（应用数学专业论文）mems静电驱动系统中非局部问题研究.pdf

摘要 在微机电系统( m e m s ) 装置设计方面，一种很重要的方法被称为静电驱动。它是 在一个电控可调电容器上进行研究，使用两个基本物理原理：静电库仑定律和弹性形 变关系。本文介绍了静电驱动的质量弹簧模型，和更一般的静电驱动结构静电弹性 系统。 本文主要讨论了带有n a v i e r 边界条件的静态平衡方程 ( n ) t , x 比一d a 2 = ! 1 一，工q ( l + 功2 ( 1 + 疋五百南出) 2 “= 0 ，a u = 0 ，工a q 该方程模拟了一个简单的m e m s 系统中的静电驱动装置，研究了该装置中带电极板在 固定边界条件下的偏转情形。 本文详细的介绍了静电驱动的数学模型，及其相应方程的推导过程；讨论 了( n ) 在d = 0 ，疋= 0 ；d = 0 ，z 0 ；d 0 ，彤= 0 ；d 0 ，z 0 这四种状态下解的存 在性，以及l 与方程解的关系。这四种状态对应着物理实验中的四种情形，基于本文 作者的理解，对这四种状态进行分析比较。本文还讨论了，当区域q 是一个单位球时， 若u c 4 ( f i ) 是方程的解，则“是径向解。并且给出了屯的一个上界估计。 关键词：微机电系统；静电驱动；吸合电压。 a b s t r a c t i nt h ed e s i g no fm i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m s ( m e m s ) d e v i c e s ，a l li m p o r t a n t m e t h o di sc a l l e dt h ee l e c t r o s t a t i ca c t u a t i o n ，w h i c hi sb a s e do na ne l e c t r o s t a t i c c o n t r o l l e dt u n a b l ec a p a c i t o r i t sb a s i cp h y s i c a lp r i n c i p l eh a st w o c o m p o n e n t s ：t h ee l e c t r o s t a t i cc o u l o m b l a wa n dt h ee l a s t i cd e f o r m a t i o nr e l a t i o n i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c et h em a s s s p r i n gm o d e l o fe l e c t r o s t a t i ca c t u a t i o n ，a n da l s oag e n e r a le l e c t r o s t a t i c a l l ys t r u c t u r e ( e l e c t r o s t a t i c e l a s t i c s y s t e m s ) i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z et h es e m i - l i n e a rn o n l o c a le l l i p t i ce q u a t i o n j丁“一。2h。：_：-：；i石南石q 【“= o ， 比= o ，z a q o nab o u n d e dd o m a i nqo fr w i t hn a v i e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i se q u a t i o nm o d e l sa s i m p l ee l e c t r o s t a t i cm e m sd e v i c ea n dg o v e r n st h ed e f l e c t i o no fc h a r g e dp l a t e si nt h ee l e c t r o s t a t i ca c t u a t o r su n d e rt h ep i n n e db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ea i mo ft h ew o r ki st od i s c u s st h ee q u a t i o nu n d e rf o u rs i t u a t i o n s ：d = 0 , x = o ：d = 0 ，z 0 ；d 0 ，y = 0 ；d 0 , x 0 w eb r i n gf o u rs i m a f i o n si n t oc o m p a r i s o na n d c o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na a n dt h es o l u t i o n so ft h ee q u m i o n a tl a s t ，w eg i v ea l l e s t i m a t eo f k e y w o r d s ： m e m s ；e l e c t r o s t a t i ca c t u a t i o n ；p u l l - i nv o l m g e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 作者签名：洼塞翊日期：塑堕：兰： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位 论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：丝幽一 日期： 塑墨：五：! 兰 导师签名 日期：金亟：垒! ! 兰 1 1 背景介绍 第一章前言弟一早刖百 m e m s ( m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m s ) 全称：微机电系统，是指对微h i 纳米材 料进行设计、加工、制造、测量和控制的技术。它可将机械构件、光学系统、驱动部件、 电控系统集成为一个整体单元的微型系统。这种微机电系统不仅能够采集、处理与发 送信息或指令，还能够按照所获取的信息自主地或根据外部的指令采取行动。它用微 电子技术和微加工技术( 包括硅体微加工、硅表面微加工、l i g a 和晶片键合等技术) 相 结合的制造工艺，制造出各种性能优异、价格低廉、微型化的传感器、执行器、驱动器 和微系统。微机电系统( m s ) 是近年来发展起来的一种新型多学科交叉的技术， 最初大量用于汽车安全气囊，而后以m e m s 传感器的形式被大量应用在汽车的各个领 域，随着m e m s 技术的进一步发展，以及应用终“轻、薄、短、小”的特点，对小体积 高性能的m e m s 产品需求增势迅猛，消费电子、医疗等领域也大量出现了m e m s 产品 的身影。 这一技术激发了无数科研人员去研究静电弹性交互作用的数学模型。用数学方 法分析这些系统开始于2 0 世纪6 0 年代末期，h c n a t h a n s o n 和他的同事做了开创性的工 作，他们实验建造了l 毫米大小的谐振栅极晶体管，早期的m e m s 器件在同一基板上 使用电子和机械部分。这种做法有很多好处，包括节省成本，提高工作效率等。不过， 即使在这个早期实验阶段，也会遇到失稳效应( p u l l i ni n s t a b i l i t y ) 。当应用电压增加超 过某一临界电压时，配置设备不再处于稳定状态，它们往往相互碰撞毁坏，导致设备 故障。这种不稳定严重地限制了范围稳定运行的许多设备。在文献 1 5 l q 了，许多谐振 第一章前言 2 装置被充分简化成一个质量和弹簧系统，该系统具有相同的共振频率，相同有效弹性 系数和带有相同电量q 。最终得到一个静电驱动的质量弹簧模型，并且第一次给出了 失稳效应的一个理论解释。 同一时期，g i t a y l o r t i 开究了两个带有相反电荷的肥皂薄膜的偏转问题，并且预言 当输入电压超过某一临界电压时，两块肥皂膜将碰到一起。由于n a t h a n s o n 和t a l o r 的 前期工作，引起许多研究者对静电驱动模型进行分析，期望对失稳效应有着更深入的 了解。 下面是本文结构： 第一章介绍了m e m s 系统的物理背景，以及一些准备知识。 第二章具体介绍了静电驱动模型及其相应方程的推导过程。2 1 节介绍了静电驱 动的质量弹簧模型，2 2 节和2 3 节构造了更一般的静电驱动结构的数学模型一静电弹 性系统，其中又分为弹性膜和弹性板问题。膜是充分柔软，只抗伸长，不抗弯曲。也 就是当它们形变时，反抗弯曲所产生的力矩都是可以忽略不计的。假如不然，在力学 上把它改称为板，这时它们的振动方程和平衡方程都要做相应的变化。 第三章是对第二章推导出的方程进行分析。讨论带有n a v i e r 边界条件的静态平衡 方程 丁h 一。2 h2 石_ ：i i i 拓工q 【比= 。，a u = 0 , - 工讹 在d = o ，z = 0 ；d = 0 ，z 0 ；d 0 ，彳= 0 ；d 0 ，彤o 这四种状态下解的存在性， 以及a 与方程解的关系。本文给出了，当区域q 是一个单位球时，若u c 4 ( 矗) 是方程 的解，则“是径向解。并且给出了以的一个上界估计。 第一章前言 1 2准备知识 3 在正式介绍静电驱动模型之前，我们先给出一些本文需要的准备知识。首先介绍 一些数学符号，和文章中用到的基本数学方法。 定义l ：双拉普拉斯或者双调和( b i l a p l a c i a no rb i h a r m o n i c ) 算子 “舢m ( 磊+ + 丢) = 喜喜南 妒-a24。_，f妒(x,。驴)工xea f l q 那么称它是方程 “-a：2u。=，f“(x：,。uh二三；二 的下解。用类似的方法定义方程( 1 2 ) 的上解。 下面介绍二阶椭圆算子 “= 一a u 一竹+ 砌 i , j = l i - - i 的极大值原理和h o p f 引理。( 在文献【6 】中) ( 1 2 ) 定理1 1 ( 弱极大值原理) 假设“c 2 ( v ) nc ( 秒) ，c 兰0 ，工q ，开区域ucr 是有 界的。 f j j假若l h50 工q ，则有m a x 0 “= m a x a u “ 例假若h 0 工q ，则有曲dh = n f i n a u 第一章前言4 定理1 2 ( ar e f i n e m e n to f h o p f sl e m m a ) 假设vcr u 是开区域，并且u c 2 ( f 0 ，c p ( 假设1 ，不恒为零，方程 墨舵。三 f j 7 j 如果p o v ，“p ) = 0 ，且y 在x o 处满足内部存在球条件，y 单位外法向量， 则 学( p ) 0 口y 例进一步，有 注：上面给出的h 叩f 引理( 文献【6 】) 中，对c 的符号没有要求，仅需c r ( 功。 下面介绍相关的物理注释： 1 泊松比是指材料的横向变形系数，即指材料受挤压或拉伸时的膨胀率或收缩率。 等于横向应变与纵向应变比。 2 弹性模量：又称杨氏模量，理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。它是 弹性材料的一种最重要，最具特征的力学性质，是物体变形难易程度的表征。用e 表 示，单位为n m 2 。模量的性质依赖于形变的性质。剪切形变时称剪切模量，用g 表示； 压缩形变时的模量称为压缩模量，用k 表示。 3 冈0 度是指物体在外力作用下抵抗变形的能力，刚度越高，物体表现的越“硬”。 对不同的东西来说，刚度的表示方法不同，比如静态刚度、动态刚度、环刚度等。一 般来说，刚度的单位是牛顿米，或者牛顿毫米，表示产生单位长度形变所需要施加 的力。各向同性材料的刚度取决于它的弹性模量e 和剪切模量q 见胡克定律) 。结构的 刚度除取决于组成材料的弹性模量外，还同其几何形状、边界条件等因素以及外力的 作用形式有关。 4 介电常数又称电容率或相对电容率，表征电介质或绝缘材料电性能的一个重要 数据，常用表示。它是指在同一电容器中用同一物质为电介质和真空时的电容的比 值，表示电介质在电场中贮存静电能的相对能力。介电常数愈小绝缘性愈好。 第二章静电驱动模型 2 1 质量弹簧模型 本节介绍了静电驱动的m e m s 系统中的质量弹簧模型( 文献【1 8 】) ，这个模型的 建立依赖于一些近似估计。首先，模型忽略了乘积式作用( g e o m e t r i ee f f e c t s ) ，如：梁 的弯曲或者薄膜的偏转。即假设系统中的平行部分在偏转的过程中依然保持平行。系 统的机械状态可以用仅依赖时间变量h 表示。当然这种理想状态很少发生。其次，第 二个假设是关于电场和系统中静电力的估计。下面是模型的图示 l 底 电压v 其中口是顶部到平行板的上部板的距离，l 是顶部到平行板的下部板的距离。m 是平 行板上部板的质量。，是弹簧的静止长度。底板固定在平面上，面积为a 。平行板间电 压为y 。特别，阻尼力用图中的阻尼器表示。 第二孝静电驱动模型 由牛顿第二定律知： m 万d 2 u = 外力和 弹簧拉力凡，假设弹簧是线性的，满足胡克定律 fs = - k ( u d 阻尼力乃，1 段设阻尼力与速度成正比，即 d u ，d2 吲面。 因为平行板电容器带电量为q ，电容c = 可q = 向面= a 万，向是空间介电常数。 电场能 w 掣1y 譬1 俨= 筠 所以，静电力 一 o w“俨 ，f = 一o ( u - l ) 2 2 ( l - u ) 2 。 这里我们通过改变应用电压，对静电力凡进行控制。假设电压随时间变化是调和的， 并且有形式v c o s ( ，) 。这时，静电力变为 r = 一瓦而o w = 互 讧“习t v 2 c 2 ( f ，) ，c2 一而= 互丽c 【n 因此， m 历d 2 u = 只+ 凡+ r = 一七 一d 一口害+ 三若等c 。s 2 ( ，) 即有 m 丽d 2 u + 口等州刚= 三筠c o s 2 ( m 在分析方程之前，我们先对方程变量做伸缩变换，得到无量纲变量。 关于长度，可以令 y ：g 一雁， 6 第二章静电驱动模型 7 此时，方程变成 塑d t 2 + a 象南c o s 2 c 毗 一+ a 石+ v2 不可c o s 。 口 ，k 。，1 “俨 口。了惹2 v 鬲五= 一2 k ( l - 1 ) 3 。 无量纲系数口可以理解成阻尼系数，它用来测量与弹簧力相比的粘性阻尼力的相对强 度。相对于系统自然震荡频率，山表示力的频率。a 是一个关键参数。因为 a = 1 2 型( l - 坚1 ) 2 k ( l l - 1 ) 2 一 ，1 表示静电力与弹簧力的比值。同时，：i 与应用电压的平方俨成正比。 2 2 弹性薄膜模型 在许多m e m s 系统中，其重要的组成部分是一个简单的理想化静电装置，如下图 所示。这个装置的上部是一块薄的可以形变的弹性薄膜，薄膜沿着它的边界被固定。 薄膜用来模拟一块有限厚度的薄板，它的上表面覆盖了一层可以忽略的薄金属导电 膜。当外界电压v 加载到导电膜上，薄介质膜朝底部板偏转。泰勒在文献【2 0 】中，对类 似现象作了研究。应用电压存在的最大值，称为吸合电压( p u l l i nv o l t a g e ) u 。当电 压v 超过u 时，弹性薄膜的稳定状态将会消失，在有限时间里，突然向底部吸合，这种 现象成为失稳效应( p u l l i ni n s t a b i l i t y ) 。 在文献【7 】【1 3 】【1 7 】中，对于这种物理现象做了详细的数学模拟，推导出关于h 的偏 微分方程，其中“是薄膜的无量纲偏转。 规定一下记号： 用y 表示应用电压，d 表示没有发生偏转时薄膜与底板之间的距离； r 是薄膜的张力系数，底板q 的长度为： 向表示真空中的介电常数。 在薄膜内部，介电常数c - 2 = 龟沁力可视为空间变量。 第二章静电驱动模型 2 f ，是薄膜的厚度，于d 做伸缩变换，得到k 三。 ，) ，在不会变形的底板q 上，关于l 做伸缩变换，得到工= 争，y = y 7 。 - z ，是竖直方向上的坐标，关于d 做伸缩变换，得到z = 等。 l 装詈的长帘比5 三d l l l 。 固 固定底板 l 体薄膜 x 。 用庇表示薄膜偏转，关于d 做伸缩变换，得到庭= 吾。 庭= 1 ，( j ，) ，) 讹表示薄膜无偏转状态， 盎= 0 表明薄膜突然向底部吸合。 用西表示静电电势，假设 西= v 在上部弹性板上； 矽= 0 在下部固定板上 静电电势在固定底板和薄膜下表面之间的间隙中满足拉普拉斯方程。即有 2 毋= 0 薄膜到底板间； v ( q o ，) ，) ( v 矽) ) = 0 薄膜内部 并且关于y 做伸缩变换，得到无量纲变量缈= 罟。在薄膜上表面，应用电压v 。 因此，在无量纲变量时，静电电势满足 8 等+ 铲c 等+ 等，= 。，o z f i - l ； ， 第二章静电驱动模型 9 边界条件 q 等+ 铲【熹c q 筹，+ 为c q 筹，】= 。，庭一z z 庭+ z c 2 力 砂= 0 ，z = 0 ( 底板) ； 缈= 1 ，z = f j + z ( 薄膜上表面) 当长宽比的极限6 l 时，沙的近似解需要满足在z = 应一z 处连续。所以， 等一o ，o z f i - i 沙= 0 ，z = 0 ； 厅一z z 蠡+ z z = 庭+ z 缈= 肄o 砒 0 是与介电常数有关的一个常数。 弹性势能一般由两部分构成，伸缩弹性能量 p = 髓v 砰妣 第二章静电驱动模型 1 2 其中丁 0 是张力常数。由弹性力学的理论知道：当l u 毒i ，l 吻i 1 时，伸缩弹性能 量( 忽略高阶小量) 可以表示为张力与由于变形所产生的面积增量的乘积。即 当l u 工i ，l u y l 1 时， p = 丁 j ! ：c 阿叫酬 =r j ! ：( 考熹胁 虿tj ：( ”2 砖) 螂 = t i v “1 2 q = 艏酬2 出 其中抗绕刚度d = 2 h 3 y 3 ( 1 一v 2 ) ，j l 是板的厚度，y 是杨氏模量，y 是泊松比。当板厚度 可忽略时，即有d = 0 ，此时平行板可视为薄膜。 因此，总能量e = p + q + 可以表示成 砸，= 傩m + 扣2 一罴卜 它的e u l e r - l a g r a n g e 方程是 r 比一。2 “= 石丽a v 2 ，x ef 2 在实际情况下，驱动器的电容c 依赖于形变量“( p e l e s k o & b e r n s t e i n2 0 0 3 ) c = y j ! ：南出 同时，电路系统中电压也不再是恒定输入值w ，而是变成y = i i , 1 ( 1 + c q ) ，c ，是电路 系统中电容。冈此电只；v 可以表示成 肛面1 。 + “杰出 第二章静电驱动模型 这戥= l q 表示电路系统中电容的影响。 最终得到非局部方程( p e l e s k o & b e r n s t e i n2 0 0 3 ) 1 3 t a u d a 2 m = l r 一，工q ( 2 1 0 ) 伍栅) 2 ( 1 + z 厶百2 这里l o 是一个与电压平方( k ) 2 成比例的常数。 第三章模型方程解的分析 本章主要讨论带有n a v i e r 边界条件的静态平衡方程 ( b ) t a u d a 2 “= 2 1 一， 工q ( “妒( 1 + 疋厶孟丽出) 2 - l 0i 方程存在古典解 1 4 第三章模型方程解的分析 3 1d = 0 时，方程解的分析 在方程( n ) 中，抗绕刚度d = o 表示弯曲能量消失，方程( n ) 变成描述弹性薄膜 的静态平衡方程。此时，四阶方程降为二阶方程，降低了方程的难度，我们可以得到 一些更加精确的结果。 方程中的常系数疋= i q 表示电路系统中电容的影响。当z = 0 表示无影响，即 系统保持常值应用电压k 。而当z 0 时，系统中电压变成 r ， 杉 蟛 1 1 + 叫钏l + 疋厶志出。 虽然这样更接近实验，但是给分析方程带来了极大的困难。 本节中，按照z 是否为零，又分成下面两小节。 3 1 i d = 0 ，彤= 0 时的情形 本小节主要讨论2 2 节中推导出的弹性薄膜的静态平衡方程( 锄) 。 因为当d = o ，疋= 0 时，做一个伸缩变换 比 m2 一z ， 2 一t l 3 方程( n ) 变成( q ) 在f 三1 时的特例。因此，本小节选择讨论带d m c h l e t 边界条件的薄 膜方程( q _ ) 。 下面是方程( q a ) 的表示式 ( q ) 咄= 器 0 0 ，使得： r j 7 j当0 五 刀时，方程( q ) 无解 纠对任意有界域q ，刀都有下面的估计： m a x 字) 南( 嵩) 霄2 鲋c 哪血n 陋j 2 7i n f x e nf ( x ) 愚= 丽- 1 1 ) 特别，当f 兰1 时，有 m a x8 n ，孚) ( 嵩) 吾鲋c 哪筹 例如果q 是严格星型区域，即 x y ( 力a 0 ， 工a q 这里y ( 功是在点工a q 处的单位外法向量。并且若厂毫1 ，那么有 以q ) 毛= 等 特别，当q = b l ( o ) cr n ，那么有 邶。( 哪华 仰如果八曲暑冈口，口0 ，并且q 是半径为r 的球，那么有 州砾，m a x ( 4 ( 2 + 口) ( + 口) ( 2 + 叻( 3+ 口一4 ) 9 特别，当n 8 ，0 口口：= 趔学，有 ( b l ，吲口) = ( 2 + a ) ( 百3 n 一+ a - 4 ) 1 尺巾删 j 第三章模型方程解的分析 定理3 i 的证明与分析： i 证明刀是有限值。 p r o o f ：方程( q ) 两边同乘以正的第一特征函数纯，做积分得到 + o o a n y nj c a “如出= 一j ! ：“出= a 上手等出a i ，加出c 3 m 所以，r 0 ，使得0 口妒l 0 。而 。器 三as u p 倒， 当a i 4 u a v i 八庐砷1i j 寸 ，有万字嘉 。，工o d 因 此，口l 是方程的上解。 由极大值原理知，单增序列蝴，满足 0 = u o5 “l a n 口 0 ，则有 r j ) 对任意的0 a 刀，方程( q a ) 存在唯一稳定的极小解u a 对任意的工q ，蝴关于a 单调增，并且在( 0 ，) 上可微。 f 2 j 当空间维数l n 7 ，有能量估计s u k ( o ，小) l i 。 矿( 工) = l i m a _ + 扩蝴( 工) 在c 2 ，口( 矗) ，0 口 l 上存在，是方程( q 一) 的解，满足l ，( “) = 0 特别，u 作为方程的极端解是唯一的。 仰对于任意的空间维数，当a = 镌时，方程( q 以) ) 存在弱解。 证明分析： 记方程( 锄) 的古典解为蝴，对任意的0 a l 也 龙，有u 山 翻如成立。由蝴的单调性，存在一个极限函数矿， h 。( 动= l i mh ( 神；0 甜 l ， 工q 工矗一 文献【1 4 仲证明，由酽的估计知，u , t 在任意c cq 上一致有界。 所以蝴在w 1 2 ( q o ) 空间中，在弱意义下收敛到矿。因此，矿是方程( 必) 当a = 龙时，在吆( 蚴空间中的弱解。 1 8 第i 章模型方程解的分析 由文献 9 】中定理4 5 知，当空间维数1 n 7 ，存在与a 无关的常数0 c ( 忉 l ， 使得对任意0 a ，极小解g , , i 满足i 0c ( q ) c ( 忉。因此，矿c 2 口( 壶) ，0 口 l ， 结论成立。 3 1 2 d = 0 , x 0 时的情形 为了方便，考虑下面的非局部方程 =南(1+厶而dx-&u ) ， 2 而乒【1 + j n 而j ， 0 0 ，使得当【0 ，t ) 时，方程( 3 5 ) 有一个光滑解； 当p 弘时，方程( 3 5 ) 没有解。 显然，当 = a ( + j ! ：高) 也 时，方程( 3 4 ) 的解也是方程( 3 5 ) 的解。因此得到， a 纠( - + 上高) 2 下面我们将得到更加精确的结果。 定理3 3 ( d o n gy e ) 当a 充分大时，方程( 3 4 ) 没有古典解。 ( 3 6 ) 1 9 第三章模型方程解的分析 让明： 饭u 足力程u 4 ) 嗣光滑j 晔a 田- - j - s 2 即曲任利移明t 回7 j 纭，我1 i j 知】苴仔 在a q 的一个固定领域v ( 与u 无关) ，使得u 在领域v 上沿着法向量的方向递减。并 且( 1 一“) - 1 在【0 ，1 ) 上递增，我们得到存在c 0 ，满足 2d x 炉c2 v 南 7 ， 令l n l ( q ) 是相应于a 1 的正第一特征函数。取l 作为方程( 3 4 ) 的检验函数，得到 a ，j ! ：“出= ( - + 上r d 瓦xj - 2 j ! ：i 警每出， f l 了c a u c h y - s c h w a r z 不等式知， a 蕊妒也y 南f 搀出绷上似( + j ：而d x ) 2 s c - + c l ( j ! ：而d x ) 2 c 刚正南 s c c 吲上、y 南 当a 2 c l c i q i ( i n f n 、i ，驴1 ) 一1 时，得到 上y 南南 代入( 3 6 ) 式，推出 a ( + 上高) 2 犁【+ ( 上高) 2 】年 因此， 即有结论成立。证毕 a m a x ( 2 c 。c 酬缸驴) ) 方程( 3 4 ) 的解关于a 是没有单调性的。我们利用方程( 锄) 解的性质，考虑 当0 a p ( 1 + i n l ) 2 时的解。 第三章模型方程解的分析 定理3 4 对任意的0 a 0 ， 工q 妒( d = a 。- ，r ) 妒 0 ， 使得： f j j当0 a 筋时，方程( s ) 无解 p j 对任意有界域q ，筋有下面的估计： 届石4 q ( t + d p q ) 口 届芴 q ) 口 注：当d = 0 ，z = 0 时，通过一个伸缩变换，方程( n ) 变成( 锄) 在f 言l 时的特 例。因此，定理3 5 的结论应该和定理3 1 的结论比较接近。但由于四阶椭圆方程的难 度较大，目前结果还很有限。 定理3 5 的证明与分析： 1 证明是有限值。 第三章模型方程解的分析 p r o o f ：类似3 1 的证明，方程两边同乘以正的第一特征函数做积分，得到 a l a a ( 丁+ d 灶q ) l 3 + o o 2 当0 t 时，方程( s ，1 ) 存在极大解u , i ；并且解关于l 单调减少。 p r o o f 类似3 1 的证明，构造迭代序列i ( a ；力j ：取u o 三0 ，工q ； 对任意的n l ，h n 有如下定义 t a t t n - d a 2 u n = 两岳x 叫 ( 3 。0 ) u n = 0a u 月= 0 石0 q 当a 充分小时，可以用类似的方法构造方程的下解。 由极大值原理知，迭代序列i “九( a ；功 是单调递减的，满足 一l h 。u ns su l u o = 0( 3 1 1 ) 其中，是方程( s ，1 ) 的下解。 因此，极限“= l i r a u , , 是方程( s ) 的解。由于地sm ，“还是方程的极大解。 即当a 很小的时候，方程有解存在。设存在, 1 0 0 ，使得方程( q 山) 有解u 知。那么 对任意的0 a 山，“知都是方程( q a ) 的下解，由迭代序列的单调性知，方程( q ) 存 在古典解。又因为刀是上确界，所以对任意的0 a ，方程( 锄) 都存在解。 下面证明：砌的单调性。 对任意的, l l 1 2 ，u , 1 2 是方程( q a ) 的下解，而蝴。是方程( q 。) 的极大解，所以 “如m o 注：关于方程中应用极大值原理的问题，可以参看本节引理l 的证明。 3 龙有上界估计圬铲4 n ( r + 卸n ) l 3 。 p r o o f 方程两边同乘以正的第一特征函数加做积分，得到 j ! ：p q c r + 脚q 姐+ 南】加出= 。， c 3 m ， 第三章模型方程解的分析 考虑函数g ( “) = p n ( 丁+ 脚q 撕+ 互 万，一 0 ，一l i l a ( t + d p u ) ( - u ) ( l + m ) 2 恒成立，那么( 3 1 2 ) 式 就无解。 u = - i l f t 寸，( 一比) 犯+ “) 2 有最大值寺p ，所以有二， 刀西4p q ( 丁+ 脚q ) p 下面讨论当a = 龙时，方程解的情形。 定理3 6 ( 文献【1 4 】) 当a = 筋时，方程( s a ) 存在弱解。 证明分析：记方程( s a ) 的古典解为蝴，对任意的0 , t l , t 2 u 如成立。由蝴的单调性，存在一个极限函数妒， 妒( 曲= l i mu a ( x ) ； - l “ 一l ，此时弱解是古典解。物理意义：即使在吸合电压 下，电容器也不会塌陷。 在( 2 ) 空间中，当q 是球或者圆盘时，若a 矗，方程( s ) 的解关于中心径 向对称。蝴的弱极限妒在中心最大可能达到一l 。物理意义：对于一个径向对称的驱 动，输入塌陷仅在中心发生。 第三章模型方程解的分析 3 2 2 d 0 ，z 0 时的情形 接下来分析彤0 时，方程( n ) 的解。由文献【1 4 】知，假若a ，疋，i q i ，满足 高(1 i n l 2 q 一l “叼 那么方程( n ) 存在古典解，满足一l 0 ，j r q 。 并且对于任意的o a 筋，当z _ 0 时，一蝴，其中蝴是方程( s ，i ) 在w 4 t 2 ( q ) 空间中的古典解。 定理3 7 ( 文献【1 4 】) 对任意的o a 龙( 1 + z - l q l - i j ，方程( ) 存在古典解。 岫斛乱南q 厮舫程 t t , u d a 2 u = a 丽(l+u)2(1ill2一曲。 存在古典( 极大) 解1 1 0 。 定义集合 人= u r ( q ) iu o u 0d o e d ，l qj 人c 口( q ) 是闭凸集。对任意a ， r呦一。2110=云_：-：碍,io ：，j：!i一 ( 彬( 1 + 疋正击2 因此，u o 是方程( 3 1 4 ) 的下解 ( 3 1 3 ) t a u o - d z x 2 l 0 = 竺1 一 ( 3 1 4 ) ( l + u o ) 2 ( 1 + z 厶赢捌2 第三章模型方程解的分析 类似前面的证明，方程( 3 1 4 ) 存在唯一的极大解u ，满足一l u o u 0 ，d o ，a 0 , x 0 ，q 是有界光滑凸区域。 首先考虑q = 当l ( 0 ) cr n 为单位球的情形。这里我们使用移动平面方法来得出结 论。 o 记号： ( 1 ) 当0 q 1 ，定义反射超平面 兀：= 协l 而= q1 ( 2 ) 用而：= ( 却，而一l ，2 q 一而) 表示点x 关于平面的反射点。 ( 3 ) 日：= i 工qlq 0 。 第三章模型方程解的分析 因为甜是方程( p ：1 ) 的解，有 i t 幽+ d a 2 “ 0 x q u = 0 ，a u = 0 ，工a q 用引理1 的证明方法，得到竺( p ) 0 。 因为豢( 妒) = d h ( ，) y ( p ) 0 。所 y 一 以，( p ) 0 。 定理3 8 设“c 4 ( f i ) 是方程( 巧) 的解，则比是径向解。即存在严格递减函数 ，： 【0 ，l 】一【0 ，o o ) ，满足 “( 力= y ( 厂) ( ，= i x l ) 证明：1 我们首先考虑下面状态：对任意0 g 1 ，有 “( 力 u ( x q ) ，石岛 ( 幸口) 因为此时点p 岛n 讹，满足引理2 的条件，所以有( p ) 0 。所以当留 i 充分接 近l 的时候，状态( 奉口) 式成立。 q o ：= i n f l 0 q _ 。三 第三章模型方程解的分析 由h o p f 引理和引理2 知， 山 0 ，z e 矗0 2 而 0 ，工丁磊nq 这里，对于点x nq ，它的的单位外法向量v ，v n 0 , x e nq 。 因此 m ( 功 “( 忑驰) ，x e 矗，“而 0 ，小邻域的面积i u ( p ) l s 。由于q 瞅是有界光滑凸区域，因此在小邻 域u ( ) 上，我们可以近似的将该曲面看成某个球面的一部分。由定理3 8 知，任意光 滑解都是单调递减的径向解，所以对于边界上任意点p ，存在小邻域y ( x o ) cr n ，使 得所有光滑解在其上都是沿着单位外法向量的方向递减。这个邻域的选择与光滑解 的选择无关。因此，存在点p 的小邻域y ( p ) cr ( 与u 无关) ，使得比在邻域y ( p ) 上 沿着单位外法向量的方向递减。 令y = u e 施y ( p ) ，它与光滑解u 的选择无关，并且h 在邻域y 上沿着单位外法向 量的方向递减。因此结论成立。 3 3小结 本章考虑了带有n a v i e r 边界条件的静态平衡方程 ( b ) t a u d a 2 u = 兰 一，x q ( “妒( 1 + 疋厶南钟 - l h 0 “= 0 ，a u = 0 ， 工q 石a q 分别在d = 0 ，z = 0 ；d = o ，z 0 ；d 0 ，彳= 0 ；d o , x 0 这四种状态下，讨论了 方程( n ) 解的存在性，以及a 与方程解的关系。 1 当z - - 0 时，方程存在有限的临界值刀，满足： ( 1 ) 当0 a 刀时，方程没有古典解； ( 3 ) 当a = 刀时，方程存在弱解。 第三孝模型主垄壁丝坌堑 一一_ 3 0 _ _ _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - - l - _ - - i _ 一一一 2 当疋0 时，问题就困难的多。 对任意的0 a 镌( 1 + 疋竿) 2 ，方程存在古典解。 但是当l 镌( 1 + 疋掣) 2 时的情形，目前还没有特别好的结论。g n 3 9 表明是 有限值。 当j r o 时，由于方程等号的右端项失去单调性，导致前面用单调性推出的结果不 能使用，可能需要新的方法。 本文还讨论了，当区域q 是一个单位球时，若m c 4 ( 壳) 是方程的解，则m 是径向 解。并且给出了雒的一个上界估计。 总结与展望 本文首先回顾总结了m e m s 系统的静电驱动模型的物理背景及其方程的推导。具 体介绍了静电驱动模型及其一些已知结论。包括静电驱动的质量弹簧模型，以及更一 般的静电驱动结构的数学模型一静电弹性系统，其中又分为弹性膜和弹性板问题。膜 是充分柔软，只抗伸长，不抗弯曲。也就是当它们形变时，反抗弯曲所产生的力矩都 是可以忽略不计的。假如不然，在力学上把它改称为板，这时它们的振动方程和平衡 方程都要做相应的变化。 第三章讨论带有n a v i e r 边界条件的静态平衡方程 ( p a ) 丁“一。2“=石：i：；i石南1 21 d