和推广。其中广义矢量变分不等 式和广义矢量平衡问题已成为经典矢量变分不等式的重要发展方向，见文献 2 6 。最近，d i n g 和p a r k 2 7 在g 一凸空间中引入了抽象广义矢量平衡问题， 包含了矢量变分不等式问题、矢量平衡问题、广义矢量变分不等式问题和广义 矢量平衡问题作为特殊情形。受此启发，本文在第四章的第三部分证明了fc 一 空间中四种类型的抽象广义矢量平衡问题平衡点的存在定理，推广和改进了最 近文献中的相应结果。 1 2 预备知识 一记号与用法 乡。一j 的一切子集的簇 ( x ) x 的一切非空有限子集的簇 i a 卜一爿的基数 c l ( z ) 一x 的闭包 c c l ( x ) 一石的紧闭包 c l ，( a ) 一a 关于x 的闭包 i n t ( x ) 一x 的内部 c j n t ( x ) x 的紧内部 y n t ，( a ) 一一4 关于x 的内部 。矿维标准单形，其顶点为e o ，e 1 ，e 。 ，一预点 e ，? 坍的凸包，其中多jg 以1 ，z ，力 二定义 下面的定义适用于整篇文章。 定义1 2 1 16 称( x ，f 妒，) ) 为有限连续空间( 简称，f c 空间) ， 若丑为拓扑空间，且对每一= x o ，z ，x 。) 伍) ，都存在连续映射尹。： 厶。一x 称f c 空间( x ， 妒。 ) 的子集m 为并的f c 一子空间，若对每一个n = ，t ) 伍) ，及对每一个 气，。，工t ) nn m ，都有妒( a k ) m 注：fc 空间是一种无任何线性结构和凸性结构的一种拓扑空间，包括了 所有的抽象凸空间作为特例。显然每一个fc 一空间都包括庐和自身作为fc 一 子空间。 定义1 2 2 2 8 设z 是拓扑空间，称x 的子集爿是紧闭( 紧开) 的， 如果对x 中的每一个非空紧子集k ，一nk 在k 中是闭( 开) 的。记爿的紧闭 包和4 的紧内部分别定义为c c l ( 爿) = n 口x ：a c z ? 且口是紧闭的) ，c s n t ( 4 ) = u 口x ：b 量爿且口是紧开的 。 显然，c c l ( a ) 在z 中一定是紧闭的，c i n t ( a ) 在盖中一定是紧开的；爿是 紧闭的当且仅当a ：c c l ( a ) ，a 是紧开的当且仅当爿= c i n t ( a ) ；且对x 中的 任一非空紧子集k ，a n k 莎，有c c l ( a ) n k ：c l 。( an k ) ，c i n t ( a ) n k ：i n t k ( 爿nk ) 定义1 2 3 设置是非空集，l ，是拓扑空间。 ( 1 ) 2 9 称t ：x 一? 7 是转移闭( 转移开) 值的，如果对任一z x 和 任一y 隹丁( x ) ( ye t ( x ) ) ，都存在z7 x ，使得y 隹c zt ( x7 ) ( y i n t 丁( x7 ) ) ； ( 2 ) 2 8 3 称t ：x 一2 7 是转移紧闭( 转移紧开) 值的，如果对任一z x 和 y 中每一非空紧子集k ，y 萑t ( z ) nk ( y t ( x ) nk ) ，都存在x7 正 使得y 仨c c z 丁( x7 ) n k ( y c i n t t ( x7 ) n k ) ； 显然，开( 闭) 值映射一定是紧开( 紧闭) 值映射，同时也一定是转移开 ( 转移闭) 值映射；紧开( 紧闭) 值映射( 或转移开( 转移闭) 值映射) 一定是 转移紧开( 转移紧闭) 值映射，反之则不然。 定义1 2 4 设石，y 是拓扑空间，g ：x 一2 7 ， ( 1 ) 称g 是紧的，若c f g ( 盖) 是紧的； ( 2 ) 1 7 称g 在x 上有局部交性质，若对每一x 酗且g ( x ) 西，则在 中存在点x 的开邻域( x ) ，使得nd g ( z ) 毋； ( 3 ) 1 9 称g 在z 上有紧的局部交性质，若对z 中的每一紧子集彪及对 每一x x 且g ( x ) nk * 巾，则在j 中存在点x 的开邻域( x ) ，使得 n ：h 矾k g ( z ) 巾。 显然，若g 有紧局部交性质，那么对任取的紧子集kc 盖，g 在k 上的限 制gl 。? k 一27 有局部交性质。g 有局部交性质则一定有紧的局部交性质， 反之则不然。 引理1 2 1 2 0 设盖，y 为拓扑空间。g ：x 一27 是具有非空值的集值映 射，则下列五个条件等价： ( 1 ) g 有紧的局部交性质； ( 2 ) t 对x 中每一紧集芷和每一个y y ，存在x 中一开子集o 。( 可能是 空集) 使得o ，n k 互g 1 ( y ) 且k = u 日( o y n k ) ， ( 3 ) 对z 中每一紧集世，存在集值映射f ：x 一? 7 使得对每r y y ， f 。1 ( ) ，) _ c x 为一开集或空集，且对每一y y ，f 1 ( y ) nk g 。1 ( y ) ，k = ud ( f 1 0 ) n k ) ； ( 4 ) 对x 中每一紧集k 和每一个x k ，存在y y 使得x c i n t g 。1 ( y ) n k ，且k = u 旧( c i n t g _ 1 ( y ) n k ) = o 斟( g 以( y ) n k ) ； ( 5 )g 。1 ：y 一? 。为y 上一转移紧开值映射。 第二章k k m 型定理和重合点定理 本章首先在没有任何凸性结构和线性结构的fc 喧间中证明了一些新 的涉及容许类集值映射和具有紧局部交性质的k k m 型定理。作为应用，在 fc 空间中得到了一些新的不动点定理和重合点定理。这些结果统一和推 广了近期文献在抽象凸空间中的一些重要的结果。 2 1 预备知识 下面的概念由p a r k 8 ，9 1 引入。 设石，y 为拓扑空间，对一给定的集值映射类c ，u ( z ，y ) 表属于u 中的集值映射t ：x 一2 ”的集合，u ，表示u 中有限个映射的结合映射。 设u 为满足下列性质的集值映射类： ( 1 ) u 包含( 单值) 连续映射类； ( 2 ) u ，( x ，y ) 是具有非空紧值的上半连续映射类； ( 3 ) 若f u c ( a 。，a 。) ，则f 有不动点。 集值映射类u c 被定义如下：f u c ( x ，y ) 的充要条件是对x 的每一 紧子集k ，都存在f e u ，僻，y ) ，使得对每一z x ，有f ( x ) s f ( x ) 显 然有u 【，u ； 2 2k k m 型定理 定理2 2 1 3 0 设y 为拓扑空间，( z ， q g , v ) 为fc 一空间， f e u c 伍，y ) ，g ：x 一2 7 满足 ( i ) 对每一x 五g ( x ) 在y 中是紧开的； ( i i ) 对每一= ，算，工。) ( x ) 和每一 。_ f 0 ，e 。j s p0 ，e 。) ， f ( q d ，( 。) ) eu ：o ( y g o 。) ) ，其中。= c o ( e j = o ，七 ) 那么 ( 1 ) 对每一= x 。，z ，工。) 似) ，( ( 。) ) n ( n 7 。( y g ，) ) ) 一驴 ( 2 ) 对每一= f x t lj ，z 。) ( x ) ，存在y f 。( 。) ) ，使得 g 。( y ) nn = 妒 证明我们首先证明结论( 1 ) 和( 2 ) 等价 ( 1 ) 成立一对每： x 。，x ，x a ) ( x ) ，f ( 妒。( a 。) ) n ( n t 。( y g b ，) ) 一 一存在y f 。( 。) ) nn t 。p g ；) ) 一y f ( 吼( a 。) ) ，y 隹u 。g ) 一存在y f ( 妒，( a 。) ) 且n g - 1 0 ) = 庐，即结论( 2 ) 成立 为此，我们只需证明结论( 1 ) 成立，假设结论( 1 ) 不成立，则存在n = ，工，工。) ( x ) ，使得f ( 妒( 。) ) n ( n 叮g 。) ) - ，即 f ( 妒。( a 。) ) u 盖。g ( ) ( 2 2 1 ) 因为妒。( 。) 在x 中是紧的，fe u c ( x ，y ) ，所以存在fe u 。( 伊，( 。) ，y ) 使 得 f ( x ) f ( x ) ， 墩妒( a 。) ( 2 2 2 ) 因为f 是具有紧值的上半连续映射且妒。( 。) 是紧的，由文献 3 1 的命题 3 1 1 1 知，f ( 妒( a 。) ) 为y 中的紧集，由( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 知， f ( 伊。( 。) ) = u ( g ( 砖) nf ( 妒( 。) ) ) 1 。u 由( i ) 知 g ( x 。) nf ( 伊。( 。) ) 为f ( 妒。( 。) ) 的一个开覆盖，敌可设 缈， 为从属于该开覆盖的一个连续单位分解，即 对每一j 0 ，1 ，n ，妒；：f ( 妒。( a 。) ) 一 0 ，1 是连续的； ) ，i ( 妒( 。) ) ：妒。( y ) o ) g g ，) n f ( 妒【。) ) c ( x ，) ；( 2 2 3 ) 磊砂：( y ) 。1 ，砂f 妒”( a n ) - 于是定义映射妒：i ( 9 。( 。) ) 一。如下 妒( y ) 。酗( _ ) ，) e i | w f ( 妒”( 一) ) ， 那么妒是连续的，因此妒j 0 ，u 。( 。，a 。) 从而妒j 劫。在a 。中存在不动点 6 即存在z 。a 。，使得z 。征知。( z 。) ，于是存在y 。而，( z 。) 使得 带州y 0 ) - 磊妒凼卧m 。) ， 其中，以y 。) = 0 ，1 ，2 ，n ) ：妒i ( y o ) 0 ) ，于是由( i i ) 得 y 。而一( z 。) 而”( a j c y o ) ) ，妒”( a j c y o ) ) 出。) g ， 因此存在j 。以y 。) ，使得y 。岳g “) 另一方面，由贝y 。) 的定义，我们有 妒h ( ) ，o ) * 0 ，由( 2 2 - 3 ) 式得y 。c g ( x i o ) ，矛盾故结论( 1 ) 成立 注定理2 2 1 不需要空间具有任何凸性结构，从而将d i n g 1 9 中的定 理3 1 由l 一凸空间推广到了fc 空间。 推论2 2 ，“3 0 设】，为拓扑空间，( x ， 妒。 ) 为fc 空间， f e u 。f 俩，y ) ，t ：x 一2 7 使得对每一x 懿t ( x ) 在y 中是紧闭的，对每一 n 2 x o , x 1 ，x 。 ( x ) 和每一 8 七，ek e 90 ，e 。 ，有 f ( w ，( a 。) ) 量u ；o r ( x ，) ，毒# 中a 。= c o ( q ，：j = o ，七) 那么 ，( 尹。( a 。) ) nnr g ) 九v ( x ) 证明令g ( x ) = y t ( x ) ，x x 则推论2 2 ，1 的结论直接由定理 2 2 ! 可得 注推论2 2 1 将p a r k 和k i m 9 的推论以及d i n g 1 9 的推论3 1 分别 由g 一凸空间和一空间推广至0 了fc 一空间。4 ： 若x = y ，f = ，( 恒等映射) ，则推论2 2 1 退化为 推论2 2 2 3 0 ( x ，f 妒。) ) 为fc 一空间，t ：x 一2 。使得对每一 x zt ( x ) 在y 中是紧闭的，对每一= z 。，x ，工。) ( x ) 和3 每一 pb ，p ) e0 ，e 。 ，有妒一( t ) u ：or “，) ，其中。= c o ( 慨：j = o ，t ) ) 那么 妒( a 。) n ( nr 0 ) ) 妒，v n e ( x ) z ” 注推论2 2 2 不同于d e n g 和x i a 1 5 的定理3 1 定理2 2 2 3 0 】设y 为拓扑空间，( x ， 妒。 ) 为fc 一空间，f e u 2 c 暇，y ) ，t ：x 一量7 满足 ( i ) 对每一x x ，t ( x ) 在y 中是紧闭的； ( i i ) 对每一= i x 。，工，) ( x ) 和每一 8 ，p 。) 80 ，e 。) f ( ( 。) ) 。丁0 。) ，其中a t = ( 仁f j = ，= o ，七 ) ( iii ) y 中存在一非空紧子集k 使得下列条件之一成立 ( a ) 存在m ( x ) ，使得c l f ( x ) k u 。g ，( x ) ) ，或 ( b ) 对每一n ( x ) ，在x 中都存在包含的紧fc 一子空间 l 。使得 f ( x ) k u n 。( y f 0 ) ) 那么c i f 瞄) n k n ( n 目r ( x ) ) 庐 证明：定义g ：x 一2 7 为g ( x ) = 】，t ( x ) ，x x 由( i ) g ( x ) 在 】，中是紧开的。假设结论不成立，则 c 腰啊) n k u ( f r r ( z ) ) n k ) ；u ( g ( x ) n k ) ( 2 2 4 ) j 日d 因为c t f ( x ) n k 在k 中是紧的，由( 2 2 4 ) 存在= ，z ，石。) ( z x 使得 e l f ( x ) n k 量u g ) j “ ( 2 2 5 ) 情形( ii ；) ( a ) 由假设( i i i ) ( a ) 和( 2 2 5 ) 知，存在有限。= u m = 忸o ，工。，z ，j 。+ 。) 使得 c l f ( x ) ug 0 ，) r - ( i 由条件( i ) ( i i ) 和定理2 2 1 可得 ( 2 2 6 j 8 f m ( ) ) n ( n g ) ) ) ，驴 础 即f 。( ) ) 旺u t z s ( x 。) 这与( 2 2 6 ) 矛盾 情形( ii i ) ( b ) 设“为条件( i i i ) ( b ) 中的fc 一子空间，因为f u ：( x ，y ) ， 所存在f e u 。，y ) ，使得f g ) f ) 魄工。由( i i ) ，对每一 a = ，工1 ，x 。) 犯) 以及对每一 8 ，e ) 。0 ，e 。) ，有 f ( 妒。( 。) ) f ( 妒。( 。) ) u ( y g ，) ) ， j u + 其中。= c o ( e i = = ，= g ，量 ) 又因为u 。cu ：，所以f 移：( 。，y ) ，由定理 2 2 1 知，存在y f ( a 。) ) ，使得g 。( y ) nai 妒即y 譬g 0 ) ，v x e a ，于是 有 y f ( 吼( a 。) ) n ( n ( y g ) ) ) ；n ( f ( 妒。( a 。) ) n t ( x ) ) ， ( 2 2 7 ) 因为工是x 的fc 一子空间，所以有吼( 。) l ，由( 2 2 7 ) 知 _ ) ，n 。( ，i 仁。) n ，o ) ) ，又因为f 是具有紧值的上半连续映射且l 。是紧的，由文 献 3 1 1 的命题3 1 1 1 知f ( “) 是y 中的紧集，由( i ) 知r ( x ) 是紧闭的，所以 f 。) n t ( x ) ：x u l 。 是具有有限交性质的紧集簇故 f ，) n ( nr o ) ) 驴， m 于是可设z ，) n ( 一n ，丁o ) ) 。f ( l ，) u 目，( 】，丁0 ) ) ，即 z f 。) 但z 圣u f 0 ) ) = ug ) ( 2 2 8 ) in 目” 由( i i i ) ( b ) 知z k ，再由( 2 2 5 ) 得z c l f ) n k ug g ) ，因此，存在 x l ，使得z g ) ，这与( 2 2 8 ) 矛盾。命题得证。 注定理2 2 2 将d i n g 1 9 的定理3 2 由l 空间推广到了fc 一空间，且定 理2 2 。2 的条件( i i i ) 比d i n g 1 9 的定理3 2 的条件( i i i ) 更好 定理2 2 ，3 3 0 设 ，为拓扑空间，( z ， 伊。) ) 为，c 一空间， f u c ( x ，y ) ，丁：x 2 7 满足 ( i ) t 在x 上是转移紧闭值的： ( i i ) 对每一2 x o ，工1 ) ，) ( 盖) 和每一 e l o ，8 k ) e0 ，e 。) ， f ( 妒。( 。) ) u ：。c c l t ，) ，其中a 。= c o ( i t 。：，= o ，尼) ) ( i i i ) y 中存在一非空紧子集k 使得下列条件之一成立 ( a ) 存在m ( 盖) ，使得c l f ( z ) k u 。c c l r ( x ) ) ，或 ( b ) 对每一伍) ，在工中都存在包含的紧fc 一子空间 l 。使得 f ( o ) o ( nc c l t ) ) k z 岜 那么c w ( x ) n k n ( n 。，r 0 ) ) ，庐 证明易证c c l t ：x 一2 7 满足定理2 2 2 的所有条件，因此有 c w ( x ) n k n ( n d c c l t ) ) 因为r 是转移紧闭值的且c l f ( 鼻) n k 是紧的，所以有 c l f 悸) n k n ( n d r ) ) = c 厕) n k n ( n m c c l t 0 ) ) 命题得证 注定理2 2 3 将d i n g 1 9 中的定理3 3 从己空间推广到了fc 一空间， p a r k 和k i m 9 中的定理3 和定理4 从g 一凸空间推广到了f c 一空间。 2 3 重合点定理和不动点定理 这一部分，我们将用定理2 2 3 获得下面的重合点定理和不动点定理。 定理2 3 ，1 ( 3 0 设( x ， 妒。) ) 为f c 一空间，k 是拓扑空间y 的一非空 紧予集，f u c ( z ，y ) ，g ，p ：y 4 2 。满足 ( i ) g 满足引理1 2 1 的五个等价条件之一： ( i i ) 对每一y f ( 工) ，n = x 。，z ，工。) ( x ) 以及每一 t ：j = 0 ，t ) z o ，石1 ，x 。 f i ( c i n t g 一1 ) 。1 ( y ) ， 有伊。( t ) p ( y ) ，其中i 墨c d ( e 。：歹= 0 ，七) ) ； ( i i i ) d f ( x ) n k 量ug 。1 0 ) ： z h ( i v ) 下列条件之一成立 ( a ) 存在m ( z ) ，使得c l f ( x ) k 互u c i n t g - 1 0 ) ，或 ( b ) 对每一伍) ，在x 中都存在包含的紧fc 一子空间 。使得 f ( 三) k u n 。c i n tg 。1 ) 那么存在( x 。，y o ) x x y ，使得x o o ( y o ) ，y 。e f ( x 。) ，即( z ”y 。) 是p 和f 的重合点 证明定义映射t ：x 一2 7 如下 t ) = y g 。1 ) = y e y ：z 譬g ( y ) ) ，v x e x ， 那么，由( i ) 和引理1 2 1 ，r 在置上是转移紧闭值的 情形( i v ) ( a ) 由( i v ) ( a ) 和y c c l t ( x ) = c i n t g 。 ) ，v x e x ，易证定理 2 2 3 的条件( i i i ) ( a ) 成立 情形( i v ) ( b ) 由( i v ) ( b ) ，对每一x ) ，在x 中都存在包含的紧 ，c 一子空间工。使得 f ( 工) k u h 。c i n t ( g - 1 0 ) ) = u m ，( y c c l t ( x ) ) ， 即f ( “) n ( n 日。c c t r ( x ) ) k ，因此定理2 2 3 的条件( i i i ) ( b ) 成立a 由 条件( i i i ) 有，c 扭q ) n k 互u 。g 。g ) ，即是 d f ( x ) n k n ( n 。z ( y g - 1 ) ) ) = 庐， 即 d f ( x ) n k n ( n d 丁o ) ) ； 因此定理2 2 3 的结论不成立，由定理2 2 3 存在n = ( x 。工，。x 。 ( x ) 和 8 i o ，8 ) e0 ，e 。) ，使得 f ( 妒，( 。) ) 旺u ：。c c l t ( x ；，) = u ：。( y c i n t g 以 。，) ) ， 其中。= c o ( e o j = 0 ，七) ) 因此存在y o ，( 妒。( 。) ) ，x 。妒( 厶女) ，使得 y 。f o ) 但y o 隹u ：。口c i n t g 。1 0 。) ) 即y o c i n t g 。) ，v j = 0 , 1 ，k 于是有 缸o j ；o 一，k e ( ( c i a t a 4 ) 。1 ( y 。) ) 由条件( i i ) 有讥( 。) p ( y 。) ，因此有x o e p ( y o ) ，y 。f 。) ，即( x 0y o ) 是p 和f 的重合点 注定理2 3 1 将d i n g 1 9 的定理3 4 由一空间推广到了fc 一空间且条 件更好同时将p a r k 和k i m 8 ，9 的定理1 以及d i n g 和t a r a f d a r 3 2 的定理 3 1 从多个方面进行了推广 定理2 3 2 3 0 设( x ， 妒。) ) 为fc 一空间，k 是x 的一非空紧子集， g ，p ：x 一2 。满足 ( i ) g 满足引理1 2 1 的五个等价条件之一： ( i i ) 对每一x x ，n = ，x ”，) ( x ) 以及每一 红0 j i 0 ，”量 x 。，x ，x 。jf 、( c i n t g - 1 ) 。 ) ， 有妒( a t ) p ( y ) ，其中a t c d ( 托，：，一o ，七) ) ： ( i i i ) 对每一x k ，g ( x ) 驴： ( i v ) 对每一伍) ，在z 中都存在包含的紧fc 一子空间l 。使得 l k u n 。c i n t ( g 。 ) ) 那么p 在z 中有不动点 证明令y = x ，f ( 工) = x 为恒等映射，那么 f e u 。皤，x ) u ： ，丑) 易证定理2 3 1 的所有条件都满足，因此f h 定理 2 3 1 结论成立 推论2 3 1 3 0 设( x ， 妒。 ) 为fc 一空间，k 是工的一非空紧子集， g ：x 一2 。满足定理2 3 2 的条件( i ) ，( i i i ) 和( i v ) ，条件( i i ) 改为 ( i i ) 对每一x x ，g ( x ) 为x 的f c 一子空间 那么g 在x 中有不动点 注定理2 3 2 和推论2 3 1 分别推广了d i n g 1 9 中的定理3 5 和推论 3 1 第三章拓扑空间中的不动点定理在拟平衡问题组中的应用 本章，首先在fc 一空间中引入了一些新的拟平衡问题组，然后运用本文 第二章所得到的不动点定理，证明了这些拟平衡问题组的平衡点的存在性。 3 1 预备知识 定义3 1 “3 3 设z ，y 为拓扑空间，称连续函数，：x l ，是集值映射 丁：x 一2 r 的一个连续选择，若对每个x x ，都有，( x ) t ( x ) 。 设，为任一有限或无限指标集，f z ； 。和f i j e ，为两个非空集簇，对每一 j ，设2 置为工。的所有子集的簇，a 。：x = 丌。z ，一2 置为集值映 射， ：z 一斤u 0 0 ) 为二元泛函，l ：x i 为单值映射，设 a ( z ) = 丌。，a ；( x ) ，x x ，曩：x x 。为投影算子，则本文所要考虑的拟 平衡问题组s q e p 何，4 ，) 日是指寻求z z ，使得 ! ，= j 一 l ：i 0 ) 4 0 ) - v 三。( 3 1 1 ) 0 ，正 ) ) e ( y ，1 0 ) ) 砂e a ) ，i 若在( 3 1 1 ) 中取仁( 1 ) ，则( 3 1 ，1 ) 退化为n o o r 和o e t t l i 3 4 所研 究的拟平衡问题q e p ( t ，a ，) ，即寻求一个x x 使得 一一x e a ) ，一 一 ( 3 1 2 ) ，o ，r o ) ) s ，( y ，t ( x ) ) ，v ye a ) 若在( 3 1 1 ) 中对每一j 厶令= 盖，互为恒等映射，正( x ，x ) 0 ，v x x 则得到拟平衡问题组s q e p ( a 。，f ) f ，即寻求一个工x 使得 。t = 2 e i 皑e a ； ) ，v i 苎o ( 3 1 3 ) 。 工( ) ，工) 0 ，w 4 0 ) ，i ， 若在( 3 。l - 3 ) 中取户( 1 ) ，则( 3 1 3 ) 退化为l i n 和p a r k 3 5 得到拟平 衡问题q e p ( a ，) ，即寻求一个x 覃x 使得 fj 4 g ) ， 。f ( y ，x ) 0 ，v y 4 0 ) ( 3 1 4 ) 下面这个不动点定理为d i n g 和z h e n g 3 0 中的推论2 3 1 引理3 1 1 设( x ， 妒。) ) 为fc 一空间，k 是x 的一非空紧子集，g ：x 一2 。满足 ( i ) g 满足引理1 2 1 的五个等价条件之一i ( i i ) 对每一z x ，g ( x ) 为x 的fc 一子空间： ( i i i ) 对每x k ，g ( x ) 西： ( i v ) 对每一( x ) ，在z 中都存在包含的紧fc 一子空间l 。使得 “k u “。c i n t g 。 ) ， 那么g 在工中有不动点 引理3 1 2 设x ，y 为拓扑空间，f 为z 的一非空闭子集，妒，妒：x 一2 7 是 两个集值映射，使得对每- - x x ，有0 ) 妒 ) ，若，妒。：y 一2 。关于y 是 紧开值的，定义g ：x 一2 7 为 g ( x ) ： 0 ) ，x e e , 。妒o ) x e x 那么g 。：y 一2 。关于y 也是具有紧开值的 注引理3 1 2 为d i n g 2 0 的引理5 1 的特殊情况 引理3 1 3 3 6 设( x ，如， ) 为f c 一空间，那么x 的任意多个f c 一子空 间的交集仍然是fc 一子空间。 证明：设，为有限或无限指标集，对每一i e , m ，为x 的fc 一子空间， 设m = n 日m 。，若m = 驴，则结论显然成立；若m 庐，则对每一 n = 工。，z ，) e x ) 以及对任意的 f x f 。，x ，x ) na m n a m ，v i ， 由于肘j 为x 的，c 一子空间，故有伊( x ) m i ，v i e l ，即 妒( x ) n m f m ， 即m 为x 的f c 一子空间。， 引理3 14 3 6 设，为任一指标集，( ( ，却， ) ) 。为fc 一空间 簇，x 2 n 二x l 且被赋以乘积拓扑，对每一j 厶设丑：x _ x j 为投影算予， 那么对每一n = ，z ，z 。) 伍) ，存在连续映射蚧：a 。一石，使得 ( 石，如，) ) 为fc - 空间。 另外，若对每一，m t 为x ，的fc 一子空间，那么m3 兀二m ，为