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(运筹学与控制论专业论文)广义向量拟均衡问题系统解的存在性与稳定性.pdf.pdf 免费下载
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文档简介
内容提要 广义向量拟均衡问题系统包含的内容十分广泛,如常见的变分不等式问题、拟变分 不等式问题、隐变分不等式问题、k yf a n 不等式问题、多目标广义n a s h 均衡问题以 及向量均衡问题系统等等,都是广义向量拟均衡问题系统的特例;本文主要研究广义 向量拟均衡问题系统及其子系统的存在性、稳定性问题,全文共分七章 第一章简要介绍了本文将用到的有关概念及结果,这些都是非线性分析中的基 础知识,主要包括集值映射的连续性条件、凸性条件、本质连通区的定义及其它有关 的基本结论等 第二章主要介绍了广义向量拟均衡问题系统及其子系统的模型;首先,我们将 广义向量拟均衡问题系统分为广义向量拟均衡问题系统a 与广义向量拟均衡问题系 统b ,这两种模型只有微小的差异;其次,我们介绍了广义向量拟均衡问题系统的几 种常见的子系统及其关系,最后,还介绍了几类可以转化成广义向量拟均衡问题系统 的非线性均衡问题 第三章本章主要研究广义向量拟均衡问题系统4 解的存在性问题我们用k a k u t a - l i , f a n - g l i c k s b e r g 不动点定理,建立了广义向量拟均衡问题系统解的存在性结果,同时,对 广义向量拟均衡问题系统的各子系统,也分别建立了解的存在性结果;在第三节中, 对可以转化为广义向量拟均衡问题系统的几个非线性均衡系统,我们用同样的方法建 立了解的存在性结果 第四章本章主要研究广义向量拟均衡问题系统a 解集本质连通区的存在性问 题利用第三章的存在性结果,通过适当定义距离,得到了广义向量拟均衡问题系统 的一致拓扑空间,并建立了广义向量拟均衡问题系统解的本质连通区存在性结论,同 时,对广义向量拟均衡问题系统的各子系统,也分别建立了解的本质连通区存在性结 果;最后,对多目标广义n a s h 均衡问题,我们用同样的方法建立了解的本质连通区存 在性结果 第五章本章主要研究广义向量拟均衡问题系统一的良定性问题利用第三章的 有关结论,通过构造广义向量拟均衡问题系统的一致拓扑空问,建立了广义向量拟均 衡问题系统解的h a d a - a a r d 良定性及t y k h o n o v 良定性结论,同时,对广义向量拟均衡 问题系统的各子系统,也分别建立了相应的h a d a m a r d 良定性及t y k h o n o v 良定性结 果;最后,对多目标广义n a s h 均衡问题,我们用同样的方法建立了h a d a m a r d 良定性 及t y k h o n o v 良定性结果 第六章 本章主要研究广义向量拟均衡问题系统b 解的存在性问题通过定义广 义向量拟均衡问题系统的最佳回应对应,将广义向量拟均衡问题系统的解,转化成其 最佳回应对应的不动点,然后用k a k u t a n i d a n g l i c k s b e r g 不动点定理,建立了广义向 量拟均衡问题系统解的存在性结果,同时,对广义向量拟均衡问题系统的各子系统, 也分别建立了解的存在性结果;在第三节中,对可以转化为广义向量拟均衡问题系统 的几个非线性均衡系统,我们用同样的方法建立了解的存在性结果 第七章 本章主要研究广义向量拟均衡问题系统b 解集本质连通区的存在性存在 性问题利用第六章的结果,通过广义向量拟均衡问题系统的最佳回应对应,定义了 两个广义向量拟均衡问题系统问的距离,得到了在最佳回应对应下,广义向量拟均衡 问题系统的一致拓扑空间,并建立了广义向量拟均衡问题系统解的本质连通区存在性 结果,同时,对广义向量拟均衡问题系统的各子系统,也分别建立了解的本质连通区 存在性结果;最后,对可以转化为广义向量拟均衡问题系统的几个非线性均衡系统, 我们用同样的方法建立了解的本质连通区存在性结果 a b s t r a c t t h es y s t e mo fg e n e r a l i z e x lv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m si n v o l v e sb r o a de x t e n t i t c o n t a i n sm a n ym o d e la ss p e c i a lc a s e s ,s u c ha st h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ,t h eq u a - s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ,k yf a ni n e q u a l i t yp r o b l e m ,t h em u l i t o b j e c t i v eg e n e r a l i z e d n a s he q u i l i b r i u mp r o b l e m ,a n dt h es y s t e mo fv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n ds oo n i n t h i st h e s i s ,w ef o c u so ne x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m st h i st h e s i sc o n s i s t so fs e v e nc h a p t e r s c h a p t e r1 w ei n t r o d u c es o m en o t i o n sa n dr e s u l t su s e di no u ra n a l y s i si nt h i st h e s i s w h i c ha r es o m eb a s i ck n o w l e d g ei nn o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r ys u c ha sc o n t i n u i t ya n dc o n v e x i t y c o n d i t i o n so fs e t v a l u e dm a p s ,e s s e n t i a lc o m p o n e n td e f i n i t i o n ,a n ds o m eb a s i cr e s u l t sa n ds o o n c h a p t e r2 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h o s em o d e l sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n di t ss u b s y s t e m s f i r s t ,w ei n t r o d u c e t h em o d e l so ft h es y s t e m o fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m saa n dt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o r q u a s i - e q u i l i b r i m np r o b l e m sb ,w h i c hh a v es l i g h td i s t i n c t i o no n l y - s e c o n d l y ,w ei n t r o d u c e s o m es u b s y s t e m so ft h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dt h e i r r e l a t i o n f i n a u y lw ei n t r o d u c es o m ek i n d so fn o n l i n e a re q u i l i b r i u mp r o b l e m sw h i c hm a yb e t r a n s f e r e dt ot h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s c h a p t e r3 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e d v e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i m np r o b l e m sa b yk a k u t a n i - f a n g l i c k s b e r gf i x e dp o i n tt h e o r e m ,w e e s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t s f o r t h es y s t e mo f g e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m sa n d i t ss u b s y s t e m s s i m i l a r l y , w ea l s oe s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t sf o rt h o s en o n l i n e a re q u i l i b r i u m p r o b l e m sw h i c hm a yb et r a n s f e r e dt ot h es y s t e mo fg e n e r a l i z e d v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s c h a p t e r4 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sf o rt h es y s t e m o fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa b yd e f i n i n gad i s t a n c eb e t w e e nt w o s y s t e m so fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ,w eo b t a i na nr a f t f o r mt o p o l o g i c a l s p a c ea n de s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t so fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e d v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n di t ss u b s y s t e m ss i m i l a r l y ,w ea l s oe s t a b l i s he x i s t e n c e r e s u l t so fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sf o rt h em u l t i o b j e c t i v eg e n e r a l i z e dn a s he q u i l i b r i u mp r o b l e m c h a p t e r5 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ow e l l - p o s e d n e s sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa b yc o n s t r u c t i n ga 皿u n i f o r mt o p o l o g i c a ls p a c e w ee s t a b l i s h t t a d a m a r dt y p ea n dt y k h o n o vt y p ew e l l - p o s e d n e s sr e s u l t sf o rt h es y s t e mo fg e n e r i z e dv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa m ti t ss u b s y s t e m ss i m i l a r l y ,w ea l s oe s t a b l i s hh a d a m a r dt y p e a n dt y k h o n o vt y p ew e l l p o s e d n e s sr e s u l t sf o rt h em u l t i o b j e c t i v eg e n e r a l i z e dn a s he q u i l i b r i m n p r o b l e m c h a p t e r6 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e n lo fg e n e r a l i z e d v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sb b yd e f i n i n gt h eb e s t r e p l yc o r r e s p o n d e n c e ,w ee s t a b l i s h e x i s t e n c er e s u l t sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i _ i m ap r o b l e m sa n di t s s u b s y s t e m s s i m i l a r l y ,w ea l s oe s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t sf o rt h o s en o n h n e a re q u i l i b r i u m p r o b l e m sw h i c hm a yb et r a r r s f e r e dt ot h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s c h a p t e r7 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sf o rt h es y s t e m o fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sb u s i n gt h eb e s t r e p l yc o r r e s p o n d e n c e ,w e d e f i n ead i s t a n c eb e t w e e nt w os y s t e m so fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n d o b t a i na nu n i f o r mt o p o l o g i c a ls p a c e ,a n de s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t so fe s s e n t i a lc o m p o n e n t s f o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n di t ss u b s y s t e n l s s i m i l a r l y , w ea b oe s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l t so fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sf o rt h o s en o n l i n e a re q u i l i b r i u m p r o b l e m sw h i c hm a yb et r a n s f e r e dt ot h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m d r o b l e m s 前言 广义向量拟均衡问题系统包含的内容十分广泛,是非线性分析领域重要的模型之 一,与著名的变分不等式问题、相补问题、k yf a n 不等式问题以及均衡问题等有着十 分密切的联系,甚至可以说,这些非线性问题相互问具有某种程度的等价性,广义向 量拟均衡问题系统解的存在性与稳定性问题解决了,这些非线性问题解的存在性与稳 定性问题也就解决了;而这些非线性问题,在力学、数理经济学、对策论,控制论等 领域均有着广泛的应用 解的存在性问题,是研究一类模型是否具有实践价值最基本的问题,若解的存在性 问题不能解决,就谈不上如何求解,那么,该模型就不会有多大的的应用价值1 9 5 0 - 1 9 5 1 年,美国数学家纳什( n a s h ) 用不动点定理,证明了n 人有限非合作对策均衡局 势的存在性,从而建立了著名的n a s h 均衡理论,1 9 6 5 和1 9 7 5 年,泽尔藤( s e l t e n ) 将 n a s h 均衡的概念引入动态分析,提出了精炼n a s h 均衡的概念,1 9 6 7 _ 1 9 6 8 年,海萨尼 ( h a r s a n y i ) 将不完全信息引入n a s h 均衡理论,这些工作使n a s h 均衡理论在经济领 域中的应用范围不断拓展,纳什、泽尔藤与海萨尼三人因为他们杰出的工作,一起获 得了1 9 9 4 年度的诺贝尔经济学奖;1 9 9 6 年,诺贝尔经济学奖又授予了对策论专家莫 里斯( m i r r l e e s ) 和维克瑞( v i c k r e y ) 两人,主要因为他们在非对称信息条件下激励 理论的研究中,作出了开创性的工作;2 0 0 1 年,诺贝尔经济学奖再次授予了对策论专 家阿卡洛夫( a k e r l o f ) 、斯彭思( s p e n c e ) 和斯蒂格里兹( s t i g l i t z ) 三人,主要因为他 们在非对称信息市场的研究中,作出了开创性的工作可以这样说,n a s h 均衡理论对 经济学的影响是广泛的、深刻的,它已成为现代经济学的主流理论之一,甚至有改写 整个经济学理论的趋势,所有这一切,都是从纳什的存在性证明开始的,因此,解的存 在性问题,是一个基础性问题,目前,与广义向量拟均衡问题系统解的存在性有关的 研究成果很多,但大多数均局限于某一方面,比如研究变分不等式问题系统解的存在 性,或者研究n a s h 均衡问题解的存在性,等等,见文献n a s h ( 6 5 ,1 9 5 0 ; 6 6 ,1 9 5 1 ) ,w u 和 s h e n ( 8 4 ,1 9 9 6 ) ,y u 和y u a n ( 1 0 2 ,1 9 9 8 ) ,y u 和l u o ( 1 0 3 ,1 9 9 9 ) ,d e g u i r e 等( 1 1 5 ,1 9 9 9 ) ,y a n g 和y l l ( 9 0 ,2 0 0 2 ) ,a n s a r i 等( 4 1 2 0 0 2 ) ,v u ( 9 2 ,2 0 0 3 ) ,w u 和y u a n ( 8 5 ,2 0 0 3 ) 及其它相关文 献,而对广义向量拟均衡问题系统解的存在性的一般性研究成果,还较少见 关于解的稳定性研究,同样十分重要,事实上,一个不稳定的解,在实践中没有多 少价值,甚至毫无意义对广义向量拟均衡问题系统稳定性的研究也与n a s h 均衡稳 定性的研究有关众所周知,n a s h 均衡理论有一个缺陷,那就是n a s h 均衡点一般不 惟一,这就出现了一个n a s h 均衡点的选取问题,通俗点说,就是当出现多个n a s h 均 衡点( 状态) 时,哪一种均衡状态在实践中更可能出现? 或者反过来问,哪一种均衡 状态在实践中不太可能出现? 更进一步,因为经济活动本身就是一个动态过程,各种 环境因素瞬息万变,比如当局中人的支付函数出现扰动时,他( 她) 还会采用原来的 均衡策略吗? 新的均衡策略与原来的均衡策略相比差异有多大? 要回答这些问题,就 需要对n a s h 均衡点的稳定性进行研究,而本质连通区和良定性都是稳定性研究中的 主要内容之一 1 9 5 0 年,f o r t 在研究不动点的稳定性时,给出了本质不动点的概念f 2 3 ;1 9 5 2 年, k i n o s h i t a 证明了从一个h i l b e r t 立方体到其自身的连续的单值映射中,不动点的本质 连通区的存在性3 6 ;1 9 6 3 年,江嘉禾在n a n h 均衡点稳定性的研究中,引入了本质连 通区概念,并且证明了:在n 人有限非合作对策中,n a s h 均衡点集至少存在一个本质 连通区f 3 2 ;1 9 8 6 年,k o h l b e r g 与m e r t e n s 对n a s h 均衡点的稳定性进行更广泛深入的 研究阳8 1 ;1 9 9 0 年,h i l l a s 研究了另一种关于最佳回应对应“扰动”的稳定性,并得到 了相应的结果,见2 7 ;1 9 9 9 年,俞建与向淑文利用k yf a n 不等式解集本质连通区的 存在性,证明了在n 人非合作对策中,n a s h 均衡点集本质连通区的存在性,同年,俞 建与罗群证明了在n 人非合作广义对策中,n a s h 均衡点集本质连通区的存在性,见 1 0 2 ,1 0 3 ;2 0 0 2 年,杨辉与俞建再将上述结果推广到多目标情形,证明了在n 人非合作 多目标对策中,弱p a r e t o - n a s h 均衡点集本质连通区的存在性,见 9 0 ;与这类问题有 关的本质连通区的其它存在性结果,觅文献f 8 9 ,1 0 4 ,1 0 6 及其它相关文献 关于良定性的研究,同样有较长的历史上世纪六十年代,明显是受到数值计算的 影响,t i l d l o n o v 在进行有关稳定性的研究时,提出了良定性概念,这就是t i k h o n o v 良定性;事实上,关于稳定性的研究,还可以追溯到上个世纪初,h a d a m a r d 在研究 微分方程的稳定性时,就对解连续地依赖于该类问题进行了研究,这就是后来所谓的 h a d a m a r d 良定性;h a d a m a x d 良定性和t i k h o n o v 良定性,是有关良定性研究的两个主 要概念,它们是不同的,当然也有密切联系,h a d a m a r d 良定性意味着解连续地依赖于 该类问题,t y k h o n o v 良定性则着重研究渐近解( a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ) 序列的行为 国际上,关于非线性均衡问题良定性的研究从未间断,与广义向量拟均衡问题系统有 关的良定性结果,见文献g 0 b a n 等( 【1 2 】,1 9 8 9 ) ,b e e r ( 7 】,1 9 9 3 ) ,d o n t c h e v ( 1 7 ,1 9 9 3 ) , k e n d e r o v ( f 3 5 ,1 9 9 5 ) ,l u c c h e t t i ( 1 5 3 1 9 9 5 ) ,z o l e z z i ( 1 0 7 ,1 9 9 5 ;1 0 8 ,1 9 9 6 ) ,m a r g i o c c o 等 ( 5 7 】,1 9 9 7 ; 5 8 ,2 0 0 2 ) ,l e m a i r e 等( 【4 1 ,2 0 0 2 ) 及其它相关文献 近年来,关于广义向量拟均衡问题系统解的存在性与稳定性方面的研究,十分活 跃,尤其是有关稳定性方面的研究,有不断深入的趋势 第一章预备知识 本章我们主要介绍常用记号以及一些基本概念和基本结果等 繁使用 假设y 是一个h a u s d o r f f 拓扑向量空问,y 中的锥g 是凸的 是尖的,当且仅当c n ( 一c ) = 0 ,其中口表示y 中的零元素 它们都将在后面被频 当且仅当e + g = c 除非特别申明,我们总是假设是一个指标集,对任何i ,k 是一个h a u s d o r f f 拓 扑向量空间,置是一个b a n a c h 空间,尬是五中的非空凸紧集我们用2 心和2 h 分 别表示蜀与k 的所有非空子集全体,用m 表示所有从k 到2 “的具有非空凸紧值的 上半连续的集值映射全体,用咒表示实数集合,用r 表示k 维欧几里德空间,其中 k 为一个正整数;用g 表示m 中的一个闭凸尖锥,且i n t q 0 ,其中i n t g 表示锥g 的内部,注意到,此时一g 也是m 中的闭凸尖锥另外,记x = 兀叫置,k = 丌叫, 蚝= n ,e i , j 。吩;对任何z k ,我们可以写成。= ( 蛳,q ) 1 1 集值映射的连续性 定义1 1 1 假设x ,y 是两个拓扑空间,k 是x 中的一个非空子集,集值映射 f :k 卜+ 2 ,。k ,若对任何y 中的开集g ,gdf ( z ) ,存在z 在耳中的开邻域u ( z ) 使对任何z u ( x ) 有f ( z ) cg ,我们称f 在z 处是上半连续的,如果f 在的 每一点均是上半连续的,我们则称f 在上是上半连续的;若对任何y 中的开集 g ,g n f ( x ) o ,存在。在k 中的开邻域u ( z ) 使对任何z u ( x ) 有f ( x ) n g 0 ,我 们称f 在z 处是下半连续的,如果f 在k 的每一点均是下半连续的,我们则称f 在 上是下半连续的 若f 在z 处既是下半连续的又是上半连续的,我们称f 在z 处是连续的;如果f 在x 的每一点均是连续的,我们则称f 在x 上是连续的 评注1 1 1 特别地,当f 是一个( 单值) 映射时,我们用符号代替c ,此时,上 半连续性与下半连续性均等价于连续性很明显,上述定义包含了实函数的连续性定 义 定义1 1 2 假设x 是一个拓扑空间,y 是一个拓扑向量空问,耳是x 中的一个非 空子集,g 是y 中的一个闭凸尖锥,向量值映射妒:k 卜i t , ze k ;若对y 中零元0 的 任何开邻域y ,存在z 在k 中的开邻域矿使对任何z eu ( 。) 有妒( 。) 妒( z ) + v + c , 我们称妒在z 处是g 一连续的,如果妒在k 的每一点均是c 一连续的,我l l j j j 称妒 在上是e 连续的 特别地,在实函数情形( y = 兄) ,若c = 0 ,+ o 。) ,则c 一连续即为实函数的下半连 续;若c = ( 一o 。,o ,则c 一连续即为实函数的上半连续;因此,上述定义包含了实函 数的上半连续性与下半连续性定义 定义1 13 假设x 是一个拓扑空间,y 是一个拓扑向量空间,是x 中的一个非 空子集,c 是y 中的一个闭凸尖锥;集值映射f :耳卜2 7 ,。k ,若对y 中零元口的任 何开邻域y ,存在z 在k 中的开邻域u ( z ) 使对任何z u ( z ) 有f ( x ) c f ( x ) + v + c , 我们称f 在z 处是上半口一连续的,如果f 在的每一点均是上半c 一连续的,我 i l q n 称f 在k 上是上半c 一连续的;若对y 中零元口的任何开邻域y ,存在z 在 中的开邻域u ( z ) 使对任何z eu ( x ) 有f ( x 。) n ( f ( z ) + v + c ) 0 ,我们称f 在。处 是下半g 一连续的,如果f 在k 的每一点均是下半c 一连续的,我们则称f 在k 上 是下半g 一连续的 若f 在z 处既是下半c 一连续的又是上半c 一连续的,我们称f 在z 处是g 一连 续的;如果f 在k 的每一点均是g 一连续的,我们则称f 在k 上是g 连续的 评注1 1 2 特别地,当f 是一个( 单值) 映射时,我们用符号e 代替c ,此时,上半 c 一连续性与下半g 一连续性均等价于向量值函数的c 一连续性 一般地,在向量拓扑空间中,若集值映射是上半连续( 下半连续、连续) 的,则必是 上半c 一连续( 下半g 一连续、g 一连续) 的,反之不然 1 2 集值映射的凸性 定义1 2 1 若x 和y 是两个拓扑向量空间,是x 中的一个非空凸子集,c 是 y 中的一个闭凸尖锥,且i n t c 0 ,其中i n t c 表示c 的内部妒:k h y 是一个向量 值函数 ( 1 ) 若对任何2 1 ,z 2 k 和任何t h 1 , 妒( t z l + ( 1 一t ) z 2 ) 一 t 妒( x 1 ) + ( 1 一) 妒( z 2 ) e c 我们称妒是g 一凸的;若一妒是c 一凸的,我们称妒是g 一凹的 ( 2 ) 若对任何z 1 ,x 2 耳和任何t 0 ,1 , 2 或者 妒( t 岱l + ( 1 一t ) z 2 ) 妒( z 1 ) 一g 或者 妒( t x l + ( 1 一t ) x 2 ) t o ( x 2 ) 一d 我们称妒是c 一似拟凸的;若一妒是g 一似拟凸的,我们称_ p 是c 一似拟凹的 特别地,若y = r 且c = r + = 0 ,+ 。) ,那么c 一凸性等价于凸性,c 一似拟凸性 等价于拟凸性尽管凸性可以导出拟凸性,但一般来说,g 一凸不能导出c 一似拟凸 关于集值映射,我们有下列凸性概念 定义1 2 2 若x 和y 是两个拓扑向量空间,耳是x 中的一个非空凸子集,g 是 y 中的一个闭凸尖锥,且i n t c 0 ,其中i n t c 表示c 的内部f :k 卜2 7 是一个集 值映射, ( 1 ) 若对任何x l ,x 2 k 和任何 0 ,1 , 有 f ( t z l + ( 1 一t ) x 2 ) c t f ( x 1 ) + ( 1 一t ) f ( z 2 ) 一c 我们称f 是c 一凸的;若一f 是c 一凸的,我们称f 是c 一凹的; ( 2 ) 若对任何x l ,x 2 k 和任何t 【0 ,1 , 或者 f ( t z l + ( 1 一t ) x 2 ) cf ( x 1 ) 一g 或者 f ( 红l + ( 1 一t ) x 2 ) c f ( z 2 ) 一c 我们称f 是g 一似拟凸的;若一f 是g 一似拟凸的,我们称f 是c 一似拟凹的; ( 3 ) 若对任何x 】,x 2 k 和任何t 【0 ,1 , 或者 f ( x 1 ) c f ( t z l + ( 1 一t ) z 2 ) + c 或者 f ( x 2 ) c f ( t z t + ( 1 一t ) z 2 ) + d 我们称f 是c 一伪似拟凸的;若f 是c 一伪似拟凸的,我们称f 是c 一伪似拟凹 的; 3 显然,集值映射的c 一凸( c 一凹,c 一似拟凸,c 一似拟凹) 性是向量值映射对 应概念的推广另外,当f 是一个向量值映射时,c 一似拟凸( c 一似拟凹) 性与c 一 伪似拟凸( c 一伪似拟凹的) 性等价,它们都等价于向量值映射的c 一似拟凸( c 一似拟 凹】性 下面的例子说明,g 一凸性与e 似拟凸性虽然有很密切的联系,但却是两个不同 的概念 例1 2 1 设x = 0 ,1 】,碑= 0 ,+ o c ) 【0 ;+ o 。) ,向量值函数,= ( ,2 ) = ( 一毛z ) ,g = ( g ,9 2 ) = ( 一x 2 ,一x 2 ) ,容易验证,是碑一凸的,但不是r 一似拟凸的;g 是r ;一似 拟凸的,但不是r i 一凸的 下面的例子说明,虽然在单值函数情形,c 一似拟凸性与c 一伪似拟凸性等价,但 在集值映射情形,两者也不相同 例1 2 2 设x = 【0 ,2 】,r + = 0 ,+ ) ,集值映射f = r :一z 2 + 2 x + 3 y ( z 1 ) 2 ,g = y r :扛一1 ) 2 + 1 y 1 一( z 一1 ) 2 ) ,容易验证f 是r + 一伪似拟凸 的,但不是r + 一似拟凸的;g 是r + 一似拟凸的,但不是r + 一伪似拟凸的 1 3 其它相关概念及结果 定义1 3 1 集值映射f :k 2 。被称为是闭的,只要g r a p h ( f ) = ( z ,y ) :yef ( z ) ) 是k y 中的闭集 下面的结果,是f a n b r o w d e r 不动点定理( 见 8 ,1 9 ) 的一的变形,这里给出它的一 个直接证明 引理1 3 1 假设k 是h a u s d o r f l 拓扑空间x 中的一个非空紧凸集若集值映射 a :卜2 “u 0 ) 满足下列条件: ( 1 ) 对任何。e k ,a ( x ) 是一个凸集; ( 2 ) 对任何x k ,z 茌a ( z ) ; ( 3 ) 对任何y k ,a - 1 ( y ) = z k :y ( z ) ) 是k 中的开集 那么存在虿k 满足a ( i ) = 0 证明:用反证法,若结论不成立,则u y e k a 。( ) = u e z k :y 且( z ) 是k 的 一个开覆盖,因此,存在有限个y l ,y 2 :,y m ,满足:u 坚1 a “( y i ) k 定义连续的单 值映射:k _ k 为( z ) = 罂l 风( z ) 玑,其中 觑( z ) ) 为开覆盖u 些1 a - 1 ( 玑) 的有限连 4 续单位划分,比k ,若岛( z ) 0 ,则x a 。( 玑) ,有y ;ea ( z ) ;因a ( x ) 凸,我们得 到:( 动a ( 。) ,即:( z ) 是a ( x ) 的一个连续选择,记k o = c o y 1 ,y 2 ,f m ) ,表示 由点y l ,y 2 ,y m 张成的凸包,因此,l k 。:凰h 凰是连续的,其中l k 。表示曲在 上的限制,由b r o u w e r 不动点定理,i k o 存在不动点,即:存在yek 使y = 舌( 9 ) , 也就是说:ye a ( ) ,矛盾 引理1 3 2 ( 3 7 定理711 6 ) 假设x 与y 是两个拓扑空间,y 是紧的如果f 是 一个从x 到y 的闭的集值映射,那么f 是上半连续的 引理1 3 3 ( 9 0 ,引理1 1 ) 若y 是一个b a n a c h 空间,c 是y 中的一个闭凸尖锥, 且i n t c 口那么我们有:i n f c + c c i n t c 注意,引理1 3 3 在一般h a u s d o r f f 拓扑向量空间也成立 命题1 3 1 若集值映射f :k _ 2 7 上半一c 一连续且具有非空紧值,则集合 z k :f ( z ) 仁一i n t c 是闭的 证明:对任何x “e x k :f ( 。) 仁一i n t o ,扩+ z o m _ + o 。) ,如果z og 忙 k :f ( x ) 仁一_ i n t c ,则有:f ( z o ) c m t c ,于是,存在零元口的开邻域y 使: f ( z o ) + vc i n t c ,由上半c 一连续的定义,存在x o 的开邻域u ( x o ) ,当z v ( z o ) 时,有f ( x ) cf ( 一) + v cc i n t c cc i n t c 因扩_ 。o ,存在正整数,当 n n 时,扩u ( x o ) ,此时有:f ( x ”) c f ( x o ) + v c c i n t c ,矛盾 命题1 3 2 若集值映射f :k _ 2 。是c 一似拟凸的,则集合 $ k :f ( 。) c i n t c 是凸的 证明:对任何z 1 ,, t 2e z k :f ( ) 一i n t c ) 及任何t 0 ,1 ,因f 是c 一似拟凸 的,不妨设f ( t z l + ( 1 一t ) x 2 ) f ( z 1 ) 一c ,那么有:f ( 缸l + ( 1 一t ) z 2 ) cf ( z 1 ) 一c 一i n t g cc i n t c ,得证 命题1 3 3 若集值映射f :_ 2 7 是一c 一伪似拟凸的,则集合扣k :f ( $ ) 一i 州e ,是凸的 证明:对任何z 】,z 2 扣e k :f ( x ) 一m t c 及任何t e o ,1 ,因f 是c 一伪似拟凸 的,不妨设f ( z 1 ) c f ( t x l + ( 1 一i ) x 2 ) 一c ,如果t x l + ( 1 一t ) z 2g 伽k :f ( z ) 仁一i n t c , 贝0 f ( x 1 ) c f ( t z l 十( 1 t ) x 2 ) 一c 一i n t c cc i n l c ,矛盾 用m 表示所有上半连续且具有非空凸紧值的集值映射f :k _ 2 ”全体对任何 5 f ,g m ,定义 p ( 只g ) = s u p ( f ( z ) ,g ( z ) ) z 爿 其中h 是定义在x 上的i i a u s d o r f f 距离容易验证( m ,p ) 是一个度量空间 对任何f m ,我们用s ( f ) 表示f 的所有不动点的集合,由k a k u t a _ l f i f a n - g l i c k s b e r g 不动点定理( 见吼p p 5 5 0 ) ,s ( f ) 是一个非空紧集 下面我们介绍关于连通区的定义 定义1 3 2 对任何f m ,包含点z s ( f ) 的连通区是s ( f ) 的所有包含点。的连 通子集的并 注意到连通区是是s ( f ) 中的连通的闭子集( 见 1 8 】,p p 3 5 6 ) ,因此必是连通的紧子 集因为s ( f ) 中两个不同的连通区或者相同,或者不相交,那么s ( f ) 的所有连通区 形成一个分解: s ( f ) = u 。e a & 其中a 是一个指标集,对任何c l a ,& 是s ( f ) 的一个非空连通子集,并且对任何 o ,卢a ,o 卢,ns b = 0 定义1 3 3 对任何f m ,a 是s ( f ) 的一个非空闭子集,如果对任何开集0da ,存 在f 在m 中的开邻域u ,满足:对任何f u ,s ( f ) n 0 0 ,那么我们称a 是s ( f ) 关于m 的一个本质集;如果s ( f ) 的一个连通区& 是关于m 的本质集,那么我们称 & 是s ( f ) 关于m 的一个本质连通区;s ( f ) 的一个本质集a 称为极小本质集,如果 a 在s ( f ) 的所有本质集的族中按包含关系是极小元 由上述定义可知,若度量空间( z ,p ) 是度量空间( l ,的子空间,口z ,且q 的解 集在度量空间( l ,p ) 存在本质连通区,则q 的解集
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