（凝聚态物理专业论文）单模二能级系统随时间演化问题的研究.pdf

孝国磷学技术女学硬泰学经论文 3 单模二能级系统随时间演化问题的研究 摘要 与肇模瑗惫子藕合黪二麓缀系统怒当今穆淫擎霹纯学基碱繇究中静重要磁 究对象。对于该系绞髓对闽演化的闷题，本文在控比模型下应用相干近似 ( c o h e r e n ta p p r o x i m a t i o n ，c a ) 方法全筒计算了该系统在共振频率附迥和远离共 振频率情况下的能级占有几率p ( f ) 。在共振频率附近，用c a 方法所得结果与j c 模黧( j a y n e s c u m m i n g sm o d e l ) 近钕方法斡结采严格致；舔当系凌频率逐滋 馕骞共攮频率霹，蹑静方法讦冀结果黪羯部塌茇也随之嬲大。分挺表鹳，当研究 系统能级占有几率只( f ) 的微分效应时，j - - c 模型将会偏离实际情况，而此时相 干近似方法仍能给出较好的结果。若考虑到只( r ) 的积分效应，可以认为两种结 莱所显示的总体走势仍建一致的。 梗予态方法是一季孛l # 变分、婺徽扰躯近似方法，枣喾清敷的物理慰豫，虽搜 用简便。它提供了一个系统的方案以逐步提高计算的近似程度。其主要思想是 高阶的玻色子关联效应对系统的贡献般来说随着关联效应阶数的掇高越来越 小，所强在一定精度簧求下近纭求解系统静麓悫薅，可只考虑渡色子关联静有融 溪，以达到筵纯诗募豹嚣豹。 对多能级体系的研究是当前凝聚态物理和光学研究中的一个热点和难点问 题，因为它是解决物理学、生物学、化学等领域许多复杂而有趣课题的基础。比 懿“诱警透羁”耩多缝缀系统砖环境藕合的闻越，它静研究成鬃预瑟露光学干涉 中国科学技术大学硕士学位论文 4 测量、磁力计制造等方面有着诱人的应用前景。拉比模型和卜一c 模型在量子光 学和量子噪声等研究中已有许多应用，但是作了旋波近似( r o t a t i o nw a v e a p p r o x i m a t i o n ) l 拘j c 模型会丢掉一些有用的信息，在强耦合情况下和拉比频率 比较大的时候，j c 模型难以给出精确解。当前对- - 一“g j e , 级系统的研究很需要建立 套系统、有效、简便的方法，利用非旋波近似的拉比模型进行探索应是当前该 领域可供选择、具有深层次物理兴趣的研究方向。本课题组的前期工作已初步显 示，将拉比模型下的相干近似方法应用于定态多能级系统和耗散多能级系统是可 行的，有理由期盼将之推广应用到新的更为复杂的多能级系统，这正是本工作的 出发点。 在本文中，我们首先介绍了相干近似方法的定义及性质，接着对二能级系统 和j c 模型的基本思想作了简单推导。然后用相干态近似方法对与单模玻色子 耦合的二能级系统进行了研究。通过比较两种方法计算的能级占有几率只( t ) 我们得出以下结论： 由于j - - c 模型只适用于在玻色场的频率w 等于或接近共振频率乍以及当 玻色场频率不太高的时候。所以c a 方法对于拉比频率比较大时，其近似与真 实情况更为吻合。特别是当我们考虑p ( f ) 的微分物理效应时，例如计算二能级 系统中的发射过程，真实的情况会与j c 模型有较大的差距。此时，相干态近 似方法能给出较好的近似结果。 相干态近似方法是一种系统的近似方法，我们通过逐次提高所设相干态系数 l t ) 的阶次，从而达到满足计算精度的要求。本工作实际推至了三阶相干近似，以 后如有实际需要可以方便地进一步提高阶次。 中国科学技术袅学硕士学谯论文 5 t h e o r e t i c a ls t u d i e so n p r o p e r t i e so f at w o l e v e ls y s t e m w i t h e v o l v i n gp r o c e s s a b s t r a c t t h et w o - l e v e ls y s t e mi n t e r a c t i n gw i t has i n g l e - m o d eb o s o ni sak i n do f v e r y i m p o r t a n ta n df u n d m n e n t a lm o d e l t h i sk i n do fm o d e li su b i q u i t o u si nb o t hp h y s i c s a n dc h e m i s t r y t os t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h i ss y s t e me v o l v i n gp r o c e s s ，w eu s e dt h e m e t h o do fc o h e r e n t a p p m x i t r m t i o n ( c a ) t o c a l c u l a t et h e o c c u p m i o n p r o b a b i l i t i e s ( f o f t h eu p p e ra n dl o w e rs t a t ew h e n n e a r i n g 啦d e p a r t i n gt h er e s o n a n t f r e q u e n c i e s i nt h i sa r t i c l e i no r d e rt oc h e c kt h e r e l i a b i l i t y o ft h i s m e t h o d ，t h e o c c u p a t i o np r o b a b i l i t i e sn e a r i n gt h er e s o n a n tf r e q u e n c yc a l c u l a t e db yo u rm e t h o da r e c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t sc a l c u l a t e db yj - cm o d e l i tc o n f i r m e dc a sf e a s i b i l i t yo f d i s c u s s i n gt h ep r o b l e mo f t w o * s t a t es y s t e m 。w h e nt h es y s t e mi sf a rf r o m r e s o n a n c e ， t h ed i f f e r e n tr e s u l t so fc o h e r e n ta p p r o x i m a t i o nm e t h o da n dj - cm o d e l sb e c o m e s c l e a r e r t h r o u g hc o m p a r i s o n , w ec o n c l u d e ：i f 磁c o n s i d e rt h ei n t e g r a lp h y s i c a le f f e c t o f 只( t ) ，j - cm o d e lm a yb e ag o o da p p r o x i m a i o n + b u ti nt h ec a s ew h e nt h e d i f f e r e n t i a l p h y s i c a l e f f e c t o f , ( t ) i s c o n s i d e r e dt h e nt h er e a lc a s ew i l lb e q u i t e d i f f e r e n ta sj - cm o d e l p r e d i c t e da n d c am e t h o dc a l lp r o v i d ea g o o da p p r o x i m a t e c ai san o n - v a r i a t i o na n dn o n - p e r t u r b a t i o nm e t h o dt h a t p r o v i d e sas y s t e m a t i c s c h e m et oi m p r o v et h ea p p r o x i m m i o no ft h es y s t e m c ai sv e r y s i m p l ew i t ht h ec l e a r p h y s i c a lp i c t u r e 。t h ek e yi d e ao f t h ec ai st oo m i tt h eh i g h o r d e rc o r r e l a t i o ne f f e c t s t h a tc o n t r i b u t el i t t l et ot h e s y s t e m m a n y - l e v e lm o d e ls y s t e mi s ah o tr e s e a r c hi n o p t i c s a n dc o n d e n s e dm a t t e r 中国科学技术大学硕士学位论文 6 p h y s i c s i tp r o v i d e sam o d e l t oi m i t a t em a n yi n t e r e s t i n gp r o b l e m si nv a r i o u sf i e l d so f p h y s i c s ，b i o l o g ya n dc h e m i s t r y , s u c ha s m o l e c u l a rp o l a r o nf o r m a t i o n ，s p i n - p h o n o n r e l a x a t i o na n dt h em o t i o no fd e f e c t si nc e r t a i nc r y s t a l l i n es o l i d s f o re x a m p l e ，i n d u c e d t r a n s p a r e n c y , ap r o b l e m o ft h ec o u p l i n go ft w o l e v e ls y s t e ma n dt h ee n v i r o n m e n t ，i sa h o tr e s e a r c ha tp r e s e n tf o ri t sa p p l i c a t i o ni nm a g n e t o m e t e r sa n do p t i c a li n t e r f e r o m e t r y r a b im o d e la n dj a y n e s - c a m m i n g s ( j - c ) m o d e lh a v em a n ya p p l i c a t i o n st ot h eq u a n t u m o p t i c sa n dq u a n t u m v o i c e s b u tj - cm o d e lw i t hr o t a t i o nw a v ea p p r o x i m a t i o n ( r w a ) w i l ll o s es o m eu s e f u li n f o r m a t i o n u n d e rt h es i t u a t i o no fs t r o n gr e s o n a n c ea n dr a b i f r e q u e n c yi sb i g g e r , j - cm o d e l c o u l d n tg e ta c c u r a t es o l u t i o n s t ot h et w o - l e v e ls y s t e m as y s t e m a t i c s i m p l ea n de f f e c t i v em e t h o di s n e e d e d t h ep r o b l e mo fr a b im o d e l w i t h o u tr w ah a sd e e p e rp h y s i c a li n t e r e s ta n dn e e dt ob er e s e a r c h e d t h er e s e a r c ho f t h es t a t i ct w o - l e v e ls y s t e ma n dd i s s i p a t i v et w o l e v e ls y s t e md o n eb yo u rr e s e a r c h g r o u pc o n f i r m e d t h ef e a s i b i l i t yo fc a s t u d y i n g m u l t i - l e v e ls y s t e mo dr a b im o d e l t h e p u r p o s eo f t h i sp a p e ri st oa p p l yt h i sm e t h o dt on e w e ra n dm o r ec o m p l e xm u l t i - l e v e l s y s t e m i nt h i s a r t i c l e ，w e i n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o na n d p r o p e r t i e s o fc o h e r e n t a p p r o x i m a t i o nm e t h o df i r s t l y , p r e s e n t e dt h eb a s i ct h o u g h to f t h et w o - l e v e ls y s t e ma n d j - cm o d e l t h e nw es t u d i e dt h et w o l e v e ls y s t e mi n t e r a c t i n gw i t has i n g l e m o d eb o s o n b yc a c o m p a r i n gw i t ht h er e s u l t so f t h eo c c u p a t i o np r o b a b i l i t i e s f ( f ) c a l c u l a t e db y t h e s et w om e t h o d s ，w ec o n c l u d e ： s i n c ej - cm o d e lc a no n l yb er e l i a b l ew h e nt h ef r e q u e n c ywo ft h eb o s o ni se q u a l t oo rn e a rt h er e s o n a n tf r e q u e n c y w o ，c ai s b e t t e ra p p r o x i m a t i o nm e t h o du n d e rt h e s i t u a t i o no fh i g h e r a e s p e c i a l l y i nt h ec a s ew h e nt h ed i f f e r e n t i a l p h y s i c a l e f f e c t o f p , ( ，) i sc o n s i d e r e d ，f o re x a m p l e ，i n t h ec a s eo fr a d i a t i o np r o c e s s ，t h er e a lc a s ew i l lb e q u i t e d i f f e r e n ta sj - cm o d e l p r e d i c t e da n dc a m e t h o dc a np r o v i d eag o o d a p p r o x i m a t e r e s u l t c ai sak i n do f s y s t e m a t i ca p p r o x i m a t i o nm e t h o d w ec a ni m p r o v et h eo r d e ro f 中国稀学簸术太学矮毒学位论文 7 t h ec o h e r e n t o e m c i e n t i t ) t oa c h i e v et h er e q u i r e m e n to f c a l c u l a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，w e e d u c e dt h i r do r d e ra p p r o x i m a t i o na n dg e tg o o dr e s u l t s i nf u t u r ew ec a ni n c r e a s et h e o r d e rm o r e e a s i l ya st h ea c t u a lr e q u i r e m e n t + 中国科学技术史学硕士学位论文8 第一章绪论 1 相干态方法 光予数态l ) 有确定的振幅，却无确定的位相，而光子位相态l 有确定的位 相，却无确定的振幅。相干态是一种介于这两种量子态之间的另一种量子态，其 既没有确定的振幅，也没有确定的位相。相对于 g t ) 和l 而言，相干态有适中的 振幅不确定量。相干态的研究由来已久，在量子辐射场中，相干态是一种最接近 经典电磁场的态，并且是完全( 一阶) 相干的态。我们知道，相干态在许多方面 有着重要的应用 1 ：( 1 ) 它在电磁场的经典理论和量子理论之间起着过渡的作用， 当光子数趋向无穷时，量子场过渡到经典场；( 2 ) 激光器远高于阈值工作时，产 生的就是相干态光子，因此它是研究激光的重要理论工具。( 3 ) 容易将它推广到 电一声子系统及多体体系中处理有有较强相干性的问题。在多能级问题中，由于 原子的各个能级与光场或其他玻色场都有耦合；在多体体系中，由于强相互作用 项出现，普通方法( 像微扰论等) 不易处理，但是利用相干态方法可以在一定程 度上解决这些问题。 1 1 相干态的定义 在经典电动力学中采用电磁波描述光场，对于一单模驻波场可以表示为 e ( x ，f ) = q ( t ) s i n k x 其中谐振波幅为 中国每 学技术文学硕女学位论文 9 q ( t ) = a s i n ( w t + p ) 经典情况下，可以同时确定相位w t + v 和强度，a 2 。憾在量予光学中，光子数h 辩瘟强发j ，宅是粒子嚣像，懿糖位翼l l 楚波裁鳃凝念，疆者不旋蘑对确定。焉靛 子数态i 竹) 描述的单模光场，光予数有确定值，而相位则不确定。我们也可以采用 另一种描述光场的态函数，称之为相干卷，用谴种态函数描述光场可以构成一个 波包，其相位蠢近似确定的值，但光予数具有较大的不确定度。理论上把相干态 定义为消灭算符a 的本征态矢i 掰) 甜l 口) = g l 盘) ( 3 ) 出予8 不是蘧漆冀聿享，其本征镶理一般楚复数。因为痞| = 0 ，黪汉按照稳于态麓 定义，舆空态i o ) 也是棚干态。对于多模场的栩于态，冀每个模都有： 甜。i a 。) 篇搿。d 。) ( 4 ) 因此总场的相干态即怒荜横相干态的煮莱 奴= n 。k ) ( 5 ) 1 2 相干态定义i 用光子数态表示 由式矗| g ) = 搿| 口) 可戳求蠢它与( ” 瓣矩簿元 ( n 纠搿) = ( 丹牛d “2 n 十l | a ) = a ( n l a ) 对上式进行变型，递推： n 伊忑1 搿n - 1 粉赢专g 2 n - 2 胁 玎 、f 珂【心一1 ) 最终得鄹 n 阱舞o | 窿v n ： 出闭合性原理珂缛 ( 8 ) 中国磷学技术文黪硕士学位论文 1 0 a ) = 愀竹l 口) ：愀叫瓮i 口) v 村f ；( o i 娌) 了o , n | h ) j 设相干添是归一化的，即( 盘1 口) = 1 可求得， 1 时，e x p ( 一p 一剧2 ) 斗0 ，这时 可以认为两个的交叠很小，从而近似于正交。从式( 1o ) 可以看出，相干态的数目 比光子数态要多的多，l 口) 形成了一个超完备的谐振子态系( 超完备系统的子系 统仍然可以构成完备系) ，这正是其不具备正交性的原因，其完备性关系为； j 扣( 口脚= 薹m i = ， 积分遍及整个复平面。 b 相干态的本征值 ( 2 1 ) 中国科学技术大学硕古学像论文 1 2 相干态的本征值盘一般是笈数，可霹为 口= 口陋，口嚣 口忙叫9( 2 2 ) 箕中圄兔麓振福，毋为萁位褶，在裙于态中竞予数偏差的方均值 ( ( 摊) 2 ) = ( 鼯2 ) 一( 嚣) 2 = 陋1 2 = 再( 2 3 ) 可以看到在相干态中光子数涨落完全呈现出粒子性( 没有波动起伏的部分) 。在 楣予态中讨论量子力学的经典极隈是合逶瓣，把对应性琢理应用予挺予态，当 万砷o o 或蚓_ 。时，即可从量子力学过渡剐经典力学。 2 。声子相干态 经典声子光学【3 】【1 6 - 【2 5 j 产生了许多经典光学中豹对应物，像声子镜 ( i p h o n o nm i r r o r s ) ，声子透镜( p h o n o nl e n s e s ) ，声子过滤器( p h o n o nf i l t e r s ) ，筷至像 “声子显徽镜”( p h o n o n m i c r o s c o p e s ) ，它可具有和可见光一样分辨率的声子图像。 大多数的声子光学实验使用热脉冲或超导换能器( s u p e r c o n d u c t i n gt r a n s d u c e r s ) ? 2 生非相干声子，这样弹性的非相干声子就可以像在几何光学中一样，在上述仪器 中操俸。 声子也可以被相位相干激发，例如，具有1 0 ”h z 的相干声波可由压电震荡 器产生，也可以通i 建受激布难湃| 或撒曼( b r i l l o u i n o rr a m a n ) 散射实验产生相于声学 和光学模声子。近年来，啦于飞秒脉冲的极快激光的产生，追踪襁位相干兢光学 声予已经变得可能【4 ，2 6 】。 在多数包含声子鲍4 黪影，经魏搓透怒充分爨，然嚣，在是够低戆遗度下， 量子涨落变得很重骚。例如，研究袭明，即使在温度比较低的情况下，原予位置“ 懿爨子涨落遣影噙了一些帮残察量( 魏拉爨线形) 。掰激，声子稳于秘声予压缩 性质的研究，对于原子位置的涨落性质和动力学研究就显得非常重耍 5 ，6 】。在下 一豢中我们将讨论两模声予褶干静荦模压缩的闻题。 中国科学技术大学硕士学位论文 1 3 相干态和压缩态的概念皆起源于量子光学的范畴。相干态是许多态的相位 相干的和，在此态中一对共厄变量的量子涨落具有较低的海森堡不确定性。换句 话说，相干态是和真空态一样安静的态。压缩态的其中一个共厄变量具有比 真空态更低的量子噪声，所以在重力场探测，光学通讯等方面有较好的应用前 景。另外，压缩态形成一组激发态的集合，为量子涨落机制的研究提供了手段。 今年来，科学家研究了大量的非量子光学系统中的压缩态，包括离子的运动 7 ，2 7 ，2 8 和经典分子振动压缩中的声子，极化子和晶格中的声子 9 ，1 0 ，3 1 等。文献 3 1 中建议了一种声子压缩的二阶拉曼散射过程，如果两束注入光处于相干态， 则由二阶拉曼散射产生的声子是两模压缩态。测量反射或穿透实验光的强度可以 探测到压缩声子，而且由于反射或穿透实验光的强度与晶格中原子位置密切相 关，所以这种方法还可以用于探测相干声子振幅。g a v e t t 等已用探测实验光脉冲 的方法试着去观察由脉冲二阶拉曼散射产生的压缩声子，但由于信号太弱，目前 未能观察到1 1 1 。 2 1 声子和光子的区别和联系 相干态和压缩态刚开始是用于描述光子而引进的。现在已被广泛用于声子 方面的研究，虽然光子和声子都是玻色子，但它们却有非常明显的差异，所以光 学中的相干态和压缩态不能直接推广到声子中去。 光予是没有内部结构的基本粒子，可称之为简单玻色子。另外，声子描述 了晶格中许多原子的集体位移( 声子坐标和动量的对易关系： g ，q 】_ i l ) ，所以 称之为符合玻色子。k o h n 和s h e r r i n g t o n 在7 0 年代先后对声子、激子等复合玻色 子进行了研究 1 2 1 ，并把它们分成两类，第1 型玻色子和第1 i 型玻色子，分别是 指由偶数费米子组成的玻色子( 如4 h 。原子) 和集体激发型的玻色子( 如声子， 激子，磁振子等) 。在这种意义下，光子也可以成为第1 i 型复合玻色子，因为它 是电磁场的能量子( e n e r g yq u a n t a ) ，对易关系起源于使电磁场量子化的简单谐振 子。本质上，光子和声子都是场量子，光子是连续场的量子，而声子是离散场的 量子。 中国科学技术大学硕出学位论文 1 4 非相互作用声子用于描述简谐晶格势，耐随着非简谐性的出现，声子一声 子楣互 擘箨随之是现，溺薅豹一些炷震，比如赫梧毙热霸热膨胀，都依羧于晶撂 势的非简谐项。换句话说，声子一般是县有相互作用的。对光予，情况略有不同， 在囊空秘低强浚下，光子裙互露蠲强弱，线蛙爨麓鬣到戏立。然蘑，在嚣线瞧余 质中，光子有效的相互作用，并且由原予所调制。如上所述，声子存在于离散介 质中，黻此，声子其有截断频率，这使箕能谱裔一上限( 对双裰子晶格，此辍蔽 健在o 1 e v 的范围，处于红外区) ，而光予，其能量没有上限值，在声予场中，离 散的原子晶格和重原子导致了有限的零点涨落，而在光子场中连续的光子模式和 零质量的光子会窍发教的零点涨藩 t 3 ，1 4 ，l5 】。 光子和声予的色散关系具有定性的差异，在自由空间中，光子有线性色敞 关系。露声予爨有复杂熬j 线搀色鼗关系，一般其毒几个声学支彝竞学支。声学 支在第布里渊区中心即k = 0 点是线性的。当准波矢k 接近于第一布星渊区边 界，w 趋于傀和。声予酶光学支有不同的描述，在k = o 辩近w = w o ，当k 增船时， w 减小。事实上，光学支声子爨数关系出于最掇结构的不同将会变雩导更为复杂。 与光子嶷有较为简单的色散关系相比，声子的非线性色散关系使得能量和动量守 毽定德缀难嗣辩灌是。 晶格亲和能的量级决定了声子具有较低的能量。而且声子容易和其它具有 相近能蹩的激发形式稳鞴合，纂至在低溢下，逐翕被蒸力学涨落莸动。众多静藕 合形式，使声子动力学耗散且商强烈的褒减，所以相干声子的寿命很短( 光学声 子邯，对声攀声子略长) 。假存在一魑材料，光子可以以很小的耗散传播，茄 外激光缆可瑷产生 嚣长熬麦子稻子嚣李润。 总之，声子和光予的差异使得适阁于量予光学中的思想不定适用于声子 系统。例如，蚕 的声予腔蟊蘸并不存在，所蔽对声子模的选择裁菲誊戮难。对予 声子模我们几乎总是作连续化处理。而且，很短的声予寿命和生子的强耗散环境 也使得问题交樽复杂 3 2 ，3 3 】。 裘l 列出了声子和光子的区别。 中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 t a b l e1 ：c o m p a r i s o no fs e v e r a lp h y s i c a lp r o p e r t i e sa n dp h o n o n 声子光子 玻色子类型第二类复合玻色子简单玻色子 传播介质离散连续 相互作用有存在于非线性介质中 质量有 无 宏观描述弹性连续区波方程m a x e l l 方程 微观描述 s c h r d d i n g e r量子电动力学 简正模每一k 有3 p 个模式每一k 有2 个模式 色散限制于第一布里渊区真空中不色散： 波矢k 的限制 w = w ，k任意 线性动量消失非零 自旋没有意义 s = l 2 2 声子相干态 具有准动量p = h q 和能量5 舭= h w 舭的声子( 五为分支下标) ，相应的产生 和消灭算符满足玻色对易关系 畋”6 + 】= 一占肌【6 ， _ 0 ( 2 8 ) 晶格原子位移u ，。为 u 矿丽1 妥n u 辚”r ( 2 9 ) 其中r 。为晶格位移算符位置，口值特定的方向，讲为声子简正模算符， 鲥= 压( ” ( 3 0 ) 没有声子激发时，晶格处于声子真空态i o ) ，简谐声子哈密顿量的本征态是粒子态 满足6 ，l ) = i h 。一1 ) 。声子数和原子振动的相位是共厄量，声子数是确定的 中国科学技术丈学硬士学位论点 1 6 由不确定原理，其相位是任意的，这对任意粒子数态j n 。) 都成立。所以在某数态 下，舔子位移的期望德 眵。k ) ： ( 3 1 ) 单模( q ) 声子相干态是声子消灭算符的本征态 b q 岛) = 鼠旧) ( 3 2 ) 当然声子糯于悉也可良由声予位移算符d q ( 尻) 作藤在粪空态上产生 | 岛) 。吼( 反) 1 0 = e x p ( 筘。6 ；一或6 ，) 卅毕砉静) ， 即声予相干态是粒子数态的相位相干疆加，而且相干态同真空态一样，是一组无 蟆声兹最，l 、不确定态，也是一缝穰驽遮接述了经冀 警缀子豹鐾子态。 2 3 声子压缩态 戈了壤豢子噪声城毒囊 蔻予零点涨落款承平，鬻要考惑孝子压缝态，垂交 的压缩态是推广的相干态。与相干态相比，魇缩态可使其中个正交的变量嫩有 更小瓣涨落，缓嚣会减小噪声。量子力学中载淤不毽关系裁燕囊空涨落匏藩戮， 任意一不对易的共厄爨，其涨落满足不等式 l a 一b 音| f 爿，嚣】| ( 3 4 ) j r - 扶式中可疆囊毽，两个荚厦爨敬涨落跫彼此溅涨豹。聪臻态黢产生委跫攫撂这缮 的原理，即用一个量的涨落的扩张，换取另一量起伏的压缩。单模的产生于真空 态懿声予嚣缭态为： i 口。，毒) = d q ( 口，) 瓯( 钊o ) ( 3 5 ) 两模的正交声予压缩态为 中国科学技术土学硕士学位论文 1 7 a 叮1 ，口。2 ，善) = d q 。( 盘。，) d ，2 ( a 。2 ) s 叮l ，2 ( 善) l o ) 其中d q ( a 。) 是相干态的位移算符，= l a 。l e 2 + 是复压缩参数， (伊exp(争2sq一) ( f ) = e x p ( 6 。一等6 ；2 ) s q l , q 2 ( f ) = e x p ( f b 。b q ：一j 噱) 分别是单模和两模压缩算符f = r e ”是复压缩因子，r 0 ，0 0 7 3 二能级系统 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 在有关光的产生和探测的实验中，要涉及到电磁场与原子的相互作用；在原 子系统的耗散研究中，要涉及环境对原子系统的影响，因此光与原子，原子与环 境场的相互作用，在众多的实际问题中都有应用 3 4 3 6 】。如用全量子理论处理这 一类问题时，由于其中原子系统本身的复杂性使得此类问题很难处理。不失一般 性，我们先从多能级系统中一类较为简单的模型二能级系统出发展开讨 论，其虽然简单，但也包含了众多的物理信息，而且大量的实际问题就是源于二 能级原子模型。所以在目前的研究中，我们先从二能级系统出发，讨论一系列物 理问题。 3 1 原子态算符和原子跃迁算符 原子一场系统的h 量可以写为： h = h o + 日r + h ，( 3 9 ) 式中的三项分别代表原子、场和相互作用部分的h 量。设日。的本征态为1 i ) ，相 应的本征值为壳w ，其本征方程可写为： 中国科学技术大学硕士学位论文 1 8 日。l i ) = h w 。| f ) 于是可以得到： 。= h w ，l i ) ( i ( 4 0 ) ( 4 1 ) 仿照光子的产生、湮灭算符，也可以用原子态的产生、湮灭算符来表示l f ) ( f 。定 义6 7 和b ，分别为原子态i f ) j 匀产生和湮灭算符。于是算符l f ) ( ，i 可以表示为 6 7 e = 愀， 则式( 4 1 ) 司燹为 日。= 眺s ? 骞( 4 2 ) 而h 。为辐射场的h 量： 日。= a w 。( 筋毛+ i 1 )( 4 3 ) 原子和电磁场的电偶极相互作用，用二次量子化记号表示为： e = 詈莩莩( 等) j 。色( & z e x p ( 一f w 棚一酊e x p ( f w 棚) 酽t( 4 4 ) 在大量的实际问题中，会碰到双能级原子模型。即其状态为1 1 ) 和j 2 ) ，能量为t i w 和h w ，。这时互作用h 量为 h ，= f 始。( 毛e x p ( 一i w 。f ) 一筋e x p ( i w 。f ) ) ( 6 j 6 2 + 珏)( 4 5 ) 式中g 。为耦合系数。 将式( 4 5 ) 中的括号展开后，可以得到四项，每项代表一个相互作用过程。将 其作用到一个确定的初态，可得到一确定的末态。这四个过程在图1 中表示出来。 图中黑点代表相互作用；直线表示原子态；波线代表光子。指向黑点的箭头表明 一个原子态或光子消失，而从黑点出来的箭头表明一个原子态或光子的产生。图 中右方代表初态，左方代表末态。 中国磺学技术文学硬辔学位论文 1 9 h w i 。图1 1 ( b ) 代表原子吸收个光子， 原子从f 1 ) 跃迁至1 2 ) ；( c ) 贝u 代表了相反的过程，即原子从态f 2 ) 跃迁至态m ，同时 释教密个老- 7 ：；磊( a ) 鞠( 代表豹是事实上不搿戆发生翁过程，蠢为它髓速营了 能量守恒定律。在某些离阶辐射过程中的相互作用h 量中可能会包含这种能量不 守僵静项。在这些过程中，中闯态可畿会违反筑量守篙定律，懿是最终仍傈持能 攫守恒。通常略去( a ) 和( d ) 两种情况，我们称之为旋转波近似( r o t a t i o nw a v e a p p r o x i m a t i o n ) 。 在稠互l 乍用攒量式( 4 5 ) 中还包含有时闽因子，在电偶掇近似下波动方程为： a 圩。+ h ，( r ) 抄( ，) = 腕鼍( r )( 4 6 ) 州 式中，。不显含时间，而耳，含有时间。这时因为电场嚣与时闷有关。实际上式 f 4 6 ) 是一个混会凌象筑袋达式，琢予部分在类藜定谔表蓉孛，缀之与算稽与射阔 无关；辐射场部分则在类海森堡表象中，算符与时间有必。这个计算带来了不便。 下蠢将怒墨回辩辩阉瓣依赣关系去捧，统一转掰薛定谔表蒙中去。麓诧，定义 一个掰豹波函数多8 ) ，它与骧卷豹波函数的关系必 中国科学技术土学硕士学位论文 2 0 = e x p ( 一i h f r t ) 式中疗。为辐射场的h 量： 膏。：a w 。( 舀。+ i 1 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 将式( 4 7 ) 代入( 4 8 ) ，给出 ( 也+ 州f ) ) e x p ( + 宰) ) = i h e x p ( i h r r t 儿丁i h r 她) + 昙0 ) ( 4 9 ) 门n九 l , ne x p ( 一型掣) 左乘式( 4 9 ) 的双方，得 九 疗。+ 曹。+ e x p ( 一1 i h _ r t ，q ( f ) e x p ( 字) ) = 访昙妒( r ) ( 5 0 ) nn凹 这里用到了疗。与膏。的对易性。利用关系式 e x p ( 一i h _ r t j 日 ，o ) e x p ( i h ：一r t ) ：疗，( o ) n门 式中的疗，可以令式( 4 4 ) 中的，- 0 ，从而消除了对时间的依赖，化为 膏，：等( 尝) i 乞d 。( 毛一芯) 酽6 ， o i“ l ( 5 1 ) ( 5 2 ) 在回到双能级原子的情况，把问题进一步简化。引入原子跃迁算符，或简称 跃迁算符。 君+ = 霹巨= | 2 ) ( 1 蠢= 6 j 6 ：= 愀2 i ( 5 3 a ) ( 5 3 b ) 疗+ 表示从基态1 1 ) 跃迁至激发态1 2 ) ，而君则代表其逆过程。若定义原子的下能级 1 ) 为能量的原点，则原子的h 量可以表示为 螽o = 晰。霹s l = h w o 蠢c + 龛 ( 5 4 ) 中国科学技术文学硕辔学位论文 2 1 原予与辐射场相互作用h 量式( 4 4 ) 化为 蠹，= i y g ；( 鑫。五：) ( 彦+ + 彦) 于燕在辐射场中的双能缀原子的总h 量为 摩= 蠢。+ 雪。+ 毫= 女彦+ 量；蛾( 鼓颤+ 圭) 村；姆。( 氟) ( 毋+ + 彩 3 2 用泡利矩阵算符表示双能级原子算符 ( 5 5 ) ( 5 6 ) 月2 2 羚矩阵表示双熊级艨子豹态算符和跃迂簿籀是秘缀直观的方式。倒 翔瑟子态霹潋表示戒裂矢量： 1 2 ) = 嘲= o 原子态算符可以化为矩阵： 螨牛凇眯确 跃i 乏算符为 o 拈t 2 搀邙：习 蚓啖2 l = ( 5 7 ) ( 5 8 - a ) ( 5 8 南1 ( 5 9 a ) ( 5 9 七) 容易验证，这些矩阵都可通过泡剥矩晦，或泡利算符柬表示。泡利矩跨为 咿嘲 旷一 ( 6 0 a ) ( 6 0 f b ) 中国科学技术太学硕击学德论文 2 2 f i 01 吒2 l 0 1 j 漶葶| l 垂旋转鑫冀德凳 小- 1 2 ( c r = + c r y ) = n d 一= i ( o - c r y ) = 醐 比较( 5 2 ) 葶鞋( 5 4 ) 可哭 疗+ = 盯+ ，君= 盯 予是公式( 4 9 ) 豹h 爨，对肇模场来说纯为 叠= h w o c r + 一+ 矗w ( 鑫+ 盆+ = 1 ) + i h g ( f i 一鑫+ ) ( 矗+ + f 一) ( 6 0 c ) ( 6 1 a ) ( 6 1 奄 ( 6 2 ) ( 6 3 ) 为表示更对称化，一般将原子能级的能量原点选崧两能级的中点，如图2 所示。 这样一采，上能缀靛能量为；瓤。，两下畿缀为一l h w 。强中位予上下麓级中闻 的康线表示零点能的位嚣。 a i n w o 。 i 童一6 f i g2 双能级艨子的能级图 原子部分的h 量变为 珂。= 圭矗w o i ：o 。 一j ta w 。 ： = 圭h w o c r ：= w 。蠢： 予跫式遴一步霹表示为 宣= - - 1 27 1 w o o + a w ( 舀+ 卉+ 互1 ) + 搬( a 一舀+ ) p + + 仃1 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 2 3 3 3j - - c ( j a y n e s c u m m i n g s ) 模型 二能级原子与玻色系统相互作用的简单模型在物理的各个领域都有研究。如 果玻色系统中只有一种模式，这样的模型就是拉比模型或j a y n e s - - c u m m i n g s ( j - - c ) 模型 3 7 ，其中j - - c 模型就是作了旋波近似后的拉比模型。这两个模型在 量子光学和量子噪声等的研究中有许多的应用 3 8 - 4 1 。 j - - c 模型是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器( m a s e r ) 时提出的， 由单个二能级原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想 模型，它是描述原子与光场相互作用的一种理想模型。由于这一简单的模型成功 的揭示了光场与原子作用的诸多非经典效应，如拉比( r a b i ) 振荡的崩塌与回复， 光场与原子算符的压缩，光子的反聚束与压泊松分布等，近年来它已经引起了人 们的极大兴趣。 原子和场系统的h 量由式( 6 5 ) 给出，经过旋转波近似之后，可以写成 h = h o + v = w o k ：十w h + a + g ( 君+ 6 + a + 寿)( = 1 ) ( 6 6 ) 为了简单起见，这里取自然单位a = 1 。 当原子和光场没有耦合时，我们有完备的基矢集，它是辐射场的粒子数态集 n ) 和原子能量本征态 + ) ，| 一) ) ( 或 2 ) ，1 1 ) ) 的直积。利用此完备基矢集可以把 原子一光场耦合系统的任意态矢展开，我们看到 疗o l ，行) = ( w o 硝：+ w a + d ) i ，n ) = ( w n w o 2 ) 1 - + ，以) ( 6 7 ) 式中l ，n ) 描述辐射场具有1 3 个光子而且原子处在本征能态l ) 。显然对应于本征 态矢i ，月) ，h 。有本征值( w n w o 2 ) 。因此，日。在此表象中是对角化的。而且 还可以看到，当w 0 = w 时，除了基态1 一，0 ) 为单层以外，其它各能级均为双层简并。 可是，当a w = w w 0 0 时，基态能级j 一，0 ) 仍为单层，其它各能级则为相距a w 的 双层能级，此时简并被解除。然而i ，n ) 不是相互作用哈密顿量v 的本征态。但因 为日。与v 对易，我们可以通过选择上的本征态矢的线性组合而找到两者都对角 中国科学技术土学硕士学位论文 2 4 化的表象。 为此，先把在基矢集 ，n ) ) 构