（应用数学专业论文）双正交多小波包的构造及预滤波器的设计.pdf

哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 摘要 小波技术作为一种信号处理的工具在图象压缩和去噪等方面有着良好的 应用，但是具有紧支撑的正交对称的单小波系统是不存在的。多小波理论是 小波理论的新发展，多小波能同时拥有正交性，对称性，紧支撑性和高阶消 失矩等特性，理论上优于传统的单小波。 本论文首先综述了多小波变换理论及小波包理论。作为多小波理论的一 个补充，本文给出了双正交多小波包的构造方法。通过将小波包的概念引入 到双正交的多小波中，构造出了多尺度双正交多小波包，并证明了此类小波 包对应于传统小波包所具有的性质。具体工作如下： ( 1 ) 建立了双正交多小波包的概念； ( 2 ) 给出了双正交多小波包中函数傅立叶变换的具体表达形式； ( 3 ) 证明了双正交多小波包中两簇函数相互之间的双正交关系； ( 4 ) 利用建立的双正交多小波包，得到r 陋两组基，满足双正交关系。 由于将多小波包的构造放宽到双正交情形，使得该方法具有较大的应用 价值。 预处理是多小波应用中不可避免的一个环节，本文在预滤波器设计上也 做了一些工作： ( 1 ) 给出了一种基于信号自适应的预滤波器设计方案； ( 2 ) 对这个设计方案的可行性进行了实验论证。 关键词：多小波；双正交多小波包；双正交多重尺度函数；预处理 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t w a v e l e t sa r eau s e f u lt o o lf o rs i g n a lp r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha si m a g e c o m p r e s s i o na n dd e n o s i n g b u tt h e r ei sn o ts u c has i g n a lw a v e l e t st h a tp o s s e s s c o m p a c t - s u p p o r t ，o r t h o g o n a l i t y , a n ds y m m e t r ya tt h es a n l et i m e m u l t i w a v e l e t t h e o r yi st h en e wd e v e l o p m e n to f w a v e l e tt h e o r y m u l t i w a v e l e tc a ns a t i s f y o r t h o g o n a l i t y , s y m m e t r y , c o m p a c ts u p p o r ta n dh i g h - v a n i s hm o m e n ta tt h es a m e t i m e s oi th a sb e t t e rp r o p e r t i e st h a nt h o s eo f t r a d i t i o n a lw a v e l e t i nt h i sp a p e r , w ef i r s t l ys u m m a r i z et h em u l t i w a v e l e tt h e o r ya n dw a v e l e t p a c k e t st h e o r y a st h es u p p l e m e n t a r yt ot h em u l t i w a v e l e tt h e o r y , am e t h o df o r c o n s t r u c t i o no fb i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t sw i t hm u l t i s c a l ei sp r o p o s e di n t h ep a p e r b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fw a v e l e tp a c k e t si n t o b i o r t h o g o n a l m u l t i w a v e l e t p a c k e t s ，t h em u l t i s c a l i n gb i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t si s c o n s t r u c t e d ，a n dt h ep r o p e r t i e sc o r r e s p o n d i n gt ot h et r a d i t i o n a lw a v e l e tp a c k e t s a r ep r o v e d c o n c r e t ew o r k sa sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ec o n c e p to f b i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t si se s t a b l i s h e d ； ( 2 ) t h ef o u r i e rt r a n s f o r mo f f u n c t i o n si nb i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t si s o b t a i n e d ； ( 3 ) b i o r t h o g o n a l r e l a t i o no ft w of a m i l i e so ff u n c t i o n si n b i o r t h o g o n a l m u l t i w a v e l e tp a c k e t si sp r o v e d ； ( 4 ) b yc o n s t r u c t i n gb i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t s ，w eg e tt w ob a s e so f r ( r ) w h i c h s a t i s f i e db i o r t h o g o n a lr e l a t i o n o w i n gt ot h ew a y so fr e l a x e dc o n s t r u c t i o ni nb i o r t h o g o n a ic a t h em e t h o d p r o p o s e dh e r eh a sc o m p a r a t i v e l yl a r g e rv a l u e si na p p l i c a t i o n p r e p r o c e s s i n gi sa nu n a v o i d e dp r o c e s si na p p l i c a t i o no fm u l t i w a v e l e t s t h e p a p e ra l s od o e ss o m ew o r k si nd e s i g n i n go f p r e f i l t e r ： ( 1 ) t h i sp a p e rg e t sa n e w p r o j e c to f a d a p t i v em u l t i w a v e l e tp r e f i l t e r ； 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 2 ) g i v ee x a m p l e st op r o o ft h ef e a s i b i l i t yo ft h i sp r o j e c t k e y w o r d s ：m u l t i w a v e l e t s ；b i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tp a c k e t s ； b i o r t h o g o n a lm u l t i s c a l i n gf u n c t i o n ；p r e p r o c e s s i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的 指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、 数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对 应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的 7 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 作者( 签字) ：壹l 里 日期：i o o 年中月西日 哈尔滨工程大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 多小波变换的发展状况 1 1 1 多小波理论的发展状况 多小波是传统小波理论的新发展。多小波又叫向量小波，它是指由两个 或两个以上函数作为尺度分量组成的尺度函数生成的小波。而传统意义下由 一个尺度函数生成的小波称之为纯量小波( s c a l a rw a v e l e t ) 或单小波。单 小波就其本身性质有一些无法克服的缺点，而多小波可同时满足对称性、短 支撑性、高阶消失矩和正交性，因此理论上比单小波具有更多优势。多小波 理论由于其自身优越性，从而在1 9 9 6 年以后迅速发展起来。 首先，a l p e r t 和r o k h l i n n 嘬早构造出，个尺度函数，每个尺度函数都是 支集在 o ，1 上的，- 1 次多项式。他们将这些尺度函数形成的多小波用于求解 积分方程，能够使得积分方程形成的矩阵有更大的稀疏性。 1 9 9 4 年，g o o d m a n m 等人基于，重多分辨分析( m r a ) 建立了多小波的理 论框架，并给出了多小波的例子；同年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t “ 应用分形插值的方法成功的构造出具有短支撑、正交的、对称的和具有二阶 消失矩的两个尺度函数中g ) 一( 竹g x 妒：g ) r 的多小波系统。 1 9 9 6 年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s tc 。l 再次应用分形插值的方法， 构造多小波1 l ，仁) 一劬。仁x 妒：b 炉，即为我们所熟悉的g h m 小波。g h m 小波的 成功构造，立即吸引了许多从事小波分析的研究者。1 9 9 6 年，c h u i 和l i a n m 研究了多小波的正交性、紧支撑性、对称性和插值性等性质后，利用对称性 构造出支撑在 o ，2 和 0 ，3 3 上二重多尺度函数和多小波，并且所用的方法不 再是分形插值的方法，用另一种方法重构了g h m 小波。同年，s t r e l a 在其博 士论文多小波：理论与应用中对多小波在时频域上的性质进行比较深刻 的分析，特别是提出了两尺度相似变换( t s t ) 的概念，为改进和构造多小波 1 啥尔滨丁程大学硕+ 学位论文 提供了一种强有力的工具。 1 9 9 8 年，i w s e l e s n i c k 从采样定理和两尺度关系的方程组中得到插 值平衡多小波，例如c a r d b a l 2 指的就是2 阶平衡插值多小波。平衡多小波由 l e b r u n 和v e t t e l i “，提出，最大优点就是其预滤波器是一个单位矩阵，即不需 要进行复杂的预处理就可以直接使用输入数据。 1 9 9 9 年，l s h e n ，h h u a tt a n ，j j t h a m 给出了对称一反对称多小 波。例如s a 4 ，这个多小波就是直接根据单小波扩展来构造的，具有很好的 性质，在图象处理上取得了比一般多小波好的效果。 在数学领域，对多小波的研究也取得了不少进展。1 9 9 6 年，h e i l 和 c l o l l a n ，研究了向量成为多尺度函数解的存在性及唯一性问题，分析了矩阵两 尺度方程解的无条件收敛、条件收敛和超收敛的情形。1 9 9 7 年，m i c c h e l l 和x u m 从放射映射的角度给出一类区间多小波，使得a l p e r t 和r o k h l i n 构造 的多小波成为他的特例，并研究了一类区间双正交多小波的分解重构算法。 s h e n 和j i a n g 也分别对多小波进行了深入的研究，特别是j i a n g w 利用视频分 析中的窗函数的特性构造出具有最优时频分辨率的二重多小波。l i a n 给出了 多尺度函数是正交的各种判断标准。m a s s o p u t 、r u t h 和p j y a n f l e e te - o ，讨 论了多尺度函数的支撑特性。 近几年来，多小波理论得到迅速发展，成为小波研究领域的热点问题。 多小波提供了许多研究课题，吸引了许多小波研究者的目光。 1 1 2 多小波应用中预滤波的研究发展 为配合论文工作，在这里简略介绍一下多小波应用中预滤波的研究发展 状况。 预滤波是多小波预处理的一个十分重要的方法。近几年来，对多小波预 滤波，许多学者从不同角度进行了研究，并给出了一些多小波预滤波器设计 方案。预滤波又分为基于信号本身的( 即自适应的) 和基于滤波器设计的。 首先，x i a “”在1 9 9 6 年对d g l 州多小波的预滤波器进行了讨论，他把预滤波器 和多小波第一级分解结合起来考虑，利用保持其高低通性质来设计预滤波器， 但设计出来的预滤波器并不正交。m i l l e r “”考虑了一种信号的自适应预滤波， 其思想是多小波分解后各层能量之和最小。1 9 9 8 年，h a r d i n 和r o a c h n “构造 2 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 了一种保持函数p ( p s2 ) 逼近阶正交f i r 预滤波器。同时，x i a m 嗵过尺度 函数的线性组合构造一种满足正交，低通性质的“超函数”( s u p e r f u n c t i o n ) ， 通过对s u p e r f u n c t i o n 的构造建立了一种正交预滤波器，此后有关 s u p e r f u n c t i o n 的推广见文献 1 5 ，1 6 。 1 2 本文使用的方法 对多小波变换预处理过程通常有两个方法：一个是平衡处理，另一个是 预滤波。但正如文献 1 7 2 中指出，并不是所有的多小波都存在正交意义下的 平衡，本论文研究了一种基于信号自适应的预滤波器的设计，采用的方法是 通过改进文献 1 2 2 中最优问题的目标函数，从而得到一种实用的预滤波器设 计方案。在理论上，对于双正交多小波包的建立，在本论文中通过双正交多 小波生成的伍) 中的双正交基( 当然，这里生成两组基) 来代替正交多小 波生成的正交基，将正交小波包推广到双正交小波包，并在双正交基的意义 上建立了类似于正交基的一系列性质，通过这种扩展的方法来完成了双正交 多小包的建立，并对其上建立的性质进行了证明。 1 3 本文的结构 本篇论文主要进行了以下两方面的工作。首先，在正交多小波包的基础 上通过扩展的方法将小波包的概念引入到双正交多小波，给出了双正交多小 波包的一些对应于正交多小波的性质，并给出了性质相应的证明。其次，详 细讨论了多小波在应用时需要预处理的原因，研究讨论了现在各种预滤波器 设计方案，详细给出了一种信号自适应的预滤波器设计方案，并给出了数值 计算的实例。 第1 章中，给出了多小波变换的背景和发展现状。第2 章中，简单论述 了多小波的算法，详细论述了多小波的一些基本数学特征，对这些数学特征 的分析有利于加深对多小波本质的理解。第3 章和第4 章是本论文的主要工 作。第3 章，建立了双正交多小波包，给出了它的一些性质并给出了证明。 第4 章，就预滤波问题进行了讨论，最后给出了一种可行的预滤波器设计方 案，给出了计算实例。 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 4 本文的主要贡献 1 、在相关资料的基础上，综述了多小波变换的理论和方法。 2 、本文给出了双正交多小波包的构造方法。通过将小波包的概念引入到 双正交的多小波中，构造出了多尺度双正交多小波包，并证明了此类小波包 对应于传统小波包所具有的性质。 3 、较系统的研究了多小波预处理原因和预滤波器构造方法，给出了一种 可行的自适应预滤波器设计方案，给出了计算实例。 4 哈尔滨下稃大学硕士学位论文 第2 章多小波的基本理论 本章阐述了多小波变换的一般理论，给出了矩阵两尺度方程的推导过程， 对多小波对应的多元多分辨分析( m r a ) 进行了描述，并从多元多分辨分析的 角度，讨论了多小波的m a l l a t 分解和重构的算法。最后综述了多小波具有的 一些数学特征。 2 1 ，元多分辨分析及离散多小波变换 在传统的单小波燹抉中，多分辨分析在冥理论中有举足轻重的地位。与 单小波理论相类似，有以下，元多分辨分析的定义。 定义2 1 r 元多分辨分析( m r a 7 ) 是2 伍) 上一串闭子空间嵌套序列以曩。， 满足以下条件： ( 1 ) 单调性：c + l ，v i e z ； ( 2 ) 逼近性：n 一 o ，u 丐一r c r ) ； 膨犀 ( 3 ) 伸缩性：fe v j s ( 2 ) + 。； ( 4 ) 平移不变性：，巧一厂( 以) 巧，v k z ； ， ( 5 ) 存在向量函数中i 慨，仍，竹尸工2 ( r ) ，使得整数变换簇 舾仁一七l 七z ，z 砖形成上的r i e s z 基。 上述定义中，条件( 3 ) 中的伸缩性可以表示为 1 ( x ) e v ，营，慨) 。，v j e z ，其中m 为不小于2 的自然数。本文中除特 别说明外，均考虑因子为2 的情况，即2 带多小波变换。 称垂是m r a 的多尺度函数( 又称向量尺度函数) 。如果m 是正交的( 即 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 有，中仁加仁一七皿一d 枷，七z 成立) ，则称忱曩。是正交的m r a 7 。对正 交的k 匕，令为巧在巧。为空间上的正交补，即。巧= _ 。 下面对多元多分辨分析的条件解释一- f ： 条件( 3 ) 表现了m r a7 的主要性质：任一个空间圪都包含中的在压缩因 子2 4 下的函数。 条件( 5 ) 意味着对任意的f ，都可以唯一的表示成 ，b ) 。荟片垂b 一七) 。荔劬仁一七) 上式在r 伍) 上收敛，且存在常数0 c a t b ( 与，无关) ，使得 4 乏4 4 i b ；4 墟 成立。 称这里的中是对应于m r a 7 的尺度函数，空间w o 对应的正交基为小波函 数。 以下就多小波矩阵两尺度方程给出详细的推导过程。 定理2 ，1 设一族闭子空间e i ，z j 是r 伍) 的一个m r a 7 。且 9 仁) 一( 吼仁l 伊：仁x ，竹g ) ) 1 1 ，s k ，k z j 扣b ) 船。0 l 妒：b x ，妒，b m s ，s k ，k z 分别是多尺度函数和多小波。 ( 1 ) 若令孵，g ) 一告髀缸) ，则p ( 工一号) 峙“墨k z 是巧空间 的标准正交基。 c z ，着令妒，b ) 一告妒，缸) ，则 妒啦，( 工一号弘r5 蜀k z ) 是空 间的标准正交基。 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 利用本定理可以得到多小波变换( 分解) 和反变换( 重构) 的m a l l a t 算法。 令日) 一 h 0 , 1 ) ( n ) ( 鲫b ) | i l ( 1 五0 ) j i l “) ，这里， 加作) 一廖h h 协一e 易，h 悟 - f _ 。2 c p p ( 、1 。t ) o z 净- ，专( 囊矿( 吖) ) 其中，1 p ，q k 。 根据标准正交基的性质，可以得到多尺度矩阵方程： ( 卜参) 。 叫j 一号) o k , 2 1 ( 卜多) 耋薹( 叫一和+ ：( 。一南) ) - ( 工一参) 耄薹( 一多) 十专) 。( 工一专) ) 一 一多) 。( 7 n ) ) i ( 。一参) 叫毋) ) 嘶- ( 】：一斋) 锄，( x 一剖 7 ( 号) 叫号) ) ( ( 号) 。( 。南) ) - 薹日“一z m ) , v ：一( z 一剥 说明：若令“一2 j “石一2 m ，得到础- 2 - j - 1 d u ，则 仁( 一书。( 一贵) ) z f 2 气( 2 k 2 7 号) 卜卅“斋) 2 ；出 一仁2 弓o 加伽 一i l ( ，一0 一m ) 对于任意的州l 2 ( r ) ，如果她矿( ，( k ( 多) ) c j ，一 c j 月，l ： c i x ( “概：( 号) ) ( ，( k ( 一参) ) 。c ，b 净：小号卜 利用多尺度矩阵方程可以从c ，+ 得到c 加 髂：二雾 c 加- c ，g 净：，( z 一参) 出- 仁，b 喹，。一加净：m ( x 一南) 出 类似地，可以令 这里 g ( n ) 一 g “1 b ) 占( 枷“) g b ) g g ) 少一魄晰却。船，( 渺一z 悟 一c 2 南，以栅虬( 咄) ) 8 丝垒型堂垒些鲨兰一 叶爿七矧 一跏：( ，毋) ) z m ( x 一参) ( 号) ：( 一专) 啊- 卜。专) ) 。f 沁c 号) 。c 每- - 1 ) i ：沁( 号) y c 号) ) 羔l c 号) 0 ( 专) ) ：以巧号) 乙。c 号) ) e妒。,2j1s+1x- 。芝g o 一锄b 卜专) 说明：若令口。2 1 + 1 工一2 m ，得到出一2 - s - t d u ，则， p , 2 1 ( 一跏。( 一方) ) - 仁2 ，( 2 k 2 7 跏( 2 j 1 x _ 2 j 1 专) 2 - 仁z 一：妒，( 丢“q , q ( u 一 + 锄协 g 0 一二) 如果取m ：0 ，= 0 ，以_ 七，n , m ，七z ) ，则得到两尺度方程： 9 一p一 v禽v岛 r_l_l_i_ll_i _ 娑：裂2 址x - k 川) - ， 掣b ) 。荟g t m ( 1 t 。，q , 都是r x r 的矩阵，也称为矩阵滤波器系数。由( 2 1 ) 式，可以得 毒皓) - 日倍2 净皓2 ) ( 2 2 ) 审( 宇) - g 倍2 净倍2 ) 。 此处，h ，g 都是( 2 1 ) 中日。，g 。的矩阵频率响应( 也称为两尺度矩阵符 日倍言荟即嘶 ( 2 _ 3 ) g 皓) 。圭荟即嘶 若中， l 是紧支的，则，g 是f i r 多滤波器组： 中k ) 荟。h t 中( 2 x 一七 ( 2 4 ) 1 l ，仁) 。荟瓯垂( 2 x - k ) 说明；两尺度关系指的是空间和哆。以及彤，和。之间的关系，且 o 巧一+ l ，在空i 司中0 n b ( 标准正趸基) 司以取个同的彤式，j 盥短网 尺度关系和式子( 2 - 5 ) 黼h 。，g 的取值：( “宰”代表共轭转置) g ( 亭1 日( 亭) + g ( 宇+ 万p f ( 手+ 石) + 一0 ，坩 ( 2 5 ) 在空间中的0 n b ，当取不同的形舯纠妒( 量) ，万1 垂( 量) 等就 会出现三种不同的两尺度函数关系，下面分别给出这些关系： 取丢零( 考) 时，得到两尺度关系为； 1 0 哈尔滨下稃大学硕士学位论文 频域上： 丢中( 主) 4 乏日t 中b 一七) 毒( 2 亭) 一罗日。e 4 5 巾( 亭) 胡偕净( 宇) ( 2 - 6 ) 彪 取中( 差) 时，得到的两尺度关系为： 中( 差) 。荟日t 中b 一七) 频域上： 毒( 苟) 三荟巩e 孵西( 亭) 胡皓净( 亭) ( 2 7 ) 取击中馐) 时，得到的两尺度关系为： 万1 中( 考) 。h k 中b 一七) 频域上： 毒( 2 宇) 一击荟日k e a # q ，( 宇) 胡皓州 ( 2 _ 8 ) 2 2 离散多小波变换 这一节，将给出离散多小波燹换的明确表达式，更直观的给出了多小波 变换的过程。 设闭子空间e i j z 是工2 伍) 的一个m r a 7 。且 扣0 ) 一k g l 伊：b x ，q p , ( x ) l l s rs k ，k z 扣& ) 一船。g 】 妒：b x ，妒，( x ) l l a ，s k ，k e z 分别是多尺度函数和多小波。 另设信号，屹，由定理2 1 知，可表示如下 ，仁) 一疋中上b ) 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 其中，t 。【二：】，西，g ， 咄一多) ( 卜事) 从而，k 可用一系列序列l 一帆j 来明确表示出来。 下面将，分解到空间圪，与睨。中去。令只，q 为到空间k ， 映射，则由于屹。o 睨。一k ，下式成立 ，一只。f + q ：。， - 厶，垂。w + 芝d ，戳吐j 这罩 矗，- ( i ，垂。，) ， d ：吐，一( 厂，_ ，) 一 ( t e 一击) ) ( 地芦。( 工每) ) ( 机- e 一击) ) ( 帆( 石一舌) ) ( 2 - 9 ) 彤的投影 引理2 1 中u 、鼍，j 如式( 2 9 ) 、( 2 一l o ) 的形式，则下面结论成立， 证明： ( 2 - l o ) 唾 一- ，4 一 ? 。h t z ( 2 - 1 1 ) p 。吐，暇 ) 一晚吲 ( d p - 1 j , 西。) 。 n-ix_j： j)2；中b一如_：2等dp(2n-tx- 一 j ) 2 i 中( 2 ”z 一七k 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 一c 军2 ：q 中b 捌一z ) 2 ：中b 一啦 。；h 1 6 2 州t i 类似可证第二个式子也成立。 说明：通过上面的等式，可以得到 矗，一( ；t a 吐，) - t ( 中舻垂。刮) - t 日汤 或者 f 。 i 一h f 。 同样的有 d u - t d 侄t ，) 一t ( o 彬_ 吐，) 一t ：， 或者 f 州一g 。 这样就得到了以下离散多小波分解和重构算法。 定理2 2 ( 离散多小波变换的分解与重构算法) 对初始信号 - 怃。i 有 分解算法。 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 f 叫一h 雌 三钆 q 1 2 这样初始信号一 ， j 得到了分解，分解成厶。与d 。 重构算法： 无 - 二z j ，+ 磷刮d 。一， ( 2 一1 3 ) 从上面分解与重构算法公式形式来看与单小波的分解与重构算法表达式 类似，但要注意的是这里 不再是一个数列而是一个向量序列，每一个系数 无。都是一个长度为r 的向量，每一个矩阵滤波器系数是r x r 矩阵。 上面的公式说明的是一次离散多小波变换的形式，在实际应用中，经常 要做的不仅仅进行一次多小波变换： | 一| 。d 。d - l _ 2 ，d 。一2 f t n _ f l ，d t 进行逆多小波变换时，也有类似的情况。和单小波变换一样，离散多小 波变换浮点计算量也为d ( ) 。 上述分解和重构算法可以用下面无穷矩阵乘积来表示； 分解步骤： 同样 i l 1 厶- l o 无u 1 4 i 一l o 1 ： h 日 1 4 一日h ， 日日 珥钆 h 哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 统一写出来 d 。l l d l o d 。l l ： ( ，d l 。 ( 彤l - l 。 ( 彤l 枷 易见，完全重构条件为 2 3 多小波基的数学特征 一r ( 彤l 。 工l - ， ； 无一l | 。 。 ： i ( 彤l ， ( 弘) 。 ( 彤l 。 ； 小波在数据压缩、信号去噪等方面具有优势m ，主要利用到小波基可以 用较少的非零小波系数去逼近一类实际函数的能力，而小波基的这种能力主 要依赖其数学特征正交性、消失矩、正则性、对称性以及短支集长度等， 多小波也不例外，下面将逐一分析多小波的这些性质。 2 3 1 多小波的正交性 定义2 2 称多尺度函数由是正交的，若： r 垂b 净b 一七l & 一6 。，。l ，ke z(2-14) 成立。 根据定义可以得到下面的必要条件： 定理2 3t i ) 是正交的多尺度函数，相应的矩阵两尺度符号为日，则日满足： h 倍) 日倍) + 日倍+ 万) 日瞎+ 石) 一，亭 o ，断 ( 2 - 1 5 ) 1 5 呸瓯q 钆 q 瓯 防白 瓯 一 如“ 厶k k k 厶“ k ： 哈尔滨工程大学硕十学位论文 或 日b ) h g ) + 日( 一z ) h ( 一z ) - i ，i z | - 1 ，z 一口。5 ( 2 1 6 ) 即。 芝日，知一2 2 ，r ，k e z ( 2 - 1 7 ) m 对应的多小波平( 相应的矩阵两尺度符号是g ) 是正交的，当且仅当： 端二嬲锻- o r - i , 0 冲幼 日皓弦( 亭) + 日皓+ 石) g 倍+ 石) - ，。”“。、。 或 端二暑穰高：0 ，州- 日仁) g ( z ) + 日( 一z ) g ( 一z ) - ，3 h 。 即 g g k - 地，。j ， 圭日，g 二。：。 七z2 2 。 说明( 1 ) ：称满足( 2 1 5 ) ，( 2 1 8 ) 的 日，g ) 是矩阵共轭正交滤波器m c q f ( m a t r i xc o n j u g a t eq u a d r a t u r ef i l t e r s ) 。 说明( 2 ) ：定理2 3 只给出了正交多小波的必要条件，下面给出其充要条 件。 定理2 4m 和v 是正交多尺度函数和多小波，当且仅当对应的两尺度符号 位，g ) 是m c q f ，且利用迭代算法( 即级联算法) 计算中时收敛。 引理2 1 设中和1 王r 是多尺度函数和多小波，对应的矩阵尺度符号是忸，g ， 若u 。和( ，2 是任意的非奇异阵，则中。一u ，中和l i ，- u ：掣也是多尺度函数和多 小波，对应的矩阵尺度符号是忙，6 ，其中膏。u ，h u 1 ，g 。u ：日【，。特 别的，若中和l ，是正交的，佃，g ) 是一个m c q f ，则只要u ，和【，：是正交阵， 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 忙，6 j 也是一个m c q f ( 此时膏一u i h u j ，否一u 2 g u f ) 。 引理2 1 可以这样来理解：如果得到某个多尺度函数中和多小波1 l r ，可 以通过上面的变换来求得具有某种更好性质的多小波枷，币 ，而不改变多小 波的其他性质。 如果有非正交的多尺度函数m ，可以利用自相关符号q 。的性质，构造 正交的多尺度函数，具体步骤如下： 算法2 1 中的正交化 ( 1 ) 已知非正交多尺度函数垂，可计算其自相关符号q 。，显然q 。是正 定的，且q 。一i ( 若否，则推出中正交) ； ( 2 ) 对q 。进行平方根分解：q 。皓) - m 。皓m 。倍) ，这样的m 。皓) 是存 在且可逆的： ( 3 ) 令m 皓) = m 。岱) 一，则毒。( 亭) 一m 皓净倍) 是正交的多尺度函数，且满 足两尺度方程：毒- 倍) i 费( 产- ( ) ；这里青倍) 2 肘( 鸳) h 皓) m 4 皓) ，可 以计算出：q - i ，即中l 是正交的。 ( 4 ) 作逆f o u r i e r 变换得到正交的垂。b ) 。 2 3 2 多小波的消失矩特征 定义2 3 称多小波l ，一似。，妒，) r 有_ i ，l 阶消失矩，若 p 妒g 皿一o ，o 一1 ，r x 且上- 毗，所一1 下面不加证明给出下面一些等价条件，详细证明见 4 1 ，4 2 ，4 3 。 定理2 5 垂一瓴，诈尸r 伍) 是紧支的，二2 稳定的，1 l r 是对应的多小波， 但皓x g 皓) ) 是两尺度矩阵符号，则下面结论等价： ( 1 ) v 有历阶消失矩： 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 ( 2 ) 定义循环矩阵：= 。一，j ，三有特征值2 ，设对应的右特征向量是 y i ，即y l k 一2 - s _ y 吐j 。0 卅一1 且) ，( 7 ) = b ，f 7 k ，其中每一项具有下面的 形式： 妒k 醐) j - k y 弦2 1 ) 这里，y 5 0 ，y p 。1 r 7 是确定的； ( 3 ) 任意的光滑函数，一( ，l ，) r 僻) ，可以用西在每个2 7 尺度上 作逼近，逼近阶是。( 2 肛) ，即：4 ，一；( 口。，妒( 2 ，x 一七l - c 2 - l l ：“i i ； 吼工2 伍) ，。 ，的小波系数具有衰减阶d ( 2 一加) ，即抓，掣( 2 z 出卜c 2 加； ( 4 ) 存在行向量序列侈f ，匕，一o ，肌一1 ，使得： z y j 中0 + z ) 一o ，b 兄，一o ，m 一1 ) ( 2 2 2 ) 趔 这里： 归。蓍y 仍； 且 y j j 也要满足( 2 2 1 ) 式； ( 5 ) 存在唯一超函数s g ) ：s g ) 一蹇o t ，垂b 一七) ) ，s 是某个整数t 使得 s ( o ) 一1 ，d 增( 乃破) o ，七z 0 k ，一o ，m 一1 ； ( 6 ) 存在向量y p ) ，y 驴1 r ；使得对，一o ，朋一1 ；有 擀咿y t o ) 础) 。) 摊) 2 。y p ) 妒k ) - 。 ( 7 ) 设y ( ) 是循环矩阵三的2 。，特征值向量，并且其每一项具有( 2 - 2 2 ) 的 形式，则： 莩y j 7 h 2 x 2 - 1 y p ) ，y f 7 ) 日她二2 。白七f t k 7 y 1 ”。( ，- o ，埘一1 下面就具有m 阶消失矩的多小波分解问题进行讨论。 定义2 4 称叠( 亭) 是日( 亭) 关于膨( 亭) 的两尺度近似变换t s t ( t w o - s c a l e s i m i l a r i t yt r a n s f o r m ) ，若 s - 7 ( 亭) - m ( 鸳归括加4 皓) 称 f 皓) 为相似变换矩阵。 定理2 6 垂- 慨，竹尸r 伍) ，是紧支，r 稳定的，掣是对应的多小波， 日倍l g 瞎) 是对应的两尺度矩阵符号，掣具有m 阶消失矩，则皓) 能进行 m 次t s t 分解： 日皓) 一砉膨。( 鸳) m 。( 2 事妇皓渺f ( 亭) 肘：。倍) ( 2 2 4 ) 其中q 倍) 是一个矩阵三角多项式。相似变换矩阵膨，g o ，m 一1 ) 满足 条件： ( 1 ) m i ( 亭) 可逆，对所有宇，l0 1 ( 2 ) ( 老a e t 托皓) ) l o ( 3 ) m ；( o ) 有单特征值0 ，且存在对应的右特征向量，使m 。( o k 一0 。 令m 倍) - 。倍) m 。( 宇) ，则m 皓) 满足： d e t m ( 5 e ) 一cr - - p 。p 事实上， + 蜘( 等卜q 皓) 说明( 1 ) ( 2 - 2 4 ) 的t s t 分解不是唯一的。 说明( 2 ) ( 2 - 2 4 ) 黼，每做一次日( 亭) 的t s t 变换分解，实际上 是确定日括) 的一个消失矩，因此只要能找到相似变换矩阵m 皓) ，对日皓) 做 1 9 一次t s t 变换，则豆倍) 比日皓) 多一个消失矩。 2 3 3 多小波的正则性 定义2 5 设西- 慨，竹) r r 伍) ，m c 4 僻) ，是指： 若d - n + d l ，n 6 z + ，o d 1 ，z ，斤z + ， 田。c 嘞0 箴( 口k 七l 七z ) ，e z , n e z + 定理3 5 为非负整数，则【厂知一o ；a - 0 - i u a 。“，疗二1 - o ；a - 0 - 1 u j ”“ ( 3 2 9 ) 定理3 6 对于每一个户l ，2 ，有 础一oj a k - o - 1 u ”- c ) 。a t 。- 1 t 。a “ ( 3 3 0 ) 形 ) o ：二1 疗? “。o ，k - 4 0 疗0 一“ ( 3 - 3 1 ) 3 1 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 定理3 7 l 2 忸) 一o ( 删。嵋o o w ：1 ) o 。畦 - o ( 帚掣。磋o o 帚，) o 。玩( 3 - 3 2 ) 从而我们得到r 取) 两组基， 肛枷g x 玩“b ) ，f i 。1 ，4 1 ，- 。，1 2 ，) 满足 l j 双正交关系。 3 3 本章小结 本章的主要工作是： ( 1 ) 讨论了一般小波包的定义，初步对小波包的定义进行了介绍，为下一 步推广作了准备。 ( 2 ) 建立了一般r 重4 尺度双正交多小波包的概念，推导出了它的性质并 进行了详细的证明，完成了由小波包到双正交多小波包的推广。但小波包比小 波划分的更细，因而在计算上更加复杂。要想使双正交多小波包更一步适应于 实际应用，建立简便的快速算法将是必不可少的。怎样减少计算量也成了现在 的一个研究课题。 哈尔滨工稃大学硕十学位论文 第4 章一种基于信号自适应的预滤波器设计 通过理论上讨论多小波的数学性质，多小波由于拥有多个尺度函数和小 波函数及滤波器的矩阵形式，因而能同时拥有短支撑集，对称性，相对光滑，高 消失矩等特性。这样就很好的解决了单小波中正交紧支和对称性之间的矛盾， 短支集和高消失矩之间的矛盾等等。然而多小波在实际应用( 例如信号与图 象处理) 中却没有表现出与其好的数学