（电路与系统专业论文）混沌通信中的关键技术研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要1 摘要 混沌是一种普遍存在于非线性系统的具有确定性和类随机特性的动力学行 为。混沌通信、混沌控制以及混沌生命科学己经成为混沌的主要应用领域，具有 广泛的应用前景。本论文紧紧围绕混沌通信这一主题，以非线性系统理论和现代 通信理论为基础，将混沌优良的特性应用于通信系统中，重点研究混沌通信中混 沌相关同步、改进的f m - d c s k调制方式、最佳混沌序列设计、v d - r a k e 接收机 以及基于流形分解的混沌信号与噪声的分离算法等关键问题。由于混沌通信系统 为非线性系统，因此，采用非线性系统理论进行分析。本文的主要工作内容和创 新如下: 1 , 混沌同步是混沌通信的基础和前提， 是通信成败的关键。 本文的第二章讨 论了三种混沌同步的方法。首先，描述了混沌主从同步的原理，推导出了产生混 沌的条件和主从同步的条件，计算机仿真结果证明了理论的正确性。其次，给出 了混沌藕合同步的原理，利用一个藕合同步的实例说明，藕合同步较主从同步简 单可靠，具有对噪声干扰的鲁棒性。最后，讨论了 在数字混沌多址通信系统中同 步方法，即相关同步法，提出了阐 值同步法， 给出了ic j 值的计算方法， 计算机仿 真结果表明，同步的可靠性，同步时间减少了5 0 %. 2 、 本文第三章给出两种性能较好的数字键控通信方式。 基于q p s k的思 想， 引 入q c s k调制方式， 利用h i l b e r t 变换对正 交且能量守 恒的 特性， 有效 减小了 系 统输出的方差， 较d c s k系统， 传输速率提高一倍， 系统误比特率与d c s k系统 相近。 减小d c s k系统输出方差的另一种方法是引入了f m- d c s k复合调制。 将 振幅随机变化的混沌信号变为频率随机变化而振幅恒定的混沌f m信号，降低了 系统的误比特率。改进的f m- d c s k系统是在每一个参考信号的码片后，连续传 输两个或多个信息比特，增加了传输速率，使得f m- d c s k系统的性能得到了进 一步的改善。在多径传输的条件下，改进的 f m- d c s k 系统的性能也优于 f m - d c s k系统的性能。可见，这种改进是有意义的，而且易于实现。 3 、 本文的第四章分析了混沌序列的各种统计特性， 着重研究混沌序列作为混 沌扩频序列在 d s -c d ma系统中的抗扰性能，对不同的混沌扩频序列和典型的 扩频序列进行了仿真，从仿真结果中可知，馄沌扩频序列的性能可以与典型的扩 频序列媲美， 经过优化设计的混沌序列特性优于典型的扩频序列; 在混沌序列中， c h e b y s h e v 混沌序列 ( k等于3 .7 . 1 1 . 时) 是最佳序列之一。 在此基础上， 根据 文献 8 8 的思想， 给出了 基于墒理论的最佳扩频序列设计方法和基于最小误比 特 率的最佳扩频序列设计方法，理论分析和设计与计算机仿真结果相符， 对混沌序 列应用到c d ma系统中具有一定的参考价值。 4 、本文的第五章讨论了混沌多址通信的关键问 题，从系统优化的角度出发， 混沌通信中的关键技术研究 将影响d s - c d ma系统在多径传播条件下的传输性能的三个主要因素结合起来考 虑，在系统误比特率最小的条件下进行优化。文中给出了优化算法和优化结果。 针对接收 信号 功率变化的 情况， 采用文献口 0 5 中 变步长的 思想， 提出了 变步长 d - r a k e 检测器， 克服了原d - r a k e 检测器对接收信号功率较敏感的 缺点，进一步 地改善了系统性能。 5 、 本文的第六章主要介绍了基于流形分解的混沌信号与噪声分离的方法 利 用这种方法作者对一维动力系统产生的混沌信号进行了研究，特别是对与帐篷映 射拓扑同构的一类混沌映射的去噪得出通用的方法。基于流形分解的混沌信号与 噪声分离的方法对低维混沌信号比 较有效。投影定理是我们处理高维混沌信号与 噪声分离的理论依据。求解由 投影定理描述的方程，本文选择的最小二乘法。投 影的方法不仅适用于加性噪声，而且对动力系统噪声也是有效的。实验结果表明 去除噪声的效果十分有效。 关键词:混沌通信，阐 值同 步，改进f m- d c s k ; v d - r a k e ，流形分解 论文类型:应用基础 摘要i i i a s t u d y o f ke y t e c h n i q u e s f o r c h a o t i c c o mmu n i c a t i o n ab s t r a c t c h a o s , a r a n d o m y e t d e t e r m i n i s t i c p r o c e s s in n o n l i n e a r d y n a mic a l s y s t e m, i s w i d e l y u s e d i n a r e a s s u c h a s c h a o t i c c o m m u n i c a t i o n s , c h a o t i c c o n t r o l a n d c h a o t i c l i f e s c i e n c e , a n d m a n y o t h e r s . t h i s d i s s e rt a t i o n , b a s e d o n t h e t h e o r i e s o f n o n l i n e a r d y n a m i c s a n d m o d e m c o m m u n i c a t i o n s , a n d w i t h a n a i m t o a p p ly t h e e x c e l l e n t c h a o s c h a r a c t e r i s t i c s t o t h e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m t o e ff i c i e n t l y i m p r o v e i t s p e r f o r m a n c e , f o c u s e s i t s s t u d y o n c h a o t i c c o r r e l a t i o n s y n c h r o n i z a t i o n , e n h a n c e d f m - d c s k m o d u l a t i o n , o p t i m a l c h a o t i c s e q u e n c e s d e s i g n i n g , v d - r a k e r e c e i v e r a n d a r i t h m e t i c s e p a r a t i n g o f c h a o t i c s i g n a l s a n d n o i s e . a s a n o n l i n e a r s y s t e m , t h e c h a o t i c c o m m u n i c a t i o n s y s t e m w i l l b e a n a l y z e d o n t h e n o n l i n e a r s y s t e m i c t h e o r y . t h e r e s t o f t h e d i s s e rt a t i o n w i l l b e a r r a n g e d a s f o l l o w s . i n c h a p t e r 2 , t h r e e c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n w a y s a r e s u r v e y e d . f i r s t , t h e p r i n c i p le o f c h a o t i c d r i v e - r e s p o n s e s y n c h r o n i z a t i o n i s i n t r o d u c e d , a n d t h e c o n d i t i o n s o f c h a o s a n d s y n c h r o n i z a t i o n o f d r i v e - r e s p o n s e s y s t e m s a r e d e r i v e d . t h e n , t h e t h e o r y o f c h a o t i c c o u p l e d s y n c h r o n i z a t i o n i s p r e s e n t e d . c o m p u t e r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t c o u p l e d s y n c h r o n i z a t i o n i s m o r e s i m p l e , c r e d i b l e , a n d m o r e r o b u s t t o n o i s e t h a n c h a o t i c d r i v e - r e s p o n s e s y n c h r o n i z a t i o n . f i n a l l y , t h e s y n c h r o n i z e s c h e m e s f o r d i g i t a l m u lt i p l e - a c c e s s c o m m u n i c a t i o n , c a l l e d c o r r e l a t i o n - b a s e d s y n c h r o n i z a t i o n , i s d i s c u s s e d . t h r e s h o l d v a lu e s y n c h r o n i z a t i o n i s p r o p o s e d , a n d a n o v e l m e t h o d t o s u rv e y t h e t h r e s h o l d - v a l u e i s d e s c r i b e d . c o m p u t e r s im u l a t i o n s s u p p o r t s t h e c r e d i b i l it y o f s y n c h r o n i z a t i o n , w i t h t h e t i m e n e e d e d f o r s y n c h r o n i z a ti o n r e d u c e d b y 5 0 %. i n c h a p t e r 3 , t w o r o b u s t n o n c o h e r e n t c h a o t ic d i g i t a l m o d u l a t i o n s c h e m e s a r e i n d e t a i l d e s c r i b e d . q c s k m o d u l a ti o n , w h i c h i s b as e d o n t h e i d e a o f q p s k , i s i n t r o d u c e d . b y u t i l i z i n g t h e m a i n a d v a n t a g e s o f o r t h o n o r m a li z a ti o n a n d p o w e r c o n s e r v a t i o n f r o m h i l b e r t t r a n s f o r ma t i o n , i t i s f o u n d t h a t b i t e r r o r r a t e i s c l o s e t o t h a t o f d c s k s y s t e m, b u t t r a n s m i s s i o n s p e e d i s o n e ti m e h i g h e r t h a n t h a t o f d c s k s y s t e m , a n d t h e s y s t e m s o u t p u t v a r i a n c e i s e f f e c t i v e l y r e d u c e d . a n o t h e r m e t h o d t o r e d u c e t h e b e r o f t h e d s c k s y s t e m i s t h e f m- d c s k m o d u la t i o n . c o m p a r e d w i t h d c s k m o d u l a t i o n , t h e f m- d c s k m o d u l a t i o n c h a n g e d t h e c h a o t i c s i g n a l s w i t h r a n d o m m a g n i t u d e in t o t h e s i g n a l w it h c o n s t a n t m a g n i t u d e a n d r a n d o m f r e q u e n c y , t h u s t h e s y s t e m i c n o i s e p e r f o r m a n c e i s a c h i e v e d . i n e n h a n c e d f m - d c s k t e c h n i q u e , i n s t e a d o f t r a n s m i t t i n g o n l y o n e i n f o r m a t i o n - b e a r i n g s i g n a l a ft e r t h e r e f e r e n c e s i g n a l , n b i t s w i l l b e t r a n s m itt e d u s i n g t h e s a m e r e f e r e n c e a n d t h e d a t e r a t e i s i n c r e a s e d . t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m u s in g e n h a n c e d f m- d c s k t e c h n i q u e i s e v a l u a t e d i n c o n t e x t o f n o i s e , m u l t i p a t h c h a n n e l s . i n c h a p t e r 4 , t h e p e r f o r m a n c e o f as y n c h r o n o u s s y s t e m s w i t h m u l t i l e v e l s p r e a d i n g i v 混沌通信中的关键技术研究 c o d e s b a s e d o n p e r i o d i c a l r e p e t i t i o n o f q u a n t i z e d c h a o t i c t i m e s e r i e s i s p r e s e n t e d , f o c u s i n g o n t h e d s - c d ma s y s t e m s . s o m e c o m p u t e r s im u l a t io n s f o r f o u r k i n d s o f c h a o s - b a s e d s e q u e n c e s a r e g i v e n t o e x a m i n e t h e r e s u l t s t h a t c h a o s - b a s e d s e q u e n c e s o u t p e r f o r m t h e c l a s s i c a l s p r e a d i n g s e q u e n c e s ( m a x i m u m - l e n g t h a n d g o l d s e q u e n c e s ) a n d t h e c h a o s - b a s e d s e q u e n c e s f r o m t h e c h e v b y s h e v m a p s ( k = 3 , 7 , 1 1 ) i s t h e b e s t a m o n g t h e m . a s t h e r e s u lt o f t h e s e o p t i m i z a t i o n e ff o rt , t w o d e s i g n m e a n s t o w a r d s e q u e n c e s o p t i m i z a t i o n a r e o b t a i n e d , i n w h i c h o n e i s b a s e d o n t h e e n t r o p y t h e o ry , t h e o t h e r i s o n m i n i m i z i n g t h e a v e r a g e p o s s i b l e e r r o r . t h e d e s i g n r e s u l t s a r i s e f r o m t h e s i mu l a t i o n s . s o m e k e y t e c h n i q u e s f o r c h a o s - b a s e d d s - c d ma s y s t e m s a r e s t u d i e d i n c h a p t e r 5 . s y s t e m i c o p t i m iz i n g i s a c h i e v e d b y c o m b i n i n g t h e t h r e e m a i n p a r t s r e s p e c t t o s y s t e m i c p e r f o r m a n c e u n d e r t h e c o n d i t i o n s t h a t t h e b i t e r r o r r a t e i s m i n i m i z e d . o p t i m i z i n g a r i t h m e t i c a n d o p t i m i z i n g r e s u lt s i s s h o w n . wi t h t h e n o t i o n o f v a r i a b l e s t e p - s i z e i n r e f e r e n c e 1 0 5 , a v a r i a b l e s t e p - s i z e d e c o r r e l a t i n g r a k e d e t e c t o r , w h i c h i s r o b u s t a g a i n s t t h e v a r i a t i o n o f t h e p o w e r o f r e c e i v e d s i g n a l s , i s p r o p o s e d . t h e s y s t e m c h a r a c t e r i s t i c w i t h v d - r a k e i s m u c h b e tt e r t h a n t h a t w i t h d - r a k e . f i n a l l y , in c h a p t e r 6 , t h e n o i s e r e d u c t i o n m e t h o d s b a s e d o n m a n i f o l d d e c o m p o s i n g f o r c h a o t i c c o m m u n i c a t i o n s c h e m e s a r e d e s c r i b e d . t h e a r i t h m e t i c o f f i l t e r i n g n o i s e f o r c h a o t i c s i g n a l s g e n e r a t e d b y 1 - d i m e n s i o n d y n a m i c a l s y s t e m n o i s e i s p r e s e n t e d , a n d t h e c u r r e n t m e t h o d o f f i l t e r i n g n o i s e f o r o n e k i n d o f c h a o t i c s i g n a l s g e n e r a t e d b y t h e c h a o t i c m a p s w h i c h i s t o p o l o g i c a l c o n j u g a t i o n w i t h t e n t m a p s i s o b t a i n e d . c h a o t i c s i g n a l s g e n e r a t e d b y l o w - d i m e n s i o n s d y n a m i c a l s y s t e m s a r e a v a i l a b l e . t h e p r o j e c t i o n t h e o r e m i s t h e t h e o ry f o u n d a t i o n t o r e d u c e n o i s e f o r h i g h - d i m e n s i o n d y n a m i c a l s y s t e m s . t h e l e as t - s q u a r e s o l u t i o n i s t h e s c h e m e s t o s o l u t e t h e e q u a t i o n s d e s c r ib e d w i t h p r o j e c t i o n t h e o r e m. t h e w a y o f p r o j e c t i o n i s e f f e c t i v e b o t h f o r a d d i t i v e n o i s e a n d f o r d y n a m i c a l s y s t e m n o i s e . k e y wo r d sc h a o t i c c o mmu n i c a t i o n e n h a n c e d f m- dc s k t h r e s h o l d - v a l u e s y n c h r o n i z a t i o n v d - r a k e ma n i f o l d d e c o m p o s i n g 独创性 ( 或创新性)声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。 尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外， 论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果; 也不包含为获得西安电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名月 才 灵 ，日 期 又 0v 叉久 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即:研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。 本人保证毕 业离校后， 发表论文或使用论文 ( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为 西安电 子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文; 学 校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保 存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在_ 年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 日 期 a 3 . 9 . / 日 期 a oq 3 . y 1 第 1章绪论 第 1 章绪论 虽 1 . 1 引言 以牛顿力学为基础的线性化理论强调线性、 有序、 单一和决定性。 长期以来， 人们一 直采用线性理论来处理绝大多数非线性工程问题，并在一定范围内可以得 到满意的结果，然而却是以忽略实际系统的各种非线性因素为代价的。随着科学 技术的发展，线性化理论的局限性越来越明显，很多实际问题利用线性化理论无 法解答，很多自 然界存在的复杂现象，例如大气流、天体运动以及杂波信号等， 无法用线性化理论加以解释。通过对一些非线性现象的研究，人们逐渐认识到实 际系统本质上是非线性的。正是非线性创造了我们五彩缤纷的世界。 1 . 1 非线性系统理论及混沌 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。就历史渊源来看，非线 ,险理论经历了一个很长的发展过程。1 8 9 2 年前后，p o in c a r e 等人创立了奇异扰动 法和相平面理论， l y a p o u n o v 提出了 运动稳定性理论。1 9 2 0年左右， v a n d e r p o l 等提出了缓变振幅法。 1 9 3 0 年前后， 非线性研究中心转移到前苏联， 并逐步建立 了“ 非线性振荡理论” d 1 。 这是 横跨天体力 学、电 子学、自 控理论、 力学和声学 等的一门新兴学科。后来，由于系统论、控制论和信息论的建立和计算机技术的 发展，上述各传统学科中分别出现了自己的非线性学科。本世纪六十年代后，相 继出现了影响力很大的耗散结构论、 协同论和突变论， 这些非线性理论强调失稳、 不可逆性、自 组织和复杂性，使很多非线性现象得到解释，再加上电子计算机和 其他有效计算手段的迅猛发展，非线性问题分别在可积系统和不可积系统的极端 方向取得了突破2 1 混沌作为非线性系统所具有的一种特殊复杂运动行为，由于其本身表现的奇 异性，引起人们的浓厚的兴趣。它所揭示的自 然界及人类社会中普遍存在的复杂 性、有序和无序的统一、确定性和随机性的统一，大大地开拓了人们的视野，加 深了 人们对客观世界的认识3 1 1 9 6 3年， 美国气象学家洛伦兹 l o r e n z ) 在大气科学杂志上发表了论文“ 决 定性的非周期流” ， 描述了 混沌对初始条件的灵敏依赖性这一基本形态，即著 名的 “ 蝴蝶效应” 。7 0 年代，混沌作为一门新的学科而正式诞生。8 0 年代，混沌 作为研究确定性非线性动力学系统无规则复杂行为的学科，是确定论和随机论联 系的桥梁，引起全球众多科学工作者的兴趣， 在物理、生物、医学、 信息、 控制、 天文、 气象和工程技术等领域得到广泛重视。 9 0年代， 人们对混沌的研究从范例 混沌通信中的关键技术研究 走向系统，并开始混沌的应用研究。这些学科的研究表明，混沌在现代科学技术 中 起 着 十分 重要的 作用。 正 如混 沌科 学 倡导 者 之 一， s h l e s i n g e : 所说 5 6 “ 二 十 世纪将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学和混沌。 ” 在自 然界，i 昆 沌现象是普遍存在的，几乎可以说，自 然界存在的绝大部分运 动都是混沌运动，规则运动相对只在局部的范围和较短的时间内存在。从数学的 角度上看，如果以系统方程的结构和参数为轴构造一个空间，那么，这个空间的 绝大部分都是不可积的，都具有混沌运动。从客观实际中看，在广义相对论的宇 宙学中，小行星带和流星，地磁场的反向运动，化学反应，人体的心肌运动和脑 电波中， 都存在着混沌运动7 混沌是确定系统中由于内禁随机性而产生的一种外在复杂的、貌似无规则的 运动。混沌由 确定系统产生，由于其具有对初值的灵敏依赖性，使得混沌系统的 长时间行为表现出随机性。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在 混沌的模型中， 它可能包含着无群的内在层次， 层次之间存在着“ 自 相似性” ， 混 沌行为的归宿是奇异吸引子，即分形。分形是描述混沌运动的几何语言。 扒. 2 混沌理论研究的 方法与 进展 县 1 . 2 . 1混沌的 描述 一般来说，自 然界中系统行为随时演变的过程主要可分为以下5 类: 1 、纯随机运动，如，抛硬币; 2 、完全确定的过程，如，经典力学中的二体问题; 3 、受随机波动影响的确定过程，如， 水中花粉的b r o w n i a n 运动; 4 、确定系统中的类似随机行为， 这就是我们要考虑的混沌行为; 5 、外界噪声诱导的混沌过程。这也是我们要考虑的混沌行为，必须提供正 确区分混沌和噪声的方法。 经典力学中，系统的运动可以用相空间中的轨道表示其运动方程。如果方程 不含随机项， 它描述的是一种确定性的运动。混沌运动是确定性运动中局限于有 限空间的高度不稳定运动 ( 所谓高度不稳定是指近邻的轨道随时间会按指数分 离) 。 由 于这种不稳定性， 系统的长时间行为会显示出 某种混乱性。 大部分耗散系 统长时间行为会表现出这种混乱性，即混沌。 混沌在数学上的定义有很多形式，一般情况下，这些定义在实际操作中都不 易验证。在这里，我们给出一个容易理解的定义: i 定义1 . 1 :设v为一个集合，f : v v 为在v 上是混沌的， 如果: 1 、f 对初始条件具有敏感依赖性; 第 1章绪论3 2 . f是拓扑传递的; 3 . .f 的周期点在v中稠密。 一个物理现象，观察它对初始条件敏感依赖性看似简单，但从数学上给出严 格的证明并不是一件很容易的事。特别地，从物理现象上，我们根本无法判断系 统行为的时间演变函数f 是否具有拓扑传递性和f 的周期点位置，更不用说判断 周期点在定义域中稠密。因此，从数学定义上来判断混沌在实际操作中几乎是不 可行的。 物理学家对混沌的认识更多地基于现象，根据对现象的观察，目 前已有的结 果是:发现了一批细致的现象，它们背后有一类无穷嵌套的自 相似的几何结构， 而且具有相当的普适性;建立由差分方程、 微分方程和偏微分方程描述的许多数 学模型和物理系统;己经得出若干严格的数学结果，但更多的结果是建立在计算 机实验基础上的。 由于大多数场合，描述非线性系统的是时间序列。我们可以认为离散时间序 列是由差分方程描述的映射产生。由 微分方程、偏微分方程描述的周期驱动的系 统产生的连续信号，可用 p o i n c a r e映象，通过分频采样来实现连续信号离散化， 然后再用局部线性模型来逼近原混沌系统模型。针对时间序列，我们将上面对混 沌所下的定义修改为:一个有界且至少有一个正的李氏指数的确定性系统是混沌 的。用数学准则描述的定义为: 1 、系统是有界的; 2 、系统有一个维数有限的吸引子; 3 、系统至少有一个正的李氏指数; 4 、系统是局部可预测的。 第一条准则一般都能满足，因此，判断时间序列是否为混沌主要考虑后三条 准则。吸引子的维数主要采用相关维数来描述。对于一个混沌系统， 相关维数指 出一个时间序列重构动态系统所必须的最小自由 度。白噪声的相关维数是不收敛 的。李氏指数入 这一概念反映了系统的轨线在状态空间中不同方向上被压缩和拉 伸的性质。当系统中 存在奇异吸引子时，其最大李氏指数一般大于 。 。 系统的局 部可预测性可以采用全局近似或者局部近似的方法，不管用哪种近似方法，都牵 涉到一个预测区间问题。到底预测误差多小，可预测区间多大才算具有局部可预 测性，用上述准则可以有效地将混沌和噪声、确定性信号区分开来。对于周期信 号、准周期信号、混沌和白 噪声进行的部分实验结果表明，只有混沌信号同时满 足混沌的三条判断准则。白噪声是不可局部预测的，一般的确定信号没有一个正 的李氏指数。 混沌通信中的关键技术研究 扒. 2 . 2奇异吸引子 及其几何特性“ ) 1 、奇异吸引子 【 定义1 .2 假设a为 动力学系统i s = f ( x ) 相位空间的一个闭子集，如果a满 足以下条件，则称 a为奇异吸引子: ( 1 ) a是不变的:x ( o ) e a = v t o ,x ( y ) e a . ( 2 ) a对初始条件的开集具有吸引力: 存在一个开 集u , a 二 u , x ( 0 ) e u 意味着: l i m i n f l lx ( t ) 一 a l卜 a e a l = 0 ( 3 ) a为最小的:如果b ca , b # a 意味着b至少不满足 l , 2 两个条件之 ( 4 ) a上的轨迹对初始条件灵敏依赖。 奇异吸引子的几何性质一般用分维表示，工程上常用的有 h a u s d o r ff维和相 关维等。我们以著名的l o r e n z 系统为例来加以说明。 “引、认、 图 1 - 1 l o r e n z 吸引子在x -z 平面上的根轨迹 例 1 . 1 统方程为: l o r e x二 二 y = n z 系统 z : 二 6 ( y - x ) r x一y一x z x y 一 b z 由e d w a r d l o r e n z 在1 9 6 3 年研究大气对流时发现， 其系 ( 1 . 1 ) 式中，。 二 1 0 , b 二 8 / 3 , r = 2 8 。 方程中， 虽然只有两项非线性项， 方程的解却 惊人复杂。图 1 - 1 给出了l o r e n z 吸引子在x -z 平面上的根轨迹。图中的交叉是 因为三维立体图形在二维平面图中显示的结果。在线性系统中，系统运动的轨迹 或者被吸引到固定点上，或者被吸引造一个封闭的曲线上，对应于恒定的和周期 的输出。然而，在混沌系统中，系统是非线性的，其轨迹可以被吸引到或限制在 一定的相位空间，而永远也不会产生恒定的或周期的，甚至是准周期的输出。从 第 t章绪论5 图中可以看到，该吸引子有两个准圆环，并且几乎是对称的，在一个环形中的轨 迹上，其运动方向一定是远离这一环形，向另一环形运动。这种远离与重新插入 的运动规律是三维混沌吸引子的共同特征。 2 , h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 在欧氏空间中，点、线、面、球分别对应零、一、二、三维，还可以引入更 高维的空间，但都是整数维。对于不规则形状的图形，其维数一般为分数维。 h a u s d o r f f 从测度的角度对维数进行了定义，创立了豪斯道夫测度和维数理论。 【 定义 1 . 3 1如果 u为 n维空间 r 。 上的 非空子 集， 且 u的 直径定义为 川 = s u p l 卜 一 外x y c- 叫， 设a为 所 考 虑 的 图 形 ， 为 r 。 的 子 集 ， 如 果 u 为 有 限个直径不超过s的集构成的覆盖a的集类，即 鱿 。u间 c a 对 于 每 一 个 i， 都 有 0 0 时测量值的变化情况。对于任何一个有确定维数的几 何体，如果用与它相同维数的 “ 尺”去度量，则可得到一确定的数值m.若用低 于它的维数的 “ 尺”去量，结果为无穷大;如果用高于它的维数的 “ 尺”去量， 混沌通信 中的关键技术研究 结果为零。其数学表达式为: m( r ) 一 r - d 将上式两边取对数，可得h a u s d o r f f 维的定义。 【 定义1 . 5 h a u s d o r ff维: d x ( , ) =l i m i n m( r ) - 0 i n ( yi ) 式中s 为n 维空间的子集， m ( r ) 是覆盖子集s 所需的边长为r 的n 维立方体的 最小 数目。 h a u s d o r ff维数的优点是对任何集合均有定义， 它在理论上的意义大于实际的 应用。为了工程应用的方便，又产生了许多用于估值计算的定义，在此，只介绍 关联维。 i 定义1 . 6 关联维 l i m i n m( r ) 二 二1 1 1 1 1 r 汁 。 i n r ，n 其中，m( r ) =b ( r 一 x ( i) 一 x ( j ) i) ， x ( i) ,i = 1 , 2 , . . . , n 为 系 统 的 一 个 解 序 列 而b ( x ) 为h e a v i s i d i e 函数: b ( r 一 x ( i) 一 x ( 7 ) i) ix ( i ) 一 x ( i ) i ix ( i ) 一 x ( 7 ) 一 c x d x = e a t , ), o x 式中，.1 ( x ) 就是李雅普诺夫指数，当n - - o o , o x - 。 时， 有 叹x a ) 二 lim 生 in 门 斗. n d f , ( x o ) d x = lim 工 。 讨 厂 ，(、 )! 了 刁 ， 曰 n r = a = lim 1- 全 in l f ( x ,)l ， 一 n , - a 李雅普诺夫指数定量地描写了相空间中相邻轨迹呈指数发散的性质。李雅普 诺夫指数可能小于、等于或大于零。李雅普诺夫指数为负表明相空间体积收缩， 轨迹在局部是稳定的，系统对初始条件不灵敏。李雅普诺夫指数为零表示相空间 体积不放大也不缩小。当李雅普诺夫指数大于零时，表明系统轨迹在每一个局部 都不稳定，相邻轨迹按指数迅速分离，此时系统轨迹在整体的稳定因素作用下反 复折叠，形成混沌吸引子。因此，李雅普诺夫指数大于零可看作耗散系统出现混 沌的标志。 例 1 .2 我们利用上式计算l o g i s t i c 映射的 李雅普诺夫指数，图 1 - 3 给出了 系统参数f 在区间 ( 1 ,2 上李雅普诺夫指数的 计算结果。 1 . 5 r- - 一 一 - - 一 ， 一 一一 一一 ， ， - 一 一 一 0 _ 5 .1 0 - 0 . 5 一 1 一 1 . 5 - 2 - 一 一 一 一 一 一 一一 一 一一 一一 1 1夕1连1 r 1 5 i， 图 1 - 3 l o g i s t i 。 映射的李雅普诺夫指数 从图中可以看到， 当系统参数,u “寸 ， 李雅普诺夫指数由负值变为正 值， 并 且 在绝大多数情况下保持正值。这表明在p a 的绝大多数情况下， l o g i s t i c 映射 处于混沌状态。 混沌通信中的关键技术研究 1 . 2 . 3混沌的 研究方法和判据 目 前，判别或预告混沌存在以及研究混沌运动的方法主要有以下几种: 1 、相空间重构法。用相空间重构法可以在一定的条件下保持系统的几何特性不 变，如不动点的特征向量，吸引子的分数维数和李雅普诺夫指数等，其基本思想 是: 根 据t a k e n s 的 理 论 ， ， 假设z = f ( x ) 为 一 个n 维 混 沌 动力 学 系 统 x ( t ) 一 ( x ( t ) , x 2 ( t ) ， 一 ， x w ) ， 其 相 应 的 吸 引 子 用m 表 示 ， 对 于 任 意 的 k , l x k ( ， 十 2 z ) ， 一 ， x k ( t + 2 肛 ) 与m 微 分同 胚。 换句话说，通过一个观察量， 可以将原系统的吸引子的几何结构完整地 重构出来。 2 、 李 雅普诺夫指数方法 7 . i o n 。 李雅普诺夫 指数用来表 征系统运动相邻轨 道之间 的发散程度，即系统对初值的敏感性。 若混沌存在，则最大的李雅普诺夫指数为 正。 3 、 分 数维 吸引 子方法2 7 , 1 0 。 对耗散系统， 具 有分数维吸引 子是混沌的 重要特征。 4 、 测 度 嫡或拓扑墒方 法网 。 测度嫡或拓扑 嫡是 衡量 系统信息量 在运动中 变化的 量， 如果大于零，则认为是混沌的。 5 、 中 心 流形定 理6 ) 。 若系统的 稳定流形