（应用数学专业论文）具收获率的lotkavolterra扩散系统的多重正周期解.pdf

墨堕壅空塑圣堕! 坠! ! 垫里些芏墼茎笙笪垄薰至塑塑堡 】j 1 摘要 本文研究了一类具有收获率的时滞两种群l o t k a - v o l t e r r a 竞争扩散系统与基于比率 的两种群捕食者一食饵扩散系统，利用重合度理论的m a w h i n 延拓定理及先验估计方法 建立了此类模型存在多重正周期解的一组简洁且易于验证的充分条件这是第一次使用 这种方法研究这两类系统多重正周期解的存在性 全文共分三章第一章介绍了m a w h i n 重合度理论的基本知识；第二章利用m a w h i n 延拓定理研究了一类具有收获率的时滞两种群l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统多重正周期解的 存在性，建立了该系统至少存在两个正周期解一组充分条件；第三章利用m a w h i n 延拓定 理研究了一类具有收获率和基于比率的时滞两种群捕食者一食饵扩散系统多重正周期解 的存在性，建立了该系统至少存在四个正周期解的一组充分条件。 关键词：l o t k a - v o l t e r r a 竞争扩散系统i 捕食者一食饵扩散系统i 收获率；多重正周期 解；重合度理论 i v 垦盟堡王盎堂堡主堂焦哒 a b s t r a c t i nt i f f sp a p e r ，w es t u d yac l a s so fd e l a yl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o nd i f f u s i v es y s t e m s a n dr a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e yd i f f u s i v es y s t e m so ft w os p e c i e sw i t hh a r v e s t i n g as e t o fe a s i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s & r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c e o fm u l t i p l ep o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h e s et w om o d e l s t h ea p p r o a c h i sb a s e do i lm a w h i n sc o 州i n u a t i o n t h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya sw e l la ss o m ep r i o r ie s t i m a t e s t h i si st h ef i r s t t i m et h a td e l a yl o t k a - v o l t e r r ad i f f u s i v es y s t e m so ft w os p e c i e sw i t hh a r v e s t i n gh a v eb e e n s t u d i e db yu s i n gt h i sm e t h o d t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ee l e - m e n t a r yc o n c e p t sa n dr e s u l t sf r o mc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e r ac l a s so fd e l a yl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o nd i f f u s i v es y s t e m sw i t hh a r v e s t i n g b ya p p l y - i n gm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y w ee s t a b l i s h as e to f s u f f f i e i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h i ss y s t e mh a sa tl e a s tt w op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rac l a s so fr a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e yd i f f u s i v es y s t e m so f t w os p e c i e sw i t hh a r v e s t i n g b ya p p l y i n gm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c e d e g r e et h e o r y , w ee s t a b l i s ha s e to fs u f f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h i ss y s t e mh a sa t l e a s tf o u rp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n s k e yw o r d s ：l o t l m - v o l t e r r at y p ec o m p e t i t i o nd i f f u s i v es y s t e m s ；p r e d a t o r p r e yd i f - f u s i v es y s t e m ；h a r v e s t i n gr a t e ；m u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ；c o i n c i d e n c ed e g r e e 前言 2 0 世纪以来，有数学倾向的生物学家建立了一门新的学科生态学，希望通过数学 模型来反映物种种群在增殖过程中，与环境因素以及其它相关物种种群之间相互作用的真 实现象这种用数学模型来研究生物增殖行为的方法，深刻地影响着现代生物学本文就 常见的两类数学模型分别加以讨论 在自然界里我们会看到这种现象：两种生物为了争夺有限的食物来源和生活空间而 进行着生存竞争，直到其中一种生物灭绝，斗争才会结束生态学认为，每种生物都有自 己的生存环境，即自己的习性、食物来源和生活方式一种生物在它自己的生存环境中， 明显地优越于它的竞争者如果两种生物试图占有相同的生存环境，那么它们之间的斗争 就会导致较弱一方的灭绝或排斥，适者生存，不适者淘汰或灭亡经典的l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统已经被广泛的研究 1 - 1 2 】 种群的持续生存是数学生态学中捕食理论的个重要而广泛的问题对于标准的l o t k a v o l t e r r a 型捕食一被捕食系统已有大量的研究工作 1 3 - 1 5 】，其中均假定捕食者种群的平均 捕食率只依赖于食饵种群的密度近年来，越来越多的生物学和生理学证据表明，在许多 情况下，特别是捕食者不得不搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时，一个更切合实 际且更一般的捕食一被捕食模型应基于。比率依赖”理论 1 6 - 1 9 】粗略地讲，即捕食者种 群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食者种群密度之比的函数这一理论被大量的野 外观察结果和实验室实验数据所证实( 参见【1 7 - 2 1 ) 一般地，基于比率的捕食一被捕食模 型可描述为 l 圣= z ，( z ) 一卯( ：) 1 寸：酬：) 一曲j 另一方面，人们普遍认为在种群间相互作用中时滞是不可避免的，但较长的时滞可能会破 坏正平衡点的稳定性( 见【1 ，2 】等) 近年来已有大量文献 1 , 2 2 - 2 4 研究了时滞对生物种群 的渐近性态的影响同时必须注意到，在种群的生态环境中，扩散经常发生，也就是说种 群能够在两个斑块中扩散文【2 5 】首先建立了一个非自治的l o t k a - v o l t e r r a 扩散模型， 在【2 5 后，文 2 6 及【2 7 】也研究了这种扩散模型随后l o t k a - v o l t e r r a 扩散模型得到了 广泛的研究 1 1 垦塑垄盐堂堡堂鱼堡塞 在渔业，林业，野生物种管理中，人类对生物资源的开发普遍存在着在生物经济学 中，关于收获的种群动力学研究是生物经济学一个非常重要的课题，这关系到可再生资源 合理开发的最优化管理( 见 2 8 ) 文 2 9 3 1 】研究了一些收获率是常数的捕食者一食饵系 统 本文我们考虑下列具有收获率的时滞l o t k a - v o l t e r r a 竞争扩散系统与捕食者一食饵 扩散系统 1 具有收获率的时滞两种群l o t k a - v o l t e r r a 竞争扩散系统： l 茹i ( t ) = 。1 ( t ) l a l ( t ) 一b l ( t ) x l ( t ) 一c l ( t h ( t ) 】+ d l ( t ) x 2 ( t 一7 - 1 ) 一z l ( ) 】一日( z ) ， l z ；( t ) = z 2 ( t ) 【n 2 ( t ) 一6 2 ( t ) z 2 ( ) 】- - i - d 2 ( t ) x l ( t 一7 - 2 ) 一现( t ) 】， ( + ) i ( t ) = 掣( t ) 卜3 ( t ) 一6 3 ( t ) ( t ) 一z ( t ) f 2 ，女( s ) ! ，o + s ) d s c 3 0 ) z 1 ( t ) ， 其中石1 和y 分别是斑块i 中种群x 和种群y 在时刻t 时的密度，茹。是斑块i i 中种群x 在时刻t 时的密度种群y 被限制在斑块i 中而种群x 能在两斑块间扩散d t ( ) 0 = 1 ，2 ) 是种群x 的扩散系数h ( t ) 表示收获率时滞n 忆) 表示物种x 从斑块i 到斑块i i ( 斑 块i i 到斑块i ) 的迁移时间文【6 j ，【8 】研究了系统( + ) 中h ( t ) 兰0 ，几三00 = 1 ，2 ) 时的 情况，文【l o 】研究了系统( 十) 中卢( t ) 三o ) ，h ( t ) 兰0 ，t 三0 ( i = 1 ，2 ) 时的情况 2 具有收获率和基于比率且有m a c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应的非自治两种群扩散 系统： z i ( t ) = z ( t ) 【。1 ( t ) 一。l ( t ) z l ( t ) 一兰m 堕c t ) 蛐v 2 1 ( t d ) + 龇x i ( t 】+ d l ( t ) 陋2 ( t ) 一z l ( t ) 】一h x ( t ) ， 茁：( t ) = x 2 ( t ) 【a 2 ( t ) 一a 2 2 ( t ) x 2 ( t ) + d 2 ( t ) x l ( t ) 一茁：( t ) 】一月j ( t ) ，( 。+ ) ( t ) = 掣( t ) - a 3 ( t ) + m ( t ) y 业2 ( t - 虬r ) + x ( t - r ) 】i 其中l 和”分别是斑块i 中种群x 和种群y 在时刻t 时的密度，z 2 是斑块i i 中种群 x 在时刻t 时的密度种群y 被限制在斑块i 中而种群x 能在两斑块间扩散x t 是 y 的食饵d i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 是种群x 的扩散系数风( t ) o = 1 ，2 ) 表示收获率文【3 6 】 研究了系统( 丰 ) 当h i ( t ) 三0 “= 1 ，2 ) 时周期解的存在性 据我们所知，目前还没有关于系统( + ) ，( + + ) 多重正周期解存在性的研究结果，而在 周期环境中与多种群相互作用相联系的一个很基本的生态问题是非常数正周期解的存在 性本文的主要目的便是利用重合度理论研究系统( + ) ，( + + ) 多重正周期解的存在性 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研雍成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：毛坞 日 期：矽v # 年， 月，矿日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：塾塾 论文作者签名拯丝 日期：幽生坐月! 二旦 注：此页放在封面后，目录前。 ： 墨蝗壅皇盟垦! ! 星! 迪! ! ! ! 些芏墼至丝笪垒重垂旦塑堡 一一1 第一章预备知识 本章先引入一些m a w h i n 重合度理论的基本概念和结果 定义1 1 设x ，z 是实b a n a c h 空间，l ：xd d o t a l 斗z 是一个线性映射 称为是一个指标为0 的f r e d h o l m 映射，如果下列条件满足 ( a ) i m l 是z 的闭子空间， ( b ) d i m k e r l = c o d i m i m l 【( t ) = ”( t ) 【n 3 ( t ) 一b 3 ( t ) y ( t ) 一z ( t ) f o _ ，后( 5 ) o + s ) d s c 3 ( t ) 。l o ) ， 其中。l 和y 分别是斑块i 中种群x 和种群y 在时刻t 时的密度，x 2 是斑块i i 中 种群x 在时刻t 时的密度种群y 被限制在斑块i 中而种群x 能在两斑块间扩散 d i ( t ) 0 = 1 ，2 ) 是种群x 的扩散系数h ( t ) 表示收获率时滞丁1 ( 见) 表示物种x 从斑 块i 到斑块i i ( 斑块i i 到斑块i ) 的迁移时间 为了方便起见，我们定义 雪= 三z 。9 ( t ) d 铀。嘲旧= 。m 啪a x 叫i g ( 圳， 其中g 是一个连续的周期函数 设 m 1 = m a x ( 寄) “，( 薏) “) ，m 2 = ( 嚣) ” 在本章中，我们总是假设 ( 2 1 ) n ( 吼b i ( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ，q ( t ) 0 = 1 ，3 ) 是正的连续的u 一周期函数日( t ) ，d ( t ) 0 = 1 ，2 ) ，卢( t ) 是非负连续的u - 周期函数； ( 岛。) s ) 是卜下，o l ( 0sr 货m j + d + 2 、西霄_ ( i - 1 2 4 ) 一研竭 0 4 垦翌跫王盔望堡主兰垡些墨 为了进一步方便起见。我们弓l 入下面六个正数： f ：曲应鼋砸， 仳土：蛙型笙业型重2 h i 蔓 堡旦燮， z 士= 垫譬， 易证 1 一 z 一 让一 + 嗜2 + 则系统( + ) 至少存在两个正的u 一周期解 证明：作变换 嚣j g ) = e q ( ( j = 1 ，2 ) ，暂( ) = 酽3 ( t ) ， 则系统( + ) 变为 取 记 “io ) = n 1 ( t ) 一6 i o ) e u t ( 。) 一c l ( t ) e t m ( ) + d - o ) 两e “2 0 - r 1 ) 一1 一岩黯， u ：( t ) = 口z ( t ) 一6 2 0 ) e ”2 ( ) + d 。( 卜等等磊生一1 ， ( 2 2 ) 嵋( t ) = a 3 ( t ) 一6 3 ( t ) 酽。( o 一卢( t ) ，e u 3 ( 件。) d s c 3 ( t ) e ”，( “ x = z = u = ( 址1 ，珏2 ，u 3 ) t ( r ，只3 ) ：t 工t q + ) = 啦( 幻，i = 1 ，2 ，3 ) u i i2 m a 川x 让l ( 2 ) i + 蚝m i q a 州xl 扎2 ( 。) i + 躺i 让3 ( 。) i ，札= 让2 ，让3 ) x 或z 则x ，z 在范数j j 下成为b a n a c h 空间 基堕壅空监坠堕缝坠技箜望筻墼壅蕉笪垒重垂塑塑簦 5 设 ( 让，t ，a ) = n l ) 一6 1 0 ) e ”t ( 。) 一a c l ( t ) e “s ( 2 】+ a d l o ) 丽e - 2 ( t - n ) 一1 】一言黯 2 ( ta ) = 眈( t ) “2 ( t ) e 洲+ a d 2 ( t ) 岩茅一1 】 3 0 ，t ，a ) ha 3 ( t ) 一b 3 ( t ) e u 3 ( 。) 一口( t ) ，( s ) e “s ( 蚪5 ) d s a c 3 ( t ) e ”z ( o 对任意牡( t ) x ，由于周期性，易知a i ( u ，t ，a ) c ( r 2 ，冠) ( i = 1 ，2 ，3 ) 关于t 是v 一周期 的 设 l ：d o m l = t 占x ：札c ( r ，r 3 ) ) t ht z ， p ：xj “h 言u ( t ) d t x q ：z 弓钍h 言疗u ( t ) d t 互 n ：x 【o ，1 】弓( t ，a ) h ( a l ( u ，t ，a ) ，a 2 ( u ，t ，a ) ，a 3 ( u ，t ，a ) ) z 则 e r l = r a ，m 工= 恤x ：z 。( t ) 出= o ，i = 1 ，2 ，3 ) 为z 中的闭子集，且d i m k e r l = c o d i m l m l = 3 ，故l 是指标为0 的f r e d h o l m 映射 容易证明p ，q 是连续投影且使得 j m p = k e r l ，l m l = k e r q = i m ( i q ) 因此l 的逆映射j 0 ：i m lh _ d o t a l n k e r p 存在，且 因此 ( 钍) = z 。髓( s ) 幽一l z z , o ( s 冲出 q n ( u ，a ) = ( 一 - z x l ( u ，t ，a ) d t ， 古2 ( 缸，t ，a ) d t ，爿3 ( 乱，t ，a ) d t ) ( ，一q ) ( t 上， ) = ( 西l ( 让，t ，a ) ，西2 ( 钍，t ，a ) ，垂3 ( 让，t ，a ) ) 6 ： 垦塑垄盐兰塑主堂焦丝皇 其中 呜( u ，t ，a ) = z 。匀( 乱，s ，a ) d s 一三z 。上j ( u ，s ，a ) d s 出一( 三一；) j ( “今( u ，s ，a ) d s j = ，z ，3 显然，q n 和缉( ，一q ) n 是连续的利用a r z e l a - a s c o l i 定理容易证明，对任意有界开 集q c x ，( ，一q ) ( 孬 0 ，1 】) 是紧致集此外，q ( 晓 0 ，1 ) 是有界的因此， 对任意有界开集q c x ，n 在q 0 ，1 】上是三一紧的 为了应用引理1 1 ，我们至少要找到两个x 中的有界开子集q l ，n 。对应于方程l u = a n ( u ，a ) ，a ( 0 ，1 ) ，我f 有 “i ( t ) = ap 1 ( t ) 一6 - ( t ) e “水一a c l ( t ) 矿水) + a d l ( 亡) ( 可e u 2 ( t - - v 1 ) 一1 ) 一署击】， ( 2 3 ) 呓( t ) = a n 。( t ) 一b 2 ( t ) e “2 ( ) + a d 2 ( t ) ( 两c u l ( t - r 2 ) 一1 ) 】，( 2 - 4 ) u = a 0 3 ( t ) 一b 3 ( t ) e t m ( 虬o ( t ) f o _ ，七( s ) 一( m ) d s 一蛔( t ) e “t ( t ( 2 5 ) 设( “l ( t ) ，让2 ( 如u 3 ( t ) ) t 是( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) 对应于某个a ( 0 ，1 ) 的u 周期解选 择掣，中1 0 ，u j ，i = 1 ，2 ，3 ，使得 u i ( 。r ) 2 t m 。i u a ，x 。ju ( t ) ，钍( t ) 2t m 0 i ，n 叫钍t ( t ) ，i = 1 ，2 ，3 显然 乱：( ) = 0 ，牡：( 妒) 莩0 ，i = 1 ，2 ，3 ， 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，有 n t ( r ) _ 6 l ( t 附1 # r 一蛔o r ) 则r ) + x d t ( t r ) 【篙一1 卜端= o 麟) 。z ( t 笋) 一6 2 ( ) 一( ) + a d 2 ( t 笋) 絮一1 - o ， ( 2 7 ) 铂( t r ) 一6 3 ( ) e “s ( 搿) 一卢( ) j 竺，后( s ) e “a ( 皆如) d s a c 3 ( t r ) e u ，( 皆) = 0 ，( 2 8 ) 及 n - ( 印) _ 6 l ( 坪) e u l ( t m ) _ a c l ( 督) e u a ( t r ) + a d ( 圩) 【箐寻一1 - 器= o ，( 2 9 ) n z ( 毋) 一6 2 ( 学) 水( + a d 2 ( t r ) 簧铲一1 o ( 2 1 0 ) 0 3 ( t 孑) 一6 3 ( t 孑) e “a ( ) 一p ( 学) ，七( s ) e ”a ( 圩十s ) d s a 白( t ) e u - ( ) ：0 ( 2 1 1 1 墨堕壅坚笪些旦! ! 生! 里些塑堕芝墼薹缠鲤垒星翊塑垫 7 对于u ( t y ) “= 1 ，2 ) ，分两种情况考虑； 1 若1 ( t r ) u 2 ( t 笋) ；则让- ( t r ) 让2 ( t r n ) 由( 2 6 ) 式，有 口i ( t r ) 一b a ( t f ) e “t ( r ) 0 ， 即 矿， 揣( 故 u 。( t 护) u l ( t r ) l n ( 鲁) “茎l n 尬 2 若u 1 ( t y ) 牡l ( t r 一乃) 由( 2 7 ) 式，有 口2 ( 笋) 一6 2 ( ) e “z ( r 0 ， 即 少。岖揣( 耖 故 - ( t r ) u ：( ) l n ( 薏) “l n 尬 因此 m a x ( t 1 ( t f ) 总( t 笋) ) i nm 1 ( 2 1 2 ) 由( 2 8 ) 式，有 即 故 由( 2 6 ) 式，有 6 3 ( t 扩) e “s ( r n 3 ( 彤) 删， 吐一叫 蜡e 2 “- ( r ) 一a i c 斗如一d ；) e ”o r + h ” 0 ( 2 1 5 ) 类似地，由( 2 9 ) ，( 2 1 4 ) 得 由( 2 6 ) 得 由( 2 1 2 ) 式，有 故 6 7 e 2 “- ( r ) 一( o i c “i1 。2 一d ? ) e “z ( 叮+ 日“ 0 ( 2 1 6 ) b 1 ( t f f ) e 孵) + 鬻 0 l ( 柏m ( 柏等 妒皑，+ 磊 硝删蒜 6 ：e “- ( r ) 一矿- ( 2 f + ( 日l d ：a 矗) 0 。 类似地，由( 2 9 ) ，( 2 1 2 ) 得 酲；2 m ( 叮) 一醋矿t ( p 1 + ( 日一d ? a 1 1 ) 0 由( 皿3 ) ，( 4 ) 及( 2 1 5 ) ，( 2 ，1 7 ) 知 乱lnl(t_full(ntm“)+覃eln牡1+(t,r) l n 竿：一 由( 2 1 2 ) 及上式，得 m 1s 坳( t ) a 。( t r ) 一c 3 ( t r ) e “- ( r ) 由( 日2 s ) 及上式可知 ( 蜡+ ) e 札a ( 学) 以一碍l + 一蟛b 静 州舶 n 话 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) l o 垦望堡醚堂堡主兰垡堡塞 对( 2 5 ) 式从0 到u 积分得 fn 3 ( t ) 出= fb e ”+ 雕) 琊) 严。“+ a 铅e u i 卜 故 j 芋i 乱3 ( ) i d t = j i 。3 ( t ) 一6 3 ( t ) e “a ( t ) 一z ( t ) f o _ ，七( s ) e q 。( h 剐d s a c 3 ( t ) e “两i d i n 罐f ；笋一2 西。u ：= m 。 由( 2 1 4 ) 及上式，有 耽 u 3 ( t ) 0 使得 c - l n 晚 1 m 丽a 3 i ( 2 2 6 ) 令 q 1 = q 2 = u = ( 仳l ，让2 ，让3 ) x u = ( “1 ，u 2 ，3 ) x 烬r a i n 锃l 。+ ，l “蚺 t m 0 a ，曲x 珏l ( 。) ( 1 n “+ ，h 1 。+ ) ， 揣j u 2 ( ) i 2 + g 1 ， t | o ，m a 。x l i 口3 ( 幻1 凰十晚， t m e 。i ，n 。】u l ( 。) ( 1 n z 一，l n “一) ， t m f o a ，x 叫u l ( 2 ) ( 1 h z 一，l n “一) ， m a 叫x 删 0 ，啦( t ) 0 = 1 ，2 ，3 ) ，( t ) 0 = 1 ，2 ) ，0 1 3 ( t ) ，l ( t ) ，m ( t ) ，皿( t ) ( i _ 1 ，2 ) 是连续的严格正的叫- 周期函数，甄( t ) 0 = 1 ，2 ) 是非负连续的u 一周期函数 ( 风2 ) 出一a 3 o ； ( h 3 3 ) e l 2 、踊+ d + 2 - - 貉； ( h 3 4 ) a 2 、蹶+ 磁； ( 凰5 ) 删 d ? l ； ( h 3 6 ) 喇 磁1 昆明理工大学硕士学位论文 易证 为了进一步方便起见，我们弓；入下面1 2 个正数 譬：型近亳笋刿， 牡鲣竺塑手巫逦 z 手：壁越橥兰盟江l ，2 ； 2 a “ 。 。 f 王f u i “ 对 0 ， 即 一， 揣( 帮姗 故 扎2 ( t 笋) 让1 ( t 2 f ) 0 ， 即 严。敝端( 姗 故 1 ( t r ) 奶( ) l n ( 老) “s l n 1 由上面两种情况知 m a x u 1 ( t 2 f ) ，砌( ) ) l nn 1 ( 3 1 2 ) 由( 3 6 ) 得 州怕“牲m 抑鱼e - 。盟c t v ) = a 鞘鲁群等熹删蚪m ，丽e 2 ( t y ) 删柏 故有 。h 一蒜 0 u 1 ( t r ) i n u - 或仳l ( t f ) i n 钍 或牡1 ( 印) - d i ( 柏筹 a l l ( t r ) e 2 u l ( r ) 一o 。( ，) e “- ( 。r + 丑j ( t r ) 一d l ( r ) e ”。( 。r ) 0 o i l e 2 u 1 ( r ) 一o ；e “z o ! f + 叫一d ：v l 0 由( 日3 3 ) ，( 墙5 ) 及上式可得 同理可得 由( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 得 由( 3 7 ) 得 即 i n t i - “l ( t r ) l i l 寸 l n2 i “l ( t r ) 一器e z 7 c 、引 癌乞e 2 “：( r ) 一o e “z ( 。r + 日：一d ；1 0 由( h 3 4 ) ，( 凰6 ) 及上式可得 i n e u 2 ( t 笋) i n 砖 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 墨蝗壁皇笪垦! ! 坠y ! ! ! 竺些盟墨堕塑垒重重旦塑竖 1 9 同理可得 又由( 3 7 ) 得 即 由( 三k ) 及上式可得 同理可得 i n l 2 “2 ( 毋) i n u + 或让2 0 r ) i n 时或牡2 ( 霹) l n u 2 由( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 得 由( 3 5 ) 得 故 u 2 ( t 笋) ( i n f i ，i n u 2 ) u ( i n u + ，1 n f 手) u 2 ( f f ) ( 1 n 石，i n u ；- ) u ( i n u + ，l n 硅) f f ( 岫= f 而紫出 gi ( t ) l d t 勘( t ) 出+ 露面蕊拳鐾箬韵如 = 遵a 3 ( t ) d t 七瓷a a ( t ) d t ； d 3 j l f 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) “a ( 圳 0 使得 令 q l = q 2 = g n 厚“博吲， 扎= ( u l ，啦， l 3 ) x 铝= 世l ， a 2 ，钍3 ) x t m a x 缸1 ( 2 ) ( 1 n u ，1 n 。渤 - ( ) ( 1 n 让 ，1 n f + ) t e 【o m a 棚x u 2 ( 。) ( 1 nu 手，l 埘) 。渤u z ( 。) ( 1 n u 手，1 n 谚) 蚝m i u a x ，叫i 铭3 洲 丑+ g 蹦u - ( ) ( i n u ，1 n n t 1 ( 。) ( 1 n u ，1 n 。 - ) t m e 【0 a ，卅x 铒2 ( 。) ( i nt i ，l n 铭i ) 坨m 【u i 川n u 2 ( 。) ( 1 n l i ，l n u i ) m a x 叫i 钍删 日+ g - ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 2 2 ：垦塑堡王盔兰塑圭兰堡丝皇 q 3 = q 4 = 让= ( 让l ，u 2 ，缸3 ) x = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) x 普葫”1 ( 。) ( i n l i ，1 n 珏i - ) ， 。积】u l ( 2 ) ( i n l i ，1 n 乱i ) ， 蚓m 。a ，。x 】2 ( ) ( i nu ；- ，1 n 鼢 托r a 诤i n u 2 ( 。) ( 1 nu 手，l n 巩 普筠呲) l 日+ g t m e 。3 ，, 叫xu 1 ( ) ( 1 n 。i ，1 “u f 2 r a f o i 州n 札1 ( 。) ( 1 ni f ，l n “i ) t m f o a ，叫x “2 ( ) ( 1 nl i ，l “缸i ) t 嘲札2 ( ) ( i n l i ，1 n u i ) t m e i o 叔, 。t i u 3 ( 2 ) i 日+ a 显然q 1 ，n 4 是x 的有界开集由( 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 知匾吼0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 不难证明 盒n 啦= 0 ( ，j = l ，2 ，3 ，4 ，i n 则旺满足引理1 1 中的( a ) ，丽且对缸a n ，n k e r l 有q n ( u ，0 ) 0 直接计算可知 d e g j q n ( ，o ) ，n ink e r l ，o 0 因为，仇q = k e r l ，这里同构，可取为恒同映射这样我们已经证明了引理1 1 的所有 假设均满足所以( 3 2 ) 至少有四个u 一周期解让：( ) 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 且让：d o t a l n 筑显 然，让：“= 1 ，2 ，3 ，4 ) 是不同的令z ：( t ) = ( 1 ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 那么，z ；( t ) ( t = l ，2 ，3 ，4 ) 是系统一+ ) 的四个不同的u - 周期解证毕 口 墨蝗壁空笪圣! ! 坠迪! ! 竺! ! 芏墼墨笙笪垒萋垂星塑堡 2 3 致谢 本文是在房辉教授的悉心指导下完成的三年来，房老师对我倾注了许多的心血，我 所取得的每一点进步都离不开他的辛勤教诲和耐心帮助从论文的选题和文献的收集，以 及数学思想、方法和论文的整理，都得到房老师的热情关怀和精心指导，从而保证了论文 的顺利完成房老师治学严谨，坚持精益求精；对待学生，严传身教，严格要求，注重基 本思想、基本方法的培养与渗透在读研的这三年时间里，耳濡目染，受益匪浅，这一切 将成为我人生的宝贵财富 感谢理学院的李继彬教授、张振良教授、林怡平教授，正是他们正直的人品、渊博的 知识、严谨治学的工作态度使我受益匪浅，必将对我的今后产生重要的影响；同时感谢理 学院院长张锦柱教授、数学系主任蔡光程副教授、李庶民副教授在学习和生活上给我极大 的关心和帮助在此对所有帮助过我的老师致以诚挚的谢意! 感谢博士生吕军亮、冯大河，同学张建宝、路霞、曹志杰等生活上的帮助和学业上的 有益探讨，尤其感谢昌军亮同学对我的论文打印给了许多无私的帮助 家庭是我的动力之源，对于我的妻子和女儿，我无法用语言表达我的感情，正是她们 的关怀和支持，我才能安心学习并顺利完成学业 2 4 垦堕堡三盔兰壁圭堂垡逢兰一 参考文献 【1 】k u a n gy d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n si np o p u l a t i o nd y ”啪i c 8 n e wy o r k ：a c a d e m i cp r o s ，1 9 9 3 2 】c u s h i n gjm i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd e l a ym o d e l s i np o p u l a t i o nd y n a m i 。8 i n ：l e c t n r en o t e si nb i o m a t h e m a t i c s ，v 0 1 2 0 n e wy o r k ：s p r i n g e r v e f i a g ，1 9 7 7 1 3 g o p a l s a m yk s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o ni nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p u l a i o n d y n a m i c s i n ：m a t h e m a t i c sa n d i t sa p p l i c a t i o n s ，v 0 1 7 4 ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s g r o p ，d o r d r e e h t ，1 9 9 2 【4 】g y o r i1 ，l a d a sg o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd d a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o x f o r d ：o x f o r d s c i e n c ep u b l i c a t i o n