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太原理i ：人学硕十研究生学位论文 s c h w a r t z 理论的模糊化研究 摘要 个体选择或集体选择都要求选择函数满足一些基于二元关系的合理 性条件，因而，选择函数的合理性问题成为选择理论研究中最重要的问 题之一。现存文献对普通选择函数的合理性研究比较多，结论也相对较 为完善：而对于模糊情况下的研究还比较少，仅限于传递合理性的研究， 因此这个领域的研究尚处于起步阶段。鉴于此，本文以普通情况下 s c h w a r t z 的合理性研究为基础，对模糊选择函数的合理性问题进行了较 为详细的讨论。文章的具体研究内容与结果归纳如下： 首先，我们系统地总结了普通选择函数合理性研究现状，并分析了 这些结论间的关系，从而完善了目前的普通选择函数合理性研究理论。 其次，我们以普通情况下s c h w a r t z 的合理性条件为基础，建立模糊 选择函数的合理性条件，进而将s c h w a r t z 的一些结论推广到了模糊情况 下。 在模糊化过程中，我们注意到s c h w a r t z 的有些结论仍然成立，有些 结论却不能简单的推广。因此，为了得到一些较为满意的结果，我们对 模糊选择函数附加了一些限制条件。在每个选择集都是正规模糊集的前 提下，我们基于两种情形( 直觉非和模糊偏好结构) 深入地探论了模糊选 择函数的合理性刻画问题。在直觉非下，模糊化以后的s c h w a r t z 条件仅 f 太原理l ：人学硕十研究生学位论文 仅是刻画合理性的充分条件而不再是必要条件；在模糊偏好结构下，这 些条件不再是描述合理性的充分条件，因此我们给出新的合理性条件来 描述模糊选择函数，从而将s c h w a r t z 理论推广到一般情况下。 总之，本文在一些假设前提下，详细地探讨了模糊化以后的s c h w a r t z 理论，得到了一些令人满意的结果。这些研究对于刻画模糊选择函数的 合理性是非常重要的。 关键词：模糊选择函数，显示偏好，合理性，拟传递，伪传递，半序 太原理i 人学硕十研究生学位论文 as t u d y o nt h ef u z z i f i c a t l 0 n 0 fs c h w a r t z st h e o r y a b s t r a c t i nt h es t u d yo fi n d i v i d u a lo rc o l l e c t i v ec h o i c e ，o n eo f t e nr e q u i r e st h e c h o i c ef u n c t i o nt of u l f i l lc e r t a i ns o - c a l l e d “r a t i o n a l i t y c o n d i t i o n sf o r m u l a t e d i nt e r m so fb i n a r yr e l a t i o n s a sar e s u l t ，t h er a t i o n a l i t yo f c h o i c ef u n c t i o nh a s b e e no n eo ft h em o s tc o m m o n l ya d d r e s s e di s s u e si nt h ec h o i c et h e o r y i tc a n b es e e nf r o mt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r et h a tt h e r ea r eal o to fr e s e a r c ho nt h e r a t i o n a l i t yo fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n ，t h ec o n c l u s i o n sa r er e l a t i v e l yc o m p l e t e ； w h i l et h e s t u d y o nf u z z yc a s e si s m e r e l y l i m i t e dt oac l a s so fs p e c i a l r a t i o n a l i t y ( t r a n s i t i v i t yr a t i o n a l i t y ) ，t h u st h er e s e a r c hi ss t i l l i ni t si n f a n c y i n v i e wo ft h i s ，b a s e do nt h es c h w a r t z sr a t i o n a l i t yc o n d i t o n sw ed i s c u s st h e r a t i o n a l i t yo ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n si nd e t a i li nt h i st h e s i s t h em a i nr e s e a r c h i ss u m m a r i z e da sf o l l o w s f i r s t ，w es y s t e m a t i c a l l yr e v i e wt h er e s e a r c hr e l a t e dt or a t i o n a l i t yo fc r i s p c h o i c ef u n c t i o n sa n de x p o s et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e s ec o n c l u s i o n s i i i 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 t h e r e b ys u p p l e m e n t i n gt h et h e o r yo fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n s r a t i o n a l i t y s e c o n d ，w ef u z z i l ys o m es c h w a r t z sr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s ，a n de x t e n d h i sr e s u l t st of u z z yc a s e w en o t et h a ts o m eo fs c h w a r t z sc o n c l u s i o n sh o l dw h i l es o m eo t h e r sd o n o ti nt h ef u z z i f i c a t i o np r o c e s s t h e r e f o r e ，i no r d e rt oo b t a i ns a t i s f a c t o r y r e s u l t s ，s o m ea d d i t i o n a lr e s t r i c t i o n sa r ei m p o s e do nf u z z yc h o i c ef u n c t i o n s u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a te v e r yc h o i c es e ti sn o r m a l ，w ed e e p l yi n v e s t i g a t e t h ep r o b l e mo ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n sr a t i o n a l i t yi nt h et w os p e c i a lc a s e s i n t u i t i v en e g a t i o ni se m p l o y e di no n ec a s ea n df u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r ei s a d o p t e df o ro u rd i s c u s s i o ni nt h eo t h e rc a s e i nt h ef o r m e rc a s e ，w ep r o v et h a t s c h w a r t z sc o n d i t i o n sa r es u f f i c i e n tb u tn o tn e c e s s a r yf o rt h ec h a r a c t e r i z a t i o n o ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s i nt h el a t e rc a s e ，t h e s ec o n d i t i o n sa r en ol o n g e r s u f f i c i e n tt og u a r a n t e et h er a t i o n a l i t yo f f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，s ow ei n t r o d u - c es o m en e wr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n su n d e rw h i c hs o m eo fs c h w a r t z st h e o r y c a nb ee x t e n d e dt of u z z yc a s e i ns h o r t ，w ed i s c u s si nd e t a i lt h ef u z z i f i c a t i o no fs c h w a r t z st h e o r y ，a n d o b t a i n es o m es a t i s f a c t o r yc o n c l u s i o n su n d e rs o m ea s s u m p t i o n s t h es t u d yi s u n d o u b t e d l yi m p o r t a n tf o rt h ec h a r a c t e r i z a t i o n o ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s r a t i o n a l i t y i v 太原理1 ：人学硕十研究生学 7 = 论文 k e yw o r d s ：f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，r e v e a l e dp r e f e r e n c e ，r a t i o n a l i t y , q u a s i t r a n s i t i v i t y , p s e u d o t r a n s i t i v i t y s e m i o r d e r v 太原理1 人学硕十研究生学伉论文 主要符号说明 x 全体备择对象集且论域有限 p ( x ) x 上的所有非空普通子集的集合 f ( 爿) 爿上的所有非空模糊子集的集合 v 任意的 j 存在 属于 不属于 包含 旺不包含 u 并 n 交 v 取大 a 取小 非 标准非 、直觉非 r ，模 s f 余模 g 模糊关系 g 模糊关系g 的逆关系 g 。模糊关系g 的余关系 g 。模糊关系g 的对偶关系 v i 太原理i ：人学硕卜研究生学何论文 p 模糊关系g 的，“格偏好关系 f 模糊关系g 的无区别关系 g i 。g ，模糊关系g l 与g ：的合成关系 c ( ) 选择函数 r 显示偏好关系 r 生成关系 j d 严格显示偏好关系 ，无区别关系 v i i 声明 y9 7 9 3 9 7 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：日期： 导师签名： 酗i 盔王一 日期：五! ! j2 太原理i ：人学硕十研究生学倪论文 第一章绪论 选择函数( i i 是一个经济术语，是指当消费者进行消费时，所遵循的规则、选择的 标准或程序，也就是说它是一种消费行为。同时，选择函数又是一种决策行为，可描 述为：当面对一些各择对象时，决策者需要从中选择个最好的或者选择一些较好的 备择对象。 选择函数的合理性问题是选择函数理论研究中最重要的问题之一。一个合理的选 择函数是指一个理性的消费者，即消费者对于备选对象有一个确定的偏好，然后根据 该偏好作出了选择，就称该消费者是理性的。 为描述选择函数的合理性( 理性的消费者) ，一些经济学家各自从不同角度提出了 一些合理性条件。首先，1 9 3 8 年，s a m u e l s o n 2 1 提出用弱显示偏好公理( w e a k a x i o m o f r e v e a l e dp r e f e r e n c e ，简称w a r p ) 描述单点选择函数的合理性；随后，h o u t h a k k e r 口】 强化了s a m u e l s o n 的公理，得到强显示偏好公理( s t r o n g a x i o mo f r e v e a l e d p r e f e r e n c e ， 简称s a r p ) 。他们所讨论的选择函数都是单点集，因而有一定的局限性。在此基础上， u z a w a 4 1 和a r r o w 【5 1 首次提出用其定义的c 4 ( 等价于w a r p ) 来刻画一般选择函数的 合理性。他们二者的研究都侧重于寻找一个二元偏好关系，并出之导出选择函数，也 就是说，他们主要研究当一个选择函数满足什么条件时，才能保证弱序的存在性，这 就是他们定义的合理性。比较而言，u z a w a - a r r o w 的选择函数是定义在备择对象集的 所有非空子集上的多值选择函数，因此他们的理论更为一般化。1 9 6 6 年，r i c h t e r 在 文 6 中利用间接显示偏好关系提出一致性公理( c o n g r u e n c ea x i o m ) ，从而给出了选 择函数传递合理的一个充要条件；1 9 7 1 年，s e n l 7 1 又从集合收缩扩张的角度给出了一 些合理性条件，并在此基础上系统地总结了各种合理性条件之阳j 的关系，得到了合理 性的一系列等价描述。1 9 8 8 年，b a n d y o p a d h y a y 【8 】用其定义的公理s p i ( t h ea x i o mo f s e q u e n t i a lp a t hi n d e p e n d e n c e ，简称s p i ) 亥t j 画了传递合理性。以上这些工作都是试图用 弱序来刻画选择函数，所讨论的合理性均为传递合理性。 太原理j ：人学硕十研究生学位论文 注意到弱序是一个很强的序关系，要求严格偏好及无区别关系都传递，在实际构 模中往往很难满足。1 9 3 9 年，a r m s t r o n g 9 首次提出要求无区别关系也满足传递性很 不必要，随后，文献 1 0 1 2 也提出了这种思想。因而，从l u c e t ”1 的工作丌始，许多 文献都试图找到一个稍弱的二元关系来刻画合理性。在文 1 4 中，j a m i s o n 及l a u 提 出用次序( 非循环) ，严格偏序( 拟传递) ，半序去刻画选择函数的合理性，并给出了 一些充要条件：1 9 7 5 年，f i s h b u ms ”1 又对他们的结果作了补充，提出用半传递序及区 阃序( 伪传递) 描述合理选择函数，同时给出了其充要条件；1 9 7 6 年，s c h w a r t z 从 集合收缩扩张的角度给出了一些新条件以刻画选择函数的各种合理性。以上这些研究 都是从集合收缩扩张角度去描述合理选择函数的。1 9 9 1 年，b a n d y o p a d h y a y m l 首次基 于显示偏好的角度去描述各种合理性，即分别用其定义的公理来描述非循环、拟传递 及伪传递合理性。 随着决策科学的发展，所讨论的决策系统的复杂性也随之增加，精确的数据往往 很难获取，同时决策过程又离不开人的主观因素的参与，而传统数学面对这类数据却 无能为力。所以用普通偏好来构模实际中的两两比较远远不够，因此建立在普通二元 关系基础上的普通选择理论在处理实际问题的时候就存在一定的局限性。为此，在文 1 7 中，o r l o v s k y 将模糊关系引入了决策中以构模偏好程度的概念。实际上，o r l o v s k y 定义的模糊非控元是基于模糊关系的选择函数，只是当时他并没有确切地指出这就是 模糊选择函数。随后，许多人以o r l o v s k y 的模糊非控元为基础，进行了较为详细的 研究，其研究成果主要有：m e m e r o m l 讨论的选择集非空的条件以及b a n e r j e e 等人在 各种传递性下对o r l o v s k y 选择函数的刻画问题等9 。“。以上讨论的选择函数都是普 通的。1 9 8 9 年，r o u b e n s l 2 1 首次提出了模糊选择函数的概念，并从决策的角度讨论了 四种基于模糊偏好关系的模糊选择函数。注意到这些讨论都是基于一个偏好关系定义 的选择函数，1 9 9 5 年，b a n e r j e e 阱1 首次给出模糊选择函数的定义，该定义只要求选 择函数的值域为模糊集，其定义域仍是普通集；同时，他重新定义了合理选择函数， 2 太原理t 人学硕十研究生学位论文 并给出了刻画传递合理性的充要条件。最近，g e o r g e s c u t 2 ”引入了元素的获得性程度 ( a v a i l a b i l i t yd e g r e e ) 概念，从而最大限度地对选择函数模糊化，并以此为基础，讨论 了模糊选择函数合理性条件之间的关系，将一些模糊逻辑联结运算用于刻画选择函数 的合理性，推广了普通情况下r i c h t e r 及s e n 的一些结论 6 - 7 ，而她对于一般情形下的 传递合理性，仅仅给出一个必要条件。具体内容可参见 2 3 2 7 。 以上就是选择函数的合理性研究现状，从中可以看出：对于普通选择函数的合理 性刻画问题，其研究成果已经非常丰富。而对于模糊情形下的研究，与普通情况相比， 差之甚远，到目前为止仅限于传递合理性的讨论，因而有待于进一步完善。 本文以普通情况下s c h w a r t z t l l 的研究为基础，在选择集为正规模糊集的前提下， 基于两种结构深入地讨论了模糊选择函数非循环、拟传递、伪传递及半序合理的刻画 问题。对于非循环合理性，我们给出了一个充要条件。我们发现：在直觉非下，模糊 化以后的s c h w a r t z 条件仅仅是刻画选择函数拟传递、伪传递及半序合理的充分条件， 同时用反例说明了其已不再是必要条件：而在模糊偏好结构下，我们用反例说明了模 糊化以后的条件都已不再是描述这三种合理选择函数的充分条件，因此，我们给出新 的合理性条件来描述选择函数的合理性。 本文组织如下：第二章介绍本文涉及到的一些基本定义和记号，主要包括模糊关 系的运算及有关性质、模糊逻辑联结运算等；第三章总结了普通选择函数的合理性研 究现状，并对现有的一些结论之间的关系进行了综述；第四章，我们首先将s c h w a r t z 的合理性条件模糊化，在选择集为正规模糊集的前提下，给出了刻画模糊选择函数非 循环合理的充要条件；然后，分别在直觉非和模糊偏好结构下探讨了拟传递、伪传递 及半序合理的刻画问题。 3 太原理1 人学硕十研究生学位论文 第二章基本概念 本章给出了文中用到的一些基本概念及记号，其中包括：模糊关系的一些基本概 念及运算性质、模糊逻辑联结运算等。 2 1 普通关系的有关性质 定义21 设z ，y 为论域，若g x x y ，则称g 是到y 的关系。如果( z ，) g ，则 记为x g y 。若x = y ，则称g 是上的关系。 设g 是x 上的关系，我们用g 一、g 。、g 4 分别表示关系g 的逆关系、余关系和 对偶关系。其定义如下：v x ，y x ， g 一= ( x ，y ) l ( _ y ，x ) g ) g = ( x ，y ) i ( x ，y ) g g ) g 。= ( x ，_ y ) l ( y ，_ c ) 诺g ) 容易验证，g “= ( g 。- i = ( g 1 ) 。 设g ，g ：都是x 上的关系，则g ，与g ：的合成关系g ，。g ：定义为： v x ，y x ，g 1 。g 2 = ( x ，y ) 13 z x ，x g i z 目_ z g 2 y ) 当g = g 2 = g 时，记g 。g = g 2 。 另外，我们用只，及，。来表示g 的严格关系及无区别关系，定义如下： xp ( j y x g y 且y g x ；x i ：? y x g y 且y g x 定义22 设g 是z 上的一个二元关系，只，、，。为g 的严格关系和无区别关系， 4 太原理i 人学硕十研究生学位论文 ( 1 ) 若对v x x ，x g x ，则称g 是自反的； ( 2 ) 若对v x ，y x ，z y ，x g y 或y g x ，则称g 是完全的； ( 3 ) 若对v x ，y x ，x g y 或y g x ，则称g 是强完全的； ( 4 ) 若g 。g g ，则称g 是传递的； ( 5 ) 对v x ，y ，z x ，若x g z ，有x g y 或y g z ，则称g 是负传递的； ( 6 ) 对v x ，y ，z ，w x ，若x g y 且，有x g w 或w g z ，则称g 是半传递的； ( 7 ) 对坛，y ，z ，w x ，若x g y 且z g w ，有x g w 或z g y ，则称g 是f e r r e r s 关系； ( 8 ) 对奇x ，x 2 ，x 。x ，若x 1 只，x 2 ，誓一】鼻，x i ，x ni p ( ；x n ，x i g x 。，则称g 是非循环的 ( 9 ) 若圪。尼鼻，则称g 是拟传递的； ( 1 0 ) 若鼻，。l 。巴圪，则称g 是伪传递的； ( 1 1 ) 若g 强完全，圪。i ，。只，只，且i ，。圪。圪圪，则称g 是一个半序； 2 2 模糊逻辑联结运算 以下我们介绍本文中用到的模糊逻辑联结运算：f 模，f 余模，非 定义2 3 设t ：【o ，1 】 0 , 1 】j o ，1 】，若r 满足： ( 1 ) v x o ，1 ，t o ，z ) = x ； ( 2 ) v x ，y o ，1 ，r ( x ，y ) = t ( y ，x ) ； ( 3 ) 若x “，y v ，贝0 t ( x ，y ) t ( u ，v ) ； ( 4 ) v x ，y ，z o ，1 ，t ( t ( x ，y ) ，z ) t ( x ，t ( y ，z ) ) 则称，是一个，模。 5 太原理j 人学硕十研究生学位论文 定义2 4 设s ： o ，1 o ，i i 寸 0 ，1 ，若s 满足 ( 1 ) v x 0 , 1 】，s ( o ，x ) = x ； ( 2 ) v x ，y 0 , 1 ，s ( x ，y ) = s ( y ，x ) ( 3 ) 若x “，y v ，贝0 s ( x ，y ) s ( u ，v ) ； ( 4 ) v x ，y ，z 【0 ，1 】，s ( s ( x ，y ) ，z ) s ( x ，s ( y ，z ) ) 则称s 是一个f 余模。 t 模及t 余模是本文用到的重要概念，其定义及相关研究可参见文献 2 8 3 0 。 本文用到的f 模有： ( 1 ) t ( x ，y ) = m i n ( x ，y ) ，记为t = m ； ( 2 ) t ( x ，y ) = x y ，记为t = 兀； ( 3 ) t ( x ，y ) = m a x ( x + y 一1 , 0 ) ，该t 模通常称为l u k a s i e w i c zf 模，记为r = 。 显然，v x ，y o ，1 ，有：w ( x ，y ) r l ( x ，y ) m ( x ，y ) 。 对任一f 模r ，令r ( x ，y ) = 1 一丁( 1 一x ，1 一j ，) ，由定义可以验证：r + 是一个f 余模。 称t 为t 的对偶f 余模。对于上面提到的丁模，其对偶t 余模分别为： ( 1 ) s ( x ，y ) = m a x ( x ，y ) ，记为s = m ； ( 2 ) s ( x ，_ y ) = x + y x y ，记为t = 兀； ( 3 ) s ( x ，y ) = m i n ( x + y ，1 ) ，该f 余模通常称为l u k a s i e w i c z ，余模，记为s = + 。 显然，垤，y o ，1 ，有：m + ( x ，y ) f i ( x ，y ) w + ( x ，y ) 定义2 5 设”： o ，1 呻 o ，1 ，若n 单调减少，且月( o ) = 1 ， ( 1 ) = 0 ，则称n 是一个非。若 非”严格减少且连续，称 为严格非。若n 是严格非，且成立复原律：对v x 【o ，l 】， ”( ”( x ) ) = x ，贝0 称 为强j 。 6 太原理i ：大学硕十研究生学位论文 通常我们用来表不强非。 例如：n c x ，= f ? ：! ：是一个非，通常称该非为直觉非，本文记直觉非为一。 f x ) = 1 一x 是一个强非，通常称该非为标准非。 定义2 6 设妒： “，6 】专 口，6 ，若妒是严格单调增加的连续函数且满足：妒( d ) = a ， 妒( 6 ) = b ，则称p 是 口，6 】上的一个自同构。 例如：妒( x ) = x 及妒( x ) = x 2 即为 0 ，1 上的自同构的例子。本文所涉及到的自同构 均为 0 ，1 上的自同构。 给定 0 ，1 上的一个自同构p ，易证( x ) = 缈。( 1 一妒( x ) ) 是一个强非。反过来，对 任一强非n ，一定存在 0 , 1 上的一个自同构妒，使得：n ( x ) = 妒“( 1 一妒( x ) ) ( 3 1 ) 。 在f 面的讨论中，我们将记( x ) = 妒- 1 ( 1 一妒( x ) ) 为n 。( x ) 。 另外，若t 是一个f 模，妒是一个 o ，1 】上的自同构，定义，模丁的妒变换 乙：v x ，y o ，1 ，l ( x ，y ) = 妒。1 ( 丁( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) ，则乙仍为丁模 2 8 。显然， ( 1 )m 。( x ，y ) = p 一1 ( 彳( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 妒- 1 ( m i n ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = m i n ( x ，y ) ； ( 2 )兀。( x ，y ) = 妒一1 ( 兀( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 妒_ 1 ( 妒( x ) 妒( y ) ) ； ( 3 ) ( x ，y ) = 妒一1 ( 矿( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 妒_ ( m a x ( 妒( 工) + 妒( y ) 一1 ，o ) ) 类似地，若s 是一个f 余模，妒是一个 0 ，1 】上的自同构，定义f 余模2 的p 变换 s 。：v x ，y o ，1 ，s 。( x ，y ) = ( p - i ( s ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) n s ，仍为f 余模 2 8 。类似地有： ( 1 ) a ，：( x ，y ) = 妒一( 彳+ ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 妒- 1 ( m a x ( 妒( z ) ，妒( y ) ) ) = m a x ( x ，y ) ； ( 2 ) n ：( x ，y ) = 妒- ( 兀+ ( 妒( x ) ，p ( y ) ) ) = 妒一( 妒( x ) + 妒( y ) 一妒( x ) 妒( y ) ) ； ( 3 ) 肜0 ( x ，y ) = 妒- 1 ( ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 妒一( m i n ( 缈( 工) + 妒( y ) ，1 ) ) 7 太原理| = 人学硕十研究生学位论文 设，是一个，模，是一个强非，定义，“( x ，y ) = ( 7 ( ( x ) ，( y ) ) ) ，则易证，“为 一个，余模，称该，余模为丁的对偶，余模。 定义2 7 设r ，s 分别为，模和f 余模，且 是严格非。若对v x ，y 0 , 1 ，有： n ( s ( x ，y ) ) = ，( n ( x ) ，n ( y ) ) ，则称( t ，s ，月) 是一个d e m o r g a n 三元组。 在d e m o r g a n 三元组( r ，s ，n ) 中，若对v x ，y o ，1 ，有： z ( x ，y ) = 妒“( ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = ( x ，y ) ； s ( x ，y ) = 妒- 1 ( + ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 阡：( x y ) ； n ( x ) = p “( 1 一妒( x ) ) = n 。( x ) 则称( 丁，s ， ) 是一个强d em o r g a n 三元组。 2 3 模糊集与模糊关系的有关定义及性质 定义2 8 设为论域，若f ：x 寸 o ，1 】，则称f 是x 上的模糊集。 下面给出模糊集的基本运算与性质： 定义2 9 设4 ，b 均为上的模糊集，若v x x ，彳( z ) 曰( x ) ，则称b 包含a ，记为 a b ；若b 不包含a ，记为a 旺b 。 定义2 1 0 设4 为x 上的模糊集，k e r ( a ) = x i a ( x ) = 1 ) 称为爿的核； s u p p ( a ) = x i 彳( x ) 0 ) 称为a 的支集；若k e r ( a ) o ，则称a 为一个f 规模糊集。 定义2 1 1 设x ，y 为论域，若g ：x y _ 【0 ，1 】，则称g 是x 到y 的模糊关系。 若x = y ，则称g 是上的模糊关系。 设g 、，g ：，g 都是x 上的模糊关系，则： g 1 g 2 v x ，y x ，g 】( x ，y ) g 2 ( x ，y ) ： r 太原理r 人学硕十研究生学位论文 g 1 = g 2 v x ，y x ，g 1 ( x ，y ) = g 2 ( x ，y ) ： 以下给出模糊关系的一些基本性质： 定义2 1 2 设g ，g ：，g 都是x 上的模糊关系，7 t ，s ，肝分别是，模，r 余模和非，对 v x y ，z x ， ( 1 ) g 与g 2 的模交n7 ：( g 1n 7g 2 ) ( x ，y ) = t ( g ，( x ，y ) ，g 2 ( x ，y ) ) ； ( 2 ) g ，与g 2 的模并u 。：( g l u n g 2 ) ( x ，y ) = s ( g ，( x ，_ y ) ，g 2 ( x ，y ) ) ； ( 3 ) g 与g 2 的丁合成。( q 。7q ) ( x ，z ) = s u p t ( g 1 ( x ，y ) ，g 2 ( y ，z ) ) ； r ( 4 ) g 的n 余g ；：g ：( x ，y ) = n ( g ( x ，y ) ) ： ( 5 ) g 的逆g ：g “( x ，y ) = g ( y ，x ) ： ( 6 ) g 的”对偶g ? ：g 管( x ，y ) = n ( g ( y ，x ) ) 当t = m ，s = m + 时，n 。，u 。简记为n ，u 特别地，当”是标准非时，g 的 余g 。( x ，y ) = 1 一g ( x ，y ) ，g 的对偶：g “( x ，y ) = l g ( y ，x ) ；当n 是直觉非时，g 的余 g 。( x ，y ) = - 、g ( x ，_ y ) ，g 的对偶：g “( r ，y ) = 一g ( y ，x ) 。 容易验证，当n 是标准非时，g “= ( g 。) 。= ( g 。) 。 定义2 1 3 设g 是上的一个模糊关系，丁为f 模，我们定义g 的严格关系及无区别 关系分别为：尼= g n ，g ? ，屯= g m ，g 。 定义2 1 4 设r ，s 分别是，模及f 余模，g 为上的模糊关系， ( 1 ) 若对v x x ，g ( x ，x ) = 1 ，则称g 是白反的； ( 2 ) 若对v x ，y x ，x y ，s ( g ( x ，y ) ，g ( y ，x ) ) = 1 ，则称g 是s 完全的； ( 3 ) 若对v x ，y x ，s ( g ( x ，j ，) ，a ( y ，x ) ) = 1 ， 则称g 是s 强完全的； s = m + 时，s 完全及s 强完全分别简称为完全、强完全。 9 太原理t 人学硕十研究生学位论文 下面定义本文所涉及到的模糊关系的些有关传递性的概念： 定义21 5 ( 3 2 ) 设t ，s 分别是t 模及t 余模，g 是x 上的一个模糊关系， ( 1 ) 若对v x ，y ，z x ，t ( g ( x ，y ) ，g ( y ，z ) ) g ( x ，z ) ，则称g 是丁传递的； ( 2 ) 若x c v x ，y ，z x ，s ( g ( x ，j ，) ，g ( y ，z ) ) g ( x ，z ) ，则称g 是s 负传递的； ( 3 ) 若对v x ，y ，z ，w x ，t ( g ( x ，y ) ，g ( y ，z ) ) s ( g ( x ，w ) ，c ( w ，z ) ) ，则称g 是丁一s 半传递 关系： ( 4 ) 若对v x ，y ，z ，w x ，t ( g ( x ，y ) ，g ( z ，w ) ) s ( g ( x ，w ) ，a ( z ，_ y ) ) ，则称g 是丁一s f e r r e r s 关系； 当t = m ，s = m + 时，r 传递、s 负传递、7 1 一s 半传递和r s f e r r e r s 关系，分别 简称为传递、负传递、半传递和凡r 憎瑚关系。 定义216 设r 是一个f 模，g 是上的模糊关系，己及乇分别是g 上的严格关系 和无区别关系， ( 1 ) 若圪。，易弓，则称g 是丁拟传递的； ( 2 ) 若只，。，。，最圪，则称g 是丁伪传递的； ( 3 ) 若g 强完全，昂07 ，。，圪呈昂且，。j 。，尼。，圪p ，贝t j * g a 是一个r 半序： ( 4 ) 若对垤】，_ f 2 ，x 。x ，g ( xj ，x 2 ) g ( x 2 ，一) ，g ( x 2 ，弓) g ( 而，屯) ， g ( 一h ，x 。) g ( 矗，_ 】) ，有g ( x l ，_ ) g ( x 。，x 。) ，则称g 是非循环的。 当t = m 时，丁拟传递、r 伪传递及r 半序分别称为拟传递、伪传递及半序。 1 0 太原理【_ ：人学硕十研究生学位论文 第三章普通选择函数的合理性研究综述 a r r o w 、r i c h t e r 、s e n 等人在刻画普通选择函数的传递合理性过程中，各自提出 了一些合理性条件 57 , 3 3 - 3 5 。郭在文 3 6 中深入地探讨了这些合理性条件之间的关系， 并在此基础上系统地总结了传递合理选择函数的刻画问题，从而完善了普通选择函数 的传递合理性理论。因而，本章我们主要引入稍弱的几种合理性。我们首先介绍与普 通选择函数有关的基本定义，然后给出文献中存在的合理性描述，并对已有的这些合 理选择函数的研究成果进行综述。 3 1 普通选择函数有关的基本定义 本文设x 为全体备择对象集，假设它是有限集，上的所有非空普通子集的集 合记为p ( x ) 。下面给出普通选择函数的相关定义。 定义31 ( 7 ) 若映射c ：p ( x ) 一p ( x ) 满足：v s p ( x ) ，c ( s ) s ，则称c ( ) 为一 个普通选择函数。对每个s 尸( x ) ，c ( s ) 称为一个普通选择集。 定义32 ( 7 ) 设c ( ) 为一个普通选择函数，定义： r = ( x ，y ) i3 s p ( y ) ，x c ( s ) ，y s ) p = ( x ，y ) lx r y 且y r 。x ) = ( x ，y ) lx r y 且y 舣) 通常称r 为显示偏好关系( r e v e a l e dp r e f e r e n c e ) 。 定义33 ( 7 ) 设c ( ) 为一个普通选择函数，定义： r = ( x ，y ) lx c ( x ，y ) ) ) 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 = ( y ) ix 动助页。x ) ? = ( x ，y ) lx 砂助瓦) 一般地，称尺是由选择函数生成的关系，简称为生成关系( g e n e r a t e dr e l a t i o n ) 。 定义3 4 ( 1 6 ) 设c ( ) 是一个普通选择函数，若存在z 上自反、完全的二元关系g ， 使v s p ( ) ，c ( s ) = x l x s ，砂s ，x 6 少) ，则说普通选择函数c ( ) 可以被g 合理 化( r a t i o n a l i z e d ) 或称选择函数c ( ) 是合理的( r a t i o n a l ) 。 注31s c h w a r t z 在文 1 中定义的合理性为：c ( ) 是一个普通选择函数，若存在x 上 的严格关系只，使得v s p ( ) ，c ( s ) = x lx s ，s ，y f , ；y x ，则称c ( ) 是合理的。 若只，为关系g 对应的严格关系，则c ( s ，g ) = x s l v y s ，x g 粥称为s 上的最大集， m ( s ，g ) = x x s ，砂s ，蟛x ) 称为s 上的极大集。 实际上，当g 强完全时，c ( s ，g ) = m ( s ，g ) ”1 。故s c h w a r t z 的定义与我们这里 的定义是一致的。 定义3 5 ( 5 ) 设r 是显示偏好关系，对v s p ( x ) ，定义： c ( s ) = x f x s ，v y s ，x 尺y 为c ( s ) 的像( i m a g e ) ，记为e ( s ) 。 定义36 ( 7 ) 若v s p ( ) ，c ( s ) = 0 ( s ) ，则称选择函数c ( ) 是正规的( n o r m a l ) 。 定义3 7 设r 是显示偏好关系，r 强完全 ( 1 ) 若r 非循环，则称r 是一个次序( s u b o r d e r ) ： ( 2 ) 若r 拟传递，则称r 是一个严格偏序( s t r i c tp a r t i a lo r d e r ) ； ( 3 ) 若r 半传递，则称r 是一个半传递序( s e m i t r a n s i t i v eo r d e r ) ； ( 4 ) 若r 伪传递或r 是凡 p 坶关系，则称r 是一个区间序( i n t e r v a lo r d e r ) ； ( 5 ) 若月是半传递的凡 p 瑚关系，则称r 是一个半序( s e m i o r d e r ) ； 太原理t 人学硕十研究生学位论文 ( 6 ) 若r 传递，则称r 是一个序或弱序( w e a ko r d e r ) 。 定义3 8 ( 1 6 ) 设普通选择函数c ( ) 被g 合理化，若g 分别是非循环、拟传递、半 传递、伪传递、半序及传递的，则称选择函数c ( ) 相应地为非循环、拟传递、半传递、 伪传递、半序及传递( 完全) 合理的。 注3 2 定义3 4 和定义3 8 中的合理性，不同于a r r o w 、r i c h t e r 、s e n 等定义的合理 性，后者的合理性只是这罩定义的传递合理性，是最强的合理性。 3 2 普通选择函数的合理性刻画 文献中有许多关于普通选择函数合理性问题的讨论，从中可以看出研究合理性 的工具主要有两种，即显示偏好法和集合收缩扩张法。前人在研究普通选择函数的传 递合理性过程中，各自提出了一些合理性条件，如显示偏好法：s a m u l s o n 的弱显示 偏好公理w a r p ，h o u t h a k k e rc 3 1 提出的强显示偏好公