拉格朗日方程课件.ppt

17.2,拉格朗日方程,一、拉格朗日方程,设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标来确定。则有,这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由k个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。,17.2,拉格朗日方程,二、保守系统的拉格朗日方程,在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程,式中为质点系动能和势能之差，称为拉格朗日函数。,这就是保守系统的拉格朗日方程。,三、应用拉格朗日方程解题的步骤,1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。,2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）,17.2,拉格朗日方程,3、计算对应每个广义坐标的广义力；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数。,4、计算诸导数：,或,5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二阶常微分方程。由2k个初始条件，解得运动方程。,17.2,拉格朗日方程,例4在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。,解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角为广义坐标。,由运动学关系知，动齿轮的角速度与曲柄的角速度的关系为,则系统的动能为,17.2,拉格朗日方程,给曲柄以虚位移，则对应的广义力为,求诸导数,17.2,拉格朗日方程,即,积分得曲柄的运动方程为,式中，、分别为初始转角和初始角速度。,17.2,拉格朗日方程,例5如图轮A的质量为，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为，弹簧的弹性戏数为，试求系统的运动微分方程。,解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取x为广义坐标，x从重物的平衡位置量起。系统的动能为,设系统平衡时弹簧的静伸长为，则有关系式,即,17.2,拉格朗日方程,以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为,利用前面的关系，整理得,则拉格朗日函数为,代入保守系统的拉格朗日方程得,即为系统的运动微分方程。,17.2,拉格朗日方程,例6如图，均质圆轮的质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。,解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取x和为广义坐标。,系统的动能为,整理后得,17.2,拉格朗日方程,系统的广义力为,11,可编辑,17.2,拉格朗日方程,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取x和为广义坐标。,系统的动能为,系统的广义力为,17.2,拉格朗日方程,（2）,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,17.2,拉格朗日方程,例8如图，物体A的质量为，B轮质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为，试求系统的运动微分方程。,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。,系统的动能为,系统的广义力为,17.2,拉格朗日方程,（1）,（2）,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,17.2,拉格朗日方程,例9实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为、，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。,系统的动能为,系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为,17.2,拉格朗日方程,故拉格朗日函数为,求诸导数,（1）,17.2,拉格朗日方程,（2）,联立求解方程（1）、（2）得,于是角加速度为,17.2,拉格朗日方程,例10质量为的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为r、质量为的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力拉动金属板，试求圆柱纯滚的角加速