（计算机应用技术专业论文）基于布尔过程论的波形空间以及分段插入排序算法研究.pdf

照些丝查! ，篷塑窭塾堡煎盟选兰窒塑些燮塑型塑翌堕型黧奠一攘簧邀堡年采，蘧蓍奄予亳漆弱毫遮纯彝大瓣模集藏纯，毒零代数俸必捺述数字电路的逻辑行为的工凝，越来越显尕其不足布尔过程论就是在避种情况下产生的，这一壤念是崔1 9 9 4 年巍孛瓣魏诗冀爨阋盛骆磅爨受蓠次挺密豹。它将森尔代数岛时间结合起来，为异费性描述提供了比较形式的瓒谂基础，并谯通路敏纯、惫派湾裁懿计算、旗态毫流瓣试方法( 南。力、辩鬣放辩诊颧等方瑟取褥了实质性的进展。本文将瑗代数学方法癍爝予毒承过程论，怒该理论爨野了个裹凄，慰毒尔过程论理论的发展和威用起了一定的促进 乍用对数字售号波形定义了距离、投壤翘连续缝熬穰念，潋聚在数字电路孛筏至l 莱魑逵绥援。主要表璃在：定义了波形空间；在波形空间中定义7 与实嫁闯题蝴符合静鼹离，极限，惩迟簿予；运焉毒拳运簿壤导爨了波形空阕楚b a n a c h 窆瓣；渡形鹣壤限期嫠分静定义爱浃了毫路中的通路敏他；雄导出了波彤空间中常见波形运算戆逆运葵或广义逆运算擞其在宅路串翡壤瑷势在遮黯敏纯方嚣褥窝了些痤露，作为布尔过程论静一个应用，针对动态魄流测试，提如了动态激漉测试憨遗传爨法测试方法实验雅荣表强，宅鼹孛稳囊一部分藏簿怒易。，测弱，并与镰前豹鑫渤溺试产生算法傲了比较，此算法稳定牲姆、速痰抉璺哥测栏测发馕好除了上嚣这些理论工箨之外，结合实际您丽，对箝 序算法进行了i 湃究擗序是计算枫秘学串一蹶笈杂蔻重簧酶按零，应爝饕鬻广泛，尤其是瑷农麓热门数攒挖舞，零文提国了数据等概率分档辩序箨法和多数错源数攒等概率分档排序算法，实验绉果袭蹋，这两令冀法努爱好予两类算法劳对箕法鹣套效瞧进行了定爨骈究，献丽算法串所阉参数的敢值有了理论依据关键词：布尔过程论，动怒电流测试，遗传算法，排序冀法望些垒查! 查查竺苎堡垒塑壅兰窒塑垡垒坌鉴塑仝塑! 壁墨鲞堑壅一a b s t r a c tw i t hh i g hs p e e da n dl a r g e s c a l ei n t e g r a t i o no fe l e c t r o n i cc i r c u i t s ，b o o l e a na l g e b r ai si n s u f f i c i e n tt od e s c r i b et h ec o m p l i c a t e dl o g i cb e h a v i o ro fd i g i t a lc i r c u i t s t h em a i nr e a s o nf o rt h a ti sl o s so ft i m i n gi n f o r m a t i o n ，w h i c hi se s s e n t i a lf o rh i g h s p e e dc i r c u i t s t h ec o n c e p to fb o o l e a np r o c e s sw a st h e ni n t r o d u c e da n df i r s tp r o p o s e db ym i ni n19 9 4 i tc o m b i n e sb o o l e a na l g e b r ae x p r e s s i o nw i t ht i m ei n f o r m a t i o nt od e s c r i b eb e h a v i o ro fad i g i t a lc i r c u i t i th a sm a d es u b s t a n t i v ep r o g r e s sa tp a t hs e n s i t i z a t i o n ，p o w e rd i s s i p a t i o ne s t i m a t i o n ，i d d ta n dd e l a yf a u l td i a g n o s i s t h e o r e t i c a l l y ，i ti sn e c e s s a r yt oe s t a b l i s hs o m em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o ni no r d e rt od e f i n ed i s t a n c e ，l i m i ta n dc o n t i n u i t yb a s e do nb o o l e a np r o c e s s t h i st h e s i sc o n t r i b u t e st ob o o l e a np r o c e s si nd e f i n i n gl i m i ta n dc o n t i n u i t yi nw a v e f o r ms p a c eo fd i g i t a ls i g n a l s ，a n da p p l y i n gt h ec o n c e p tt os o m ep r a c t i c a lp r o b l e m s t h ec o n t r i b u t i o n si n c l u d et h ef o l l o w i n g t od e f i n et h es p a c eo fw a v e f o r m s t od e f i n ed i s t a n c e ，l i m i t ，ad e l a yo p e r a t o r ，w h i c hi sc o n s i s t e n tt op r a c t i c a lp r o b l e m si nw a v e f o r ms p a c e t od e d u c eo u tt h a tt h ew a v e f o r ms p a c ei sab a n a c hs p a c eu s i n gt h eb o o l e a no p e r a t i o n t h i si st h ec o r eo ft h et h e o r y i ti sn o t i c e dt h a tt h ed e f i n i t i o n so fl i m i ta n dd i f f e r e n c eo fw a v e f o r m sr e f l e c tp a t hs e n s i t i z a t i o ni nac i r c u i t i ti si n t e r e s t i n gt on o t et h ec o n s i s t e n c yb e t w e e nt h i st h e o r ya n dt h er e a l i t y t od e d u c et h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n so fc o n v e r s eo p e r a t i o n so rg e n e r a l i z e dc o n v e r s eo p e r a t i o n so fw a v e f o r mo p e r a t i o n si nw a v e f o r ms p a c e -b a s e do nt h ea b o v ed i s c u s s i o n s ，s o m et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt e s t i n 2o fc m o sc i r c u i t sa n di d d tt e s t i n gi st h e ne s t a b l i s h e d a l lt h et h e o r e t i c a lw o r ki sa p p l i e dt oi cd e s i g na n dt e s ta p p l i c a t i o n sw i t hs o m ee x a m p l e s ld d ta t p go fg e n e t i ca l g o r i t h mb a s e do nb o o l e a np r o c e s s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tm o r et h a n2 0 s t u c k o p e nf a u l t si n2堡些堕查! 叁主查垒兰堡垒塑壅兰窒塑坚墨坌垦塑全塑! 壁墨鲞曼壅p a r to f i s 8 5a n di s c a s 9 9c i r c u i t sc a np r o d u c e2 5t i m e s ，d d rv a r i a t i t ，a n dt h e nc a nb ed e t e c t e db yld d tt e s t i n g a l s os h o wt h a tt h i sa l g o r i t h me x c e l sp r e v i o u si d d ta t p ga l g o r i t h m i na d d i t i o nt ot h et h e o r e t i c a lw o r k ，o nt h ew a yf o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，s o r t i n ga l g o r i t h m sa r ei n v e s t i g a t e d a sw e l lk n o w n ，s o r t i n ga l g o r i t h mi sv e r yi m p o r t a n tf o ra p p l i c a t i o n ，e s p e c i a l l yd a t am i n i n gr e c e n t l y t h i st h e s i sp r e s e n t sas u b s e c t i o ni n s e r t i o n s o r t i n ga l g o r i t h mw i t he q u a lp r o b a b i l i t yd a t as e g m e n t a t i o na n dm u l t i r e s o u r c ed a t ae q u a lp r o b a b i l i t ys t a t i s t i c a ls u b s e c t i o ni n s e r t i o n - s o r t i n ga l g o r i t h m e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e s ea l g o r i t h m se x c e lo t h e r so ft h es a m ek i n dr e s p e c t i v e l y a n dq u a n t i t a t i v ee v a l u a t i o nf o rt h ea l g o r i t h m sw a sg i v e n k e yw o r d s ：b o o l e a np r o c e s s ，厶d rt e s t ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，s o r t i n ga l g o r i t h m3兰些垒查! 叁主查查苎堡垒竺壅兰窒塑垡墨坌垦塑全塑! 生笠兰翌窭第一章绪论自从本世纪4 0 年代计算机问世以来，便提出了数字系统的测试问题随着集成电路的出现、集成度的不断提高和集成电路越来越广泛的使用，集成电路的规模、复杂程度快速的增长，传统的测试方法的改进已不能满足集成电路规模增大的需要，再加上一些新的问题的出现，迫切需要一些新的测试理论、测试技术、测试方法新的测试理论、测试技术、测试方法的研究，对于提高集成电路产品的可靠性具有十分重要的实际意义1 1 数字集成电路测试的基本概念的理论集成电路测试已经热门了3 0 年，无论从设计、生产、销售、应用和维修各阶段来看，测试都至关重要电路的物理故障多种多样，但大致可以归纳为以下几种常见的故障模型：固定故障模型；桥故障模型；固定开路故障模型固定故障模型是假定系统中有n ( n o ，为整数) 条引线发生固定为1 ( s - a 一1 ) 或固定为o ( s 嵋一0 ) 的故障这种故障模型中最常用的是单固定故障模型，即n = 1 由于单固定故障模型简单，许多物理故障表现为或可以转化为单固定故障，使用非常广泛桥故障是由两条信号线意外地短接在起形成的，桥故障模型主要是桥故障的抽象固定开路故障是由c m o s 集成电路中的p 型管或n 型管的源极、漏极开路所导致，其与经典的固定故障不等效，它将使故障门变为时序电路如图1 1 所示，与非门的任何一个管子出现开路故障都会使此与非门呈现存储元件特性要检测这类故障，必须对输入加一个激励序列例如，当p 1 开路时，加入输入序列11 ，0 l正常时c 产生上跳变，而当p l 开路，c 保持o 不变，从而可检测此故障经典的测试生成算法都是基于传统的电压测试1 9 6 6 年，r o t h 提出了著名的d 算法1 2 j ，并从理论上证明了d 算法的正确性此后，国际上又先后提出了基于布尔代数的布尔差分算法【3 1 ，面向通路判心a 毒寸：图1 1n a n d 门7兰些堕查! 查查尘苎堡丝盟垄兰窒塑竖垒坌堡塑全塑! 生墨兰! 塞一定的p o d e m 算法i 以及面向扇出的f a n 算法1 5 1 我国学者魏道政教授提出的多扇出分支计算的主通路敏化方法【6 1 在实际应用也体现出了较大的优越性国防科技大学曾芷德教授提出的g f 二值算法，简化了测试产生算法的程序实现-提高了算法的效率这些测试方法是基于布尔代数的基本理论，没有考虑时间，随着电子电路的高速化和大规模化，其不足逐渐显现出来1 2 布尔过程论的概述布尔代数由于它成功地描述了数字电路的逻辑行为，在数字电路的设计与测试中得到了广泛的应用，不失为一个有力的数学工具但是，随着电子电路的高速化和大规模化，在处理高性能计算的时候，这一工具显现其明显的不足在计算机硬件和软件中大量碰到异步性的问题一个同步时序电路当它的时钟周期短到和电路时滞可以相比拟时就表现出它的异步性，甚至一个组合电路当运行在极高的时钟频率下时实际上成了一个异步时序电路而高性能计算和电路设计恰恰要把提高电路的速度和计算速度作为一个主要的目标为达到此目的，许多技术途径已经提了出来，有的已付诸实践作为基础，研究时间特性的描述是和逻辑特性的描述一样重要的应该说，这是一个重要的基础研究课题用布尔代数无法处理定时的问题时态逻辑用数理逻辑的方法规定一些算子来处理离散时间参数哺1 a m b l a r d 等曾用一类泛函来描述和解释电路的时间特性1 9 1 ，但此后未见报道传统上，人们是用波形图对电路进行直观的分析与综合，但是，这对于大型电路显然是不适宜的布尔过程论就是在此背景下产生的这一概念是在1 9 9 4 年由中科院计算所闵应骅研究员首次在i e e e 第三届亚洲测试会议上提出的 1 ，此后又发表了一系列的文章“，论及它在时滞故障模型和测试方面的应用1 9 9 4 年，l a m 和b r a y t o n 发表了时变布尔函数论i ”】一书，不约而同的以同样的目的，处理相同的问题，但采用的方法不同时变函数论取布尔值，用二值判决图( b d d ) 作工具来分别描写各状态的逻辑行为但实际上，更重要的是描写局部稳定状态，即中某些点已达到稳定状态，而其他一些仍处于不稳定状态这种局部稳定状态用b d d 无法描写以下是文献【1 l 】中关于布尔过程论的一些基本概念和理论：定义2 1 在集合b = o ，1 ) 上，定义了运算：口v b = m a x 口，6 ，口 6 = r a i n 口，6 ) ，厅= 1 一口兰些堕查! 查查玺坚笙竺壅墅窒塑竺垦坌堡塑全壁垒墨查翌查一可证明， 是一个布尔代数布尔过程是自变量为，的却尔代数簇 x 似it t ) ，其中t c ( - 。，+ 。) 定义2 2 实值函数猁称为一个波形，若v t ，x o ，1 ) ，x 是最多具有可数多个不连续点。 f ， 岛 f ， o ，及最小容许脉冲宽度r ，有f 。一， s 并且称0 一l 的转换为波形的上升沿，而1 一o 的转换为下降沿定义2 3 实值函数uo ，若当，0 时，d 2 0 ，当f 0 时，。口2 1 ，甜。称为基本波形，可简记为u 。它表示只在t = o 时由一个上升沿的波形类似的，可以用u ，= u 。r ，一r j 表示只在r = r 有一个上升沿的波形同时只在t = t 有一个下降沿的波形可以表示为1 一。，；而在f - r 时刻上升、脉冲宽度为占的正脉冲可表示为u ，俐一u ，+ 。，而相应的负脉冲可表示为、- 。( t ) 十u 。6 1 ) 定理2 1 设a ，b ，c 是波形，则r a i n ( 一，b ) 利x b ，m a x ( 一，b ) = 一+ b- - a b ，= ，l ；其中x 和y 是实数，+ ，一，指实数运算，式中的可以省略n卜1定理2 2 任何波形n j 都可以表示为它的范式：z = c + ( 一1 ) 1 ( 一1 ) c o 。j t l其中c o ，l ，t ，满足定义2 2 定义2 4 波形。酬的时滞r 运算定义为z ，俐= x a r ，显然，z ，俐是将x ( o k 醚- r 鼬瓤甑波形丽且对饪俑实数r 和s ，奄xr ( t ) = x ( 1 一r ) ，x r ( 岭= x 。( 1一引定理2 3 设4 ，b 是波形a n d ，o r ，n o t 。分别表示时滞为r t 0 的基本门，则a n d ，= 一，b ，o r ，刊，+ b ，一爿，b ，n o t ，= 1 - - a ，例如假设有一个与门的两个输入端为口，b ，其中a = 。，6 = l u 。门延迟为2 ，则输出端j ，= 阳圳2 = a e b 2 = 。7 r 1 一甜，= 甜7 一u7 甜，j = 甜7 ，2 布尔过程论将布尔代数与时间结合起来，为异步性描述提供了比较形式的理论基础，并在通路敏化、电源消耗的计算、动态电流测试方法、时延故障诊断等方面取得了实质性的进展c i ”“】但目前这一理论是用实值的加、减、乘运算，因而布尔代数中一些好的性质、好的运算无法得到充分运用，这无疑将限制该理论的进一步发展9兰些垒查! 查! 查竺兰堡垒竺壅兰窒塑坚垒坌竺塑全塑! 壁苎壅堕壅1 3 动态电流测试方法( 1 0 0 r ) 概述由于电压测试测量速度快、精度要求不高，得到了广泛应用随着电子电路的高速化和大规模化，许多人发现，基于固定型故障模型的电压测试对于今天的高性能集成电路是不充分的【l 。1 1 3 1 静态电流测试8 0 年代初人们提出了静态电流测试方法( j 。) 19 , 2 0 】，这种方法是用测量c m o s 集成电路的静态电流的大小来诊测集成电路的故障直到最近，才被工业界所接受，并取得了广泛的应用来自工业界的报道说：对于经过了电压测试的c m o s 芯片，1 3 的芯片用厶。口测出来不合格实验表明，厶d 。偏大的芯片，即使功能正常，但可靠性较低1 3 2 动态电流测试1 9 9 3 年，美国北卡罗来纳州立大学的研究者开始用实验的方法研究如。，测试方法的可行性i 目前动态电流测试研究的主要内容是通过实验分析动态电流的特性人们已经提出了两种研究动态电流测试的基本方法，一种是用数字信号处理技术 2 2 】，另种是基于对动态电流平均值的分析乜“前者的主要优点是可以利用数字信号处理中已有的各种理论与方法，信号分析与处理的能力很强，而缺点是要对高速变化的动态电流进行超高速采样，对测试仪要求苛刻，并且实时性较差后者的显著优点是实时性很好，对测试仪要求较低，但也有一些难度较大的问题有待研究者解决动态电流反映的是电路状态转换过程中电路的行为，所以，动态电流测试必须保证电路在测试向量对的作用下会产生一系列的跳变，使得无故障电路在相对于故障电路的故障位置产生一个或多个0 到1 或1 到0 的跳变而故障电路则不产生或者少产生跳变或者与此相反因此，动态电流测试方法对故障的控制与激活相比传统测试产生方法而言更为复杂此外，信号在电路中传播的过程中由于受到逻辑门延时效应的影响，可能会产生多个冒险，使得电路中的跳变数增加；电路状态转换过程中电流的变化也很难与电路的逻辑功能联系起来因此，动态电流测试产生方法是目前测试研究工作者面临的一个挑战中科院计算所闵应骅研究员首先提出了一种基于布尔过程的厶。，测试产生方法f i ”2 “，是用观测电路的动态电流来发现电路的故障而布尔过程恰好提供了这种可能，用布尔多项式去描述一些特殊的故障它们既不是固定型故障，也不l o望兰兰垒查! 查查查苎堡垒盟壅兰窒塑坚垒坌竺苎全塑! 生墨鲞堡垄一是桥接故障这些故障是用传统的测试方法测不出来的其对于i s c a s 8 9 基准电路$ 2 0 8 的理论计算结果表明该电路中1 0 以上的开路故障能够使故障电路和无故障电路的j 。，产生2 5 倍以上的变化而这些故障通常是不能用电压测试或，。d o 测试测出来的动态电流测试方法，作为传统测试方法的一个补充，正逐步得到研究领域和工业领域的关注我们相信，随着研究工作的成熟和完善，动态电流测试方法在不久的将来也会像静态电流测试方法一样逐步被工业界所采用1 4 排序算法概述排序是计算机程序设计中的一种重要运算 25 , 2 6 】，它的功能是将一个数据元素的任意序列，重新排列成一个按关键字有序的序列其应用非常广泛，几乎涉及到计算机科学的任一领域，尤其是现在的热门数据挖掘根据排序过程中涉及的存储器不同，排序方法分为两大类：内部排序与外部排序本文没有涉及到外部排序，在此不讨论外部排序算法根据排序算法的实现过程中是否使用并行机，排序方法又分为串行排序算法与并行排序算法现在并行排序算法的研究是一大热点，有许多优秀的算法产生f 2 7 。由于条件所限，在并行排序算法方面所做工作较少，本文亦没有涉及在不发生混淆的情况下，内部串行排序算法简称为排序算法排序的方法很多，每一种方法都有各自的优缺点，适合在不同的环境下使用由于排序是计算机科学中一项复杂而重要的技术，许多专家、学者对排序问题进行了深入的研究，给出了许多时间复杂度为0 ( n ) 的高效排序算法其中有许多排序算法充分利用待排序数据的分布信息，降低了排序算法的时间复杂度【3 1 3 3 】的排序效率过分依赖于关键字的均匀分布且算法不稳定，仅适用于数据位很少的一类数据排序【3 4 - 3 8 】中的算法只针对具有均匀分布或近似均匀分布的数据，算法比较稳定文献 3 9 】只适用于某种极不均匀分布的数据，适用面很窄文献 4 0 】是对一般的分布有效的算法，但在对没有重复或较少重复的数据进行排序时必须考虑数据的关键字的长度( 字节数) ，因为此时关键字的长度是n 的函数，而不是常数，故我们认为文献h o 】的算法对这类数据的时间复杂度大于o ( n ) 这些算法的高效是有条件的，并且在算法具体实现时要选一些参数，这些参数的选取只是凭经验，这就给算法实现带来了困难兰些垒墨! 查主查竺坚堕竺壅兰窒塑坠垒坌垦苎全塑堕墨兰堡壅一1 5 本文所做工作本文所做工作主要分三部分内容：布尔过程论的理论研究；布尔过程论在，。，a t p g 中的应用；排序算法研究1 5 1 波形空间及波形空间中常用算子的性质研究这一部分内容分为两个方面，一是将现代数学方法应用于布尔过程论，对波形空间的性质进行了研究i 4 1 , 4 2 ) 主要做了如下工作在布尔过程论的基础上定义了波形、波形空间、以及在其上定义了距离，极限定义了线性运算，推导出了波形空间是线性空间定义了范数，得出了波形空间是b a n a c h 空间、关于线性空间中的线性运算为交换环的重要结论并给出了两个应用第二个方面是波形空间中常用算子的性质研究1 4 3 】推导出了非算子、异或算予、延迟算子、与( 非) 算子、或( 非) 算子、惯性延迟算子及其逆算子或广义逆算子的性质，并给出与实际相符合的应用1 ，5 2 口口r 的遗传算法测试方法文献 4 4 提出基于布尔过程论的波形模拟器，文献 4 5 】在文献【4 4 】上做了进一步的优化这一部分是将贝叶斯优化算法【4 6 1 与优化后的波形模拟器程序相结合，对数字电路固定开路故障做自动测试产生实验结果表明，电路中相当一部分故障是j 。，可测的并与以前的自动测试产生算法1 做了比较，此算法稳定性好、速度快且可测性测度值好1 5 3 数据等概率排序算法及其定量研究除了上面这些理论工作之外，结合实际应用，对排序算法进行了研究在这一部分里应用现代统计学的较新成果8 l ，结合传统的排序算法，提出了数据等概率分档排序算法t ”1 和多数据源数据等概率分档排序算法t ”j 这两个算法对具有一般分布的数据进行排序，使排序的运算量为o ( n ) ，达到了排序运算量的下限实验结果表明，这两个算法分别好于同类算法并对算法的有效性进行了定量研究”“，从而算法中所用参数的取值有了理论依据1 2璺些堕查i 茎王查垒苎登丝竺壅兰窒塑坚垦坌垦塑全塑墨堂翌壅一第二章基于布尔过程论的波形空间的性质研究本章- 4 2 在布尔过程论的基础上运用布尔运算定义了波形空间，波形空间中的每一个元素为一波形，定义了波形的距离和极限，从数学角度推导出了波形与波形空间的许多性质，进一步完善了布尔过程论并在此基础上定义了延迟算子，推导了延迟算子的性质，论证了定义的距离的连续性和给出通路敏化的条件，展示了布尔过程论的应用前景2 1 引言近些年来，随着电予电路的高速化和大规模集成化，布尔代数作为描述数字电路的逻辑行为的工具，越来越显示其不足布尔过程论就是在这种情况下产生的，这一概念是在1 9 9 4 年首次提出的n “它将布尔代数与时间结合起来，为异步性描述提供了比较形式的理论基础，并在通路敏化、电源消耗的计算、动态电流测试方法、时延故障诊断等方面解决了一些问题1 “但目前这一理论是用实值的加、减、乘运算，因而布尔代数中一些好的性质、好的运算无法得到充分运用，这无疑将限制该理论的进一步发展为此本文从数学角度出发，用布尔运算从另一角度进一步完善了该理论，并给出了两个应用2 2 波形空间是度量空间定义2 1 逻辑值函数坝t ) 称为一个波形，若对任意的非负实数t ，抓t ) = o 或1 ；而且，坝t ) 是最多有可数多个不连续点0 t 2 o ) ，有t 。一， 占由此我们得到几个特殊的波形波形o ：x ( ，) = o ，对任意的，i o ，o o ) ；波形1 ：x ( ，) = l ，对任意的t l o ，) ：撒雕蹴。妒，或雕般警裟其中n = o ，l ，2 ，2 t 为方波的周期定义2 , 2q 称为波形空间，若其是波形的集合定义2 3zj ，为波形空间q 中的两波形，则定义兰兰堕叁! 查查玺垫堡垒塑壅兰窒塑坚墨坌墨塑全苎生墨堕堡壅一d l ( x ，y ) = f f x ( f ) 一y ( r ) r d t为波形的拉氏距离定理2 1定义2 3 定义的拉氏距离满足距离定义的两个条件证明：i 由定义2 3 可以看出吮( x ，y ) 0 ，若d l ( x ，1 0 = 0 则有其中f i x + 一y ( | ) b 一d ，= 0 ，所以胙y 第一个条件得证i i j x ( f ) 一y ( f ) f - i x ( o z ( r ) i + i z ( f ) 一l ，( ，) lr 脚) 一j ，( ，) r 西f i x 0表示j 在t 的左极限根据定义2 1 知x ( t 一1 是一定存在的定义2 5zj ，为波形空间q 中的两波形，则定义d r ( x ，】，) = 川( 2 )j 1 1为波形的差分距离，其中，0 ，2 + 。o 为j ( t ) 与，( t ) 的跳变点，j t = a x 0 0 一z x y ( t , ) 定理2 2定义2 5 定义的差分距离满足距离定义的两个条件所以，波形空间q 按拉氏距离或差分距离成度量空间1 4些丝查! 叁主查尘苎堡垒竺鎏兰窒塑坚垒坌墨苎全苎生墨兰翌垒一定义2 , 6 在波形空间q 中，以( n = 1 , 2 ，) ，x q ，假如当，| 时数列d ( 以，) 一0 ，就说似) 按距离d ( x ，y ) 收敛于z ，记做! i 。m 。以= 或以_ x 这时称似。 为收敛点列，z 为 以 的极限2 3 波形空间q 是赋范线性空间我们可以在波形空间q 中定义几种运算定义3 1，j ，为波形空间q 中的两波形，则i 与运算：z = x y 称波形z 为波形以j ，的与，当且仅当z ( f ) = z ( f ) i x y ( f ) ，对任意的f 【o ，) ；i i 异或运算：z = x + y 称波形z 为波形以y 的异或，当且仅当z ( f ) = x ( ，) oy ( f ) ，对任意的t 【o ，c o ) ；i i i 或运算：z = x v y 称波形z 为波形以y 的或，当且仅当z ( ，) = x ( ，) vy ( ，) ，对任意的f 1 0 ，) ；i v 非运算：z = 贾称波形z 为波形j 的非，当且仅当z ( f ) = f ( f ) ，对任意的t l o ，) 定义3 2 称f 为波形函数，若f ：q ”卜q ”，其中n ，1 为正整数可以看出，定义3 1 定义的关于z 的几种运算亦可以看作波形函数的特例，且波形的非运算和或运算可由与运算和异或运算导出引理3 1二元布尔代数是一个域我们不妨将此域记为k 定理3 1波形空间q 是定义在域k 上的线性空间证明：我们规定在q 中的线性运算一一元素的加法运算为异或运算和域k与q 中元素的乘法运算为与运算，其中z ，】，z q ，a ，b k ，则iy + x = x + 】，易证；i i ( x + 】，) + z ：z + ( y 十z ) ，易证；i i i 存在唯一的元素0 ，使得对任意的x q ，有x + 0 = x 假设存在多个零元素，不妨取其中两个0 和0 有0 = 0 + 0 = 0 + o = o ，得证；i v 对任意的肚q ，存在唯一的元素z7 q ，满足z + x ，_ o假设存在另一个元素x 。，使得x + j = 0兰些丝圭! 查变玺苎堡垒箜鳖兰窒塑坠墨坌竺塑全塑! 壁墨壅塑苎_ _ 则有( x ，+ x ) + x = x + ( x + 。)即x = x 得证；v1x = x ，易证；v ia ( b x ) = ( a b ) x ，易证；v i i ( a + b ) x = a + b x ，a ( x + y ) = a x + a y ，易证：所以，波形空间q 是定义在域k 上的线性空间定理3 2 波形空间q 是无限维线性空间由z o r n 引理可知，此时q 存在一组无限维的线性基定义3 3 波形w 儿，= 般麓( 3 )为基本波形，简记为w ，它表示只在t = s 有一个上升沿的波形定理3 3e = ( w 。js 为非负实数) 为波形空间q 的一组线性基显然，任一波形x ( t ) 可由这组基线性表出任取一波形j ( t ) 我们知道x ( o ) = 0 或1 ；而且，x ( t ) 是最多有可数多个不连续点0 t l 屯 + g o 的右连续函数，规定i 若坝o ) = l ，取j o = 0 ，j i = ，j 2 = f 2 ，s ，= l i 一；j i 若坝0 ) = o ，取，= ，i ，j i = ，2 ，j ，= ，则x ( ，) = w 。( 4 )定义3 4波形空间q 为域k 上的一个线性空间，定义q 上的p a x ) = f z ( ，) e - t d l ( 5 )为波形空间的拉氏范数定理3 4 定义3 4 定义的拉氏范数满足范数定义的四个条件定义3 5 波形空间。为域k 上的一个线性空间，定义q 上的p r ( x ) = 训( 6 )1 6兰兰堡查! 叁主查尘苎堡垒竺壅兰窒塑壁垦坌竺塑全塑! 壁墨墨堡查一为波形空闻的差分范数，其中，0 t 2 0 ，使得在此区间内，厂= 0 ，g = 0 ，g = 1( 1 1 )1 9些垒查! 查! 查堡苎堡垒竺壅兰窒塑坚垒坌竺塑全塑! 生墨查堑查一则通路。，称为可单敏化的真通路证明：任何波形函数总可以表示为( 1 0 ) 式的形式，根据定理5 1 有a y ；a ，l + ( t 。r l g ) 一2 a ( y r , ，x l g )= 匀7 + t 。x i - a g + g a r , , ，x i 一2 f c 。x l a g 一2 f g a t , , ，x l 一2 ，x l g a f因为在区间t 内( 1 1 ) 式成立，所以a y = ( 1 2 f ) g a t , x l即a y = + a l 。l = 1证毕例考虑图2 2 所示的电路，其中时滞标记在门符号内( 门内的+ 表示或)ab秽i n d+h&妒一卜ej】_ur图2 2很容易得出_ y = r , a r , b o + 口( 口+ 1 + 正6 + t 6 瓦口)= 正口正6 + t ，a t l a t l b ( t 4 a + 1 + 五6 + t 6 l 口)所以只要令g = 1 即可，即正口正6 ( l 口+ 1 + 五6 + 五6 l 口) = l显然，我们取a = ( w o + w o ) w l ，b = w 3 时a y = l即通路兀口可以敏化，这和文 1 1 是一致的2 6 小结本章定义了波形空间，并在波形空间中定义了距离，极限，运用布尔运算推导出了波形空间是b a n a c h 空间等许多好的性质，好的结论从而从数学角度将布尔过程这一理论进一步严格化，完善化定义在此理论基础上的延迟算子与实际相符，波形的极限和差分的定义反映了电路中的通路敏化，说明了布尔过程论有广泛的应用前景2 0兰些堕查! 叁查尘兰垦丝塑鎏兰窒塑坠垦坌苎塑全塑! 生苎查塑垄一第三章波形空间中波形运算性质及应用本章m 1 在布尔过程论的基础上，运用波形空间的性质，推导出了波形空间中常见的波形算子的逆运算或广义逆运算以及其在电路中的性质并得到了一些应用3 1 引言传统的对组合电路的测试方法为静态方法，即输入、输出当确定下来时为一固定的逻辑值。或l ，没有考虑电路的工作频率以及门、线的延迟随着电子电路的高速化和大规模集成化，工作频率和门、线的延迟问题越来越受到人们的重视布尔过程论能较为有效解决以上的这些问题本章第二部分是在文1 4 1 ，4 2 】的基础上，运用波形空间的性质，得到了波形空间中常见的波形运算的逆运算或广义逆运算以及其在电路中的性质，第三部分是这些性质的一些应用，最后一部分是结论3 2 波形空间中波形运算的逆运算或广义逆运算及其性质波形空间是b a n a c h 空间，根据b a n a c h 空间的逆算子存在定理知，以下两个算子的逆算子存在非算子的逆：n o t “( x ) = n o t ( n o t ( x ) ) ；延迟算子的逆：t - 1 ( x ) = t ，( x )其余四个常用算子的逆算子不存在，我们知道异或运算的逆运x ，n )算为其本身，即已知x o y = z ，则x = z 0 y ，与运算和或运算没有这么好的性质，但若我们已知一输入和一输出，可以得到另一输入的部分信息x f t 、例1 ：一个两输入( x ，x ：)的与门，已知x ：和y 的波形如下：则x 。的波形如图3 1 所示：其中阴影线部分x 的值任意246tl 仁二l2456t图3 1兰些笙查i 垄查尘苎垒垒竺婆兰窒塑坚垒坌垦塑全塑堕! 兰堡垒一我们规定：一个门的输出与其输入为父子关系，前者为后者的父辈下面我们定义两个概念定义2 1 对于一个n 输入门( n 1 ) ，已知输出，若有一输入x ；未知，则将满足电路中其所有祖先要求的拉氏范数最小的输入波形定义为x 的最小拉氏范，数解，简称x ；的最小范数解记为置由例l 可以看出y 就是x 。的最小范数解定义2 2 对于一个r l 输入门( n 1 ) ，已知输出，若有一输入x 。未知，则将满足电路中其所有祖先要求的拉氏范数最大的输入波形定义为x 的最大拉氏范”数解，简称x 的最大范数解记为z ，在例1 中，所有阴影线部分取1 就是x ，的最大范数解x 。= y + 托上面我们假设输出波形是已知的，我们知道当有输入波形未知时，其输出波形不太可能已知，这时我们要凭经验，选取适当的波形做为输出波形，这时就会产生已知输入波形与给定的输出波形矛盾的情况定义2 3 若给定的原始输出有可能为已知输入产生的输出，则称此给定输出与已知输入相容，否则称此给定输出与已知输入不相容定义2 4 若波形x 是波形y 与其它波形z 的与，即x = y z ，则x 和y 在波形上有包含关系，y 包含x ，记为y x 下面我们先考虑与门和或门以及由它们组成的树状电路定理2 1 对于由与门和或门组成的树状电路中，任一未知输入x数解为：y ，一j x - r ，x 为与门的输入时 一1 z - f ，。为或门的输入时其中y ；为另一已知输入，x 。为此门的输出证：用数学归纳法i n = 1 时，f 弼x ，z 。为与门的输入时z 2 1 “霉，j 。为或门的输入时因为此时式中原始输入已知，所以彳；= 托，即n = l 时上式成立i i 设n = k 时( 1 ) 式成立，即z 为输入端x k 的最小范数解的最小范些垒墨! 墨三查堡垫塑竺塑坚窒望坚墨坌墨塑全塑! 生墨兰堕垄一i i i 则n ：k + l 时，首先考虑与门，在此与门中，x k 为输出，y k + 1 必包含x k ，即x 。+ 最小为x ：，所以x ：+ = 墨= k ，其次考虑或门，在此或门中，x k 为输出，x k 必包含y 。即x k + ，最小为为1 ，而yk + l 为0 ，所以x ：+ = 墨1 证毕定理2 2 对于由与门和或门组成的树状电路中，任一未知输入x 的最大范数解为：x ? = 妻乏：i ：妻：羹主离罄黎炎筹cz ，其中y 为另一已知输入，x 。为此门的输出证明方法同定理2 1在实际电路中，与门和或门较少使用，使用得较多的是与非门、非门和或非门我们知道与非门在逻辑功能上相当于一个与门和一个非门的组合下面我们就来分析一下命题2 1 非门的输入和输出分别为x 。 x ，则x 。的最小范数解和最大范数解分别为x - = ? ，z 二。= x j( 3 )定理2 3 对于由与门，或门，与非门，或非门，非门组成的树状电路中，任一未知输入x 的最小范数解和最大范数解分别为：x ! =x =x - z ，为与门的输入时二。z ，x ，为或门的输入时牙厶，x 为与非门的输入时( 4 )冠。e ，x ，为或非门的输入时牙i 。- 。，x 。为非门的输入时砟。+ f ，x 为与l 1 的输入时x ：。+ r ，x 。为或门的输入时冠，+ z ，x 为与非门的输入时牙- + l 】：，x 为或非门的输入时牙卫。，z 为非门的输入时其中y ；为另一已知输入，x 。为此门的输出对于实际电路，门电路和线往往有时间延迟，由于线延迟等价于门延迟我们仅考虑门延时将时间延迟考虑进去有如下结论( 5 )毕业论文：基于布尔过程论的波形空间以及分段插入排序算法研究命题2 2 仅有延时为f 的门的输入和输出分别为x j + l 和x 。，则x 的最，范数解和最大范数解分别为x - = t ，x z 二| = ，x ?( 6 )定理2 4 对于由有时间延迟的与门，或门，与非门，或非门，非门组成的树状电路中，任一未知输入x 的最小范数解和最大范数解分别为：x =x 。=r ，( 厶) f ，x 。为与门的输入时t ，( x _ 1 ) j ；，x ，为或门的输入时t 一，( 牙二) r ，x ，为与非门的输入时( 4 )t ，( j ：，) 霉，z ，为或非门的输入时，( 一i - 。) ，x ，为非门的输入时l ( 雒。) + 霉，x 为与门的输入时t ，( x 三，) + ，x 为或门的输入时t ，( 嚣，) + f ，x ，为与非门的输入时( 5 )t ，似- - 。s ) + r ，x 。为或非门的输入时l ( j - ) ，x ，为非门的输入时其中y 为另一已知输入，x i - l 为此门的输出以上讨论的是树状电路，我们很容易将上面的结论推广到有扇出没有重汇聚的电路中上面讨论了五种常用的算子，对于实际电路，往往还有惯性延迟算子惯性延迟是数字电路基本门的物理特征，惯性延迟算子是刻划这一物理特征的数学工具，记为j 。例2 ：如图3 2 所示，在x ( t ) 爪f 2 5 为可测，则结果如表格4 2 所示其中加权平均可测率为这十个电路的总可测故障数与总故障数的商由表4 2 可以看出，本文的厶。，测试方法对这十个电路的两种平均测试覆盖率均在2 0 以上与电压测试方法相比，故障覆盖率较低，但考虑到固定开路毕业论文：基于带尔过程论的波形象问以及分段插入排序算法研究故障，很难用传统的电压测试方法检测，因此厶。，测试对于提商覆盖率是脊锹大的帮助和补充作用的。袭接4 2 部分组合电路、时序电路的可测率分析电路名故障数可测故障数可测率( )c 1 72 428 3 3 3$ 2 74 21 84 2 。8 5 7c 1 8 l5 2 02 7 25 2 3 0 8s 2 0 84 3 21 0 82 5s 2 9 85 8 26 31 0 。8 2 5$ 3 4 46 4 42 0 43 1 6 7 7s 3 4 96 5 41 9 32 9 5 1 1s 3 8 26 8 2l e 31 5 1 0 3$ 4 0 07 1 21 0 51 4 7 4 7$ 4 4 47 5 81 0 71 4 1 1 6平均可测率( )2 4 4 4 7 7鸯拜权平均霹测搴( )5 0 5 0l l7 52 3 ，2 6 7 34 5 进一步的研究将遗传算法应用到岛。，测试孛，燕一秽有盏豹尝渡。再搬上动态电滚测试黔研究仍楚在初鬻阶段，有许多润瑟窍德解决1 可测性度量骈究露蓠莰有凡耱可测健度建方法，本文接雳豹哥测链度爨方法考虑了许多实际情况，至今是最好的度鼙方法，餐考虑实际情况，氇裔一些弊端对于瓶禳较小的电路，得出来的缩莱，往往谪小。饲细：对于c 1 7 ，其掰有固定开路敌障，除两个原始输出端( p o ) 的共园个故障不可溅，其余敌障均为可测，w 测率成为8 3 3 ，得如来却只有8 3 3 2 电路中等价故障、优势故障的提出与应用这对于厶。，a t p g 能够节省许多时间3 波形模拟器还需进一步优化4 对遗传算法的进步研究由于遗传算法与厶。，处于发展之中，再加上本文作者的认识局限，使褥本文方法计算时间可能较大可以通过对