（信号与信息处理专业论文）基于contourlet和非均匀标量量化的图像压缩研究.pdf

摘要 摘要 小波技术是近十多年来迅速发展并广泛应用的信号处理技术，它由第一代 传统小波发展到第二代小波，如提升小波和复小波。目前，小波技术又发展到 了第三代类小波，其中，c o n t o u r l e t 就是一个典型，它除了具有一般小波变换的 多尺度、局部性外，还具有方向性和各向异性。 本文分析了图像经过c o n t o u r l c t 变换后的系数统计特性，提出一种新的压 缩编码方式，它结合这种新的变换和非均匀标量量化。实际上，我们介绍并采 用了两种非均匀标量量化方式，首先是l l o y d m a x 算法，也就是最优量化算法， 其次是i c 算法，即信息标准算法( i n f o r m a t i o nc r i t e r i a ) 。实验结果表明，这些算 法均能在压缩一定信息量的同时满足视觉上的要求，并且在高压缩率的情况下， 文章的算法对于图像中的方向性明显的纹理部分具有良好的效果。 关键词：c o n t o u r l e t ；非均匀量化；最佳量化算法；信息标准；死区量化 a b s t r a c t s i n c er e c e n tm o r et h a n10y e a r s ，w a v e l e t st e c h n o l o g yh a sf o u n da nw i d e a p p l i c a t i o ni ns i g n a lp r o c e s s i n g ，w h i c hd e v e l o p e df a s tf r o mt h ef i r s tg e n e r a t i o no f t h et r a d i t i o n a lw a v e l e tt ot h es e c o n dg e n e r a t i o n ，s u c ha st h eo r t h o g o n a lw a v e l e ta n d t h el i f t i n gw a v e l e t a tp r e s e n t ，t h et h i r dg e n e r a t i o ne m e r g e s ：x l e t s ，o fw h i c ht h e c o n t o u r l e ti sat y p i c a lo n e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，an e we x t e n s i o nt ow a v e l e tt r a n s f o r m c a l l e dc o n t o u r l e ti si n t r o d u c e d i th a sn o to n l yt h eg e n e r a lf e a t u r e so ft h ew a v e l e t t r a n s f o 衄，s u c ha sm u l t i - s c a l e ，l o c a l i z a t i o n ，b u ta l s oh a st h ep r o p e r t i e so ft h e m u l t i - d i r e c t i o n sa n da n i s o t r o p y t h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft r a n s f o r mc o e f f i c i e n t so fi m a g et r a n s f o r m e db y c o n t o u r l e ta l ea n a l y z e df i r s t t h e nw ep r o p o s ean e wc o d i n gm e t h o d ，w h i c h c o m b i n e st h i sn e wt r a n s f o r m a t i o na n dn o n u n i f o r ms c a l a rq u a n t i z a t i o n i nf a c t ，w e i n t r o d u c et w ok i n d so fn o n u n i f o r ms c a l a rq u a n t i z a t i o nm e t h o d s ：t h el l o y d - m a x a l g o r i t h m ，c a l l e da no p t i m a lq u a n t i z e r , a n dt h ea l g o r i t h mb a s e do nt h ei n f o r m a t i o n c r i t e r i a d i g i t a ls i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h a tt h e s ea l g o r i t h m sc a nc o m p r e s sa c e r t a i n a m o u n to fi n f o r m a t i o n ，a n da tt h es a m et i m e ，m e e tt h ev i s u a lr e q u i r e m e n t s m o r e o v e r , t h er e c o n s t r u c t e di m a g e s p s n ra n dv i s u a l l yq u a n t i t yi ss u p e r i o rt ot h a t o fw a v e l e tc o d i n gf o ri m a g e sw i t ht e x t u r e sa n d o s c i l l a t o r yp a t t e r n s k e yw o r d s ：c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ；n o n u n i f o r ms c a l a rq u a n t i z a t i o n ；l l o y d - m a x a l g o r i t h m ；i n f o r m a t i o nc r i t e r i a ；d e a dz o n e 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名c 手瓢众步签字日期：即p 年月年日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 靴敝储戳汗引：徐黟 导要鼙翠儿 签字日期：) 口p 年，月q - 日 签字日期：办妒年f 。月争e l 第1 章引言 1 1 概述 第1 章引言 随着信息时代的发展，每天都有大量的信息以数字形式进行存储、处理和 传输，因而数据的信息量更注重于它的压缩性以及传输的高效性。而图像压缩 要解决的问题就是尽可能地减少表示数字图像时所需要的信息量，换言之就是 减少其中多余的数据。从数学的观点来看，这个过程就是将二维像素阵列变换 成为一个在统计上无关联的数据集合。 随着现代图像压缩技术的发展，已经形成了越来越多的国际标准。比如运 用于二值图像压缩的g 3 、g 4 标准和j b i g 标准，以及用于视频存储和传输的 m p e g l 、m e p g 2 、m p e g 4 标准等。随着网络的普及和多媒体概念的深入人心， 人们对图像质量、文档尺寸、图像读取速度的要求越来越高，因此在图像的压 缩领域，又出现了g i f 、j p e g 、p n g 、j p e g 2 0 0 0 等各种图像压缩标准。 当今，基于d c t 的图像压缩算法( 如j p e g 标准) 和基于小波的图像压缩 算法( e z w t 引，s p i h t t 9 1 ，s p e c k 1 0 1 和j p e g 2 0 0 0 中的e b c o t t l l l ) 也已经发展 到相当成熟。 小波变换是一个时间和尺度上的局域变换，因而能够有效地从信号中提取 信息，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度分析。目前，在许多学科 领域中，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、音乐与 语言人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学以及天 体力学等方面，小波变换都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数 学方面的数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制 论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等，图像处理方面的图像压 缩、分类、识别与诊断、去噪等，医学成像方面的b 超、c t 、核磁共振成像以 及提高图像分辨率等。 1 1 第1 章引言 1 9 7 4 年，小波变换的概念由法国工程师jm o r l e t 首次提出。之后小波变换 经过一系列的发展，逐步由第一代的经典小波发展到第二代小波，其中包括提 升小波和复小波。 近几年来，为了有效改善小波变换在图像方向性信息方面表示的不足，研 究者们又提出了个崭新的信号分析工具多尺度几何分析。而c o n t o u r l e t 变换是其中比较有效的一种方法它具有多分辨率、局部化和方向性等特征， 能很好地刻画图像轮廓和纹理，所以在新代图像压缩中可取代传统的小波变 换来更进一步提高压缩质量。 以j p e g 2 0 0 0 为例，它是基于小波变换的一种图像压缩标准，它能够在无 损压缩时仍然有比较好的压缩率。但是，这种小波滤波器只有三个方向，即水 平，垂直和对角方向( 见图11 ) ，它们未必能够有散地直观地反映出相似区域 的变化。因此，我们工作的丰要任务就是将这种“方向性”小波c o n t o u r l e t ， 应用到压缩编码中。 匿， 0t 虻“ ! l ! 图】i 二。级离散小波变换 c o n t o u r l e t ，是由dld o n o h o 和mv e t t e r l i t 2 1 两位教授于2 0 0 2 年首次提出 并将它应用在图像去噪方面的。它与以往的小波变换所不同的是，它将多k 度 分析和多方向性分析分成2 个相对独立的过程来实现。在本文中，我们将这种 小波与非均匀标量量化相结合，构成新的压缩编码框架。本文将探讨两种量化 方式所带来的压缩效果，它们分别是l l o y d m a x 虽佳量化和采用i n f o r m a t i o n c r i t e r i a 的估计最佳直方图的量化方式。我们知道在j p e g 2 0 0 0 中，所采取的量 第1 章引言 化方式是均匀方式，而均匀量化除了简单外，从减小量化误差来考虑并不是最 佳选择。 1 2 课题研究的主要内容 本文的目标是实现对两种改进压缩算法的测试，并比较他们的性能优势， 得出结论以有利于相关的学术研究。这个课题整体上可以独立分为两个步骤， 首先，分析原图像的c o n t o u r l e t 变换系数的数学统计特性得出相应的数学模型 以便仿真。其次是量化部分，也是我们研究的主要部分。l l o y d m a x 算法是基 于一种己知的固定的数学统计分布模型的基础上进行量化，而i n f o r m a t i o n c d t e f i a 算法则不同，它能够根据系数样本进行估计得出最佳的直方图再进行量 化。图1 2 给出了以c o n t o u r l e t 变换为基础的编码系统，它列出了实现这个课题 的具体步骤，其中“死区 的概念将在第3 章中详细介绍，而熵编码部分不是 我们研究的主要对象，所以只需要在m a t l a b 上进行仿真的时候调用到相关的 h u f f m a n 编码算法p 幄p 可。 图1 2c o n t o u r l e t 压缩编码系统 本文的内容主要分三部分： 第一部分，即第2 章，介绍了c o n t o u r l e t 变换，该章节是所有实验过程 的基础理论部分，讨论了c o n t o u r l e t 与经典小波的不同之处及其优越 性； 第二部分，即第3 章，首先分析了图像变换后的系数统计特性，得出其 3 亿一一一乳一戤 第1 章引言 概率分布函数模型的假设并进行验证，之后详细介绍了两种量化方式， 即l l o y d m a x 算法和i n f o r m a t i o nc r i t e r i a 算法，以及死区量化的概念， 将其分别与两种算法相结合； 最后一部分，我们比较图1 2 中所列举的量化算法。 总之，本文进行了如下工作： 1 使用m a t l a b 进行仿真，使用c o n t o u r l e t 工具箱实现c o n t o u r l e t 变换 的图像分解和重构。 2 使用m a t l a b 进行仿真计算c o n t o u r l e t 系数的数学统计特性，并确定 数学模型。 3 使用m a t l a b 进行仿真实现l l o y d m a x 量化算法。 4 使用m a t l a b 进行仿真实现i n f o r m a t i o nc r i t e r i a 量化算法。 5 使用m a t l a b 进行仿真对改进的压缩算法进行实现，并比较两种算法 和分析性能，得出结论。 1 3 课题研究的意义 随着计算机技术、现代通信技术、微电子技术、网络技术和信息处理技术 的发展，在人类社会进入信息化时代的今天，图像信息的处理、存储和传输在 社会生活中的作用将越来越突出，人们对接收图像信息的要求也越来越迫切。 我们已经可以预料到在未来的通信领域市场，图像通信将会是通信事业发展中 面临的最大挑战，也是市场热点之一。而数字化图像的数据量是很大的，这就 是图像压缩的意义之所在了。 随着j p e g 2 0 0 0 在短短的几年内获得的极大成功，目前也出现了许多 四e g 2 0 0 0 的改进压缩算法，以适应低带宽、高噪声的环境，以及医疗图像、电 子图书馆、网上服务等方面的应用。但是，对于某些特殊图像，比如具有丰富 边缘特性或纹理特性的图像，j p e g 2 0 0 0 却不能保证很好的恢复图像质量，这是 由于小波变换较适用于一维平滑直线，且捕获信息只局限于水平、垂直和对角 三个方向。然而，c o n t o u r l e t 变换为图像处理和分析提供了灵活的多尺度和多方 向分解工具，它能够有效地保留了图像的纹理细节，使得视觉效果也有所提高。 目前还没有一种压缩系统采用非均匀标量量化器，因此，大胆尝试l l o y d - m a x 量化器和i c 量化器也是这项课题的一大挑战。 4 第1 章引言 另一方面，c o n t o u r l c t 在去噪方面也取得了很大的成功，但压缩方面由于它 自身带来的冗余性，给我们的研究带来一定的困难。所以，我们希望这个课题 研究能够带给我们一个意外的收获，即使结果不理想，研究仿真所得到的数据 可以作为参考数据用于其他相关的学术研究。 第2 章c o n t o u r l e t 变换 第2 章c o n t o u r l e t 变换 2 1c o n t o u r l e t 的基本原理 众所周知，小波变换已成为一种有效的图像处理工具，尽管如此，它在图 像多方向性图像表达方面并不够完善。这是因为它只能够捕获水平、垂直和对 角三个方向的信息。而c o n t o u r l d 变换则不同，它是用类似于轮廓段的摹结构 来逼近图像，能用不同尺度、不同频率的子带更准确地捕获图像中的分段二次 连续曲线。c o n t o u r l e t 基的支撑区间是具有随尺度变化长宽比的“长条形”结 构，具有方向性和各向异性。c o n t o u r l e t 系数中，表示图像边缘的系数能量更加 集中，或者说c o n t o u d e t 变换对于曲线有更稀疏的表达。 c o n t o u r i e t 变换将多尺度分析和多方向性分析分成2 个相对独立的过程来 实现。c o n t o u r l e t 变换的流程图如图2l 所示。首先，由l p ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 变换对图像进行多尺度分解：然后，利用方向滤波器组( d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ， d f b ) 只对高频成份进行方向分解。 、 一 rr ，1 1 _ 一 2 l _ l j 卢7_ + l 了_ + 、 r # jl 、一7 l 图2ic o n t o u r l e t 变换多尺度和多方向分解 参照图21 ，我们将整个c o n t o u d e t 变换的滤波器组看成一个整体，并命名 6 匪黑匿口 第2 章c o n t o u r l e t 变换 为“金字塔方向滤波器组 ( p y r a m i d a ld i r e c t i o nf i l t e rb a n c ，p d f b ) 。 2 1 1 多尺度分解 为了达到图像多尺度分解的目的，我们必须引用由b u r t & a d e l s o n 2 构造的 扩张的拉普拉斯金字塔( l p ) 。如图2 2 ，它能够在每一级分解产生一个上一级信 号的低频采样样本a ，以及其与上一级信号的差分导致的带通分量b 。例如对原 始图像进行拉普拉斯金字塔分解，可以得到一个原始图像尺寸的1 4 的低频图 像以及和原始尺寸一样大的高频图像。 a b ( b ) 图2 2 拉普拉斯金字塔框图：( a ) 分解和( b ) 重构。 图2 2 中，h 和g 分别为分析滤波器和解析滤波器。另外，山m 和i m 分 别为下采样和上采样。 l p 的缺点在于它的过采样，虽然如此，与小波的严格采样框图相比较，l p 其自身独特的特点在于每一层金字塔只产生一个带通图像，这样就不会混频。 而在小波滤波器组中，混频常出现在一个高通带经过下采样后再输出一个低频 带，因此会造成频谱混叠，导致分频结果不正确。但是，在l p 里，通过只在 7 第2 章c o n t o u r l e t 变换 低通带下采样就可以避免这种混频现象。【2 】 图2 3l p 生成的多尺度子带 如图2 3 ，将k 定义为一个大小为2 2 j 的规范栅格的子带，也就是说它是 一个分辨率为2 一j 的图像概貌。而l p 的差分图像将会带来必要的细节信息以提 高图像概貌的分辨率。通常情况下，w 是m 的完备正交空间，二者的并集为空 间矿j 土。 v i - t = v io 哗 ( 2 1 ) 2 1 2 多方向分解 方向滤波器组( d f b ) 是由b a m b e r g e r 和s m i t h 刚两位科学家所提出的，顾名 思义，它能够提供一个图像的多方向性表达。也就是说，这种图像表达意味着 它以方向为标准来定位图像信息，并且我们能够决定分解方向的数目。 接下来，图2 4 显示了一个频域上的3 级d f b 分解，并生成了8 ( - 2 3 ) 个楔 形频率子带。 第2 章c o n t o u r l e t 变换 ( _ 钙 巡彦 形慕 纰露) 图2 4d f b 的3 级分解，8 个楔形频率子带的分割示意图：“0 3 ”对应于水平方向，4 - t 对 应于垂直方向。 很显然，分解的方向数目比小波分解的多，不再局限于三个方向，换言之， 我们可以捕获更多的方向信息。 一般来说，多方向分解只在哗空间进行，如图2 5 就是一个示例。 l 冗 参 i 气 汐。 、7 j 瑶j 图2 5 多方向分解 ：2 。- - 1 嗖 2o 蟛 k 0 9 ( 2 2 ) 式中，j 表示尺度级数，k 为方向级数。另外，了带w j m + l 定义为一个 2 州- 1 2 j + 1 ( 或2 2 i 州，这取决于是水平方向或垂直方向) 大小的长 条。【5 】 2 1 3 金字塔方向滤波器组p d f b 将l p 和d f b 相结合，d o 和v e t t e r l i 提出一个双滤波器组结构，也即前文 中所提到过的p d f b 滤波器组口 。这个滤波器组可以分为两个独立的过程来进 行，如图2 6 所示。因为设计d f b 的目的足为了“捕捉”输入图像的高频( 表 示方向) 。对低频信息的处理将会变得很差。事实上，随着频谱的分割，有许多 低频信息会落进方向子带。因此，仪利用d f b 不能达到对图像进行稀疏表示的 要求。这也是将d f b 与多她分析相结合的一个原因【”j 。川。 低频亍带 高频子带d f b 圈2 6 p d f b 系统囤 c o n t o u r l e t 变换具有小波所具有的多分辨率，时频局部性，同时又具有方向 性和各向异性。 定理1 1 2 】：在c o n t o u r l c t 滤波器组中，下列特性成立。 l 、如果l p 和d f b 都采用的是完全重构滤波器那么离散c o n t o u r i e t 变 。圈r 口一 第2 章c o n t o u r l e t 变换 换能够完全重构。 2 、如果l p 和d f b 都采用的是正交重构滤波器，那么离散c o n t o u r l e t 变换 提供了一个紧支撑框架，框架的边界为l 。 3 、离散c o n t o u r l e t 变换的冗余度至多为4 3 。 4 、如果在l p 的第，金字塔层运用一个z 层d f b ，那么离散c o n t o u r l e t 变换 的基图像具有一个宽度约为吖2 j ，长度约为吖2 j + 0 吒的基本支撑尺寸，其中c 为 输入图像的长或宽。 5 、运用f i r 滤波器，对个像素的图像，离散c o n t o u r l e t 变换的计算复杂 度是d ( 哟。 2 2c o n t o u r l e t 变换的应用 2 2 1 图像的稀疏表示 c o n t o u d e t 变换分解能够非常有效地通过低频信息展示图像的平滑或同性 特征，与此同时，它也能够通过高频分解的方向信息展现图像的边缘。接下来， 图2 7 将展现p d f b 对图像“圆盘( z o n e # a t e ) ”的分解。 图2 7 中所使用到的滤波器组有两种，一种是“9 7 双正交滤波器组用于 实现金字塔分解( 参照“小波变换) ，另一种是以“p k v a 命名的滤波器组用 于实现多方向分解。 我们再注意到图2 7 的整个c o n t o u r l e t 变换后的系数尺寸： 3 2x3 2 + 3 2 3 2 4 + 6 4 6 4 4 + 1 2 8 6 4 4 + 6 4 1 2 8 4 兰1 3 3 z s 6 z s 6 式中，我们发现整个系数尺寸扩大了l 3 ，换言之，c o n t o u r l e t 变换的图像 表示会带来一定的冗余，通常情况下，冗余度为4 3 。假设，我们希望一个z ，级 的d f b 分解( 方向分解数为：2 2 j ) ，这就是说在第| 级的拉普拉斯金字塔分解 的基础上进行d f b 分解。而所有c o n t o u r l e t 分解后的子带大小为一个长c 2 j ， 宽c 2 歹+ l j 2 的长条，其中，c 为输入图像的长或宽。以图2 7 为例，在第l 级的 金字塔分解下进行8 个方向子带的方向分解，所以，在j f = 1 岛= 3 的情况下( 其 中c = 2 8 = 2 q f i ) ，水平方向的每个子带的尺寸为 第2 章c o n t o u d n 变换 2 “1 2 3 - ( 1 + 3 2 j = 2 7 2 6 = 1 2 8 6 4 ( 吣c o ) 图27p d f b 对图像“圆盘f z o n e p l a t e ) ”的3 缓分解： ( a ) 原图像；( b ) c o n t o u r l e t 系数图，每级分解的方向数日分别为：4 ，4 ，8 ( 由下至上) 低 频于带图像尺寸( 最下方) ：3 2 x 3 2 ，每级予带图像( 由下至上) 尺寸分别为 s 2 3 2 ，6 4 6 4 ，1 2 8 x6 4 ( 水平方向) 6 4 x 1 2 8 睡直方向) 。 接下来我们增大每层的方向分解数目再进行观察，会发现c o n t o u r l e t 系数 更加精细。图2 8 是两个不同方向分解数目的4 级c o n t o u r l e t 分解。 第2 章c o n t o u r l e t 变换 ( 劬( b ) 图2 8 高频子带分解数目( 由下军上) 分别为 ( a ) 2 , 4 ，4 ，8 和( b ) 2 ，4 ，8 ，1 6 。 2 2 2c o n t o u r l e t 图像去噪1 2 2 l 针对小波变换的不足，许多研究员提出了基于c o n t o u r l e t 变换的图像降噪 方法，运用c o n t o u r l e t 变换照好的方向性和各向异性进行闽值降噪。由于 c o n t o u r l e t 变换为图像处理和分析提供了灵活的多尺度和多方向分解工具，在此 基础上，提出了一种基于c o n t o u r l e t 变换的多尺度多方向图像降噪算法，不同尺 度、不同方向采用币| 司的阈值。实验表明，基于c o n t o u r l e t 的去噪方法，在 定程度上提高了图像的信噪比，同时有效地保留了图像的纹理细节使得视觉 1 3 第2 章c o n t o u r l e t 变换 效果也有所提高。小波变换在分析点状瞬态特征的奇异性时是最优的，但是在表 示图像结构的直线或曲线奇异性时却不是最优的，并针对小波变换的不足，采 用c o n t o u r l e t 变换能较好地对图像降噪，不仅提高了降噪后的图像的信噪比，使 降噪后的图像更加清晰，视觉效果有所提高。 2 2 3c o n t o u r l e t 图像压缩 对一堆分段的平滑信号而言，小波变换自然是一种非常好的表示方法。除 此之外，快速变换和便利的树结构( 如，零树和空间方向树) 也是小波在图像 压缩中运用成功的关键因素。其中，基于小波的嵌入式图像编码( w a v e l e t b a s e d e m b e d d e di m a g ec o d i n g ，w e i c ) 算法有着较好的压缩效果和实际应用。e z w t 引， s p i h t t 9 1 ，s p e c k ! 1 0 1 和j p e g 2 0 0 0 中的e b c o t t l l 】是最著名的w e i c 算法。但是， 自然图像中存在的大多数是二维奇异曲线，而非一维平滑直线。这些二维曲线 的不连续性集中在边界附近，然而边界通常是由光滑的轮廓构成的。因此，我 们需要在更高维上构造有效的图像表示方法。到目前为止，只有几种基于 r i d g e l e t 的图像压缩算法，对于c o n t o u r l e t 变换，由于其自身的过完备性，到目 前为止，还没有一种非常高效的基于c o n t o u r l e t 的图像压缩算法。 2 4 本章小结 本章主要介绍了c o n t o u r l e t 变换的多方向多分辨率特性以及滤波器组构造， 从而奠定了本论文的理论基础。最后简单概括了一下c o n t o u r l e t 变换的一些应 用，比如图像去噪、图像压缩。 1 4 第3 章量化 3 1 量化理论基础 第3 章量化 量化主要应用于从连续信号到数字信号的转换中。连续信号经过采样成为 离散信号，离散信号经过量化即成为数字信号。标量量化，是将一个离散信号 转换为一大串采样点的量化等级或者说是数字符号。也就是说，量化的主要目 的是通过有限个数值很小的符号来近似表示一个离散信号。比如，我们将一个 输入信号x 根据某个算法进行分割，如图3 1 。而x 坐标上的每一个区间对应 于目标空间q 的某个值。当所有的量化区间大小为同一个常量时，这种情况称 为均匀标量量化，在j p e g 2 0 0 0 中使用的就是这种量化方式，如果量化区间为 变量时就是非均匀量化。 u ， l 厂 广 广 。_ j _ j i d 0i d ll d 2 0 i 州l 鼍 r u j 兰_ ) ： 量化： ： 编码 ： i ：i i 气：矿“) l i 。 i i i 肘级6 比特 图3 1 均匀标量量化 1 5 第3 章量化 我们以图3 1 为例来详细解释一下标量量化理论。其实，量化器就是一个 阶梯函数，也就是图中的输入数据集合x ，即数集【一a + a 】被分割成肘个等长的 相邻区间( 【d 鼋，+ i 】，q = 0 ，m l 】，量化区间长度恒为。所以，h 一2 五和 a = 2 a 。2 一，其中6 比特来表示量化的精度。每个符号对应与x 坐标轴上的m 个区间的某一个，并且对应于q 上面的一个值，可表示为q 0 ) = 气。这些符号 将储存在信道中用于传输。因此编码过程可由气= q - l ( ) 来表示，大多数情况 下气= 坌等吐。而集合 钳被称之为码书( c 。d eb 。k ) 。 3 1 i 非均匀标量量化理论 实际上，非均匀标量量化的理论是建立在均匀量化的基础上的。它们之间 的主要区别在于，非均匀量化采用不同的算法来确定区间【，+ i 】的大小，其 中d 口被称为决策级。而对于每个区间，我们又定义为重建级。所以，与此同 时与均匀量化又不同的是，非均匀量化的区间的长度磁= 1 一是一直变化 的，而非一个常量。以c o n t o u r l e t 分解后的系数为例，它大部分的数值都是围 绕在0 周围，我们就可以根据这个它的系数分布特点采用一定的算法来决定量 化的决定级和重建级( 参照3 1 2 ) 。 再看一个实例，图3 2 是一个声音信号，根据信噪比( s n ) 将其分为两部 分：强信号和弱信号。我们又发现它大部分的信号是属于弱信号，从而我们的 目标是使用最少的量化级别来表示这个信号。因此，这个信号将分为1 0 个等级 进行传输，也就算说，我们只要传输由0 ，l ，2 ，9 组成的一个数列就可 以表示这个信号。 1 6 第3 章量化 声萄信号 尊r 聊咚 - 一 。绷嗍 八 。黼嘴 、 1 陬入八叉f vw 妒一1 7 3 1 2 思考 霸i 一l d 图3 2 实例：声音信号的非均匀标量量化 根据上文的内容，我们开始思索一系列新的问题：如何才能定义那些量化 决策级，量化重建级的值呢? 以及区间的大小要服从什么算法呢? 这所有的问 题都是我们接下来要首先完成的工作，也是接下来的章节所要介绍的内容。 我们很清楚，量化的过程会引进一个误差量，而这个误差量存在于实际信 号和量化信号之间，换言之，量化信号越逼近输入信号的话，误差量( 或称之 为“失真度 ) 也就越小。这种量化必然会带来损失，也就是编码中的有损编码 的概念。因此，为了获得那些量化决策级就必须以减少那个误差量为前提，而 一般来说，量化重建级总是取值为华。如果我们预先获知分解系数幅值的 统计特性，这样会很有利于去定义那些量化决策级的。显然，计算的过程也是 非常之复杂。 通常情况下，我们采用均方误差( e q m ) 来衡量失真度，它可由式3 1 来表 1 7 第3 章量化 示： d = f 【b 一芏j 2 )( 3 1 ) 式中，随机变量x 由元素工( c o n t o u r l e t 分解系数幅值) 组成，而童即为上 文中所提到的& 。 3 2 系数幅值的统计特性 c o n t o u r l e t 变换后的系数对于我们之后所要采用的量化方式，将起着至关重 要的作用。经典的压缩编码方法都充分利用了变换数据的统计特性，并提出了 与之相适应的数据组织形式。根据这些系数幅值的特点，我们可以根据需要保 留部分含有重要信息的系数( 即幅值大的系数) ，同样可以去除那些不重要的系 数( 幅值小的系数) 。所以，从这一章节开始，我们将介绍系数幅值的统计特性 以及一种概率分布模型。另外，为了验证我们所假设的概率分布模型符合实际 的系数分布，我们将分析系数的某些统计参数并呈现相关的数据结果。 3 2 1 参数选择 我们所知，小波变换具有与其他正交变换相似的去相关能力，因此，变换 后系数矩阵的主要能量集中在少数的小波系数上。在引言部分的图1 1 也可以 有力地证明这一点，在高频子带，大多数小波系数因取值小基本不可见。因此， 这些系数的子带也就很容易被压缩。另外， 7 中指出，小波系数的统计特性比 较符合拉普拉斯分布模型。我们很清楚地知道，如果我们也知道c o n t o u r l e t 系 数的边缘统计特性，在减少量化失真度的前提下也能够进行压缩编码。 图3 3 是图像b a r b a r a 经过c o n t o u r l e t 变换的一子带系数分布图。从图3 3 来看，我们认为，c o n t o u r l e t 系数比较符合“广义高斯分布模型 ( g e n e r a l i z e d g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，g g d ) 。为了验证我们的假设，需要分别去测试一系列的 统计参数，如：均值，方差，等等。 1 8 第3 章量化 鼍 事 - j l 帽筐 图3 3 图像b a d ：) a r a 的c o n t o u r l e t 变换后系数直方图( 黑色柱状图) 以及与模型g g d ( 红 色线条) 的拟合结果 以下是我们需要计算的统计参数： 1 ) 均值： 弘= 挫 ( 3 2 ) 式中，气- 是变换分解系数幅值，疗是某一个子带的系数总数。 2 ) 广义高斯分布g g d 的参数声( 参考3 2 2 ) 。 3 ) k u l l b a c k - l c i b l c r 距离( k l 距离) ： 假设p 1 【订和改( 习是两个独立的概率密度分布函数，根据定义，介于巩( 和 如( 妁的k l 距离d 氓，如) 可用下式表达： d h 段) 皇，( 如一 ) l o g ；搿奴 ( 3 3 ) 从公式来看，我们可以很清楚地理解到k l 距离的作用就是衡量两个概率 分布的相似度，也就是下面的实验过程将会用到它来衡量实际的概率分布与我 们所假设的概率分布的相似度。 1 9 第3 章量化 3 2 2 统计分布函数模型：广义高斯分布 我们先了解一下广义高斯分布的概率密度函数p d f 的表达式( 式3 4 ) ，它 其实是一个取决于3 个参数的函数： 吣属时= 南彳毕4 ( 3 4 ) 其中，r = c 。e l z 4 d x 。如果口= z 的话，我们发现这个表达式其实 是高斯分布，而当口= 1 的时候，这其实是拉普拉斯分布。通常卢被称之为“形 状参数”，它用来决定g g d 密度函数的衰减速度，又称为衰减率。这是之所 以它称之为形状参数的原困。而a ，被称之为尺度参数的一个量，它决定p d f 的宽度，即标准方差。 阳 图3 4 b a r b a r r a 的4 级c o n t o u r l e t 变换( a ) 频分结构和( b ) 系数分布图 图3 4 是图b a r b a r r a 经过4 级的c o n t o u r l e t 变换所得到的分解图像，多尺度 第3 章量化 分解和多方向分解在这里得到很好的证明。这个部分我们比较感兴趣的是高频 子带的边缘统计特性。图3 5 展示b a r b a r r a 的c o n t o u r l e t 变换系数的所有高频子 带的边缘统计特性。 根据图3 4 的系数分布图，我们将展示所有子带的边缘统计特性，从上至 下，分别是第一级8 个方向的高频子带，第二级8 个方向的高频子带，第三级 4 个方向的高频子带，第四级4 个方向的高频子带。从图中可以判断出，非零 系数的数目非常之少。另外，它们的边缘统计特性也非常接近广义高斯分布， 除了最后一行的4 个子带。 l jl 2 1 第3 章量化 ! j i i 。 i j 1 7 _ | ”j lu j l “l 一 。1 1 “1 二- ， ；。止；上人。i 。 “0 1 = ：i i 1 26。 图3 5b a r b q r m 变换后所有子带的边缘统计特性 第3 章量化 3 2 3 测试数据分析 为了证明我们之前的假设，即变换后的子带服从广义高斯分布，因此，我 们在m a t l a b 上模拟估计前文中所提到的参数。为了得到更加有力的证明，对 多幅图像进行参数估计，这些图分别为：b a r b a r r a ，l e n a ，b i k e 和p e p p e r s 。在进 行参数估计之前，分别对这些图像进行统一的尺度及方向上的c o n t o u r l e t 分解。 参照附录a 的实验数据表格，我们得到以下结论： 1 ) c o n t o u r l e t 变换系数不符合高斯分布，因为形状参数d 的值不为2 ； 2 ) 形状参数b 将近有8 3 的值大于l ，而另外，尤其是那些在频分图中接 近低通分量的子带，它们的形状参数p 值将近为l ，换言之，它们趋向于拉普 拉斯分布； 3 ) 再根据k l 距离的值来判别我们所假设的g g d 模型与实际的边缘统计 特性之间的相似度，我们发现，对于那些比较精细的子带( 第一级子带) ，它们 的k l 距离值相对来说非常小，这就意味着它们比较接近g g d 分布。 4 ) 我们还发现，这些系数分布都不是很集中在零值附近，尤其是第三级和 第四级的子带，而它们的尺度参数口的值同样也是比其他子带的值都大。这让我 们开始产生了对c o n t o u r l e t 变换的疑惑，为此做了一个小测试：采用一组服从 标准正态分布的随机数，然后对它们进行c o n t o u r l e t 变换，再估计它们的期望 值与方差值，最后检验这些值在经过变换之后是否还服从标准正态分布( 测试 结果见表3 1 ) 。 表3 1 对服从u c 0 ，1 ) 的随机数的测试结果 【l ，3 ，3 ，4 】 【2 ，3 ，3 , 4 】【0 , 3 ，3 ，4 】 尺度级期望方差尺度级期望方差尺度级期望方差 4 l o0 0 0 3 90 6 6 9 04l0 0 0 3 5o 8 1 6 3 4l- 0 0 2 2 5 0 9 4 7 6 一一一 3l6 8 5 0 1e - 40 9 9 8 4 3l0 0 0 4 5 1 0 0 5 33l 0 0 0 7 71 0 2 3 7 一一 一 2l- 0 0 0 2 81 1 0 9 l2l 5 0 8 6 0 e - 4 1 1 0 8 32l 0 0 1 4 61 1 0 7 3 一 一一 ll 0 0 0 3 61 0 8 8 3ll0 0 0 2 61 0 8 3 8ll0 0 1 2 21 0 6 7 2 一 一一 【l ，3 ，3 ，4 】表示每级的分解方向数，比如4 表示第一级尺度有2 4 = 1 6 个方向 雷方向n m 表示第疗级的第坍个方向。一= l 对应于高频子带，疗= 4 对应于低频子带 2 3 第3 章量化 从表3 1 的结果来看，经过c o n t o u r l e t 变换之后，系数不会大幅度地改变原 始数据的统计特性。因此，我们可以继续进行接下来的工作。 在接下来的章节中，将主要介绍两种非均匀标量量化技术，以及死区量化 的概念。 3 3 死区量化 就像在常用的基于小波变换或者d c t 的编码器，比如j p e g 2 0 0 0 、m p e g 4 或h 2 6 4 ，为了压缩一定的信息量，我们也会采取一种“死区量化的技术。而 所谓的“死区 就是指一段0 值附近的区间，这段区间附近的值非常小，我们 可以认为属于这段区间的系数值恒等于某个值( 通常情况下默认为o ) 。因此， 将死区量化应用到c o n t o u r l e t 变换后的系数中，其意思是，方向子带中大部分 的系数被量化为0 ( 即死区) ，而剩下的区间可以按照其他量化方式进行量化。 这样可以在满足图像质量的前提下达到很高的压缩比。 芒 毒 i d oi d li d 2i d a 0 i a 7 ) 一季 第3 章量化 我们认为区间( 一，+ 厶) 为死区区间( 如图3 6 ) 。与此同时，需要思考如何去 定义阈值大小才会减少量化噪声。【1 2 】中提出一种方法来获得死区阈值，这种 方法也用于j p e g 2 0 0 0 的死区阈值。其中我们首要的任务是决定噪声的均方差 以及信号的均方差。一般情况下，我们认为噪声存在于高频带中，且是中心对 称的，因此，根据【1 2 】其均方差可表示为： 艿= 譬 ( 3 5 ) o 石7 4 ； 。 而无噪声的信号