（应用数学专业论文）旅游投资动力系统模型的稳定性研究.pdf

摘要 随着世界旅游经济的快速发展，建设开发旅游项目的产业投资活动日益增 多，旅游项目的发展是否可以实现经济发展与资源环境的协调统一，是否可以通 过人为调控使旅游项目走上可持续发展之路，则成为有现实意义的研究课题。 本文的主要工作是以研究旅游投资项目的长期发展趋势为主要目的，从系统 解的性态( 主要是稳定性) 分析入手，研究旅游项目的资产设施、游客数量和环 境污染三方面在特定投资策略下的相互影响和运动发展，进而来研究解决项目可 持续性发展的可能性和投资策略的可行性问题。 本文主要由四部分组成，首先介绍了系统稳定性研究中的李雅普诺夫第二方 法及l a s a l l e 不变原理、解的有界性、渐近性和周期性等推广理论。第二，针对 本文所要研究的旅游投资模型，根据研究需要和实际情况和对问题进行适当简化 和抽象，给出模型分析的基本假设条件和要求，并进行了模型的一些基本性质分 析。第三，基于李雅普诺夫方法及其推广理论，通过构造适当的李雅普诺夫函数， 来研究在投资持续稳定的情况下旅游项目系统模型的解的稳定性问题，给出了系 统解的有界性和稳定性的结果和证明。在研究过程中，通过奇点分析和系统变换， 使系统适用于应用解的有界性和渐进性等非线性理论；寻找李雅普诺夫函数较好 的构造形式，对系统的非线性函数进行了详尽讨论和比较。最后，对于投资随时 问有特定变动趋势的个别情况也进行了系统解的稳定性探讨，其中包括投资保持 周期波动时，系统周期解的存在性问题。本文对于所得到的结论最后都以注记形 式阐述和讨论了其对解决旅游项目可持续性发展的问题的意义和作用。另外，针 对所得到的部分结论，还给出仿真设计来检验证明结论的可靠性。 关键词：旅游投资；可持续性发展；稳定性；解的渐进性 a b s t r a c t w i l ht b ef a s t 如v e l o p r a e n to ft h et o u r i s te c o n o m yi nt h ew o r l d t h ea c t i v i t i e so fi n d u s t r y i n v e s t m e n tt ob u i l da n dd e v e l o pt h et r a v e l i n gp r o j e c t si n c r e a s ed a yb yd a y w h e t h e rt h e d e v e l o p m e n to ft h et r a v e l i n gp r o j e c t r e a l i z et h ec o u r d i n a t i o nb e t w e e nt h ee 9 2 0 n o m i c d e v e l o p m e n ta n dt b el e s o u r e ea n de n v i r o n m e n t , w h e t h e rt h ep r o j e c tc a nb em a k eo nt h ew a yt o s u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n tt h r o u g ha d j u s t i n ga n dc o n t r o l l i n ga r t i f i c i a l l y , b e t ho f w h i e hh a v eb e c o m e t h es u b j e c t sf o rr e s e a r c hw i t hr e a l i s t i cm e a n i n g s t 1 1 em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ed e v e l o p m e n tt r e n df o ral o n gt i m eo ft h et r a v e l i n g i n v e s t m e n tp r o j e c t s t a r t i n gw i t ha n a l y z i n gt h ep r o p e r t i e s ( m a i n l yt h es t a b i l i t y ) o ft h es o l u t i o nf o r t h es y s t e m , w es t u d yu n d e rt h es p e c i f i ci n v e s t n * n ts t r a t e g i e sh o wt h et h r e er e s p e c t so ft h e t r a v e l i n gp r o j e c t t h ea s s e t sf a c i l i t i e s t h eq u a n t i t yo fv i s i t o r sa n dt h ee n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o n d e v e l o pa n di n f l u e n c ee a c ho t h e r 。a n dt h e nw es o l v et h ep r o b l e mo ft h ep o s s i b i l i t yo f s n s t a i n a b l e 如v e l o p m e n t o f t h e p r o i e c f a n dt h e f e a s i b i l i t y o f t h e i n v e s t m e 时s t r a t e g i e s mt h e s i si sm a i n l ym a d eu po ff o u rp a r t s f i r s t ，w ei n t r o d u c e 功a p u n o vs e c o n dm e t h o d , l a s a l l e i n v a r i a n tp r i n c i p l e , t h e o r i e sa n dc o r o l l a r i e so ft h eb o u n d e d ，a s y m p t o t i ca n dp e r i o d i c a lp r o p e r t i e s f o r t h es o l u t i o ni nt h es y s t e m a t i cs t a b i l i t vr e s e a r c h s e c o n d ，a st ot h et r a v e l i n gi n v e s t m e n tm o d e l w h i c hi ss t u d i e di nt h i st h e s i s ，w es i m p l i f ya n da b s t r a c tt h ep m b l e ma p p r o p r i a t e l ya c c o r d i n gt ot h e n e e df o rr e s e a r c ha n da c t u a le o n d i t i o u s t h e uw ea s s u m e ds o n l eb a s i cc o n d i c i o n sa n dd e m a r l d s a n dc a r r yo ns o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t ya n a l y s i so ft h em o d e l t h 础b a s e do nl y a p u n o vm e t h o d a n di t sc o r o l l a r i e s ，b ys t r u c t u r i n gp r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o nt h et h e s i ss t u d yt h es o l u t i o ns t a b i l i t y p r o b l e mo ft h et r a v e lp r o j e c ts y s t e m a t i cm o d e li nc a s eo fi n v e s t i n gc o n t i n u a l l ya n ds t e a d i l y w e a l s 0p r o v i d et h er e s u l ta n di d e n t i f f c a t i o nt h a tt h es y s t e ms o l u t i o ni sb e u n d e da n ds t a b l e i nt h e c o u r s eo fs t u d y i n g ，t h r o u g ha n a l y z i n gt h es i n g u l a r i t i d sa n dt r a n s f o r m i n gt h es y s t e m ，w em a k et h e s y s t e ms u i t a b l et oa p p l ys u c hn o n - l i n e a rt h e o r i e s 躯t h eb o u n d e da n da s y m p t o t i cs o l u t i o n l o o k i n g f o rl y a p u n o vf u n c t i o n 埘t hb e t t e rs t r u c t u r a lf o r m w ea l s od i s c u s sa n dc o m p a r e dt h en o n l i n e a r f u n c t i o no ft h es y s t e me x h a u s t i v e l y h n a l l y , w - ec a r r yo nt h es t a b i l i t yd i s e u s s i n no ft h es y s t e m s o l u t i o ni nt h es p e c i f i cc a rt h a ti n v e s t m e n th a ss p e c i l i cc h a n g et r e n dw i t ht i m e ，i n c l u d i n gt h e e x i s t e n c eq u e s t i o no ft h es y s t e mc y c l es o l u t i o nw h e ni n v e s t m e n tk e e p i n gc y c l ef l u c t u a t i n g t h i s t h e s i sw r i t e sa l lo ft h ec o n c l u s i o n sb yn o t ef o r mt oe x p l a i na n dd i s c u s st h e i rm e a n i n g st ot h e s u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n tp r o b l e mf o rt h et r a v e lp r o j e c li na d d i t i o n ，t os o m ec o n c l u s i o n s ，w e d e s i g ne m u l a t i n n st oe x a m i n et h e i rd e p e n d a b i l i t y k e y w o r d s ：t r a v e l i n gi n v e s t m e n t , s u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n t ，s t a b i l i t y , a s y m p t o t i cs o l u t i o n 第一章问题的背景与模型的提出 随着当代社会物质生活水平的不断提高，人们越来越多地把旅游作为个人 消费的重要组成部分，旅游活动对人们在快节奏的工作和生活状态下，保持身 心健康起到了突出的促进调节作用。近几年随着全球经济复苏，旅游产业规模 和效益增长迅速，旅游业在2 l 世纪有可能成为世界贸易中最大的单项部门之一 8 】，这一趋势在社会经济高速发展的中国尤为明显。 1 1 可持续性发展是我国旅游业的现实问题 可持续发展是人口、经济、社会、环境和资源相互协调，既能满足当代人 的需求而又不对后代人的需求构成危害的发展。而可持续发展无论是从旅游业 对自然禀赋和社会遗存的依赖，还是从旅游业与环境的辨证关系来看都是旅游 业发展的重要内容和重要目标。随着我国旅游业的规模越来越大，旅游活动所 涉及的范围越来越广，人们在关注旅游业的发展对经济的促进作用的同时，更 加关注它对环境、生态、社会文化遗产可能造成的影响。 众所周知，要想发展旅游，就必须投资搞设施建设，这包括解决交通、住 宿等方面的基础设施建设，也包括景区建设和旅游服务设施的建设。在满足大 众旅游者的需求和企业获得合理利润的同时，如何不使环境受到破坏，不使宝 贵的历史文化遗产受到侵害，成为突出的问题。从总体上说，许多自然保护区、 风景名胜区和联合国教科文组织确定的自然遗产，往往也就是当地重要的旅游 目蚵地。由于利益的驱使和管理上的漏洞，近年来我国景区城市化的倾向非常 严重，在发展旅游的过程中，违规修建道路和游览、游乐设旌，建造饭店、别 墅等住宿设旌，出现了许多严重的建设性破坏，形成了严重的环境污染。另一 方面，不少生态环境优美的旅游景区，往往是非常敏感和脆弱的地区，大量旅 游者的涌入，会造成旅游资源的破坏，有些破坏可能是毁灭性的。一些特殊的 人文环境也是如此，过多的游客和过分的商业性活动，对当地社区造成巨大的 压力，对当地民族文化、传统造成破坏。 而目前，以旅游资源环境可持续为前提，以旅游经济持续增长为手段，以 旅游地社会持续进步为目的，使旅游地社会、旅游经济与旅游资源环境系统协 调发展已在全球形成共识，成为一种科学的发展模式。即，要在保持和增强未 来发展机会的同时满足当代旅游者和旅游地居民需求，并通过现有旅游资源的 可持续经营管理，在确保文化完整性、基本生态过程、生物多样性和生命支持 系统的同时，实现旅游经济效益和社会效益的发展模式。就我国旅游业现状而 言，在一些旅游地，急需通过科学的规划，确定游客承载力，以限额或价格杠 杆等手段，控制游客流量。同时，配合采取提供信息、规劝、教育等多种方式， 规范旅游者的行为，尽量减少人为的破坏。 总的来说，旅游经济发展与旅游资源环境问的有效调控是旅游可持续发展 的根本。环境是旅游的基础，旅游的发展又影响环境，旅游可持续性发展是研 究自然环境对人类旅游活动的支持能力，并把它作为旅游经济发展的可能性与 可行性进行研究。由此可见，旅游可持续发展的根本目的还在于旅游经济发展 与旅游资源环境如何协调的有效调控，在发展过程中如何使人与自然和谐。因 为人在一个自觉的层次上对系统的调控是该系统稳定和协调的关键。如何实现 期望的调控和管理，何时干预，干预到什么程度，是旅游可持续发展最终所要 寻求的答案 2 1 。 1 2 问题和模型的提出 结合前一节的论述，我们知道我国的旅游产业持续性地快速发展并蕴藏巨 大经济潜力，必将促进旅游投资项目的广泛兴起。但观光旅游和景区设旋建设 等活动对环境、生态、社会文化遗产可能造成负面影响，那么旅游项目的发展 是否可以实现经济发展与资源环境的协调统一，是否可以通过人为调控使旅游 项目走上可持续发展之路，则成为有现实意义的研究课题。对于上述经济问题， 我们考虑以系统稳定性理论的思想和方法来进行研究分析。具体讲，( 2 2 、 2 5 ) 即根据问题各方面的实际情况总结提炼其内在的运动变化规律，构建动 力系统模型；通过对模型解的运动趋势和性态特征分析( 主要是稳定性) 来解 释和分析问题。 对于本文的旅游投资项目的可持续性发展问题，数学模型的理论研究工作 刚刚起步。2 0 0 2 年，p e t e rm k o r t 、a l f r e dg r e i n e r 等人曾提出了一个考虑环境污 染因素影响的旅游投资项目的动力系统模型( 1 6 ) ，模型主要刻画了旅游资产 设施、旅游者和环境污染之间的相互联系和运动作用关系，具体内容如下： 令s ( f ) 表示时刻t 旅游项目的资产设施状况： z o ) 表示时刻t 旅游者人数； p 0 ) 表示时刻f 环境污染和资源破坏程度； 肌) 表示时刻r 旅游项目的投资金额； 2 6 表示资产折旧率常数； 疋表示单位设施雇用雇员的成本常数； b 表示游客减少比例参数； 仃、f 分别表示s o ) 和t ( f ) 对自然环境和资源的负面影响系数； 缸表示旅游项目在单位污染破坏治理方面的资金投入参数； 其中，f 【0 ，+ c o ) 。 首先，从投资建设的角度分析，旅游项目的规模发展最直接的动力就是资 金投入进行景点的基础设施、服务设施等的建设和开发。即，旅游地的资产设 施状况s ( f ) 的增量将随投资额j o ) 的变化而同向变化，而设施在正常使用情况下 折旧是资产减值的主要因素( 折旧率6 ) 。所以，旅游项目资产设施状况，所遵 循的动力方程为： s ( f ) - ，( r ) 一6 - k t ) ( 1 1 ) 其次，从旅游者的角度分析，旅游者不仅对旅游项目的旅游设施状况感兴 趣，而且旅游地的自然环境和文化遗产保护状况等可持续性发展问题也对旅游 者有较大影响( 3 3 、 1 9 ) 。即，旅游地设施状况s ( f ) 越好吸引来的游客r o ) 就 越多，而环境污染和资源破坏程度p o ) 越高将使项目吸引的旅游者数i t ( t ) 越 少，两者对游客的影响是反向的。而且，旅游设施需要工作人员来维持f 3 常的 运营，单位设施雇员的雇用成本参数毛，显然毛越大旅游设施提供的服务应该 越好，对游客的吸引力越太；反之，则景点不能够吸引游客。因此，在上述三 个方面共同影响下，旅游项目对游客数量的综合影响力可归结为非线性函数 4 0 0 ) ，毛，p ( f ) ) ，我们称其为吸引函数。显然函数口0 0 ) ，与，p ( f ) ) 是关于s 的增函 数、关于p 的减函数。另外，当游客达到一定数量后，景区对游客数量可能有 强制性的减少控制，而且游客数量的多少本身也会影响景区对游客的吸引力。 例如当景区过分拥挤的时候，游客会部分自发的离开或分流到其他旅游地；而 且部分景区出于自身旅游负载能力的限制或环境保护的需要，会主动通过价格 和限额手段控制游客的数量，在这里参数b 表示了由于此类原因游客减少的比 例。综上所述，描述游客数量变化的运动方程为： t ( f ) = 口( 5 0 ) ，h ，p 0 ) ) 一6 r o ) 一。( 1 2 ) 最后，从环境因素考虑，游客r ( t ) 的活动和旅游设施s ( f ) 的经营都会对旅游 地的自然状况有负面影响，可能破坏旅游地的生态平衡和文化遗产，导致环境 污染和资源破坏程度p o ) 的增加，其中影响系数仃、f 反映了他们的负面影响力。 不过，鉴于自然环境自身的调节恢复能力和旅游项目自身在污染治理和文化遗 产修复保护等方面的投入( 单位污染破坏的投入参数以) ，人为的部分破坏将可 被消化掉，则设污染恢复调节函数为a ( p o ) ，k ：) ，显然a ( p ( f ) ，k 2 ) 是关于p 的增 函数，且有七，越大口( p ( f ) ，k ，) 会由于环境保护资金投入的增加而随之增大。那么， 环境污染程度p ( r ) 的变化满足微分方程： p 0 ) 一盯s ( f ) + 订o ) 一乜( p o ) ) 一( 1 3 ) 综合( 】1 ) ( 1 3 ) 式，我们得到完整的动力系统模型( 1 4 ) ： fs o ) 。，o ) 一6 k t ) t o ) - 口o o ) ，k l ，p ( f ) ) - b t ( t ) p 0 ) 一a s ( o + 订p ) 一口( p p ) 也) 其中， k o ) 。s 。 0 ；r ( 0 口z 瓦 0 ，q ( 0 ) ；q 。 0 下面我们就模型( 1 4 ) 和旅游项目的可持续性发展问题的联系进行一些说 明。模型( 1 4 ) 是通过对实际问题的分析提炼而来的，在一定程度上可以真实 地反映旅游资产、游客数量和旅游环境状况三者之间的作用关系，那么模型解 的运动性态就刻湎了上述三者大致的运动变化趋势。具体讲，如果模型满足初 始条件的解的分量p o ) 有l i mp ( f ) 一+ m 或者p 0 ) 随时间呈不规则的周期波动， 那么意味着旅游项目要么环境状况持续恶化要么环境状况无序波动，都将导致 旅游项目经营上的困难和混乱，都不满足长期的可持续发展的要求。反之，如 果模型的解具备良好的性态( 如奇点稳定) ，则意味着无论是代表经济发展目的 的旅游项目资产设施状况j d ) 和旅游者数量z ( f ) ，还是反映可持续性发展目的的 环境破坏污染程度p o ) 都将有一个稳定的最终发展状态，旅游项目不会出现环 境无度恶化、游客锐减等极端的发展趋势，那么旅游项目则可以长期存在和发 展，这是实现可持续性发展的必要条件。进一步，如果模型解的最终稳定状态 值同时也是符合经济和环保要求的具体指标值，则表明旅游项目的发展趋势是 符合可持续性发展目标的。 由于投资巾1 是系统的外生控制变量，我们可以对其进行调控，从而影响系 统内部的动力机制，进而影响到解的运动趋势，所以选择适当的投资策略j ， 就可能使系统的解出现所希望的性态特征，即我们可以对旅游项目的各方面的 发展趋势加以控制，通过人为调控实现旅游项目可持续发展的目标。当然这种 调控的可能性和可行性，是与系统解的运动性态密切相关的。 4 1 3 本文的主要工作 p e t e rm k o r t 等人基于系统模型( 1 4 ) 进行了投资收益最优化问题的开创 性研究，应用庞特里雅金最大值原理 9 、h o p f 分支 6 等理论对系统满足收益 最大约束的最优解和周期解的问题进行了讨论。但在他们的研究中主要强调的 是项目投资收益最大，而没有对不同投资策略下，旅游项目的资产状况、旅游 者数量和环境污染状况的最终发展水平作迸一步的研究。这样既不能在项目有 最终发展水平要求的时候有效说明项目发展的可持续性，也不能在项目强调环 境状况等可持续性发展目标的时候比较投资策略的可行性。丽本文的主要工作 是以研究旅游投资项目的长期发展趋势为主要目的，从系统( 1 4 ) 解的性态( 主 要是稳定性) 分析入手，研究旅游项目的资产设旌、游客数量和环境污染三方 面在特定投资策略下的相互影响和运动发展，进而来研究解决项目可持续性发 展的可能性和投资策略的可行性问题。 我们主要应用稳定性理论的李雅普诺夫第二方法及其相关的推广理论来研 究旅游投资模型，全文共分为四章。第一章，介绍了我国旅游业可持续性发展 问题的实际背景，提出旅游业可持续性发展的研究课题和旅游投资项目动力系 统模型，并阐述了模型研究对于解决经济问题的意义。第二章，重点介绍了本 文在系统稳定性研究中，作为理论基础的李雅普诺夫第二方法的基本理论，和 l a s a l l e 不变原理、解的有界性、渐近性和周期性等李雅普诺夫第二方法的推广 理论。第三章，根据研究需要和实际情况对问题进行适当简化和抽象，针对本 文所要研究的旅游投资模型，给出模型分析的基本假设条件和要求，并进行了 模型的一些基本性质分析。第四章，利用第二章的预备知识和理论，来研究在 投资持续稳定的情况下旅游项目系统模型的解的稳定性问题。首先，针对本文 中非线性模型的特点，通过奇点分析和降维变换使系统适用于应用解的有界性 和渐进性等非线性理论；然后，通过构造满足相关定理条件要求的李雅普诺夫 函数，给出系统解的有界性和稳定性的结果和证明，其中为寻找李雅普诺夫函 数较好的构造形式，对系统的非线性函数进行了详尽讨论和比较。另外，对于 投资随时间有特定变动趋势的个别情况也进行了系统解的稳定性探讨，其中包 括投资保持周期波动时，系统周期解的存在性问题。第五章，针对所得到的部 分结论，给出方针设计检验证明结论的可靠性。在本文中，对于所得到的结论 最后都以注记形式阐述和讨论了其对解决旅游项目可持续性发展的问题的意义 和作用。 第二章动力系统稳定性分析的基本理论推广 稳定性理论是研究动态系统中的过程( 包括平衡位置) 相对于干扰是否具 有自我保持能力的理论 7 。在稳定性理论发展进程中最伟大的事件就是俄国数 学力学家a m 李雅普诺夫在1 8 9 2 年的著名论文“运动稳定性的一般问题”。他 将由p e a n o b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依 赖性这一概念由自变量( 时间) 在有限时间变化拓宽到无穷时间之上，科学地 给出系统中运动是稳定和渐进稳定的概念。 2 1 系统稳定性分析的基本理论 2 1 1 稳定性的基本概念 2 0 假定我们考虑的动力系统可以用一般的n 维非自治常微分方程描述： x 一f ( t ，工) ，x ( t o ) = ，t t o一一( 2 1 ) 其中x 彤，f ( x ) 是n 维向量函数，且，保证方程( 2 1 ) 解的存在唯一性，令 初始状态x o 引起的运动工( f ) 一庐o ，x o ，t o ) ，庐( f 。，x o ，t o ) = x o0 t o ) 。 定义2 1 1 ：对于系统( 2 1 ) ，如果存在某状态t ，使得= ，阮，t ) - 0 ，v t t 。 则称t 为系统的一个平衡态。 注记2 1 1 ：如果平衡态是状态空间的孤立点，则称孤立的平衡态；对于孤立的 平衡态总可以通过坐标变换把它化为状态空间的原点。 定义2 1 2 ：( 稳定性) 系统( 2 1 ) 的孤立平衡态称为稳定的，如果v e ，0 ， 了6 0 ，t o ) 0 ，使得由满足l l x o t 忙6 ( p ，t o ) 任意初始状态出发的 受扰运动都有i i 妒( t ，x o ，t 。) 一x e 忙，进一步，如果d ( ，t 。) 只依赖于f 而与“无关，这称平衡态一致稳定。 定义2 1 3 ：( 渐进稳定性) 系统( 2 1 ) 的孤立平衡态z 。称为渐进稳定的，如果 t 是稳定的并且对于6 ( e ，t o ) 和任意给定的z ，0 ，存在 r ( p ，6 ，t o ) 0 ，使得i i 妒o ，x o ，t o ) 一tl 忙z ， v t2 t o + t ( z ，6 ，t o ) 。 进一步，如果6 ( s ，t o ) ，r 0 , ，d ，t o ) o 都不依据初始状态t o ，那么平 衡态t 是一致渐进稳定的。 定义2 1 4 ：( 全局渐进稳定) 对于系统( 2 1 ) ，x = 为平衡态，如果以状态空e 0 间的有限非零点为初始状态的受扰运动o ，x o ，t 。) 都是有界的， 且l i m 妒( f ，t o ) = 0 ，则称系统的原点平衡态t 是全局渐进稳定的。 进一步，若p 粤，而，t o ) = 0 不依赖于气的选取，则t 是全局一致 渐进稳定的。 定义2 1 5 ：( 不稳定性) 系统( 2 1 ) 的孤立平衡态t 称为不稳定的，如果j 如 0 j d 瓴，t o ) 0 以及满足0 t 一而忙d 0 ，t o ) 的初始状态x o ，x o 出发 的受扰运动( f ，t o ，t o ) ，使得0 + ( f ，t o ，t o ) 一t l | 。 2 1 2 李雅普诺夫函数的基本概念 1 4 李雅普诺夫以类似系统总能量的物理观念得到启示，提出了后来被人们称 为“李雅普诺夫函数”的概念，将一般r l 阶微分方程组中扰动解的渐进性质的 讨论归结为讨论一个标量函数( 李雅普诺夫函数) 及其对系统的全导数的一些 特性的研究，成功地避开了讨论n 阶微分方程组的困难，从而建立起稳定性理 论研究框架。 设o c r “是包含原点的n 维开邻域，令v ；【0 + o o ) ，w ( x ) e c q ，r 】， y 0 ，z ) c 【q ，r 】分别表示定义域为9 q 值域为尺的连续函数。 定义2 1 6 ：称函数0 ) 在q 上正定，若在a 上0 ) 20 且o ) 一0 ，当且仅 当工一0 ；称函数w ( x ) 在q 上负定，若一形o ) 在q 上正定。正定、 负定函数统称为定号函数，也称为李代函数。 定义2 1 7 定义2 1 8 ： 称函数v ( t ，x ) c c a q ，r 】正定，若存在正定函数缈0 ) c q ，r 】， 使v ( t ，工) w 0 ) 且；称y o ，x ) 负定，若一v ( t ，石) 正定。 称0 ) c 【彤，r 】为无穷大正定函数，若w ( x ) 正定，且当 忪0 一c o ，w 0 ) 一0 0 ，称函数v ( t ，z ) c 【x 彤，r 】具有无穷大下 界，若存在无穷大正定函数嵋 ) ，使v ( t ，x ) z 彤o ) ：称函数 v ( t ，x ) e c a x r nr 1 具有无穷小下界，若存在无穷大正定函数 o ) e c q ，r ，使f 矿0 ，算) 扭0 ) 。 2 1 3 李雅普诺夫稳定性经典结果( 证明略) 李雅普诺夫在论文中提出了两种解决问题的方法，第一方法就是级数展开 法 1 2 ，第二方法( 又称直接法) 就是前文所述把系统稳定性或者不稳定性的 事实于具有特殊性质的李氏函数v ( t ，x ) 的存在性相联系的方法。第二种方法已经 发展成为当今解决运动稳定性问题的基本办法。而且李氏函数的作用，不仅限 于对稳定性或不稳定性事实的建立问题，对于自动调节系统的研究、关于周期 解的存在问题以及最优控制理论等诸多科学领域已经得到广泛应用 1 7 。 7 考虑系统x ；f ( t ，曲，x e r 4 f ( t ，工) 【x r 4 ，r “】，e 中a = 【o + * ) ，且，o ，0 - 0 ， ，保证方程( 2 2 ) 解的存在唯一性，令- 以z ) ，t 苫t ol l 工l l 0 中，v ( t ，算) 有界； 3 ) 在矿 0 中，2 ) 正定( 即v p 0 ，3 1 0 ，使得在y2 s 0 中， 有2 ) 己b 0 ，f 2 t o ) 则( 2 2 ) 式的z = 0 不稳定。 推论2 1 1 ：( 李雅普诺夫第一不稳定定理) 若存在定义在吼上的可微函数 v ( t ，工) ，v ( t ，0 ) = o 使得 1 ) 定理2 1 4 的条件( 1 ) 成立： 2 ) v 具有无穷小上界； 3 ) 式正定； 则( 2 2 ) 式的零解不稳定。 推论2 1 2 ：( 李雅普诺夫第二不稳定定理) 若存在定义在g 。上的可微函数 y p ，石) ，使得 1 ) 在原点任意邻域内有v ，0 的区域： 2 ) v 在t 芑t o ，i l 圳 0 ，v e 0 ，3 t r ( ) 0 ，且0 而i a 使得 v ( t ，工) 0 的区域； 2 ) 在v 0 内v 有界，且有2 ) 亭o ) 。g o ) + u ( t ，x ) 其中亭( f ) 在t 气任意区间可积且r 伸亭q ) d t ；+ m ；g ) 为v 的连续 函数且当v 苫0 时，有g 缈) 0 ，u ( t ，x ) 2 0 则( 2 2 ) 式z = 0 不稳定。 2 2 李雅普诺夫直接法的应用拓广 建立在能量函数基础而发展起来的李雅普诺夫直接法，有着普遍和深刻的 理论意义和应用价值，除了用来研究稳定性外，要研究一个动力系统的其它渐 进行为，往往都可以借助于李雅普诺夫函数及直接法的思想。下面介绍和本文 研究课题相关的一些应用和拓广。( 1 1 3 、 1 4 ， 1 7 、 2 3 、 2 4 ) 2 2 1l a s a | l e 不变原理 1 9 6 0 年前后，美国数学家l a s a l l e 发现了李氏函数与b i r k o f f 极限集之间的 内在联系而提出了著名的不变原理。下面就常微自治系统介绍相应l a s a l l e 不变 原理。 考虑 并， ) ，0 ) c 陋“，r 】 ( 2 3 ) ，保证( 2 3 ) 式解的存在唯一性。 定义2 2 1 ：称集合m c r “为( 2 3 ) 式定义的轨线的正向不变集，若v x o 盯 恒有x ( t ，t o ，x o ) c m ( t t o ) ； 称当卜+ 。时，r p ，岛，而) 一朋，若弘和毛一。， 使得0 工( f ，t o ，而) 一p 一o ，其中p 称为x ( t ，t o ，) 的甜极限点。 引理2 2 1 ：若z ( f ，o , x o ) x c - - f 2 t 苫o 有界，则砸，o , x o ) 的珊极限点组成的q ) 集 有下列性质： 1 ) q ) 非空； 2 ) q ( x o ) 是紧集( 即有界闭集) ； 3 ) q ( 矗) 是( 2 3 ) 式轨线的不变集； 4 ) 当t 一+ c o 时，z p ，f 0 ，) 一q ) 。 定理2 2 1 ：( l a s a l l e 不变原理) 设d e r 4 为紧集，从d 内出发的解x ( t ，0 ，x o ) 恒在d 中，若 3 v ( x ) e c t d ，r 】，使得3 ) s0 ，又设 e - i x i ) - o , x e d y ，m c e 是最大紧集，则当t o o 时，有 x q ，0 ，x o ) - j l f 。 定理2 2 2 ：设d 忸i v ( x ) s f ) 是有界集，v ( x ) 在d 中有连续的一阶偏导数， 且在d 中v 0 ，则( 2 3 ) 式的从d 出发的任意解x o ，) 一m ， 当t ( x o e d ) 。 l a s a l l e 不变原理推广了自治系统的李- 氏渐进稳定性定理，与巴尔巴欣一克 拉索夫斯基定理比较，在理论上更一般且不要求v ( x ) 定号，只要求常负。但 一般地，最大不变集的结构可能十分复杂，条件的验证不如巴一克定理条件来 的方便。 2 2 2 解的有界性 定义2 2 2 ：函数妒c 【0 r 】，r 】是严格单调上升函数，且有妒( o ) 一0 ，则称妒是 属于k 类函数，记为妒k 。若妒啤+ ，r + 】，且q v e k ， l i m p ( r ) = + o 。则称妒属于积类函数，记为妒觑。 定义2 2 3 ：- 设g ( t ) e 锉，r 】：则下面四个导数： 埘 1 q 一1 q l d + g ( r ) ：船砉( g o + | i l ) 一g ( f ) ) 皿g g ) 。荔l i m 云g o + 矗) 一g o ) ) d 占( f ) 。罟h ( g ( t + ) 一g ( f ) ) dg ( t ) 2 墨署砉 ( f + ) 一g ( f ) ) 分别称为g ( f ) 在t 处的右上( 下) 导数，左上( 下) 导数，统称为d i n i 导数。 定义2 2 4 ：考虑系统工f ( t ，功，其中f ( t ，c f 科，r ”一( 2 4 ) 定理2 2 3 ： 定理2 2 4 ： 注记2 2 1 ： 定理2 2 5 ： f ( t ，x ) 保证解的唯一性，但不假设f ( t ，0 ) s0 。 称( 2 4 ) 式的解x ( f ，t o ，) 有界，若存在常数卢( f 0 ，x o ) 0 ，使得 0 x o ，t o ，) 忙卢( f 0 ，x o ) ，v x oe r “： 若v a ，0 ，e a ，筇似) 0 ，v x o 最；仁， i x 忙a ，有 j | x ( f ，t o ，x o ) 忙卢 ) ，( tz - t o ) ，则称( 2 4 ) 式的解一致有界。 若在q f 上存在函数矿( f 工) 和妒觏，使得v ( t ，z ) 之妒圳石8 ) 和 d + v ( t ，z ) s0 ，则( 2 4 ) 式的任意解有界。 其中，记g = 协j 肛七 田，当七一0 ，饼m r “。 若在饼上存在y o ，善) 满足 1 ) 竹a i z ) s v ( t ，工) s 眈( 1 l x l i ) ，仍e k r ； 2 ) d + y ( f ，x ) i r z 4 、s0 则( 3 - 2 ) 式的解是一致有界的。 在解的有界性讨论中，yr 在r “上的半负定条件不是必要的。为了 后文具体问题的讨论的方便，给出二元系统的有界性定理，即 考虑仁鬻舅 亿s ， 其中盖是k 维向量，y 是m 维向量，f ( ) ，g ( ) 在乘积空间 a ，：a x 碍x 群上连续。假定存在一个正的连续函数v ( t ；x ，y ) 在域 a ：a ( o s fs 。) ，l i x0 2 + y l l 2 之藤上满足下列条件： l o 如果队1 1 2 + 忪0 2 有界，y o ，而y ) 有界； 2 0 当0 y i | 呻。时，v ( t ；x ，y ) 一* 一致成立： 3 0 v ( t ；x , y ) e c o o ，y ) 且 y 7 l 州i r a 云o + | i l ，x + 腰( ) ，y + ( i ) ) 一v ( t ；x ，y ) s o 另外，又假定对应于每一个k ，0 ，都存在一个正的连续函数 w q ；x ，y ) 在域笛：a x e ( f | 工忙马竹) ) x 曰，( 0 yf i s 七) 上满足下列条 件： 1 0 如果忙l 是有界的话，w ( t ；x ，y ) 是有界的； 2 0 当l i z0 一* 时，w ( t ；x ，y ) 一。一致成立； 3 0w ( t ；型璺堂! 。，且班罟+ 罟，+ 券g s o 则( 2 5 ) 式的所有解有界。 。 2 2 3 系统解的渐进性 考虑系统 x = f ( t ，工) - i - g ( f ，z ) 一一。( 2 6 ) t ( t ，x ) ，a ( t ，z ) c 【q ，彤】( q 为彤中的一开集) ，g 功为可积干扰项。 g o ，x ) 为可积干扰项，即如果工一工0 ) 在t os tc0 0 上连续有界，则有 川，x ( s ) ) l l d s 0 ， 当f + r ( f 0 ，) 时有i i x ( t ；t o ，x o ) i i c 卢，则称( 2 4 ) 式为耗散系统， 也称( 2 4 ) 式的解对界限口毕竟有界。若t 与t 。，x o 无关，即 v t o v 口 0 ，e s 。一协| | i x l i 0 ，当 tz t 。+ t ) 时，解x ( t ；t o ，) 满足l l x ( t ；t o ，x o ) l l 0 。( 2 1 1 ) 其中f ( t ，工) c ( 彤，r “) ，m 为f ( t ，x ) 的周期。如果系统( 2 1 1 ) 的解对于界限口毕竟有界，则存在周期为的周期解z o ) ，使得对 于所有t 有i 工o ) | s 卢。 注记2 2 2 ：对于周期系统周期解的研究，一般先立足于寻找李氏函数研究系统 解的界限：上述定理的证明都与b r o w d e r 不动点定理相关。 2 3 本文用到的其它定理 1 5 定理2 3 1 ：( g r o n w a i i 引理) 设一元函数g ( f ) 与妒( f ) 均在区间 t o ， 】上连续，g ( f ) 苫0 ，常数 a 0 ，苫o 。若妒( f ) 墨 + f 【占( r 如扛) + r f f ，则 妒p ) j ( a + ，t ) e x p ( z g ( o a o ，气s f j ，t = 一t o 柯西问题： j 象啪