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学生考试成绩统计分析研究 本科生毕业论文学生考试成绩统计分析研究学生姓名 学 号 专业班级 数学与应用数学 指导老师 摘要：在这篇文章中，我们使用方差分析方法评价影响学生成绩的因素，方差分析的基本功能就在于对多组平均数差异的显著性进行检验。通过对组间差异与组内差异比值的分析，来推断几个相应平均数差异的显著性。确切地说，组间差异对组内差异的比值越大，则各组平均数的差异就越明显。如果组间与组内方差相等，则表明各组平均数无显著性差异。关键词：方差分析 , 学生学习成绩 , 显著性Abstract：In this article, we use the factor that the analysis of variance method evaluation affects students result, the basic function of the analysis of variance lies in showing the salience to carry on the test to many few differences with average class.Pass the analysis to a difference of class and classes inside the difference specific value, predict severals to correspond the average few difference to show the salience .Say tangibly, a difference of class is more big to the specific value of the difference inside the class, then the difference that each class equally count is more obvious.If the class and the variance equality inside the class, then express each class, the average number did not show the difference of salience.Keywords:Analysis of variance, The students study result,Significance0 引言在学生的学习过程中，自身学习努力的程度显然是影响其学习成绩好坏的主要因素。除此之外，我们注意到，入学年龄、学习方法、教师水平，学校不同以及教材不同等是否也对学习成绩的好坏有着相当大的影响呢？这就是这篇文章所要探讨的问题。1 方差分析方法在实际研究工作中，往往需要对两个以上平均数进行比较。如果仍用每对平均数差异显著性检验，就会使检验的效率降低。例如，在比较4组平均数时，如果逐对进行平均数比较，需要作6次可能组合的检验。若每次都在0.95的可靠度上检验,那么,6次检验的可靠度将降低为0.956=0.375。因此，在比较多组平均数的时候，人们常用方差分析综合性地确定几个平均数差异的显著性进行检验。现用一个例子来说明方差分析的方法。假如，从小学一、三、五年级中，随机各抽取4个学生，向他们呈现一组词汇，然后将他们识记词汇的分数（总分15分）绘成图。这个图可能是图1的情况,也可能是图2的情况。将图1与图2加以比较,可以看出,图2三个小组的平均数比图1上三个小组的平均数差异明显。这是因为图1上三个小组的平均数差异较小,但各个小组内部的分数差异较大。而图2上三个小组的平均数差异较大,各个小组内部的分数差异较小。如果把各组平均数之间的差异称为组间差异，把各小组内部分数之间的差异称为组内差异，则从上例可以说，当组间差异相对越大，而组内差异相对越小。确切地说，组间差异对组内差异的比值越大，则各组平均数的差异就越明显。通过对组间差异与组内差异比值的分析，来推断几个相应平均数差异的显著性，这就是方差分析理论的基本思路。 图1 不同年级的学生识记词汇的结果 图2 不同年级的学生识记词汇的结果若组间差异用组间方差表示，组内差异用组内方差表示，由于组间与组内方差互为独立，故可用F检验来检验组间与组内方差是否相等。如果组间与组内方差相等，即F比值等于或接近1，表明各组平均数无显著性差异；如果F值很大，F值大到超过F抽样分布上某种显著性水平的临界值，则应拒绝组间与组内方差无显著性差异的零假设，而接受组间与组内方差有显著性差异的备择假设。这时，只能作出各组平均数有显著性差异的结论。分组所依据的因素对实验结果有重要影响。组间方差等于组间平方和除以组间的自由度，即 组内方差等于组内平方和除以组内的自由度即 于是组间与组内方差的F比值为以图1来说,三组不同学龄的学生识记同一组词汇,由于多种因素的影响,学生的分数是参差不齐的,在分析各组平均数差异原因或寻找影响差异的主要因素时,可以将每个分数与总平均数(=7)之间的差异分成两部分,并且设想这两部分差异主要是由两类不同的因素所引起。一类是由实验者操纵的已知实验因素（三种不同学龄）所引起，表现在各小组平均数之间的差异；另一类是由偶然因素所引起，表现在各组内部每个分数与小组平均数之间的差异。如果组间差异和组内差异都以相应的离差平方和表示，则它们的关系为：总平方和=组内平方和+组间平方和,如果我们用X表示各个分数，表示第j组的平均数，表示总平均数，那么，某个分数与总平均数的离差可以表示为 某一小组中个分数与总平均数的离差平方和为 设有个观察值，可分为个组（即设）K组的离差平方和为，于是上式的关系为 下面用图1的数据来验证这种关系组间自由度： （即组数减1） 组内自由度： ,当各组容量相等时，组间自由度及组内自由度与总自由度之间也存在上述关系，即总自由度等于组间自由度加组内自由度。其关系式为：，本例的 恰好验证了上述关系。组间方差：，组内方差：。如果要考察本例三组的平均数差异是否显著，可以根据组间方差的自由度（）和组内方差的自由度（）查F值表，。因为实际计算出的则P0.01,表明各组平均数不是来自同一个总体,它们有着极其显著的差异。或者说，小学生的学龄对词汇的识记有极其重要影响,实验中的自变量称为因素,只有一个自变量的实验称为单因素实验,有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验,某一个因素的不同情况称为因素的“水平”,包括量差或质别两类情况，按各个“水平”条件进行的重复实验称为各种处理。例如，为了比较三种教学方法是否有显著区别，将30名学生分成三组，每组10人，对每组学生分别施以A，B，C三种不同的教学方法。因为教学方法是实验中唯一的自变量，故为单因素实验。A，B，C三种具体的教学方法是教学方法这一单一因素的三种不同“水平”。对每组10个学生的施教为10次重复实验，即对每组10个学生的三种不同处理。假如要研究两种教材及三种教学法对学生学习成绩的影响，该实验是双因素的实验。一个因素是教材，它有两种“水平”；另一个因素是教学方法，它有三种“水平”。这个实验称为的实验设计，共有6种处理。用方差分析法检验某一因素对因变量的作用，称为单因素方差分析。下面在单因素方差分析中，介绍完全随机设计方法。3 实例分析例1：从五所中学（全国重点、市重点、区重点、一般中学、较差的中学）同一个年级随机各抽3名学生，数学统一测验结果如表8.2上半段所示,问五所学校数学测验成绩有无显著性差异? 表1 五组数学成绩平方和计算表序号AB CDE123767370788181868485838287737478n3 21973 1600515987 3240801920619200325585216772167532528421182211683225751688916875 检验的步骤:(1)提出假设H0:u1=u2=u3=u4=u5 , H1:至少有两个总体平均数不相等(2)选择检验统计量并计算其值五组测验分数假定是从五个相应的正态总体随机抽出的独立样本。故可用组间与组内方差的F比值来检验五个总体平均数差异的显著性。下面分几步来求F值：计算平方和在计算平方和时，为了简化过程，获得精确的结果，一般不用离差形式，而用原始数据直接计算。根据下式，可以推演出三种用原始数据表示的平方和。 组间平方和: 组内平方和： 总平方和： 根据表1中的数据，各种平方和为 计算自由度 求F比值 (3)统计决断根据查F值表， ，则 P0.01 所以在0.01显著水平上拒绝接受结论:至少有两所中学该年级学生的数学测验成绩有极其显著性差异。4 多因素方差分析及其实例上述的方差分析是单因素的,但教育现象的发生或变化都是由多因素共同作用的结果。例如，在考察几种教学方法是否有显著性差异时，可使各组被试在智力水平，知识基础，努力程度，学习内容，授课时数以及教师教学效果等条件基本一致，从而观察单一因素的作用。而多因素方差分析，不仅可以检验各个因素对因变量作用的显著性，而且还可以检验因素与因素之间共同结合对因变量发生交互作用的显著性。现以双因素完全随机设计的方差分析为例说明多因素方差分析的基本方法。若一个实验有A，B两个因素，A因素有和两种水平，B因素有和两种水平，现对A因素，B因素以及A与B因素交互作用对实验结果影响的显著性进行检验，其检验的步骤为：(1)提出假设,共有三种假设：是说，A因素对实验结果无影响，即A因素两种水平的总体平均数相等。是说，A因素对实验结果有影响，即A因素两种水平的总体平均数不相等。是说，B因素对实验结果无影响，即B因素两种水平的总体平均数相等。是说，B因素对实验结果有影响，即B因素两种水平的总体平均数不相等。：A，B两个因素交互作用不显著。：A，B两个因素交互作用显著（2）确定检验统计量A因素的检验统计量为：，在这里表示A因素的组间方差，表示组内方差，B因素的检验统计量为：，在这里表示B因素的组间方差，A和B交互作用的检验统计量为：，在这里，表示A，B交互作用的组间方差。（3）统计决断,根据F检验统计决断规则，进行F检验，其方法与前面相同。 例2某校从初2年级中随机抽取16名学生，随机分为四组（每组4人），各组分别接受一种教材和一种教法，后期统一测验结果如下表。表中A因素表示教材，表示地方性教材，表示全国统编教材，B因素表示教法，表示自学辅导法，表示传统教法，表中数字表示统一测验分数，每方格下端括号内数字表示该组分数总和。表格下端及右侧数字分别表示，分数之和。右下角数字表示所有分数之和。问地方性教材，全国统编教材与自学辅导，传统讲授法对学习成绩的影响是否显著？ 表2 初2两种教材及两种教法的实验结果 A因素（教材）总和 （地方性） （全国统编）B因素（教法） 自学辅导 64 62 70 60（256） 67 71 70 68（276） 532传统讲授 89 76 81 92（338） 82 73 78 77（310） 648总和 594 586 1180检验的步骤：(1)提出假设:,是说,教材对学习效果无显著影响,即地方性教材和全国统编教材的总体平均数相等。是说，教材对学习效果有显著影响。：，是说,教法对学习效果无显著影响，即自学辅导法和传统讲授法总体平均数相等。是说，教法对学习效果有显著影响，即自学辅导法和传统讲授法总体平均数不相等。：教材与教法对学习效果交互作用不显著。：教材与教法对学习效果交互作用显著。(2)计算检验统计量的值A、B、AB的检验统计量可以用它们的平方和除以相应的自由度来表示， , , 平方和的分解22完全随机设计的总平方和可分解为A因素、B因素、AB交互作用的组间平方和及组内平方和。用公式表示为：，从上式可见，双因素与单因素完全随机设计平方和的不同之处在于，组间平方和被分解成A因素、B因素和AB交互作用三种平方和。即：第一步，计算、总平方和 ： 组间平方和： 组内平方和：第二步，计算、在计算A因素组间平方和时，是将16名学生只按A因素分组，每组共8人，于是A因素组间平方和：B因素组间平方和：AB的组间平方和：自由度的分解总自由度: 组间自由度: 组内自由度: 组间自由度又可分解为A、B、AB三部分，即计算A、B、AB的方差 计算F值A因素 B因素 AB因素 (3)统计决断 根据A、B、AB组间自由度1和组内自由度，查值表得将实际计算出的F值与临界值比较，有：A因素 4.75= B因素 AB因素 根据F检验统计决断规则,保留关于A因素(教材)对学习效果无显著影响的,而拒绝A因素(教材)对学习效果有显著影响的。在0.01显著性水平上拒绝B因素(教法)对学习效果无显著影响的,而接受B因素(教法)对学习效果有显著影响的。在0.05显著性水平上拒绝AB（教材与教法）对学习效果交互作用不显著的，而接受AB（教材与教法）对学习效果交互作用显著的。在本文中，我们讨论了方差分析的方法及两类方差分析的实例：单因素方差分析与多因素方差分析。从中学会了突破传统的统计分析方法，而使用数理统计中的方差分析方法，达到了