（通信与信息系统专业论文）锥束ct校正方法的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 锥束c t 利用平板探测器获取物体的二维投影，并通过三维重建得到物体的断层图 像。它与传统的二维c t 相比，具有扫描速度快，空间分辨率高和射线利用率高等优点， 在工业无损检测和医学应用领域中都有广阔的应用前景，是当今国际c t 研究领域的热 门课题之一。 本文针对锥束c t 的研究主要是c t 图像校正方法的研究。 现阶段，用于锥束c t 的各种三维重建算法中，f d k 算法由于数学形式简单，计算效 率高，而且在锥角较小的情况下，能够取得较好的重建效果，所以在实际中有着广泛的 应用。但是f d k 算法在锥角较大，或者c t 系统存在几何失真的情况下，重建的断层图 像会出现严重的伪影。本文针对大锥角问题，讨论了f d k 的改进算法t f d k ，并对两种算 法的重建结果进行了比较和分析。针对锥束c t 系统普遍存在几何失真的问题，介绍了 一种借助简易模具的投影，来计算获取系统几何失真参数，并通过测得的几何失真参数 对f d k 进行修正的算法。 关键词：锥束c t ；f d k ；t f d k ；几何失真；标定 大连理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nc o n e - b e a mc ti m a g ec o r r e c t i o n a b s t r a c t c o n e b e a mv o l u m ec t ( c b v c t ) r e f e r st oat e c h n i q u ef o ri m a g 啦a l ls e c t i o n so fa l l o b j e c tu s i n g3 dr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sb a s e do nas e r i e so fx - m yp r o j e c t i o n sc o l l e c t e db y af l a tp a n e ld e t e c t o r o w i n gt ot h ea d v a n t a g e so ff a s t e rs c a n n i n gs p e e d ，h i g h e rs p a t i a l r e s o l u t i o na n db e t t e ru t i l i z a t i o no fx r a yp h o t o n sc o m p a r e dw i t l lt r a d i t i o n a l2 dc t ， c o n e - b e a mc th a sab r o a da p p l i c a t i o np e r s p e c t i v ei ni n d u s t r i a ln o n d e s t r u c t i v et e s t i n ga n d m e d i c a la p p l i c a t i o n s ，a n dh a sb e c o m eah o tr e s e a r c ht o p i ci nt h ec u r r e n ti n t e r n a t i o n a lc t c o m m u n i t i e s t h i sp a p e rm a i n l yf o c m e so nr e s e a r c ho fc ti m a g ec o r r e c t i o n a m o n ga l lk i n d so fr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sf o r3 dc o n e - b e a mc t ，f d ka l g o r i t h mi s w i d e l yu s e di np r a c t i c e ，b e c a u s ei th a ss i m p l em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o n ，a n dc a nb ee a s i l y i m p l e m e n t e d t h er e c o n s t r u c t i o ne f f e c ti sa c c e p t a b l ew h e nt h ec o n ea n g l ei ss m a l le n o u g h h o w e v e r , f o rf d ka l g o r i t h m ，r e c o n s t r u c t e di m a g eo f t e ns u f f e r sf r o ma r t i f a c t sc a u s e db yb i g c o n ea n g l ea n dm i s a l i g n e ds c a n n e rg e o m e t r yo fc ts y s t e m i nt h i sp a p e r ，t h ei m p r o v e df d k a l g o r i t h m ，t f d ka l g o r i t h m ，i si n t r o d u c e dt os o l v et h eb i g c o n ea n g l ep r o b l e m r e c o n s t r u c t e d r e s u l t so fb o t ha l g o r i t h m sa r ec o m p a r e da n da n a l y z e d b e s i d e s ，am e t h o df o rc a l i b r a t i o no f m i s a l i g n e ds c a n n e rg e o m e t r yi nc o n e - b e a mc tw i t hs i n g l e c i r c l eo r b i ti sp r o p o s e d i nt h i s m e t h o d ，as i m p l ep h a n t o mi su s e dt oe s t i m a t ea s e to fp a r a m e t e r st h a td e s c r i b et h em i s a l i g n e d g e o m e t r yo fc ts y s t e m b a s e do nt h em i s a l i g n e dp a r a m e t e r s ，a ni m p r o v e df d ka l g o r i t h m w h i c hc a ng r e a t l yc o r r e c tt h ea r t i f a c t sc a u s e db ys c a n n e rm i s a l i g n m e n t si sp r o p o s e d k e yw o r d s ：c o n e - b e a mc t ；f d k ；t f d k ；g e o m e t r i cm i s a l i g n m e n t ；c a l i b r a t i o n ； 一i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：垄泊日期：兰塑：! 兰：坚 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：查望童 导师签名：趔塾 生年f 兰月4 日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1c t 的产生和发展 x 射线计算机断层成像技术( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) ，是通过对物体进 行不同角度的射线投影而获取物体横截面信息的成像技术，涉及到放射物理学、数学、 计算机图形图像学和机械学等多个学科领域。它是一种先进的无损检测技术，主要应用 和实现过程是在无损伤的状态下，通过对采集到的投影数据进行重建，得到被检测物体 断层的二维灰度图像，并以图像的灰度来分辨被检测断面的内部结构组成、材料状况、 有无缺陷、缺陷的性质和大小等方面的情况；而对于整个被检测物的三维图像则只要沿 扫描线获取足够多的断层二维图像即可获得。c t 技术最引入注目的应用是在医学临床 诊断领域，由于无损伤、高分辨率等优点，计算机断层成像技术作为一种高性能的无创 诊断技术已经在医学成像领域确立了不可动摇的地位。 c t 技术自诞生以来，技术发展日新月异，各个公司几乎每年都推出两种以上型号 的产品，由于c t 产品与临床应用相互结合、相互促进，因此c t 产品不断进行着技术 更新。下面我们就简要回顾一下c t 技术的发展过程。 传统意义上的c t 分为五代【l 】。1 9 7 1 年，在a t k i n s o nm o r l e y 医院，安装了第一台头 部c t ：1 9 7 3 年出现第一台全身c t ( m a r kle m i ) ，是传统意义上的第一代c t ；1 9 7 4 年 在o h i on u c l e a rd e l t a 医院安装了传统意义上的第二代c t ；同年，在a r t o n i x 医院安装 了传统意义上的第三代c t ；1 9 8 5 年出现了第一台螺旋c t ；1 9 9 8 年，出现了第一台真 正的多排c t 。 从扫描方式角度可以分为：第一代平行束平移加旋转扫描c t ；第二代扇形束平移 加旋转扫描c t ；第三代扇形束旋转扫描c t ；第四代锥形束扫描体积c t ；第五代螺旋 扫描c t f 2 。前三代c t 均存在着扫描速度慢、重建效率低、射线剂量大、设备复杂等缺 点。而第四代体积c t 采用锥形束旋转扫描方式，对物体进行一周扫描得到投影数据后 即可重建该物体的所有断层图像，具有扫描速度快、重建效率高等优点。自滑环技术的 引入，第五代螺旋c t 诞生了，其包含两方面的基本内容：一是x 射线管及探测器连续 3 6 0 度旋转；二是病人同时随检查床匀速推进。螺旋c t 已成为2 1 世纪c t 的主流，是 c t 发展史上的里程碑。 在c t 技术中，重建算法一直处于非常重要的地位。不同的算法不仅会重建出不同 质量的图像，而且它们对计算量和数据量的要求也有很大不同。在过去的三十年里，尽 锥束c t 校正方法的研究 管x 射线c t 成像技术得到了长足的发展，但直到现在c t 重建算法仍然是一个非常重 要的研究领域。 c t 重建算法大致可分为以下两类：迭代算法和解析算法。迭代重建又称为直接重 建，其特点是：适合于不完全投影数据的图像重建，重建质量好，尤其是在投影数据较 少时；重建图像的密度分辨率高，并且能保证较好的空间分辨率；重建算法简单，适用 于不同格式的采样数据重建；抗噪性能好；另外还可以结合一些先验知识进行求解。其 不足之处在于迭代重建的计算量大，重建时间长【3 】。解析重建算法分为精确重建和近似 重建两种。1 9 8 5 年，s m i t h 对锥束重建理论做出了完整的理论分析，总结出锥束扫描精 确重建的充分必要条件【4 】：如果每一个与被重建物体相交的平面内，至少存在一个锥束 点源，则可以精确重建该物体。1 9 9 1 年g r a n g e a t 提出了基于圆形扫描轨迹的精确重建 算法【5 j ，实现g r a n g e a t 算法时，需要在r a d o n 域重排投影数据f 6 】，但该算法时间复杂度 高，因此执行效率较低。2 0 0 1 年，k a t s e v i c h 提出了一种易于实现并且执行效率较高的 螺旋扫描轨迹的精确重建算法【| 7 1 ，该算法使精确重建进入了一个新的领域，后来他又对 该算法作了进一步改进【8 。0 1 ，讨论了轴向同性物体重型引、探测器尺寸和待检物体尺寸 受限1 9 以及不完全扫描轨迹的精确重建【1 0 】。在众多的近似锥束重建算法中，以f d k 算 法【l l 】最为成功，该算法也一直是实际应用中的主流，其不足之处是远离中心层的图像伪 影较为严重，重建图像的质量随着锥角的增大而变差。另外，当系统存在几何失真时， 该算法的重建图像也会存在较为严重的伪影。 1 2 课题的目的和意义 锥束扫描已经成为当前c t 的主流扫描方式，能够给出重建物体的断层图像以及三 维图像。对于锥束c t ，最具有代表性的三维重建算法是由f e l d k a m p 等人提出的基于单 圆轨迹的f d k 重建算法，该算法是实际应用中的主流。在锥角较小时，并且系统不存 在几何失真的情况下，该算法可以重建出高质量的断层图像。但是，由于f d k 算法属 于近似锥束重建算法，当锥角较大时，会产生纵向模糊。另外实际的c t 系统都会存在 几何失真，直接使用f d k 算法将会产生严重的伪影。因此如何消除由于大锥角和系统 几何失真而产生的伪影成为了实际中必须要解决的问题。 本文的工作就是在这样的背景下，研究在锥角较大时，能够减少重建图像伪影的 f d k 改进算法，以及基于实际系统的几何失真参数的f d k 修正算法，从而能够获得高 质量的断层图像。 大连理工大学硕士学位论文 1 3 课题的研究现状 1 3 1大锥角伪影校正的研究现状 用于锥束c t 重建的解析算法可以分为精确重建和近似重建两种i l 刭，其中，对于精 确重建算法，由于源点轨迹要求满足精确重建的完全性条件【l 引，其源点轨迹必须为垂直 双圆或圆加直线等非平面轨迹，因此在处理长物体的重建时，物理实现较为复杂。而以 f d k 算法为代表的近似重建算法，由于源点轨迹简单，物理上易实现以及利于并行处理 等优点，在实际中有着广泛的应用前景。 在近似重建算法中，最经典的算法是由f e l d k a m p ，d a v i s 和k r e s s 提出的f d k 算法， 该算法是二维等距扇形束反投影重建算法在三维情况下的拓展。尽管该算法易于实现， 但它只有在锥角较小的情况下，才能够保证重建图像的质量。1 9 9 3 年王革等人提出了 g f d k 算法【1 4 d5 1 ，在该算法中，x 射线源的运动轨迹可以是满足水平角度2 万连续条件 下的任意扫描轨迹，因此该算法不仅可以重建球状物体，而且还可以重建棒状或板状的 物体，而且如果采用螺旋扫描轨迹，这种算法可以减小并均匀化z 方向上的伪影。1 9 9 9 年t u r b e l l 提出将锥形束投影数据重排为倾斜平行束投影数据的p f d k 算法【l6 j ，其重建 图像质量与f d k 算法相当；2 0 0 0 年g r a s s 等人对p f d k 算法进行了改进，舍弃了虚拟 平板探测器上矩形以外的投影数据，即采用截断之后的投影数据，提出了t f d k 算法1 1 7 j 。 之后，王蔚林等人在t f d k 算法的基础上，提出了基于平板探测器的f t f d k 算法i l 引。 该算法可以减小由于锥角增大导致的伪影，并减小重建图像的纵向模糊。2 0 0 2 年g r a s s 基于t f d k 算法，又提出了h t f d k 算法1 1 9 1 ，该算法根据物体重建点位簧的不同，引进 了与重建位置有关的角度权重函数，来重建位于不同位置的体素。该算法由于利用了所 有可以得到的投影数据，重建结果的信噪比理论上能够达到最优化。除了上述几种较常 用的衍生算法外，f d k 还有其他衍生算法，如c c f d k 算法【2 0 - 2 1 和h s f d k 算法【2 2 。2 3 1 。 c c f d k 算法是一种基于双同心圆轨迹的f d k 衍生算法。该算法重建具有低对比度的物 体时可以得到较满意的结果，但是在重建具有高对比度物体时，会有较大失真，而且该 算法对大锥角伪影的去除效果并不明显。h s f d k 算法是一种基于圆形轨迹的并且采用 半扫描方式的f d k 衍生算法。该算法减少了扫描的角度范围，因此相比于f d k 算法， 可以获得更好的时间分辨率，但是在锥角增大时，重建图像也会产生严重伪影。 1 3 2c t 系统几何失真校正的研究现状 锥束c t 的重建算法要求x 射线源的焦点、系统的旋转中心以及探测器的中心在同 条直线上。但锥束c t 系统一般都不满足上述条件，存在几何失真，从而导致重建图 锥束c t 校正方法的研究 像产生严重的伪影。在实际中，很难直接借助工具精确测量出c t 系统内各部分的位置 偏移。因此对锥束c t 系统几何失真进行标定和校正的算法成为实际中研究的热点。 目前锥束c t 几何失真的标定及校正方法可以分为三类。第一类方法需要假设系统 中某些条件是理想的或某些参数的偏离是可以忽略的【2 4 讲】，如部分文献中假定探测器与 水平面绝对垂直，即探测器的一个偏转角为o ，这类方法由于忽略了部分参数，因而运 算比较简单。然而实际中这些假设条件是很难满足或者根本不可能达到的，这些方法只 是标定和校正问题的一个近似。第二类方法不必忽略系统的参数，根据已知模板的投影， 获得c t 系统几何失真参数的方程。早期的几何校正大多采用这种方法，但是这种方法 需要解含有多元几何变量的方程组1 2 8 】，解这类方程的迭代运算复杂而且容易陷入局部最 优解，从而导致计算结果不够准确。第三类方法需要在多个角度下采集模板的投影数据， 然后根据这些投影数据求解系统几何失真参数 2 4 , 2 5 , 2 8 , 2 9 ，这类方法的优点是可以找到解 析解，从而避免了解方程组时陷入局部最优解的问题，但缺点是由于需要采集多个角度 下的投影数据，新产生的机械和计算误差将影响参数的准确度。2 0 0 5 年侯颖提出一种新 的针对锥束c t 几何失真的标定和修正的方法 3 0 - 3 1 1 。该方法仅需要对简单模具进行一次 投影，并且不需要忽略系统的任何几何偏移，就可以计算出锥束c t 系统所有的几何失 真参数，并可以通过测得的几何失真参数对f d k 算法进行修正，从而改善重建图像质量。 1 4 本文的主要工作及章节安排 本文共分四章：第一章为绪论，简单介绍了锥束c t 技术的应用背景和发展，c t 图像校正研究的背景、意义和发展，以及本文所做的工作。第二章首先介绍了滤波反投 影类算法的基本原理，之后介绍了滤波反投影类算法里的f d k 算法及其衍生算法t f d k 算法，并对两种重建算法的结果进行了比较和分析。第三章针对c t 系统普遍存在几何 失真的问题，介绍了一种借助简易模具的投影，来计算系统几何失真参数，并通过测得 的几何失真参数对f d k 进行修正的算法。并对该算法在实际系统中对重建结果的改善 进行了分析。最后，在第四章对本文内容进行了总结，并提出了下一步工作的努力方向。 大连理工大学硕士学位论文 2f d k 算法及其衍生算法t f d k 的基本原理 2 1滤波反投影算法基本原理 2 1 1 反投影算法基本原理 反投影重建算法的基本思想： 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值 之和( 或其平均值) 。整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。 因而反投影算法的基本做法是把每次测得的投影数据按“原路”反投影到投影射线经 过的各个像素上。也就是说，指定投影射线上所有各点的值等于测得的投影值。 为了更好的说明反投影重建算法的物理概念，特举例如下： 图2 1 断层的像素值和射线 f i g 2 1 r a ya n dp i x e lv a l u eo fc r o s ss e c t i o n 图2 1 为一与纸面平行的断层，具有四个像素，像素值( 代表密度) 分别为 而，x 2 ，而，x 4 。赋值如下：而= 5 ，x 2 = 0 ，x 3 = 2 ，x 4 = 1 8 。射线标号示于图中。根据射线 ( ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) ) 投影的定义有： p l = 舶+ x 2 = 5 p 2 = - - x 3 + x 4 = 2 0 p 3 = x l + x 3 = 7 p 4 = x 2 + x 4 = 1 8 p 5 = x 3 = 2 p 6 = x l + x 4 = 2 3 p 7 = x 2 = 0 根据反投影重建算法的基本思想，重建得到图像中各像素值如下： x l = p 1 + p 3 + p 6 23 5 锥束c t 校正方法的研究 x 22p 1 - ! - p 4 + p 7 = 2 3 x 3 = p 2 + p 3 + p 5 = 2 9 x 4 = p 2 + p 4 + p 6 26 1 重建后图像如图2 2 ( b ) 所示。可以看到原图中像素不为零的点反投影重建后比较突 出。但原图中为零的像素，经反投影后不再为零，即有伪迹。为了使重建后图像的像素 值更接近于原图的像素值，在求反投影时，把数据除以投影数目羟。，这样有： ( 2 1 ) 的值，p “表示经过像素后 的第f 条射线投影，挖，表示图像内的射线条数。按式( 2 1 ) 重建后图像如图2 2 ( c ) 所示。 圈圈圈 ( a ) 原图( b ) 反投影重建图( c ) 求平均后图像 ( a ) o r i g i n a li m a g e ( b ) b a c kp r o j e c t i o ni m a g e( c ) m e a ni m a g e 图2 2 反投影重建示例 f i g 2 2e x a m p l eo fb a c k - p r o j e c t i o nr e c o n s t r u c t i o n 从反投影重建图像可以看到，原图中像素值为零的点经反投影重建后其像素值不等 于零，而是等于一个相对较小的数值。在整幅图像的重建中，这种现象表现为灰雾背景， 被称为星状伪迹。产生星状伪迹的原因在于：反投影的本质是把取自有限物体空间的投 影均匀地回抹( 反投影) 到射线所及的无限空间的各点上，包括原先像素值为零的点。 反投影重建算法的“取投影，“反投影重建”这些环节可以看作一个以原图为输 入，重建后图像为输出的成像系统，该系统的点扩展函数( p s f ) 可以表示为： = 砉南2 丽1 ( 2 2 ) 其中( ，p ) 为极坐标表示，( x ，j ，) 为直角坐标表示，由式( 2 2 ) 可见，对于反投影重建 算法的系统，它的点扩展函数不是6 函数，系统不是完美的。虽然在厂= 0 处能反映原图 是点源的情况，但在，0 处，像素值不为零，式( 2 2 ) 定量地描述了反投影重建算法星 状伪迹的本质。 素像示表 幻 。 只 中瑚其上屯 = 算 垓 附法算建重影投反为作丌式该 大连理工大学硕士学位论文 若原像为u ( x ，y ) ，则将原像取投影后再按反投影算法得到的重建图像为： f ( x ，y ) = u ( x ，y ) 木办( x ，y ) ( 2 3 ) 要去除反投影算法的星状伪迹，可以在输出端加一个滤波器，使加了滤波器后的反 投影重建等效成像系统的点扩展函数为6 ( x ，y ) 。设滤波器的p s f 为q ( x ，y ) ，相应的传递 函数为q ( 考，叩) 。这里q ( 考，7 ) = 五【g ( x ，州，要求： 1 7 = 每木g ( x ，y ) = 6 ( x ，y ) ( 2 4 ) 死x 2 + y 2 做二维傅立叶变换，得： q ( 考，r ) = 万考2 + r 2 = 印 ( 2 5 ) 这是一个二维滤波器，实现起来较麻烦。若p 的变化范围扩至o 。，则物理不可实现。 但它提供了去除星状伪迹的一个方向。 2 1 2 滤波反投影算法基本原理 反投影重建算法的缺点是引入星状伪迹，即原来图像中密度为零的点，重建后不一 定为零，从而使图像失真。去除伪迹的方法通常有以下两种： 溅 亟垂蔓 _ 基垂固e 至亟囫( 篙豢冒餐) ( a ) 勰臣匿匿垂 + 三匿垂基蔓卜 互垂亟因一( 篙崖冒臻) ( b ) 图2 3 去除星状伪迹的方案 f i g 2 3 t h es c h e m eo fe l i m i n a t i n gs t a ra r t i f a c t s 由于二维滤波器实现麻烦，实际应用中通常采用方案( b ) ，这一方案被称为滤波反 投影重建算法。 图2 4 中x y 为固定坐标系；x ，一y ，为旋转坐标系，它绕原点转动，使得投影线总 是沿着y ，方向；( ，0 ) 为极坐标。x ，一y ，坐标的原点与x y 坐标的原点重合，两者的夹 角为驴，不同的驴代表不同的投影视角，射线位置可由坐标( x ，) 完全确定。空间任一 点的位置可用( x ，少) ，( x r ，y r ) ，或用极坐标( ，p ) 表示。投影数据用p ( t ，) 表示。 锥束c t 校正方法的研究 y 。、投影珑 、r , o ) f l 墨 、墨 o 图2 4 滤波反投影算法所用的坐标系 f i g 2 4 t h ec o o r d i n a t eu s i n gb yf i l t e rb a c k - p r o j e c t i o na l g o r i t h m 滤波公式为： g ( ，妒) = p ( ，妒) 木拿乃( 墨) ( 2 6 ) 公式( 2 6 ) 实现对投影数据的滤波，这里用g ( ，驴) 表示滤波后的投影数据，式中 办( ) 为一维滤波器，该滤波器的傅立叶变换为i p i 。 反投影重建公式为： a ( r ，9 ) = 【g 厂c o s ( 0 一妒) ，妒 d 妒 ( 2 7 ) 式中g r c o s ( o 一咖) ，咖】的物理意义是投影p ( x ，驴) 经过传递函数为i p l 的滤波器后得 到的修正后投影g ( x ，驴) 在满足x ，= r c o s ( o 一妒) 时的值。 公式( 2 7 ) 称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点( ，p ) 的所有滤波后的投 影在妒= 0 l 范围内的累加反投影重建，得出( ，p ) 点的像素值。 一 滤波( 卷积) 反投影算法主要包含以下三个步骤： ( 1 ) 把在固定视角以下测得的投影p ( x ，妒) 经过滤波，得到滤波后的投影g ( x ，驴) ； ( 2 ) 对每一个咖，把g ( x ，咖) 反投影于满足x ，= r c o s ( 0 一咖) 的射线上的所有各点 ( ，口) ； ( 3 ) 将步骤( 2 ) 中的反投影值对所有0 咖t 进行累加( 积分) ，得到重建后的图像。 2 2 f d k 算法基本原理 f d k 重建算法是锥束重建算法中的一种，它是将等距扇束滤波反投影重建算法，在 三维坐标下进行扩展得到的。本节首先给出等距扇束的几何关系示意图以及等距扇柬的 重建公式。之后，根据等距扇束的重建公式，对f d k 重建算法进行推导。 大连理工大学硕士学位论文 y 图2 5 等距扇束的几何关系示意图 f i g 2 5g e o m e t r yo fe q u a ld i s t a n c ef a nb e a mf b pa l g o r i t h m 等距扇束滤波反投影算法的重建公式如下： 竹期= 筘古e p 协”脚商等似删卢 ( 2 8 ) 其中u = 业警塑2 了d - r , ，古是和重建点位置有关的权重系数。寿是 对投影进行余弦修正的系数。 图2 6 锥束重建示意图 f i g 2 6g e o m e t r yo fc o n e - b e a mr e c o n s t r u c t i o n 锥束c t 校正方法的研究 f d k 算法是一种近似重建算法，它有许多优点，比如数学表达式简单，容易编程实 现，在中心平面上的重建结果是精确的。从它问世以来已经广泛地应用到锥束重建领域。 如图2 6 所示，j o , i 为探测器平面坐标系，x 亿为物体所在位置的空间坐标系。瓯 为光源位置，鼠a 晟所在平面为中心平面，垂直于探测器平面以，。0 o s c 平面为虚 拟探测器平面。4 为待重建点，置为经过4 点的射线打在探测器平面上的点，投影数 据p 研，s ，p ) 的位置。d 为射线源& 到虚拟探测器中心d 的距离。在这个坐标系里面， 根据几何关系可以求出由7 ，s ，多所唯一确定的投影值p 铆，s ，卢) 的位置。 观察图2 6 所示的锥束，可以将锥束看作是一组倾斜的等距扇束的叠加，这样，锥 束的重建可以转换到等距扇束的重建。去掉水平面以上的倾斜扇形束，得到锥束的分解 图，如图2 7 ，在图中可以比较清楚的观察到各变量在图中的几何关系。 图2 7 锥束分解示意图 f i g 2 7 g e o m e t r yo fc o n e - b e a md e c o m p o s i t i o n 为了求出倾斜扇面的反投影重建算法，观察等距扇形重建算法公式( 2 8 ) ，我们只要 将djd 、y rjy r 、d pjd p 对应关系找到即可得到倾斜扇束的重建算法公式，将d 、 盼、d p 代入到式( 2 。8 ) 中，得到： 大连理工大学硕士学位论文 m 彤加互1r 石刍胁一卢，瓦d h ( s - s ) l s 啦一枷( 2 9 ) 将倾斜扇面上的变量转换到水平扇面上，提取出倾斜扇面和水平扇面对应关系图， 如图2 8 所示，西：币丽、办：挣罢、劫：d o _ d 卢，代入到式( 2 9 ) 中，得到f d k d 算法的重建公式： f ( x , y , z ) 2 芝if 。i 面9 2 矛砌万毒事地炒卵( 2 1 0 ) 式( 2 8 ) 与式( 2 1 0 ) 相比较，等距扇束公式中用来修正投影数据的扇角的余弦信 ，兰相应地变为锥角的余弦值 4 d 2 + s 2 d 图2 8 水平扇面和倾斜扇面的关系 f i g 2 8r e l a t i o n s h i pb e t w e e nh o r i z o n t a lf a np l a n ea n dt i l t e df a np l a n e f d k 算法是一种基于圆轨道扫描的近似重建算法，对于较小的锥角来说，这种偏离非 常小。由于其简易性，f d k 成为实际锥束重建中应用最为广泛的算法。 2 3t f d k 算法基本原理 2 3 1t f d k 算法的系统几何结构 f d k 算法易于实现，计算效率高，一直是实际应用中的主流算法，但该算法只有在 锥角较小的情况下，才能保证重建图像的质量。2 0 0 0 年，g r a s s 等人提出了t f d k 算法， 该算法基本思想是：重新排列锥束投影数据，使之成为在扇形角方向平行的平行束投影 锥束c t 校正方法的研究 数据，并且使重排后的投影数据在中心虚拟探测器上的滤波是沿直线方向进行的。该算 法在锥角较大的情况下，也可以重建出质量较高的图像。 t f d k 算法的锥束扫描几何结构如图2 9 所示。扫描时，x 射线源的运动轨迹是一 个半径为r 的圆，锥束x 射线从x 射线源发出，透过待测物体，投影n - - 维的平板探 测器上。为了便于描述公式，这里引入虚拟探测器l 。如图2 9 所示，虚拟探测器1 用 来接收锥束x 射线的投影，它平行于真实的探测器，其中心与( x ，y ，z ) 坐标系的原点d 重 合，且x 射线源与虚拟探测器1 中心的连线垂直于该探测器表面。从真实探测器到虚拟 探测器1 的几何变换只是简单的比例变换关系，所以真实探测器和虚拟探测器l 上的投 影值都是一一对应的，即每一条x 射线在真实探测器上的投影值p f 卢，y ，k ) ，都对应虚 拟探测器1 上的一处投影值p f 卢，m ，聍) 。这里3 表示锥束x 射线源的投影角，它是射线 源发出的中心射线与x 轴所形成的角度；y 表示x 射线的扇角，它是x 射线在( x ，少) 平 面的投影与中心射线所形成的角度；k 表示x 射线的锥角，它是x 射线在( x ，j ，) 平面的 投影与x 射线自身所形成的角度。m 和刀分别是虚拟探测器1 平面上的横坐标与纵坐标， 其中以轴和伍，z ) 坐标系下的z 轴是重合的。 i 五刀 y 、 一爨蜜探测器 茧襄 一一夕心 l 艟接援测器l 图2 9t f d k 算法的锥束扫描几何结构 f i g 2 9 c o n e b e a ms c a n n e rg e o m e t r yo ft f d ka l g o r i t h m 大连理工大学硕士学位论文 如图2 1 0 所示，一条x 射束既可以看作扇形束的一员，也可以看作是平行束中的 一员，扇形束可以重排为平行射束。所谓重排，就是把所有的扇形束投影数据重新整理 成为不同视角下的平行射线投影数据，再利用平行束反投影算法进行重建。 源位避 3 图2 1 0 扇束重排成平行束示意图 f i g 2 10d i a g r a mi nw h i c hf a nb e a mi sc o n v e r t e dt op a r a l l e lb e a m 如图2 11 ( a ) 所示，类似于将扇形束重排为平行束的算法，我们可以将射线源在圆 周轨迹不同位置所发出的锥束x 射线，重排为拥有相同锥角k ，且在空间中彼此平行的 倾斜平行束。为了便于说明重排后倾斜平行束的几何关系，这里引入虚拟探测器2 。虚 拟探测器2 用来接收重排后的倾斜平行x 射束。它平行于z 轴，且经过原点，重排后的 倾斜平行束在x y 平面上的投影垂直于虚拟探测器2 ，重排后的倾斜平行射线在虚拟探 测器2 上投影值可以由p 平行宙( 日，f ，s ) 来表示。其中p 为平行射线的投影角度，即平行射 线与x 轴的交角，和s 分别为重排后的射线在虚拟探测器2 上的横坐标与纵坐标，并且 s 轴与( x ，y ，z ) 坐标系下的z 轴也是重合的。图2 1 1 ( b ) 为系统几何结构的俯视图。 锥束c t 校正方法的研究 z ，s f 、 、。j 汰一 | l 虚拟探：瓤i 瓴澉j 由 器2 ， 一一 苁石一 t 纵 受汐7 ( a ) 侧视图 ( b ) 俯视图 ( a ) s i d ev i e w ( b ) t o pv i e w 图2 1 1 数据重排后的t f d k 算法的扫描结构 f i g 2 1l s c a n n e rg e o m e t r yo ft f d ka l g o r i t h ma f t e rd a t ar e b i n n i n g 为了进行投影数据重排，我们必须推导出平行束投影数据p 平行柬( 口，f ，j ) 和锥束投影 数据p 锥京( 卢，m ，聆) 之间的对应关系，其中p 是平行束的投影角度，卢是锥束的投影角度， 虚拟探测器2 用于接收重排后的平行射束，f 和s 分别为虚拟探测器2 平面上的横坐标 与纵坐标。虚拟探测器1 用于接收锥束射束，m 和玎分别是虚拟探测器1 平面上的横坐 标与纵坐标。参照图2 1 2 中的虚拟探测器1 和虚拟探测器2 之间的坐标变换关系，可以 得到平行束投影数据与锥束投影数据的对应关系。 图2 1 2 ( a ) 为系统几何结构的俯视图，在直角三角形a b d 中，平行束投影角度0 与 锥束投影角度卢之间存在如下关系： 0 = p + y ( 2 11 ) 其中，7 表示x 射线的扇角。在直角三角形a b d 中，可以表示为： s i n 7 = 筹= i t ( 2 1 2 ) 从而有： 7 = a r c s i n 2 。_ ( 2 1 3 ) 将式( 2 1 3 ) 带入到式( 2 1 1 ) 可以得到： 大连理工大学硕士学位论文 卢= 日一a r c s i l l 素 ，o 芦 f 愆锄石：i 妙义一 卜 乡 盛 、 ( 2 1 4 ) ( a ) z 方向俯视图 ( b ) t 方向测视图 ( a ) t o pv i e wi nzd i r e c t i o n( b ) s i d ev i e wi ntd i r e c t i o n 图2 1 2 虚拟探测器l 和虚拟探测器2 之间的坐标转换关系 f i g 2 12 c o o r d i n a t e sc o n v e r s i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e nv i r t u a ld e t e c t o r1a n dv i r t u a ld e t e c t o r2 由于b d 垂直于a c ，c d 垂直于a d ，所以三角形a b d 与三角形b c d 相似，有： c da d 一= 一 b da b 其中，c d = m ，b d = ，a d = r 。在直角三角形a b d 中，有： a b ：x a d 2 - b d 2 ：x - i _ t 2 将式( 2 1 6 ) 带入到式( 2 1 5 ) 中，得到： 坎 m = = ：= = = = = = = = r 2 一f 2 由于三角形a b d 与三角形b c d 相似，有： 可以得到： b cb d 一= = 一 b da b 1 5 一 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 锥束c t 校正方法的研究 召c ：一b d 2 ：2 一a b r 2 一f 2 ( 2 1 9 ) 所以有： a c ：a b + b c = 厨4 - 喜：善 ( 2 2 0 ) r 2 - t 2尺2 - t 2 图2 1 2 ( b ) 系统几何结构的，方向侧视图，三角形a b e 相似于三角形a c f ，所 以有： b e ：a b ( 2 2 1 ) f ca c 其中，b e = s ，f c = 疗。将式( 2 1 6 ) 和式( 2 2 0 ) 带入到式( 2 2 1 ) ，可以得到： 刀：型妥 ( 2 z z 、) 刀= 了彳 l 么 代一f 至此，根据式( 2 1 4 ) ，式( 2 1 7 ) ，以及式( 2 2 2 ) ，就可以得到平行束投影数据 脚行束( p ，t ，s ) 和锥束投影数据p 锥柬( 卢，m ，n ) 之间的对应关系 2 3 2t f d k 算法基本原理 x 射线源沿着半径为r 的圆轨迹运动，在平板探测器上采集到各个角度卢下的锥束 投影数据p 锥束( 卢，m ，z ) ，这些投影数据重排成倾斜的平行束后，利用反投影重建算法， 可以重建出待测物体的断层图像。具体过程可以分为数据重排，加权滤波，反投影重建 三个步骤： 步骤1 数据重排 将平板探测器采集的各个角度卢下的锥束投影p 锥束( 卢，m ，n ) 重排为倾斜平行束投 影数据p 平行束( 日，t ，s ) ，由前面推导出的公式( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 2 2 ) 可得出如下变换关系： 脚文印庐瑰一a r c s i n i t ，志，番) ( 2 2 3 ) 但是在( 卢，聊，n ) 空间变换到( p ，t ，s ) 空间的过程中，由于探测器采集数据的离散性， 并不能够保证每一个( p ，f ，s ) 倾斜平行束投影都能找到与之对应的锥束( 卢，m ，n ) 投影，所 以就要进行相应的插值处理，而重建图像的空间分辨率也会因为插值过程受到影响。通 常采用邻近插值和三线性插值。 步骤2 加权滤波 大连理工大学硕士学位论文 将重排后的倾斜平行束投影数据p 平行束( 9 ，s ) 按照下式进行加权滤波，得到 p 平行柬( 日，f ，s ) ： 一 加r 2 - t 2 了甜 i 鼬 ( 2 2 4 ) 在式( 2 2 4 ) 中，由于投影数据p 平行柬( 日，t ，s ) 是倾斜的平行束，所以要对投影数据乘以 余弦权重，岛表示射束锥角k 的余弦值。办( f ) 表示滤波函数，与二维平行束 f b p 算法的滤波函数相同，这里选取r l 滤波函数。 步骤3 反投影重建 对于每一个重建点( x ，y ，z ) ，找到该重建点对应的滤波后的平行束投影卢平行束( 9 ，f ，s ) 进行反投影并累加，最终得到要重建的断层图像。反投影公式如下式所示： f ( x ，y ，z ) 5 上p w 束( o ，t ( x ，y ，a ) ，s ( x ，y ，z ，o ) ) d o ( 2 2 5 ) 其中，t ( x ，y ，0 ) 和s ( x ，y ，z ，0 ) 的表达式可以根据图2 1 3 进行求解。 拟探 ( a ) z 方向俯视图( b ) t 方向测视图 ( a ) t o pv i e wi nzd i r e c t i o n ( b ) s i d ev i e wi ntd i r e c t i o n 图2 1 3 待重建点在虚拟探测器2 上的投影位置示意图 f i g 2 13d i a g r a mo f t h ep r o j e c t i o np o s i t i o no nv i r t u a ld e t e c t o r2 磊研 锥束c t 校正方法的研究 如图2 1 3 ( a ) 所示，m ( x ，y ) 为待重建点f ( x ，